Métodos práticos para identificar primos pequenos
Gabriel Lopes da Rocha1 e Roberto Ribeiro Paterlini2
Departamento de Matemática - UFSCar - junho de 2009
Estamos ministrando uma aula e queremos dar algum exemplo com números primos. Pensamos: que tal variar, e usar primos diferentes dos de
costume? Ou somos estudantes e queremos impressionar os colegas ou o
professor usando algum primo diferente. É nesse momento que nos perguntamos:
71 é primo?
113 é primo?
Existem observações simples que podemos aplicar para sabermos rapidamente se um número pequeno é primo ou não. Dessa forma não precisamos
interromper nossa conversa para consultar uma tabela de primos ou fazer
contas. Podemos até fazer um certo suspense. Perguntamos a algum colega:
113 é primo? Silêncio. Olhamos para cima, pensamos uns 5 segundos, e
dizemos: é.
Vamos explicar os métodos. Um inteiro ≥ 2, para não ser primo, tem
que ser múltiplo próprio de um primo. Por múltiplo próprio queremos dizer
que o fator de multiplicidade é > 1. Assim 2 é múltiplo de 2, mas o fator de
multiplicidade é 1. Por outro lado, 4, 6, 8, ... são múltiplos próprios de 2.
Os múltiplos de 2, 3 e 5 são fáceis de serem percebidos, pois conhecemos
regras práticas e muito simples de divisibilidade por 2, 3 e 5. O primo seguinte
é 7, e não temos para ele uma regra simples de divisibilidade. Mas o menor
múltiplo próprio de 7 que não é múltiplo de 2, 3 ou 5 é 7×7 = 49. O múltiplo
seguinte de 7 nessas condições é 7 × 11 = 77. Assim temos a primeira regra
prática:
Um número inteiro entre 2 e 50 é primo quando for 6= 49 e não for múltiplo
próprio de 2, 3 ou 5.
Na verdade, de acordo com o que observamos, essa regra vale para números
inteiros entre 2 e 76. Mas queremos aumentar a faixa de números considerados. O primo seguinte é 11, e o menor número composto que não é múltiplo
de 2, 3, 5 e 7 é 11 × 11 = 121. Portanto um número inteiro ≤ 120, para
ser composto, tem que ser múltiplo próprio de 2, 3, 5 ou 7. Os múltiplos
próprios de 7 entre 2 e 120 que não são múltiplos de 2, 3 ou 5 são: 7 × 7 = 49,
7 × 11 = 77, 7 × 13 = 91 e 7 × 17 = 119. Obtemos a segunda regra prática:
1
2
formando do curso de Licenciatura em Matemática da UFSCar
professor de Matemática da UFSCar
1
Um número inteiro entre 2 e 120 é primo quando n ∈
/ {49, 77, 91, 119} e não
for múltiplo próprio de 2, 3 e 5.
Como 91 = 70 + 21 e 119 = 70 + 49, é fácil memorizar os números 49, 77,
91 e 119.
Podemos aumentar a faixa de números considerando o primo seguinte,
13. Deixamos para o estudante construir a regra prática correspondente.
Existe outro método que pode ser mais do gosto do leitor, e eventualmente
pode ser mais rápido. Consideremos os conjuntos
A = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} e B = {49, 77, 91, 119}
É fácil memorizar esses conjuntos levando em conta que A é constituı́do
de 1 e dos primos entre 6 e 30. E esses primos são os números entre 6 e 30
que não são múltiplos de 2, 3 ou 5. Quanto ao conjunto B, já vimos que ele
é constituı́do dos números compostos ≤ 120 que são múltiplos de 7 mas não
de 2, 3 ou 5.
Portanto já sabemos quem são os primos ≤ 30: são 2, 3, 5 e os elementos
de A, menos o 1. Para saber se um dado um inteiro n tal que 30 < n ≤ 120
é primo aplicamos a regra:
Seja n um inteiro entre 30 e 120. Se n ∈ B então n é composto. Se n ∈
/ B,
seja r o resto da divisão inteira de n por 30. Então n é primo se e somente
se r ∈ A.
Em outros termos, se 30 < n ≤ 120 e n ∈
/ B, fazemos “n trinta fora”. Se
o resto for 1 ou um primo entre 6 e 30, então n é primo; caso contrário, é
composto.
Por “n trinta fora” queremos dizer: tomar o resto da divisão inteira de n
por 30.
Vamos testar o método com 71 e 113. Temos 71 ∈
/ B e 71 trinta fora dá
11 (= 71 − 60), que é primo > 5. Logo 71 é primo. Ainda, 113 ∈
/ B e 113
trinta fora dá 23 (= 113 − 90) que é primo > 5. Portanto 113 é primo.
O número 30 tem papel importante nesse método por que 30 = 2 · 3 · 5.
Assim se n é um inteiro tal que 30 < n ≤ 120 e n ∈
/ B, calculamos n = 30q+r,
com 0 ≤ r < 30. Se r = 1 ou r é primo > 5, então r não é múltiplo de 2, 3
ou 5. Isso implica que n também não é múltiplo de 2, 3 ou 5, e portanto n
é primo. Reciprocamente, se r não é 1 e nem primo > 5, então r é múltiplo
de 2, 3 ou 5, e n também é. Logo n é composto.
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