Universidade do Sul de Santa Catarina Física I Disciplina na modalidade a distância Palhoça UnisulVirtual 2011 Fisica I.indb 1 8/5/2015 15:16:10 Créditos Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina UnisulVirtual - Educação Superior a Distância Campus UnisulVirtual Eduardo Aquino Hübler Fabiana Lange Patrício (auxiliar) Fabiano Ceretta Franciele Arruda Rampelotti (auxiliar) Itamar Pedro Bevilaqua Jairo Afonso Henkes Janete Elza Felisbino João Kiyoshi Otuki Jucimara Roesler Lauro José Ballock Luiz Guilherme Buchmann Figueiredo Luiz Otávio Botelho Lento Marcelo Cavalcanti Marciel Evangelista Catâneo Maria da Graça Poyer Maria de Fátima Martins (auxiliar) Mauro Faccioni Filho Michelle Denise D. L. Destri Moacir Fogaça Moacir Heerdt Nélio Herzmann Onei Tadeu Dutra Patrícia Alberton Raulino Jacó Brüning Rose Clér Estivalete Beche Rodrigo Nunes Lunardelli Alice Demaria Silva Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro Diogo Rafael da Silva Edison Rodrigo Valim Fernando Roberto Dias Zimmermann Higor Ghisi Luciano Pedro Paulo Alves Teixeira Rafael Pessi Criação e Reconhecimento de Cursos Diane Dal Mago Vanderlei Brasil Arthur Emmanuel F. Silveira (Gerente) Ana Paula Pereira Francisco Asp Desenho Educacional Gestão Documental Equipe UnisulVirtual Carolina Hoeller da Silva Boeing (Coordenadora) Avaliação Institucional Design Instrucional Logística de Encontros Presenciais Avenida dos Lagos, 41 Cidade Universitária Pedra Branca Palhoça – SC - 88137-100 Fone/fax: (48) 3279-1242 e 32791271 E-mail: [email protected] Site: www.virtual.unisul.br Reitor Unisul Gerson Luiz Joner da Silveira Vice-Reitor e Pró-Reitor Acadêmico Sebastião Salésio Heerdt Chefe de Gabinete da Reitoria Fabian Martins de Castro Pró-Reitor Administrativo Marcus Vinícius Anátoles da Silva Ferreira Campus Sul Diretor: Valter Alves Schmitz Neto Diretora adjunta: Alexandra Orsoni Campus Norte Diretor: Ailton Nazareno Soares Diretora adjunta: Cibele Schuelter Campus UnisulVirtual Diretor: João Vianney Diretora adjunta: Jucimara Roesler Dênia Falcão de Bittencourt Biblioteca Soraya Arruda Waltrick Capacitação e Assessoria ao Docente Angelita Marçal Flores (Coordenadora) Caroline Batista Cláudia Behr Valente Elaine Surian Noé Vicente Folster Patrícia Meneghel Simone Andréa de Castilho Coordenação dos Cursos Adriano Sérgio da Cunha Aloísio José Rodrigues Ana Luisa Mülbert Ana Paula Reusing Pacheco Bernardino José da Silva Charles Cesconetto Diva Marília Flemming Fisica I.indb 2 Ana Cláudia Taú Carmen Maria Cipriani Pandini Carolina Hoeller da Silva Boeing Cristina Klipp de Oliveira Daniela Erani Monteiro Will Flávia Lumi Matuzawa Karla Leonora Dahse Nunes Leandro Kingeski Pacheco Lucésia Pereira Silvana Souza da Cruz Viviane Bastos Acessibilidade Vanessa de Andrade Manoel Avaliação da Aprendizagem Márcia Loch (Coordenadora) Karina da Silva Pedro Lis Airê Fogolari Design Visual Vilson Martins Filho (Coordenador) Adriana Ferreira dos Santos Alex Sandro Xavier Monitoria e Suporte Renato André Luz (Gerente) Marcelo Fraiberg Machado Naiara Jeremias da Rocha Valmir Venício Inácio Adriana Silveira Anderson da Silveira Andréia Drewes André Luiz Portes Bruno Augusto Estácio Zunino Caroline Mendonça Claudia Noemi Nascimento Cristiano Dalazen Ednéia Araujo Alberto Fernanda Farias Jonatas Collaço de Souza Josiane Leal Karla Fernanda Wisniewski Desengrini Maria Eugênia Ferreira Celeghin Maria Isabel Aragon Maria Lina Moratelli Prado Poliana Morgana Simão Priscilla Geovana Pagani Rafael Cunha Lara Tayse de Lourdes Cardoso Gerência de Ensino, Pesquisa e Extensão Relacionamento com o Mercado Gerência de Produção e Logística Secretaria de Ensino a Distância Disciplinas a Distância Enzo de Oliveira Moreira (Coordenador) Gerência Acadêmica Márcia Luz de Oliveira Bubalo Gerência Administrativa Moacir Heerdt Janaina Stuart da Costa Lamuniê Souza Graciele Marinês Lindenmayr (Coordenadora) Aracelli Araldi Hackbarth Daiana Cristina Bortolotti Daiane Teixeira Douglas Fabiani da Cruz Fabiana Pereira Fernando Steimbach Letícia Cristina Barbosa Marcelo Faria Simone Zigunovas Formatura e Eventos Jackson Schuelter Wiggers Logística de Materiais Jeferson Cassiano Almeida da Costa (Coordenador) Carlos Eduardo Damiani da Silva Geanluca Uliana Luiz Felipe Buchmann Figueiredo José Carlos Teixeira Walter Félix Cardoso Júnior Karine Augusta Zanoni Albuquerque (Secretária de ensino) Andréa Luci Mandira Andrei Rodrigues Carla Cristina Sbardella Djeime Sammer Bortolotti Franciele da Silva Bruchado James Marcel Silva Ribeiro Jenniffer Camargo Liana Pamplona Luana Tarsila Hellmann Marcelo José Soares Micheli Maria Lino de Medeiros Rosângela Mara Siegel Silvana Henrique Silva Vanilda Liordina Heerdt Vilmar Isaurino Vidal Secretária Executiva Viviane Schalata Martins Tenille Nunes Catarina (Recepção) Tecnologia Osmar de Oliveira Braz Júnior (Coordenador) André Luis Leal Cardoso Júnior Jefferson Amorin Oliveira Marcelo Neri da Silva Phelipe Luiz Winter da Silva 8/5/2015 15:16:10 Paola Egert Física I Livro didático Design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes 4ª edição Palhoça UnisulVirtual 2011 Fisica I.indb 3 8/5/2015 15:16:10 Copyright © UnisulVirtual 2011 Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição Edição - Livro didático Professor Conteudista Paola Egert Design Instrucional Karla Leonora Dahse Nunes Assistente Acadêmico Lygia Pereira (3ª ed. rev. e atual.) Aline Cassol Daga (4ª edição) Projeto Gráfico e Capa Equipe UnisulVirtual Diagramação Daniel Blass Higor Ghisi (4ª edição) Revisão Papyrus Textos Ltda. ISBN 978-85-7817-342-5 530 E28 Egert, Paola Física I : livro didático / Paola Egert ; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes ; [assistente acadêmico Lygia Pereira, Aline Cassol Daga]. – 4. ed. – Palhoça: UnisulVirtual, 2011. 200 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografia. ISBN 978-85-7817-342-5 1. Física. 2. Energia – Conservação. I. Nunes, Karla Leonora Dahse. II. Pereira, Lygia. III. Título Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul Fisica I.indb 4 8/5/2015 15:16:10 Sumário Apresentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Palavras da professora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 UNIDADE 1 UNIDADE 2 UNIDADE 3 UNIDADE 4 UNIDADE 5 UNIDADE 6 Introdução à física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Movimentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Força e movimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Trabalho e energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Conservação de energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Momento e Colisões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Para concluir o estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Sobre a professora conteudista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Referências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Respostas e Comentários das atividades de autoavaliação. . . . . . . . . . . . . . 171 Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Biblioteca Virtual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Fisica I.indb 5 8/5/2015 15:16:10 Fisica I.indb 6 8/5/2015 15:16:10 Apresentação Este livro didático corresponde à disciplina Física I. O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma e aborda conteúdos especialmente selecionados e relacionados à sua área de formação. Ao adotar uma linguagem didática e dialógica, objetivamos facilitar seu estudo a distância, proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a um aprendizado contextualizado e eficaz. Lembre-se que sua caminhada, nesta disciplina, será acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual, por isso a “distância” fica caracterizada somente na modalidade de ensino que você optou para sua formação, pois na relação de aprendizagem professores e instituição estarão sempre conectados com você. Então, sempre que sentir necessidade entre em contato; você tem à disposição diversas ferramentas e canais de acesso tais como: telefone, e-mail e o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem, que é o canal mais recomendado, pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade. Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior prazer em lhe atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo. Bom estudo e sucesso! Equipe UnisulVirtual. Fisica I.indb 7 8/5/2015 15:16:10 Fisica I.indb 8 8/5/2015 15:16:10 Palavras da professora Caro aluno, Este livro pretende lhe oferecer um entendimento conceitual dos princípios da física e suas aplicações, buscando uma combinação importante para uma descrição do mundo físico ou para uma relação da física com seu dia a dia. Consiste em um livro-texto introdutório que enfatiza os princípios básicos da mecânica, uma das grandes áreas da física. Dois principais objetivos norteiam este livro: apresentar de forma clara e lógica conceitos e princípios básicos da mecânica e corroborar estes com aplicações evidenciadas no mundo real. Todos os gráficos deste livro são de autoria da Professora conteudista desta disciplina. As ciências, e especialmente a física, são importantes para a sociedade moderna em que vivemos. Através do conhecimento científico podemos transformar nossas vidas, fazendo com que sejam diferentes das vidas que levavam nossos antepassados, e mais ainda, podemos produzir transformações nas vidas de nossos filhos. Os princípios fundamentais da ciência nos cercam e afetam as nossas vidas. E é através da ciência que podemos construir uma sociedade melhor. Espero que este livro desperte o interesse e lhe forneça o conhecimento que me propus a oferecer ao produzi-lo. Os assuntos que aqui serão discutidos constituem o fundamento em que se basearam os pesquisadores para construir a sociedade moderna. Assim, a Física I, ou o estudo dos princípios básicos da mecânica, deverá lhe proporcionar reflexões sobre questões científicas presentes em sua vida. “A ciência foi inventada pelos homens e pelas mulheres que desde cedo foram sensíveis ao Universo e ao lugar que nele ocupavam.” David Bohm e F. David Peat Prof.ª Paola Egert Fisica I.indb 9 8/5/2015 15:16:10 Fisica I.indb 10 8/5/2015 15:16:10 Plano de estudo O plano de estudos visa a orientá-lo no desenvolvimento da disciplina. Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos. O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam, portanto, a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação. São elementos desse processo: o livro didático; o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA); as atividades de avaliação (a distância, presenciais e de autoavaliação); o Sistema Tutorial. Ementa da disciplina Cálculo vetorial. Movimento num plano. Força e movimento. Trabalho e energia. Lei da conservação da energia. Colisões. Carga horária 60 horas-aula - 4 créditos. Fisica I.indb 11 8/5/2015 15:16:10 Objetivo Geral Capacitar o aluno para analisar, compreender e descrever os movimentos de objetos com e sem aceleração, tanto em uma, quanto em duas e em três dimensões. Compreender as relações entre as forças aplicadas sobre um sistema e o movimento produzido neste, bem como a descrição deste movimento a partir do princípio da conservação de energia. Saber aplicar estes conceitos na solução de modelos representativos de situações reais. Específicos Estudar e aplicar conceitos, leis e fenômenos físicos na área da mecânica clássica; propor soluções a problemas em física; equacionar problemas com fundamentos de cálculo diferencial; relacionar leis e fenômenos físicos com problemas em nosso cotidiano. Conteúdo programático/objetivos Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias à sua formação. Neste sentido, veja a seguir as unidades que compõem o livro didático desta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos. Unidades de estudo: 6 Unidade 1 – Introdução à física A física é uma ciência baseada em observações experimentais e análises matemáticas. Assim, esta unidade traz conceitos e técnicas que serão utilizados em todo o livro, como padrões de medidas de grandezas físicas, sistemas de unidades e operações com grandezas escalares e vetoriais. A unidade fornece ao aluno informações acerca da linguagem e dos métodos matemáticos importantes para o estudo da física. 12 Fisica I.indb 12 8/5/2015 15:16:10 Unidade 2 – Movimentos Esta unidade discute as grandezas físicas fundamentais para a descrição de movimentos. Estas grandezas são aplicadas a uma, duas e três dimensões e estes movimentos são tratados sem qualquer referência às suas causas. Aqui também os conceitos físicos são trabalhados com a utilização do cálculo diferencial servindo como aplicação aos métodos matemáticos trabalhados nas disciplinas de cálculo. Por fim, o comportamento das grandezas é descrito através de gráficos, fornecendo ao aluno mais uma ferramenta para a descrição de um fenômeno físico. Unidade 3 – Força e movimento Para a descrição das causas de um movimento, faz-se necessário entender os conceitos de massa e força e saber interpretar e aplicar as três leis de Newton, que relacionam a aceleração de um corpo a sua massa e às forças externas que atuam sobre ele. Assim, nesta unidade são trabalhados tais tópicos como forma de discutir alguns princípios físicos básicos da mecânica e a teoria do movimento dos corpos. Unidade 4 – Trabalho e energia A unidade apresenta os conceitos de trabalho e energia como um caminho a ser percorrido no estudo dos movimentos. Mostra a relação existente entre trabalho e energia e de que forma estes conceitos podem nos auxiliar na descrição de um dado movimento. Unidade 5 – Conservação de energia O princípio da conservação de energia é trabalhado na unidade. São discutidos diferentes tipos de energia encontrados na natureza, procurando dar ênfase às energias associadas aos movimentos dos corpos e mostrar as conversões de energias ocorridas nestes. A unidade também se propõe a ressaltar a importância da energia para a sociedade moderna. Unidade 6 – Momento e Colisões Esta unidade traz a lei da conservação do momento e da energia como forma de descrever as colisões entre dois corpos. Conceitos como impulso e quantidade de movimento durante uma interação são discutidos. 13 Fisica I.indb 13 8/5/2015 15:16:10 Agenda de atividades/Cronograma Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar periodicamente a sala da disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura, da realização de análises e sínteses do conteúdo e da interação com os seus colegas e tutor. Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço a seguir as datas com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA. Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da disciplina. Atividades obrigatórias Demais atividades (registro pessoal) 14 Fisica I.indb 14 8/5/2015 15:16:10 Unidade 1 Introdução à física Objetivos de aprendizagem Conhecer os padrões de medidas físicas e determinar uma medida física a partir de um padrão. Conhecer o sistema internacional de unidades (SI) que determina as normas e padrões de medidas no Brasil. Avaliar a precisão de uma medida física. Estimar a ordem de grandeza de uma medida física. Diferenciar as grandezas escalares e vetoriais e revisar as operações com vetores, importantes para o estudo da física. 1 Seções de estudo Seção 1 Origem da física Seção 2 Padrões de medidas físicas e sistemas de unidades Seção 3 Precisão, algarismos significativos e notação científica Seção 4 Grandezas escalares e grandezas vetoriais Fisica I.indb 15 8/5/2015 15:16:10 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Nesta unidade você estará se preparando para iniciar o estudo da mecânica e também de outras áreas da física. Conteúdos como padrões de medidas, sistema internacional de unidades, grandezas escalares e grandezas vetoriais compõem a unidade. No decorrer do estudo, você também terá oportunidade de compreender a precisão e algarismos significativos de uma medida física, bem como regras aplicadas à notação científica. Sendo a física uma ciência baseada em observações experimentais e análises matemáticas realizadas sobre medidas físicas, é de fundamental importância que você desenvolva o estudo da unidade com muita atenção, pois os conhecimentos que ela lhe trará são imprescindíveis para a compreensão das demais unidades e de qualquer área da física que você se proponha a estudar. Seção 1 – Origem da física A física trata de um campo fundamental de conhecimento da ciência, com princípios muitas vezes aplicados a diferentes campos científicos. Procura descrever sistemas que vão dos mais complexos, como buracos negros, aos mais simples, como aqueles encontrados na engenharia. Exemplos: escoamentos de fluidos, trocas térmicas entre os corpos, propagação de ondas sonoras, etc. A física, como ciência, busca descrever uma compreensão sobre fenômenos que ocorrem em nosso universo. Ela surgiu devido à curiosidade da humanidade sobre os mistérios da natureza. Há algum tempo, desejou-se voar, submergir, pisar na lua, construir máquinas que pudessem atender às necessidades da sociedade. Hoje, talvez nossos desejos possam ser outros, como encontrar a solução para o problema do aquecimento de nosso planeta, ou ainda para o problema da crise energética. Não 16 Fisica I.indb 16 8/5/2015 15:16:11 Física I importa a origem da motivação. A verdade é que tanto no passado, como nos dias de hoje, buscamos na ciência a solução para nossos problemas e um caminho para podermos encontrar realizações, conforto e melhoria da qualidade de nossas vidas. Se hoje podemos adquirir uma formação sem sair de casa, isto é devido aos avanços tecnológicos na área da computação e da informação. Podemos ilustrar o papel da ciência neste contexto por meio do desenvolvimento da fibra óptica – a maravilha que revolucionou os sistemas de comunicação. Acompanhar as mudanças decorrentes do avanço tecnológico significa estudar sobre suas aplicações e, mais do que isto, compreender as idéias em que estão fundamentadas estas tecnologias. E estudar estes fundamentos, muitas vezes, significa estudar a física e suas aplicações! Seção 2 – Padrões de medidas físicas e sistemas de unidades Quando temos como meta aprender ou estudar física, precisamos aprender a medir as grandezas que aparecem nas leis da física. Entre elas estão: 1. o comprimento; 2. o tempo; 3. a massa; 4. a temperatura; 5. a pressão etc. Estas grandezas devem ser cuidadosamente definidas. Não somente o número que expressa o valor da medida deve ser preciso, mas também a medida deve ser referida a um padrão comum, como o metro. Frequentemente, as medidas conterão mais de um desses padrões. As velocidades, por exemplo, podem ser medidas em unidades de metros por segundo, mas os metros e segundos devem ser referidos a um metro e a um segundo definidos como padrão. Unidade 1 Fisica I.indb 17 17 8/5/2015 15:16:11 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 1: Imagine que alguém lhe diga que o viaduto que está sendo construído em seu bairro terá 16 pés de altura. O que isto significa? A que altura este viaduto está sendo construído? A dificuldade em responder a essa questão está no fato de que medir uma altura corresponde a verificar quantas vezes um comprimento-padrão cabe nessa altura. A medida de qualquer grandeza envolve a comparação entre a grandeza e um valor unitário precisamente definido da mesma grandeza. No caso apresentado, o padrão usado é o pé, uma unidade de medida que, apesar de não ser usada no Brasil, é comumente empregada na Inglaterra. Os padrões adotados em nosso país baseiam-se no Sistema Internacional de Unidades (SI), que utiliza o metro para os comprimentos, o segundo para os intervalos de tempo e o quilograma para as massas. Um padrão deve apresentar as seguintes características: ser imutável, de modo que medidas feitas hoje possam ser comparadas com medidas feitas no próximo século; ser acessível, de modo que qualquer laboratório possa reproduzi-lo; ser preciso, de modo a atender a qualquer grau de precisão tecnologicamente possível; ser universalmente aceito, de modo que os resultados obtidos em diferentes países sejam comparáveis. Como exemplo, consideremos a definição dos padrões de tempo, comprimento e massa. Estas unidades são as unidades fundamentais para o estudo da mecânica. Acompanhe! 18 Fisica I.indb 18 8/5/2015 15:16:11 Física I Tempo – Um segundo é 9.192.631.770 vezes o período de oscilação da radiação do átomo de césio (Cs133). Comprimento – Um metro é o comprimento do caminho percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 segundos. Massa – Um quilograma é a massa de um cilindro de platina-irídio guardado no Bureau Internacional de Pesos e medidas em Sèvres, França. Um sistema de unidades compreende: I. os padrões; II. um método de formação de múltiplos e submúltiplos; III. definições de grandezas derivadas, como velocidade, aceleração, força, energia etc. O Sistema Internacional de Unidades (SI) define o quilograma (kg), o metro (m) e o segundo (s) como unidades básicas, e tem um método geral para formação de múltiplos e submúltiplos através de prefixos que modificam as unidades e derivadas, mediante multiplicação por potências de 10. Assim, o Sistema Internacional (SI) é um sistema decimal. No Quadro 1.1 você observa a relação dos prefixos e suas abreviações que podem ser usados em qualquer unidade do SI. Outros sistemas de unidades podem ser mencionados, como o cgs, baseado no centímetro, no grama e no segundo. O centímetro é igual a 0,01 m e o grama é 0,001 kg. Também tem-se o sistema inglês de unidades, no qual o comprimento é o pé (ft), a massa é o slug e a unidade de tempo é o segundo. O pé pode ser definido com base no metro: 1 ft = 0,3048 m, e o slug pode ser definido com base no quilograma: 1 slug = 14,59 kg. Unidade 1 Fisica I.indb 19 19 8/5/2015 15:16:11 Universidade do Sul de Santa Catarina Agora você pode responder a questão anterior, pois se em 1 ft temos 0,3048 m, então em 16 ft, temos 4,9 m. E assim você já pode avaliar a altura do novo viaduto em seu bairro. A seguir você encontrará os quadros que relacionam os padrões do sistema internacional e seus múltiplos e submúltiplos mais usuais. Potência de dez Prefixos Abreviatura 10 10–21 10–18 10–15 10–12 10–9 10–6 10–3 10–2 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024 locto zepto atto femto pico nano micro mili centi quilo mega giga tera peta exa zeta iota y z a f p n µ m c k M G T P E Z Y –24 Quadro 1.1 – Prefixos para potências de dez Nome Metro Quilômetro Centímetro Milímetro Abreviatura m km cm mm Relação com o metro 1 km = 1000 m = 103 m 1 cm = 0,01 m = 10–2 m 1 mm = 0,001 m = 10–3 m Quadro 1.2 – Múltiplos e submúltiplos do metro Nome grama quilograma miligrama Abreviatura g kg mg Relação com o grama 1 kg = 1000 g = 103 g 1 mg = 0,001 g = 10–3 g Quadro 1.3 – Múltiplos e submúltiplos do grama 20 Fisica I.indb 20 8/5/2015 15:16:11 Física I Nome Segundo Milissegundo Minuto Hora Abreviatura s ms min h Relação com o segundo 1 ms = 0,001 s = 10–3 s 1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3600 s Quadro 1.4 – Múltiplos e submúltiplos do segundo Seção 3 – Precisão, algarismos significativos e notação científica A física é uma ciência experimental. Seu propósito talvez possa ser colocado como descrever os aspectos fundamentais da natureza e estes, por sua vez, seriam a matéria, a energia, as forças, os movimentos, o calor, a luz e seus fenômenos. Para esta descrição, baseada no método experimental, precisamos aprender a trabalhar com as medidas físicas e suas características. Uma medida de uma grandeza física, como 4,9 m, inclui: I. uma dimensão; II. uma unidade; III. uma precisão. O “m” nos diz que a dimensão é o comprimento e que a unidade de comprimento usada é o metro. O número 4,9 (e não 4,91 ou 4,9157) caracteriza a precisão com que a medida foi feita. Dimensão Dimensão é a propriedade física que a quantidade descreve ou a natureza física de uma grandeza. Não interessa se a distância foi medida em pés ou metros, ela denota um comprimento. Unidades Uma unidade é a escala com que se mede uma dimensão. Por exemplo, uma unidade de comprimento pode ser um metro, ou um pé, ou uma milha. Como vários sistemas de unidades podem ser utilizados, devemos saber fazer a conversão de um sistema para outro. Unidade 1 Fisica I.indb 21 21 8/5/2015 15:16:11 Universidade do Sul de Santa Catarina 1 ft = 0,3048 m Precisão e algarismo significativo A precisão do valor de uma quantidade física é refletida no número de algarismos significativos usados na indicação do valor. E os algarismos significativos de uma medida são aqueles que podem ser lidos na escala do instrumento, acrescidos de um algarismo duvidoso (que não está na escala do instrumento, mas pode ser estimado). Exemplo 2: O número 80,3 tem três algarismos significativos, enquanto 4,9 tem dois. Um zero à esquerda nunca é contado como algarismo significativo – o número 0,049 possui dois algarismos significativos. Um zero é algarismo significativo se está à direita da vírgula decimal. O menor algarismo significativo (algarismo duvidoso) em um número é o algarismo significativo mais à direita. No número 4,9, o número 9 é o algarismo duvidoso. Suponha que perguntem sua altura em unidades SI, quando você sabe que é 64,0 polegadas no sistema inglês. Você converte na calculadora (sabendo que 1 polegada é 0,0254 do metro padrão) e encontra 1,6256 m (precisão de 0,1 mm). O valor dado em unidades SI deve refletir aproximadamente a mesma precisão que o valor original. É preciso arredondar o número após o cálculo. Acompanhe agora algumas regras a serem seguidas para trabalhar com números significativos: 1.Arredondamento. Se o algarismo à direita do menor algarismo significativo na resposta final é 4 ou menos, o valor é arredondado para baixo. Com dois algarismos significativos, o número 8,54 é arredondado para 8,5. Se o algarismo à direita do menor algarismo significativo na resposta final é 5 ou mais, o valor é arredondado para cima. Com dois algarismos significativos, o número 8,55 se escreve 8,6. 22 Fisica I.indb 22 8/5/2015 15:16:11 Física I 2. Multiplicação e divisão. O resultado de uma multiplicação ou divisão tem o mesmo número de algarismos significativos que o número com menor precisão utilizado no cálculo. Por exemplo: 64,0 × 0,0254 = 1,63 No arredondamento a ser feito no exemplo acima, para a conversão de polegadas para metros, a altura deve ser expressa como 1,63 m. 3.Adição e subtração. O menor algarismo significativo no resultado da adição ou subtração ocupa a mesma posição relativa à vírgula decimal que o número no cálculo cujo menor algarismo significativo está mais à esquerda. Por exemplo: 7,5 + 4,87 = 12,4 4,91 – 4,4 = 0,5 Como se vê, o número de algarismos significativos no resultado não é, necessariamente, o mesmo que no número menos preciso envolvido no cálculo. 4. Funções transcendentes. O resultado do cálculo de uma função transcendente é dado com o mesmo número de algarismos significativos que o argumento da função. Por exemplo: Sen 45° = 0,71 ln 5,643 = 1,730 O número de algarismos significativos de uma medida física expressa dados sobre a incerteza associada a esta medida. O valor desta incerteza está associado a fatores como a qualidade do aparelho utilizado, a habilidade da pessoa que faz a experiência e o número de medidas realizadas. Unidade 1 Fisica I.indb 23 23 8/5/2015 15:16:11 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 3: Ao realizarmos a medida da espessura da grossa capa de um livro com uma régua comum, com escala em milímetros, não estaria correto expressar esta medida como 4,00 mm devido às limitações do instrumento de medida. Este instrumento permite informar uma medida com dois algarismos significativos, 4,0 mm, sendo o número 4 medido na escala do instrumento e o número 0 o algarismo duvidoso. No entanto, se a medida fosse realizada com um micrômetro, instrumento capaz de medir distâncias com segurança até 0,01 mm, o resultado de sua medida poderia ser expresso como 4,00 mm. Estas diferenças representam as incertezas das medidas. A medida feita com um micrômetro possui uma incerteza menor que a medida feita através de uma régua comum e, portanto, é mais precisa. A exatidão (acurácia) de uma medida física representa o grau de aproximação entre o valor real e o valor medido. Normalmente escrevemos o número seguido do sinal ± e um segundo número indicando a incerteza da medida. No exemplo da medida da espessura da capa do livro, se a medida for (4,0 ± 0,1) mm, então significa que está entre 3,9 mm e 4,1 mm. Notação científica e ordem de grandeza Em muitos estudos da física, a informação sobre a ordem de grandeza ou uma estimativa, mesmo que grosseira, sobre o valor de uma grandeza física pode ser bastante útil. Muitas vezes, a medida exata pode ser complicada de se conseguir e então a medida aproximada passa a ser significativa em nosso estudo. Isto é o que costumamos chamar de estimativa de ordem de grandeza. 24 Fisica I.indb 24 8/5/2015 15:16:11 Física I Exemplo 4: Vamos supor que você esteja interessado em conhecer a altura de um prédio para um estudo sobre o replanejamento urbano de sua cidade. Não tendo um instrumento adequado para realizar esta medida, precisamos realizar uma estimativa e, para isto, basta observação. Supondo um prédio de 20 andares, cada andar apresentando 3 m de altura, teríamos uma estimativa de 60 m para a altura final do prédio. Após a realização desta estimativa, temos uma ordem de grandeza estabelecida para um prédio de 20 andares e esta pode ser expressa usando-se como base a potência de dez. Um prédio de 20 andares tem uma altura mais próxima de 102 m (100 m) do que de 101 m (pouco para um prédio de 20 andares) ou de 103 m (igual a 1 km e muito para um prédio de 20 andares). Assim, a ordem de grandeza de nossas medidas pode ser expressa usando a notação científica que consiste em convertermos o número de forma a apresentá-lo da seguinte maneira: Número maior ou igual a 1 e menor que 10 Nome × Símbolo Potência de 10 Valor Velocidade da luz c 2,99792458 × 108 m/s Módulo da carga do elétron e 1,60217733 × 10–19 C Massa do elétron me 9,1093897 × 10–31 kg Massa do próton mp 1,6726231 × 10–27 kg Pressão da atmosfera (padrão) pa 1,01325 × 105 Pa Quadro 1.5 – Exemplos de grandezas com intensidades expressas em notação científica Unidade 1 Fisica I.indb 25 25 8/5/2015 15:16:11 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 4 – Grandezas escalares e grandezas vetoriais Os fenômenos físicos são descritos através de grandezas físicas que podem ser escalares ou vetoriais. Grandezas escalares Grandezas descritas por um único número juntamente com a unidade adequada. Uma grandeza escalar tem apenas uma intensidade, e não tem propriedades direcionais. Exemplos: uma distância: a altura de uma pessoa, 185 cm; uma massa: a massa de uma pessoa, 68 kg; um intervalo de tempo: o dia tem 24 h; temperatura: a temperatura de um ambiente, 22° C. Grandezas vetoriais Grandezas caracterizadas por uma intensidade, ou módulo, e uma direção e sentido. Exemplos: uma velocidade: vento sul de 5 m/s (o módulo do vento é de 5 m/s e sua direção é do sul para o norte); um deslocamento: consideremos a movimentação de um objeto que vai de um ponto A a um ponto B, ou sua mudança de posição, mostrado na Figura 1.1. Seu deslocamento pode ser representado por um segmento de reta orientado. O sentido e a direção do segmento de reta são indicados pela seta. Observe que o deslocamento de A para B envolve a distância entre os dois pontos e a orientação, ou direção, do segmento de reta. 26 Fisica I.indb 26 8/5/2015 15:16:12 Física I Vamos admitir agora o percurso de A a um ponto C, conforme a Figura 1.2. A distância entre A e C é a mesma que a distância de A a B, mas os dois deslocamentos, ou os dois vetores, são diferentes, porque têm direções e sentidos diferentes. Ou seja, um deslocamento fica caracterizado por uma distância, uma direção e um sentido. Dois deslocamentos são iguais se têm mesmo comprimento, direção e sentido. Na Figura 1.3, o deslocamento de A para B é igual ao deslocamento de A’ para B’. Figura 1.1 Vetor deslocamento Figura 1.2 Direção e sentido do vetor deslocamento Figura 1.3 Vetores iguais Outras grandezas físicas também são vetoriais, como força, velocidade e aceleração, e são caracterizadas por um módulo, uma direção e um sentido. O módulo de um vetor é um número não negativo (com uma unidade) que indica o tamanho do vetor, independentemente de sua direção. Para distinguir um símbolo vetorial de um símbolo escalar, representa-se um vetor em negrito. Em manuscrito, costuma-se representar um vetor por uma letra encimada por uma flecha. Vetor: A ou A Módulo: | A | = A Um vetor fica definido quando são fornecidos: seu módulo, sua direção e seu sentido. Unidade 1 Fisica I.indb 27 27 8/5/2015 15:16:12 Universidade do Sul de Santa Catarina Em geral, escolhe-se a direção de referência como a direção do eixo x positiva, e assim, além do comprimento do vetor indicando seu módulo, temos o ângulo formado com a direção do eixo x positiva, indicando seu ângulo. O sentido fica representado pela seta. Veja a Figura 1.4. Figura 1.4 Módulo e direção de um vetor Em muitas situações da física precisamos adicionar grandezas físicas. Tanto as grandezas escalares como as vetoriais, para serem somadas, devem apresentar as mesmas unidades. Não existe sentido em adicionarmos grandezas que tenham dimensões diferentes ou que tenham unidades de medidas diferentes. Não podemos, por exemplo, somar um vetor deslocamento com um vetor força, pois eles são grandezas físicas diferentes. Adição gráfica de vetores Para somar o vetor B ao vetor A, podemos utilizar o método do triângulo, que consiste no seguinte (acompanhe a Figura 1.5): desenhamos o vetor A com sua intensidade ou módulo seguindo uma dada escala. Em seguida, usando a mesma escala, e com sua cauda colocada na ponta do vetor A, desenhamos o vetor B. Assim formamos o vetor resultante, que vai da cauda 28 Fisica I.indb 28 8/5/2015 15:16:12 Física I do vetor A até a ponta do vetor B, e chamamos de C. Podemos permutar os dois vetores de modo a formar a soma B + A, que apresenta a mesma resultante C. Figura 1.5 Adição vetorial pelo método do triângulo Também é possível realizar a adição vetorial seguindo o método do paralelogramo (veja a Figura 1.6). Neste método, as caudas dos dois vetores A e B são colocadas juntas e o vetor resultante C é formado através do traçado das linhas paralelas, formando um paralelogramo, o vetor C é a diagonal e os vetores A e B são seus lados. Figura 1.6 Adição vetorial pelo método do paralelogramo Vetores unitários e componentes vetoriais Também podemos utilizar um método analítico de expressar os vetores, usando um sistema de coordenadas e vetores unitários, com o qual é possível trabalhar estes com maior facilidade. A Figura 1.7 mostra um vetor A através de um sistema de coordenadas retangulares. Este vetor A pode ser escrito como a soma de dois vetores Ax e Ay: A = Ax + Ay (1.1) Unidade 1 Fisica I.indb 29 29 8/5/2015 15:16:12 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 1.7 Componentes retangulares de um vetor Escrevemos em seguida o vetor Ax como o produto de dois fatores: Ax = Axi (1.2) O fator Ax é chamado componente do vetor A segundo o eixo x, e o fator i é o vetor unitário segundo o eixo x e aponta na direção de x crescente, conforme se vê na Figura 1.8. É chamado vetor unitário porque seu módulo é 1. Além disso, o unitário i é adimensional, de modo que o produto Ax i tem a mesma dimensão e a mesma unidade que a componente Ax. |i|=1 (1.3) Um vetor unitário é um ente matemático que especifica uma direção. Escrevemos de maneira análoga o vetor Ay: Ay = Ay j (1.4) 30 Fisica I.indb 30 8/5/2015 15:16:12 Física I Em que Ay é a componente do vetor A segundo o eixo y, e o fator j é o vetor unitário segundo o eixo y e aponta na direção de y crescente. Podemos agora escrever um vetor A como: A = Ax i + Ay j (1.5) Figura 1.8 Componentes retangulares de um vetor As componentes Ax i e Ay j são perpendiculares, então formam os lados de um triângulo retângulo com A como hipotenusa. O teorema de Pitágoras fornece o módulo de A: A = Ax2 + Ay2 (1.6) Por outro lado, em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo se define como a razão do cateto oposto para o cateto adjacente, assim temos: tan θ = Ay Ax ou θ = arctg Ay (1.7) Ax Unidade 1 Fisica I.indb 31 31 8/5/2015 15:16:12 Universidade do Sul de Santa Catarina As equações fornecem o módulo e a direção do vetor em termos de suas componentes. A partir de A e θ, podemos determinar as componentes Ax e Ay: Ax = A·cos θ (1.6) Ay = A·sen θ (1.7) Desta forma, fica definida a forma vetorial de A. A seção também mostrou as diferenças entre as grandezas escalares e as grandezas vetoriais e algumas operações importantes ao estudo da física envolvendo as grandezas vetoriais. A seguir, leia a síntese da unidade e faça as atividades de autoavaliação. Síntese Nesta unidade você se preparou para o estudo da física e todas as suas áreas. Inicialmente estudou sobre os padrões de medidas físicas utilizadas no estudo de mecânica e viu que os padrões adotados em nosso país baseiam-se no Sistema Internacional de Unidades (SI), que utiliza o metro para os comprimentos, o segundo para os intervalos de tempo e o quilograma para as massas. Também aprendeu que dimensão de uma quantidade é a propriedade física que a quantidade descreve ou a natureza física de uma grandeza. E que uma unidade é a escala com que se mede uma dimensão. Ao trabalhar nesta unidade, pôde avaliar a precisão do valor de uma quantidade física que é refletida no número de algarismos significativos usados na indicação do valor. E que os algarismos significativos de uma medida são aqueles que podem ser lidos na escala do instrumento, acrescidos de um algarismo duvidoso (que não está na escala do instrumento, mas pode ser estimado). Aprendeu que para expressar um número em notação científica, é necessário escrever este número da seguinte maneira: Número maior ou igual a 1 e menor que 10 × Potência de 10 32 Fisica I.indb 32 8/5/2015 15:16:12 Física I E, por último, estudou as diferenças entre as grandezas escalares e vetoriais, sendo as grandezas escalares descritas unicamente por um número juntamente com a unidade adequada, sem propriedades direcionais. Já as grandezas vetoriais são caracterizadas por uma intensidade, ou módulo, e uma direção e sentido. Estas grandezas apresentam propriedades diferentes das escalares. Atividades de autoavaliação Marque a alternativa correta: 1. Uma estrada mede 532 km de comprimento. Qual é seu comprimento em metros? a) 532 b) 5320 c) 53200 d) 532000 e) 5320000 2. O comprimento de uma pista de corrida é de 400 m. Este comprimento equivale a: a) 0,4 km b) 0,04 km c) 0,004 km d) 0,0004 km e) 0,00004 km 3. O tempo gasto em uma partida de basquete foi de 1,2 h. Este tempo corresponde a: a) 1 h e 20 min b) 62 min c) 1 h e 12 min d) 3620 s e) 1 h e 2 min Unidade 1 Fisica I.indb 33 33 8/5/2015 15:16:12 Universidade do Sul de Santa Catarina 4. Na tabela abaixo, escreva as medidas em notação científica. Observe que o número de algarismos significativos que acompanha a potência de dez é igual ao número de algarismos significativos da medida. Intensidade da grandeza Notação científica 0,00235 mm 3000000 m 86400 s 4000 m/s 6780 km 616 cm 24,5 h Analise as questões abaixo e formule sua resposta: 5. Em uma aula experimental, um aluno mediu as dimensões de uma barra de alumínio usando como instrumento de medida uma régua de 30 cm calibrada em mm. As medidas obtidas estão apresentadas na figura abaixo. Faça uma avaliação sobre o número de algarismos significativos apresentados. Indique quais são as medidas incorretas e explique o porquê. 6. Construa um sistema de coordenadas xy e trace o vetor posição que define o ponto x = 34 mm, y = 26 mm. Determine o módulo e a direção deste vetor e suas componentes cartesianas. 34 Fisica I.indb 34 8/5/2015 15:16:12 Física I 7. Dados os vetores adimensionais: A = 4i + 5j e B = 7i – 2j, construa um sistema de coordenadas, trace os vetores A, B, determine o vetor A + B e também faça seu traçado no mesmo sistema. 8. Gustavo, a partir da origem, caminha 5 m para leste e depois 10 m para norte. Em seguida ele caminha 13 m para oeste. Em relação ao ponto de partida, qual é a distância a que Gustavo está? Represente, no sistema abaixo, os deslocamentos. 9. Um corpo parte da origem (0;0) e desloca-se até o ponto P1(16;0); em seguida, desloca-se até o ponto P2(16;12); e, por último, desloca-se até o ponto P3(8;12), conforme mostra a figura desta questão. Determine a distância da origem (0;0) até o ponto P3. Unidade 1 Fisica I.indb 35 35 8/5/2015 15:16:12 Universidade do Sul de Santa Catarina 10. Determine, usando o método das componentes, o módulo do vetor resultante dos vetores a , b e c , dados na figura desta questão. Considere a = 10 cm, b = 15 cm e c = 11 cm. Represente, num novo sistema de coordenadas, o vetor resultante. 11. Dados os vetores a , b , cujos módulos são a = 15 km e b = 30 km, determine o módulo, a direção e o sentido do vetor resultante, representando-o vetorialmente. 12. Para os vetores expressos em termos de vetores unitários a = (5,2)i + (2,6)j, b = (–1,6)i + (2,9)j e c = (–4,6)i – (2,2)j, determine o vetor resultante (soma), representando-o num sistema de eixos coordenados (XY). 36 Fisica I.indb 36 8/5/2015 15:16:12 Física I Saiba mais Como funciona o paquímetro? O paquímetro é um instrumento de medida para comprimentos com precisão de centésimos de milímetro. Determinaremos a medida de um clipe para exemplificarmos a utilização deste instrumento. 1.Inicialmente deslocamos a escala móvel do instrumento, de modo que o objeto a ser medido fique preso nas garras. 2.Observamos que, na escala em centímetro, o zero da escala móvel situa-se entre 3,5 cm e 3,6 cm, ou seja, entre 35 mm e 36 mm. Assim, o comprimento do clipe está neste intervalo. 3.Para determinar os décimos e os centésimos de milímetro da medida, devemos observar em que ponto os riscos da escala móvel coincidem com os riscos da escala em centímetro. Para a medida do clipe, lemos 20 na escala móvel. Veja que o algarismo 2 corresponde aos décimos de milímetro e o 0 aos centésimos de milímetro. Logo podemos afirmar que a medida do clipe é 35,20 mm. Unidade 1 Fisica I.indb 37 37 8/5/2015 15:16:13 Fisica I.indb 38 8/5/2015 15:16:13 Unidade 2 Movimentos Objetivos de aprendizagem Conceituar as grandezas físicas que descrevem os movimentos de corpos, como posição, deslocamento, velocidade e aceleração, aplicados para uma, duas e três dimensões. Diferenciar grandezas físicas, como velocidade média e velocidade instantânea, aceleração média e aceleração instantânea, mostrando a aplicação do cálculo diferencial como ferramenta para a definição de uma grandeza instantânea. Mostrar a utilização de gráficos como uma ferramenta para a descrição de um fenômeno físico. Descrever movimentos especiais, como o movimento retilíneo uniforme (MRU), o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) e o lançamento de projéteis. 2 Seções de estudo Seção 1 Vetor posição e vetor deslocamento em uma dimensão Seção 2 Vetor velocidade e vetor aceleração em uma dimensão Seção 3 Movimentos retilíneos com e sem aceleração: MRUV e MRU Seção 4 Vetor posição, deslocamento, velocidade e aceleração para duas e três dimensões Seção 5 Lançamento de projéteis Fisica I.indb 39 8/5/2015 15:16:13 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Nesta unidade estudaremos sobre as grandezas físicas importantes para a descrição de movimentos de corpos. A parte da física que se ocupa com o estudo de movimentos é a cinemática, e a descrição destes movimentos é feita por meio de equações matemáticas que mostram o comportamento das grandezas posição, velocidade e aceleração em função do tempo. Estas grandezas serão cuidadosamente definidas e posteriormente serão utilizadas na construção das equações que descrevem diferentes movimentos que podem ser observados em nosso dia–a-dia. Para iniciar esta unidade vamos pensar sobre algo que encontramos freqüentemente em nossa movimentação diária pela cidade: os radares de trânsito. Em muitos pontos do trânsito urbano nos deparamos com estes dispositivos. Como eles funcionam? Qual é a grandeza física determinada por eles? Estude detalhadamente esta unidade e, ao final, tente responder estas questões. Figura 2.1 Fotografia do radar instalado na avenida de acesso à Unisul, no campus Pedra Branca em Palhoça-SC 40 Fisica I.indb 40 8/5/2015 15:16:13 Física I Seção 1 – Vetor posição e vetor deslocamento em uma dimensão Quando queremos descrever movimentos de corpos através de equações matemáticas, precisamos construí-las de maneira que permitam definir a posição de um corpo num certo instante e saber como esta posição irá mudar à medida em que o tempo passa. Precisamos, para isto, de alguns conceitos básicos que nos auxiliam a realizar a tarefa de estudar movimentos. Inicialmente deve-se diferenciar um corpo de uma partícula. Suponhamos que estamos interessados em avaliar o tempo que um determinado ônibus leva para percorrer todo o trajeto de sua linha. Como este trajeto é muito longo quando comparado às dimensões do ônibus, podemos imaginar este corpo como uma partícula descrevendo uma trajetória. Suas dimensões podem ser desprezadas por não serem importantes em nosso estudo, já que não afetam os cálculos ou as medidas que realizamos. Assim, sempre que as dimensões do corpo em movimento puderem ser desprezadas, dizemos que o corpo é uma partícula. A redução de um corpo para um ponto simplifica muito a descrição do movimento deste corpo. Em nosso estudo trataremos os corpos em movimento como partículas ou pontos materiais. A trajetória de uma partícula pode ser definida como o caminho ou distância percorrida por esta. No exemplo do ônibus, a trajetória seria o comprimento ou a distância de todo seu percurso. Outro conceito importante na descrição de um movimento é o de referencial. Unidade 2 Fisica I.indb 41 41 8/5/2015 15:16:13 Universidade do Sul de Santa Catarina Pense se já se deparou com a seguinte situação: você está ao volante de um carro ao lado de outros carros parados em um sinal de trânsito. Não percebeu que o sinal abriu e, quando enxerga o movimento do carro ao lado do seu, tem a impressão de que seu carro está andando para trás e pisa no freio! Esta situação nos mostra que qualquer movimento depende de um referencial adotado. Você, como motorista, estava adotando o carro ao lado como referencial e, como este se movimentou para frente, seu carro pareceu estar se movendo para trás. Assim, na análise de um movimento precisamos escolher um referencial, a partir do qual iremos observar o movimento. Para nossos estudos, adotaremos um sistema de coordenadas como referencial. Para movimentos ao longo de uma reta, precisamos definir a origem em algum ponto desta reta e também uma direção positiva. Se usarmos o eixo x como sistema de coordenadas, a posição de uma partícula (carro) em uma trajetória retilínea (Figura 2.2) será: Observe que as equações estão numeradas para facilitar seu estudo. r = xi (2.1) Figura 2.2 Vetor posição para o movimento retilíneo Se a posição da partícula muda, dizemos que esta sofreu um deslocamento, mostrado na Figura 2.3 e definido como: ∆r = r f – ri (2.2) ∆r = ∆xi (2.4) ∆r = (xf – xi)i (2.3) 42 Fisica I.indb 42 8/5/2015 15:16:13 Física I A letra grega maiúscula ∆ (delta) representa a variação de uma grandeza, calculada como a diferença entre o seu valor final e o seu valor inicial. Figura 2.3 Vetor deslocamento para o movimento retilíneo Para movimentos em apenas uma direção, podemos desprezar o vetor unitário i e utilizar x em lugar de r, e ∆x em lugar de ∆r. Isto não será possível, entretanto, para duas e três dimensões. Para o caso de um movimento unidimensional a equação para o deslocamento fica: ∆x = (xf – xi) (2.5) Exemplo 1: Um carro subindo e descendo uma rua em declive em linha reta. O movimento pode ser descrito por uma expressão da coordenada x da partícula como função do tempo t: x = 10 m + (12 m/s)t – (2,0 m/s2)t2 Em que x é medido ao longo da trajetória da partícula e a direção positiva é adotada para cima. Construindo uma tabela da posição do carro em cada instante t e, após, um gráfico mostrando o comportamento da posição do carro em função do tempo, de t = 0,0 s a t = 6,0 s, temos: Unidade 2 Fisica I.indb 43 43 8/5/2015 15:16:13 Universidade do Sul de Santa Catarina x = 10 m + (12 m/s)t – (2,0 m/s2)t2 t(s) x(m) 0,0 10 x = 10 m + (12 m/s)(0 s) – (2,0 m/s2)(0 s)2 = 10 m 2,0 26 x = 10 m + (12 m/s)(2 s) – (2,0 m/s2)(2 s)2 = 26 m 1,0 20 3,0 28 5,0 20 4,0 6,0 26 10 x = 10 m + (12 m/s)(1 s) – (2,0 m/s2)(1 s)2 = 20 m x = 10 m + (12 m/s)(3 s) – (2,0 m/s2)(3 s)2 = 28 m x = 10 m + (12 m/s)(4 s) – (2,0 m/s2)(4 s)2 = 26 m x = 10 m + (12 m/s)(5 s) – (2,0 m/s2)(5 s)2 = 20 m x = 10 m + (12 m/s)(6 s) – (2,0 m/s2)(6 s)2 = 10 m Observe que, para obtermos as posições do carro, substituímos os instantes na equação do movimento e a resolvemos. A multiplicação das unidades de cada termo resulta na unidade m, como era de se esperar, já que estamos calculando a posição para o instante dado. Agora podemos construir um gráfico da posição x em função do tempo t. Figura 2.4 a Trajetória do movimento do carro 44 Fisica I.indb 44 8/5/2015 15:16:13 Física I Figura 2.4 b Gráfico da coordenada x versus tempo t para o movimento do carro Lembre-se de que o gráfico da coordenada x versus tempo t não representa a trajetória do objeto. A trajetória que estamos trabalhando é retilínea e está mostrada na Figura 2.4 a. Observe que o carro sobe a rampa entre 0 e 3 s e, quando o carro está na posição 28 m, muda o sentido do movimento iniciando o processo de descida, que vai de 3 a 6 s. Veja agora como descrever a velocidade e aceleração de uma partícula. Seção 2 – Vetor velocidade e vetor aceleração em uma dimensão Vetor velocidade A velocidade média v de uma partícula em um intervalo de tempo de ti a tf é definida como: v= ∆r r f - ri = ∆t t f − ti (2.6) Unidade 2 Fisica I.indb 45 45 8/5/2015 15:16:13 Universidade do Sul de Santa Catarina Em que rf e ri são os vetores posição que localizam a partícula nos instantes tf e ti, respectivamente. Observe que uma barra (v) representa a média de uma grandeza, neste caso, a velocidade vetorial média. Em uma dimensão temos: v= ∆xi ( x f - xi )i = = vi ∆t t f − ti Assim, como fizemos para o deslocamento no movimento unidimensional, podemos também desprezar o unitário i no cálculo da velocidade vetorial média e então: v= ∆x ( x f - xi ) = ∆t t f − ti (2.7) A unidade no Sistema Internacional (SI) é o metro por segundo (m/s). Outras unidades são km/h e cm/s. Conversão entre as unidades m/s e km/h Um dos casos mais comuns de conversão é a passagem de km/h para m/s e vice-versa. Observe: 1 m/s = 1 km 3600 km 1m = 1000 = = 3, 6 km/h 1 1s 1000 h h 3600 Assim: Passamos de m/s para km/h multiplicando o valor em m/s por 3,6 Passamos de km/h para m/s dividindo o valor em km/h por 3,6 46 Fisica I.indb 46 8/5/2015 15:16:14 Física I Figura 2.5 Velocidade vetorial média no gráfico da coordenada x versus tempo t A Figura 2.5 mostra que a velocidade média, em um gráfico de x versus t, é igual ao coeficiente angular da reta que une os pontos inicial e final, escolhidos para determinação da grandeza. Exemplo 2: Usando o exemplo anterior, podemos determinar a velocidade média em dois intervalos de tempo distintos: ∆t (s) ∆x (m) v (m/s) Entre 1 e 2 s ∆t = 2 – 1 = 1 s ∆x = 26 – 20 = 6 m v= ∆x 6 m m = =6 ∆t 1s s Entre 3 e 5 s ∆t = 5 – 3 = 2 s ∆x = 20 – 28 = –8 m v= ∆x −8 m m = = −4 ∆t 2s s Tabela 2.2 – Velocidade Média em tempos distintos Observe na Figura 2.6 o gráfico da velocidade média nestes intervalos. A grandeza representa a inclinação da reta que une os pontos do intervalo estudado. Quando a velocidade média é positiva, temos uma inclinação para a direita e, quando a velocidade média é negativa, a inclinação se dá para o lado esquerdo da reta. Unidade 2 Fisica I.indb 47 47 8/5/2015 15:16:14 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 2.6 Gráfico da coordenada x versus tempo t para o movimento do carro com a representação da velocidade vetorial média em dois intervalos de tempo A velocidade média com que você deve estar familiarizado não é esta velocidade que acabamos de conceituar, mas sim a velocidade escalar média. A velocidade escalar média é aquela que calculamos nas situações em que estamos ao volante. É uma grandeza escalar e, portanto, sem propriedades direcionais. Para uma partícula em movimento, percorrendo uma distância d durante um intervalo de tempo ∆t, sua velocidade escalar média é: v= d ∆t (2.8) Agora que já estudamos a velocidade vetorial média e a velocidade escalar média, podemos entender sobre o funcionamento dos radares de trânsito. Estes dispositivos permitem avaliar a velocidade de um automóvel através da determinação de sua velocidade escalar média durante um intervalo de tempo muito pequeno (ordem do bilionésimo de segundo). Por meio de um processador e de um software específico, a velocidade escalar média do carro é calculada com muita precisão e este é fotografado, caso o valor encontrado seja superior ao limite estabelecido para o local. 48 Fisica I.indb 48 8/5/2015 15:16:14 Física I Após o estudo da velocidade média e da velocidade escalar média, podemos definir o conceito de velocidade instantânea ou do vetor velocidade. A velocidade instantânea caracteriza o movimento de uma partícula em um determinado instante e não em um intervalo de tempo, como é o caso da velocidade média. A velocidade instantânea também pode ser chamada simplesmente de velocidade. Para definir a velocidade vamos considerar o exemplo descrito pelo gráfico de x versus t da Figura 2.7. Conforme vimos, o coeficiente angular da reta que une dois pontos quaisquer representa a velocidade média . Vamos supor que determinemos esta velocidade para intervalos de tempo sucessivos cada vez menores e que estejamos mantendo fixo o valor de ti. À medida em que tf se aproxima de ti, o coeficiente angular de cada intervalo tende para o coeficiente angular da tangente à curva em ti. Assim, a velocidade define-se como o valor limite de v quando o intervalo de tempo ∆t tende a zero. Isto significa que a velocidade instantânea é igual ao coeficiente angular da tangente à curva de x versus t. Podemos representar a velocidade instantânea através do gráfico a seguir. Figura 2.7 Velocidade instantânea: coeficiente angular da tangente à curva de x versus t Unidade 2 Fisica I.indb 49 49 8/5/2015 15:16:14 Universidade do Sul de Santa Catarina ∆x ∆t →0 ∆t v = lim v = lim ∆t →0 Assim, a velocidade instantânea é dada pela derivada de x em relação a t. v= dx dt (2.9) A velocidade instantânea ou o vetor velocidade de uma partícula é a taxa de variação de vetor posição. Indica a rapidez e a direção do deslocamento em um determinado instante. Exemplo 3: Para o movimento do carro sobre uma rampa, podemos determinar uma expressão para sua velocidade como função do tempo. A posição do carro é dada por: x = 10 m + (12 m/s)t – (2,0 m/s2)t2 Como x(t) é um polinômio em t, aplicamos a regra para calcular a derivada de uma potência de t: d n t = nt n−1 dt Assim: dx d = [10 m + (12 m/s)t – (2,0 m/s2)t 2] dt dt v = 12 m/s – 2(2,0 m/s2)t v= v = 12 m/s – (4,0 m/s2)t Com a função que descreve o comportamento da velocidade instantânea em função do tempo, podemos encontrar o valor da grandeza para qualquer instante do movimento e mostrar isto também em uma tabela e em um gráfico v versus t. Veja: 50 Fisica I.indb 50 8/5/2015 15:16:14 Física I Tabela 2.3 – Valor de grandeza versus instante do movimento t(s) v(m/s) 0 1 2 3 4 5 6 12 m/s 8 m/s 4 m/s 0 –4 m/s –8 m/s –12 m/s v = 12 m/s – (4,0 m/s2)t v = 12 m/s – (4,0 m/s2)·0 s = 12 m/s v = 12 m/s – (4,0 m/s2)·1 s = 8 m/s v = 12 m/s – (4,0 m/s2)·2 s = 4 m/s v = 12 m/s – (4,0 m/s2)·3 s = 0 v = 12 m/s – (4,0 m/s2)·4 s = –4 m/s v = 12 m/s – (4,0 m/s2)·5 s = –8 m/s v = 12 m/s – (4,0 m/s2)·6 s = –12 m/s Após a construção de nossa tabela, podemos fazer o seguinte gráfico: Figura 2.8 Gráfico da velocidade v versus tempo t para o movimento do carro Observe que o comportamento da velocidade em função do tempo é linear, ou seja, descrito por uma reta. A velocidade diminui sua intensidade durante a subida, durante o intervalo de 0 e 3 s. Neste instante, em 3 s, o carro pára e muda o sentido de seu movimento iniciando a descida entre 3 e 6 s. Durante a descida, o módulo da velocidade está aumentando, mas como o carro está descendo (retornando na trajetória) o vetor tem sinal negativo. Isto mostra a diferença entre a velocidade vetorial e a velocidade escalar. A velocidade escalar apresenta os mesmos valores durante a subida e a descida do carro, já a velocidade vetorial mostra seu sentido através do sinal positivo ou negativo. Unidade 2 Fisica I.indb 51 51 8/5/2015 15:16:14 Universidade do Sul de Santa Catarina Vetor aceleração A aceleração de uma partícula descreve a variação de sua velocidade, tanto em módulo como em direção. Inicialmente vamos pensar em uma aceleração média, ou seja, aquela definida para um intervalo de tempo ∆t. A aceleração média a de uma partícula em um intervalo de tempo de ti a tf é definida como: a= ∆v v f − vi = ∆t t f − ti (2.10) Onde vf e vi são as velocidades da partícula nos instantes tf e ti, respectivamente. Em uma dimensão temos: a= ∆vi (v f − vi )i = = ai ∆t t f − ti Figura 2.9 Aceleração vetorial média no gráfico da coordenada v versus tempo t 52 Fisica I.indb 52 8/5/2015 15:16:14 Física I Da mesma forma como fizemos para a velocidade no movimento unidimensional, podemos também desprezar o unitário i no cálculo da aceleração vetorial média, e então: a= ∆v (v f − vi ) = ∆t ( t f − ti ) (2.11) A unidade no SI é o metro por segundo quadrado (m/s2). Outras unidades são km/h2 e cm/s2. A aceleração instantânea define-se como o valor limite de quando o intervalo de tempo tende a zero. Isto significa que a aceleração instantânea é igual ao coeficiente angular da tangente à curva de v versus t. Figura 2.10 Aceleração instantânea: coeficiente angular da tangente à curva de v versus t a = lim a = lim ∆t →0 ∆t →0 ∆v ∆t Unidade 2 Fisica I.indb 53 53 8/5/2015 15:16:14 Universidade do Sul de Santa Catarina Assim, a aceleração instantânea é dada pela derivada de v em relação a t. a= dv dt (2.12) Ou também: a= d 2x dt 2 (2.13) A aceleração instantânea ou o vetor aceleração de uma partícula é a taxa de variação de vetor velocidade em um determinado instante. Exemplo 4: Podemos determinar a aceleração do carro em seu movimento sobre a rampa. A partir da função que descreve o comportamento da velocidade: v = 12 m/s – (4,0 m/s2)t Aplicando a definição para aceleração e fazendo a derivada desta função, temos: dv d = [12 m/s – (4,0 m/s 2)t] dt dt a = – 4,0 m/s 2 a= Podemos verificar que a aceleração deste movimento é constante no tempo. Ela apresenta um valor negativo, assim atua sobre o vetor velocidade de maneira a diminuí-lo durante a subida, já que este é positivo neste trajeto, e atua de maneira a aumentá-lo durante a descida, já que o vetor velocidade para a descida é negativo. O movimento retilíneo com aceleração constante no tempo é chamado de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) e será estudado na seção seguinte, acompanhe. 54 Fisica I.indb 54 8/5/2015 15:16:14 Física I Seção 3 – Movimentos retilíneos com e sem aceleração: MRUV e MRU Agora que definimos as grandezas posição, deslocamento, velocidade e aceleração, que caracterizam os movimentos em função do tempo, podemos estudar os seguintes movimentos retilíneos: movimento retilíneo uniforme (MRU) e movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Movimento retilíneo uniforme O MRU é um movimento retilíneo em que a velocidade vetorial é constante no tempo, ou seja, não muda nem sua intensidade nem sua direção. Assim, este é um movimento de aceleração nula. Neste caso a posição da partícula é dada por: x(t) = x0 + vt (2.14) Onde x0 representa a posição inicial ou a posição em t = 0. Na Figura 2.11, na sequência, podemos ver um esboço dos gráficos de x versus t e v versus t. Figura 2.11 Gráficos representativos do comportamento da posição e da velocidade em função do tempo no MRU Unidade 2 Fisica I.indb 55 55 8/5/2015 15:16:14 Universidade do Sul de Santa Catarina Movimento retilíneo uniformemente variado O MRUV é um movimento retilíneo em que a aceleração é constante. No exemplo que tratamos na Seção 2, o carro se movia com aceleração constante. Nestas situações, a aceleração instantânea ou simplesmente aceleração é igual à aceleração média. Assim: a =a= ∆v (v f − vi ) = ∆t ( t f − ti ) (2.15) Fazendo tf = t e ti = 0, de modo que vf = v(t) e vi = v0, temos: a= v( t ) − v0 t −0 (2.16) Resolvendo em relação a v(t), temos: v(t) = v0 + at (2.17) Assim a velocidade da partícula depende linearmente do tempo t. Esta equação permite prever a velocidade da partícula em qualquer tempo t, se são conhecidas a velocidade inicial e a aceleração. Uma expressão para a posição da partícula em função do tempo, quando esta se move com aceleração constante pode ser desenvolvida. Neste caso, a velocidade média durante qualquer intervalo de tempo pode ser descrita como a média aritmética desde o início até o instante final. Então, de 0 a t: v= v0 + v 2 (2.18) 56 Fisica I.indb 56 8/5/2015 15:16:15 Física I Lembre-se de que esta equação somente é válida para movimento com aceleração constante. Substituindo a equação da velocidade (2.17) na equação (2.18), temos: v = 12 (v0 + v0 + at) v = v0 + 12 at (2.19) Mas, pela definição de velocidade média, sabemos que: v= (x − x0 ) t (2.20) Fazendo a substituição da equação (2.19) na equação (2.20), temos: (x − x0 ) v0 + 12 at v == t x = x0 + v0t + 12 at 2 (2.21) A equação mostra que para um instante inicial t = 0 a partícula está em uma posição x0 e possui velocidade inicial v0 e, após um tempo t, sua nova posição será x, que é a soma de três termos: a posição inicial x0, mais a distância v0t que ela percorreria se a velocidade fosse constante, mais uma distância produzida pela variação da velocidade 12 at 2. Unidade 2 Fisica I.indb 57 57 8/5/2015 15:16:15 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 2.12 Gráficos representativos do comportamento da posição e da velocidade em função do tempo no MRUV O deslocamento durante um dado intervalo de tempo pode ser sempre calculado pela área embaixo da curva em um gráfico v versus t. Em muitas situações é importante utilizar uma equação que não envolva posição, velocidade e aceleração e não leve em conta o tempo. Assim podemos continuar nosso estudo isolando t na equação (2.17) e substituindo na equação da posição (2.21), seguido de uma simplificação. (v − v0 ) a 2 v − v0 1 v − v0 x = x0 + v0 + a a 2 a t= Levando x0 para o lado esquerdo da equação e multiplicando por 2a, temos: 2a(x – x0) = 2v0v – 2v02 + v2 – 2v0v + v02 Simplificando, v2 = v02 + 2a(x – x0) (2.22) 58 Fisica I.indb 58 8/5/2015 15:16:15 Física I Finalizando, vamos igualar as duas expressões de v (equações 2.18 e 2.20) e multiplicar os dois membros por t. assim obtemos: v +v x − x0 = 0 t 2 (2.23) As quatro equações (2.17), (2.21), (2.22) e (2.23) são as equações do movimento com aceleração constante. Através delas, podemos resolver qualquer problema que envolva um MRUV. Na Figura 2.13 a seguir, podemos ver o comportamento da aceleração em função do tempo neste movimento. Observe que a aceleração é constante no tempo para o MRUV. Figura 2.13 Gráficos representativos do comportamento da aceleração em função do tempo no MRUV Queda livre Sabemos que qualquer corpo, quando solto de certa altura nas proximidades da superfície terrestre, cai em direção à Terra com aceleração aproximadamente constante. Inicialmente pensava-se que objetos mais pesados caíam com maior rapidez que objetos mais leves, e que a velocidade eram proporcionais aos seus pesos. Mas Galileu Galilei (1564-1642) afirmou que um corpo deveria cair com aceleração constante independentemente de seu peso. Unidade 2 Fisica I.indb 59 59 8/5/2015 15:16:15 Universidade do Sul de Santa Catarina E de fato, se os efeitos com a resistência com o ar puderem ser desprezados, todos os corpos em um dado local caem com a mesma aceleração, independentemente de suas formas e de seus pesos. A seguir é apresentado um modelo para este tipo de movimento, no qual são desprezadas a rotação da Terra, a resistência com o ar e a diminuição da aceleração com a altura. Este modelo ideal é chamado de queda livre, embora ele sirva para estudar tanto o movimento de subida como o movimento de descida dos corpos. A Figura 2.14 é uma fotografia estroboscópica do movimento de queda de um corpo. O intervalo de tempo entre dois flashes consecutivos é o mesmo. Assim, a velocidade média do corpo é proporcional à distância das imagens. A distância crescente entre duas imagens consecutivas mostra que a velocidade está aumentando e que o corpo acelera para baixo. Por meio de medidas cuidadosas, podemos concluir que a variação da velocidade é sempre a mesma entre os intervalos, e então a aceleração de um corpo em queda livre é constante. A aceleração constante de um corpo em queda livre denomina-se aceleração da gravidade, e seu módulo é simbolizado por g. Sua intensidade próxima à superfície terrestre é 9,80 m/s2 ou 980 cm/s2. Este valor varia de um local para outro, assim vamos utilizar a aceleração gravitacional com apenas dois algarismos significativos. Figura 2.14 Fotografia estrobos cópica de dois corpos de massas diferentes em queda livre Na superfície da lua a aceleração gravitacional é 1,6 m/s2 e próximo à superfície do sol é 270 m/s2. Fonte: Disponível em: <http://www.fsc.ufsc.br/ pesqpeduzzi/imagens-new4.htm> 60 Fisica I.indb 60 8/5/2015 15:16:15 Física I A seguir são apresentadas as equações que descrevem o movi mento de queda livre. Observe que são as equações do MRUV, porém utilizando como aceleração a aceleração da gravidade. Utilizaremos a direção vertical coincidindo com o eixo y, sendo a direção positiva para cima. (2.24) v(t) = v0 – gt y = y0 + v0t – 12 gt 2 2 (2.25) 2 0 v = v – 2g(y – y0) (2.26) Exemplo 5: Uma pedra é arremessada verticalmente para cima, partindo do alto de um terraço de altura de 40 m. Se a velocidade inicial da pedra é 15 m/s, determine: a) o tempo que a pedra gasta para chegar à altura máxima; b) a altura máxima atingida; c) o tempo gasto pela pedra para atingir o nível do arremessador; d) a velocidade da pedra ao chegar ao chão. Podemos interpretar fisicamente este problema da seguinte maneira: à medida em que a pedra sobe até a altura máxima a ser atingida, sua velocidade escalar está diminuindo. Ao chegar ao ponto mais alto da trajetória, sua velocidade é igual a zero e a pedra pára momentaneamente, iniciando o movimento de descida, durante o qual a velocidade escalar aumenta. Durante todo o movimento, a pedra está sendo acelerada para baixo, pois a força de atração gravitacional atua sobre ela de forma a atraí-la para a superfície terrestre. Desprezando a resistência com o ar, modelamos este problema como um movimento com aceleração constante. Unidade 2 Fisica I.indb 61 61 8/5/2015 15:16:15 Universidade do Sul de Santa Catarina a) Para determinar o tempo utilizado para chegar à altura máxima, utilizamos a equação v(t) = v0 – gt e fazemos v = 0, já que na altura máxima a pedra irá parar momentaneamente: v(t) = v0 – gt 0 = 15 m/s – 9,8 m/s 2· t t= −15 m/s −9,8 m/s 2 t = 1,53 s b)Este tempo pode ser substituído na equação y = y0 + v0t – 12 gt 2 para se determinar a altura máxima atingida. y = y0 + v0t – 12 gt 2 ∆y = 15 m/s · (1,53 s) – 12 9,8 m/s 2(1,53 s)2 ∆y = 11,5 m Este é o deslocamento sofrido acima do prédio, então a partir do solo, como o prédio tem 40 m, a pedra estará a uma altura de 51,5 m. c) Quando a pedra está de volta à altura do arremessador, ∆y = 0 e a equação fica: ∆y = 15 m/s · t – 4,9 m/s 2· t 2 Esta é uma equação quadrática e tem duas soluções para t. t (15 – 4,9t) = 0 E as soluções são: t = 0 e t = 3,06 s. Observe que 3,06 s é o dobro de 1,53 s, que é o tempo gasto na subida. A pedra leva exatamente o mesmo tempo para subir até altura máxima e descer até arremessador. 62 Fisica I.indb 62 8/5/2015 15:16:15 Física I d)Para calcular a velocidade da pedra ao chegar ao solo, usamos v2 = v02 – 2g(y – y0), pois não sabemos o tempo gasto para chegar ao solo e nesta equação não temos dependência com o tempo. v2 = v02 – 2g(y – y0) v2 = 02 – 2 · 9,8 m/s2 · (0 – 51,5) m v = 31,8 m/s Seção 4 – Vetor posição, deslocamento, velocidade e aceleração para duas e três dimensões Quando um avião acelera em uma pista para decolagem, podemos descrever este movimento com as equações estudadas na seção anterior, pois se trata de um movimento retilíneo. Como podemos descrever o movimento deste corpo quando este sai do chão? E quando ele descreve uma trajetória curvilínea? Quais são as equações que irão nos auxiliar no estudo de movimento em duas e três dimensões? Considere uma partícula em um ponto P em um dado instante. Para localizar a partícula precisamos de um vetor posição r desta partícula neste instante. Este é um vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto P (Figura 2.15). Podemos ver na figura que as coordenadas cartesianas x, y e z do ponto P são as componentes x, y e z do vetor r. Usando os vetores unitários, o vetor posição pode ser assim apresentado: r = xi + yj + zk (2.27) Unidade 2 Fisica I.indb 63 63 8/5/2015 15:16:15 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 2.15 Vetor posição para um movimento em três direções Ao se deslocar no espaço, a trajetória da partícula normalmente é uma curva, e durante um intervalo de tempo a partícula se move de um ponto P1, onde o vetor posição é r1, até um ponto P2, onde o vetor posição é r2. Podemos então definir o deslocamento e a velocidade média exatamente como fizemos na seção anterior. v= ∆r r f - ri = ∆t t f − ti (2.28) Figura 2.16 Vetor deslocamento e velocidade vetorial média para um movimento em três direções 64 Fisica I.indb 64 8/5/2015 15:16:15 Física I A velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero, portanto é igual à taxa de variação do vetor posição com o tempo. ∆r d r = ∆t →0 ∆t dt v = lim v = lim ∆t →0 (2.29) A velocidade escalar em um instante qualquer é o módulo de v neste mesmo instante. E o vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória em cada ponto. Observe que a posição e a velocidade são vetores com componentes nos eixos x, y, e z. Assim, é mais fácil calcular o vetor velocidade instantânea usando estas componentes. Para qualquer deslocamento ∆r, temos as componentes ∆x, ∆y e ∆z, para as variações das três coordenadas da partícula. Portanto, as componentes do vetor velocidade podem ser encontradas simplesmente através das derivadas das coordenadas x, y, e z em relação ao tempo. Então: dx dt dy vy = dt dz vz = dt vx = (2.30) (2.31) (2.32) O módulo do vetor velocidade é: | v | = v = vx2 + v 2y + vz2 (2.33) Unidade 2 Fisica I.indb 65 65 8/5/2015 15:16:15 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 2.17 Vetor velocidade para um movimento em três direções Vetor aceleração Após o estudo da aceleração para o movimento retilíneo, podemos aplicá-lo ao movimento de uma partícula no espaço. Definimos aceleração média de uma partícula que se move no espaço de P1 a P2 como a razão entre a variação do vetor velocidade ∆v e o intervalo de tempo gasto ∆t para esta variação. a= ∆v v f - vi = ∆t t f − ti (2.34) A aceleração média é uma grandeza vetorial com a mesma direção do vetor velocidade média. Figura 2.18 Vetor aceleração para um movimento em três direções 66 Fisica I.indb 66 8/5/2015 15:16:15 Física I Podemos também, utilizando os conceitos estudados no movimento retilíneo, apresentar a aceleração instantânea: ∆v d v = ∆t →0 ∆t dt a = lim a = lim ∆t →0 (2.35) Cada componente do vetor aceleração instantânea é dado pela derivada da respectiva componente do vetor velocidade em relação ao tempo t. ax = ay = az = dvx dt (2.36) dv y dt (2.37) dvz dt (2.38) Exemplo 6: Uma bola descreve um movimento bidimensional a partir de um penhasco, e suas coordenadas x e y são dadas pelas seguintes expressões: x = (15 m/s)t y = (5 m/s)t – (4,9 m/s2)t 2 a) Mostre a trajetória da bola em um gráfico x versus y. b) Obtenha expressões para o vetor velocidade em função do tempo. E encontre a velocidade para t = 5 s. c) Obtenha expressões para o vetor aceleração em função do tempo. E encontre a aceleração para t = 5 s. Tabela 2.4 – Coordenandas x e y em função do tempo t(s) x(m) y(m) 0 1 2 3 4 5 0 15 30 45 60 75 0 0,1 -9,6 –29,1 –58,4 –97,5 a) Para mostrar a trajetória da bola, vamos construir a tabela ao lado, onde determinaremos as coordenadas x e y em função do tempo, e depois vamos traçar a trajetória. Unidade 2 Fisica I.indb 67 67 8/5/2015 15:16:16 Universidade do Sul de Santa Catarina Trajetória do corpo 0 Altura -20 -40 -60 -80 -100 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Alcance horizontal Figura 2.19 Gráfico da trajetória do corpo em queda a partir de um penhasco b)A velocidade pode ser obtida fazendo a derivada das expressões das coordenadas x e y: vx = dx d = [15t] = 15 m/s dt dt Observe que a componente da velocidade no eixo x é independente do tempo, ou seja, constante. dy d vy = = [5t – 4,9t 2] = 5 m/s – 9,8 m/s2· t dt dt Para t = 5 s, a velocidade será: vx = 15 m/s vy = 5 m/s – 9,8 m/s2· 5 s = – 44 m/s Usando a notação vetorial: v = (15 m/s)i + (–44 m/s)j 68 Fisica I.indb 68 8/5/2015 15:16:16 Física I c)A aceleração pode ser obtida fazendo a derivada das expressões das velocidades em função do tempo: dv d [15] = 0 ax = x = dt dt dv y d = [5 – 9,8t] = – 9,8 m/s2 ay = dt dt Observe que a aceleração para qualquer eixo é independente do tempo. No eixo x é nula e no eixo y é a própria aceleração gravitacional. Este é o movimento denominado por lançamento de projétil que é descrito fisicamente a seguir. A aceleração vetorial pode ser escrita como: a = (–9,8 m/s2)j Seção 5 – Lançamento de projéteis Qualquer corpo lançado com uma velocidade inicial formando um ângulo com a superfície terrestre descreve uma trajetória parabólica conhecida. O movimento de uma bola ao sofrer um chute ou de uma bala atirada por uma arma de fogo são exemplos de movimentos de projéteis. Estes movimentos podem ser facilmente descritos e partiremos de algumas suposições: 1a) A aceleração de queda livre g é constante durante o intervalo de tempo t de movimento e direcionada para baixo; 2a) O efeito de resistência com o ar, durante o movimento, pode ser desprezado. Escolhendo para referencial o plano cartesiano xy, tal que a direção y seja vertical e positiva para cima, teríamos ay = –g (como em queda livre unidimensional) e ax = 0 (a única aceleração possível seria a resistência com o ar que está sendo desprezada). Também vamos supor que para t = 0 a posição é a origem, ou seja, xo = yo = 0, e que a velocidade é vo como mostra a Figura 2.20 a seguir. Unidade 2 Fisica I.indb 69 A aproximação é válida uma vez que a altura máxima do movimento é pequena se comparada com o raio da Terra (6,4 × 6 10 m). Equivale a supor que a Terra seria plana dentro do alcance do movimento. 69 8/5/2015 15:16:16 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 2.20 Trajetória parabólica de um projétil, quando os efeitos com a resistência com o ar podem ser desprezados Se a velocidade faz um ângulo θ com a horizontal, podemos decompor este vetor seguindo os conhecimentos adquiridos na Unidade 1 e suas componentes ortogonais são: vxo = vocos θ vyo = vosen θ (2.39) (2.40) Estas são as equações para as componentes da velocidade inicial do projétil. A partir destas equações, podemos descrever o movimento de um projétil através da composição de dois movimentos, um na horizontal sem aceleração ou um MRU, e outro na vertical sujeito à aceleração gravitacional ou um movimento de queda livre. Assim as equações descritas na Seção 3 podem ser aplicadas neste estudo. Devemos apenas substituir o valor encontrado para as componentes horizontal e vertical da velocidade. Logo, substituindo as componentes iniciais da velocidade (equações 2.39 e 2.40) e fazendo xi = yi = 0, ax = 0 e ay = –g, temos: 70 Fisica I.indb 70 8/5/2015 15:16:16 Física I Movimento na direção horizontal (MRU): vxf = vxo = vocos θ = constante x = (vocos θ)t (2.41) Movimento na direção vertical (queda livre): (2.42) vyf = (vosen θ) – gt yf = (vosen θ)t – 2 f 2 1 2 gt 2 (2.43) v = (vosen θ) – 2g∆y (2.44) Isolando t na equação (2.41) que descreve a posição para o movimento na horizontal, e substituindo na equação (2.43) que descreve a posição para o movimento vertical, obtemos: 2 g y f = (tan θ)x f − 2 x f 2 2vo cos θ Esta equação é válida para ângulos no intervalo 0 < θ < π2 e sua forma é y = ax – bx2, que corresponde à equação de uma parábola que passa através da origem. Além da equação da trajetória, também é interessante analisar mos o ponto mais alto que o corpo em movimento irá atingir ou a altura máxima h do movimento e seu alcance horizontal R, que consiste na máxima distância horizontal que será atingida pelo projétil. A altura máxima h pode ser determinada se isolarmos o tempo t na equação (2.42), fazendo vy = 0 e substituindo este na equação (2.43). Observe que a velocidade no ponto de altura máxima é zero, pois neste instante o projétil inicia seu retorno no movimento de queda livre. Chamando yf de h, obtemos: Unidade 2 Fisica I.indb 71 71 8/5/2015 15:16:16 Universidade do Sul de Santa Catarina vo2 sen 2 θ h= 2g (2.45) Observe que a partir da equação você pode prever como aumentar a altura h, lançando o projétil com uma velocidade inicial maior, a um ângulo maior, ou de um local onde a aceleração gravitacional seja menor. Para determinação de uma equação que descreva o alcance horizontal R, precisamos do dobro do tempo utilizado para chegar na altura máxima ou 2t. Assim, utilizando a equação (2.41) que descreve o movimento horizontal e chamando xf = R e t = 2t, obtemos: R= vo2 sen 2θ g (2.46) A equação mostra que para aumentarmos o alcance precisamos lançar também com uma velocidade inicial maior, a um ângulo maior, ou de um local onde a aceleração gravitacional seja menor. O maior valor possível para o alcance R será obtido quando sen 2θ = 90°. Portanto R é máximo quando θ = 45°. Síntese Nesta unidade, você iniciou o estudo da mecânica, que é a parte da física que descreve os movimentos dos corpos. Inicialmente aprendeu a diferenciar uma partícula de um corpo. Viu que, sempre que as dimensões do corpo puderem ser desprezadas, este corpo pode ser tratado como uma partícula, facilitando a descrição do movimento. Também estudou conceitos de velocidade e aceleração tanto para movimentos em uma dimensão como para movimentos em duas ou três dimensões. 72 Fisica I.indb 72 8/5/2015 15:16:16 Física I Viu que a velocidade média v de uma partícula em um intervalo de tempo de ti a tf é definida como a razão entre o deslocamento ∆r e o intervalo de tempo ∆t: v= ∆r r f - ri = ∆t t f − ti ∆r é um vetor que poderá apresentar até três componentes correspondentes ao deslocamento resultante de um movimento em três dimensões: ∆x, ∆y e ∆z. Também aprendeu sobre a velocidade instantânea, que é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero, portanto é igual à taxa de variação do vetor posição com o tempo. v = lim v = lim ∆t →0 ∆t →0 ∆r d r = ∆t dt Desta forma, as componentes do vetor velocidade podem ser encontradas simplesmente através das derivadas das coordenadas x, y, e z em relação ao tempo. Então: vx = dx dt vy = dy dt vz = dz dt Assim a velocidade escalar em um instante qualquer é o módulo de v neste mesmo instante. E o vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória em cada ponto. Sobre a aceleração, definimos aceleração média de uma partícula que se move no espaço de P1 a P2 como a razão entre a variação do vetor velocidade ∆v e o intervalo de tempo gasto ∆t para esta variação. a= ∆v v f - vi = ∆t t f − ti Unidade 2 Fisica I.indb 73 73 8/5/2015 15:16:16 Universidade do Sul de Santa Catarina A aceleração média é uma grandeza vetorial com a mesma direção do vetor velocidade média, e também poderá chegar a ter três componentes quando o movimento apresentar três dimensões. Podemos também descrever a aceleração instantânea. a = lim a = lim ∆t →0 ∆t →0 ∆v d v = ∆t dt Cada componente do vetor aceleração instantânea é dado pela derivada da respectiva componente do vetor velocidade em relação ao tempo t. ax = dvx dt ay = dv y dt az = dvz dt Você ainda estudou casos específicos como o MRU, que é um movimento sem aceleração, e o MRUV, que apresenta aceleração constante. Além destes, o movimento bidimensional de projéteis constituído por um movimento MRU na horizontal e um movimento de queda livre ou MRUV na vertical. Atividades de auto-avaliação Problemas envolvendo velocidade média e velocidade escalar média 1. Um carro percorre 30 km numa estrada retilínea, à velocidade de 40 km/h. Depois percorre mais 30 km no mesmo sentido com uma velocidade de 80 km/h. a) Qual a velocidade média do carro nesses 60 km de viagem? (Suponha que o movimento é no sentido positivo do eixo x). b) Qual a velocidade escalar média? 2. Um carro se movimenta sobre uma trajetória retilínea entre dois pontos A e B. Na primeira metade da trajetória, sua velocidade escalar média é 30 km/h e na segunda metade é de 60 km/h. Encontre a velocidade escalar média para todo percurso da trajetória. 74 Fisica I.indb 74 8/5/2015 15:16:16 Física I Problemas envolvendo movimentos em uma direção 3. A posição de um objeto em movimento retilíneo é dada por x = 2t – 4t 2 + t 3, onde x está em metros e t em segundos. a) Qual a posição do objeto em t = 0, 1 s, 2 s, 3 s e 4 s? b) Qual o deslocamento entre t = 0 e t = 4 s? c) Qual a velocidade média no intervalo t = 2 s a t = 4 s? 4. A posição de um objeto em movimento retilíneo é dada por x = 2 + 6t + 3t 2, onde x está em metros e t em segundos. a) Qual a posição do objeto em t = 0, 1 s, 2 s, 3 s, 4 s e 5 s? Mostre num gráfico de x versus t o comportamento da posição em função do tempo. b) Encontre uma expressão para a velocidade em função do tempo. c) Qual a velocidade do objeto em t = 0, 1 s, 2 s, 3 s, 4 s e 5 s? Mostre num gráfico de v versus t o comportamento da velocidade em função do tempo. d) Encontre uma expressão para a aceleração em função do tempo. e) Qual a aceleração do objeto em t = 0, 1 s, 2 s, 3 s, 4 s e 5 s? Mostre num gráfico de a versus t o comportamento da aceleração em função do tempo. 5. A posição de um objeto em movimento retilíneo é dada por x = 6 – 4t + 2t 2, onde x está em metros e t em segundos. a) Qual a velocidade média no intervalo t = 2 s a t = 4 s? b) Qual sua velocidade em t = 4 s? c) A velocidade é constante ou está continuamente variando? Unidade 2 Fisica I.indb 75 75 8/5/2015 15:16:16 Universidade do Sul de Santa Catarina 6. Considere o gráfico, velocidade versus tempo, do movimento de um corredor, conforme mostra a figura desta questão. Qual é a distância percorrida por ele em 16 s? Figura 2.21 - Velocidade versus tempo 7. Um ciclista se move ao longo de uma pista retilínea com velocidade de 15 km/h. Ao passar por um marco da pista, passa a desacelerar uniformemente a uma taxa de 10 cm/s2. Usando como referencial o marco da pista: a) Escreva a equação da velocidade do ciclista em função do tempo, usando unidades do sistema internacional (SI). b) Escreva a equação da posição do ciclista em função do tempo, usando unidades do sistema internacional (SI). c) Determine a distância do ciclista ao marco quando ele atinge o repouso. Problemas e questões envolvendo movimentos de projéteis 8. Em um jogo de taco, uma bola é lançada num arco de curva a uma grande altura. Quando a bola atinge o ponto mais alto da trajetória: a) A velocidade e a aceleração são nulas. b) A velocidade é nula, mas a aceleração não é nula. c) A velocidade não é nula, mas a aceleração é nula. d) A velocidade e a aceleração são ambas diferentes de zero. 76 Fisica I.indb 76 8/5/2015 15:16:16 Física I 9. Um projétil é disparado sob um ângulo de 25° acima do horizonte. O módulo da sua velocidade inicial sendo de 30 m/s, qual será a componente horizontal no ponto mais alto da trajetória? 10. Um menino arremessa uma bola com velocidade inicial de 25 m/s, fazendo um ângulo de 30° com a horizontal. Calcule: a) O tempo que a bola fica no ar. b) A distância horizontal percorrida pela bola. 11. Uma bala é disparada na horizontal a 2,0 m de altura em relação ao chão. Se a velocidade inicial é de 230 m/s, qual é o tempo que a bala fica no ar? Saiba mais Para aprofundar seu estudo sobre os movimentos em uma e mais direções, recomendo a leitura do livro “Física I - Mecânica”, de autoria de Hugh D. Young e Roger A. Freedman, editado em 2003 pela editora Pearson Education do Brasil. Nos capítulos 2 e 3 deste livro você encontrará algumas aplicações importantes que lhe auxiliarão na compreensão dos movimentos. Vale a pena conferir! Unidade 2 Fisica I.indb 77 77 8/5/2015 15:16:16 Fisica I.indb 78 8/5/2015 15:16:16 Unidade 3 Força e movimento Objetivos de aprendizagem Estudar os princípios fundamentais da mecânica para descrever as causas do movimento de um corpo. Discutir o significado físico das diferentes grandezas força e massa. Compreender e aplicar as três leis fundamentais do movimento tanto para partículas em equilíbrio como para partículas aceleradas. Conceituar a força de atrito e aplicá-la a partículas em movimento. 3 Seções de estudo Seção 1 Leis de Newton Seção 2 Aplicações das leis de Newton Seção 3 Atrito Fisica I.indb 79 8/5/2015 15:16:17 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Na unidade anterior você estudou sobre o movimento de partículas baseado nas definições de posição, velocidade e aceleração, ou aquilo que chamamos de cinemática. Nesta unidade você continuará o estudo da mecânica através da descrição da dinâmica, que é a parte da física encarregada de discutir os princípios fundamentais da mecânica, ou seja, responsável pela descrição das causas dos movimentos. Conteúdos como conceitos físicos de massa e força, as três leis de Newton para o movimento e a força de atrito compõem a unidade. No decorrer do estudo, você também terá oportunidade de aprender como fazer a descrição de uma partícula em equilíbrio, como também de uma partícula acelerada. A unidade permitirá, então, o entendimento sobre movimentos comuns em nosso dia-a-dia. Para iniciar nosso estudo, vamos refletir sobre um meio de transporte muito rápido e confortável que, embora não exista no Brasil, é bastante popular em outros países: o trem-bala. Este trem circula entre grandes cidades, como Shangai, Tóquio, Osaka, Hiroshima e Nagasaki, excedendo os 200 km/h. A marca mundial de velocidade para um trem com rodas foi estabelecida em 2007 por um TVG (train a grande vitesse) francês que atingiu a velocidade de 574,8 km/h. O protótipo japonês MAGLEV (levitação magnética) havia atingido os 571 km/h. Viajar em um trem tão rápido pode até ser uma coisa comum para a sociedade moderna. Mas você poderá se questionar sobre algumas curiosidades ao utilizar este meio de locomoção. Quando o trem acelera para deixar a estação, uma sensação de compressão contra as costas da poltrona parece tomar conta de seu corpo. Durante a viagem, você pode se movimentar dentro do trem e nem sequer percebe que ele está se movimentando a mais de 200 km/h. Mas quando o trem está chegando à estação, você volta a sentir o movimento. 80 Fisica I.indb 80 8/5/2015 15:16:17 Física I Por que somente percebemos o movimento de trem no início e no final da viagem? Faça seu estudo com atenção e concluirá que através das leis fundamentais da dinâmica, ou as Leis de Newton, você poderá satisfazer suas curiosidades. Figura 3.1 Trem-bala, altíssima velocidade Disponível em: http://home.wangjianshuo.com/archives/2003/11/05/shanghai.maglev-head-in.station.jpg Figura 3.2 Shinkansen, o primeiro comboio de alta-velocidade do mundo Disponível em: http://www.schillerinstitut.dk/images/shanghai_maglev.jpg Unidade 3 Fisica I.indb 81 81 8/5/2015 15:16:17 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 1 – Leis de Newton As três leis de Newton constituem a base da mecânica e foram formuladas com fundamento nos conceitos de massa e força. Assim, é importante inicialmente entendermos estes conceitos para passarmos à discussão sobre as leis de Newton. Com base em nossa experiência do cotidiano podemos definir massa de um corpo como a medida de sua resistência a uma variação de sua velocidade. Imagine que você resolva trocar a posição de seus móveis em seu quarto. Qual seria a maior dificuldade, movimentar seu guarda-roupa ou movimentar seu criado-mudo? Através deste raciocínio podemos perceber que, quanto maior a massa do corpo, maior será a dificuldade em mudar seu estado de repouso ou movimento. Massa é uma quantidade escalar e então pode ser somada aritmeticamente. mT = m1 + m2 + … + mn (3.1) Se pensarmos que esta dificuldade que o corpo oferece para mudar o seu estado de movimento ou de repouso pode ser chamada de inércia, então a definição que segue é verdadeira: Massa é a medida da inércia de um corpo. Unidade no Sistema Internacional (SI): Unidade no Sistema CGS: quilograma (kg) grama (g) 82 Fisica I.indb 82 8/5/2015 15:16:17 Física I Assim como a massa, o conceito de força também pode ser analisado com fundamento em experiências diárias. Podemos observar que estamos constantemente interagindo com corpos que estão a nossa volta. Figura 3.3 - Exemplo força 1 Fonte: Exercícios... (2009). Figura 3.4 - Exemplo força 2 Fonte: História... (2011). Figura 3.5 - Exemplo força 3 Fonte: Spansk... ([20--?]). Unidade 3 Fisica I.indb 83 83 8/5/2015 15:16:17 Universidade do Sul de Santa Catarina O conceito de força nos fornece uma descrição quantitativa desta interação entre os corpos ou entre um corpo e seu ambiente. Estas forças podem ser de contato, quando envolvem o contato direto entre os corpos, ou de longo alcance, quando atuam mesmo a distância. Como forças de contato, podemos citar exemplos comuns como chutar uma bola, empurrar um corpo, etc. No caso de forças de longo alcance, podemos usar como exemplo a atração gravitacional da Terra sobre os corpos e a força eletrostática entre corpos carregados. A força causa a modificação do estado de repouso ou de movimento de um corpo e apresenta as seguintes propriedades: 1. tem módulo, direção e sentido e, portanto, é uma grandeza vetorial; 2. ocorre aos pares. Ao chutar uma bola, seu pé exerce uma força sobre a bola, mas esta também exerce uma força sobre seu pé; 3. pode produzir aceleração. Ao chutar a bola, a velocidade desta poderá variar; 4. pode produzir deformação. A bola pode ser deformada durante a interação com o pé. A força resultante exercida sobre um objeto é a soma vetorial de todas as forças individuais exercidas sobre ele por outros objetos. FR = ∑F = F1 + F2 + … + Fn (3.2) Agora que você já estudou os conceitos de massa e força, podemos iniciar a discussão sobre as leis fundamentais da mecânica. Primeira Lei de Newton (Lei da Inércia) Todo corpo permanece em estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme se a resultante das forças que atuam sobre esse corpo for nula. 84 Fisica I.indb 84 8/5/2015 15:16:17 Física I Esta lei costuma ser chamada de lei da inércia porque inércia significa resistência a uma mudança, e aqui o corpo tende a manter sua velocidade vetorial. Se a velocidade do corpo for igual a zero, este tende a continuar em repouso, e se a velocidade do corpo for diferente de zero, este tende a continuar em MRU com a velocidade que tiver. Observe que a velocidade do corpo não mudará nem em módulo, nem em direção, por isso o corpo continua seu movimento em linha reta. Segundo a primeira leide Newton: se a força resultante sobre um objeto é zero (∑F = 0), então a aceleração do objeto é zero (a = 0). Com esta lei podemos entender por que sentimos uma compressão intensa ao iniciar a viagem em um trem-bala. Como o trem é fortemente acelerado a partir do repouso, e você também estava em repouso dentro do trem, a tendência de seu corpo é manter sua velocidade igual a zero. Daí surge uma sensação de compressão nas suas costas. Durante a viagem, se o trem mantém sua velocidade aproximadamente constante, você não sente seu movimento. Somente na hora em que o trem chega à nova estação é que você passará a perceber o movimento, porque neste momento a velocidade do trem será reduzida e seu corpo tenderá a manter-se em movimento com a velocidade que possuía, ou seja, a velocidade anterior do trem. Assim a lei da inércia permite explicarmos fisicamente o que acontece nesta viagem. Podemos observar que nosso corpo reage às acelerações e não às velocidades. Não temos a sensação corporal de estarmos em movimento se a velocidade é constante, mas sim se esta velocidade sofre uma alteração, que poderá ser tanto em intensidade como em direção. Sistemas inerciais de referência A primeira lei de Newton é válida para sistemas inerciais. Para entendermos vamos analisar um exemplo, imaginando um corpo apoiado sobre uma mesa. Duas forças atuam sobre o corpo: a força gravitacional exercida pela Terra, com direção vertical e sentido para baixo, e uma força oposta, exercida pela mesa sobre o corpo. Unidade 3 Fisica I.indb 85 85 8/5/2015 15:16:17 Universidade do Sul de Santa Catarina Para sabermos se a força resultante sobre o corpo é zero, precisamos definir um referencial para o movimento. Se escolhermos a mesa como referencial, então o corpo está em equilíbrio e a força resultante é realmente zero. Isto implica uma velocidade vetorial invariável e, portanto, a aceleração do sistema é nula. Mas, se o referencial escolhido for outro corpo se movimentando com aceleração em relação à mesa, o objeto sobre a mesa não apresentará aceleração nula. Um sistema inercial de referência é um sistema em que a primeira lei de Newton é válida e, portanto, é um sistema no qual a aceleração de um objeto em movimento será nula se a força resultante sobre ele for nula. Segunda Lei de Newton (Lei Fundamental da Dinâmica) A aceleração adquirida por um corpo é diretamente proporcional à intensidade da resultante das forças que atuam sobre o corpo, tem direção e sentido dessa força resultante e é inversamente proporcional à sua massa. Quando existe força resultante sobre um corpo, este corpo sofre uma aceleração na direção da força. A segunda lei de Newton mostra o efeito que a força resultante exercerá sobre o corpo. Desta forma, quanto maior a força resultante, maior a aceleração, e quanto maior a massa, menor a aceleração. Podemos expressar matematicamente por: FR = m·a (3.3) Esta é uma equação vetorial e equivale a: Fx = m·ax (3.4) Fz = m·az (3.6) Fy = m·ay (3.5) 86 Fisica I.indb 86 8/5/2015 15:16:17 Física I Unidade no Sistema Internacional (SI): 1 Newton = 1 N = 1 kg·m/s2 Se um corpo de massa 1 kg tem uma aceleração de 1 m/s2 em relação a um sistema inercial de referência, a força resultante exercida sobre o corpo é de 1 Newton. 1 Dina = 1 g·cm/s2 Unidade no sistema CGS: Exemplo 1: Quando o Titanic foi lançado ao mar, era o maior objeto móvel construído pelo homem, com uma massa de 6,0 × 107 kg. Qual seria o módulo da força resultante necessária para imprimir ao Titanic uma aceleração de módulo 0,1 m/s2? FR = m·a FR = 6,0 × 107 kg · 0,1 m/s2 FR = 6 × 106 N Terceira Lei de Newton (Lei da Ação e Reação) A toda ação corresponde sempre uma reação de igual intensidade e direção, mas sentido contrário. A terceira lei de Newton mostra que as forças resultam de interações entre os corpos. Também podemos afirmar que as forças sempre ocorrem aos pares. Se dois corpos interagem e o corpo 1 exerce uma força F12 sobre o corpo 2, então o corpo 2 exerce uma força –F21 sobre o corpo 1. F12 = –F21 Observe que estas forças estão aplicadas a corpos diferentes e assim nunca se anulam. Exemplo 2: Os carrinhos A e B (Figura 3.3) estão equipados cada um com uma mola pára-choque, de forma que, quando são empurrados um contra o outro, seus pára-choques se comprimem. Liberados, as molas dos carrinhos se separam de tal forma que aA = 0,85 m/s2 e aB = 1,40 m/s2. Sabendo que a massa do carrinho Unidade 3 Fisica I.indb 87 87 8/5/2015 15:16:17 Universidade do Sul de Santa Catarina B é 1,0 kg, determine a massa do carrinho A. A massa das rodas de cada carrinho é muito menor do que a de sua carroceria e os rolamentos das rodas estão bem lubrificados. Figura 3.6 Interação de carros Segundo a lei da ação e reação: FA = –FB mA·aA = –mB·aB Em termos de módulo: mA·aA = mB·aB Logo: m A = mB aB aA 1, 40 m/s 2 mA = 1,0 kg 2 0,85 m/s mA = 1,6 kg Força gravitacional O peso de um corpo é a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre este corpo. Embora os termos massa e peso sejam considerados sinônimos em nosso cotidiano, é importante que você entenda que isto não é verdadeiro. Massa e peso são grandezas físicas diferentes. Como já estudamos, massa caracteriza a propriedade da inércia de um corpo e quanto maior a massa de um corpo, maior a força necessária para produzir uma dada aceleração neste. O peso de um corpo é uma força que sobre ele age, devido à atração gravitacional exercida 88 Fisica I.indb 88 8/5/2015 15:16:17 Física I pela Terra. Esta força é direcionada para o centro da Terra. Como a aceleração de um corpo em queda livre é igual à aceleração da gravidade g, a força será: (3.7) P = –(m·g)j Onde: g = 9,8 m/s2 e (m·g) é o módulo da força peso. Esta força, usando como referencial o plano xy, com direção positiva para cima, é um vetor com direção e sentido dados por –j . O valor de g varia de um ponto para outro da superfície da Terra desde 9,78 m/s2 a 9,82 m/s2 pelo fato de a Terra não ser uma esfera perfeita e também devido ao seu movimento. Assim, o peso de um corpo pode variar dependendo do local onde se encontre, mas sua massa não varia. A aceleração de um corpo na superfície da Lua é 1,6 m/s2. Exemplo 3: Um astronauta de massa 70 kg. Peso na Terra: 70 kg · 9,8 m/s2 = 686 N Peso na Lua: 70 kg · 1,6 m/s2 = 112 N Seção 2 – Aplicações das leis de Newton Após a discussão sobre as leis de Newton, podemos aplicálas para corpos que estão em equilíbrio (a = 0), ou que estão acelerados devido à ação de forças externas constantes. Aqui, assim como nas unidades anteriores, os corpos são tratados como partículas e, além disso, deixaremos a força de atrito para ser estudada na próxima seção. Cordas e fios: ao puxarmos uma corda, esta sofre uma ligeira extensão e exerce sobre o corpo que a puxou uma força igual e oposta. Será tratada aqui com massa e extensão desprezível, apresentando como única função transmitir forças entre corpos ligados por ela. Unidade 3 Fisica I.indb 89 89 8/5/2015 15:16:17 Universidade do Sul de Santa Catarina Partículas aceleradas Exemplo 4: Considere uma caixa de 8 kg sendo arrastada sobre uma superfície horizontal polida, onde a força de atrito pode ser desprezada (veja a Figura 3.4). Determine a aceleração da caixa e a força que o chão exerce sobre a caixa sabendo que a força realizada através da corda tem intensidade de 20 N. Figura 3.7 Caixa sendo arrastada sobre uma superfície horizontal polida Para a resolução deste problema, devemos construir um diagrama de forças onde todas as forças do problema são colocadas esquematicamente sobre a partícula, como na Figura 3.4. Este diagrama é chamado de diagrama de corpo livre. Podemos observar que três forças estão agindo sobre a partícula: a força gravitacional P, a força exercida pela superfície N e a força exercida pela corda T. A força N é chamada de força normal e a força T é chamada de tração ou de tensão na corda. Força normal (N) – Quando um corpo pressiona uma superfície, experimenta uma força perpendicular à superfície. Esta é chamada de normal, pois tem uma direção sempre perpendicular à superfície. Força de tração (T) – Toda corda esticada está sob tração (tensão). Sua massa é geralmente desprezível. A corda existe apenas como conexão entre os corpos. Tem direção da corda e sentido para fora do corpo. 90 Fisica I.indb 90 8/5/2015 15:16:17 Física I Em seguida, aplicamos a segunda lei de Newton nas direções dos eixos x e y. Para o eixo y: ∑Fy = m·ay Substituindo as forças que atuam nesta direção e fazendo ay = 0, já que a aceleração do movimento tem a direção do eixo x: N–P=0 N = P = m·g N = 8 kg · 9,8 m/s2 N = 78,4 N Esta é a intensidade da força da superfície sobre o corpo. Para o eixo x: ∑Fx = m·ax Substituindo as forças que atuam nesta direção e chamando ax de a, temos: T = m·a Mas sabemos que a força através da corda é de 20 N, então podemos determinar a aceleração do corpo. 20 N = 8 kg · a a= 20 N 20 kg ⋅ m/s 2 = 8 kg 8 kg a = 2,5 m/s2 Unidade 3 Fisica I.indb 91 91 8/5/2015 15:16:17 Universidade do Sul de Santa Catarina Estratégia de resolução de problemas: 1. interpretar fisicamente a situação; 2. traçar o diagrama de corpo livre para cada corpo separadamente, mostrando as forças externas presentes; ∑Fx = m·ax ∑Fy = m·ay 3. aplicar a segunda lei de Newton nas direções x e y para cada corpo; 4. Achar as incógnitas das equações. Exemplo 5: A Figura 3.3 mostra dois corpos de massas m1 e m2 ligados através de uma corda de massa desprezível. A corda passa por uma polia, de massa e atrito desprezíveis, de tal forma que o corpo de massa m2 fica suspenso. O corpo suspenso, ao cair, produz um deslizamento do corpo m1 sobre a superfície horizontal lisa, onde o atrito também pode ser desprezado. Determine: a) o módulo da aceleração dos dois corpos se: m1 = 3,0 kg e m2 = 2,0 kg; b) a intensidade da força de tensão na corda. Figura 3.8 Dois corpos ligados por uma corda tracionada 92 Fisica I.indb 92 8/5/2015 15:16:17 Física I A solução deste problema deve ser iniciada através da construção do diagrama de corpo livre dos dois corpos, no qual são representadas todas as forças que atuam nestes. Veja os diagramas da Figura 3.5. Observe que sobre o corpo de massa m1 temos três forças externas atuando: a força gravitacional P1, a força de reação da superfície sobre o corpo N1 e a força horizontal de tração realizada pela corda T. Já no corpo suspenso de massa m2, duas forças externas estão atuando: a força vertical de tração realizada pela corda T, com sentido para cima, e a força vertical de atração gravitacional P2, com sentido para baixo. A corda puxa o corpo. Observe que a corda puxa o corpo deslizante para a direita e também puxa o corpo suspenso, impedindo que este caia livremente. Para resolver a aceleração dos corpos, vamos aplicar a segunda lei de Newton para as duas massas. Corpo de massa m1: Para o eixo y: ∑Fy = m·ay Substituindo as forças que atuam nesta direção e fazendo ay = 0, já que a aceleração do movimento tem a direção do eixo x: N–P=0 N = P = m1·g N = 3 kg · 9,8 m/s2 N = 29,4 N Esta é a intensidade da força da superfície sobre o corpo. Para o eixo x: ∑Fx = m1·ax Unidade 3 Fisica I.indb 93 93 8/5/2015 15:16:17 Universidade do Sul de Santa Catarina Substituindo as forças que atuam nesta direção e chamando ax de a, temos: T = m1·a Corpo de massa m2: Para o eixo y: ∑Fy = m·ay Substituindo as forças que atuam nesta direção e chamando ay de a, temos: P2 – T = m2·a Observe que fizemos a diferença entre a força de maior módulo (peso do corpo) e a de menor módulo (tração da corda), já que a aceleração tem sentido para baixo. Podemos substituir o valor de T = m1·a e também de P2 = m2·g. m2·g – m1·a = m2·a m1·a + m2·a = m2·g a= m2 g m1 + m2 Substituindo os valores das massas e da aceleração gravitacional, temos: a= 2 kg 9,8 m/s 2 3 kg + 2 kg a = 3,9 m/s2 Substituindo o valor encontrado para a aceleração na equação T = m1·a, podemos determinar a tensão sobre a corda: T = 3 kg · 3,9 m/s2 T = 11,7 N 94 Fisica I.indb 94 8/5/2015 15:16:18 Física I Exemplo 6: Suponha um corpo deslizando por uma rampa inclinada sem atrito, como mostra a Figura 3.6. A inclinação da rampa é θ = 15°. Determine a aceleração do corpo. Para a resolução deste problema, devemos construir um diagrama de forças onde todas as forças do problema são colocadas esque maticamente sobre a partícula. Veja: Figura 3.9 Corpo deslizando sobre um plano inclinado Observe que traçamos um plano cartesiano de forma a coincidir com a inclinação da rampa. Assim temos a força normal N sobre o eixo y e a força peso P , que deverá ser decomposta em duas componentes ortogonais Px e Py, conforme já estudamos na Unidade 1. Pela figura, podemos observar que as componentes da força peso serão descritas por: Px = P sen θ = mg sen 15° Py = P cos θ = mg cos 15° Em seguida, aplicamos a segunda lei de Newton nas direções dos eixos x e y. Para o eixo y: ∑Fy = m·ay Substituindo as forças que atuam nesta direção e fazendo ay = 0, já que a aceleração do movimento tem a direção do eixo x: N – Py = 0 N = mg cos 15° Unidade 3 Fisica I.indb 95 95 8/5/2015 15:16:18 Universidade do Sul de Santa Catarina Esta é a intensidade da força da superfície sobre o corpo. Para o eixo x: ∑Fx = m·ax Substituindo as forças que atuam nesta direção e chamando ax de a, temos: Px = m.a m.g . sen 15° = m.a As massas se cancelam, pois aparecem nos dois lados da equação, e temos para a aceleração: a = g . sen 15° a = 9,8 m/s2. sen 15° = 2,5 m/s2 Podemos verificar que a aceleração do corpo independe do valor de sua massa e é determinada pelo valor da aceleração gravitacional no local e do ângulo de inclinação da rampa. Se θ = 90°, então sen 90° = 1 e o corpo está em queda livre com aceleração g. Partículas em equilíbrio Exemplo 7: Um corpo de 200 N está suspenso por três cordas conforme mostra a Figura 3.7 e está em equilíbrio. Encontre as tensões T1, T2 e T3 nas cordas. Para a resolução deste problema, devemos construir um diagrama de forças onde todas as forças do problema são colocadas esque maticamente sobre a partícula, como está feito na Figura 3.7. Observe que traçamos um plano cartesiano de forma a posicionar o nó na origem do sistema. Vamos agora determinar as tensões nas cordas. 96 Fisica I.indb 96 8/5/2015 15:16:18 Física I Figura 3.10 Corpo suspenso por três cordas Tensão T3: Esta tensão tem módulo igual ao peso do corpo, já que o mesmo está em equilíbrio. Usando a segunda lei de Newton: ∑Fy = 0 T3 = P = 200 N Tensão T1 e T2: As tensões T1 e T2 precisam ser decompostas em componentes ortogonais coincidentes com os eixos x e y. Podemos observar que as componentes das tensões serão descritas por: T1y = T1 sen 60° T1x = T1 cos 60° T2y = T2 sen 25° T2x = T2 cos 25° Unidade 3 Fisica I.indb 97 97 8/5/2015 15:16:18 Universidade do Sul de Santa Catarina Em seguida, aplicamos a segunda lei de Newton nas direções dos eixos x e y. Para o eixo x: ∑Fx = m·ax Substituindo as forças que atuam nesta direção e fazendo ax = 0, já que o corpo está em equilíbrio: T2x – T1x = 0 T2 cos 25° – T1 cos 60° = 0 Vamos isolar T2 nesta equação e deixar indicado: T2 = T1 cos 60° cos 25° Para o eixo y: ∑Fy = m·ay Substituindo as forças que atuam nesta direção e fazendo ay = 0, já que o corpo está em equilíbrio: T1y + T2y – T3 = 0 T1 sen 60° + T2 sen 25° – T3 = 0 Substituindo o valor de T2 e o valor de T3, temos: cos 60° sen 25° − 200 N = 0 cos 25° cos 60° T1 sen 60° + T1 sen 25° = 200 N cos 25° T1 = 181, 9 N T1 sen 60° + T1 98 Fisica I.indb 98 8/5/2015 15:16:18 Física I Agora podemos substituir o valor de T1 em: cos 60° cos 25° cos 60° T2 = 181, 9 N cos 25° T2 = 100, 4 N T2 = T1 Assim encontramos as três tensões sobre as cordas. Exemplo 8: Um corpo de massa m1 = 5 kg está sobre um plano com 30° de inclinação, sem atrito, preso por uma corda que passa por uma polia, de massa e atrito desprezíveis, e tem na outra extremidade um segundo corpo de massa m2, pendurado verticalmente. Determine a massa m2 e a tensão na corda para que o sistema mantenha-se em equilíbrio. Figura 3.11 Corpo sobre um plano inclinado ligado a um corpo suspenso por uma corda Para a resolução deste problema, devemos construir um diagrama de forças onde todas as forças do problema são colocadas esquematicamente sobre os dois corpos. Unidade 3 Fisica I.indb 99 99 8/5/2015 15:16:18 Universidade do Sul de Santa Catarina Corpo de massa m1: Observe que traçamos um plano cartesiano para o corpo de massa m1 de forma a coincidir com a inclinação da rampa. Assim temos a força normal N sobre o eixo y, a força de tração T e a força peso P , que deverá ser decomposta em duas componentes ortogonais Px e Py, conforme já estudamos na Unidade 1. Pela Figura 3.7 podemos observar que as componentes da força peso serão descritas por: Px = P sen θ = m1g sen 30° Py = P cos θ = m1g cos 30° Em seguida, aplicamos a segunda lei de Newton nas direções dos eixos x e y. Para o eixo y: ∑Fy = m·ay Substituindo as forças que atuam nesta direção e fazendo ay = 0, temos: N – Py = 0 N = m1g cos 30° N = 5 kg · 9,8 m/s2 · cos 30° = 42,4 N Esta é a intensidade da força da superfície sobre o corpo. Para o eixo x: ∑Fx = m·ax Substituindo as forças que atuam nesta direção e fazendo ax = 0, temos: T – Px = 0 T = m1g sen 30° T = 5 kg · 9,8 m/s2 · sen 30° = 24,5 N Este é o valor da tensão sobre a corda que liga os dois corpos. 100 Fisica I.indb 100 8/5/2015 15:16:18 Física I Corpo de massa m2: Para o eixo y: ∑Fy = m·ay Substituindo as forças que atuam nesta direção e fazendo ay = 0, pois o sistema está em equilíbrio, temos: P2 – T = 0 m2g – T = 0 Substituindo o valor da aceleração gravitacional e o valor da força de tensão encontrado acima, temos: m2 · 9,8 m/s2 – 24,5 N = 0 24, 5 kg ⋅ m/s 2 m2 = 9, 8 m/s 2 m2 = 2,5 kg Encontramos assim o valor de m2 para que o sistema permaneça em equilíbrio. Seção 3 – Atrito O atrito exerce um papel muito importante em nosso dia-adia. Graças a ele podemos caminhar, correr, de forma a produzir movimentos de corpos. A força de atrito está presente tanto em movimentos de corpos sobre superfícies ásperas, como no movimento de corpos através de fluidos viscosos como líquidos e o ar. É uma força de resistência ao movimento resultante da interação dos corpos com o meio no qual estão inseridos. Tem sentido contrário ao sentido do movimento e é sempre paralela à superfície. Vamos simbolizar a força de atrito através da letra f . Quando um corpo, pressionado sobre uma superfície, sofre a ação de uma força F na tentativa de fazer o corpo deslizar, podem ocorrer as seguintes situações: Unidade 3 Fisica I.indb 101 101 8/5/2015 15:16:18 Universidade do Sul de Santa Catarina não ocorrer movimento: neste caso, a intensidade da força de atrito f e da força F são iguais em módulo e têm sentidos opostos. Chamamos a força de resistência de atrito estático enquanto o corpo não está em movimento. Na tentativa de movimentar o corpo, aumentamos a intensidade de F e o resultado é um aumento também da forca de atrito. A força de atrito estática tem um valor máximo que dependerá da natureza das superfícies envolvidas e pode ser definida por: fe,max = µe·N (3.8) Onde µe é o coeficiente de atrito estático e N é a intensidade da força normal. A equação é válida quando as superfícies estão começando a deslizar ou para um movimento iminente. ocorrer movimento: neste caso o módulo da força F é maior do que o módulo da força de atrito estática máxima fe,max. Durante um movimento chamamos a força de resistência de atrito cinético fc e sua intensidade é menor que a força de atrito estático máxima. Pode ser descrita por: fc = µc·N (3.9) Onde µc é o coeficiente de atrito cinético e N é a intensidade da força normal. Em nossos estudos consideraremos este coeficiente como sendo independente da velocidade escalar relativa das superfícies. Os coeficientes de atrito são adimensionais e dependem da natureza das superfícies. O coeficiente de atrito estático é geralmente maior que o cinético, e os valores típicos estão entre 0,05 e 1,5. Confira no Quadro 3.1. 102 Fisica I.indb 102 8/5/2015 15:16:18 Física I Tabela 3.1 – Coeficientes de atrito para diferentes materiais Superfícies em contato µe µc Aço sobre aço 0,74 0,57 Cobre sobre aço 0,53 0,36 0,25-0,5 0,2 Alumínio sobre aço 0,61 Borracha sobre concreto 1,0 Madeira sobre madeira Metal sobre metal (lubrificado) 0,15 Gelo sobre gelo 0,1 0,47 0,8 0,06 0,03 Exemplo 9: Um trenó está em repouso sobre uma superfície de neve como mostra a figura. O coeficiente de atrito estático é 0,30 e a massa total do trenó e do passageiro é de 65 kg. Qual o módulo da força horizontal máxima a ser aplicada sobre o trenó quando da iminência do movimento? Figura 3.12 Trenó sobre um plano inclinado Para a resolução deste problema, devemos construir um diagrama de forças onde todas as forças do problema são colocadas esquematicamente sobre a partícula situada na origem do plano cartesiano. Unidade 3 Fisica I.indb 103 103 8/5/2015 15:16:18 Universidade do Sul de Santa Catarina Podemos observar que quatro forças estão agindo sobre a partícula: 1. a força gravitacional P; 2. a força exercida pela superfície N; 3. a força exercida sobre o trenó F ; 4. a força de atrito estática fe. Como o trenó está na iminência de movimento, aplicamos as condições de equilíbrio nos dois eixos x e y. Para o eixo y: ∑Fy = m·ay Substituindo as forças que atuam nesta direção e fazendo ay = 0, já que o sistema está em equilíbrio, temos: N–P=0 N = P = m·g N = 65 kg · 9,8 m/s2 N = 637 N Esta é a intensidade da força da superfície sobre o corpo. Para o eixo x: ∑Fx = m1·ax Substituindo as forças que atuam nesta direção e fazendo ay = 0, já que o sistema está em equilíbrio, temos: F – fe = 0 F = µe·N F = 0,30 · 637 N = 191,1 N A força horizontal máxima tem módulo igual à força de atrito estático máximo. Qualquer aumento neste valor resultará em uma aceleração do conjunto trenó e passageiro. 104 Fisica I.indb 104 8/5/2015 15:16:18 Física I Exemplo 10: Um trenó está deslizando sobre uma superfície de neve como mostra a Figura 3.9. O coeficiente de atrito cinético é µc = 0,05 e a massa total do trenó e do passageiro é de 65 kg. Qual a aceleração do sistema se uma força de 200 N está sendo aplicada no trenó? Para a resolução deste problema, devemos construir um diagrama de forças onde todas as forças do problema são colocadas esquematicamente sobre a partícula situada na origem do plano cartesiano. Podemos observar que quatro forças estão agindo sobre a partícula: 1. a força gravitacional P ; 2. a força exercida pela superfície N ; 3. a força exercida sobre o trenó F ; 4. a força de atrito cinética fc. Aplicamos a segunda lei de Newton nos dois eixos x e y. Para o eixo y: ∑Fy = m·ay Substituindo as forças que atuam nesta direção e fazendo ay = 0, já que a aceleração do movimento é em x, temos: N–P=0 N = P = m·g N = 65 kg · 9,8 m/s2 N = 637 N Esta é a intensidade da força da superfície sobre o corpo. Para o eixo x: ∑Fx = m·ax Unidade 3 Fisica I.indb 105 105 8/5/2015 15:16:18 Universidade do Sul de Santa Catarina Substituindo as forças que atuam nesta direção e fazendo ax = a, temos: F – fc = m·a F – µc·N = m·a 200 N – (0,05 · 637 N) = 65 kg·a a= 168, 2 N = 2, 6 m/s 2 65 kg Esta é a aceleração do conjunto trenó e passageiro. Síntese Nesta unidade você estudou as três leis de Newton que constituem a base da mecânica, formuladas com base nos conceitos de massa e força. Assim, inicialmente, compreendeu os conceitos de massa (a medida de sua inércia) e força (que causa a modificação do estado de repouso ou de movimento de um corpo). A força apresenta as propriedades a seguir: 1. tem módulo, direção e sentido e, portanto, é uma grandeza vetorial; 2. ocorre aos pares; 3. pode produzir aceleração; 4. pode produzir deformação. Depois, aprendeu a aplicar as leis de Newton, que podem ser assim resumidas: Primeira Lei de Newton (Lei da Inércia) “Todo corpo permanece em estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme se a resultante das forças que atuam sobre esse corpo for nula.” 106 Fisica I.indb 106 8/5/2015 15:16:18 Física I Segunda Lei de Newton (Lei Fundamental da Dinâmica) “A aceleração adquirida por um corpo é diretamente proporcional à intensidade da resultante das forças que atuam sobre o corpo, tem direção e sentido dessa força resultante e é inversamente proporcional à sua massa.” F R = m·a Terceira Lei de Newton (Lei da Ação e Reação) “A toda ação corresponde sempre uma reação de igual intensidade e direção, mas sentido contrário.” F12 = – F21 Se dois corpos interagem e o corpo 1 exerce uma força sobre o corpo 2, então o corpo 2 exerce uma força sobre o corpo 1. Também estudou e aprendeu a aplicar a força de atrito, que é uma força de resistência ao movimento resultante da interação dos corpos com o meio no qual estão inseridos. Tem sentido contrário ao sentido do movimento e é sempre paralela à superfície. A força de atrito pode ser estática, quando o corpo está parado em um referencial: fe,max = µe·N e cinética, quando o corpo está em movimento em um referencial: fc = µc·N Unidade 3 Fisica I.indb 107 107 8/5/2015 15:16:18 Universidade do Sul de Santa Catarina Atividades de autoavaliação Responda as questões a seguir com fundamento nas leis de Newton: 1. Nas situações relacionadas abaixo, identifique os pares de força “Ação e Reação”: a) Um jogador chuta uma bola. b) Uma caixa está sobre uma mesa. c) Um carro bate em uma árvore. 2. Uma bola rolando no chão não permanece em movimento retilíneo uniforme. Por quê? 3. Para empurrar uma caixa com velocidade constante é neces sária uma força de 600 N. A força de atrito entre a mesa e o piso é maior, menor ou igual a 600 N? Justifique. Resolva os problemas propostos: 4. Se o corpo padrão de 1 kg é acelerado por: F1 = (5,0 N)i + (4,0 N)j e F2 = (–2,0 N)i + (–5,0 N)j, então: a) Qual a força resultante, em notação de vetores unitários? b) Qual o módulo e o sentido da força resultante e da aceleração? 5. Duas forças são aplicadas sobre uma partícula que se move continuamente com velocidade v = (2,0 m/s)i + (6,0 m/s)j. Uma das forças é F1 = (2,0 N)i + (–4,0 N)j. Qual é a outra força? 6. Três forças são aplicadas sobre uma partícula que se move com velocidade constante v = (3,0 m/s)i + (–6,0 m/s)j. Duas das forças são: F1 = (4,0 N)i + (5,0 N)j +(–2,0 N)k e F2 = (–5,0 N)i + (7,0 N)j +(–3,0 N)k. Qual é a outra força? 108 Fisica I.indb 108 8/5/2015 15:16:18 Física I 7. Qual é o peso em Newtons e a massa em quilogramas de: a) um saco de arroz de 5 kg, b) um jogador de 78 kg e c) um automóvel de 1,8 toneladas? (1 tonelada = 1000 kg) 8. Um astronauta com 85 kg de massa deixa a Terra. Calcule seu peso: a) na Terra; b) em Marte, onde g = 3,8 m/s2; c) no espaço interplanetário, onde g = 0. Qual a sua massa em cada um destes locais? 9. Um móbile infantil está preso em um teto através de duas cordas de massas desprezíveis. As massas dos objetos são dadas na figura 3.13 ao lado. Qual a tensão: a) na corda inferior? b) na corda superior? Figura 3.13 Móbile suspenso 10. Três blocos são conectados, como na Figura 3.14 a seguir, sobre uma mesa horizontal, sem atrito, e puxados para a direita com uma força T3 = 60 N. Se m1 = 10 kg, m2 =18 kg e m3 = 25 kg, calcule: a) a aceleração do sistema; b) as tensões T1 e T2. Figura 3.14 - Três blocos sendo puxados Unidade 3 Fisica I.indb 109 109 8/5/2015 15:16:18 Universidade do Sul de Santa Catarina 11. No sistema abaixo, desprezam-se os atritos e as massas do fio e da polia. Os corpos A, B e C têm as seguintes massas: mA = 2 kg, mB = 0,5 kg e mC = 3 kg. Determine: a) a aceleração do sistema; b) a intensidade da força que A exerce sobre B. Figura 3.15 - Dois corpos ligados por uma corda 12. Um armário com gavetas e roupas tem massa m = 35 kg e encontra-se em repouso sobre o assoalho de um quarto. Adote g = 9,8 m/s2 e responda: a) Se o coeficiente de atrito estático entre o móvel e o assoalho for 0,4, qual a menor força horizontal que uma pessoa deverá aplicar sobre o armário para colocá-lo em movimento? b) Se as gavetas e as roupas, que têm 15 kg de massa, forem removidas antes de o armário ser empurrado, qual a nova força mínima que deverá ser aplicada? 13. Você acaba de receber na calçada em frente a sua casa uma caixa de 500 N com um eletrodoméstico. Para começar o movimento até a porta da sua casa é necessário aplicar uma força horizontal de módulo igual a 250 N. Depois de iniciado o movimento, você necessita apenas de 200 N para manter o movimento com velocidade constante. Quais são os coeficientes de atrito estático e de atrito cinético? 110 Fisica I.indb 110 8/5/2015 15:16:18 Física I 14. Um menino puxa um trenó, conforme a Figura 3.16, carregado de massa m = 65 kg sobre uma superfície horizontal, com velocidade constante. O coeficiente de atrito µ entre o trenó e a neve é 0,15 e o ângulo θ é 40°. a) Qual é a tensão na corda? b) Qual a força normal que a neve exerce verticalmente para cima sobre o trenó? Figura 3.16 - Trenó sendo puxado Saiba mais O quilograma-força O quilograma-força (kgf ) é uma unidade para força bastante utilizada, embora não seja oficialmente adotada pelo sistema internacional (SI). Um kgf corresponde ao peso de um corpo de massa 1 kg na superfície terrestre, onde g ≈ 10 m/s2, ou seja: 1 kgf = 1 kg 10 m/s2 = 10 N Assim, um corpo de massa 1 kg tem força de 1 kgf, ou cerca de 10 N. Como funciona o dinamômetro? O dinamômetro é um instrumento para medir forças. Seu princípio de funcionamento está baseado na Lei de Hooke. Um dinamômetro pode ser construído através de um suporte, dentro do qual é colocada uma mola e, associada a esta mola, uma escala. Unidade 3 Fisica I.indb 111 111 8/5/2015 15:16:18 Universidade do Sul de Santa Catarina Veja um esquema do instrumento na Figura 3.17 a seguir: Figura 3.17 - Esquema de um dinamômetro Pela Lei de Hooke, podemos determinar a força de aplicação (Felástica), se conhecermos a constante da mola (k) e sua deformação (x): A partir desta relação, podemos construir uma escala de forças se conhecermos a constante elástica da mola. Veja o exemplo: se a mola tem uma constante elástica de 1 N/cm, para deformá-la em 1 cm, a força deverá ser de 1 N. Logo, se deformarmos a mola 1 cm, esse comprimento sairá fora do dinamômetro e, assim, a 1 cm do zero indicado devemos marcar 1 N e assim para toda escala. O zero é marcado considerando a mola sem deformação. 112 Fisica I.indb 112 8/5/2015 15:16:19 Física I Figura 3.18 - Fotografia de um dinamômetro marcando aproximadamente 0,96 N para o peso de um corpo cilíndrico metálico. Unidade 3 Fisica I.indb 113 113 8/5/2015 15:16:19 Fisica I.indb 114 8/5/2015 15:16:19 Unidade 4 Trabalho e energia Objetivos de aprendizagem Discutir o significado físico das grandezas trabalho e energia. Determinar o trabalho realizado por uma força de intensidade constante e por uma força de intensidade variável. Compreender o teorema do trabalho e da energia cinética. Interpretar e resolver problemas a partir de um novo modelo físico fundamentado nos conceitos de trabalho e energia. 4 Seções de estudo Seção 1 Trabalho Seção 2 Energia cinética Fisica I.indb 115 8/5/2015 15:16:19 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo A unidade anterior permitiu o entendimento de movimentos comuns em nosso dia-a-dia, fundamentados nos conceitos físicos de massa e força e nas três Leis de Newton. Alguns movimentos, no entanto, podem tornar-se complicados se optarmos por resolvê-los através dos modelos estudados. Nesta unidade mostraremos que se pode montar uma nova proposta de estudo baseada nos conceitos de trabalho e energia. Energia nos parece um conceito familiar. Ela está por toda parte e de diferentes formas: na luz do sol, na atmosfera, nos oceanos etc. Qualquer processo físico no universo envolve energia e suas transferências ou transformações. Ventos e tempestades provenientes da energia da atmosfera A energia do sol, que garante a vida em nosso planeta s geradas por Marés e correntes oceânica energia em nosso uma das maiores fontes de planeta: o mar Observamos que todo consumo de energia envolve a aplicação de uma força. Como exemplo, podemos analisar o movimento de um carro. Neste caso, a energia térmica do combustível é transformada em energia mecânica sobre as rodas, e forças aparecem na interação das rodas com solo. Ao subir uma escada, a energia produzida 116 Fisica I.indb 116 8/5/2015 15:16:19 Física I pelas células de seu corpo pode ser transformada em energia de movimento, e forças surgem na interação de seus músculos com os degraus da escada. E assim, com qualquer exemplo que analisemos, chegaremos à conclusão de que na transformação de energia de uma dada situação sempre teremos a aplicação de uma força. Já estudamos a relação entre as forças e o movimentos dos corpos, mas ainda não conhecemos a relação entre estas forças e o conceito de energia e de que forma podemos descrever um movimento através desta. Nesta unidade veremos que os conceitos de trabalho e energia estão relacionados e podem ser aplicados no estudo da dinâmica de um sistema mecânico. Seção 1 – Trabalho O trabalho é realizado sempre que um corpo se desloca sob ação de uma força. Observe que esta definição nem sempre corresponde ao uso da palavra na linguagem comum. Quando levantamos verticalmente um corpo de massa m a certa altura do chão, produzindo um deslocamento neste, nossos músculos aplicam uma força igual ao peso do corpo. Neste caso, o trabalho corresponde ao uso da palavra em nosso cotidiano. No entanto, quando caminhamos horizontalmente, sustentando este mesmo corpo, à mesma altura do chão, estamos exercendo uma força vertical sobre ele, mas nenhum trabalho está sendo realizado sobre o corpo. Precisamos ter em mente que sempre que falarmos de trabalho estamos nos referindo ao trabalho realizado por uma força e esta só realizará trabalho se estiver envolvida no deslocamento deste corpo. Trabalho, então, expressa a relação de uma força com o deslocamento do corpo sobre o qual essa força atua. Simbolizamos o trabalho realizado por uma força por W. Trabalho realizado por uma força constante O trabalho realizado por uma força constante F sobre um corpo que sofre um deslocamento ∆r é: W = F · ∆r (4.1) Unidade 4 Fisica I.indb 117 117 8/5/2015 15:16:19 Universidade do Sul de Santa Catarina O produto escalar entre F e ∆r é então: W = F ∆x cos θ (4.2) Onde F é o módulo da força, ∆x é o módulo do deslocamento e θ é o ângulo entre F e ∆r. O trabalho obtido é uma grandeza escalar sem propriedades direcionais. Figura 4.1 Força constante aplicada em um bloco durante o deslocamento . Unidade de trabalho no SI: Newton·metro (N·m) = Joule (J) 1 N·m = 1 J = 1 kg·m2/s2 Podemos observar que, dependendo do ângulo entre a força e o deslocamento, o trabalho W pode ser positivo, negativo ou nulo. cos 0 = 1 ∴ W > 0 (positivo) cos 90° = 0 ∴ W = 0 (nulo) cos 180° = –1 ∴ W > 0 (negativo) Figura 4.2 Diferentes ângulos entre a força F e o deslocamento 118 Fisica I.indb 118 8/5/2015 15:16:19 Física I Exemplo 1: Trabalho realizado ao levantar um peso de 2000 N a uma altura de 1 m, desenvolvendo um movimento com velocidade constante. A força a ser aplicada ao corpo deve ser de 2000 N para que o movimento tenha velocidade constante, e o trabalho é: W = F.∆x.cos θ W = 2000 N · 1 m · cos θ W = 2000 J Exemplo 2: Uma caixa de 20 kg é arrastada com velocidade constante sobre um plano inclinado sem atrito, sofrendo um deslocamento de 5 m. A Figura 4.3a abaixo ilustra o movimento. a) Qual o valor da força F? b) Qual o valor do trabalho W executado por F? c) Qual o trabalho resultante? O trabalho pode ser calculado a partir de um gráfico da força versus o deslocamento. No gráfico da Figura 4.3b abaixo, a área marcada representa o trabalho realizado pela força. Figura 4.3a - Movimento de uma caixa em um plano inclinado Figura 4.3b - Gráfico do trabalho realizado pela força. P = m×g P = 20 kg × 9,8 m/s2 P = 196 N Px = P × sen 40° = 196 N × sen 40° = 126 N Py = P × cos 40° = 196 N × cos 40° = 150,1 N Unidade 4 Fisica I.indb 119 119 8/5/2015 15:16:22 Universidade do Sul de Santa Catarina a) b) F = Px F = 126 N c) WF = F × ∆x × cos θ WF = 126 N × 5 m × cos 0 WF = 629,9 J WPx = Px × ∆x × cos θ WN = N × ∆x × cos θ WPx = –629,9 J WN = 0 WPy = Py × ∆x × cos θ WR = WF + WPx + WPy + WN WPy = 0 WR = 0 WPx = 126 N × 5 m × cos 180° WN = 150,1 N × 5 m × cos 90° WPy = 150,1 N × 5 m × cos 90° WR = 629,9 J – 629,9 J + 0 + 0 Trabalho realizado por uma força variável Vamos considerar agora um corpo sendo deslocado ao longo do eixo x sob a ação de uma força de módulo F variável. O corpo varia de xi até xf e a força para este deslocamento não tem intensidade constante (veja a curva nas Figuras 4.4a, 4.4b e 4.4c ao lado). Vamos imaginar que para pequenos deslocamentos ∆x podemos tratar a força como de intensidade constante e, assim, calcularmos o trabalho ∆W neste intervalo por: W = F (x) ∆x O trabalho de xi até xf é então: W≈ xf ∑ F (x) ∆x xi 120 Fisica I.indb 120 8/5/2015 15:16:22 Física I Figura 4.4a - Deslocamento de um corpo ao longo do eixo x Figura 4.4b - Força aplicada em um corpo durante o deslocamento Figura 4.4c - Força variada aplicada em um corpo durante o deslocamento Unidade 4 Fisica I.indb 121 121 8/5/2015 15:16:22 Universidade do Sul de Santa Catarina Fazendo os deslocamentos ∆x aproximarem-se de zero, aumentamos os números de termos na soma, mas o valor da soma se aproxima de um valor limite igual à área abaixo da curva de F(x) e o eixo x. Este limite é a integral: lim xf ∑ F (x) ∆x = ∫ xf xi ∆x →0 x i F (x) dx E assim obtemos a definição para o trabalho realizado por uma força variável. W= ∫ xf xi F (x) dx (4.3) Tridimensionalmente: W= ∫ xf xi F (x) dx + ∫ yf yi F (y) dy + ∫ zf zi F (z) dz (4.4) A seguir, apresentamos um exemplo de um sistema constituído por uma força variável. Exemplo 3: Considere um sistema apresentando uma massa m presa a uma mola ideal sobre uma superfície horizontal sem atrito, como mostra a Figura 4.5. A mola exerce uma força dada pela lei de Hooke F = –kx, com x medido a partir da posição de equilíbrio x = 0. Qual é o trabalho realizado pela mola ao deslocarmos o corpo da posição de equilíbrio? Lei de Hooke (F = –kx) Onde k é a constante de elasticidade da mola com unidade em N/m e F é a força elástica restauradora da mola. Observe que a força tem sempre um sinal negativo, indicando ter sempre um sentido oposto ao deslocamento x sofrido pela mola. 122 Fisica I.indb 122 8/5/2015 15:16:22 Física I Figura 4.5 Força aplicada em um sistema bloco-mola Se deslocarmos o bloco de uma posição inicial xi para uma posição final xf, realizamos trabalho sobre o bloco, e a mola executa um trabalho sobre o bloco com sinal oposto. O trabalho W executado pela mola sobre o bloco é: W= ∫ xf xi F (x) dx Mas, F = –kx W= ∫ xf xi (–kx) dx xf W = –k ∫x x dx i W= x – 12 k[x2]| xif W = – 12 k(xf2 – xi2) W= 1 kx 2 2 f – 1 kx 2 2 i Arbitrando como posição inicial a posição de equilíbrio xi = 0 e chamando xf = x: W = – 12 kx2 (4.5) Unidade 4 Fisica I.indb 123 123 8/5/2015 15:16:22 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 2 – Energia cinética Energia cinética é a energia do movimento. É uma grandeza escalar que não depende da direção do movimento. Ela pode ser definida pela equação a seguir, na qual m é a massa e v, a velocidade escalar da partícula: Ec = 12 mv2 (4.6) A equação mostra que um objeto em repouso tem energia cinética igual a zero e que um objeto em movimento tem energia positiva (a energia cinética não pode ser negativa, pois a expressão apresenta velocidade elevada ao quadrado). A unidade de energia cinética ou qualquer outra forma de energia, no Sistema Internacional, é o Joule ( J). Quando uma única força F realiza um trabalho W sobre uma partícula, mudando a sua velocidade, a energia cinética da partícula varia de um valor inicial Eci para um valor final Ecf. A variação de energia cinética é numericamente igual ao trabalho realizado: W = ∆Ec W = Ecf – Eci W = 12 mvf2 – 12 mvi2 (4.7) Quando a partícula está sujeita à ação de várias forças, o trabalho W é o trabalho resultante, executado pela força resultante, ou o trabalho total, somatório de todos os trabalhos executados por cada força. Este teorema é demonstrado a seguir. 124 Fisica I.indb 124 8/5/2015 15:16:23 Física I Teorema do trabalho e da energia cinética Considere uma partícula em movimento em uma dimensão sujeita à ação de forças. O trabalho resultante é: WR = ∑Fx (xf – xi) Considerando um movimento com aceleração constante: vf2 = vi2 + 2a(xf – xi) ( x f − xi ) = (v 2f − vi2 ) 2a Pela segunda lei de Newton: ∑Fx = ma Substituindo ( x f − xi ) = (v 2f − vi2 ) 2a em WR = ∑Fx (xf – xi), teremos: WR = ma WR = m WR = e ∑Fx = ma (v 2f − vi2 ) 2a (v − vi2 ) 2 f 2 1 mv f 2 2 – 12 mvi2 WR = Ecf – ∆Eci WR = Ecf – Eci (4.8) O trabalho realizado pelo somatório das forças que atuam sobre o corpo é igual à variação da energia cinética do corpo. Exemplo 4: Um bloco de massa m = 6,0 kg desliza sem atrito num plano horizontal com velocidade constante de 1,5 m/s. Ele se choca com uma mola, diminuindo seu comprimento natural de um valor x até que sua velocidade se reduz a zero. Qual é o valor de x? A constante da mola é 1000 N/m. Unidade 4 Fisica I.indb 125 125 8/5/2015 15:16:23 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 4.6 Bloco de massa m comprimindo uma mola WR = ∆Ec 1 1 1 ⋅ k ⋅ x 2 = ⋅ m ⋅ v 2f − ⋅ m ⋅ vi2 2 2 2 2 1000 N 2 6 kg ⋅ 0 6 kg ⋅ (1, 5 m/s) 2 − ⋅ ⋅x = − 2 m 2 2 2 N m −500 ⋅ ⋅ x 2 = −6, 75 2 m s 2 x = 0, 0135 m 2 − x = 0, 12 m Síntese Nesta unidade você estudou os conceitos de trabalho e energia e teve oportunidade de constatar que estes estão relacionados e podem ser aplicados no estudo da dinâmica de um sistema mecânico. Viu que o trabalho realizado por uma força constante F sobre um corpo que sofre um deslocamento ∆r é uma grandeza escalar definida por: W = F · ∆r Onde o produto escalar entre F e ∆r é: W = F ∆x cos θ sendo F o módulo da força, ∆x o módulo do deslocamento e θ o ângulo entre F e ∆r. Dependendo do ângulo entre a força e o deslocamento, o trabalho W pode ser positivo, negativo ou nulo. 126 Fisica I.indb 126 8/5/2015 15:16:23 Física I Também estudou sobre o trabalho realizado por uma força variável e dado por: W= ∫ xf xi F (x) dx A unidade também mostrou outro conceito importante no estudo de movimentos: a energia cinética. Energia cinética é a energia do movimento. É uma grandeza escalar que não depende da direção do movimento e pode ser definida pela equação a seguir, onde m é a massa e v é a velocidade escalar da partícula: Ec = 12 mv2 A unidade de energia cinética ou qualquer outra forma de energia, no sistema internacional (SI), é o Joule ( J). Finalmente estudou sobre a relação entre as grandezas trabalho e energia cinética. Viu que quando uma única força F realiza um trabalho W sobre uma partícula, mudando a sua velocidade, a energia cinética da partícula varia de um valor inicial Eci para um valor final Ecf. A variação de energia cinética é numericamente igual ao trabalho realizado: WR = ∆Ec WR = Ecf – Eci WR = 12 mvf2 – 12 mvi2 Unidade 4 Fisica I.indb 127 127 8/5/2015 15:16:23 Universidade do Sul de Santa Catarina Atividades de autoavaliação Problemas propostos 1. Uma força F = (2,0 N)i + (–6,0 N)j, agindo sobre um corpo, produz um deslocamento neste de d = (3,0 m)i. Qual é o trabalho realizado pela força sobre o corpo? 2. Sobre uma superfície horizontal, um corpo de 15 kg de massa sofre a ação de uma força F cujo módulo varia conforme mostra o gráfico na figura abaixo. O coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e a superfície é 0,20. Figura 4.7a - Um corpo sofrendo a ação de uma força Figura 4.7b - Variação do módulo da força a) Determine o trabalho de cada força que age no corpo para um deslocamento de 20 m. b) Determine o trabalho resultante no corpo para o deslocamento de 20 m. 3. Um corpo encontra-se em movimento retilíneo uniforme sobre uma superfície horizontal, sob a ação das forças mostradas na Figura 4.8 abaixo. O peso do corpo é 150 N e a força F tem intensidade 100 N. a) Determine o trabalho que cada força que age no bloco realiza durante um deslocamento de 15 m. b) Determine o trabalho da força resultante para esse deslocamento. 128 Fisica I.indb 128 Figura 4.8 - Ação das forças em um corpo 8/5/2015 15:16:23 Física I 4. Um corpo de 20 kg está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Uma força de 100 N puxa o corpo, fazendo um ângulo de 35° com a horizontal, como mostra a Figura 4.9 ao lado. Determine o trabalho efetuado pela força da corda e a velocidade escalar final do corpo depois de deslocar-se 5 m. 5. Um corpo de 2 kg está sobre uma mesa horizontal sem atrito e preso a uma mola de constante 400 N/m. A mola é comprimida 10 cm e o corpo é então liberado. Qual a velocidade do corpo quando a mola está no seu comprimento natural? Figura 4.9 - Ação de uma força sobre um corpo em repouso Saiba mais Para aprofundar seu estudo sobre as relações de trabalho e energia e de que forma estas grandezas nos auxiliam no estudo da dinâmica de um sistema mecânico, recomendo a leitura do livro “Física Viva - volume 1”, de autoria de James Trefil e Robert M. Hazen, editado em 2006 pela editora Livros Técnicos e Científicos (LTC). No capítulo 8 deste livro você encontrará algumas discussões pertinentes sobre o assunto. Vale a pena conferir! Unidade 4 Fisica I.indb 129 129 8/5/2015 15:16:23 Fisica I.indb 130 8/5/2015 15:16:23 Unidade 5 Conservação de energia Objetivos de aprendizagem Discutir o significado físico da energia cinética, energia potencial e energia mecânica de um sistema. Determinar a energia potencial para sistemas sujeitos à força gravitacional e à força elástica. Diferenciar forças conservativas e não conservativas e avaliar a forma como estas alteram a energia mecânica total de um sistema. Resolver problemas a partir de um novo modelo físico fundamentado no princípio da conservação de energia. 5 Seções de estudo Seção 1 Energia potencial Seção 2 Energia mecânica Seção 3 Conservação da energia Fisica I.indb 131 8/5/2015 15:16:23 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo A unidade anterior mostrou que podemos montar uma nova proposta de estudo da dinâmica de um sistema mecânico com base nos conceitos de trabalho e energia. Estudamos sobre o significado físico e as relações das grandezas trabalho e energia cinética. Dando continuidade ao nosso estudo, vamos agora refletir sobre outra modalidade de energia também associada aos movimentos: a energia potencial, e como determinamos a energia total de um movimento, ou a energia mecânica. Ao final, veremos de que forma podemos aplicar o princípio da conservação de energia no estudo de um movimento. Movimento de queda d’á gua em uma cachoeira Ao apreciarmos a queda d’água em uma cachoeira, podemos avaliar este espetáculo da natureza sob o ponto de vista da física, ou pensando sobre as energias que temos envolvidas neste movimento. A água, ao cair, tem sua energia potencial transformada em energia cinética, de maneira a aumentar a sua velocidade, e em energia térmica, de maneira a aumentar sua temperatura. Movimento em -russa uma montanha Da mesma forma, em um passeio ao parque de diversões, também podemos estudar os movimentos sob o ponto de vista de energias. O movimento de um objeto em uma montanha-russa mostra as transformações de energia de movimento envolvidas. Um motor elétrico faz seu carro subir, vencendo a força gravitacional que tenta trazê-lo para baixo, até chegar a um ponto alto. Em seguida, experimenta a descida, na qual a energia potencial armazenada é transformada em 132 Fisica I.indb 132 8/5/2015 15:16:23 Física I energia cinética, produzindo um aumento da velocidade, além de outras formas de energia. A energia total envolvida nestes movimentos, tanto na cachoeira como na montanha-russa, é constante, ou seja, é transformada de uma forma em outra e nenhuma energia é perdida. Esta unidade apresenta a primeira grande lei da conservação, a lei da conservação de energia aplicada no estudo de movimentos. Uma grandeza que “se conserva”, significa que seu valor não varia com o tempo, ou seja, em qualquer instante seu valor é o mesmo. Se em um sistema a energia é conservada, então a quantidade total de energia neste sistema permanece a mesma, embora parte dela possa variar de forma ou tipo. Seção 1 – Energia potencial Vimos que energia cinética é a energia do movimento. É uma grandeza escalar que não depende da direção do movimento. A energia cinética pode ser definida pela equação a seguir, na qual m é a massa e v é a velocidade escalar da partícula: Ec = 12 mv2 A unidade de energia cinética ou qualquer outra forma de energia, no sistema internacional (SI), é o Joule ( J). É importante lembrar também que, se uma partícula está sujeita à ação de várias forças, o trabalho total WR é o somatório de todos os trabalhos executados por cada força, e a variação de sua velocidade implica na variação da sua energia cinética de um valor inicial Eci para um valor final Ecf. Esta variação de energia cinética é numericamente igual ao trabalho realizado: WR = ∆Ec WR = Ecf – Eci WR = 12 mvf2 – 12 mvi2 Outra forma de energia é a energia potencial Ep ou U de um sistema, associada à configuração ou à localização de um ou mais corpos. Quando um corpo de massa m é levantado a uma Unidade 5 Fisica I.indb 133 133 8/5/2015 15:16:23 Universidade do Sul de Santa Catarina determinada altura, mudando a posição relativa entre o corpo e a Terra ou a configuração do sistema, sua energia potencial é também modificada. Quando uma mola é comprimida ou distendida, mudando a posição relativa das espiras da mola ou a configuração do sistema, sua energia potencial é também modificada. Nos dois exemplos, a energia foi armazenada no sistema e poderá posteriormente se manifestar na forma de um movimento. Uma energia que pode resultar na realização futura de movimento e trabalho é chamada de energia potencial. Uma única força atuando sobre um sistema, alterando sua configuração, modificará sua energia potencial. Esta variação de energia potencial é numericamente igual ao trabalho realizado pela força, porém com sinal contrário. ∆Ep = –W (5.1) A seguir, duas formas de energia potencial são discutidas, a gravitacional (Epg) e a elástica (Epe). Energia potencial gravitacional A energia potencial gravitacional está associada ao estado de separação entre dois ou mais corpos que se atraem devido à ação da força gravitacional. A variação da energia potencial gravitacional é resultado de uma mudança de posição do corpo de um ponto de coordenada vertical yi para outro de coordenada yf. Todo corpo que é levantado acima da superfície terrestre apresenta uma energia potencial gravitacional exatamente igual ao trabalho realizado para levantá-lo até a posição em que se encontra. Neste caso a força a ser aplicada deverá ter intensidade igual à força peso: 134 Fisica I.indb 134 8/5/2015 15:16:23 Física I Epf – Epi = mgyf – mgyi (5.2) Tomando yi = 0 como ponto de referência, tem-se Ep = 0 neste mesmo ponto. Com o ponto de referência em yi = 0, a energia potencial gravitacional para um objeto em um ponto com coordenada vertical y é: Epg = mgy (5.3) Exemplo 1: Uma criança salta em uma cama elástica e atinge uma altura máxima de 3 m acima do solo antes de cair ao encontro da cama novamente. Considerando que a massa da criança seja de 15 kg, determine sua energia potencial gravitacional ao atingir esta altura. Epg = mgy Figura 5.1 Energia potencial de um corpo na posição y Epg = 15 kg · 9,8 m/s2 · 3 m Epg = 441 J Energia potencial elástica A energia potencial elástica está associada ao estado de compressão ou distensão de um objeto elástico. Seja a força F que aparece em uma mola ideal que se encontra fora de sua posição de equilíbrio (Figura 5.2), comprimida ou distendida de x, então F (x) = –kx, sendo k a constante elástica da mola, conforme determina a Lei de Hooke. A energia potencial associada a esta força é chamada de energia potencial elástica. O trabalho realizado pela mola, conforme descrição feita na unidade anterior é: W = – 12 k(xf2 – xi2) Unidade 5 Fisica I.indb 135 135 8/5/2015 15:16:23 Universidade do Sul de Santa Catarina Se ∆Ep = –W, então Epf – Epi = 1 k(xf2 2 – xi2) (5.4) Tomando xi = 0 como ponto de referência, tem-se Ep = 0 neste mesmo ponto. Quando xi = 0, a mola encontra-se no estado relaxado. A energia potencial elástica de uma mola comprimida ou distendida de x pode ser definida por: Epe = 1 2 kx 2 (5.5) Figura 5.2 Energia potencial em uma mola fora de sua posição de equilíbrio Exemplo 2: Suponha um corpo de massa 0,5 kg preso a uma mola em movimento sobre um trilho de ar, sem atrito. O lado esquerdo do sistema está fixo a uma parede e o lado direito livre de maneira que pode ser comprimido ou distendido. Se a constante elástica da mola do sistema é 5,0 N/m determine a energia potencial do sistema quando é distendido de 0,5 m a partir de sua posição de equilíbrio. Epe = 12 kx2 136 Fisica I.indb 136 8/5/2015 15:16:24 Física I Epe = 12 ·5 N/m(0,5 m)2 Epe = 0,625 J Seção 2 – Energia mecânica A energia mecânica E de um sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial do mesmo. E = Ec + Ep (5.6) Para uma partícula sujeita a força gravitacional, sua energia mecânica é determinada por: E= 1 mv2 + 2 (5.7) mgy Para uma partícula sujeita à força elástica, sua energia mecânica é determinada por: E= 1 mv2 + 12 kx2 2 (5.8) A seguir será avaliado o comportamento da energia mecânica em sistemas conservativos e não conservativos. Forças conservativas e não-conservativas As forças que realizam trabalho sobre um sistema podem ser classificadas como forças conservativas ou não-conservativas. Uma força é dita conservativa se não realiza nenhum trabalho resultante sobre um objeto que desenvolve um percurso sobre uma trajetória fechada em que a posição inicial seja igual à final. Supondo um sistema em um estado inicial com um determinado valor de energia cinética, se a força F realiza trabalho sobre o sistema variando sua energia cinética Ec, ao retornar para o Unidade 5 Fisica I.indb 137 137 8/5/2015 15:16:24 Universidade do Sul de Santa Catarina estado em que se encontrava, o trabalho resultante será zero e a energia cinética assumirá o valor inicial (∆Ec = 0; Eci = Ecf). Uma força é conservativa se depender apenas da coordenada que localiza o objeto, independentemente da trajetória executada entre as posições inicial e final. A força gravitacional e a força elástica são exemplos de forças conservativas. Força gravitacional Figura 5.3 Trabalho resultante da força gravitacional em uma trajetória fechada onde yi = yf —Quando um objeto se move para cima, como a bola da figura, a força gravitacional realiza um trabalho negativo (o deslocamento é oposto à força). Ao retornar, a força realiza um trabalho positivo (o deslocamento e a força apresentam o mesmo sentido) e então o trabalho resultante no percurso de ida e de volta é zero. WR = –(mgyf – mgyi) WR = –mg(yf – yi) Para um percurso de ida e de volta, yf = yi, logo: 138 Fisica I.indb 138 8/5/2015 15:16:24 Física I WR = 0 Força elástica Figura 5.4 Trabalho resultante da força elástica da mola em uma trajetória fechada onde xi = x f —Seja uma mola presa a uma parede em uma de suas extremidades e a outra fixa a um objeto deslizante. Quando distendida ou comprimida, a força restauradora exerce um trabalho sobre o objeto de: W= 2 1 k(x f 2 – xi2) Para um percurso de ida e de volta, xf = xi, logo: WR = 0 Nem todas as forças são conservativas. Uma força é nãoconservativa (ou dissipativa) se o trabalho que ela realiza sobre o corpo em movimento entre dois pontos depender da trajetória do movimento. Para uma trajetória fechada, o trabalho total realizado por uma força não-conservativa não é nulo, como no caso de uma Unidade 5 Fisica I.indb 139 139 8/5/2015 15:16:24 Universidade do Sul de Santa Catarina força conservativa. A força de atrito é um exemplo de força nãoconservativa. Num percurso de ida e de volta (trajetória fechada), a força de atrito sempre atua de forma a diminuir a velocidade, realizando um trabalho negativo. A resistência com o ar também é um exemplo de força não-conservativa. Sistemas conservativos e a energia mecânica Relembrando os conceitos já trabalhados, temos que um sistema conservativo é aquele no qual somente forças conservativas realizam trabalho. E que a energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial do sistema. Para estes casos, em que somente forças conservativas realizam trabalho sobre o sistema, tem-se como resultado uma conservação da energia mecânica. Assim, Ei = Ef Eci + Epi = Ecf + Epf (5.9) (5.10) Para o exemplo da bola em queda livre, a energia mecânica não varia durante o movimento. Uma redução na energia cinética da bola, em seu percurso para cima, é acompanhada por um aumento na energia potencial da mesma. A energia potencial “armazenada” pode ser convertida em energia cinética. Quando a bola cai, a energia cinética aumenta na mesma quantidade que a energia potencial diminui. Assim, a energia cinética e a energia potencial se transformam uma na outra, de maneira que a energia mecânica permanece inalterada. Também podemos voltar ao exemplo do movimento na montanha-russa. Quando o carro está subindo, uma força igual à força peso deste é aplicada ao longo de uma distância y, resultando em um trabalho W = mgy. Este é o valor da energia potencial no ponto mais alto da trajetória. Ao descer, esta energia é transformada em energia cinética, já que o carro ganha velocidade. Na medida em que perde altura, perde energia potencial e ganha energia cinética, já que sua velocidade aumenta. Ao atingir o ponto mais baixo, sua energia potencial é nula e foi transformada em energia cinética, que é máxima. E na subida, o processo se inverte. 140 Fisica I.indb 140 8/5/2015 15:16:24 Física I Figura 5.5 Energia mecânica durante o movimento de subida e descida de um corpo sujeito à ação da força gravitacional Exemplo 3: Voltando para o exemplo da criança saltando em uma cama elástica com movimentos repetitivos. Considerando que a criança atinja a altura de 3 m acima do solo, mas sabendo que o brinquedo tem uma altura de 1 m, vamos determinar a velocidade que ela atinge cada vez que toca o brinquedo. Ei = Ef Eci + Epi = Ecf + Epf 1 kvi2 + 2 mgyi = 1 kvf2 + 2 mgyf Supondo inicialmente a criança a uma altura de 3 m, sua velocidade neste ponto é nula; e, quando atinge o brinquedo sua altura é 1 m. Também podemos dividir todos os termos por m, dos dois lados da equação. 0 + 9,8 m/s2 · 3 m = v2 + 9,8 m/s2 · 1 m v = 2(29, 4 − 9, 8) v = 6,3 m/s Unidade 5 Fisica I.indb 141 141 8/5/2015 15:16:24 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 3 – Conservação de energia Para sistemas em que forças não-conservativas ou dissipativas (ex.: atrito) estão presentes, a energia mecânica sofre variações. No caso, por exemplo, do sistema bloco-mola da Figura 5.4, a ação da força de atrito resulta em uma diminuição na amplitude de oscilação até o bloco parar. A experiência demonstra que a diminuição de energia mecânica é acompanhada por um aumento de energia térmica do bloco e do piso em que está deslizando. Há um aquecimento durante o processo. Esta energia térmica é uma forma de energia interna (Eint) que está associada a movimentos aleatórios de átomos e moléculas do corpo. Se chamarmos de ∆Eint a variação de energia interna tanto do bloco como do piso, a transformação de energia mecânica em energia térmica deve ser calculada para um sistema que inclua o bloco, a mola e o piso. Ao isolarmos este sistema bloco-mola-piso, de tal forma que nenhum corpo fora do sistema possa trocar energia com os corpos do mesmo, a energia mecânica perdida pelo bloco e pela mola não será perdida pelo sistema, mas transferida internamente nele, na forma de energia térmica. Num sistema isolado, a energia pode ser transformada de uma forma para outra, mas a energia total do sistema permanece constante. ∆Ec + ∆Ep + ∆Eint = 0 (5.11) Se alguma força externa ao sistema executa um trabalho W sobre os corpos do sistema, este não está mais isolado e a equação deve ser então: W = ∆Ec + ∆Ep + ∆Eint (5.12) Exemplo 4: Um automóvel sai do repouso em A em direção ao ponto B, conforme pode ser visto na Figura 5.6. Sabendo que 30% da energia mecânica inicial é dissipada, devido ao atrito presente no movimento, determine a velocidade que o carro possui em B. 142 Fisica I.indb 142 8/5/2015 15:16:24 Física I Figura 5.6 Movimento de descida e subida de um corpo sujeito à ação da força gravitacional em trajetória curvilínea Se 30% da energia mecânica inicial foi dissipada, então: EB = 0,7·EA ECB + EPB = 0,7·(ECA + EPA) 1 mvB2 2 + mgyB = 0,7·( 12 mvA2 + mgyA) Se o carro sai do repouso em A, então vA = 0 e também podemos dividir todos os termos por m: 1 2 v 2 B 1 2 v 2 B + 9,8 m/s2 · 1 m = 0,7·( 12 · 02 + 9,8 m/s2 · 4 m) + 9,8 m2/s2 = 27,4 m2/s2 v B2 = (27, 4 − 9, 8) m 2 /s 2 2 v B2 = 2 ⋅ 17, 6 m 2 /s 2 2 v B = 35, 3 m 2 /s 2 v B = 5, 9 m/s Unidade 5 Fisica I.indb 143 143 8/5/2015 15:16:24 Universidade do Sul de Santa Catarina Síntese Nesta unidade você estudou sobre outra modalidade de energia também associada aos movimentos, a energia potencial, e também sobre a energia total de um movimento, ou a energia mecânica. Além disso, viu de que forma o princípio da conservação de energia pode ser aplicado no estudo de um movimento. Tomando como ponto de referência y = 0, a energia potencial gravitacional para um objeto em um ponto com coordenada vertical y é: Epg = mgy E a energia potencial elástica de uma mola comprimida ou distendida de x pode ser definida por: Epe = 1 2 kx 2 Estudou sobre a energia mecânica E de um sistema, que é a soma da energia cinética e da energia potencial do mesmo. E = Ec + Ep Viu que para uma partícula sujeita à força gravitacional, sua energia mecânica é determinada por: E= 2 1 mv + 2 mgy E para uma partícula sujeita à força elástica, sua energia mecânica é determinada por: E= 2 1 1 2 mv + kx 2 2 144 Fisica I.indb 144 8/5/2015 15:16:24 Física I Também aprendeu a analisar sistemas em que forças nãoconservativas ou dissipativas (ex: atrito) estão presentes, através do princípio da conservação de energia. Nestas situações, a energia mecânica sofre variações, mas a energia mecânica perdida pelo bloco e pela mola não será perdida pelo sistema, e sim transferida internamente nele, na forma de energia térmica. —Num sistema isolado, a energia pode ser transformada de uma forma para outra, mas a energia total do sistema permanece constante. ∆Ec + ∆Ep + ∆Eint = 0 Atividades de autoavaliação 1. Uma força resultante atua sobre um corpo de massa m. Explique o que acontece com a velocidade e a energia cinética do corpo. 2. Um corpo, sob a ação exclusiva de forças conservativas, aumenta sua energia cinética de 100 J num dado intervalo de tempo. a) Qual é a variação de energia potencial neste intervalo de tempo? b) Qual é a variação de energia mecânica neste intervalo de tempo? 3. Um corpo em repouso encontra-se a uma altura do solo de 20 m e sua energia potencial é de 40 J. Admitindo que o campo gravitacional seja conservativo, determine a energia cinética do corpo quando ele estiver a 5 m de altura. Unidade 5 Fisica I.indb 145 145 8/5/2015 15:16:24 Universidade do Sul de Santa Catarina 4. Um carro encontra-se em repouso no ponto A da figura. Inicia seu movimento de descida e atinge o ponto B, onde sua velocidade novamente se anula. Se o peso do veículo é de 5,0 × 103 N e ele perde uma energia de 4,5 × 104 J no movimento de descida, determine o valor da altura y atingida. Figura 5.7 - Movimento de descida e de subida de um carro do ponto A ao ponto B 5. Um automóvel sai do repouso em A em direção ao ponto B, conforme pode ser visto na figura. Sabendo que 20% da energia mecânica inicial é dissipada devido ao atrito presente no movimento, determine a velocidade que o carro possui em B. Figura 5.8 - Movimento de descida e de subida de um carro do ponto A ao ponto B 6. Um corpo de 500 g cai do alto de um prédio, a partir do repouso. Após percorrer 100 m atinge uma velocidade v. Se no trajeto foram perdidos 50 J de energia, determine a velocidade atingida. 146 Fisica I.indb 146 8/5/2015 15:16:24 Física I Saiba mais Para complementar o estudo realizado, vamos definir agora um conceito muito importante em nosso dia-a-dia, o conceito de potência (P). Potência é a taxa de consumo de energia ou o trabalho realizado por unidade de tempo. A potência média é então: ∆W P= ∆t Para uma taxa de realização de trabalho que não seja constante, ou uma potência instantânea, temos: P= dW dt A unidade de potência no SI é o Watt (W), nome dado em homenagem ao inventor inglês James Watt. Um Watt equivale a 1 Joule por segundo. 1 W = 1 J/s A unidade Watt é bastante familiar devido a sua grande utilização domiciliar. Qualquer equipamento elétrico traz consigo a informação de sua potência elétrica. Podemos pensar em uma lâmpada de 100 W, por exemplo, que converte 100 J de energia elétrica em luz e em calor a cada segundo. Qual é o custo se esta lâmpada permanecer ligada por 5h? Para responder esta pergunta, vamos definir uma nova unidade de energia comercialmente utilizada pelas empresas fornecedoras de energia elétrica: o quilowatt-hora (kWh). Um quilowatt-hora é o trabalho total em 1 h (3600 s) quando a potência é de 1 kW (103 J/s). Então: 10 3 J 1 kWh = = 3, 6 × 106 J = 3, 6 MJ 3600 s Unidade 5 Fisica I.indb 147 147 8/5/2015 15:16:24 Universidade do Sul de Santa Catarina É com esta unidade que a empresa de energia elétrica calcula a sua conta de luz. Veja na figura a seguir um exemplo. Podemos observar que neste caso a tarifa depende da faixa de consumo. Figura 5.9 - Conta de luz Vamos adotar o valor R$/kWh = 0,454380. 100 W × 5 h = 500 × 10–3 kWh Para calcular o custo do consumo de uma lâmpada de 100 W durante 5h, fazemos: x = 0,454380 R$/kWh × 0,5 kWh x = R$ 0,22719 Agora você já pode avaliar o custo dos equipamentos domésticos de sua residência. Veja sempre a potência deste (fornecida pelo fabricante), avalie o tempo de consumo e consulte sua conta de energia elétrica para saber o valor do kWh. 148 Fisica I.indb 148 8/5/2015 15:16:24 Unidade 6 Momento e colisões Objetivos de aprendizagem Compreender o significado físico das grandezas impulso e momento linear e a relação destas na descrição de uma interação entre corpos distintos. Aplicar a lei da conservação do momento linear no estudo da colisão entre dois corpos distintos. Estudar as diferentes formas de interação ou de colisões unidimensionais entre dois corpos distintos: as colisões elásticas e inelásticas. 6 Seções de estudo Seção 1 Impulso e momento linear Seção 2 Conservação do momento linear Seção 3 Colisões elásticas e inelásticas Fisica I.indb 149 8/5/2015 15:16:24 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo A unidade anterior mostrou a primeira grande lei da conservação, a lei da conservação de energia aplicada no estudo de movi mentos. Vimos que uma grandeza que “se conserva” indica que seu valor não varia com o tempo, ou seja, em qualquer instante seu valor é o mesmo. Se em um sistema a energia é conservada, então a quantidade total de energia neste sistema permanece a mesma, embora parte dela possa variar de forma ou tipo. Vamos considerar um movimento de arremesso de uma bola em uma partida de tênis. Ao ser arremessada por uma raquete, a bola parte com uma grande velocidade inicial, devido a sua colisão com a raquete. A bola sofre esta variação na velocidade durante um intervalo de tempo muito pequeno, mas a força média sobre a bola é muito grande. Sabemos que pela terceira lei de Newton, é aplicada sobre a raquete uma força de mesma intensidade e oposta à força sobre a bola (ou a força de reação). A força de reação gera na raquete uma variação também em sua velocidade, porém, como a massa da raquete é maior, esta variação é menor do que a sofrida pela bola. Para entendermos melhor esta interação presente entre a raquete e a bola e outras situações semelhantes, vamos fazer um estudo sobre impulso, momento linear e a Lei da Conservação do Momento Linear aplicada ao estudo das colisões entre os corpos. Seção 1 – Impulso e momento linear Na unidade anterior, reformulamos a segunda lei de Newton, ∑F = m·a, em termos do teorema do trabalho-energia que nos levou ao princípio da conservação de energia. Retornando à expressão ∑F = m·a , podemos mostrar ainda outro modo de reformular essa lei fundamental. 150 Fisica I.indb 150 8/5/2015 15:16:25 Física I Para uma partícula com massa constante m, temos que a = dv , dt então podemos escrever a segunda lei de Newton como segue: ∑F = m· dv dt = d (m·v) dt (6.1) Assim, a segunda lei de Newton afirma que a força resultante ∑F que atua sobre a partícula é igual à derivada em relação ao tempo da grandeza m·v, o produto da massa da partícula pela sua velocidade. Essa grandeza é chamada de quantidade de movimento ou momento linear da partícula p. p = m·v (6.2) O momento linear é uma grandeza vetorial com módulo (mv) e uma direção e um sentido que coincidem com a direção e o sentido do vetor velocidade. As unidades do módulo do momento linear são dadas em unidades de massa vezes as unidades de velocidade. No SI a unidade de momento linear é kg·m/s. Substituindo a equação (6.2) na equação (6.1), obtemos: dp ∑F = dt (6.3) Assim, a força resultante que atua sobre uma partícula é também a derivada do momento linear da partícula em relação ao tempo. De acordo com a equação, para uma variação rápida do momento linear precisamos de uma força grande, enquanto que para uma variação lenta do momento linear precisamos de uma força pequena. Unidade 6 Fisica I.indb 151 151 8/5/2015 15:16:25 Universidade do Sul de Santa Catarina Expressando o momento linear em termos de suas componentes temos: px = m·vx , py = m·vy e pz = m·vz Uma grandeza relacionada com momento linear é chamada de impulso. Vamos supor uma força resultante constante ∑F atuando sobre a partícula durante um intervalo de tempo ∆t de ti a tf. O impulso da força resultante, ou o vetor J , é definido como a força resultante multiplicada pelo intervalo de tempo. J = ∑F (tf – ti) J = ∑F (∆t) (6.4) O impulso é uma grandeza vetorial com a mesma direção e o mesmo sentido da força resultante. No SI as unidades para o impulso são dadas por Newton segundo (N·s). Atenção! Como 1 N = 1 kg·m/s2, se multiplicarmos os dois lados por 1 s vamos obter uma nova unidade para impulso ou kg·m/s. Então o impulso possui a mesma unidade de momento linear. dp dt Se a força resultante ∑F é constante, então também é constante e então é igual à variação total do momento linear pf – pi ocorrida durante o intervalo de tempo tf – ti dividido por este intervalo. p f − pi ∑F = t f − ti Multiplicando a equação anterior por tf – ti, obtemos: ∑F ·(tf – ti) = pf – pi 152 Fisica I.indb 152 8/5/2015 15:16:25 Física I Comparando com a equação (6.4) J = pf – pi (6.5) Este é o teorema do impulso e do momento linear, em que a variação do momento linear durante um intervalo de tempo é igual ao impulso da força resultante que atua sobre a partícula durante esse intervalo. O teorema do impulso-momento linear também é válido para forças variadas. Para verificar isto, integramos em relação ao tempo ambos os membros da equação (6.3) entre os limites ti e tf. tf t f dp tf ∫ti ∑F dt = ∫ti dt dt = ∫ti dp = pf – pi No lado esquerdo da equação temos a definição de impulso, mesmo quando a força resultante varia com o tempo: J= tf ∫ ∑F dt (6.6) ti Exemplo 1: Um corredor de atletismo de 75 kg está correndo a 4,0 m/s. Que impulso irá pará-lo? J = ∆p J=m J = 75 kg · 4 m/s J = 300 kg·m/s Unidade 6 Fisica I.indb 153 153 8/5/2015 15:16:25 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 2 – Conservação do momento linear Para o estudo sobre interações entre corpos é fundamental conhecer o conceito de momento linear e em que condições esta grandeza é conservada. Seja um sistema ideal constituído por duas partículas interagindo entre si, mas sem qualquer outra interação externa, como mostra a figura (6.1). Figura 6.1 Interação entre dois corpos As partículas exercem forças de ação e reação entre si, ou de mesma intensidade e direção, mas sentidos opostos. Desta forma, os impulsos que atuam sobre as partículas, como é dado por J = ∑F (∆t), também serão de mesmo módulo e direção, mas sentidos opostos. E as variações do momento linear também serão iguais e contrárias. Chamamos de sistema isolado o sistema constituído pelas partículas em que as forças descritas pelo princípio de ação e reação são ditas internas. Qualquer força exercida por um corpo externo ao sistema é chamada de força externa. As taxas de variações dos momentos lineares dessas partículas são: dp1 F2,1 = dt dp2 F1,2 = dt (6.7) (6.8) 154 Fisica I.indb 154 8/5/2015 15:16:25 Física I O momento linear de cada partícula varia de forma independente e: dp1 dp2 d ( p1 − p2 ) F2,1 + F1,2 = + = =0 t f − ti dt dt O momento linear total do sistema isolado é: p = p1 + p2 (6.9) Assim, dp F2,1 + F1,2 = =0 dt (6.10) A taxa de variação do momento linear total do sistema isolado é zero, ou então o momento linear total do sistema é constante, mesmo que o momento linear de cada partícula do sistema possa variar. A lei da conservação do momento pode ser expressa na forma: —Se nenhuma força externa age sobre um sistema isolado, o momento total do sistema permanece constante ou não varia. Se o sistema contiver um número qualquer de partículas sujeitas apenas à força interna, o momento linear total do sistema é: p = p1 + p2 + … = m1·v1 + m2·v2 + … (6.11) Seção 3 – Colisões elásticas e inelásticas No estudo das colisões entre dois corpos, utilizaremos a lei da conservação do momento e a lei da conservação de energia. Vamos supor que a força presente durante esta interação seja muito maior do que qualquer força externa presente. Veremos Unidade 6 Fisica I.indb 155 155 8/5/2015 15:16:25 Universidade do Sul de Santa Catarina a seguir colisões unidimensionais para duas situações: colisões elásticas e colisões perfeitamente inelásticas. A diferença fundamental entre elas é que, apesar de o momento linear ser conservado em ambas, a energia cinética é conservada apenas nas colisões elásticas. Colisões elásticas Uma colisão elástica é definida como uma colisão na qual a energia cinética do sistema é conservada além do momento. Muitas colisões em nosso dia-a-dia podem ser entendidas como colisões elásticas e, como exemplo, podemos citar o caso de colisões entre bolas de bilhar. Nestas colisões, algumas transformações de energia acontecem, já que parte da energia deixa o sistema através de ondas sonoras, mas aproximamos a mesma como uma colisão elástica. Figura 6.2 a Momento anterior a uma colisão elástica entre dois corpos Figura 6.2 b Momento após uma colisão elástica entre dois corpos Consideremos dois corpos de massas m1 e m2 durante uma colisão frontal elástica como mostra a figura 6.2. Tanto o momento linear como a energia cinética são conservados, e então podemos escrever: 156 Fisica I.indb 156 8/5/2015 15:16:25 Física I m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f 2 1 m v 1 1i 2 + 2 1 m v 2 2i 2 = 2 1 m v 1 1f 2 + (momento linear) (6.12) 2 1 m v 2 2f (energia cinética) 2 (6.13) Conhecendo as massas m1 e m2 e v1i e v2i, as incógnitas são v1f e v2f. As equações podem ser trabalhadas matematicamente na busca das incógnitas. Cancelando o fator ½ na equação 6.13, temos: m1(v21i – v21f) = m2(v22f – v22i) m1(v1i – v1f)(v1i + v1f) = m2(v2f – v2i)(v2f + v2i) (6.14) Reescrevendo a equação 6.12, m1(v1i – v1f) = m2(v2f – v2i) (6.15) Dividindo a equação 6.14 pela equação 6.15, obtemos: (v1i + v1f) = (v2f + v2i) v1i – v2i = –(v1f – v2f) (6.16) Combinando esta equação 6.16 com a equação 6.12 podemos resolver problemas sobre colisões elásticas unidimensionais entre dois corpos. Resolvendo estas equações para as componentes finais das velocidades, temos; m − m2 2m2 v1 f = 1 v + i 1 m + m v 2i 2 m1 + m2 1 (6.17) 2m1 m − m1 v2 f = v1i + 2 v 2i m1 + m2 m1 + m2 (6.18) Unidade 6 Fisica I.indb 157 157 8/5/2015 15:16:25 Universidade do Sul de Santa Catarina Ao inserir os valores das velocidades devemos incluir o sinal positivo ou negativo. Por exemplo, se o movimento de uma das massas for para a esquerda, sua velocidade deverá ser negativa. Casos especiais: 1º) Se m1 = m2 as equações se reduzem a v1f = v2i e v2f = v1i, ou seja, se os corpos têm as mesmas massas, trocam suas velocidades. Exatamente o que ocorre em um jogo de bilhar. A bola em movimento pára e a bola que estava parada inicia o movimento com igual velocidade. 2º) Se m2 está inicialmente em repouso, v2i = 0, as equações se reduzem a: m − m2 v1 f = 1 v1i m1 + m2 2m1 v2 f = v1i m1 + m2 3º) Se m1 é muito grande se comparada com m2, m1 >> m2, então v1f ≈ v1i e v2f ≈ v2i. Quando um corpo de grande massa colide de frente com um corpo de pequena massa, inicialmente em repouso, o corpo de grande massa continua seu movimento sem alteração e o corpo de pequena massa parte com uma velocidade aproximadamente igual ao dobro da inicial do corpo de grande massa. 4º) Se m2 é muito grande se comparada com m1, m2 >> m1, então v1f ≈ –v1i e v2f ≈ 0. Quando um corpo de pequena massa colide com um corpo de grande massa, inicialmente em repouso, a velocidade do corpo de pequena massa é refletida, ou seja, o corpo inverte seu movimento e o corpo de grande massa permanece em repouso. Exemplo 2: Um corpo de 450 g de massa desenvolve um movimento em um trilho de ar linear sem atrito. Sua velocidade inicial é de 1,7 m/s e atinge elasticamente um segundo carro de massa desconhecida, inicialmente em repouso. Após a colisão, o primeiro carro continua em seu sentido original a 0,5 m/s. 158 Fisica I.indb 158 8/5/2015 15:16:25 Física I a) Qual é a massa do segundo carro? b) Qual é sua velocidade após o impacto? a) b) m − m2 v1 f = 1 v1i m1 + m2 0, 45 − m2 0, 5 = ⋅ 1,7 0, 45 + m2 0, 5 (0, 45 + m2 ) = 0, 45 − m2 1,7 0,13 + 0, 29 ⋅ m2 = 0, 45 − m2 2m1 v2 f = v1i m1 + m2 2 ⋅ 0, 45 v2 f = ⋅ 1,7 0, 45 + 0, 25 0,90 v2 f = ⋅ 1,7 0,70 v 2 f = 2,18 m/s 0, 29m2 + m2 = 0, 45 − 0,13 1, 29m2 = 0,32 m2 = 0, 25 kg Colisões perfeitamente inelásticas Embora o momento possa ser conservado em qualquer colisão, o mesmo não acontece com a energia cinética em um sistema. Uma colisão em que não há conservação da energia cinética é definida como uma colisão inelástica. Como exemplo, podemos pensar na interação sucessiva com o chão de uma bola quicando (sucessivas colisões inelásticas). Mas existe ainda a situação na qual, após uma colisão, os corpos ficam unidos. Este caso é definido como uma colisão perfeitamente inelástica, em que há uma maior fração de energia cinética inicial transformada. Um exemplo pode ser a colisão entre dois carros que, após a colisão, ainda se movimentem com uma velocidade comum. Figura 6.3 a Momento anterior a uma colisão perfeitamente inelástica entre doiss corpos Unidade 6 Fisica I.indb 159 159 8/5/2015 15:16:25 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 6.3 b Momento após uma colisão perfeitamente inelástica entre dois corpos Considerando dois corpos de massas m1 e m2 que após uma colisão frontal permanecem unidos e em movimento, como mostra a figura 6.3. m1v1i + m2v2i = (m1+ m2)vf vf = m1v1i + m2v 2i m1 + m2 (momento linear) (6.19) (6.20) Assim, conhecendo as velocidades iniciais e as massas dos corpos, podemos determinar a velocidade final comum dos corpos. Síntese Nesta unidade você estudou sobre impulso, momento linear e a lei da conservação do momento linear aplicada ao estudo das colisões entre os corpos. Você também viu que o produto da massa da partícula pela sua velocidade, m·v, é a grandeza chamada de quantidade de movimento ou momento linear da partícula p. p = m·v O momento linear é uma grandeza vetorial com módulo (mv) e uma direção e um sentido que coincidem com a direção e o sentido do vetor velocidade. 160 Fisica I.indb 160 8/5/2015 15:16:26 Física I As unidades do módulo do momento linear são dadas em unidades de massa vezes as unidades de velocidade. No SI a unidade de momento linear é kg·m/s. Também estudou uma grandeza relacionada com momento linear e chamada de impulso. Vamos supor uma força resultante constante ∑F atuando sobre uma partícula durante um intervalo de tempo ∆t de ti a tf. O impulso da força resultante, ou o vetor J , é definido como a força resultante multiplicada pelo intervalo de tempo. J = ∑F (∆t) O impulso é uma grandeza vetorial com a mesma direção e o mesmo sentido da força resultante. No SI as unidades para o impulso são dadas por Newton·segundo (N·s). A lei da conservação do momento foi então discutida e aplicada ao estudo das colisões entre dois corpos. Sobre esta lei, temos: Se nenhuma força externa age sobre um sistema isolado, o momento total do sistema permanece constante ou não varia. Se o sistema contiver um número qualquer de partículas sujeitas apenas a forças internas, o momento linear total do sistema é: p = p1 + p2 + … = m1·v1 + m2·v2 + … Sobre as colisões, uma colisão elástica é definida como uma colisão em que a energia cinética do sistema é conservada além do momento. Considerando dois corpos de massas m1 e m2 durante uma colisão frontal elástica, e conhecendo as massas m1 e m2 e v1i e v2i, as incógnitas são v1f e v2f : m − m2 2m2 v1 f = 1 v1i + v 2i m1 + m2 m1 + m2 2m1 m − m1 v2 f = v1i + 2 v 2i m1 + m2 m1 + m2 Unidade 6 Fisica I.indb 161 161 8/5/2015 15:16:26 Universidade do Sul de Santa Catarina Uma colisão na qual não há conservação da energia cinética é definida como uma colisão inelástica. Quando, numa colisão, os corpos ficam unidos, temos o caso de uma colisão perfeitamente inelástica, em que há uma maior fração de energia cinética inicial transformada. Considerando dois corpos de massas m1 e m2 durante uma colisão frontal e, se após a colisão, estes permanecem juntos em movimento, a velocidade comum dos corpos é: vf = m1v1i + m2v 2i m1 + m2 Atividades de autoavaliação 1. Duas bolas de bilhar idênticas, 1 e 2, sofrem uma colisão frontal. A bola 1 atinge a bola 2, que estava inicialmente parada. Após a colisão, a bola 1 permanece em repouso e a bola 2 parte em movimento. Qual a relação entre a velocidade da bola 2 após a colisão e a velocidade da bola 1 antes da colisão? Justifique sua resposta. 2. Qual é o impulso aplicado sobre um navio com massa de 106 kg e com velocidade de 4 m/s que é freado por um rebocador até parar? Supondo que este navio leve 10 min até parar, determine a força média feita pelo rebocador. 3. O momento linear de um carro de 1000 kg aumenta de 8,5 × 103 kg·m/s em 10 s. a) Qual é a intensidade da força que produz a aceleração do carro? b) De quanto é o aumento do módulo da sua velocidade? 4. Um taco em um jogo de bilhar atinge uma bola, exercendo uma força média de 40 N durante um intervalo de tempo de 5 ms. Qual é a velocidade da bola após o impacto se sua massa é 0,3 kg? 162 Fisica I.indb 162 8/5/2015 15:16:26 Física I 5. Um corpo de 5,0 kg de massa colide com outro em repouso e continua se deslocar no sentido original com um quarto de sua velocidade inicial. Se a colisão é elástica, qual é a massa do corpo atingido? 6. Um trenó de 6,0 kg está deslocando-se sobre o gelo a uma velocidade de 8,0 m/s, quando um corpo de 10 kg é largado sobre dele. Determine a nova velocidade do trenó. Saiba mais Para aprofundar seu estudo sobre impulso, momento linear e a lei da conservação do momento linear aplicada ao estudo das colisões entre os corpos, recomendamos a leitura do livro “Física Viva - volume 1”, de autoria de James Trefil e Robert M. Hazen, editado em 2006 pela editora Livros Técnicos e Científicos (LTC). No capítulo 6 deste livro você encontrará algumas discussões pertinentes sobre o assunto. Vale a pena conferir! Unidade 6 Fisica I.indb 163 163 8/5/2015 15:16:26 Fisica I.indb 164 8/5/2015 15:16:26 Para concluir o estudo Gostaria de retomar os principais propósitos que nortearam este livro: apresentar de forma clara e lógica conceitos e princípios básicos da mecânica e corroborar estes com aplicações evidenciadas no mundo real. Assim, a disciplina buscou lhe oferecer um entendimento conceitual dos princípios da física e suas aplicações de forma combinada, contribuindo para a descrição do mundo físico ou para uma relação da física com seu dia-a-dia. Muitos tópicos da mecânica foram abordados e muitas ferramentas matemáticas foram utilizadas em seu estudo, mostrando a interdisciplinaridade do conhecimento. Mas lembre-se que este constituiu um estudo introdutório com ênfase nos princípios básicos da mecânica, apenas uma das muitas áreas da física. É importante que seu estudo seja aprofundado e continuado e que outras áreas da física sejam também conhecidas por você. Utilize este material como fonte de consulta sempre que sentir a necessidade de retomar algum conceito aqui discutido, com a clareza de que os conteúdos aqui abordados não pretenderam esgotar todas as informações sobre a mecânica. Espero ter lhe causado algum entusiasmo neste aprendizado e que os conhecimentos adquiridos na disciplina possam ser utilizados em sua vida profissional como educadores. Observe com atenção aos acontecimentos diários e você verá que os princípios fundamentais da ciência estão sempre presentes em nossas vidas. E que, através do conhecimento dos princípios da ciência você poderá produzir transformações e construir uma sociedade melhor. Fisica I.indb 165 8/5/2015 15:16:26 Fisica I.indb 166 8/5/2015 15:16:26 Sobre a professora conteudista Paola Egert é Doutora em Ciência e Engenharia de Materiais, Mestre em Física Experimental ambos pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) e graduada em Física pela Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUCRS). Professora e pesquisadora da Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL), ministra aulas, desde 1998, em disciplinas na área da Física e da Engenharia de Materiais em cursos de Engenharia, Matemática e Arquitetura e Urbanismo, nas modalidades presencial e a distância. Atua também como coordenadora do Núcleo de Física da instituição, desenvolvendo atividades em ensino e como professora autora de livros didáticos para educação à distância. Como pesquisadora, desenvolve trabalhos aplicados à engenharia com a utilização da tecnologia de plasmas. Fisica I.indb 167 8/5/2015 15:16:26 Fisica I.indb 168 8/5/2015 15:16:26 Referências CUTNELL, J. D.; JOHNSON, K. W. Física. 6. ed. Rio de Janeiro: Editora Livros Técnicos e Científicos LTC, 2006. v. 1. EXERCÍCIOS que queimam calorias mais rápido. Blog da Lazinha. 16 ago. 2009. Disponível em: <http://www. blogdalazinha.com/2009/08/exercicios-que-queimamcalorias-mais.html>. Acesso em: 18 ago. 2011. il. HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. 4. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 1996. v. 1. HISTÓRIA do esporte - windsurf. Locadafaca. 1 abr. 2011. Disponível em: <http://locadafaca.blogspot. com/2011/04/historia-do-esporte-windsurf.html>. Acesso em: 19 ago. 2011. il. INNOVATION. Wangjianshuo's blog. 5 nov. 2003. Disponível em: <http://home.wangjianshuo.com/ archives/2003/11/05/shanghai.maglev-head-in.station.jpg>. Acesso em: 19 ago. 2011. il. KELLER, F. J.; GETTYS, W. E.; SKOVE, M. J. Física. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. POZZANI, L.; TALAVERA, A. C. Física: Mecânica I e II. São Paulo: Nova Geração, 2002. PEDUZZI, Luiz O. Q. Imagens New 4 - material instrucional utilizado na disciplina Física Geral I. 1998. Disponível em: <http://www.fsc.ufsc.br/pesqpeduzzi/ imagens-new4.htm>. Acesso em: 18 ago. 2011. il. PIACANTINI, J. J. Introdução ao laboratório de Física. Florianópolis: Editora da UFSC, 1998. Fisica I.indb 169 8/5/2015 15:16:26 Universidade do Sul de Santa Catarina SCHILLER INSTITUT. Magnettog. [20--?]. Disponível em: <http://schillerinstitut.dk/drupal/videnskab>. Acesso em: 19 ago. 2011. il. SERWAY, R. A.; JEWETT Jr, J. W. Princípios de Física. São Paulo: Thomson, 2004. v. 1. SPANSK I og II. Studentum.no. [20--?]. Disponível em: <http://www.studentum.no/Spansk_I_og_II_50940.htm>. Acesso em: 19 ago. 2011. il. TIPLER, P. Física. 4. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1999. v. 1. TREFIL, J.; HAZEN, R. Física Viva. Rio de Janeiro: Editora Livros Técnicos e Científicos, 2006. v. 1. YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física I. 10. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003. v. 1. 170 Fisica I.indb 170 8/5/2015 15:16:26 Respostas e comentários das atividades de autoavaliação Unidade 1 1. Para transformar um comprimento dado em quilômetros para metros fazemos: 1 km = 1000 m 532 km = x x = 532 km ⋅ 1000 m = 532.000 m 1 km Assim a resposta certa é a letra d. 2. Para transformar um comprimento dado em metros para quilômetros fazemos: 1 km = 1000 m x = 400 m x = 400 m ⋅ 1 km = 0, 4 km 1000 m Assim a resposta certa é a letra a. 3. Para converter o tempo da partida de basquete fazemos: Em 1,2 h temos 1 h mais 0,2 h. Então sabemos que 1 h correspondem a 60 min e 0,2 h corresponde a: 1 h = 60 min 0, 2 h = x 60 min x = 0, 2 h ⋅ = 12 min 1h Assim o tempo de duração da partida é 1 h e 12 min, ou letra c. Fisica I.indb 171 8/5/2015 15:16:26 Universidade do Sul de Santa Catarina 4. Intensidade da grandeza Notação científica 0,00235 mm 3000000 m 86400 s 4000 m/s 6780 km 616 cm 24,5 h 2,35×10–3 mm 3×106 m 8,64×104 s 4×103 m/s 6,78×103 km 6,16×102 cm 2,45×10 h 5. Medida 9,23 cm: está correta uma vez que a régua permite ter certeza sobre dois algarismos e mais um duvidoso. Assim, os algarismos 9 e 2 são obtidos como certos na escala do instrumento e o algarismo 3 é o duvidoso. Medida 0,5 cm: não está correta a medida. A régua permite mais um algarismo, então a medida correta seria 0,50 cm. Medida 3,120 cm: não está correta a medida. A régua permite ter certeza sobre dois algarismos e mais um duvidoso. Assim, a medida pode ser 3,12 cm, sendo o 2 o algarismo duvidoso. 6. r2 = (34 mm)2 + (26 mm)2 r = √1832 mm r = 42,8 mm r = (34 mm)i + (26 mm)j 26 mm 34 mm –1 θ = tan 0,765 = 37,4° tan θ = 172 Fisica I.indb 172 8/5/2015 15:16:26 Física I 7. R= A+ B R = (4i + 5j) + (7i – 2j) R = 11i + 3j 8. ∆r = = –8i + 10j ∆r = ( −8) 2 + (10) 2 = 12,8 m 173 Fisica I.indb 173 8/5/2015 15:16:26 Universidade do Sul de Santa Catarina 9. r = 8i + 12j ∆r = (8) 2 + (12) 2 = 14, 4 m 10. Para solucionar o problema precisamos achar as componentes ortogonais dos vetores a e b : ax = 10 cm · cos 53° = 6,02 cm ay = 10 cm · sen 53° = 7,99 cm bx = 15 cm · cos 37° = 11,98 cm by = 15 cm · sen 37° = 9,03 cm Rx = 6,02 cm – 11,98 cm = –5,96 ≈ –6 cm Ry = 7,99 cm + 9,03 cm – 11 cm = 6,02 ≈ 6 cm r = (–6 cm)i + (6 cm)j ∆r = ( −6) 2 + (6) 2 = 8, 5 cm 6 cm tan θ = 6 cm –1 θ = tan 1 = 45° 174 Fisica I.indb 174 8/5/2015 15:16:26 Física I 11. R R = –15 km + 30 km = 15 km 12. R = (5,2i + 2,6j) + (–1,6i + 2,9j) + (–4,6i – 2,2j) R = –1i + 3,3j) tan θ = 3,3 1 θ = tan–1 3,3 = 73,1° Unidade 2 1. Vamos calcular o tempo gasto. 1o Percurso: v1 = ∆x1 ∆t 1 ∆t 1 = ∆x1 30 km/h = = 0,750 h v1 40 km 2o Percurso: v2 = ∆x 2 ∆t 2 ∆t 2 = ∆x2 30 km/h = = 0,375 h v2 80 km 175 Fisica I.indb 175 8/5/2015 15:16:26 Universidade do Sul de Santa Catarina O tempo total é: ∆tT = ∆t1 + ∆t2 = 1,125 h A velocidade vetorial média para todo o percurso é: v= ∆x 60 km = = 53,333 km/h ∆t 1,125 h b) A velocidade escalar média também é 53,333 km/h, pois, neste caso, a distância percorrida é igual ao deslocamento. 2. Vamos chamar de ∆x o deslocamento do percurso total. 1o Percurso: 2o Percurso: ∆x ∆x 2 = ∆x ∆t1 = v1 2v1 ∆t 2 = 2 = ∆x v2 2v 2 Todo o percurso: v= v= ∆x ∆x = ∆t ∆x ∆x + 2v1 2v 2 ∆x = 1 1 1 1 1 + ∆x + 2 ⋅ 30 2 ⋅ 60 60 120 1 1 120 v= = ⋅ = 40 km/h 2+1 1 3 120 Observe que a velocidade média é diferente da média das velocidades. 176 Fisica I.indb 176 8/5/2015 15:16:27 Física I 3. x = 2t – 4t2 + t3 a) Substituindo os valores de t na equação acima, construímos a tabela: t(s) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 x(m) 0 -1 -4 -3 8 x = 2(0) – 4(0)2 + (0)3 = 0 x = 2(1) – 4(1)2 + (1)3 = –1 x = 2(2) – 4(2)2 + (2)3 = –4 x = 2(3) – 4(3)2 + (3)3 = –3 x = 2(4) – 4(4)2 + (4)3 = 8 b) ∆x = xf – xi ∆x = 8 – 0 = 8 m c) v= ∆x [8 − ( −4)] m = = 6 m/s ∆t (4 − 2) s 177 Fisica I.indb 177 8/5/2015 15:16:27 Universidade do Sul de Santa Catarina 4. a) x = 2 + 6t + 3t2 t(s) x(m) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 2 11 26 47 74 107 x = 2 + 6(0) + 3(0)2 = 2 m x = 2 + 6(1) + 3(1)2 = 11 m x = 2 + 6(2) + 3(2)2 = 26 m x = 2 + 6(3) + 3(3)2 = 47 m x = 2 + 6(4) + 3(4)2 = 74 m x = 2 + 6(5) + 3(5)2 = 107 m dx d = [2 + 6t + 3t2] dt dt v = 6 + 2(3)t b) v = v = 6 + 6t t(s) v(m/s) 0 1 2 3 4 5 6 12 18 24 30 36 v = 6 + 6∙0 = 6 m/s v = 6 + 6∙1 = 12 m/s v = 6 + 6∙2 = 18 m/s v = 6 + 6∙3 = 24 m/s v = 6 + 6∙4 = 30 m/s v = 6 + 6∙5 = 36 m/s 178 Fisica I.indb 178 8/5/2015 15:16:27 Física I c) Após a construção de nossa tabela, podemos fazer o gráfico: d) a = dv d = [6 + 6t] = 6 m/s2 dt dt e) A aceleração do movimento é constante. 179 Fisica I.indb 179 8/5/2015 15:16:27 Universidade do Sul de Santa Catarina 5. x = 6 – 4t + 2t2 a) Para determinar a velocidade média, determinamos as posições para os instantes dados: t(s) x(m) 2,0 4,0 6 22 v= x = 6 – 4(2) + 2(2)2 = 6 m x = 6 – 4(4) + 2(4)2 = 22 m ∆x [22 − 6] m 16 m = = = 8 m/s ∆t (4 − 2) s 2s b) A velocidade instantânea é: dx d = [6 – 4t + 2t2] dt dt v = –4 + 2(2)t v= v = –4 + 4t Substituindo o instante t = 4 s: v = –4 + 4(4) = 12 m/s c) Como a velocidade é uma função do tempo v = –4 + 4t Então está continuamente variando. 6. Para determinar a distância percorrida nos 16 s, podemos encontrá-la calculando a área abaixo da curva ou também utilizando as equações para cada trecho do movimento. Área: ∆x = ATriangulo + ARetângulo + ATriang+Retang + ARetângulo = 100 m 180 Fisica I.indb 180 8/5/2015 15:16:27 Física I Equacionando movimentos: Entre 0 e 2 s, MRUV: 8 = 0 + a·2 a = 4 m/s2 e 82 = 02 + 2·4·∆x ∆x = 64 =8m 8 Entre 2 e 10 s, MRU: ∆x = 8·8 = 64 m Entre 10 e 12 s, MRUV: 4 = 8 + a·2 a = –2 m/s2 e 42 = 82 + 2·(–2)·∆x ∆x = −48 = 12 m −4 Entre 12 e 16 s, MRU: ∆x = 4·4 = 16 m Somando todos os deslocamentos obtemos 100 m. 7. vo = 15 km/h = 4,2 m/s a = –10 cm/s2 = –0,1 m/s2 a) v = 4,2 m/s – 0,1 m/s2·t 1 ·0,1 m/s2·t2 2 2 2 c) 0 = (4,2) + 2·(–0,1)·∆x b) x = 4,2 m/s·t – ∆x = 88,2 m 181 Fisica I.indb 181 8/5/2015 15:16:27 Universidade do Sul de Santa Catarina 8. Letra d. A velocidade tem componente vertical nula, mas componente horizontal não nula e a aceleração durante todo a trajetória é diferente de zero e igual a aceleração gravitacional. 9. A componente horizontal é igual em toda a trajetória e igual a: vox = vo·cos θ = 30 m/s · cos 25° = 27,2 m/s 10. a) Para determinar o tempo que a bola fica no ar, calculamos o tempo que ela leva para chegar até a altura máxima e multiplicamos por 2, já que levará o mesmo tempo para descer. Como o movimento no eixo y é um MRUV, temos: vyf = (vo·sen θ) – gt 0 = (25 · sen 30°) – 9,8·t t = 1,3 s Assim o tempo que a bola fica no ar é 2,6 s b) Para o movimento em x temos uma MRU: x = (vo·cos θ)t x = (25 · cos 30°) · 2,6 = 56,3 m 11. Para determinar o tempo que a bala fica no ar, usamos o movimento no eixo y que é um MRUV. A velocidade inicial neste eixo é nula, já que a bala é disparada na horizontal. xf = (vo · sen θ)t – –2 = 0·t – 1 2 ·gt 2 1 · 9,8t2 2 –2 = –4,9t2 t = 0,64 s 182 Fisica I.indb 182 8/5/2015 15:16:27 Física I Podemos também determinar o alcance horizontal usando o movimento no eixo x: x = (vo · cos θ)t x = (230 · cos 0) · 0,64 = 147,2 m Unidade 3 1. a) Ação: força do jogador sobre a bola Reação: força da bola sobre jogador b)Ação: força caixa sobre a mesa Reação: força da mesa sobre a caixa c) Ação: força do carro sobre a árvore Reação: força da árvore sobre o carro 2. Porque existe uma força de oposição ao movimento, ou seja, a força de atrito. 3. É igual a 600 N, pois assim a força resultante é igual a zero a a velocidade é constante. 4. a)FR = F1 + F2 FR = (5 N · i + 4 N · j) + (–2 N · i + 5 N · j) FR = (3 N)i + (–1 N)j b)FR2 = (3 N)2 + (–1 N)2 FR = 3,16 N FR = m·a 3,16 N = 1 kg · a a = 3,16 m/s2 1 3 θ = –18,4° tg θ = – 183 Fisica I.indb 183 8/5/2015 15:16:27 Universidade do Sul de Santa Catarina 5. Se a velocidade é constante, então FR = 0. Se F1 = 2 N · i – 4 N · j, então F2 = –2 N · i + 4 N · j. 6. Para que a velocidade seja constante, FR = 0. F1 + F2 + F3 = 0 (4 N·i + 5 N·j – 2 N·k) + (4 N·i + 5 N·j – 2 N·k) + F3 = 0 (–1 N·i + 12 N·j – 5 N·k) + F3 = 0 F3 = 1 N·i – 12 N·j + 5 N·k 7. P = m·g a) m = 5 kg P = 5 kg × 9,8 m/s P = 49 N b) m = 78 kg P = 78 kg × 9,8 m/s P = 764,4 N c) m = 1,8 × 1000 = 1800 kg P = 1800 kg × 9,8 m/s P = 17640 N 8. a) b) c) P = 833N P = 323 N P=0 P = 85 kg × 9,8 m/s P = 85 kg × 3,8 m/s P = 85 kg × 0 d) A massa é a mesma em todos os locais. 184 Fisica I.indb 184 8/5/2015 15:16:27 Física I 9. a) A corda inferior suporta apenas o peso da massa de 4 kg. T1 P1 = T1 = 4 kg × 9,8 m/s2 = 39,2 N 1 P b) A corda superior suporta o peso das duas massas T2 T2 = P1 + P2 = (4 kg + 5 kg) × 9,8 m/s2 = 88,2 N 1 2 P P 10. m1 1 T T1 = m1 × a 1 T m2 2 T T2 – T1 = m2 × a 2 T m3 T3 T3 – T2 = m3 × a a) T1 = m1 × a T2 – T1 = m2 × a T3 – T2 = m3 × a T3 = (m1 + m2 + m3) × a 60 N = (10 + 18 + 25) kg × a a = 60 N = 1,13 m/s2 53 kg b) T1 = 10 kg × 1,13 m/s2 T1 = 11,3 N T3 – T2 = m3 × a 60 – T2 = 25 kg × 1,13 m/s2 T2 = 31,75 N 185 Fisica I.indb 185 8/5/2015 15:16:27 Universidade do Sul de Santa Catarina 11. mA BA F mB T T – FBA = mA × a T mC FAB FAB = mB × a PC PC – T = mC × a a) Somando as equações temos: PC = (mA + mB + mC) × a 3 kg × 9,8 m/s2 = (2 + 0,5 + 3) × a a= 29, 4 N = 5,3 m/s2 5, 5 kg b) FAB = mB × a FAB = 0,5 kg × 5,3 m/s2 FAB = 2,7 N 12. a) Para a iminência do movimento, FR = 0. N fe F P ∑Fy = 0 ∑Fx = 0 N–P=0 N=m×g F – fe = 0 2 N = 35 × 9,8 m/s N = 343 N F=µ×N F = 0,4 × 343 F = 137,2 N b) m = 35 – 15 = 20 kg N=P F=µ×N N = 196 N F = 78,4 N N = 20 × 9,8 m/s2 F = 0,4 × 196 186 Fisica I.indb 186 8/5/2015 15:16:27 Física I 13. Para iniciar o movimento: N ∑Fy = 0 ∑Fx = 0 N = 500 N 250 = N × µe N–P=0 fe F = fe F 500 N 250 = 500 × µe µe = 0,5 Para manter o movimento com velocidade constante: ∑Fy = 0 ∑Fx = 0 N = 500 N F = fC 200 = µC × 500 250 = 500 × µe µC = 0,4 14. Se a velocidade é constante, FR = 0 ∑Fx = 0 Tx – fC = 0 ∑Fy = 0 T × cos 40° = µ × N 0,15 N T= cos 40 T = 0,196 × N Ty – N – P = 0 T = 110,9 N f T × sen 40° + N – m × g = 0 T × sen 40° + N = 65 × 9,8 T T 40° Tx P T × sen 40° + N = 637 0,196 × N × sen 40° + N = 637 T = 0,196 × 565,7 C y N 0,126 × N + N = 637 1,126 × N = 637 N = 565,7 N 187 Fisica I.indb 187 8/5/2015 15:16:27 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 4 1.W = F · ∆x W = [(2 N)i + (–6 N)j] × [(3 m)i] Como i × i =1e i × j = 0 então W = 6 J 2. a) O trabalho da força pode ser determinada pela área do gráfico. 40 × 10 WF = (40 × 10) + 2 WF = 400 + 200 = 600 J b) N=P=m×g fe = µ × N N = 147 N fe = 29,4 N N = 15 kg × 9,8 m/s2 Wfc = fc × ∆x × cos θ Wfc = 29,4 × 20 × cos 180° Wfc = –588 J fe = 0,2 × 147 N WR = 600 j – 588 j WR = 12 Jj 3. a) Fx = 100 N × cos 30° = 86,6 N Fy = 100 N × sen 30° = 50 N WFx = 86,6 N × 15 m × cos 0 WFx = 1299 J WFy = 50 N × 15 m × cos 90° WFy = 0 188 Fisica I.indb 188 8/5/2015 15:16:28 Física I WN = 0 WP = 0 Para que o movimento seja MRU, FC = Fx WFc = 86,6 N × 15 m × cos 180° WFc = –1299 J b) WR = 0 4. WR = ∆Ec 1 1 × m × vF2 – × m × vi2 2 2 1 1 (100 × cos 35°) × 5 = × 20 × vF2 – × 20 × 02 2 2 2 409,6 = 10 × vF Fc × ∆x = vF2 = 30,96 vF = 6,4 m/s 5. WR = ∆Ec 1 1 1 × K × x = × m × vF2 – × m × vi2 2 2 2 2 2 400 × 0,1 = 2 × vF – 4 = 2 × vF2 vF2 = 2 vF = 1,41 m/s 189 Fisica I.indb 189 8/5/2015 15:16:28 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 5 1. Se uma força resultante atua no corpo, então este corpo está sujeito a uma variação em sua velocidade e conseqüentemente sua energia cinética também está variando. 2. a) ∆Ec = 100 J ∆Ec = – ∆EP ∆EP = –100 J O aumento de energia cinética é acompanhado por uma perda igual de energia potencial. b) Em sistemas conservativos a energia mecânica não varia. 3. Na altura de 20 m, como está em repouso, a energia mecânica é: E = EP 40 J = m × g × y 40 J = m × 9,8 m/s2 × 20 m 40 J m= = 0,20 kg 9,8 m/s 2 × 20 m A 5 m a energia mecânica é: E = EC + EP 40 J = EC + m × g × y 40 J = EC + 0,20 kg × 9,8 m/s2 × 5 m 40 J = EC + 9,8 J EC = 40 J – 9,8 J EC = 30,2 J 190 Fisica I.indb 190 8/5/2015 15:16:28 Física I 4. EB = EA – 4,5 × 104 J 1 1 m × v2B + m × g × yB = ( m × vA2 + m × g × yA) – 4,5 × 104 J 2 2 As velocidades são nulas, então: 5 × 103 N × yB = (5 × 103 N × 10 m) – 4,5 × 104 J 5 × 103 N × yB = 5 × 104 J – 4,5 × 104 J 0, 5 × 10 4 J yB = =1m 5 × 10 3 N 5. EB = 0,8 × EA 1 m × vB2 + m × g × yB = 0,8 × (m × g × y A ) 2 vB2 + 9,8 m/s 2 × 1 m = 0,8 × (9,8 m/s 2 × 3 m) 2 vB2 + 9,8 m/s 2 = 23, 5 m 2 /s 2 2 vB2 = (23, 5 − 9,8) m 2 /s 2 2 vB2 = 2 × 13,72 m 2 /s 2 vB = 27, 4 m 2 /s 2 vB = 5, 2 m/s 6. EI = EF 1 m × vF2 + m × g × yF 2 0, 5 kg 2 2 (0,5 kg·9,8 m/s ·100 m) – 50 J = ·vF + (0,5 kg·9,8 m/s2·0) 2 440 J = 0,25 kg × v2 (m × g × yI) – 50 J = v2 = 42 m/s 191 Fisica I.indb 191 8/5/2015 15:16:28 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 6 Se os corpos têm as mesmas massas, ao sofrerem uma colisão elástica, trocam suas velocidades. A bola em movimento pára e a bola que estava parada inicia o movimento com igual velocidade. Se m1 = m2, durante uma colisão elástica, v1f = v2i e v2f = v1i 2. J = m × ∆v J = F × ∆t J = 4×106 kg·m/s F = 6,7×103 N J = 106 kg × 4 m/s 3. 4×106 kg·m/s = F · (10 × 60)s a) b) F × ∆t = ∆p 8, 5 × 10 3 kg ⋅ m/s F= 10 s 2 F = 8,5×10 N 8,5×103 kg·m/s = 1000 kg × ∆v J = m × ∆v ∆p = m × ∆v ∆v = 8,5 m/s 4. J = ∆p F × ∆t = m × ∆v 40 N × (5×10–3)s = 0,3 × ∆v ∆v = 0,67 m/s 192 Fisica I.indb 192 8/5/2015 15:16:28 Física I 5. m − m2 vif = 1 × v1i m1 + m2 v1i 5 − m2 = ×v 4 5 + m2 1i 5 + m2 = 20 − 4m2 5m2 = 15 m2 = 3 kg 6. m1 v f = v1i m1 + m2 6 v f = 8 m/s 6 + 10 v f = 3 m/s 193 Fisica I.indb 193 8/5/2015 15:16:28 Fisica I.indb 194 8/5/2015 15:16:28 Anexo O Sistema Internacional de Unidades (SI) e Fatores de Conversão UNIDADES FUNDAMENTAIS Fisica I.indb 195 Comprimento O metro (m) é a distância percorrida pela luz no vácuo em 1/299.792.458 s. Tempo O segundo (s) é a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação correspondente à transição entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de 133Cs. Massa O quilograma (kg) é a massa do corpo padrão internacional conservado em Sèvres, França. Corrente O ampère (A) é a corrente que, em dois fios paralelos, muito compridos, separados por 1m, provoca uma força magnética, por unidade de comprimento, igual a 2 × 10 −7 N m . Temperatura O kelvin (K) é 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água. Intensidade luminosa A candela (cd) é a intensidade luminosa de uma área superficial de um corpo negro, com 1/600.000 m 2, na temperatura de solidificação da platina, a uma pressão de 101.325 N m 2 , na direção normal à superfície. 8/5/2015 15:16:28 Universidade do Sul de Santa Catarina UNIDADES DERIVADAS Força newton ( N ) 1 N = 1 kg × m s 2 Trabalho, energia joule ( J ) 1 J = 1 N ×m Potência watt (W ) 1W = 1 J s Freqüência hertz ( Hz ) 1 Hz = s −1 Carga elétrica coulomb ( C ) 1C = 1 A × s Potencial elétrico volt (V ) 1V = 1 J C Resistência elétrica ohm ( Ω ) Capacitância farad ( F ) 1 F = 1C V Campo magnético tesla ( T ) 1T = 1 N A × m Fluxo magnético weber (Wb ) 1Wb = 1 T × m 2 Indutância Henry ( H ) 1H = 1 J A2 FATORES DE CONVERSÃO Comprimento Área 1 km = 0 , 6215 mi 1 m 2 = 10 4 cm 2 1 mi = 1, 609 km 1 km 2 = 0 , 3861 mi 2 = 247 , 1 acres 1 m = 1, 0936 yd = 3, 281 ft = 39, 37 in 1 in = 2 , 54 cm 1 ft 2 = 9 , 29 × 10 −2 m 2 1 ft = 12 in = 30 , 48 cm 1 m 2 = 10 , 76 ft 2 1 yd = 3 ft = 91, 44 cm 15 1 ano − luz = 1 c.ano = 9 , 461 × 10 m 1 Å = 0 , 1 nm 1 in 2 = 6 , 4516 cm 2 1 acre = 43.560 ft 2 1 mi 2 = 640 acres = 2 , 590 km 2 196 Fisica I.indb 196 8/5/2015 15:16:28 Física I Volume Pressão 1 m 3 = 106 cm 3 1 Pa = 1 N m 2 1 L = 1000 cm 3 = 10 −3 m 3 1 atm = 101, 325 kPa = 1, 01325 bar 1 gal = 3, 786 L 1 atm = 14 , 7 lb/in 2 = 760 mmHg 1 gal = 4 qt = 8 pt = 128 oz = 231 in3 1 atm = 29 , 9 inHg = 33, 8 ftH 2O 1 in3 = 16 , 39 cm 3 1 lb/in 2 = 6 , 895 kPa 1 ft 3 = 1728 in3 = 28, 32 L = 2 , 832 × 10 4 cm 3 1 torr = 1 mmHg = 133, 32 Pa 1 bar = 100 kPa Tempo Velocidade 1 h = 60 min = 3, 6 ks 1 km/h = 0 , 2778 m/s = 0 , 6215 mi/h 1 dia = 24 h = 1440 min = 86, 4 ks 1 mi/h = 0 , 4470 m/s = 1, 609 km/h 1 ano = 365, 24 dias = 31, 56 Ms 1 mi/h = 1, 467 ft/s Ângulo e Velocidade Angular Massa ð rad = 180° 1 kg = 1000 g 1 rad = 57 , 30° 1 ton = 1000 kg = 1 Mg 1° = 1, 745 × 10 −2 rad 1 u = 1, 6606 × 10 −27 kg 1 rev/ min = 0 , 1047 rad/s 1 kg = 6 , 022 × 10 23 u 1 rad/s = 9 , 549 rev/ min 1 slug = 14 , 59 kg 1 kg = 6 , 852 × 10 −2 slug 1 u = 931, 50 MeV/c 2 Densidade Força 1 g/cm 3 = 1000 kg/m 3 = 1 kg/L 1 N = 0 , 2248 lb = 10 5 dyn (1 g/cm 3 ) g = 62 , 4 lb/ft 3 1 lb = 4 , 44482 N (1 kg ) g = 2 , 2046 lb 197 Fisica I.indb 197 8/5/2015 15:16:28 Universidade do Sul de Santa Catarina Energia Potência 1 kw.h = 3, 6 Mj 1 HP = 550 ft.lb/s = 745, 7 W 1 cal = 4 , 1840 J 1 Btu/ min = 17 , 58W −3 1 ft.lb = 1, 356 J = 1, 286 × 10 Btu 1 L.atm = 101, 325 J 1 L.atm = 24 , 217 cal 1W = 1, 341 × 10 −3 HP 1W = 0 , 7376 ft.lb/s 1 Btu = 778 ft.lb = 252 cal = 1054 , 35 J 1 eV = 1, 602 × 10 −19 J 1 u.c 2 = 931, 50 MeV 1 erg = 10 −7 J Campo Magnético Condutividade Térmica 1 G = 10 −4 T 1W/m.K = 6, 938 Btu.in/h.ft 2 .°F 1 T = 10 4 G 1 Btu.in/h.ft 2 .°F = 0 , 1441W/m.K DADOS TERRESTRES Aceleração média da gravidade na superfície, g 9 , 80665 m/s 2 Massa da terra 5,98 × 10 24 kg Raio médio da terra, RT 6,37 × 106 m Condições normais de temperatura e pressão (CNTP): Temperatura 273, 15 K Pressão 101, 325 kPa 1, 00 atm Massa molar do ar 28 , 97 g/mol Densidade do ar (CNTP), 1, 293 kg/m 3 Velocidade do som (CNTP) 331 m/s Calor de fusão da água 0°C, 1 atm 333, 5 kJ/kg Calor de vaporização da água ( 100°C, 1 atm ) 2 , 257 MJ/kg 198 Fisica I.indb 198 8/5/2015 15:16:28 Biblioteca Virtual Veja a seguir os serviços oferecidos pela Biblioteca Virtual aos alunos a distância: Pesquisa a publicações online www.unisul.br/textocompleto Acesso a bases de dados assinadas www. unisul.br/bdassinadas Acesso a bases de dados gratuitas selecionadas www.unisul.br/bdgratuitas Acesso a jornais e revistas on-line www. unisul.br/periodicos Empréstimo de livros www. unisul.br/emprestimos Escaneamento de parte de obra1 Acesse a página da Biblioteca Virtual da Unisul, disponível no EVA e explore seus recursos digitais. Qualquer dúvida escreva para [email protected] 1 Se você optar por escaneamento de parte do livro, será lhe enviado o sumário da obra para que você possa escolher quais capítulos deseja solicitar a reprodução. Lembrando que para não ferir a Lei dos direitos autorais (Lei 9610/98) pode-se reproduzir até 10% do total de páginas do livro. Fisica I.indb 199 8/5/2015 15:16:28 9 788578 173425
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