APLICAÇÃO DE SÉRIE DE POTÊNCIA PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMA EM
ENGENHARIA ELÉTRICA
José Francisco Rodrigues 1, Renato Crivellari Creppe 2, Luiz Gongaza Campos Porto 3, José Alfredo Covolan Ulson 4, Paulo
José Amaral Serni 5
1
School of Engineering Bauru/UNESP, Bauru, Brasil, [email protected]
Scholl of Engineering Bauru/UNESP, Bauru, Brasil, [email protected]
3
Scholl of Engineering Bauru/UNESP, Bauru, Brasil, [email protected]
4
Scholl of Engineering Bauru/UNESP, Bauru, Brasil, [email protected]
5
Scholl of Engineering Bauru/UNESP, Bauru, Brasil, [email protected]
2
Resumo: O artigo aborda o desenvolvimento das equações
gerais das ondas de propagação de tensão e corrente elétrica
ao longo dos tradicionais e reais sistemas de transmissão de
energia elétrica, que através dos modelos matemáticos
utilizados na engenharia elétrica e das condições de
contorno inerentes ao estudo, culmina em um sistema de
equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. A
solução desse sistema é de conhecimento clássico na
literatura, porém, para a situação em particular dos sistemas
de transmissão de energia elétrica, foi possível propor uma
metodologia de resolução não usualmente aplicada, mas
satisfatória e suficientemente precisa para o objetivo em
análise se tratando da aplicação de série de potência, em
particular a série de Maclaurin, na solução das equações
diferenciais ordinárias. A análise efetuada e os resultados
encontrados são apresentados no corpo do artigo e
demonstram que satisfazem integralmente sua utilização em
fenômenos desse porte em linhas de transmissão.
Palavras Chave: Linhas de transmissão, modelagem
matemática, série de potência, equações diferenciais.
1. INTRODUÇÃO
Os modelos matemáticos são utilizados na tentativa de se
poderem estudar os fenômenos físicos na natureza e assim
representá-los da forma mais adequada possível. Nesses
modelos é usual não se utilizar todos os parâmetros
envolvidos no sistema físico real (SFR), pois além de trazer
grande complexidade na representação e estudo do modelo
matemático como também da constatação de sua eficiência e
adequação através da utilização das simulações, muitos
desses parâmetros não possuem importância significativa
nos resultados finais, o que conduz na maioria das vezes a
utilização somente dos parâmetros de maior relevância e
contribuição.
A distribuição das tensões e correntes e a transferência
de energia ao longo de uma linha de transmissão podem ser
analisadas por alguns processos matemáticos, sendo de se
esperar que todos conduzam ao mesmo resultado. Essa
análise, evidentemente, tem por finalidade permitir ao
pesquisador chegar a expressões analíticas finais que são
empregadas diretamente na solução de problemas práticos.
Se os diversos métodos conduzem aos mesmos resultados
finais, todos deveriam ser aceitáveis. No entanto, nos
problemas de engenharia, em geral, não é suficiente
procurar uma fórmula que possa ser aplicada
indiscriminadamente na solução de um problema particular,
sem o conhecimento completo das limitações e
simplificações admitidas em sua derivação. Tal
circunstância poderia levar ao uso indevido dessa
formulação. As chamadas soluções matemáticas dos
fenômenos físicos exigem, normalmente, simplificações e
idealizações. A derivação matemática de uma equação a
partir de princípios fundamentais deve, além da equação
propriamente dita, fornecer todas as informações referentes
às restrições, aproximações e limitações que são impostas. É
fundamental que se examine com o maior rigor, sob o ponto
de vista da generalidade, a aceitabilidade dos princípios
fundamentais adotados como ponto de partida para a sua
dedução.
Vale à pena ressaltar que, de acordo com a física, a
expressão “linha de transmissão” se aplica a todos os
elementos de circuitos elétricos que se destinam ao
transporte de energia, independentemente da quantidade de
energia transportada, freqüência e outros parâmetros. Essa
mesma teoria geral é aplicável independente do
comprimento físico das linhas, realizadas as necessárias
ressalvas.
Mestre Lord Kelvin já preconizava “Entender um
fenômeno físico significa associá-lo a números”. Portanto,
no decorrer do trabalho apresentar-se-á a análise matemática
no comportamento de ondas viajantes de tensão e corrente
nas linhas de transmissão, sendo realizada de forma
genérica, ou mais precisamente, considerando tensões e
correntes como funções genéricas no tempo, para mais
adiante embasar o estudo sistemático para as linhas de
transmissão excitadas por correntes senoidais em regime
permanente e no domínio da freqüência, terminando com a
proposta de solução das equações diferenciais que regem
esse comportamento, através da aplicação de séries de
potência [1].
O cálculo dos níveis de tensão e corrente em todos
condutores que constituem uma linha de transmissão será
analisado através da solução de equações diferenciais
ordinárias por desenvolvimento em série [2]. A aplicação
desta metodologia mostrará que o manuseio de uma
1
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José Francisco Rodrigues, Renato Crivellari Creppe, Luiz Gongaza Campos Porto ,José Alfredo Covolan Ulson, Paulo José Amaral Serni
proposta relativamente simples trará resultados confiáveis e
precisos no estudo desenvolvido.
dI1 ( x, w)
ou
2. A PROPAGAÇÃO ELETROMAGNÉTICA
As equações de propagação de ondas de tensão e
corrente nos sistemas trifásicos de transmissão de energia
elétrica podem ser obtidas através de um sistema simples
constituído por um condutor em presença de um plano de
terra infinito, neste caso representado pelo modelo
monofásico, uma vez que o sistema trifásico é considerado
equilibrado [3, 4]. O arranjo de um condutor em presença de
um plano de terra ideal é mostrado na figura 1, onde se
representa apenas um comprimento infinitesimal. As
grandezas V1 (tensão) e I1 (corrente) são na realidade
funções da distância (x) e do tempo (t), de maneira que as
equações gerais de propagação deduzem-se diretamente das
expressões que resultam da aplicação das duas leis de
Kirchoff na Figura 1, resultando em um conjunto de
equações diferenciais parciais indicadas nas equações (1) e
(2), para um sistema monofásico de transmissão.
dx
dV1 ( x, w)
dx
dI1 ( x, w)
dx
 (G11  j.w.L11 ).V1 ( x, w)
(4)
  Z11 ( w).I1 ( x, w)
(5)
  G 11 ( w).V1 ( x, w)
(6)
As equações diferenciais de derivadas parciais (1) e (2)
transformaram-se desta forma em equações diferencias
ordinárias (5) e (6) válidas para uma dada freqüência
angular w, lembrando que:

V1 ( x, w)   V1 ( x, t ).e - jwt .dt  V1f
-
(7)
onde:
V f → exprime os valores de “fase”, logo V ( x, w)  V f
1
1
1
é a tensão na “fase 1”, no ponto x, no domínio da freqüência.
Assim, em notação simplificada, é possível escrever:
dV1f
dx
dI1f
dx
x
I1 ( x, t )
x
  L11
 C11
I1 ( x, t )
x
V1 ( x, t )
x
 R 11.I1 ( x, t )
(1)
 G11.V1 ( x, t )
(2)
(8)
 Y11.V1f
(9)
Se o sistema de transmissão for composto por “n”
condutores, verifica-se que as expressões (8) e (9) passam a
ter um maior grau de complexidade à medida que “n”
aumenta. A fim de ilustrar essa situação, considere uma
linha bifásica constituída por dois condutores em presença
de um plano de terra infinito, indicada na Figura 2.
Fig. 1. Representação de um elemento infinitesimal de linha
monofásica.
V1 ( x, t )
  Z11.I1f
onde:
R11 = resistência da linha por unidade de comprimento
(Ω/km).
L11 = indutância da linha por unidade de comprimento
(H/km).
G11 = condutância da linha por unidade de comprimento
(S/km).
C11 = capacitância da linha por unidade de comprimento
(F/km).
Aplicando a transformada de Fourier às equações (1) e
(2), vem:
dV1 ( x, w)
dx
  (R 11  j.w.L11 ).I1 ( x, w)
(3)
Fig. 2. Representação de um elemento infinitesimal de um sistema de
dois condutores.
2
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d 2Vf
Não é agora difícil reconhecer que as equações
diferenciais ordinárias que regem, em regime permanente, o
comportamento do sistema de dois condutores, são:
dV f
  Z11 .I f  Z12 .I f
1
2
dx
1
dV2f
  Z12 .I1f  Z 22 .I f2
dx
e
dI1f
dI f2
dx
dx
d 2Vf
(11)
dx
f
 Y11.V1  Y12 .V2
(12)
 Y12 .V1f  Y22 .V2f
(13)
dx
dx
.
=
-
(17)
Z 22 .Y )V f
22
2
(14)
.
.
f
-
.
  Z . If
-
2
Observa-se das equações acima que a solução clássica,
mesmo para o caso de 2 condutores é bastante trabalhosa [5,
6]. As dificuldades de se trabalhar com as equações de
propagação em sistemas de 2 ou mais condutores reside no
fato de que as equações diferenciais de segunda ordem de
tensão e corrente de cada fase dependem dos valores dessas
grandezas nas demais fases, isto é, dependem do
acoplamento mútuo entre fases.
A solução matricial do sistema de equações diferenciais
resultante, expressas pelas equações (14) e (15), pode ser
orientada com o intuito de contornar este problema [7, 8].
Resolvendo da maneira usual, podem-se derivar as equações
(14) e (15) em relação à x e em seguida utilizar as equações
(14) e (15) na derivada de segunda ordem, resultando:
.
d Vf
dI
12
 ( Z12 .Y  Z 22 .Y )V f 
11
12 1
2
2
(16)
Z11 .Y )V f
 ( Z12 .Y 
22
(10)
ou em forma matricial compacta:
e
 ( Z11 .Y  Z12 .Y )V f 
11
12 1
 ( Z12 .Y 
12
f
dx
1
2
.
.
=
-
  Y .V f
d 2 Vf
dx
(15)
2
.
.
.
=
=
-
= Z. Y . V f
(18)
.
onde:
d 2 If
.
Z = matriz de impedâncias longitudinais da linha em
dx
=
Ohm.
.
.
.
=
=
-
= Y. Z.If
2
(19)
Essas equações podem ainda escrever-se na forma:
.
Y = matriz de admitâncias transversais da linha em
.
=
d 2 Vf
siemens.
.
dx
V = vetor de tensões de fase dos “n” condutores na
2
.
-
=
-
linha em volts.
.
2
= W .Vf
(20)
.
.
d 2 If
-
dx
I = vetor de corrente dos “n” condutores na linha em
ampères.
.
onde:
Derivando as equações (10) e (11) em relação à x e
substituindo-se nas equações obtidas as equações (12) e (13)
é possível obter-se:
2
.
2
.
= Wt .If
2
=
.
.
.
.
-
(21)
.Y
W Z
= =
=
.
2
.Z
Wt  Y
= =
=
3
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.
.
2
W t  matriz transposta de W
=
proposta de possível solução, que pudesse contornar as
dificuldades apresentadas nas outras formas de solução e
que não trouxesse prejuízos de qualidade nos resultados
finais. Assim sendo, foi proposta uma nova metodologia
tratando-se do o desenvolvimento em série de Mclaurin [1,
7] nas equações (24) e (25), como indica as equações (26) e
(27).
2
=
.
2
A matriz W é quadrada, sendo utilizada com o intuito
=
de simplificar a análise e definida como sendo o produto da
matriz de impedância e admitância.
A solução das equações (20) e (21) pode ser realizada
através de metodologias existentes na literatura que tratam
do assunto em questão. É importante destacar que alguns
programas computacionais possuem incorporados, nos
mesmos, ferramentas específicas para aplicação deste caso,
porém não se pode perder de vista que a situação física aqui
analisada trata de fenômenos de propagação de ondas de
tensão e corrente em linhas de transmissão e assim os
parâmetros envolvidos fazem parte deste universo, podendo
levar a situações de problemas relacionados com
convergências dos métodos empregados. De maneira geral a
solução para as equações (20) e (21) são da forma:
.
f
V e
 W .. x

-
.
. Vi  e
-
0
I f  Y .(e

.
.
 W. x

.
W.. x

. Vi  e
-
.
. Vr
-
W. x

.
. Vr )
-
.
dV
.
dx
dx
.
.
=
-
  Y. V
| x 0
-
dx 2
(27)
.
.
.
.
=
=
-
d3 V
= Z. Y . V
dx
2
3
.
.
.
.
=
=
=
-
= Z.Y. Z.I
(28)
.
.
.
.
d3 I
=
=
-
dx
= Y . Z. I
3
.
.
.
.
=
=
=
-
= Y . Z. Y . V
x2 . . .
Z Y V0
= 2! = = .
.
.
.
x2 . . .
I  I 0  x Y V0  Y ZI 0
=
2! = = .
.
.
.
V  V0  x Z I0 
(29)
(30)
(31)
 e I , são respectivamente os vetores das
onde os vetores V
0
0
tensões e correntes nos condutores do sistema na origem da
abscissa (x = 0).
As equações (30) e (31) permitem o conhecimento das
tensões e correntes em todos condutores que compõem um
sistema de transmissão de energia elétrica em qualquer
posição ao longo da linha de transmissão. Portanto, fazendo
uso da aplicação do desenvolvimento de série de potência na
solução das equações diferenciais (24) e (25) foi possível
obter-se uma solução, prática, precisa para o objetivo em
questão e de forma relativamente simples e eficaz.
Também, observando-se as equações (30) e (31)
verifica-se que nos sistemas de transmissão de energia
elétrica, além dos condutores fases e cabos pára-raios, se
existirem outros condutores compondo o sistema, como, por
exemplo, condutores isolados e estes estiverem próximos e
(24)
.
-
.
3
x d I+
| x 0 ......
2! dx 3
2
Substituindo-se as equações (28) e (29) em (26) e (27), e
através de manipulações e substituições, resultam as
equações (30) e (31) já simplificadas:
.
dI
| x 0 + x
.
As equações diferenciais ordinárias, que traduzem em
regime permanente, o comportamento das tensões e
correntes num sistema de N condutores colocados em
presença da terra são, como se viu anteriormente, as
seguintes:
-
2
d2 I
3. SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PELO
DESENVOLVIMENTO DE SÉRIE DE POTÊNCIA
=
.
d2 I
.
Deve ainda enfatizar que nas equações (22) e (23) todos
os parâmetros vetoriais e matriciais apresentados são
complexos, a menos do comprimento da linha de
transmissão, x.
dx
(26)
d2 V
dx
.
-
dx
| x 0
(23)
de transmissão.
.
dI
dx
2
3
x d V+
| x 0 .....
2! dx 3
2
(22)
-
  Z. I
dx
.
d2 V
Truncando-se a série no terceiro termo, o que não impõe
erros expressivos, resolve-se o problema, derivando-se as
equações (24) e (25),

-

-
dx
Y = matriz de admitâncias características da linha
dV
| x 0 + x
-
.
dI
.
0
.
dV

dx
onde : Vi e Vr = vetores constantes de integração
-
.
-
(25)
Nestas, a referência do eixo das abscissas "x" (x=0),
encontra-se no terminal transmissor ou gerador, isto é, na
geração.
A dificuldade na solução destas equações, conforme já
mencionado, encontra-se no fato de que existem várias
variáveis em cada uma delas. Desta forma buscou-se uma
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paralelos aos condutores que transportam energia elétrica,
há possibilidade do conhecimento dos valores das tensões
induzidas nestes últimos condutores isolados fazendo dessas
equações. Esta situação é apresentada através da Figura 3.
. .

.
.  . 
c
co
cc
ci  V co 
I
I
Y
Y
=
 -  - 
=
. 
 .    .   x. .
.  . 
 Y ic Y ii   V io 
 I i   I io 
 =
 -   - 
= 
  - 
.
.
.
.
 . 


2 Y cc Y ci   Z cc Z ci  I co 
x
=
=
=
 . =.
.  .
.  . 
2! 
Y ic Y ii   Z ic Z ii   I io 
  - 
  =
= 
= 
 =
(33)
onde os sub-índices significam:
c – condutores fases do sistema de transmissão.
i – eventuais condutores isolados do sistema de
transmissão, se existirem.
Fig. 3. Linha de transmissão e condutor isolado paralelo e na
vizinhança da mesma.
Fazendo x =  na equação (33), se estará desta forma,
na posição do extremo receptor da linha de transmissão, isto
é, na carga elétrica e assim é possível obter-se todas as
correntes existentes no extremo final da linha.
Se o interesse recair particularmente sobre a corrente no
condutor isolado, esta pode ser obtida através da equação
(34).
Com a aplicação das equações (30) e (31), percebe-se
claramente que é possível estender as investigações e
pesquisas nesta área da engenharia elétrica a outras questões
similares que envolvam os sistemas de transmissão de
energia elétrica em operação no país e reais, como exemplo,
valores de tensões induzidas em condutores isolados
localizados nas vizinhanças das linhas de transmissão. A
determinação de níveis de tensões induzidas em condutores
isolados que possam estar nas vizinhanças dos sistemas de
transmissão de energia, em algumas oportunidades, podem
atingir valores tais que causem sérias conseqüências às
pessoas que mantém contato físico com os mesmos podendo
até mesmo causar danos físicos fatais.
Assim, as equações (30) e (31) podem ser expandidas e
expressas em forma de matrizes particionadas, como nas
equações (32) e (33), lembrando que todos sistemas de
transmissão de energia elétrica utilizados no Brasil possuem
cabos pára-raios multi-aterrados.
.
.
.
. 
. .
I i = I io -  Y ic V co + Y ii V io  
= - 
= -
2
2
.
. .
. .
Y
ic
Z
cc
+
Y
ii
Z
ic  I co +
= =
= = 
.
.
2  . .
.
+ Y ic Z ci + Y ii Z ii  I io
=
= 2 = =

(34)
Porém, como o condutor isolado não possui injeção de
.  . 
.  . 
.
c
co
V
V
cc
ci   I co 
Z
Z
-  - 

=
. - 
 .    .   x. =.
. . 
 V i   V io 
 Z ic Z ii   I io 
 =
 -   - 
= 
  - 
.
.
.
.
.




cc Z ci  Y cc Y ci  V co 
x 2 Z
=
=
=
 . =.
.  .
.  . 
2! 
Z ic Z ii   Y ic Y ii   V io 
  - 
= 
= 
  =
 =
.
corrente em seus terminais, logo I i
-
.
=
I io = 0. Isto aplicado
-
na equação (34) resulta na equação (35), que fornece a
tensão na origem do condutor isolado:
(32)
.
-1
-1
 .  . .
 . 
V io =  - Y ii  Y ic V co +  Y ii  .
2 = 
 =  = .
. .
. .
.Y ic Z cc + Y ii Z ic  I co
= = = =
(35)
Fazendo x =  , na equação (32), é possível obter a
equação (36), que fornece a tensão induzida no final do
condutor isolado.
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AGRADECIMENTOS
.
.
. . 
. .
V i = V io -   Z ic I co + Z ii I io  
= - 
= -
2
2
.
.  .
. .
ic Y cc + Z ii Y ic  V co +
Z
= =  = =
2 .
.
.
.  .
 
+  Z ic Y ci + Z ii Y ii  V io
= =  2 = =

Agradecemos ao Departamento de Engenharia Elétrica
da Faculdade de Engenharia de Bauru pela disponibilidade
de recursos materiais para os testes computacionais do
programa elaborado.
REFERENCIAS
(36)
[1] W. Kaplan, “Cálculo Avançado”, v. II, Edgard Blucher:
São Paulo, 1996.
[2] J. F. Rodrigues, “Extração de Pequenas Potências por
Efeitos Eletromagnéticos nas Proximidades das Linhas
Elétricas de Alta Tensão”, dissertação (mestrado em
engenharia elétrica) – Escola Federal de Engenharia de
Itajubá-EFEI, Itajubá, 189p, 1985.
Observa-se na equação (36) que uma vez conhecidas às
tensões e correntes nos condutores fases no início da linha
de transmissão e utilização da equação (35), é possível
determinar a tensão induzida no final do condutor isolado.
6. CONCLUSÕES
[3] R. D. Fuchs, “Transmissão de Energia Elétrica - Linhas
Aéreas”, 2.ed. LTC: Rio de Janeiro, 1979.
O emprego da metodologia descrita anteriormente, na
obtenção das equações de vetores de tensões e correntes que
compõem um sistema de transmissão de energia elétrica e
eventuais condutores isolados, se existirem, proporcionou
uma
alternativa
matematicamente
adequada
e
suficientemente precisa para o estudo apresentado, uma vez
que estes resultados foram comparados com os métodos
clássicos.
Desta forma, foi possível obter-se uma nova
“ferramenta” analítica para uso em engenharia elétrica,
totalmente satisfatória na análise e cálculos de tensões e
correntes ao longo das linhas de transmissão, desde seu
início até o final, como também possibilitou avaliarem-se
valores das tensões induzidas em condutores isolados
colocados próximos e paralelamente às linhas, cujos valores
de tensões podem atingir em algumas situações peculiares,
níveis extremamente perigosos, porém conhecidos e
diagnosticados através da aplicação das equações (30) e
(31).
A implementação computacional das equações (30),
(31), (35) e (36) possibilitou a elaboração de um programa
em linguagem científica de alto nível para os cálculos dos
níveis de tensões e correntes e, quando comparados com
resultados de outros métodos de soluções matemáticas,
mostraram-se bastantes eficientes.
[4] J. R. Carson, “Wave Propagation in Oerhead Wires With
Ground Return”, Bell system tech-jour, New York, Vol.
5, pp. 539-555, 1926.
[5] W. E. Boyce, “Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de Contorno”, 8.ed. LTC: Rio de
Janeiro, 2006.
[6] D. G. Zill, “Equações Diferenciais”, Makron Books: São
Paulo, 2000.
[7] R. A. F. Nunes, “Transmissão de Energia Elétrica:
Teoria Modal de Propagação”, EFEI, (1982, Notas de
Aula).
[8] L. M. Wedepohl, “Aplication of matrix methods to the
solution of travelling-wave phenomena in polyphase
system”, Proc. IEE, Vol. 12, 1963.
[9] O. Merino. “A short history of complex numbers”.
Technical report, University of Rhode Island, Kingston,
2006.
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