BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS
• 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO – ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES •
• FOLHA Nº 09 – GABARITO COMENTADO •
1) Pelo critério de divisibilidade por 8, os três últimos dígitos devem formar um número múltiplo de 8. A única opção
admissível é z = 4. Pelo critério de divisibilidade por 11, (x + 2 + z) – (y + 6) = x – y deve ser divisível por 11. Como
x e y são dígitos, a única opção é x = y. Finalmente, pelo critério de divisibilidade por 9, (x + y + 2 + 6 + z) = 2x + 12
deve ser divisível por 9. O único dígito que satisfaz tal condição é x = 3.
OPÇÃO A
2) Como 2014 = 53 . 19 . 2, segue que a² + b² é um de seus 8 divisores. Os possíveis restos de um quadrado perfeito
na divisão por 19 são: 0,1,4,5,6,7,9,16. A única soma de dois deles que produz um múltiplo de 19 é a soma 0 + 0. Assim,
se a² + b² é múltiplo de 19, a e b também o são. Dado que 2014 não possui dois fatores de tal primo, podemos
concluir que deve ser um divisor de 53 . 2. As possíbilidades são:
a² + b² = 2 → (1,1)
a² + b² = 53 → (7,2) e (2,7)
a² + b² = 106 → (5,9) e (9,5)
OPÇÃO E
1
3
2
3) Sendo a vazão de água constante, o caminhão carregou, em média, o correspondente a
de água. O
=
2
4
1 1 1
− =
consumo carregando essa quantidade de água corresponde a
de tanque de gasolina. Assim, para
2 6 3
1 1 1 11
carregar o caminhão cheio de água é necessário
de tanque de gasolina.
+ ⋅ =
2 6 3 18
OPÇÃO A
1+
4) Os três em conjunto pintam 2+3+5 = 10 metros em 10 minutos. Daí, eles vão precisar de 18 . 10 = 180 minutos
para pintar os 180 metros correspondentes aos três muros.
OPÇÃO A
5) A porcentagem de ácido numa mistura, é a quantidade de litros de ácido, dividida pela quantidade de litros da
mistura toda.
Inicialmente, temos x litros de ácido e y litros de água, totalizando (x + y) litros da mistura.
Adicionando 1 litro de água, ficamos com x + y + 1 litros de mistura e 20% de ácido. A quantidade de ácido na
mistura permanece a mesma. Logo:
x
20
=
x + y + 1 100
x
1
=
x +y + 1 5
x + y + 1 = 5x
Adicionando 1 litro de ácido, também ficamos com x + y + 1 litros de mistura porém, a porcentagem de ácido é
de , ou . Como ficamos agora com x + 1 litros de ácido, a porcentagem de ácido da mistura será:
x +1
1
=
x +y + 1 3
x + y + 1 = 3x + 3
Logo,
3x + 3 = 5x
2x = 3
3
x=
2
Como x + y + 1 = 3x + 3, encontramos y = 5. A porcentagem de ácido na mistura original será:
x
≅ 23%
x + y
OPÇÃO C
2
6) A primeira condição nos diz que n ≥ 55 e a segunda que n ≤ 59 . Assim, teremos no máximo 8 múltiplos de 7
quando n = 56, 57, 58 ou 59
OPÇÃO A
7) Temos quatro opções para o número formado pelos dois últimos algarismos dos números escritos em que soma
dos dois últimos é maior que a dos dois primeiros algarismos: 41, 14, 24 ou 42. Para cada uma dessas opções,
temos duas maneiras e posicionarmos os outros dois algarismos dentre os dígitos que faltam. Logo, existem tais
números 2 . 4 = 8 números
OPÇÃO A
8) O máximo divisor comum deve dividir a diferença entre quaisquer dois desses números. Note que 123456798
– 123456789 = 9 e assim o máximo divisor comum é no máximo 9. Pelo critério de divisibilidade por 9, como
1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 é divísivel por 9, temos que 9 realmente divide todos esses números.
OPÇÃO B
9) A soma dos algarismos de um número menor que 100 é menor ou igual à 9 + 9 = 18. Assim, a soma dos números
bem avaliados pelo critério do aluno só pode ter sido 7 ou 14. Existem três números com tais somas: 7, 70 e 77.
OPÇÃO D
10) Sendo A, B, C e D os números dos meses em que Ana, Beatriz, Cristina e Dalva nasceram, respectivamente, temos
que D = A + 2, D = C - 4 e B = D + 8 . Assim, temos que A = D - 2, C = D + 4 e B = D + 8. Daqui, concluímos
que A ≥ 1 → D ≥ 3 e que B ≤ 12 → D ≤ 4. E isso nos dá duas possibilidades:
• Ana nasceu em janeiro, Beatriz em novembro, Cristina em julho e Dalva em março.
• Ana nasceu em fevereiro, Beatriz em dezembro, Cristina em agosto e Dalva em abril.
Pelo enunciado, no qual uma delas nasceu em março, concluímos, portanto, que esta só pode ser Dalva.
OPÇÃO D
11) Sejam p e q as raízes da segunda equação. Usando as relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação
do segundo grau:
p + q = b, pq = a, p² + q² =a e p²q² = b
(p + q)² = p² + 2pq + q²
b² = a + 2a e a² = p²q² = b
a4 = 3a → a³ = 3 → a =
3
3
OPÇÃO E
12) Fazendo o mmc, temos:
(x + 2)(x + 3) + 2(x + 1)(x + 3) + 3(x + 1)(x + 2) = (x +1)(x + 2)(x + 3)
x² + 5x + 6 + 2x² + 8x + 6 + 3x² + 9x + 6 = x³ + 6x² + 11x + 6
x³ – 11x – 12 = 0
A soma das raízes é zero.
OPÇÃO A
13) Como (x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = x³ + y³ +3(x²y + xy²) = 9 + 18 = 27
x+y=3
OPÇÃO C
14) As quantidades de chocolates que podem ser compradas são os números da forma 8x + 9y +10z com x, y e z
inteiros não negativos. Todo número maior que 56 = (8 – 1)(9 – 1) pode ser escrito na forma 8x + 9y com x e y
inteiros não negativos. Um número que pode ser escrito na forma 8x + 9y em particular também pode ser escrito
na forma 8x + 9y +10z . Assim, basta analisarmos os números menores que 56 para sabermos qual é o maior
deles que não pode ser uma quantidade admissível de chocolates comprados na loja. É fácil verificar, como na
primeira solução, que todos os números de 32 até 55 podem ser escritos na forma 8x + 9y +10z e que 31 não.
OPÇÃO D
15) Como 3² < 10, temos . 3400 < 10200. Além disso, como 34 > 2³ . 10, também temos 3400 = (34)100 > (2³ . 10)100 = 2300 . 10100 .
Note que 24 = 16 > 10 , e assim 3400 = 2300 . 10100 = (24)75 . 10100 > 10175. Daí, podemos concluir que 3400 possui
entre 175 e 200 dígitos.
OPÇÃO C
3
16) Se a e b são as raízes da equação, pelo teorema de Pitágoras temos que a² + b² = 25.
Utilizando soma e produto, temos que: a + b = m e ab = m + 5 . Assim,
(a + b)² = a² + 2ab + b² → m² = 25 + 2m + 10 → m² - 2m – 35 = 0.
m = 7 ou m = – 5. Como a e b são lados do triângulo, só nos serve m = 7.
OPÇÃO C
17) Temos que a + b = 2012, com a e b inteiros positivos. Queremos maximizar e minimizar ab = 2012a² – a, cujo
valor máximo é 1006². Para encontrarmos o mínimo, basta ver que a função é decrescente à direita de 1006 e
crescente à esquerda de 1006. Assim, o mínimo ocorre para a = 1 ou a = 2011, que nos dá como valor mínimo
2011= 2×1006 – 1.
Assim, a diferença entre o maior e o menor valor é 1006² − 2 ×1006 +1 = (1006 −1)² = 1005²
OPÇÃO B
18) Entre o dia 29 de fevereiro de um ano bissexto e o dia 29 de fevereiro do próximo ano bissexto, passam-se
366 + 365 + 365 + 365 = 1461 dias. Como 1461 deixa resto 5 na divisão por 7, teremos o seguinte:
29 de fevereiro de 2012: quarta-feira
29 de fevereiro de 2008: sexta-feira
29 de fevereiro de 2004: domingo
Os dias de semanas se repetem de 28 em 28 anos. Assim, se 29 de fevereiro de 2004 foi domingo, é porque dia
29 de fevereiro de 1976 também foi domingo.
OPÇÃO B
19) Se x² = 2x + 4 → x² – 2x – 3 = 1
1
(x +1)(x – 3) = 1 →
= x −3
x +1
(x+1)–1 = x–3
OPÇÃO B
20) Como cada pergunta admite duas respostas, cada entrevistado pode responder o questionário de 16 maneiras
diferentes. Assim, o número mínimo de entrevistados para que se garanta a existência de duas respostas completamente iguais é 17, pelo Princípio da Casa dos Pombos.
OPÇÃO B
21) Marque o ponto E sobre AC e trace BE tal que BC = CE. Observe que AE = CD e o ângulo AEB = 115 = ângulo
BDC que faz BE = BD. Os triângulos ABE CBD são congruentes (lado ângulo lado). logo; x = 50° Suplemento: 180 - 50 = 130°
OPÇÃO D
22) Aplicando Pitágoras no triângulo em destaque temos:
(3+x)2 = (6-x)2 +9
OPÇÃO D
9 + 6x +x2 = 36 –12x + x2 +9. Daí; 18x = 36 ; x = 2
4
23) Observe que na figura, o ângulo PBC tem 45°, bem como o PCB, e o triângulo DPC é equilátero,pois DP é a
mediana relativa à hipotenusa. Como PD = PB e o ângulo APD ,
Conclui-se que x = 15°
OPÇÃO C
24) Observe que CG =
4 − x 2 e que AHI
CGI logo;
x = 2 4 − x 2 Daí, x = 4 5
5
OPÇÃO C
25) Como a área do triângulo PCD é igual a área do triângulo PBO, podemos afirmar que a área da região hachurada
é igual a área do setor circular de 45°.
Daí, S = 36 /8 = 4,5
cm2
OPÇÃO B
26) O prolongamento de AD intersecta BC perpendicularmente.
Pois o ângulo C = 90 – x.
Observe que o ponto D é o ortocentro do triângulo ABC.
Logo: 2x + 9 + x + 6 = 90.
Ou seja: 3x = 75 → x = 25°
90 – 25 = 65°
OPÇÃO A
27) Observe que os triângulos CDP e BPR são semelhantes
Logo : 8 + x = x
5k
3k
OPÇÃO E
5x = 24 + 3x
2x =24
x = 12
5
28) A área do octógono é dado pela expressão
S=
a2
ou seja:
48
(
S = 3 5
)
2
/ 48 =
45
= 15/16
48
OPÇÃO A
29) Observe que o quadrilátero CNOP é inscritível e o ângulo BCM = 10°. Como o ângulo NCO mede 70° daí
OPÇÃO A
30) FGB ~ BDC => FG/DC = BF/BC BFJ ~ ABC => FJ/AC = BF/BC => FG/DC = FJ/AC
5/0.5 AC = (8+x)/AC => 10 = 8 + x => x = 2
OPÇÃO D
= 10°