MATEMÁTICA
PROF. GUSTAVO
08/09/2015
POLIEDROS
1. Dois planos π1 e π2 se interceptam ao longo de uma reta r, de maneira que o angulo entre eles meça á
radianos, 0 < α <
π
.Um triangulo equilátero ABC, de lado ℓ, esta contido em π2, de modo que AB esteja em r.
2
Seja D a projeção ortogonal de C sobre o plano π1, e suponha que a medida è, em radianos, do angulo CÂD,
satisfaça
senθ =
6
.
4
Nessas condições, determine, em função de ℓ,
a) o valor de á.
b) a área do triangulo ABD.
c) o volume do tetraedro ABCD.
2. Um diedro mede 120°. A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume 4 3 π cm3 que
tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a
a) 3 3
b) 3 3
c) 2 3
d) 2 2
e) 2
3. O sólido da figura 1 foi obtido a partir de duas secções em um cilindro circular reto de altura 24 cm e raio
da base 10 cm. As secções foram feitas na intersecção do cilindro com um diedro de 60°, como mostra a figura
2:
Sabendo que os pontos A, B, C, A', B' e C' pertencem às faces do diedro e às circunferências das bases do
cilindro, como mostra a figura 2, a área da superfície BB'C'C, contida na face lateral do cilindro, em cm2, é
igual a
a) 60 π
b) 40 ( 3 ) π
c) 80 π
d) 90 ( 3 ) π
e) 160 π
4. Sejam π' e π" as faces de um ângulo diedro de 45° e P um ponto interior a esse diedro. Sejam P' e P" as
projeções ortogonais de p sobre π' e π" respectivamente. Então a medida, em graus, do ângulo P'PP" é:
a) 30
b) 45
c) 60
d) 90
e) 135
5. Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. O
número de vértices desse poliedro é de:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
6. A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o número de faces
vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale.
a) 6.
b) 4.
c) 5.
d) 12.
e) 9.
7. Um poliedro convexo possui 10 faces com três lados, 10 faces com quatro lados e 1 face com dez lados.
Determine o número de vértices deste poliedro.
8. Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices
concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. O número de faces desse poliedro é igual
a:
a) 16
b) 18
c) 24
d) 30
e) 44
9. Unindo-se o centro de cada face de um cubo, por segmentos de reta, aos centros das faces adjacentes,
obtém-se as arestas de um poliedro regular. Quantas faces tem esse poliedro?
10. Sobre as sentenças:
I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.
II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.
III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.
é correto afirmar que APENAS
a) I é verdadeira.
b) II é verdadeira.
c) III é verdadeira.
d) I e II são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras.
11. Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que
satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices deste cristal é igual a:
a) 35
b) 34
c) 33
d) 32
e) 31
12. Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número
de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente,
a) 34 e 10
b) 19 e 10
c) 34 e 20
d) 12 e 10
e) 19 e 12
13. Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares e as demais, pentagonais. Sabendo que o número de
arestas é o triplo do número de faces pentagonais, então a soma dos ângulos de todas as faces pentagonais
é, em radianos, igual a
a) 3 π
b) 12 π
c) 36 π
d) 64 π
e) 108 π
14. Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces
quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma
progressão aritmética. O número de arestas é:
a) 10
b) 17
c) 20
d) 22
e) 23
15. O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui
a) 33 vértices e 22 arestas.
b) 12 vértices e 11 arestas.
c) 22 vértices e 11 arestas.
d) 11 vértices e 22 arestas.
e) 12 vértices e 22 arestas.
16. Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes.
1
da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de
As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a
3
poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras.
Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo
é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha.
Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a:
a) 7,0 m
b) 6,3 m
c) 4,9 m
d) 2,1 m
17. Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de
vértices é 3/5 do número de faces?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
18. Um poliedro convexo de nove vértices possui quatro ângulos triédricos e cinco ângulos
tetraédricos. Então o número de faces deste poliedro é:
a) 12
b) 11
c) 10
d) 9
e) 8
19. Um poliedro convexo tem 7 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas e de cada um
dos vértices restantes partem 3 arestas.
Quantas arestas tem esse poliedro?
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
20. Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número de
vértices deste poliedro é
a) 4
b) 6
c) 8
d) 9
e) 10
Gabarito:
Resposta da questão 1: a)
π
4
Resposta da questão 2: [E]
Resposta da questão 3: [E]
Resposta da questão 4: [E]
Resposta da questão 5: [C]
Resposta da questão 6: [B]
Resposta da questão 7: 21
Resposta da questão 8: [A]
Resposta da questão 9: 8
Resposta da questão 10: [E]
Resposta da questão 11: [D]
Resposta da questão 12: [B]
Resposta da questão 13: [E]
Resposta da questão 14: [C]
Resposta da questão 15: [E]
Resposta da questão 16: [B]
Resposta da questão 17: [B]
Resposta da questão 18: [D]
Resposta da questão 19: [C]
Resposta da questão 20: [E]
b)
l2 6
8
c)
l3
16