Distância entre dois pontos, média e mediana
1. (Pucrj 2014) Considere o quadrado ABCD como na
figura. Assuma que A  (5,12) e B  (13,6).
a) Determine a medida do lado do quadrado ABCD.
b) (modificado) Determine as coordenadas do centro e o raio
do círculo inscrito no quadrado ABCD.
2. (Ufg 2014) Um caçador de tesouros encontrou um mapa que indicava a localização exata
de um tesouro com as seguintes instruções:
“Partindo da pedra grande e seguindo 750 passos na direção norte, 500 passos na direção
leste e 625 passos na direção nordeste, um tesouro será encontrado.”
Para localizar o tesouro, ele utilizou um plano cartesiano, representado pela figura a seguir.
Neste plano a escala utilizada foi de 1: 100, as medidas são dadas em centímetros e o ponto A
representa a pedra grande indicada nas instruções.
Considerando que um passo mede 80 cm, encontre as coordenadas, no plano cartesiano, do
ponto onde se encontra o tesouro e calcule a distância percorrida, em metros, pelo caçador de
tesouros para encontrá-lo.
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3. (Ufsc 2014 - modificada) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
Para a transmissão da copa do mundo de 2014 no Brasil, serão utilizadas câmeras que ficam
suspensas por cabos de aço acima do campo de futebol, podendo, dessa forma, oferecer
maior qualidade na transmissão. Suponha que uma dessas câmeras se desloque por um plano
paralelo ao solo orientada através de coordenadas cartesianas. A figura abaixo representa o
campo em escala reduzida, sendo que cada unidade de medida da figura representa 10 m no
tamanho real.
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
a) Os pontos (7, 4), (4, 2) e (10, 6) não são colineares.
b) No tamanho real, a área do círculo central do campo de futebol é igual a 100 π m2 .
4. (Uea 2014) Num plano cartesiano, sabe-se que os pontos A, B (1, 2) e C (2, 3) pertencem a
uma mesma reta, e que o ponto A está sobre o eixo Oy. O valor da ordenada de A é
a) 0.
b) 3.
c) – 1.
d) 2.
e) 1.
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5. (Unesp 2014) Chegou às mãos do Capitão Jack Sparrow, do Pérola Negra, o mapa da
localização de um grande tesouro enterrado em uma ilha do Caribe.
Ao aportar na ilha, Jack, examinando o mapa, descobriu que P1 e P2 se referem a duas pedras
distantes 10 m em linha reta uma da outra, que o ponto A se refere a uma árvore já não mais
existente no local e que:
(a) ele deve determinar um ponto M1 girando o segmento P1A em um ângulo de 90° no sentido
anti-horário, a partir de P1;
(b) ele deve determinar um ponto M2 girando o segmento P2A em um ângulo de 90° no sentido
horário, a partir de P2;
(c) o tesouro está enterrado no ponto médio do segmento M1M2.
Jack, como excelente navegador, conhecia alguns conceitos matemáticos. Pensou por alguns
instantes e introduziu um sistema de coordenadas retangulares com origem em P1 e com o
eixo das abscissas passando por P2. Fez algumas marcações e encontrou o tesouro.
A partir do plano cartesiano definido por Jack Sparrow, determine as coordenadas do ponto de
localização do tesouro e marque no sistema de eixos inserido no campo de Resolução e
Resposta o ponto P2 e o ponto do local do tesouro.
6. (G1 - ifsp 2014) Um triângulo é desenhado marcando-se os pontos A(3;5), B(2;– 6) e C(–
4;1) no Plano Cartesiano. O triângulo A’B’C’ é o simétrico do triângulo ABC em relação ao eixo
y. Um dos vértices do triângulo A’B’C’ é
a) ( 3 ; 5 ).
b) ( –2 ; 6 ).
c) (– 2 ; – 1 ).
d) ( – 4 ; 5 ).
e) ( 4 ; 1 ).
7. (Uem 2014) Uma chapa plana, com densidade homogênea, tem a forma de um quadrilátero
cujos vértices são os pontos A = (0,0), B = (1,1), C = (2,1) e D = (3,0). Suponha que essa placa
foi obtida pela união de duas placas triangulares ABC e ACD. Considerando essas placas e os
conhecimentos relativos à determinação do centro de massa de figuras planas, assinale o que
for correto.
01) Os centros de massa das placas triangulares ABC e ACD são formados pelos seus
 2
5 1
baricentros, que são, respectivamente, os pontos  1,  e  ,  .
 3
3 3
02) A massa da chapa triangular ACD é o triplo da massa da chapa triangular ABC.
3
04) O centro de massa da chapa ABCD deve estar sobre a reta vertical x  , pois essa reta é
2
um eixo de simetria da chapa.
08) Em qualquer quadrilátero, o centro de massa é dado pelo ponto de interseção de suas
diagonais.
16) O centro de massa de uma chapa plana formada pela união de duas outras chapas planas
é sempre o ponto médio do segmento de reta que une seus respectivos centros de massa.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) A medida do lado do quadrado é igual a
d(A, B)  (13  5)2  (6  12)2
 64  36
 10 u.c.
 5  19 12  14 
b) O centro do círculo é o ponto médio da diagonal AC, ou seja, 
,
 (12, 13), e
2 
 2
seu raio mede a metade do lado do quadrado, isto é, 5.
Resposta da questão 2:
750  0,8  600m, 500  0,8  400m e 625  0,8  500m.
k  500  cos 45  500 
2
 250 2
2
Distância percorrida: 600  400  500  1500m.
Coordenada do ponto T.
xT  400  250 2
yT  600  250 2
Resposta da questão 3:
a) Incorreto. Os pontos (7, 4), (4, 2) e (10, 6) são colineares, pois
7 4 10 7
 14  24  40  (16  20  42)  0.
4 2 6 4
b) Correto. A área do círculo central é igual a π  102  100π m2 .
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Resposta da questão 4:
[E]
O ponto A é da forma (0, k), como os pontos A, B e C estão alinhados, temos:
0 k 1
1 2 1  0  2k  3  4  k  0  k  1
2 3 1
Resposta da questão 5:
ΔP1BM1  ΔACP1(LAA o )  P1B  AC  a e P1C  b
ΔACP2  ΔM2DP2 (LAAo )  DP2  a e M2D  10  b
Logo, M1  (a,b) e M2 (10  a,10  b).
Calculando as coordenadas do ponto M
médio do segmento M1 e M2, temos:
xM 
a  10  a
b  10  b
 5 e yM 
5
2
2
Logo, o ponto médio do segmento de
extremos M1 e M2 é M(5,5).
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Resposta da questão 6:
[E]
Considerando que o simétrico de um ponto P( x,y) em relação ao eixo y é P’(–x,y), temos:
A(3,5), então A’=(–3,5)
B(2,–6), então B’(–2,–6)
C(–4,1), então C’(4,1)
Logo, a alternativa [E] é a correta.
Resposta da questão 7:
01 + 02 + 04 = 07.
[01] Verdadeira.
 0  1  2 0  1  1  2 
,
 1, .
Baricentro da placa ABC: 
3
3   3 

 0  2  3 0  1 0   5 1 
,
Baricentro da placa ACD: 
   3 , 3 .
3
3

 

[02] Verdadeira, pois a razão entre as áreas é 3.
3 1
SΔ(ACD)
 2 3
SΔ(ABC) 1 1
2
[04] Verdadeira, pois x = 3/3 é a mediatriz do segmento BC.
[08] Falsa. O centro de gravidade do quadrilátero abaixo não é a intersecção de suas
diagonais.
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[16] Falsa. Observe a figura abaixo.
Baricentro do triângulo AOB: (-2,1)
Baricentro do triângulo: AOC: ( 1,1)
Ponto médio de G1G2: ( -1/2,1)
Baricentro do triângulo ABC: (-3/2,1)
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