3
Modelo Matemático
A mecânica dos fluidos é, no vasto campo da mecânica aplicada, a
disciplina que se dedica ao estudo do comportamento dos fluidos, em repouso e
em movimento. A disciplina da mecânica dos fluidos que estabelece as leis que
regem o movimento dos fluidos é chamada hidrodinâmica.
O estudo do movimento dos fluidos já vem sendo desenvolvido há séculos,
a primeira tentativa de descrever as equações de movimento dos fluidos foi feita
por Leonard Euler, considerado um dos fundadores da hidrodinâmica. Porém,
somente no século XIX o estudo ganhou força com o desenvolvimento das
equações de Navier-Stokes, a partir dos trabalhos pioneiros dos franceses
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Claude Navier (1822) e Siméon Denis Poisson (1829) e do inglês George Stokes
(1845) (Fortuna, 2000).
A condição física de um fluido é totalmente determinada se forem
conhecidas as componentes ,
,
e
e
da velocidade, relativas ao eixo cartesiano
respectivamente, assim como os valores da densidade
e da pressão ,
para qualquer tempo
de todos os pontos ocupados pelo fluido. Há, portanto
cinco incógnitas ( , ,
, , ) e quatro variáveis independentes ( , , , ) no
problema relativo ao escoamento dos fluidos.
Há ainda dois métodos de abordagem do problema: método de Lagrange e
método de Euler. O primeiro consiste em acompanhar as partículas individuais
em seu movimento ao longo de sua trajetória. O segundo estuda as grandezas
físicas do fluido no decorrer do tempo, em um determinado volume de controle,
fixo no espaço. O método Euleriano é usado na maior parte dos problemas de
fluidos (Kundu & Cohen, 2002).
As equações que modelam o escoamento dos fluidos são baseadas nas
seguintes leis de conservação: conservação da massa, conservação da
quantidade de movimento e conservação da energia. Essas leis podem ser
expressas na forma integral, e nessa forma as expressões podem ser aplicadas
a um volume fixo no espaço ou a um volume material, que consiste das mesmas
partículas fluidas e, no qual a superfície de contorno move-se com o fluido.
Um volume fixo no espaço é chamado de volume de controle, e é um
volume arbitrário no espaço através do qual o fluido escoa. O contorno
Modelo Matemático
39
geométrico do volume de controle é chamado de superfície de controle (Fox &
MacDonalds, 1985).
3.1. Conservação da Massa
O volume de controle usado para deduzir o princípio da conservação da
massa é um cubo infinitesimal de lados
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centro, O, do volume de controle é
,
e
Figura 13. A densidade no
e a velocidade é
.
Figura 13 - Volume de controle em coordenadas retangulares
Para avaliar as propriedades em cada uma das seis faces do volume de
controle, usamos a expansão em série de Taylor em torno de ponto
. Por
exemplo, na face da direita tem-se:
(2)
Desprezando os termos de ordem elevada, obtém-se:
(3)
As expressões, correspondentes ao lado esquerdo do volume de controle,
são:
(4)
Modelo Matemático
40
A lei da conservação da massa estabelece que:
(5)
Para avaliar o primeiro termo da eq. (5), deve-se considerar o fluxo de
massa através de cada uma das seis faces da superfície de controle. Assim, a
taxa liquida de fluxo de massa através da superfície de controle é dada por:
(6)
A massa dentro do volume de controle em qualquer instante é o produto da
massa por unidade de volume,
, e o volume,
. Então, a taxa de
variação de massa dentro do volume de controle é dada por:
(7)
Em coordenadas retangulares a equação diferencial para a conservação
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da massa é:
(8)
Sendo
o
operador
diferencial,
,
em
coordenadas
cartesianas
tridimensionais, definido por:
(9)
Logo:
(10)
Assim a conservação da massa pode ser escrita então como:
(11)
A taxa total de variação,
, de uma variável qualquer,
do fluxo é
geralmente chamada de derivada material (também conhecida como derivada
substancial, derivada da partícula ou derivada total) para enfatizar o fato de que
a partícula é tomada em relação a um elemento fluido, eq. (12). Ela é composta
de duas parcelas: a derivada local
é a taxa local de variação de
em um
dado ponto fixo, e é zero para fluxos permanentes. A segunda parcela
é chamada derivada advectiva, isto porque ela representa a variação de
como
resultado da advecção da partícula de um local para outro, sendo o valor de
diferente (Kundu & Cohen, 2002).
Modelo Matemático
41
(12)
Com isso, pode-se reescrever o termo divergente da eq. (11) da seguinte
forma:
(13)
Logo, define-se a equação da continuidade como:
(14)
Onde o termo
representa a taxa de variação da densidade seguindo
a partícula fluida. Esse termo pode ser diferente de zero devido a variação da
pressão, temperatura ou composição do fluido, tal como a salinidade da água do
mar. O fluido é usualmente chamado de incompressível se essa densidade não
varia com a pressão, caso contrário são denominados compressíveis. Líquidos
são praticamente incompressíveis, entretanto gases são compressíveis. Para
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velocidades inferiores a 100
, as variações absolutas da pressão no fluido
são pequenas. Neste, e em diversos outros casos, a variação da densidade no
fluido também é pequena.
Para fluidos satisfazendo determinadas condições, Boussinesq em 1903
sugeriu que a variação da densidade no fluido pode ser desprezada, exceto nos
termos que contém a parcela da gravidade, onde
& Veronis, 1960). Logo, o termo
é multiplicado por
(Spiegel
, na eq. (14) pode ser desprezado,
neste caso a equação da continuidade é reduzida para a forma incompressível,
dada por:
(15)
sendo o fluido permanente ou não.
3.2. Conservação da Quantidade de Movimento
A lei da conservação da quantidade de movimento pode ser expressa na
forma diferencial aplicando-se diretamente a segunda Lei de Newton em um
elemento de fluido infinitesimal.
Modelo Matemático
42
Considere o movimento de um elemento de fluido infinitesimal conforme
mostrado na Figura 14.
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Figura 14 – Tensões na direção
de um elemento infinitesimal de um fluido
A lei de Newton exige que a força no elemento seja igual à massa
multiplicada pela aceleração do elemento. A soma da força na superfície na
direção
é igual a:
(16)
Simplificando a eq. (16), tem-se:
(17)
Onde
é o volume do elemento infinitesimal. Generalizando, tem-se que a
componente da força de superfície pela unidade de volume do elemento é dado
por:
(18)
Nota-se que na eq. (18) foi usada a propriedade da simetria,
a força de corpo pela unidade de massa, logo,
. Sendo
é à força de corpo por
unidade de volume. Assim, a lei de Newton fornece:
(19)
Modelo Matemático
43
A eq. (19) é, portanto, a equação de movimento que relaciona a aceleração
com a força, e é conhecida como equação de movimento de Cauchy.
Reescrevendo-se a derivada material da eq.(19), tem-se:
(20)
3.3.Modelo Matemático Para as Correntes de Turbidez
As equações para o movimento das correntes de turbidez no contexto
deste trabalho são governadas pela lei de conservação da massa e pela lei da
conservação da quantidade de movimento.
A conservação da massa, eq. (11), para fluidos incompressíveis pode ser
escrita da seguinte forma:
(21)
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Onde
é a velocidade na direção
.
E a lei de conservação da quantidade de movimento, eq. (20), pode ser
escrita como:
(22)
Onde corresponde a direção 1, 2 e 3, é o tempo,
é a força de superfície na direção
é a força de corpo e
do plano perpendicular a direção
e é
dada por:
(23)
Utilizando-se as equações de velocidade média, apenas
interessam, uma vez que a direção
ou
corresponde à direção vertical. Isto faz
com que a força de corpo no lado direito da eq. (22) desapareça.
Integrando a eq. (21) e (22) ao longo da altura
do fluxo, e utilizando o
teorema de Leibniz (Abramowitz & Stegun, 1965), tem-se:
(24)
e
Modelo Matemático
44
(25)
Onde os termos com barra significam uma quantidade media na
profundidade. Finalmente, combinando as eq. (24) e (25) obtém-se:
(26)
A eq. (26) é simplesmente a versão 2D da eq. (22). As eq. (24) e (26) são
utilizadas para modelar a evolução da espessura do fluxo e a velocidade do fluxo
respectivamente. Essas expressões são absolutamente gerais, visto que não
fazem nenhuma hipótese com relação a propriedades reológicas, tipo de fluxo
(laminar, turbulento ou granular) ou sobre como a densidade do fluxo varia no
tempo e espaço. Esses fatores são incorporados ao modelo através do termo
que relaciona a tensão no lado direito da eq. (26).
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3.3.1. Tensão de Cisalhamento em Fluxos Newtonianos Turbulentos
A tensão em um fluido Newtoniano é definida pela seguinte relação,
(Acheson, 1990):
(27)
Onde
é a pressào e
é a viscosidade.
Para escoamentos turbulentos, como os considerados neste trabalho, as
velocidades podem ser estendidas como um grupo de médias, isto é, são as
médias das velocidades de uma grande quantidade de fluxos idênticos
avaliados, e
é a viscosidade turbulenta.
Segundo Waltham et al (2008), para correntes de turbidez de baixa
concentração a densidade do fluxo é quase constante, isto é, pode ser
aproximada a densidade da água,
, assim combinando as eq. (23) e (27)
obtém-se:
(28)
Onde
e
é a tensão de cisalhamento
horizontal na direção .
O termo que relaciona a viscosidade turbulenta na eq. (28) é equivalente a
equação da velocidade-difusão, e esta simplesmente suaviza o campo de
velocidades resultante. O coeficiente de difusão é dado por
, este por sua
Modelo Matemático
45
vez depende da velocidade do fluxo e pode ser anisotrópico (Waltham et al,
2008). Entretanto, por simplicidade, esse termo será considerado como um
parâmetro constante na modelagem, escolhido apenas para garantir a
estabilidade numérica.
A altura da lâmina de fluido ambiente é muito maior do que a altura da
corrente de turbidez. Logo, o escoamento é considerado similar ao escoamento
de camada limite. Isto é, como a escala horizontal é muito maior que a
espessura do fluido, pode-se utilizar uma aproximação hidrostática apropriada
para obter o gradiente de pressão hidrostático. Além disso, é considerada a
concentração do fluxo constante. Assim, para o gradiente de pressão
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hidrostático no ponto , Figura 15, tem-se:
Figura 15 - Gradiente de pressão no ponto P
(29)
Sendo a altura
constante ao longo da direção , tem-se o gradiente de
pressão definido por:
(30)
Logo:
(31)
onde
é a aceleração devido à gravidade,
densidade do meio circundante,
é a densidade do fluxo,
é a
é a diferença entre a densidade do
sedimento e a densidade do meio circundante e
é a altura do topo do fluido.
O gradiente de pressão hidrostático ocorre devido à declividade. O fluxo se
move até que o gradiente de pressão seja equilibrado com a tensão de
cisalhamento. Por outro lado, a tensão de cisalhamento, tanto no topo quanto na
base do fluxo, aumenta com a velocidade.
Modelo Matemático
46
A eq. (31) mostra que o gradiente de pressão hidrostático não depende
da declividade da superfície da base, sendo função apenas da declividade do
topo do fluxo e da diferença de densidade entre o meio circundante e o fluxo,
como ilustrado na Figura 16.
Na Figura 16a o mar não se move na direção da declividade da terra.
Porém, na Figura 16b o rio move-se na direção da declividade da terra, conforme
eq. (31).
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(a)
(b)
Figura 16 - Exemplos de gradiente de pressão
Uma aproximação razoável para as correntes de turbidez é assumi-las como
um escoamento permanente, isto porque, tipicamente essas correntes podem
durar longos períodos, o que torna essa hipótese válida. Essas correntes não
são completamente uniformes, uma vez que a largura do canal ou a inclinação
do talude variam com a distância e, o fluxo é influenciado pela entrada ou perda
de água e sedimentos. Porém, como esses fatores variam suavemente ao longo
da distância, a hipótese de escoamento uniforme pode ser uma boa
aproximação local (Waltham, 2008). Assim, para escoamentos permanentes e
uniformes, a tensão gravitacional é balanceada puramente pelo atrito, logo:
(32)
onde
é a tensão de cisalhamento,
e o meio circundante,
é a declividade e
é a diferença de densidade entre o fluxo
é a aceleração devido à gravidade,
é a altura do fluxo,
é a densidade do fluxo. Sendo a gravidade reduzida
definida como:
(33)
Substituindo a eq. (33) na eq. (32) tem-se:
(34)
Modelo Matemático
47
A tensão de cisalhamento tem componentes na base e no topo do fluxo,
porém iremos adotar que a tensão na base é dominante. O sinal negativo na eq.
(34) indica que a tensão de cisalhamento atua na direção contrária a direção da
velocidade.
Segundo Duncan et al (1960), a tensão de cisalhamento na base pode ser
representada em termos da velocidade, essa teoria é conhecida como MixingLength (vide Apêndice A). O primeiro passo é representar a tensão por meio de
uma velocidade de atrito equivalente,
, dada por:
(35)
Combinando as eq. (34) e (35), tem-se:
(36)
Dentro da camada limite turbulenta, próximo à base do fluxo, a velocidade de
atrito ou velocidade de cisalhamento é relacionada com a velocidade do fluxo
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através da lei da parede (Duncan et al, 1960).
(37)
onde
é a constante de Von Kármán, que para água limpa é 0,41,
acima da base da parede, ou superfície sólida, enquanto que
e
é a altura
definem as
faixas de profundidade da camada limite. A altura acima da base da parede até a
base da camada limite podem ser diretamente relacionadas com a rugosidade
da superfície desde que a espessura da parede seja inferior a
(Raudkivi,
1998).
Figura 17 - Esquema do perfil de velocidades próximo à parede
A altura do topo da camada limite pode ser estimada através de
experimentos de laboratório. Segundo Kneller et al (1999), a espessura
fracionária da camada limite,
, é em torno de 0.05, Figura 17.
Modelo Matemático
48
A velocidade média na camada limite é obtida integrando-se a eq. (37) e
assumindo
.
(38)
Acima da camada limite Kneller et al (1999) mostraram experimentalmente
que o perfil de velocidades aproxima-se muito bem de uma função gaussiana.
Entretanto, para uma maior generalização, assim como, a fim de se obter uma
simplicidade matemática, a média das velocidades na parte superior do fluxo
pode ser representada pela velocidade no topo da camada limite multiplicada por
uma constante.
(39)
Onde
é a média das velocidades na parte superior do fluxo e
é a uma
constante de ordem um. Combinando a eq. (38) e (39), tem-se a velocidade
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média ao longo da altura de todo o fluxo.
(40)
Onde
é uma nova contante de ordem um.
Assim, combinando as eq. (35) e (40), tem-se:
(41)
Para o caso de fluxos 2D considerado neste trabalho, a eq. (41) pode ser
generalizada para:
(42)
onde
é velocidade média, isto é,
.
Assim a fricção basal é controlada por duas constantes:
um valor unitário e
no qual assume-se
que é fortemente relacionada com a rugosidade da
superfície. Essa aproximação utilizada para calcular a tensão de atrito basal é
formalmente equivalente a lei de fricção de Chézy, exceto pelo fato do
coeficiente de Chézy resultante ter uma fraca dependência com a espessura do
Modelo Matemático
49
fluxo e, mais importante, esta é diretamente relacionada com um parâmetro
potencialmente qualificável, a rugosidade da superfície.
3.3.2. Transporte de Sedimentos e Deposição de Partículas
O espalhamento de partículas pelo movimento molecular aleatório
(movimento Browniano) e pela turbulência é referido como difusão ou dispersão.
Por outro lado, aquele devido ao gradiente de velocidades é conhecido como
dispersão convectiva ou gradiente difusivo, embora difusão turbulenta seja
também um gradiente difusivo (Raudkivi, 1998).
De acordo com Raudkivi (1998), para que haja a suspensão de sedimentos
por difusão, o valor quadrático médio ou rms (root mean square) da velocidade
vertical flutuante,
, precisa exceder a velocidade de queda,
(onde
é
avaliado para cada diâmetro de grão). Entretanto, estudos experimentais
conduzidos em laboratório mostram que o valor quadrático médio da velocidade
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vertical flutuante é similar a magnitude da velocidade de cisalhamento.
A taxa de sedimentação,
porém é igual a
onde
, é consequentemente zero para
,
é a concentração do tamanho do grão quando o
fluxo é estacionário. Um modelo matemático simples consistente é dado por:
(43)
A velocidade de queda pode ser obtida utilizando-se um grande número de
formulações diferentes. Porém, neste trabalho, adoto-se a lei de Stokes para
obtenção desta.
Cada diâmetro de grão é então modelado de forma independente usando
uma forma modificada da eq. (24).
(44)
Onde
é a carga de sedimentos associada com o grão k, isto é:
(45)
A altura do fluxo é então recalculada:
(46)
onde
é a concentração total do fluxo. A fim de garantir a consistência com as
hipóteses anteriormente adotadas, esse valor é assumido constante.
Modelo Matemático
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3.4. Resumo das Equações Propostas para as Correntes de Turbidez
Com base no exposto nas seções anteriores, o problema da simulação
numérica para correntes de turbidez e seus depósitos, proposta neste trabalho, é
obtido pela solução das seguintes equações:
(47)
(48)
(49)
A eq. (47) é a equação da continuidade modificada usada para modelar a
evolução da espessura da corrente, enquanto que as eqs. (48) e (49) são as
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equações de movimento utilizadas para modelar a evolução da velocidade.
O lado esquerdo das eqs. (48) e (49) contém os termos advectivos, e os
lado direito contém os temos das forças de pressão e fricção respectivamente.