Instituto Federal de
Educação, Ciência e
Tecnologia
Rio Grande do Sul
Campus Rio Grande
CAPÍTULO 4
GEOMETRIA ANALÍTICA
4. Geometria Analítica
4.1. Introdução
Geometria Analítica é a parte da Matemática, na qual associamos seres
algébricos aos geométricos, estudando-se as propriedades de um pela análise
do outro.
Isso significa que a Geometria Analítica algebriza a Geometria. Entre
as vantagens da Geometria Analítica sobre a geometria pura está o aumento
do poder da análise e a eliminação da intuição. Agora substituiremos o
traçado de curvas por equações, que fornecerão conclusões sobre as curvas
correspondentes.
No Ensino Médio exploraremos o ponto, a reta e a circunferência e as
relações entre esses entes geométricos, inseridos no plano cartesiano
ortogonal. Já fizemos algumas análises próprias da Geometria Analítica,
quando calculamos áreas e determinamos a equação da reta por determinantes,
analisamos a posição relativa entre retas analisando suas equações assim
como para a posição relativa entre planos.
Para exemplificar a “algebrização” da geometria, citaremos a
dificuldade de retificar o centro de uma circunferência se esta não foi
feita com compasso, por exemplo, a circunferência impressa abaixo. Os
procedimentos necessários são descritos a seguir:
1. Tomar uma corda AB;
m
B D
2. Obter a mediatriz1 m desta corda;
3. Tomar uma segunda corda, CD, não paralela;
n
4. Obter a mediatriz n de CD não paralela a m;
O
5. A intersecção das mediatrizes será o centro O da
circunferência.
A
Algebrizando o problema teríamos a equação da
C
circunferência
e
por
ela
encontraríamos
as
coordenadas do centro.
Utilizaremos, por vezes, o programa GeoGebra que tem essa dualidade,
tudo o que é feito na área da geometria é relacionado as equações, medidas
de área, etc. na área da álgebra.
Foi no século XVII que a geometria analítica ganhou os contornos que
conhecemos até hoje, com as contribuições de René Descartes e Pierre de
Fermat. Foi Descartes que concebeu um sistema de referência para o plano:
O Sistema Cartesiano Ortogonal, onde cada ponto é representado por um par
ordenado (x,y), com x representando o deslocamento em relação a um ponto
denominado origem em relação ao eixo horizontal, e y representando o
deslocamento em relação ao eixo vertical. Graças a esse sistema conseguimos
esboçar o gráfico de parábolas, hipérboles e muitas outras curvas.
4.2. Distância entre dois pontos
Distância entre dois objetos quaisquer é definida pela medida do menor
caminho que liga estes dois objetos. No caso
de dois pontos A e B no plano
cartesiano
A(x
A, yA) e B(xB,yB) a distância é a medida do
yB
segmento de reta com extremos em A e B.
d
d = AB em função das coordenadas de A e de B.
Denotaremos por d(A,B) para explicitar os
yA
pontos a que se quer calcular a distância.
Observando o triângulo retângulo ABC, reto em
C. A distância entre A e B equivale à medida
xB
xA
da hipotenusa. Pelas coordenadas dos pontos A
e B podemos facilmente encontrar a medida dos
Mediatriz de um segmento é uma reta perpendicular a este passando pelo ponto
médio do mesmo.
1
catetos.
AC = |xB – xA |
BC = | yB - yA |
d(A,B) =
Exemplos:
1.Vamos calcular a distância entre:
(a) A(2,1) e B(2,1)
(b) C(1,2) e D(1,5)
(c) E(5,3) e F(1, 1)
Observação: A fórmula acima é válida para qualquer disposição entre dois
pontos.
4.3. Ponto Médio de um segmento.
Ponto médio é ponto do segmento que
é equidistante aos pontos extremos.
Considerando A (xa, ya) e B(xb, yb)
extremos do segmento e M (xm, ym) o
ponto médio de AB.
Podemos pensar primeiro na abscissa
do ponto médio, ela deve estar a
mesma distância das abscissas de A
e B e depois pensar na ordenada do
ponto médio, satisfazendo o mesmo
critério. Note que os triângulos
retângulos de hipotenusa AM e MB
são congruentes.
Coordenadas do ponto médio:
M
Supomos A e B no primeiro quadrante.
trabalhando com outros quadrantes.
Chegaríamos
a
mesma
conclusão
Exemplo:
(a) Determine as coordenadas dos pontos médios dos lados do triângulo ABC,
em que A(3, 2), B(1,4) e C(1,1).
(b) Determine as medianas relativas aos vértices.
Equações da Reta
4.4. Equação Reduzida da Reta.
A reta já é conhecida por nós como o
gráfico de uma função afim, ou seja, se a lei
da função é y = ax + b, onde a é o coeficiente
angular da reta e b o coeficiente linear,
coeficientes reais. Esta forma também é
conhecida como equação reduzida da reta. Os
coeficientes a e b são números reais
quaisquer.
A interpretação desses coeficientes
também é conhecida.
a = tg
 com  o ângulo entre a reta e o sentido positivo do eixo ox.
b é o valor da ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo oy.
Esta forma apresenta esta vantagem, se conhecemos o ângulo  e a
intersecção da reta com o eixo y obtemos diretamente a equação da reta.
Exemplo: Determine a equação reduzida da reta que faz um ângulo de 30º com
o sentido positivo do eixo ox e que contém o ponto A(3,1).
Pense: Toda reta pode ser representada pela equação reduzida?
_________________________________________________________________________
4.5. Equação Geral da Reta.
Podemos expressar a equação da reta a partir da forma reduzida
colocando todos os termos para o primeiro membro e igualando a zero,
originando a forma:
r: mx + ny + k = 0.
Com m, n e k, coeficientes reais onde m e n não podem ser nulos
simultaneamente, pois teríamos k = 0, absurdo, se k  0.
Nesta forma os coeficientes m e n também possuem significado geométrico,
que veremos na próxima aula.
Vimos no segundo bimestre que podemos obter a equação de uma reta que
passa pelos pontos A(xa,ya) e B(xb,yb) usando determinantes:
x
y
1
xa
ya
1  0
xb
yb 1
O desenvolvimento do determinante nos fornece diretamente o formato da equação geral da
reta.
Exemplo: Determine a equação geral da reta que contém os pontos A(-2,5) e B(3,1).
4.6. Exercícios.
1. Determine a distância dos pontos a seguir:
(a) A (2,5) e B (3,1)
(b) P(4,0) e Q(1, 5)
(c) R 0.5, 1 e S (5, 1) (d) T (0, 8) e V( 7,0)
2. Calcule o perímetro do triângulo ABC, dadas as coordenadas de seu
vértice:
(a) A (3,0), B(0, 4) e C(0,0)
(b) A(1,3), B(1, 2) e C(5,0)
(c) A(6,1), B(4,2) e C(3,1)
3. Mostre que o triângulo de vértices A(3,1), B(8,1) e C(3,7) é retângulo.
Determine qual é o vértice do ângulo reto.
4. Obtenha o ponto da bissetriz2 dos quadrantes ímpares que é equidistante
dos pontos A(3,5) e B(2,8).
5. Obtenha as coordenadas do ponto médio do segmento AB nos seguintes casos:
(a) A(3,1) e B(3,5)
(c) A (b+2,b) e B(6 – b, 5b)
(b) A  ,6  e B  
5
3


2 
,1
3 
(d) A  ,0 e B(0,4)
3
4

6. Dados os pontos A(4,2), B(6,5) e C(10,3), calcule a medida da mediana3
AM do triângulo ABC.
7. Sabendo que A(1,6) e que o ponto médio do segmento AB
determine as coordenadas de B.
é M (3,5),
8. Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que os
pontos médios de seus lados são M(2,1), N(5,2) e P(2,3).
9. Determine a equação reduzida da reta que intersecciona o eixo oy em y
= 4 e faz um ângulo de 135º com o eixo ox.
10. Considere um quadrado, cujos vértices são A(0,0) , B(0,2), C(2,0) e
D(2,2). Determine a equação da reta cuja direção é ortogonal à diagonal do
quadrado e que o ponto E (1,1) pertence a essa reta.
11. Demonstre que o quadrilátero de vértices A(a,b), B(a+4,b+3), C(a+7,b+7)
e D(a+3,b+4) é um losango, usando argumentos da geometria analítica.
12. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos:
(a) A(-3,4) e B(2,1)
(b) C(1,1) e D(-4,-5)
Bissetriz é uma reta que divide um ângulo ao meio.
Mediana de um triângulo é o segmento de reta que liga um vértice do triângulo
ao ponto médio do lado oposto.
2
3