38
Exercícios
Sequência I
1. Considerando o prisma abaixo, cuja base é um hexágono regular,
classifique em verdadeira ou falsa, as sentenças abaixo, justificando cada
resposta.
→
→
a) GA− DI é L.D.
M
→ → →
G
J
b) HI, IC, IB são L.I.
→
→
L
H
→
I
c) GM, MF, FE são L.I.
→
→
→
→
d) BC + CI + IB e MF são L.D.
→
→
→
F
e) AH, ED e MF são L.D.
→
D
E
C
A
→
B
f ) GM e 2 AH são coplanares.
→ →
→
g) FA, FE e FM são L.I.
→
→ →
→
h ) FM pode ser escrito como combinação linear de FA, FE e GM .
→
→
i) MG pode ser escrito como combinação linear de GH .
→
j) F = E + LM
→
→
l) FA ° = ( 2 JI ) °
→
→
→
→
m) FE° + ( 2 ML)° = ( FE+ 2 ML )°
r
r
r
r
Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores u = 2 i − j + 2 k ,
r
r
r
r
r
r
v = 5 i + 5 j − 2k e w = 3 i + 6j .
2. Verifique se os vetores são L.D. em cada item abaixo:
r
a)u
r r
b) u e v
r r
r
f) u, v e w
r
c) o
r
r
d) u e o
r r
g) u, v, (1,2,3) e (2,1,4)
r
e) u e (4,−2,4)
r r
h) u, v e (7,4,0) .
39
3. Determine:
r r
r
a) 2u − v + 3w.
→
r
b) as coordenadas do ponto B, onde A = (1,0,−2) e AB = u .
c) as coordenadas do ponto M, onde M é ponto médio do segmento AB ,
do item(b).
4. Escreva se possível:
r
r
a) u como combinação linear de a = ( 4,−2,4 ) .
r
r
b) ur como combinação linear de or .
c) o como combinação linear de u .
r
r
d) v como combinação linear de u .
r
r r
e) u como combinação linear de v e a = ( 4,−2,4) .
r
r
r
f) v como combinação linear de u e a = ( 4,−2,4 ) .
r
r
r
g) v como combinação linear de u e w .
5. Determine:
r r r r
r
r
r r
r r
a) u ⋅ v e u ⋅ w
b) | u | e u°
c) ( u, v) e (u, w)
r
d) Um vetor não nulo
ortogonal
a
vr.
r
e) A projeção de u na direção de v .
r
r
f) A projeção de u na direção de w . r
r
g) A medida algébrica da projeção de v na direção de u .
r
r
r
h) O versor de b , onde rb // u .
i) Um vetor paralelo a u e de módulo 9.
r
j) O vetor c , sabendo que seus ângulos diretores são agudos, onde
r
r
α = 60°, β = 45° e | c | = | w | .
r r
l) v × w
r r
m) Um vetor unitário ortogonal aos vetores u e v .
r r r
r
r
n) Uma base ortonormal {e1 , e 2 , e 3 } , onde e1 // u .
r r r
r
r
o) Uma base positiva {f1, f 2 , f 3 } , onde f1 = v .
r
r
r
r
r r
p) O vetor d , tal que d × u = o e d ⋅ v = −2.
→
→
r
r
q) A área do triângulo ABC, onde AB = u e AC = v.
r r r
r) [ u, v, k ]
s) O volume do paralelepípedo de arestas AB, AC e AD, onde
→
→
r → r
r
AB = u, AC = v e AD = w .
40
Sequência II
1. Sabendo que A( 0,0,0), B(2,1, −2) e C(0,0,5) são vértices de um
triângulo, determine um vetor que tem a direção da bissetriz do ângulo
∧
interno BAC .
2. Determine a resultante das forças em cada item a seguir:
r
a) | F1 | = 80 kgf
r
| F2 | = 150 kgf
r
| F3 | = 180 kgf
y
rr
FF22
30°
r
F1
r
b) | F1 | = 120kgf
r
| F2 | = 100kgf
r
| F3 | = 120kgf
45°
xx
r
F3
y
r
F3
r
F1
30°
r
F2
x
3. Exiba, se possível, os exemplos abaixo. Se impossível explique porque.
a) Uma base do espaço que contenha os vetores (1,−2,3) e ( −2,4,6) .
b) Três vetores L.I. que não formem uma base do espaço.
r
r
c) Um vetor não nulo, paralelo a u = (1,0,2) e ortogonal a w = ( −1,2,3).
41
→
4. Do cubo ao lado, sabemos que: A( 2,1,0), B( 2,4,0) e AD° = (0,0,1) .
Determine as coordenadas:
H
G
→
a) do vetor AC ;
E
b) do ponto E;
→
→
1→
c) do vetor AL , sabendo que FL = − EF .
A
3
→
 → → →
d) do vetor CG em relação à base  AB, AC, AE ;


F
D
C
B
5. De um losango ABCD sabemos que A(1,0,2), B( 2,−1,2) e a diagonal AC
r
é paralela ao vetor u = (−1,2,2) . Determine as coordenadas dos outros
vértices.
r
r
r r
6. Sabendo que | u |= 2 , | w |= 4 e ( u, w ) = 60° , calcule:
r r
r r r
r
a) | u + w |
b) | proj wr u |
c) u ⋅ (u + w)
r
r
7. Determine o vetor v sabendo que | v |= 3 e que seus ângulos diretores
são agudos e congruentes.
8.
De
um
triângulo
ABC,
sabemos
que
A(1,0,2) , B(3,1,1)
e
→
 2
2
 . Determine a altura do triângulo ABC em relação à
AC ° = 
,0,

2
2


base AC.
→
9.
→
De um triângulo ABC, sabemos que:
→
→
| AB |= 2 , | AC |= 3
e
AB ⋅ AC = 3 3 . Determine a área deste triângulo.
10. Sejam AB, AD, e AE arestas de um paralelepípedo retângulo de volume
→
 2
2
.
12 u.v. Sabemos que A( 0,0,0), C( 4,1,0) e AB ° = 
,0,

2
2


Determine: a) A área do base ABCD.
b) As coordenadas do vértice E.
42
11. Do paralelepípedo retângulo ao lado, temos:
→
a) A( 2,1,0) , C( 3,2,0) e | BE | = 3 .
E
→
b) Dois dos ângulos diretores de AB são
α = γ = 45° .
Determine o volume deste paralelepípedo.
D
C
A
12. De um tetraedro ABCD sabemos que:
B
→
a) A( 4, 0, 3), B(−8, 4, 1), D(3, − 1, 0) e | AC |= 2 2 .
→
b) Os ângulos diretores de AC são α = γ = 45° .
Determine o volume deste tetraedro.
→
→
→
13. Dados os vetores OA = (1, y, 2 ), OB = (2, 0, 1 ) e OC = (0, 3, 1 ) ,
determine o valor de y para que a altura do tetraedro OABC, em relação à
1
base OBC, seja igual a u. c.
7
14. De um paralelepípedo de base ABCD sabemos que:
a) A(0 ,1 ,1), B(2, 0, 1) e C(-1, 1, 0) ;
→
b) Os ângulos diretores de AE são agudos e α = 60° e β = 45° .
Determine as coordenadas de vértice E, para que o volume deste
paralelepípedo seja igual a 4 2 u.v.
15. De um tetraedro ABCD, sabemos que:
→
→
a) A(0,0,0), D(1,5,t); t ∈IR e AB ⋅ AC = 8 ;
→
→
1 3 
b) AB° = (1,0,0) e AC° =  ,
,0  ;
2
2


c) o triângulo ABC é equilátero.
Determine as coordenadas do vértice D para que o volume deste tetraedro
8 3
seja igual a
u.v.
3
43
RESPOSTAS
Sequência I
2 1 2
b) 3 e  ,− , 
3 3 3
5. a) 1 e 0
c) arc cos
5x + 5y 

d)  x, y,
; x, y ∈ IR e x ≠ 0 ou y ≠ 0
2 

f) (0,0,0)
g)
6
e 90°
54
1
 5 5
e)  , ,− 
 54 54 27 
2 1 2
 2 1 2
h)  ,− ,  ou  - , ,− 
3 3 3
 3 3 3
1
3
i) (6,-3,6) ou (-6,3,-6)
 3 5 3 10 3 5 

j) 
,
,

2
2
2


l) (12,-6,15)
 8 485 14 485 15 485 
 8 485 14 485 15 485 
 ou 

m)  −
,
,

 485 ,− 485 ,− 485 
485
485
485




p) ( −4,2,−4)
485
u.a.
2
q)
r) 15
s) 60 u.v.
Sequência II
 2 1 1
1. t , , ; t ∈ IR *
 3 3 3
→
(
2. a) R = 75 3 + 90 2 , − 5 − 90 2
→
4. a) AC = (0,3,3)
b) 1
(
b) R = 60 3 − 120, − 40
→
b) E(5,1,0) c) CG = (0,0,1)
5 4 2
 2 1 2
5. C ,− ,  e D ,− , 
 3 3 3
 3 3 3
6. a) 2 7
)
→
c) 8
→
)
d) AL = (3,2,0)
44
r
7. v = (1,1,1)
8. h =
(
3
9. S = u.a.
2
 1 4 1
1 4 1
b) E − , ,  ou E ,− ,− 
 3 3 3
 3 3 3
10. a) S = 6 2 u.a.
11. V =
22
u.c.
2
3 3
u.v.
2
12. V =
)
14. E 2, 2 2 + 1, 3
2
u.v.
3
13. y = 4 ou y = 5
15. D(1,5,2) ou D(1,5, −2)
¶