Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie
Departamento de Engenharia Civil
2
Método dos Elementos Finitos
Prof.Dr.Alfonso Pappalardo Jr.
MÉTODO DIRETO
2.2
2.2 ELEMENTO
ELEMENTO DE
MOLA 1-D
1-D
DE MOLA
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2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D
u =1
HIPÓTESES BÁSICAS
x
‰ Material elástico-linear
(Lei de Hooke: f=k.u);
k
‰ Carregamento axial;
f
‰ Massa desprezível.
f = k ⋅u
1
⇒
f =k
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2.2.1 Conceito de rigidez
f = k ⋅u
RIGIDEZ
é a força necessária para produzir
um deslocamento unitário.
f
UNIDADES CONSISTENTES (SI)
f: força
u: deslocamento
k: rigidez
comportamento
elástico-linear
Newton (N)
metro (m)
N/m
k=tg α=
α
f
u
u
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2.2.2 Matriz de rigidez
do elemento de mola
k
u2
u1
2 GRAUS DE
LIBERDADE:
u1, u2
mola
k 1-D =
matriz de rigidez de um
elemento de mola 1-D
2x2
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2.2.2 Matriz de rigidez do
elemento de mola (cont...)
Interpretação física dos
coeficientes da 1a coluna
da matriz de rigidez do
elemento de mola
x
2
1
k
f1 =k
u1 =1
f2 =k
u2 =0
Forças necessárias para produzir um
deslocamento unitário no ponto (1) e
impedir o deslocamento do ponto (2)
mola
k 1-D =
k
1
−k
2
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2.2.2 Matriz de rigidez do
elemento de mola (cont...)
Interpretação física dos
coeficientes da 2a coluna
da matriz de rigidez do
elemento de mola
x
2
1
k
f1 =k
u1 =0
f2 =k
u2 =1
Forças necessárias para produzir um
deslocamento unitário no ponto (2) e
impedir o deslocamento do ponto (1)
mola
k 1-D =
−k
1
k
2
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2.2.2 Matriz de rigidez do
elemento de mola (cont...)
x
2
1
Características:
‰ Quadrada;
mola
k 1-D =
k
−k
1
−k
k
2
‰ Simétrica;
‰ Singular (det k=0);
‰ Diagonal positiva.
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2.2.3 Matriz de rigidez da estrutura
k
x
k
k
2
1
1
2
3
3
N-1 N
1
2
k=
3
N-1
N
Características:
‰ Quadrada;
‰ Simétrica;
‰ Singular (det k=0);
‰ Diagonal positiva;
N-1
N
‰ Bandeada;
‰ Esparsa.
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2.2.4 Exemplo didático
Três molas hookeanas ligadas em série, cujas constantes elásticas
são apresentadas na ilustração abaixo. Uma força estática f=450N
é aplicada no ponto (2), sendo que os pontos (1) e (4) estão
impedidos de se deslocarem. Para este problema hiperestático
determinar as reações de apoio nos pontos (1) e (4) e os
deslocamentos dos pontos (2) e (3).
1
k=10000 N/m
2
2k
3
f=450N
Ref: http://femur.wpi.edu/Learning-Modules/Stress-Analysis
k
4
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2.2.4 Exemplo didático (cont...)
k
u1 =0
1
mola
kA =
f2 =450N
mola A
f1 =R1
1
2
k
−k
−k
k
2k
u
2 2
2
mola
kB =
u4 =0
4
3
f3=0
mola B
2
1
k
u3
mola C
3
2k −2k
−2k 2k
2
3
mola
kC =
f4 =R4
3
4
k
−k
3
−k
k
4
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2.2.4 Exemplo didático (cont...)
u1 =0
k
1
f1 =R1
mola A
k=
2k
u
2 2
f2=450N
k
u3
4
3
mola B
f3 =0
mola C
1
2
3
4
k
−k
0
0
1
−k
3k −2k
0
2
0
−2k 3k
−k
3
−k
k
4
0
u4 =0
0
f4 =R4
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2.2.4 Exemplo didático (cont...)
k
u1 =0
f1=R1
f=
u2
f2 =450N
mola A
2k
k
u3
mola B
f3 =0
u4 =0
mola C
f1
R1
u1
0
f2
450
u2
u2
f3
f4
=
0
R4
u=
u3
u4
=
u3
0
f4 =R4
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2.2.4 Exemplo didático (cont...)
f = k ⋅u
incógnitas
R1
1
−1
0
0
0
450
−1
3
−2
0
u2
0
R4
= 10000 .
.
0
−2
3
−1
u3
0
0
−1
1
0
incógnitas
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2.2.4 Exemplo didático (cont...)
Reorganizando-se o sistema de equações algébricas,
chega-se a solução:
270N
u2= +0,027 m
R1= −270 N
u3= +0,018 m
R4= −180 N
k
2k
u2=0,027m
k
u3=0,018m
Obs: De acordo com a convenção de sinais, as forças
e deslocamentos são positivos se estiverem orientados
segundo o sentido positivo do eixo x.
180N
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2.2.5 Exemplo de aplicação
Recalcular o problema didático considerando-se as rigidezes
indicadas na ilustração abaixo.
2k
k=10000 N/m
f2 =450N
Resposta:
u2= +0,018 m
R1= −360 N
u3= +0,009 m
R4= −90 N
k