Aula 24: Dinâmica de um sólido: Movimento geral de um peão simétrico.
Movimento geral de um peão simétrico
Vamos considerar o movimento de um peão, girando em torno do seu eixo de
simetria, sobre um plano suficientemente rugoso de tal forma que não ocorra
deslizamentos. Dessa forma, o movimento ocorre em torno de um ponto fixo O coincidindo
com o ponto de contato. O problema, então, é determinar o movimento de um corpo rígido
de revolução sujeito a um campo gravitacional uniforme, quando um ponto sobre o eixo de
simetria, geralmente diferente do centro de massa, está fixo num sistema inercial. O modelo
matemático em si representa uma série de sistemas físicos, incluindo o peão, uma variedade
de instrumentos de navegação, a Terra, etc. Esses são exemplos de sistemas giroscópicos,
assim chamados porque exibem o comportamento peculiar característico do giroscópio
(instrumento de navegação). Escolhemos o peão simétrico para desenvolver uma teoria
matemática que explana o fenômeno do movimento giroscópico.
O movimento de um peão pode ser descrito adequadamente pelos ângulos de
Euler, ψ , θ e ϕ , como mostrado na Figura 39. O espaço inercial é definido pelos eixos X, Y
e Z, com a origem O sendo o contato com a ponta do peão. Devido ao fato do campo
gravitacional ser uniforme, o centro de gravidade CG, ponto no qual age a resultante das
forças gravitacionais, coincide com o centro de massa que se encontra a uma distância l do
ponto O ao longo do eixo de simetria z. A força da gravidade Mg é paralela ao eixo inercial
Z mas em sentido contrário, formando um torque positivo em torno do eixo nodal ξ .
Fig. 39 – Movimento de um peão simétrico.
Um fato a se destacar é que das três coordenadas que descrevem o movimento
duas delas, ψ e ϕ , são cíclicas. Como será visto pelo aluno no curso de mecânica analítica,
existe uma outra abordagem de problemas da mecânica em termos da energia cinética e
potencial. Essa abordagem é devido a Lagrange e é baseada nas coordenadas, velocidades e
momentos generalizados, coordenadas estas que, em número, são iguais ao número de
graus de liberdade do sistema. A figura de mérito central é o Lagrangiano, que é a
70
diferença entre a energia cinética e potencial. Utilizando o Lagrangiano é possível escrever
as equações de movimento para o sistema.
Uma coordenada que não aparece no Lagrangiano é chamada ignorável ou cíclica.
As coordenadas ignoráveis são geralmente coordenadas angulares, daí se aplica a
denominação de cíclicas. Se uma coordenada é cíclica o momento generalizado associado a
esta coordenada, que é a derivada do Lagrangiano em relação à velocidade generalizada da
coordenada, se conserva. E a equação do momento generalizado associado à coordenada
cíclica é a primeira integral do movimento, correspondendo a lei da conservação do
momento.
A seguinte abordagem Lagrangiana se mostra mais vantajosa que o uso das
equações de Euler. Devido a simetria do corpo é mais simples expressar a energia cinética
em termos das velocidades angulares do corpo em torno dos eixos nodais ξ , η , ζ , onde ξ ,
como já foi dito, pode precessar sem sair do plano inercial XY, e ζ coincide com o eixo de
simetria. Denotando o momento de inércia em torno do eixo de simetria por C e o momento
de inércia em torno de qualquer eixo transversal por A, a energia cinética rotacional tem a
forma
2T = A(ωξ2 + ωη2 ) + Cωζ2 ,
(231)
onde as componentes de velocidade do corpo são dadas por ωξ = θ& , ω η = ψ&senθ e
ω = φ& + ψ&cosθ . Segue que
ζ
(
) (
)
2
2T = A θ& 2 + ψ& 2 sen 2θ + C φ& + ψ&cosθ .
(232)
Escolhendo o plano XY como plano de referência, a energia potencial é
simplesmente
V = Mgl cos θ .
(233)
A expressão para o Lagrangiano fica
L = T −V =
(
)
(
1
1 &2
A θ + ψ& 2 sen 2θ + C φ& + ψ&cosθ
2
2
)
2
− Mglcosθ .
(234)
Observe que as variáveis ψ e ϕ são cíclicas uma vez que não estão presentes no
Lagrangiano. Isso proporciona duas primeiras integrais do movimento expressando a
conservação dos momentos conjugados. Esses momentos correspondem aos eixos em torno
dos quais ocorrem as rotações ψ e ϕ , ou seja, os eixos Z e z. A razão física para a
conservação desses momentos é que não há torques em torno dos eixos associados. O único
torque atuando sobre o sistema está em torno do eixo nodal ξ , e este é o eixo em torno do
qual ocorre a rotação θ . Além do mais, como este é um sistema natural, ou seja, a energia
cinética é uma função homogênea onde todos os termos apresentam o produto de duas
velocidades generalizadas e conservativo, ou seja, o tempo não está explícito no
71
Lagrangiano, então, há uma terceira primeira integral do movimento consistindo da energia
total do sistema E, que é conservada.
As integrais de momento são
(
)
∂L
= Aψ&sen 2θ + C φ& + ψ&cosθ cosθ = βψ ,
∂ψ&
∂L
pφ ≡
= C φ& + ψ&cosθ = Cω z = β φ ,
∂φ&
pψ ≡
(
)
(235)
(236)
onde βψ e β φ são constantes que dependem das condições iniciais. A Equação (236)
implica que a velocidade angular do corpo em torno do eixo de simetria é constante.
Vamos, agora, construir a função R dada por
β φ2
1 & 2 (βψ − β φ cosθ )
Aθ −
−
− Mglcosθ ,
2C
2
2 Asen 2θ
2
R ≡ L − βψ ψ& − β φ φ& =
(237)
conhecida como Routhiano do sistema. Observe que o Routhiano contém as constantes
βφ e βψ ao invés das velocidades associadas φ& e ψ& . O Routhiano pode ser usado como um
Lagrangiano para obter as equações de movimento para as coordenadas restantes,
ignorando as coordenadas cíclicas. Então, para o nosso problema do peão, a única
coordenada restante é a θ . Da teoria, a única equação de movimento descrevendo o
sistema pode ser obtida da seguinte forma
d  ∂R  ∂R
= 0,

−
dt  ∂θ&  ∂θ
(238)
de tal forma que o sistema pode ser interpretado como um sistema tendo apenas um grau de
liberdade com energia cinética 12 Aθ& 2 e a energia potencial equivalente
(β
− β φ cosθ )
2
ψ
2 Asen 2θ
+
β φ2
2C
+ Mglcosθ .
A energia total será
β φ2
1 & 2 (βψ − β φ cosθ )
E = T + V = Aθ +
+
+ Mglcosθ ,
2C
2
2 Asen 2θ
2
(239)
que depende apenas de θ e θ& . A Equação (239) pode ser reescrita na seguinte forma,
2
2 
 2
β φ2  2Mgl
 βψ β φ

2
2
&




cosθ sen θ = θ sen θ + 
cosθ  .
−
−
 E−

A
A
2C 
 A

 A 

72
(240)
Definindo α ≡
2
A




2

E − 2βCφ  ; β ≡

2 Mgl
A
; a≡
βψ
A
; b≡
βφ
A
e u ≡ cos θ , tem-se que a
Equação (240) torna-se
2
u& 2 = (α − βu )(1 − u 2 ) − (a − bu ) ,
(241)
que leva a solução
t=∫
u (t )
u (0 )
du
(α − βu )(1 − u 2 ) − (a − bu )2
,
(242)
que representa uma integral elíptica. A solução matemática resultante da Equação (242) é
difícil de interpretar. Felizmente, não é necessário resolver a Equação (242) para avaliar o
comportamento do peão e, genericamente falando, de outros sistemas giroscópicos. O
exame do polinômio cúbico em u, da Equação (241), fornece muitas informações sobre o
comportamento do sistema.
Vamos denotar o polinômio cúbico por
f (u ) = u& 2 = (α − βu )(1 − u 2 ) − (a − bu ) .
2
(243)
As raízes de f(u) correspondem a pontos de nutação nulos, isto é, θ& = 0 , pois
u& = −θ& sen θ , u& 2 = θ& 2 sen 2 θ e, para qualquer θ ≠ 0 , f (u ) = u& 2 = 0 , se e somente se,
θ& = 0 . Apesar de u = cos θ estar limitado entre ± 1 para o problema físico,
matematicamente u pode-se estender para além dessa região. Para grandes valores de u o
polinômio se comporta como βu 3 e como u → ±∞, f (u ) → ±∞ também. Para u = ±1 o
primeiro termo do polinômio é reduzido a zero, e segue que f (± 1) < 0 , porque o segundo
termo nunca é positivo. Para valores reais de θ e θ& , f (u) = u& 2 > 0 . Conclui-se que, para o
problema físico, u = cos θ , deve estar sempre entre u1 e u2 , intervalo no qual f (u) é
positivo, como mostra a Figura 40. A explicação física para isso é que o eixo de simetria do
peão deve nutar entre a região anular limitada pelos círculos θ1 = cos −1 u1 e θ 2 = cos −1 u2
exceto quando as raízes u1 e u2 coalescem e a nutação reduz a zero.
O movimento pode ser visualizado por meio das coordenadas esféricas ψ e θ do
eixo de simetria. Como essas coordenadas variam, pode-se imaginar o eixo traçando uma
curva sobre uma esfera de raio unitário com origem em O. O tipo de curva traçada pelo
eixo de simetria sobre a esfera depende não somente da nutação θ& mas também da
precessão ψ& . Das Equações (235) e (236), utilizando as definições para a e b, obtém-se a
precessão
ψ& =
a − bu
,
1− u2
(244)
73
Fig. 40 – Equação cúbica representando o movimento de um peão.
e devido a denominador ser quase sempre positivo, o sentido da precessão depende do sinal
de a − bu . Há três casos distintos de particular interesse. Eles diferem na natureza da
precessão nos limites da região anular, que, por sua vez, determina o tipo de curva traçada
pelo eixo de simetria:
1. O sentido da precessão é o mesmo nos dois círculos limitantes, um caso obtido quando
a > bu2 . Este caso é mostrado na Figura (41a).
2. A precessão é zero no círculo limitante superior, que é o caso obtido quando a = bu2 . O
traço forma uma cúspide sobre a esfera de raio unitário, como mostra a Figura (41b),
razão pela qual o movimento do peão é denominado de movimento cuspidal. Este caso
ocorre quando o eixo de simetria do peão girante é abandonado do repouso.
Imediatamente após ter sido abandonado em θ = θ 2 o eixo começa a cair. Como a
energia cinética aumenta em detrimento da energia potencial, o peão começa a adquirir
movimento precessional, atingindo um máximo de velocidade de precessão em θ = θ1 ,
ponto no qual o eixo começa a subir novamente em direção a sua altura original e o
processo continua a repetir. Incentivamos o aluno a demonstrar que o caso das cúspides
invertidas é impossível.
3. O sentido da precessão é diferente nos dois círculos limitantes. Esse caso, mostrado na
Fig. (41c), ocorre quando bu2 > a > bu1 . Isso significa que em θ = θ 2 a precessão é
negativa, enquanto que, em θ = θ1 , ela é positiva. Em certos valores intermediários
θ 2 < θ < θ1 , a precessão é zero, que leva a conclusão que o traço executa laços. Devido
ao fato da precessão média ser diferente de zero, o eixo revoluciona não uniformemente
em torno do eixo vertical Z.
(a)
(b)
(c)
Fig. 41 – Traço do eixo de simetria do peão numa esfera unitária (a oscilação é limitada
entre os ângulos θ1 e θ 2 ). (a) a > bu2 , (b) a = bu 2 e (c) bu2 > a > bu1 .
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O tipo de movimento realizado pelo peão depende das condições iniciais. Para
compreender um pouco mais a natureza do movimento, vamos considerar o caso em que o
peão possui inicialmente uma grande velocidade de rotação, φ&0 , com nutação e precessão
iguais a zero, θ& = ψ& = 0 . Das Equações (235), (236) tem-se
0
0
βψ = Cφ&0 cosθ 0 ,
(245)
β φ = Cφ&0 .
(246)
e
Substituindo a Equação (246) na Equação (245) e sabendo que a =
βψ
A
, b=
βφ
A
,e
u 0 = cosθ 0 , tem-se
a = bu 0 .
(247)
Devido a θ&0 = 0 , segue da Equação (241) que
α = βu 0 ,
(248)
de tal forma que u 0 é raiz da Equação (241). Introduzindo as Equações (247) e (248) na
Equação (241), tem-se
[(
)
]
f (u ) = (u 0 − u ) β 1 − u 2 − b 2 (u 0 − u ) ,
(249)
e é óbvio que as outras duas raízes da cúbica são obtidas da expressão quadrática
u2 −
b2
β
u+
b 2u0
β
−1 = 0 .
(250)
Considerando b 2 >> β , pode-se mostrar que as raízes da Equação (248) são
u1 =
b2
β
− u0 +
e
u2 = u0 −
β
b
2
β
b2
(1 − u ),
2
0
(251a)
(1 − u ),
2
0
(251b)
onde é evidente que u1 > 1 , de tal forma que essa raiz não é de interesse. Por outro lado, da
Equação (251b), tem-se u 2 < u 0 que significa que o peão deve cair antes de levantar
novamente. É também óbvio, examinando a Equação (251b), que um acréscimo na rotação
φ& diminui a região anular, e devido ao fato de u 2 não desvia muito do valor inicial u 0 ,
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conclui-se, da Equação (241) que u não pode ser muito grande. De fato, para mostrar isso,
vamos substituir u por u 0 − ε na Equação (241), onde u 0 é constante e ε é pequeno, e
obter
ε& 2 = ε [(1 − u 02 )β − b 2 ε ] .
(252)
Derivando a Equação (252) em relação ao tempo, obtém-se uma equação
diferencial de segunda ordem que, para as condições iniciais, ε (0 ) = ε& (0 ) = 0 , tem a solução
ε=
β (1 − u 02 )
2b 2
(1 − cosbt ) ,
(253)
enquanto que u& é simplesmente − ε& . Devido ao ângulo θ não mudar apreciavelmente do
seu valor inicial θ 0 , e lembrando que u& = −θ&senθ = −ε& , obtém-se
θ& ≈
βsenθ 0
2b
senbt ,
(254)
implicando que a nutação é harmônica. Com o aumento na velocidade inicial de rotação a
amplitude de nutação diminui e a freqüência b aumenta.
A velocidade de precessão deve também ser relativamente pequena para grandes
velocidades de rotação. De fato, substituindo u por u 0 − ε na Equação (244), obtém-se
ψ& ≈
bε
β
(1 − cosbt ) ,
=
2
1 − u 0 2b
(255)
onde o valor de ε da Equação (253) foi substituído. Então a precessão possui, além de um
termo constante, uma componente harmônica. Como no caso da nutação, a amplitude da
precessão diminui e a freqüência de oscilação aumenta com o aumento na velocidade
inicial de rotação.
Da natureza das Equações (254) e (255), conclui-se que, para o peão que gira
rápido, as componentes harmônicas da nutação e precessão estão defasadas de um ângulo
π / 2 . Além do mais, enquanto a nutação média é zero, para ω z > 0 a precessão média tem
o valor
Mgl
β
(256)
ψ& média =
=
> 0,
2b Cω z
que indica que o eixo do peão, sob balanço, se mantém girando ao redor do eixo vertical.
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