CURSO TROPA DE ELITE –
BATALHA FINAL –
AGENTE PENITENCIÁRIO/MG
RACIOCÍNIO LÓGICO
2ª Parte:
- Problemas com Conjuntos
- Problemas com Frações
- Problemas com Porcentagens
- Sequências Lógicas
Prof. Weber Campos
([email protected])
2012 Copyright. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.
Raciocínio Lógico
CONJUNTOS
1. TEORIA DOS CONJUNTOS
1) Relações de Pertinência
Relacionam elemento com conjunto. E a indicação de que o elemento pertence
ou não pertence a um conjunto é feita pelos símbolos: Î (pertence) e Ï (não
pertence).
Exemplo 1: a) 2 Î {0, 1, 2}
b) 4 Ï {0, 1, 2}
2) Relações de Inclusão
Relacionam um conjunto com outro conjunto. Temos a seguinte simbologia de
inclusão: Ì (está contido), Ë (não está contido), É (contém) e É (não contém).
Exemplo 2:
a) {2, 5} Ì {0, 1, 2, 5}
b) {2, 7} Ë {0, 1, 2, 5}
c) {0, 1, 2, 5} É {2, 5}
d) {0, 1, 2, 5} É {2, 7}
3) Subconjunto
Diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de
B.
Exemplo 3:
a) {2} é subconjunto de {1, 2, 3}
b) {1, 3} é subconjunto de {1, 3, 5}
4) Conjunto das Partes de um Conjunto
O conjunto das partes de um conjunto A, simbolizado por P(A), é o conjunto
cujos elementos são todos partes (subconjuntos) de A.
O número de partes (subconjuntos) de um conjunto A é dado por 2n, em que n é
o número de elementos de A.
Exemplo 4: Dado o conjunto A={1, 2, 3}, encontrar o conjunto das partes de A.
Solução:
Como A tem 3 elementos, P(A) terá 8 elementos (=23).
O conjunto P(A) é { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, Æ }. Onde o símbolo
Æ representa o conjunto vazio. Este é sempre subconjunto de qualquer conjunto.
5) Operações com Conjuntos
Considerando os conjuntos A, B e o conjunto-universo U, daremos a definição
de cada operação com conjuntos:
a) União (È)
A união entre dois conjuntos, AÈB, é o conjunto formado pela reunião dos
elementos de A e de B. Simbolicamente: AÈB = {x | xÎA ou xÎB}.
Exemplo 5: {1, 2, 3} È {2, 5, 8} = {1, 2, 3, 5, 8} (Resposta!)
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Raciocínio Lógico
A representação gráfica da união entre dois conjuntos é dada pelo seguinte
desenho:
U
A
B
b) Interseção (Ç)
A intersecção entre dois conjuntos, AÇB, é o conjunto formado pelos
elementos que são comuns aos dois conjuntos. Simbolicamente: AÇB = {x | xÎA e
xÎB}.
Exemplo 6: {1, 2, 3} Ç {2, 5, 8} = {2} (Resposta!)
Representação gráfica da intersecção entre dois conjuntos:
c) Diferença (–)
A diferença entre dois conjuntos, B–A, é o conjunto formado pelos elementos
de B que não pertencem a A. Simbolicamente: B–A = {x | xÎB e xÏA}.
Exemplo 7: {1, 2, 3} – {2, 5, 8} = {1, 3} (Resposta!)
A representação gráfica da diferença entre dois conjuntos (B-A) é dada pelo
seguinte desenho:
d) Complementar (')
O complementar do conjunto A, simbolizado por A', é o conjunto formado
pelos elementos do conjunto universo (U) que não pertencem a A. Simbolicamente:
A'={xÎU|xÏA}.
A representação gráfica do complementar do conjunto A é dada pelo seguinte
desenho:
U
A
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Raciocínio Lógico
f) Fórmula da União
Existe uma fórmula que relaciona o número de elementos da união, da
intersecção e dos conjuntos individuais. A fórmula é dada por:
à n(AÈB) = n(A) + n(B) – n(AÇB)
Se forem três conjuntos a fórmula será:
à n(AÈBÈC)=n(A)+n(B)+n(C)–n(AÇB)–n(AÇC)–n(BÇC)+n(AÇBÇC)
Exemplo 8: Calcule o número de elementos da união dos conjuntos A e B a partir dos
seguintes dados: n(A)=10, n(B)=7, n(AÇB)=5.
Solução:
Substituiremos os dados na fórmula da união. Teremos:
à n(AÈB) = n(A)+n(B)–n(AÇB) = 10+7-5
à n(AÈB) = 12 (Resposta!)
Esta não é a única maneira de se chegar à resposta. Fazendo o desenho dos
círculos e escrevendo nestes os dados fornecidos, facilmente chegaremos à mesma
resposta!
Exemplo 9: Considere o diagrama abaixo onde o retângulo representa o conjuntouniverso U e os círculos representam os conjuntos A e B.
U
B
A
6
1
4
2
3
10
7
5
8
9
11
12
13
Com base no desenho, determine:
a) O conjunto A
Resp.: A = {1, 2, 3, 4, 5} e n(A)=5
b) O conjunto B
Resp.: B = {4, 5, 6, 7, 8,9} e n(B)=6
c) O número de subconjuntos de A
Resp.: 2n = 25 = 32 subconjuntos
d) O número de subconjuntos de B
Resp.: 2n = 26 = 64 subconjuntos
e) A união de A e B
Resp.: A È B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
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Raciocínio Lógico
f) A intersecção entre A e B
Resp.: A Ç B = {4, 5}
g) A diferença A–B
Resp.: A-B = {1, 2, 3}
h) A diferença B–A
Resp.: B - A = {6, 7, 8, 9}
i) O complementar de A
Resp.: A' = U - A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
j) O complementar de B
Resp.: B' = U - B = {1, 2, 3, 10, 11, 12, 13}
Exemplo 10: (TTN 1998 ESAF) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A = {4, 8,
x, 9, 6} e B = {1, 3, x, 10, y, 6}. Sabendo que a intersecção dos conjuntos A e B é
dada pelo conjunto {2, 9, 6}, o valor da expressão y-(3x + 3) é igual a
a) -28
b) -19
c) 32
d) 6
e) 0
Sol.:
O conjunto resultante da intersecção de A e B é igual a: AÇB={2, 9, 6}.
Agora, devemos descobrir os valores de x e de y presentes nos conjuntos A e B.
Observe que o número 2 é o primeiro elemento da intersecção entre A e B. Como o
número 2 faz parte da intersecção, então ele tem que estar presente nos conjuntos A e
B. Mas veja que o elemento 2 não está presente no conjunto A, então devemos fazer x
igual a 2. Acabamos, então, de descobrir que x é 2!
O número 9 é o segundo elemento da intersecção entre A e B. Como ele faz parte
da intersecção, então ele tem que estar presente nos conjuntos A e B. No conjunto A
temos o elemento 9, mas no conjunto B não aparece o elemento 9, então devemos
fazer y igual a 9. Acabamos de descobrir o valor de y!
Encontramos que: x=2 e y=9.
O enunciado solicita o valor da expressão y–(3x+3), substituindo x e y por 2 e 9,
respectivamente, obteremos:
à 9–(3.2+3) = 9–(9) = 0 (resposta!)
Exemplo 11: (ANEEL 2006 ESAF) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X
possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se,
também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o
número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a:
a) 4
d) vazio
b) 6
e) 1
c) 8
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Raciocínio Lógico
Sol.:
O número de subconjuntos de um dado conjunto é calculado por 2n, onde n é o
número de elementos do conjunto. Como o conjunto X tem 64 subconjuntos, então o
número de elementos de X pode ser obtido a partir da igualdade: 2n=64. Resolvendo,
vem:
à 2n=64
à 2n=26
à n=6
Portanto, o conjunto X tem 6 elementos.
O conjunto Y tem 256 subconjuntos, então o número de elementos de Y pode
ser obtido a partir da igualdade: 2n=256. Resolvendo, vem:
à 2n=256
à 2n=28 à n=8
Portanto, o conjunto Y tem 8 elementos.
Agora, dos conjuntos X e Y sabemos que:
à n(X)=6;
à n(Y)=8;
à n(XÇY)=2.
Vamos lançar esses dados no desenho dos círculos X e Y.
X
Y
6
4
2
8
6
A quantidade 4, dentro do círculo X, foi obtida da diferença entre 6 e 2. E ela
significa que há 4 elementos apenas em X. E a quantidade 6, dentro do círculo Y, foi
obtida da diferença entre 8 e 2. E ela significa que há 6 elementos apenas em Y.
A questão pede o número de elementos do conjunto diferença Y-X. A região dos
círculos correspondente a diferença Y-X é a região do círculo Y que está fora da
intersecção. E nesta região há 6 elementos.
Resposta: Alternativa B!
Exemplo 12: (FCC) Em uma turma de 32 alunos, o número de alunos que praticam
futebol é o triplo da quantidade de alunos que só praticam natação. Metade dos alunos
dessa turma não pratica nenhum desses dois esportes. A porcentagem dos alunos da
turma que praticam somente natação é:
a) 10,0%
b) 12,5%
c) 17,0%
d) 22,5%
e) 25,0%
Sol.:
Temos os seguintes dados:
à a turma tem 32 alunos;
à o número de alunos que praticam futebol é o triplo da quantidade de alunos que só
praticam natação;
à metade dos alunos dessa turma não pratica nenhum desses dois esportes.
Definiremos os seguintes conjuntos:
F = conjunto dos alunos que praticam Futebol.
N = conjunto dos alunos que praticam Natação.
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Raciocínio Lógico
O conjunto universo é formado pela turma de 32 alunos.
Turma de 32 alunos
N
F
3x
x
16
Como metade dos alunos dessa turma não praticam nenhum desses esportes,
então existem 16 (= 32/2) alunos fora dos círculos.
Designamos por x o número de alunos que praticam apenas natação. Logo, o
número de alunos que praticam futebol é igual a 3x.
Se somarmos a quantidade de pessoas que praticam futebol (círculo azul) com
a quantidade de pessoas que não praticam futebol (fora do círculo azul), o resultado
deve ser igual ao total de alunos da turma: 32 alunos. Temos que:
à Pessoas que praticam futebol = 3x
à Pessoas que não praticam futebol = x + 16
Somando as quantidades acima tem que dar 32, então:
à 3x + (x + 16) = 32
Resolvendo, vem:
à 4x = 16
à x = 4 (logo, 4 praticam apenas natação!)
A porcentagem dos alunos da turma que praticam apenas natação é igual a
razão entre o número de alunos que praticam apenas natação e o número total de
alunos. Assim, teremos:
à 4/32 = 1/8 = 0,125 = 12,5% (Resposta: Alternativa B)
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Raciocínio Lógico
PORCENTAGEM
1. RAZÃO CENTESIMAL – é a razão cujo denominador é igual a 100.
5
50
135
33,8
Exemplos:
,
,
,
100
100
100
100
Existe ainda outra forma de representar essas razões centesimais:
5
= 5% (cinco por cento)
100
50
= 50% (cinquenta por cento)
100
135
= 135% (cento e trinta e cinco por cento)
100
33,8
= 33,8% (trinta e três vírgula oito por cento)
100
Tais razões estão expressas em taxas percentuais.
Toda percentagem está associada a um número decimal.
Exemplos: 48% = 0,48 ; 0,7% = 0,007 ; 7% = 0,07 ; 70% = 0,7 ; 700% = 7
Observação: A porcentagem, quando escrita na forma de 15%, por exemplo, é
chamada de forma percentual, enquanto que seu equivalente 0,15 é dito forma
unitária ou decimal.
2. TRANSFORMAÇÃO EM TAXAS PERCENTUAIS
Multiplicando-se a taxa (fracionária, decimal...) por 100 e acrescentando-se o
símbolo %, obtém-se a taxa percentual.
Exemplos:
3
3
a) = ´ 100 % = 3 ´ 25 % = 75%
4
4
b)
2
200
2
= ´ 100 % =
% @ 66,67%
3
3
3
c)
5
5
= ´ 100 % = 5 ´ 25 % = 125%
4
4
d) 0,374 = 0,374 x 100 % = 37,4%
e) 2,50 = 2,50 x 100 % = 250%
f) 3 = 3 x 100 % = 300%
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3. PORCENTAGEM SOBRE QUANTIDADES
Para calcular uma porcentagem de uma quantidade qualquer, basta multiplicála pela taxa percentual.
Exemplos:
a) Quanto é 15% de 300?
15
Solução: 15% ´ 300 =
´ 300 = 15 ´ 3 = 45
100
b) Quanto é 20% de 650?
20
Solução: 20% ´ 650 =
´ 650 = 2 ´ 65 = 130
100
c) Quanto é 12% de 148?
1776
12
Solução: 12% ´ 148 =
´ 148 =
= 17,76
100
100
4. AUMENTO E REDUÇÃO PERCENTUAL
Se um número N sofre um aumento percentual x%, seu novo valor passará a
ser:
N + x%.N = (1 + x%).N
Da mesma forma, se o número N sofre um decréscimo percentual x%, passará a
valer:
N – x%.N = (1 – x%).N
Exemplo: Um produto que custava R$ 80,00 sofreu um aumento de 15%. Quanto
passou a custar?
Solução: novo preço = (1 + 15%) x 80 = (1 + 0,15) x 80 = 1,15 x 80 = 92,00.
Exemplo: Um artigo custa R$ 250,00. Com uma redução de 35% no seu valor, quanto
passará a custar?
Solução: novo preço = (1 – 35%) x 250 = (1 – 0,35) x 250 = 0,65 x 250 = 162,50.
5. TAXAS PERCENTUAIS SUCESSIVAS
A fim de estabelecer uma única fórmula para aumentos e descontos sucessivos,
podemos definir que aumentos percentuais são taxas percentuais positivas e que
reduções (descontos) percentuais são taxas negativas. Desse modo, teremos a
fórmula:
i = (1 + i1 ) ´ (1 + i2 ) ´ (1 + i3 ) ´ K´ (1 + in ) - 1
Exemplo: O salário de um jogador de futebol teve três aumentos percentuais num ano:
o primeiro de 10%, o segundo de 5% e o terceiro de 20%. Qual foi o aumento
percentual de salário obtido pelo jogador nesse ano?
Solução:
i = (1 + 10%) ´ (1 + 5%) ´ (1 + 20%) - 1
i = (1 + 0,1) ´ (1 + 0,05) ´ (1 + 0,2) - 1
i = 1,1´ 1,05 ´ 1,2 - 1
i = 1,386 - 1 à i = 0,386 = 38,6%
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Raciocínio Lógico
Exemplo: O preço de certa mercadoria era de R$ 500,00. Mas nos três primeiros meses
do ano, sofreu as seguintes variações mensais: aumento de 30%, em seguida uma
redução de 10% e logo depois uma redução de 1%. Qual é o novo preço da
mercadoria?
Solução:
A taxa percentual sofrida nesses três meses será de:
i = (1 + 30%) ´ (1 - 10%) ´ (1 - 1%) - 1
i = (1 + 0,3) ´ (1 - 0,1) ´ (1 - 0,01) - 1
i = 1,3 ´ 0,9 ´ 0,99 - 1
i = 1,1583 - 1
i = 0,1583 = +15,83%
Novo preço da mercadoria = 500 + 15,83% x 500 = 500 + 79,15 = 579,15
Exemplo: Num certo mês a inflação foi de 10% e no mês seguinte foi de 20%. Qual é a
inflação acumulada nesses dois meses?
Solução:
INF = (1 + 10%) × (1 + 20%) - 1.
INF = (1 + 0,1) × (1 + 0,2) - 1
INF = 1,1 × 1,2 - 1
INF = 1,32 - 1 = 0,32 = 32%
6. LUCRO E PREJUÍZO
O lucro é definido como a diferença entre o valor de venda e o valor de custo
(ou compra) e simbolizamos por:
L(R$) = V – C
Quando o valor de venda (V) for maior que o valor de custo (C), o L será
positivo, indicando que houve um lucro. Caso contrário, o valor de venda menor que o
de custo, teremos um L negativo, indicando que houve prejuízo.
A taxa percentual do lucro pode ter como referência o preço de custo ou o
preço de venda. As duas fórmulas são apresentadas a seguir:
è Taxa percentual do Lucro sobre o Preço de Custo:
V -C
L=
C
è Taxa percentual do Lucro sobre o Preço de Venda:
V -C
L=
V
Exemplo: Um computador que foi comprado nos EUA pelo equivalente de R$ 1.400,00,
será vendido no Brasil com um lucro de 15% sobre o preço de compra. Qual foi o valor
de venda do computador no Brasil?
Solução:
Temos os seguintes dados:
C = 1400 e L = 15%
A fórmula do “Lucro sobre o preço de compra” é dado por:
V -C
L=
C
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Raciocínio Lógico
Vamos substituir os dados na fórmula:
V - 1400
15% =
1400
Resolvendo vem:
V - 1400 = 0,15 ´ 1400
V = 1400 + 210
V = 1610,00 (Resposta!)
Exemplo: Uma empresa fabrica certo produto a um custo de R$ 250,00. Contudo, o
produto não foi bem aceito no mercado e, então, a empresa resolveu vendê-lo pelo
preço de R$ 180,00. Qual foi a taxa de prejuízo sobre o preço de venda?
Solução:
Temos os seguintes dados:
C = 250 e V = 180
O prejuízo equivale a um lucro negativo. Daí, usaremos a fórmula do “Lucro
sobre o preço de venda” que é dado por:
V -C
L=
V
Vamos substituir os dados na fórmula:
180 - 250
L=
180
Resolvendo vem:
- 70 - 7
L=
=
180 18
Vamos multiplicar por 100 para encontrar o valor percentual:
-7
- 7 ´ 50
- 350
% @ -38,89%
%=
L=
´ 100 % =
9
9
18
Portanto, o prejuízo foi de aproximadamente 38,89%.
7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Exemplo: Numa escola de 800 alunos, temos que 60% são meninas. Qual é a
quantidade de meninos?
Solução:
Como a quantidade de meninas representa 60% do total, a quantidade de
meninos representará 40% do total. Daí, teremos:
Número de meninos = 40% de 800 = 0,4 x 800 = 4 x 80 = 320 (Resposta!)
Exemplo: Numa urna, 35% das bolas são pretas e as outras 455 são brancas. Quantas
bolas há na urna?
Solução:
A porcentagem de bolas brancas na urna é igual a 65% (=100% – 35%) do total.
Considerando que o total de bolas da urna é X, podemos montar a seguinte equação:
65% X = 455
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11
Raciocínio Lógico
Resolvendo vem:
455 455 ´ 100 91 ´ 100
X =
=
=
= 7 ´ 100 = 700
0,65
65
13
Portanto, há 700 bolas na urna.
Exemplo: Certo produto passou de R$ 24,00 para R$ 30,00. Qual foi a taxa percentual
de aumento?
Solução:
Aumento em reais = 30 – 24 = 6,00
A variação percentual pode ser calculada dividindo-se o aumento em dinheiro
pelo valor inicial do produto:
6
= 0,25 = 25% (Resposta!)
24
Exemplo: O salário de Amarildo é 30% maior que o de Bruno e o salário deste é 20%
menor que o de Carlos. A soma dos salários dos três é igual a R$ 5680,00. Qual é o
salário de cada um deles?
Solução:
Vamos designar as seguintes letras:
A = salário de Amarildo
B = salário de Bruno
C = salário de Carlos
Do enunciado, temos que:
à A = B + 30%.B = 1,3.B
à B = C – 20%.C = 0,8.C
Devemos trabalhar apenas com uma letra, para tanto vamos colocar A em
função de C. Teremos:
à A = 1,3.B = 1,3.(0,8C) = 1,04.C
A expressão da soma dos salários é:
à A + B + C = 5680
Vamos substituir as letras A e B em função de C:
à 1,04C + 0,8C + C = 5680
à 2,84C = 5680
à C = 5680/2,84
à C = 2000
Daí:
à A = 1,04.C = 1,04 . 2000 = 2080
à B = 0,8.C = 0,8 . 2000 = 1600
Portanto, o salário de Amarildo é R$ 2080,00, o de Bruno é R$ 1600,00 e o de
Carlos é de R$ 2000,00.
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12
Raciocínio Lógico
Exemplo: (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Durante uma viagem para visitar familiares
com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em
seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso.
A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez
Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um
rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice
também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho,
dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de
peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares,
com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas,
ficou:
a) exatamente igual
d) 10% menor
b) 5% maior
e) 10% maior
c) 5% menor
Solução:
A seqüência de variações no peso de Alice é a seguinte:
1) perde 20%: multiplique o peso inicial por 0,80 (=100%-80%).
2) ganha 20% : multiplique o resultado anterior por 1,20 (=100%+20%).
3) perde 25%: multiplique o resultado anterior por 0,75 (=100%-25%).
4) ganha 25%: multiplique o resultado anterior por 1,25 (=100%+25%).
Considerando o peso inicial de Alice em 100 kg, bem distribuídos, o peso final de
Alice será igual a:
Peso final de Alice = 100 x 0,80 x 1,20 x 0,75 x 1,25
Resolvendo, vem:
Peso final de Alice = 90kg
Conclui-se que Alice perdeu 10kg (=100-90). A perda percentual é obtida
dividindo-se a perda de 10 kg pelo peso inicial de Alice:
perda percentual = 10/100 = 10%
Portanto, o peso de Alice ficou 10% menor!
Resposta: alternativa D.
Exemplo: (Fiscal de Jaboatão 2006 FCC) Sobre os 26 turistas que se encontram em um
catamarã, sabe-se que:
- 75% dos brasileiros sabem nadar;
- 20% dos estrangeiros não sabem nadar;
- apenas 8 estrangeiros sabem nadar.
Nessas condições, do total de turistas a bordo, somente
(A) 10 brasileiros sabem nadar.
(D) 18 são brasileiros.
(B) 6 brasileiros não sabem nadar. (E) 6 não sabem nadar.
(C) 12 são estrangeiros.
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13
Raciocínio Lógico
Solução:
Como 20% dos estrangeiros não sabem nadar, então 80% deles sabem nadar. E a
questão também informou que 8 estrangeiros sabem nadar. Logo, 80% do total de
estrangeiros correspondem a 8 estrangeiros. Logo, o total de estrangeiros é igual a 10.
São ao todo 26 pessoas, desses, 10 são estrangeiros; logo, há 16 brasileiros (=2610).
É dito que 75% (=3/4) dos brasileiros sabem nadar. Assim, 12 (=3/4x16) brasileiros
sabem nadar, e o restante (4) dos brasileiros não sabem nadar.
Os resultados encontrados foram:
Nº de brasileiros = 16 (12 sabem nadar e 4 não).
Nº de estrangeiros = 10 (8 sabem nadar e 2 não).
Resposta: Alternativa E.
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14
Raciocínio Lógico
Exercícios
Conjuntos
01. (Técnico BACEN 2005 FCC) Para um grupo de funcionários, uma empresa oferece
cursos para somente dois idiomas estrangeiros: inglês e espanhol. Há 105 funcionários
que pretendem estudar inglês, 118 que preferem espanhol e 37 que pretendem
estudar simultaneamente os dois idiomas. Se 1/7 do total de funcionários desse grupo
não pretende estudar qualquer idioma estrangeiro, então o número de elementos do
grupo é
(A) 245
(B) 238
(C) 231
(D) 224
(E) 217
02. (Especialista em Políticas Públicas SP 2009 FCC) Em uma cidade em que existem
apenas as marcas de sabonete X, Y e Z tem-se que 10% da população usa somente a
marca X, 15% usa somente Y e 10% usa somente Z. Sabe-se também que 30% da
população usa as marcas X e Y, 25% usa as marcas X e Z e 20% usa as marcas Y e Z. Se
qualquer habitante desta cidade usa pelo menos uma marca de sabonete, então a
porcentagem da população que usa as três marcas é
(A) 25%
(B) 20%
(C) 15%
(D) 10%
(E) 5%
Problemas com Frações
03. (Ministério Público do Estado de São Paulo 2011 IBFC) Num município, a sexta
parte da população é constituída por moradores rurais, e um terço destes moradores é
da terceira idade. Se existem 4.000 moradores rurais da terceira idade neste
município, então o município possui:
a) 12.000 habitantes
c) 90.000 habitantes
b) 72.000 habitantes
d) 240.000 habitantes
04. (Agente Comunitário de Saúde de Campinas 2011 IBFC) João e José são integrantes
de uma escola de samba. João cuida das fantasias e José cuida das alas das baianas.
João perguntou a José quantas fantasias de baiana seriam necessárias para compor
sua ala, e José respondeu da seguinte forma: “A terça parte do número de baianas
mais cinquenta é igual à metade do número de baianas menos dez, ou seja, o número
de fantasias necessárias para a ala das baianas é de
a) 360
b) 300
c) 240
d) 180
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15
Raciocínio Lógico
05. (Agente Administrativo de Mata de Santa Genebra 2011 IBFC) As frutas de um
mercado são vendidas por quilo e a sexta parte delas estão maduras. Dentre as que
estão maduras, 1/3 são frutas cítricas; além disso, 40 kg das frutas não cítricas estão
maduras. O peso total de frutas, nesse mercado, é de:
a) 240 kg
b) 320 kg
c) 360 kg
d) 480 kg
06. (Ministério Público do Estado de São Paulo 2011 IBFC) Cintia se programou para ler
um livro, lendo três páginas por dia, mas o livro estava tão interessante que acabou
lendo cinco páginas por dia e terminou de lê-lo dezesseis dias antes do previsto. O
número de páginas deste livro era de:
a) 75 páginas
c) 100 páginas
b) 90 páginas
d) 120 páginas
07. (Ministério Público do Estado de São Paulo 2011 IBFC) Maria utiliza 7 prendedores
de roupa para colocar 6 calças no varal. Nesta situação, na semana em que tiver 13
calças para pendurar no mesmo varal, precisará de:
a) 12 prendedores de roupa
b) 13 prendedores de roupa
c) 14 prendedores de roupa
d) 26 prendedores de roupa
08. (Ministério Público do Estado de São Paulo 2011 IBFC) Se dois números inteiros são
pares e consecutivos e têm a soma de seus inversos igual a 7/24, então o produto
destes dois números vale:
a) 48
b) 80
c) 120
d) 144
09. (Especialista em Políticas Públicas SP 2009 FCC) Na Assembléia Legislativa de um
estado, 1/6 dos deputados são filiados ao partido A, 1/8 ao partido B, 1/9 ao partido C
e 1/12 ao partido D, sendo os restantes filiados ao partido E. A partir desses dados, é
correto concluir que a quantidade de deputados desse estado filiados ao partido E é,
no mínimo, igual a
(A) 55
(B) 37
(C) 33
(D) 25
(E) 19
10. (Agente Administrativo de Mata de Santa Genebra 2011 IBFC) A diferença entre
12,8333.. e 5,171717... é equivalente à fração:
a) 7,6616
c) 7585/999
b) 758/90
d) 1517/198
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16
Raciocínio Lógico
Problemas com Porcentagens
11. (Agente Administrativo de Mata de Santa Genebra 2011 IBFC) Um barzinho em São
Paulo registrou, no penúltimo final de semana, o consumo de bebidas e colocou na
tabela abaixo:
No último final de semana, a bebida de maior consumo da tabela acima teve o seu
consumo triplicado e as outras bebidas não tiveram alteração na quantidade de
consumo. Podemos dizer que a porcentagem do consumo da bebida mais consumida
foi de aproximadamente:
a) 29%
b) 46,5%
c) 50,5%
d) 55%
12. (Oficial Administrativo PGE/SP 2011 IBFC) Foram entrevistadas 480 pessoas para se
saber a preferência entre 4 canais de TVs abertas, sendo que cada entrevistado
assinalou somente uma opção. O resultado está indicado na tabela abaixo.
De acordo com o resultado indicado acima, podemos afirmar que:
a) A preferência pelos canais B e D equivale a 70% exatamente.
b) A preferência pelos canais B e D é maior do que 2/3 dos entrevistados.
c) Mais de 1/3 dos entrevistados não prefere os 3 canais mais votados.
d) A diferença entre o número de entrevistados que preferem o canal D e os que
preferem o canal B é maior que 20%.
e) Menos de 1/8 das pessoas entrevistadas prefere o canal A.
13. (Agente Administrativo de Mata de Santa Genebra 2011 IBFC) Para o preparo de
um suco de abacaxi, é utilizado um suco concentrado de abacaxi, em que para cada
litro de suco concentrado devem ser adicionados 3 litros de água. Se no suco
concentrado existem apenas 20% de polpa de abacaxi, então a porcentagem, no
volume final, de polpa de abacaxi no sulco de abacaxi é de:
a) 2%
b) 5%
c) 20%
d) 60%
14. (Agente Comunitário de Saúde de Campinas 2011 IBFC) Uma casa térrea tem 70%
de sua área construída, 10% reservada para a piscina e o lazer; e o restante dessa área
destinada à de garagem e às laterais da casa equivale a 24m2. Nestas condições,
podemos dizer que a área construída equivale a:
a) 192m2.
c) 96m2.
b) 168m2.
d) 84m2.
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17
Raciocínio Lógico
15. (Ministério Público do Estado de São Paulo 2011 IBFC) Num hospital, a expectativa
do número de pacientes em tratamento de distúrbios emocionais, para o próximo ano,
é de um aumento de 200% em relação ao ano passado. O número de pacientes deste
hospital, no ano passado, era de 50. O número de pacientes com esta expectativa,
para o próximo ano, será de:
a) 100
b) 125
c) 150
d) 200
16. (Ministério Público do Estado de São Paulo 2011 IBFC) O transtorno de déficit de
atenção (TDAH), segundo pesquisas, aparece em maior número no sexo masculino. A
razão é de 4:1 em populações epidemiológicas e em que apenas 5% têm prejuízo
cerebral. O número de pacientes do sexo feminino com prejuízo cerebral, num grupo
de 800 pacientes, é de:
a) 8 b) 10 c) 16 d) 20
17. (Ministério Público do Estado de São Paulo 2011 IBFC) Num viveiro convivem dois
tipos de pássaros (A e B): 80% são pássaros do tipo A e 20% são pássaros do tipo B.
Uma doença matou alguns pássaros do tipo A, mas não matou nenhum do tipo B.
Depois deste incidente, verificou-se que 60% dos pássaros vivos eram do tipo A. O
percentual de pássaros do tipo A que morreram foi de:
a)18%
b) 20%
c) 37,5%
d) 62,5%
18. (Ministério Público do Estado de São Paulo 2011 IBFC) O aumento percentual do
salário mínimo de 1996, que era de R$ 112,00, para o salário mínimo de 2010, no valor
de R$ 510,00, foi de:
a) 355,4%
b) 365,4%
c) 455,4%
d) 465,4%
19. (Agência Brasileira de Desenvolvimento Industrial 2008 IBFC) Uma mercadoria X,
que custava R$ 14,50, teve um reajuste e passou a custar R$17,40. Se outra
mercadoria Y teve o mesmo percentual de reajuste e passou a custar R$ 24,00, então o
valor de Y, antes do reajuste era de:
a) R$ 20,00 c) R$ 19,80
b) R$ 19,20 d) R$ 20,20
20. (Ministério Público do Estado de São Paulo 2011 IBFC) O valor venal de um veículo
de passeio é de R$ 18.400,00 e a alíquota do I.P.V.A. é de 4% sobre esse valor. Se o
pagamento for antecipado, o contribuinte tem um desconto de 3,5% sobre o valor da
alíquota, ou seja, pagará de I.P.V.A. o valor de:
a) R$ 736,00 c) R$ 710,24
b) R$ 761,76 d) R$ 706,84
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18
Raciocínio Lógico
21. (Agente de ação cultural de Campinas 2012 IBFC) Ana comprou um produto e
pagou R$ 45,00, já incluso um desconto de 10%. O valor de dois produtos, sem
desconto, idênticos ao que Ana comprou, é de:
a) R$ 99,00
b) R$ 100,00
c) R$ 110,00
d) R$ 98,00
22. (Oficial Administrativo PGE/SP 2011 IBFC) Lívia comprou um produto para revender
e pagou R$ 136,00 obtendo 20% de desconto no preço à vista do produto. O lucro de
Lívia ao vender o produto com 25% de acréscimo em relação ao preço à vista foi de:
a) R$ 45,00
b) R$ 34,00
c) R$ 42,50
d) R$ 83,00
e) R$ 76,50
23. (Banco do Brasil 2011 FCC) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote
de ações de uma empresa por R$ 8 000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa
empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de
20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em
relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas informações, é verdade que,
nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de:
(A) 20%.
(B) 18,4%.
(C) 18%.
(D) 15,2%.
(E) 15%.
24. (Banco do Brasil 2011 FCC) Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação
em que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, ao
encerrar a liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preços
anteriores aos dela, então os preços oferecidos na liquidação devem ser aumentados
em
(A) 18,5%.
(B) 20%.
(C) 22,5%.
(D) 25%.
(E) 27,5%.
25. (TC/SP 2010 FCC) Duas lojas X e Y vendem um mesmo tipo de cartucho de tinta
para impressoras pelo mesmo preço unitário. Certo mês, essas duas lojas fizeram as
seguintes promoções para a venda de tal tipo de cartucho:
Loja X: “Compre 4 cartuchos e leve 5.”
Loja Y: “Compre 4 cartuchos e pague 3.”
De acordo com essas promoções, é verdade que
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19
Raciocínio Lógico
(A) era mais vantajoso comprar na loja X.
(B) quem optou por comprar na loja X, obteve 25% de desconto.
(C) quem optou por comprar na loja Y obteve 27% de desconto.
(D) o desconto oferecido pela loja Y excedia o dado pela loja X em 5%.
(E) os descontos oferecidos pelas duas lojas eram iguais.
26. (SEFAZ/SP APOFP 2009 ESAF) Considere que numa cidade 40% da população adulta
é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes
são mulheres. Qual a porcentagem das mulheres adultas que são fumantes?
a) 60%
b) 40%
c) 7/13
d) 4/13
e) 9/13
Sequências Lógicas
27. (Agente de ação cultural de Campinas 2012 IBFC) Carlos somou os 7 primeiros
termos da sequencia 2, 3, 6, 11,... , porém esqueceu-se de somar o quinto termo. O
valor da soma que Carlos encontrou foi de:
a) 105
b) 87
c) 94
d) 78
28. (Oficial Administrativo PGE/SP 2011 IBFC) O sexto termo da sequência 2, 5, 17,
65,... é:
a) 1025
b) 472
c) 716
d) 234
e) 1073
29. (DNOCS 2010 FCC) Os termos da sequência
(12, 15, 9, 18, 21, 15, 30, 33, 27, 54, 57, . . .)
são sucessivamente obtidos através de uma lei de formação. Se x e y são,
respectivamente, o décimo terceiro e o décimo quarto termos dessa sequência, então:
(A) x . y = 1530
(B) y = x + 3
(C) x = y + 3
(D) y = 2x
(E) x / y = 33 / 34
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20
Raciocínio Lógico
30. (MP/SE 2010 FCC) Considere que os termos da sucessão seguinte são obtidos
segundo determinado padrão.
(112, 1 114, 11 118, 1 111 116, 11 111 132, . . . )
A soma dos dígitos que compõem o décimo termo dessa sequência é um número
(A) quadrado perfeito.
(B) divisível por 4.
(C) múltiplo de 6.
(D) ímpar.
(E) primo.
31. (Ministério Público do Estado de São Paulo 2011 IBFC) Na sequência
(533; 253; 525; 233; 523; 252; 533; 253; 525; 233; 523; 252;...)
com a mesma regularidade, podemos dizer que na posição 93ª está o número:
a) 525
b) 253
c) 533
d) 523
32. (Oficial Administrativo PGE/SP 2011 IBFC) Ao se dividir 2 por 7 temos uma dízima
periódica. O algarismo que ocupa a 231ª casa decimal nesta dízima é:
a) 2
b) 8
c) 7
d) 5
e) 4
33. (TRT 24ª 2011 FCC) A tabela abaixo apresenta os múltiplos positivos de 3 dispostos
segundo determinado padrão:
Caso esse padrão seja mantido indefinidamente, com certeza o número 462
pertencerá à
(A) primeira coluna.
(B) segunda coluna.
(C) terceira coluna.
(D) quarta coluna.
(E) quinta coluna.
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21
Raciocínio Lógico
34. (Prefeitura Municipal de Petrópolis Técnico Administrativo - Nível Médio 2010) As
palavras listadas a seguir estão seguindo uma determinada regra lógica:
CÃO; DEDO; ESTER; FAROFA;...
Seguindo essa mesma regra lógica, a única das palavras abaixo que pode continuar
essa lista é:
A) GUILHERME;
D) GRAVIOLA;
B) GRUA;
E) GOSTO.
C) GUARANÁ;
35. (TRF 4ª 2010 FCC) Uma propriedade comum caracteriza o conjunto de palavras
seguinte:
MARCA − BARBUDO − CRUCIAL − ADIDO − FRENTE − ?
De acordo com tal propriedade, a palavra que, em sequência, substituiria
corretamente o ponto de interrogação é
(A) FOFURA.
(D) HULHA.
(B) DESDITA.
(E) ILIBADO.
(C) GIGANTE.
36. (TC/SP 2010 FCC) A seguinte sequência de palavras foi escrita obedecendo a um
padrão lógico:
PATA − REALIDADE − TUCUPI − VOTO − ?
Considerando que o alfabeto é o oficial, a palavra que, de acordo com o padrão
estabelecido, poderia substituir o ponto de interrogação é
(A) QUALIDADE.
(D) XAMPU.
(B) SADIA.
(E) YESTERDAY.
(C) WAFFLE.
37. (TRT-PE 2006 Analista Jud. FCC) Observe que no esquema seguinte a disposição das
figuras segue um determinado padrão.
De acordo com tal padrão, a figura que completa a série é
(A)
(B)
(D)
(E)
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(C)
22
Raciocínio Lógico
38. (TRT-PE 2006 Téc. Jud. FCC) A seqüência de figuras abaixo foi construída
obedecendo a determinado padrão.
Segundo esse padrão, a figura que completa a sequência é
39. (Oficial Administrativo PGE/SP 2011 IBFC) Observando cada figura abaixo, verificase que há retângulos marcados com o símbolo (#) e os retângulos em branco
Dando continuidade à sequência de figuras o número de retângulos em brancos na 8ª
figura é de:
a) 42
b) 56
c) 72
d) 90
e) 110
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23
Raciocínio Lógico
40. (Oficial Administrativo PGE/SP 2011 IBFC) Se considerarmos
P.O.R.T.E.I.R.A = 48, P.O.R.T.A = 12 e F.E.I.R.A = 18,
então o valor de A.F será:
a) 5/2
d) 2/3
b) 9/2
e) 3
c) 3/2
41. (Oficial Administrativo PGE/SP 2011 IBFC) Ao multiplicarmos os números 1@ por
#7 encontramos como resultado 611. A soma entre @ e # é igual a:
a) 7
d) 9
b) 12
e) 8
c) 10
42. (Ministério Público do Estado de São Paulo 2011 IBFC) Uma professora propôs um
desafio aos alunos, utilizando os conceitos básicos de matemática. O desafio é:
sabendo- se que operando com os números 2 e 4 obtemos resultado igual a 9;
operando com os números 5 e 3 obtemos o resultado igual a 16, e operando com os
números 0 e 0 obtemos o resultado igual a 1, podemos dizer que, operando com os
números 1 e 8, obtemos o resultado igual a:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
43. (SEFAZ-SP 2010 FCC) Considere que as seguintes sentenças são verdadeiras:
6 * 8 = 20
4 * 11 = 19
12 * 5 = 29
31 * 10 = 72
104 * 27 = 235
De acordo com o padrão estabelecido para a operação *, é verdade que:
(A) 6 * 15 = 28.
(B) 15 * 15 = 47.
(C) 43 * 66 = 152.
(D) 66 * 37 = 180.
(E) 76 * 108 = 250.
01
05
09
13
17
21
25
29
33
37
41
e
c
b
b
d
b
d
b
d
b
a
Prof. Weber Campos
02
06
10
14
18
22
26
30
34
38
42
e
d
d
d
a
e
d
c
c
d
d
GABARITO
03
07
11
15
19
23
27
31
35
39
43
b
c
d
c
a
d
b
a
a
c
c
04
08
12
16
20
24
28
32
36
40
a
a
d
a
c
d
a
d
d
b
24