EXERCÍCIOS DE POLIEDROS DO 1) (PUC RS) Um poliedro convexo tem cinco faces triangulares e três pentagonais. O número de arestas e o número de vértices deste poliedro são, respectivamente, a)
b)
c)
d)
e)
30 e 40 30 e 24 30 e 8 15 e 25 15 e 9 Resolução: No poliedro temos que: 5 , ou seja o número total de faces(F) = 8 3 devemos lembrar que Então , se determinamos o número de arestas e o número de faces, então: 2) (UFRGS) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e vértices do poliedro é, respectivamente a)
b)
c)
d)
e)
34, 10 19, 10 34, 20 12, 10 19, 12 Resolução: F = 11 6 , se 2.A = n.F ∴ 2.A = 6.3 + 5.4 5 2.A = 38 ⇒ A = 19 V+F = A + 2 V + 11 = 19 + 2 V = 10 www.matematicadegraca.com.br 3) (MACK – SP) Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 4 faces quadrangulares e 5 pentagonais. O número de vértices desse poliedro é: a)
b)
c)
d)
e)
25 12 15 9 13 Resolução: F = 3 + 4 + 5 ⇒ F = 12 2.A = n.F ⇒ 2.A = 3.3 + 4.4 + 5.5 ⇒ 2.A = 50 ⇒ A = 25 V+F = A + 2 ⇒ V + 12 = 25 + 2 ⇒ V = 15 4) (ITA – SP) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200°. O número de vértices deste prisma é igual a a)
b)
c)
d)
e)
11 32 10 20 22 Resolução: Em um prisma regular, temos que suas faces laterais são quadriláteros, e que as bases superior e inferior são polígonos com uma quantidade n de lados. Se sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono é por Si = 180°.(n-­‐2), então: dada , se o polígono da base tem 11 lados tem 11 vértices, logo 11 vértices na base inferior e mais 11 vértices na base superior resultam em 22 vértices 5) (PUC-­‐PR) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440°, então o numero de arestas desse poliedro é: a)
b)
c)
d)
e)
12 8 6 20 4 Resolução: , o poliedro regular ou de Platão que possui 6 vértices, é o octaedro. Dessa forma V+F = A+2 ⇒ 6 + 8 = A + 2 ⇒ A = 12 www.matematicadegraca.com.br 6) (ITA – SP) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. O número de arestas desse poliedro é: a)
b)
c)
d)
e)
13 17 21 24 27 Resolução: F = 1 3 V = 1 + 6 + x ⇒ V = 7 + x lembrar que 2.A = p.V, nesse caso: Vamos , se x = 6 , então 7) (CEFET – PR) O número de vértices de um poliedro convexo de 10 faces quadrangulares é: a)
b)
c)
d)
e)
32 12 20 15 18 Resolução: F = 10 e www.matematicadegraca.com.br 8) (UFPE) Em relação aos poliedros regulares, podemos afirmar que: 01) São sempre poliedros estrelados. 02) Possuem n.(n-­‐3)/2 diagonais, sendo n o numero de arestas do poliedro. 04) Possuem F + V – 2 arestas, sendo (F) o número de faces, e (V) o número de vértices. 08) Tem por faces: triângulos eqüiláteros, quadrados, pentágonos e hexágonos regulares. 16) São superfícies limitadas pelo mesmo tipo de polígono regular. Resolução: São poliedro regulares os chamados poliedros de Platão, que são TETRAEDRO, HEXAEDRO, OCTAEDRO, DODECAEDRO, E ICOSAEDRO. 01)FALSA, p
ois esses poliedros não são estrelados; 02)FALSA, pois a formula apresentada refere-­‐se ao número de diagonais de um polígono; 03)Verdadeiro, pois se V+ F = A + 2 ⇒ A = V + F – 2 04)FALSO, eles têm por faces: triângulos eqüiláteros, quadrados, pentágonos regulares 05)Verdadeiro, suas superfícies são limitadas por polígonos regulares. 9) (PUC RS) Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número de vértices desse poliedro é: a)
b)
c)
d)
e)
4 6 8 9 10 Resolução: 2 , ou seja o número total de faces(F) = 7 5 , e www.matematicadegraca.com.br 10) (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo a soma dos ângulos internos de todas as faces será: a)
b)
c)
d)
e)
3240° 3640° 3840° 4000° 4060° Resolução: 2 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 4 faces pentagonais ⇒ F = 8 Inscreva-­‐se no nosso Canal no Youtube http://www.youtube.com/matematicadegraca www.matematicadegraca.com.br