XII Congresso Brasileiro de Meteorologia, Foz de Iguaçu-PR, 2002
A ALTURA DO AUMENTO DE VELOCIDADE MÁXIMO E A ALTURA DA REGIÃO INTERNA
NO ESCOAMENTO EM CAMADA LIMITE ATMOSFÉRICA SOBRE COLINAS
Cláudio C. Pellegrini
FUNREI – Depto. Ciências Térmicas e dos Fluidos
Praça Frei Orlando 170, São João del-Rei, MG, 36.300-000, [email protected]
Gustavo C. R. Bodstein
COPPE/UFRJ – Depto. Engenharia Mecânica
C.P. 68503, 21945-970, Rio de Janeiro, RJ, [email protected]
Abstract
O escoamento da Camada Limite Atmosférica sobre colinas suaves tem atraído um enorme interesse nas últimas
décadas. Em particular, a capacidade de se prever a altura do aumento de velocidade máximo tem se mostrado
importante para meteorologistas, engenheiros e especialistas em energia eólica. Neste artigo, uma análise crítica de
alguns dos resultados mais recentes para se de estimar a altura do aumento de velocidade máximo é apresentada, e
algumas das expressões mais importantes para este cálculo encontradas na literatura são comparadas entre si e com
dados observacionais. Com base nessa comparação, uma equação é recomendada como sendo aquela que mais
acuradamente concorda com os dados observacionais.
1
INTRODUÇÃO
A literatura das últimas décadas tem mostrado um considerável interesse na previsão da altura do aumento de
velocidade máximo no escoamento em camada limite atmosférica (CLA) sobre colinas. A aplicação tecnológica
mais evidente deste resultado diz respeito à instalação de turbinas eólicas nesta altura. Uma vez que a potência
gerada nestes equipamentos é proporcional ao cubo da velocidade do vento, um pequeno aumento de velocidade
está associado a um considerável aumento de potência. O interesse também é evidente para quem deseje projetar e
instalar estruturas como torres de transmissão e antenas, destinadas a suportar a carga imposta pelo vento e que são
preferencialmente localizadas no topo de colinas.
Do ponto de vista científico, a altura do aumento de velocidade máximo, usualmente designada por l, é
utilizada em diversos modelos numéricos para a solução da CLA (Wood, 2000). Em particular, os modelos
baseados na teoria proposta originalmente por Jackson e Hunt (1975), e generalizada posteriormente por Hunt et al.
(1988a, 1988b), exigem o conhecimento de l. Segundo a teoria mais geral, o escoamento pode ser dividido em três
regiões segundo os termos dominantes na equação do momento linear. Na mais interna, os termos de inércia e
turbulência se equilibram; na mais externa, o escoamento pode ser considerado essencialmente não-viscoso e
irrotacional e na intermediária, o escoamento é não-viscoso porém rotacional. A altura l é, em geral, associada à
altura da região interna. Uma boa revisão sobre o uso de modelos na solução da CLA pode ser encontrada em
Pellegrini (2001).
O fato de que l vem sendo considerado simultaneamente como a altura onde ocorre o aumento de velocidade
máximo e onde as forças de inércia e de turbulência se equilibram na CLA merece uma maior atenção. A idéia foi
proposta originalmente em Jackson e Hunt (1975) sem uma demonstração formal, e os trabalhos posteriores
limitam-se a verificar que as expressões para o cálculo de l são confirmadas pelos dados de campo. Taylor et al.
(1987) afirmam que “l é provavelmente melhor considerado como uma escala de altura para a região interna mais
do que a altura onde alguma coisa específica ocorra”. Beljaars e Taylor (1989) observam que “uma vez que a altura
da região interna, l, foi introduzida por meio de considerações de ordem de grandeza, sua definição prática é até
certo ponto arbitrária”. Hunt et al. (1988a) propõem que a altura do aumento máximo seja calculada como l/3 e
Kaimal e Finnigan (1994) comentam que l/3 parece ser uma estimativa razoável da altura do aumento máximo de
velocidade em uma vasta gama de formatos de colina.” Estas observações mostram que o assunto ainda é alvo de
discussão, em parte devido ao fato de que os dados experimentais não são conclusivos.
Diversas expressões são encontradas na literatura para o cálculo de l. As mais conhecidas devem-se a
Jackson e Hunt (1975), referida daqui por diante como JH, Jensen et al. (1984), daqui por diante JEN, Claussen
(1988), daqui por diante CL, e Beljaars e Taylor (1989), daqui por diante BT, e podem ser escritas como
(l
(l
(l
Lh ) ln ( l z 0 ) = 2κ 2 ,
Lh ) ln ( l z 0 ) = 2κ ,
Lh ) ln( l z 0 ) = cte. ,
2
2
(JH)
(1)
(JEN)
(CL)
(2)
(3)
2602
XII Congresso Brasileiro de Meteorologia, Foz de Iguaçu-PR, 2002
(l
Lh ) ln n ( l z 0 ) = cte. ,
(BT)
(4)
em que Lh é o meio comprimento da colina, definido por JH como “a distância do topo da colina até o ponto a
montante onde a elevação é metade da máxima”; z0 é o comprimento de rugosidade e κ é o fator de escala de von
Karman. Dividindo as Eqs. (1)—(4) por z0, rescrevendo as constantes em (3) e (4) como C1 κ 2 e C n κ 2 ,
+
respectivamente, e definindo l + ≡ l z 0 e Lh ≡ Lh z 0 , resulta em
+
l + ln(l + ) = 2κ 2 Lh ,
(JH)
(5)
+
(JEN)
(6)
+
(CL)
(7)
(BT)
(8)
l + ln 2 (l + ) = 2κ 2 Lh ,
+
+
2
l ln(l ) = C1 κ Lh ,
+
l + ln n (l + ) = C n κ 2 Lh ,
Baseado no resultado de apenas um experimento, CL sugere que C1 ( x) κ 2 = 0.09 , o que implica C1 = 0.56 para
κ = 0.4 . Por comparação com o resultado de modelos computacionais, BT sugere n variando de 1.4 a 1.6, dependendo do
fechamento de turbulência adotado (E-ε ou comprimento de mistura) e C n ( x) κ 2 variando de 0.26 a 0.55 (também dependendo
do fechamento), o que resulta em Cn variando de 1.63 a 3.44 para κ = 0.4 .Um estudo comparativo dos méritos relativos das
Eqs. (5)—(8) pode ser encontrado em Walmsley e Taylor (1996), Pellegrini (2001) ou Pellegrini e Bodstein (2000a). O resumo
a seguir foi feito a partir das conclusões destas referências:
1. independentemente da equação utilizada para o cálculo de l, o resultado é sempre considerado como a altura
da região interna e aquela onde o aumento de velocidade do vento é máximo;
2. os valores previstos por JH são muito altos e nenhum ajuste razoável de z0 consegue reverter este quadro;
3. os valores de JEN são bastante apropriados em toda a faixa de experimentos coberta;
4. a equação de CL concorda melhor do que a de JEN com o resultado experimental para o qual foi calibrada;
5. resultados de simulação numérica sugerem o valor de n entre 1 e 2 na equação de BT;
6. mais resultados experimentais são necessários, tal que uma faixa maior de valores de Lh+ seja coberta.
O objetivo do presente trabalho é apresentar uma análise crítica de algumas contribuições recentes para o
cálculo de l, em particular das propostas por Pellegrini (2001). Para isso, é apresentada uma reavaliação das
constantes nas Eqs. (6) e (7) e a dedução que leva à Eq. (7) é simplificada, para reduzir o número de hipóteses
necessárias. O trabalho também mostra que a Eq. (6) pode ser recalibrada de forma a fornecer a altura de aumento
de velocidade máximo. Em seguida, algumas equações disponíveis para o perfil do aumento de velocidade são
analisadas e outras expressões para o cálculo de l são propostas. Finalmente, as diversas expressões obtidas para l
são comparadas entre si e com os dados observacionais disponíveis na literatura. A partir desta comparação, duas
delas são recomendadas e algumas sugestões para a realização de futuros experimentos são apresentadas.
Considere, então, uma colina bidimensional, isolada, no meio de um terreno plano, coberta por vegetação
uniforme ou lentamente variável, com comprimento de rugosidade z 0 ( x) e sob atmosfera neutra. Denomina-se
como colina qualquer variação topográfica com comprimento característico da ordem de 5 Km e altura inferior a
500 m, e como colina suave ou baixa aquelas com inclinação das encostas inferiores a 20o. A figura 1 ilustra as
principais características de uma colina típica.
z
u0(z)
u0(z)
u0(z)+∆
u(x,z)
LC
h/
2
L
h
h
Figura 1: Elementos típicos de uma colina.
2603
XII Congresso Brasileiro de Meteorologia, Foz de Iguaçu-PR, 2002
A coordenada vertical, z, é definida como a altura acima do terreno local. No caso de valores de
comprimento de rugosidade muito elevados, z é considerada a altura deslocada acima do terreno local, por vezes
simbolizada como a diferença z−d, em que d é altura de deslocamento da origem. Uma linha de corrente próxima à
superfície é representada por LC. Supõe-se que o perfil de velocidade média a montante da colina, u 0 ( z ) , é logarítmico. O
ponto onde u 0 ( z ) é observado localiza-se suficientemente longe do topo da colina (TC) e é denominado estação de referência
(ER). O perfil de velocidade em qualquer outra posição diferente de ER é designado u ( x, z ) . Em geral, a colina modifica o
perfil de velocidade na ER de forma que u ( x, z ) ≡ u 0 ( z ) + ∆u ( x, z ), onde ∆u é chamado aumento de velocidade, embora
possa ser negativo e representar uma redução de velocidade. De fato, no TC o escoamento sofre aceleração para que a equação
da conservação da massa seja satisfeita e, portanto, ∆u > 0 . Próximo à base de montante, contudo, o escoamento atmosférico
é retardado devido ao gradiente adverso de pressão criado pela curvatura das LC e, portanto, ∆u < 0 nesta região. Dividindose esta expressão para u ( x, z ) por u 0 ( z ) , define-se o aumento de velocidade relativo como ∆S ( x, z ) ≡ u ( x, z ) u 0 ( z ) − 1 . A
altura do aumento de velocidade máximo, l max , é definido como o ponto z = l max onde ∆u ( x, z ) = ∆u max , para um dado x,
enquanto que a altura da região interna, l, é definida como o ponto z = l onde a advecção é da mesma ordem de grandeza da
turbulência, para um dado x.
2
ANÁLISE DE ORDENS DE GRANDEZA
A altura da região interna tem sido obtida na literatura por mais de um método. O mais tradicional, segue a idéia
proposta por JH, de que existe uma região onde forças de inércia e turbulentas tem a mesma ordem de grandeza.
Com esta hipótese, JH obtém a Eq. (5) considerando que as perturbações geradas por colinas suaves sobre o
escoamento são de pequenas amplitude e o perfil de velocidade é logarítmico na ER. Tayor et al. (1987) obtém a
Eq. (6) utilizando a primeira destas hipóteses, supondo válido o modelo do comprimento de mistura para as tensões
turbulentas e considerando uma variação logarítmica para ∆u (o que implica que a região interna encontra-se em
equilíbrio). A seguir vamos analisar o resultado de Pellegrini (2001), em que a Eq. (6) é obtida a partir de hipóteses
praticamente idênticas às utilizadas por JH para obter a Eq. (5).
Seguindo a abordagem recomendada por Kaimal e Finnigan (1994), as equações de conservação da massa e
quantidade de movimento na direção x são escritas em coordenadas de linha de corrente. As equações obtidas por
Finnigan (1983) para escoamentos permanentes 2D podem ser escritas como
∂u ∂w
+
= 0,
∂x ∂z
u
(9)
1 ∂p ∂u ' 2 ∂u ' w' u ' 2 − w' 2
T
u ' w'
∂u
+
+2
− gx
+ Vx .
−
=−
−
T0
La
R
∂z
∂x
∂x
ρ ∂x
(10)
Nas Eqs. (9) e (10), x é a direção paralela às LC e u e u’ são a velocidade média e a flutuação turbulenta nesta
direção, respectivamente. A direção normal às LC é denominada z, enquanto que w e w’ são as velocidades
correspondentes. A pressão termodinâmica média é simbolizada por p , a massa específica média por ρ ,
temperatura média por T , a temperatura de referência média por T0 , a componente x da aceleração da gravidade
por gx e a componente x da força viscosa por Vx. Os símbolos R e La representam escalas de comprimento
características do escoamento e são relacionadas com as grandezas médias através de R = u (Ω + ∂u ∂z ) e
La = u (∂u ∂z ) , onde Ω é componente z da vorticidade média no sistema original de coordenadas cartesianas.
Admitindo-se a existência de uma região onde os termos de inércia e turbulência são de mesma ordem de
grandeza na Eq. (10), resulta
u
∂u ∂u ' w'
∼
.
∂x
∂z
(11)
Supondo que x ∼ Lh , z ∼ l , u ∼ u 0 (o que implica ∆u << u ) e que u ' ∼ w' ∼ u* , em que u* é a velocidade de
2
2
atrito, tem-se que u* u 0 (l ) ∼ l Lh . Para transformar esta relação de ordens numa igualdade, introduz-se uma
função C 2 ( x) , de ordem 1, tal que
2604
XII Congresso Brasileiro de Meteorologia, Foz de Iguaçu-PR, 2002
2
u
l
= C 2 2* ,
Lh
u 0 (l )
(12)
que é válida, independentemente do perfil de velocidade na ER. Considerando um perfil logarítmico na forma
u 0 u * = (1 / κ) ln(l z 0 ) , multiplicando e dividindo por z 0 , a Eq. (12) torna-se
+
l + ln 2 (l + ) = C 2 κ 2 Lh ,
(13)
que é idêntica à Eq. (6), a menos da função C 2 ( x) . As hipóteses utilizadas na obtenção da Eq. (13) são as mesmas
utilizadas por JH na obtenção da Eq. (5) aplicadas a um sistema de coordenadas de LC: existência da região onde
inércia e turbulência se equilibram, pequenas perturbações de velocidade e perfil de velocidade logarítmico.
Pode-se mostrar também que C 2 ( x) pode ser calibrada de modo que a Eq. (13) forneça o valor de l max . Para
isso, considere as equações da conservação da massa e da quantidade de movimento no sistema de coordenadas
cartesianas. Supondo novamente que inércia e turbulência se equilibram, segue-se que
u
∂u
∂u ∂u ' w'
+w
∼
.
∂x
∂z
∂z
(14)
Para obter resultados a respeito da altura onde ∆u é máximo, substitui-se u = u 0 + ∆u na Eq. (14), deriva-se em
relação a z, observa-se que ∂∆u ∂z = 0 em z = z max , que ∂u 0 ( z ) ∂x = 0 e que ∆u << u . O resultado é
∂u 0 ∂∆u ∂w ∂u 0
∂ 2u
∂ 2 u ' w'
,
+
+ w 20 ∼
∂z ∂x
∂z ∂z
∂z
∂z 2
(15)
em z = z max e z max = z h + l max em coordenadas Cartesianas, com z h ( x) a altura local da colina. Assumindo as
2
(u0 ∆u ) , resulta
mesmas as ordens de magnitude anteriores e multiplicando toda a expressão por z max
2
z max
u
w
+
∼ * .
Lh
∆u u 0 ∆u
(16)
Da equação da conservação da massa pode-se escrever que w ∼ u 0 z max Lh . Substituindo esta relação na Eq. (16),
introduzindo uma função C3 ( x) de ordem 1 e lembrando que ∆u << u , tem-se que
2
z max
u
= C3 2 *
.
Lh
u 0 ( z max )
(17)
No TC, a altura z max em coordenadas Cartesianas é igual a l max em coordenadas de LC. Fora do TC, a
igualdade não se mantém, mas permanece válido afirmar que z max ~ l max para colinas suaves. Substituindo esta
relação na Eq. (17) e permitindo que C3 assimile a diferença, resulta uma expressão idêntica à Eq. (12), com C2
substituído por C3 e l por z max . Em virtude desta semelhança, segue-se da Eq. (17) que
+
+
+
l max
ln 2 (l max
) = C3 κ 2 Lh ,
(18)
+
≡ l max z 0 .
em que l max
Evidentemente, a Eq. (18) também é idêntica à Eq. (13), com C2 substituído por C3 e l por l max . Como C3
pode ser calibrada através dos dados observacionais de modo a que a Eq. (18) forneça l max , conclui-se que C2 na
Eq. (13) também pode. Isto é o que desejávamos mostrar e é exatamente o que tem sido feito na literatura. Mais
2605
XII Congresso Brasileiro de Meteorologia, Foz de Iguaçu-PR, 2002
adiante, quando forem comparadas entre si as Eqs. (5)—(8), ficará claro que a Eq. (18) é a que melhor descreve os
resultados experimentais, como seria de se esperar.
3
ANÁLISE DAS EXPRESSÕES PARA O PERFIL DE VELOCIDADE
A seção anterior sugere que uma maneira direta de se obter uma expressão que para o cálculo de l (ou de l max ) é
resolvendo ∂∆u ∂z = 0 para z = l . Esta metodologia é aqui utilizada para se obter expressões para o cálculo de l a
partir de alguns perfis de velocidade disponíveis na literatura. Uma atenção maior é dada ao perfil obtido por
Pellegrini (2001), mas também são considerados os perfis de Taylor e Lee (1984), de Lemelin et al. (1988) e de
Finnigan (1992).
3.1
O perfil de Pellegrini (2001)
A equação para a distribuição de velocidades proposta por Pellegrini (2001) é dada por
u ( x, z ) =
u * − z0
e
κ
Rh


 Ei ( z Rh ) Ei ( z 0 Rh ) ,


(19)
em que Ei é a função Integral Exponencial, Rh é denominado comprimento de raio. Como Rh é um parâmetro
definido em Pellegrini (2001), algumas considerações a seu respeito são feitas a seguir. Uma explicação mais
completa pode ser encontrada em Pellegrini (2001) e no artigo a ser publicado, que acompanha este.
A eq. (19) é obtida a partir da integração de uma forma simplificada da equação da quantidade de movimento
na direção das LC, sendo válida para uma região intermediária da CLA, que não se estende nem até seu limite
superior, nem até o inferior (a superfície). Por este motivo, durante sua integração existe a falta de condições de
contorno exatas para o domínio tratado. Uma maneira de contornar o problema é criar um novo parâmetro, Rh ,
associado ao raio de curvatura das LC, R (ver Eq. (10)), e que possa absorver a diferença. O processo é análogo ao
que é feito quando, ao se integrar o gradiente adimensional de velocidade para obter a Lei Logarítmica, se substitui
a altura média da canopéia vegetal, h0 , pelo comprimento de rugosidade, z 0 . Assim, Pellegrini (2001) mostra que
Rh é proporcional ao raio de curvatura local da superfície da colina, mas é uma ordem de grandeza menor (como
ocorre com z 0 e h0 ). O parâmtero Rh representa a influência da geometria da colina sobre o escoamento. A Eq.
(19) é válida para escoamentos bidimensionais e permanentes na CLA sobre colinas suaves, cobertas com
vegetação baixa, sem mudanças abruptas de propriedades superficiais (inclusive da elevação) e sob atmosfera
neutra. Sua validade pode ser estendida para regiões cobertas por vegetação alta, substituindo z pela altura
deslocada. Na dedução da Eq. (19) também se supôs elevado número de Reynolds, não ocorrência de separação e
de escoamento reverso.
O perfil vertical de aumento de velocidade, obtido a partir da Eq. (19) e da Lei Logarítmica, é dado por
∆u ( x, z ) =
u * − z0
e
k
Rh

 u*0  z 
 ,
ln
 Ei ( z Rh ) Ei ( z 0 Rh ) −

 k  z 00 
(20)
em que u*0 e z 00 são a velocidade de atrito e o comprimento de rugosidade na ER, respectivamente. Pellegrini
(2001) também propõe a seguinte expressão para o gradiente adimensional de velocidade φm
φ m ≡ κz u* (∂u ∂z ) = e ( z − z0 ) Rh .
(21)
Derivando os dois lados da Eq. (20) e utilizando a Eq. (21), segue-se que
∂∆u u*0
=
∂z
κz
 u * ( z − z0 )

e
 u*0
Rh

− 1 .

(22)
O ponto de máximo do aumento de velocidade é obtido como os valores de z para os quais a Eq. (22) vale zero ou
não está definida. Observando que u*0 ≠ 0 e z > 0 , não há valores para os quais ela não esteja definida. Igualando
a Eq. (22) a zero em z = l , resulta
2606
XII Congresso Brasileiro de Meteorologia, Foz de Iguaçu-PR, 2002
u 
l = Rh ln 0*  + z 0 .
 u* 
(23)
Na equação acima, evidentemente l > 0 . Isso implica que se Rh > 0 então u* < u*0 e que se Rh < 0 , então
u* > u*0 . Segundo a convenção de sinais adotada por Finnigan (1983) para R e, portanto, seguida aqui para Rh, temse que Rh > 0 nas encostas, onde o centro de curvatura da superfície da colina encontra-se na direção dos z
positivos e vice-versa. Isso implica que u* < u*0 nas encostas e u* > u*0 próximo ao TC, como de fato se verifica
nos experimentos de campo. Em todos os casos, considera-se u* > 0 , pois não há recirculação.
Para determinar se o ponto crítico calculado pela Eq. (23) é de fato um ponto de máximo, deve-se analisar os
intervalos de crescimento e decrescimento de ∆u . A análise completa pode ser encontrada em Pellegrini (2001). O
resultado é que para Rh < 0 , l é mesmo um ponto de máximo, mas para Rh > 0 , l é um ponto de mínimo. Como
existe maior interesse, por razões tecnológicas, no ponto de máximo, a simbologia l será mantida para os dois casos
e a distinção entre eles feita sempre que necessário.
3.2
Outros perfis disponíveis na literatura
A análise realizada anteriormente pode ser repetida para alguns perfis de velocidade disponíveis na literatura. O
procedimento completo encontra-se em Pellegrini (2001). O uso do perfil de Taylor e Lee (1984) resulta em
+
l + ln(l + ) = C1* κ 2 Lh ,
(24)
em que C1* = 1 Aκ 2 e A é uma constante que assume os valores A = 3 para colinas 2D, A = 4 para colinas 3D e
A = 3.5 para colinas axisimétricas alongadas. Com estes valores e assumindo κ = 0.4 , resulta C1* = 2.1 , C1* = 1.6
e C1* = 1.8 , respectivamente.
Utilizando o perfil de Lemelin et al. (1988) segue-se que
+
l + ln(l + ) − 0.5l + = C 2* κ 2 Lh ,
(25)
em que C 2* = 1 2aκ 2 , com a = 2 para colinas 3D axisimétricas, cristas e escarpas 2D, desde que h ≤ Lh . Com este
valor e κ = 0.4 resulta C 2* = 1.56 .
Finalmente, o perfil de Finnigan (1992) implica em
Lh  l
ln
R  z 0

 = C 3* κ 2 ,

(26)
em que C3* é uma constante a determinar por comparação com os dados observacionais.
4
COMPARAÇÃO COM RESULTADOS OBSERVACIONAIS E DISCUSSÃO
Para uma análise detalhada das equações propostas e analisadas neste trabalho é preciso reavaliar o valor de C1 na
Eq. (7) e calcular o valor de C2 na Eq. (13) antes que estas equações possam ser comparados com as Eqs. (5), (6),
(8), (23), (24), (25) e (26). Muitos estudos fornecem os resultados observacionais necessários para a análise dessas
equações, sendo que os mais conhecidos encontram-se resumidos em Taylor et al. (1987) e descrevem os
experimentos realizados nos seguintes locais: Black Mountain (BM), Askervein Hill (AH), Kettles Hill (KH),
Bungendore Ridge (BR) e Nyland Hill (NH).
A figura 2 apresenta os dados observacionais disponíveis, representados juntamente com os resultados das
Eqs. (5) e (7). Verifica-se que a concordância entre a Eq. (7) e os resultados de campo é muito boa, como seria de
se esperar, uma vez que o valor de C1 foi reavaliado e corresponde ao melhor ajuste, obtido pelo método dos
2607
XII Congresso Brasileiro de Meteorologia, Foz de Iguaçu-PR, 2002
mínimos quadrados, aos dados disponíveis. A concordância entre a Eq. (5) e os dados de campo só é aceitável para
os resultados de BM e BR. Por este motivo, os resultados de BR serão descritos em mais detalhe a seguir.
De acordo com Taylor et al. (1987), verificou-se uma variação de z 0 entre os limites 0.002 e 0.005 m
durante o experimento de BR, e l foi estimado em 5 m. Com estes valores, foram gerados os dois pontos
representados por triângulos na Fig. 2, que concordam com a Eq. (5), mas que discordam da tendência geral dos
outros resultados experimentais. Durante o experimento, verificou-se também que o perfil vertical de aumento de
velocidade apresentava um máximo bastante indefinido, com valor aproximadamente constante até a altura de 8 m.
Por este motivo, um ponto representativo do experimento foi gerado (o segundo, acompanhando a reta da Eq. (7)
de cima para baixo) considerando z 0 = 0.0035 m (a média de 0.002 e 0.005 m) e l = 1 m. A figura 2 ilustra o fato
de que este ponto é bem representado pela Eq. (7).
1,E+04
+
+
l ln(l )
1,E+05
Const. = 2
1,E+03
1,E+02
C 1 = 0,39
1,E+01
10
100
1000
10000
+
Lh k
2
Figura 2: Altura adimensional do aumento de velocidade máximo. Dados de BR: ÌÌÌ; dado de BM:
demais dados: o o o. Equação (5):  ; Equação (7) com C1 = 0.39 :
;
A partir da análise acima, pode-se concluir que a Eq. (7) com C1 = 0.39 descreve os experimentos de campo
melhor do que a Eq. (5), exceto para o resultado de BM. Este resultado concorda com o item 2 do resumo
apresentado na seção 1 do presente trabalho e, portanto, tem apoio na literatura pesquisada. Contudo, mais
resultados de campo são necessários antes que se possa sugerir C1 = 0.39 como um valor definitivo. Assim, a Eq.
(7) passa a ser escrita como
+
l + ln(l + ) = 0.39 κ 2 Lh .
(27)
A Fig. 3 mostra uma comparação entre os resultados das Eqs. (6) e (13). A concordância é boa em ambos os
casos, mas ligeiramente melhor para a Eq. (13), já que C2 representa o melhor ajuste (por mínimos quadrados) aos
dados disponíveis, novamente excluindo-se BR. Com o valor de C2 proposto na Fig. 3, a Eq. (13) fica
+
l + ln 2 (l + ) = 2.29 κ 2 Lh .
(28)
Nas Eqs. (27) e (28) a dependência de C1 e C2 com x não pode ser avaliada porque os dados disponíveis foram
todos obtidos no TC. O fato de que tanto a Eq. (27) quanto a Eq. (28) descrevem bem os resultados de campo
confirma o item 5 do resumo da seção 1, segundo o qual o valor de n situa-se entre 1 e 2 na equação de BT.
A figura 4 mostra a comparação dos resultados das Eqs. (8) e (13). É nítido que a Eq. (13) descreve o
experimento um melhor que a Eq. (8), independentemente dos valores escolhidos para n e Cn. A figura sugere que a
+
Eq. (8) foi calibrada para descrever melhor os resultados experimentais com valores mais baixos de κ 2 Lh .
A análise das figuras 2, 3 e 4 permite tirar algumas conclusões a respeito das Eqs. (5)—(8). Em primeiro
lugar, confirma-se a conjectura encontrada na literatura de que a Eq. (5) fornece valores muito altos para l e deve
ser abandonada. Se a constante 2 for substituída por 0.41, ou seja, se a Eq. (27) for adotada em seu lugar, a
descrição dos dados experimentais pode ser considerada boa. As figuras também mostram que a Eq. (6) descreve
bem os resultados de campo. A descrição melhora se a constante 2.41 for utilizada no lugar de 2, isto é, se a Eq.
(28) for adotada em seu lugar. Neste caso a descrição é tão boa quanto a da Eq. (27). Finalmente, pode-se dizer que
2608
XII Congresso Brasileiro de Meteorologia, Foz de Iguaçu-PR, 2002
a Eq. (8) descreve os resultados de campo razoavelmente bem, em média, sendo ligeiramente melhor para os
+
valores mais baixos de κ 2 Lh e ligeiramente pior para os mais altos.
1,E+05
+
2
+
l ln (l )
1,E+06
1,E+04
1,E+03
C 2 = 2,29
Const. = 2
1,E+02
1,E+01
10
100
1000
10000
+
Lh k
2
Figura 3: Altura adimensional do aumento de velocidade máximo. Símbolos com na Fig. 2.
Equação (6):  ; Equação (13) com C 2 = 2.29 :
1,E+05
1,E+04
+
Lh k
2
PT
1,E+03
BT2
1,E+02
BT1
1,E+01
10
100
1000
l
+
10000
Figura 4: Altura adimensional do aumento de velocidade máximo. Símbolos como na Fig. 2.
Equação (13): PT. Equação (8) com n = 1.4 e Cn = 1.63: BT1 Equação (8) com n = 1.6, Cn = 3.44: BT2
A análise das figuras 2, 3 e 4 também permite tirar algumas conclusões a respeito das Eqs. (24)—(26).
Percebe-se que a Eq. (24) não descreve bem os resultados de campo devido a sua semelhança com a Eq. (5),
inclusive no valor da constante. Pelo mesmo motivo, é possível inferir que a Eq. (25) também não descreve
adequadamente os dados de campo. Para comparar os resultados da Eq. (26) com os dados observacionais, é
preciso primeiramente determinar o valor de C3*. Por comparação com os resultados de AH, Pellegrini (2001)
obtém um valor médio de 2054, com um desvio padrão de 468%. Pode-se concluir, portanto, que um desvio tão
alto implica que o valor de C3* não é realmente constante, o que implica, por sua vez, que a Eq. (26) não é coerente.
Resumindo, pode-se afirmar que a Eq. (28) é a que melhor descreve os resultados de campo considerados e
que a Eq. (27) é pelo menos tão boa quanto a Eq. (28). Por este motivo, a avaliação da Eq. (23) que se segue apenas
apresentará uma comparação entre ela e a Eq. (28).
A figura 5 mostra a comparação entre valores de l calculados e medidos em campo sobre AH. A comparação
com o resultado de BM será apresentada adiante. Os outros dados disponíveis não foram considerados, pois o uso
da Eq. (23) requer o conhecimento do perfil vertical de velocidade para que se possa calcular u* , u*0 e Rh, o que só
é possível em AH e BM. Na figura, o afastamento dos pontos em relação à reta bissetriz representa a diferença
entre os valores calculados pela teoria e observados no experimento. Os diversos valores teóricos de l
2609
XII Congresso Brasileiro de Meteorologia, Foz de Iguaçu-PR, 2002
correspondem às diversas direções do vento incidente durante o experimento e, portanto, aos diversos valores de Lh
correspondentes. Algumas considerações importantes a respeito da maneira como os valores observacionais de Lh e
l foram estimados para uso nesta seção posem ser encontradas em Pellegrini (2001).
l calculado (m)
12
8
4
0
0
4
8
12
l campo (m)
Fig. 5: Altura do aumento de velocidade máximo. Comparação entre teoria e resultados de AH.
Eq. (23): o o o. Eq. (28): ÌÌÌ.
A análise da Fig. 5 mostra que a Eq. (23) descreve os resultados de AH significativamente melhor do que a
Eq. (28). Fica claro que, além de superestimar os resultados de campo, a Eq. (28) apresenta maior espalhamento
nas previsões. A média das diferenças percentuais entre l calculado pela Eq. (23) e medido vale –12.2%, com um
desvio padrão de 21.9%. No caso da Eq. (28), a média é 43.9%e o desvio 116.9%.
Para BM, l é ligeiramente melhor estimado pela Eq. (28) do que pela Eq. (23). Verifica-se que l está a
aproximadamente 27 m da superfície em todos os perfis de velocidade medidos. Com a Eq. (23), obtém-se 41.8 m,
que superestima l observado em 55%. O resultado com a Eq. (28) é de 15.1 m, que subestima l observado em 44%.
5
RESUMO E CONCLUSÕES
O presente trabalho apresenta uma análise de alguns resultados recentes no cálculo da altura do aumento de
velocidade máximo em camada limite atmosférica sobre colinas em atmosfera neutra. Considera-se seis equações
de caráter geométrico, Eqs (5)—(8), (24) e (25), e duas de caráter dinâmico, Eqs. (23) e (26), estando a
dependência dinâmicas das duas últimas embutida em u* e u*0 e Rh. A análise mostra que se alguma das Eqs.
(5)—(8) é capaz de fornecer tanto a altura da região interna quanto a do aumento de velocidade máximo, esta é a
Eq. (6), com C2 devidamente recalibrada para tal. A expressão com a novo valor de C2 é a Eq. (28), que produz os
melhores resultados apresenta dentre as equações geométricas. O valor de C1 na Eq. (7) também é recalibrado e fica
claro que resultados tão bons quanto os da Eq. (28) podem ser obtidos com o valor proposto. A expressão com o
novo valor de C1 é a Eq. (27) e descreve os dados experimentais considerados melhor, de forma global, do que com
o valor de C1 = 0.56 , anteriormente proposto por CL. O uso da Eq. (5) é definitivamente desaconselhado.
O trabalho também mostra como equações para o cálculo de l podem ser obtidas a partir das expressões
disponíveis para o cálculo de ∆u . Como resultado são apresentadas as Eqs. (23)—(26). O método é simples mas
apresenta certas restrições: nem todas as equações disponíveis são utilizáveis e nem todos os resultados obtidos são
coerentes. Por exemplo, o resultado de Hunt et al. (1988a) é implícito em l e contém funções por determinar que
dependem do formato da colina. Também, a análise de C3* mostra que a Eq. (26) é incoerente e deve ser
abandonada.
A Eq. (23) é comparada com os resultados observacionais e da Eq. (28) e chega-se à conclusão que a
primeira tem melhor desempenho que a segunda, o que implica que ela tem o melhor desempenho dentre todas as
expressões consideradas. Por este motivo, o presente trabalho sugere o uso desta equação sempre que possível, isto
é, sempre que se possa determinar os parâmetros dinâmicos dos quais ela depende. Na impossibilidade disto,
sugere-se o uso da Eq. (28) que depende apenas de parâmetros geométricos.
Dentre as diversas observações que se pode fazer a respeito dos dados experimentais utilizados, a mais
importante diz respeito à precisão com que l pode ser estimado à partir deles. O valor experimental de l é obtido
calculando-se a diferença entre as velocidades do vento no TC e na ER e verificando-se onde esta diferença atinge
2610
XII Congresso Brasileiro de Meteorologia, Foz de Iguaçu-PR, 2002
o máximo. Este valor depende criticamente das curvas escolhidas como melhor ajuste aos pontos de medição.
Como o ajuste é, às vezes, impreciso devido às consideráveis distâncias entre os pontos, uma incerteza extra é
adicionada às medidas. O caso de BR é um exemplo típico. Neste experimento ∆u ≅ constante até a altura de 8 m,
indicando que possivelmente l situa-se abaixo do primeiro ponto de medição. Este fato é bastante relevante,
considerando-se que os valores de C1 e C2 são consideravelmente sensíveis aos pontos extremos, isto é, BM e BR.
Além disso, em alguns casos (AH, ano de 1982 e BM) as medidas de velocidade na ER eno TC foram tomadas em
alturas diferentes, exigindo o uso da Lei Logarítmica para estimar a velocidade na ER, nas alturas desejadas.
Baseado nessas restrições aos dados experimentais, sugere-se que nos experimentos de campo futuros realize-se um
número maior de medidas próximo à localização de l (estimada pela Eq. (28)). As medidas devem ser tomadas nas
mesmas alturas no ER e no TC, para que ∆u possa ser calculado sem aproximações. Também são desejáveis
medidas completas de perfis de velocidade sobre as encostas para que se possa avaliar a dependência da
formulação com x. Por fim, sugere-se que os futuros experimentos sejam projetados de forma a cobrir os vazios
existente na faixa de valores de Lh+ atualmente explorada e a estendê-la para ambos os lados.
6
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem o auxílio financeiro recebido do CNPq através dos processos nos. 143041/97-5 e 474904/016, e da FAPERJ através do processo no. E-26/171.284/99.
7
REFERÊNCIAS
Beljaars, A. C. M. and Taylor, P. A.: 1989, ‘On the inner-layer scale height of boundary layer flow over low hills’,
Boundary-Layer Meteorol. 49, 433-438.
Claussen, M.: 1988, ‘On the inner layer scale height of boundary layer flow over low hills’, Boundary-Layer
Meteorol. 44, 411-413.
Finnigan, J. J.: 1983, ‘A streamline co-ordinate system for distorted turbulent shear flows’, J. Fluid Mech. 130,
241-258.
Finnigan, J. J.: 1992, The logarithmic wind profile in complex terrain, CSIRO environ. Mech.Tech. Report No.
T44, CSIRO, Canberra, Australia, 69 pp.
Hunt, J. C. R., Leibovich, S. and Richards, K.J.: 1988a, ‘The turbulent shear flow over low hills’, Quart. J. Roy.
Meteorol. Soc. 114, 1435-1470.
Hunt, J. C. R., Richards, K. J., Brighton, P. W. M.: 1988b; ‘Stably stratified shear flow over low hills’, Quart. J.
Roy. Meteorol. Soc. 114, 859-886.
Jackson, P. S. and Hunt, J. C. R.: 1975, ‘Turbulent wind flow over a low hill’, Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 106,
929-955.
Jensen, N. O., Petersen, E. L., Troen, I.: 1984, Extrapolation of mean wind statistics with special regard to wind
energy applications, Rep. No. WCP-86, World Meteorol. Organ., Geneva, 85 pp.
Kaimal, J. C. and Finnigan, J. J.: 1994, Atmospheric boundary layer flows: their structure and measurement,
Oxford Univ. Press, New York, 289 pp.
Lemelin D. R., Surry, D. and Davenport, A. G.: 1988, ‘Simple approximations for wind speed-up over hills’, J.
Wind Eng. Indust. Aerodyn. 28, 117-127.
Pellegrini, C. C.: 2001, A modified logarithmic law for the atmospheric boundary layer over vegetated hills under
non-neutral atmosphere (in Portuguese), Ph.D dissertation, Federal University of Rio de Janeiro, RJ, Brazil,
142 pp.
Pellegrini, C. C., Bodstein, G. C. R.: 2000a, ‘On the height of maximum speed up in atmospheric boundary layers
over low hills’, in 1st National Congress of Mechanical Engineering (I CONEM) Natal, RN, Brazil, 7-11 Aug.
2000, in CD ROM
Pellegrini, C. C., Bodstein, G. C. R.: 2000b, ‘A new expression for the height of maximum speed up on the
atmospheric boundary layer over low hills’, in 8th Brazilian Congress of Thermal Engineering and Sciences
(VIII ENCIT) Porto Alegre, RS, Brazil, 3-6 Oct. 2000, pp.
Taylor, P. A., Mason, P. J and Bradley, E. F.: 1987, ‘Boundary layer flow over low hills (a review)’, Boundary
Layer Meteorol. 39, 107-132.
Taylor, P. A. and Lee: 1984, ‘Simple Guidelines for estimation wind speed variations due to small scale
topographic features’, Climatological bulletin, 18 (2) 3-22.
Walmsley, J. L. and Taylor, P. A.: 1996, ‘Boundary layer flow over topography: impacts of the Askervein study’,
Boundary Layer Meteorol. 78, 291-320.
2611
XII Congresso Brasileiro de Meteorologia, Foz de Iguaçu-PR, 2002
Wood, N.: 2000, ‘Wind flow over complex terrain: a historical perspective and the prospect for large eddy
modelling’, Boundary Layer Meteorol. 96, 11-32.
2612