Noções de Engenharia de Controle
Minicurso ministrado no VI SEPMAT da UEMS Unidade de Cassilândia
Agosto de 2013 – Esp. Bruno R. de Oliveira, [email protected]
Capítulo I
Resumo
Este minicurso tem por objetivo apresentar conceitos básicos de Teoria de Controle Moderno em um nível elementar, para
estudantes de graduação, com a intenção de despertar nestes o interesse pelo assunto, bem como, mostrar um possível ramo de
pesquisa para estudos posteriores. É essencialmente necessário o conhecimento de alguns conceitos de equações diferenciais,
portando não necessário saber resolvê-las.
Será dado ênfase a aplicação dos conceitos de Álgebra Linear: Operações Matriciais. Matrizes especiais.
Introdução
Sistema de controle é um sistema desenvolvido, tanto em software como hardware, que tem o objetivo de controlar determinado
processo. Hoje com os avanços dos computadores digitais, encontramos sistemas de controle nas mais diversas áreas. Vejamos alguns
exemplos: Controle de satélite; velocidade de veículos; controle de temperatura; linhas de produção; robôs com as mais diversas
finalidades; industrias em geral; aviação; máquinas agrícolas, etc.
Listamos abaixo algumas definições utilizados na Teoria de Controle, necessárias para o entendimento dos assuntos aqui abordados.
Sistema: Combinação de componentes que atuam em conjunto e realizam um certo objetivo.
Variáveis: Variável controlada é aquela que é medida e controlada pelo controlador do sistema através de alterações nos valores
das Variáveis Manipuladas.
Planta: Sistema a ser controlado, podendo ser composto de subsistemas que tenham suas próprias plantas. A finalidade deste
sistema é realizar uma determinada operação.
Atuador: Parte do sistema que recebe dados do controlador e envia outros dados para parte do sistema.
Processo: Operações (processos) a serem controladas.
Distúrbios: Um distúrbio ou perturbação pode ser interno, quando afeta as variáveis de saída do sistema, ou externo, quando
ocorre fora do sistema alterando as variáveis.
Vejamos alguns sistemas de controle
Exemplos
Exemplo 1.1: No exemplo abaixo vemos um sistema que utilizada um braço robótico para posicionar materiais que são utilizados
para fabricação de formas diversas, por exemplo. O controlador obtém as informações de uma câmera de vídeo para posicionamento
do braço robótico.
Ilustração 1: Robô que utiliza reconhecimento de padrões
Identificamos os conceitos acima deste exemplo:
Sistema: Máquina de usinagem que utiliza braço robótico para posicionamento da matéria-prima a ser moldada.
Variáveis: Controladas: Posicionamento do braço robótico, da câmera de vídeo e da matéria-prima. Manipuladas: Energia liberada
para o braço robótico, e para a máquina de usinagem.
Planta: Braço robótico; câmera de vídeo; máquina de usinagem.
Atuador: Equipamento que controla diretamente o braço robótico.
Processos: As operações descritas no item “Planta” e mais alguns subprocessos que estão implícitos, etc.
Distúrbios: Algum problema com a alimentação de energia elétrica. Surgimento de algum obstáculo para o braço robótico, etc.
Exemplo 1.2: Parte do sistema de controle de atitude de um satélite. Neste exemplo vemos quatro motores (jatos) anti-simétricos A
e B, situados dois na parte superior e dois na parte inferior do satélite. Eles são acionados aos pares, ou seja, os motores da parte
inferior e superior. (Numa situação real teríamos mais motores, em todos os eixos). O objetivo é controlar o ângulo de guinada θ
formado com o eixo de referência. Tomamos como entrada do sistema o torque T (t ) produzidos pelos jatos, e como saída o
deslocamento angular θ( t ) .
Ilustração 2: Sistema de Controle de Atitude de Satélite
Sistema em Malha Aberta e Fechada
Um sistema de controle é a malha fechada (ou com retroação) quando o sistema avalia a saída e, não sendo está aquela desejada,
atualiza os parâmetros de entrada até que os valores de saída sejam apropriados. Podemos ver no esquema abaixo uma descrição de
tal sistema.
x(t)
e(t)
Controlador
u(t)
Caldeira
(Forno)
y(t)
Desenho 1: Sistema em malha fechada
Este esquema representa, de forma básica, um sistema de controle de uma Caldeira. As funções x (t) , e (t) ,u (t) , y (t) são
respectivamente sinais deste sistema, a saber:
• sinal de entrada (referência): temperatura ideal que a caldeira deve ter;
• sinal de erro: Diferença entre a temperatura ideal e a temperatura do forno, e (t)=x (t)− y (t) ;
• sinal de controle: temperatura que deve ser aumentada ou subtraída na caldeira para que esta atinga a temperatura ideal,
u (t)=α e (t) , α é uma constante.
• sinal de saída: temperatura do forno.
Vejamos como o sistema funciona para alguns instantes, sendo que a temperatura ideal é de 500º.
t=1 :
x (1)=500 , y (1)=0
e (1)=500−0=500 , u (1)=α 500
Após 9 minutos a temperatura da caldeira está próximo a 70º.
t=10 :
x (10)=500 ,
y (10)=70
e (10)=500−70=430 , u (10)=α 430
Após 170 minutos a temperatura da caldeira está próximo a 200º.
t=171 :
x (171)=500 ,
y (171)=200
e (171)=500−200=300 , u (171)=α 300
O processo continua até que a temperatura ideal seja atingida.
Já nos sistemas a malha aberta, o sinal de saída não interage com o controlador, logo ele não é avaliado, não importando qual seja.
Este tipo de sisteme apresenta a vantagem de ter um custo reduzido em relação aos sistemas de malha fechada. Vejamos abaixo um
exemplo:
u(t)
x(t)
Controlador
Máquina de
Lavar roupa
y(t)
Desenho 2: Sistema em Malha Aberta
Onde x (t) é o sinal de entrada (programa de lavagem escolhido),
tempo que cada programa funcionará.
y (t) a saída (estágio do programa de lavagem) e u (t) o
Imagine que você selecione o programa “Lavagem Pesada”, então teremos o seguinte:
t=1 : x (1)=lavagem pesada , u (1)=10
y (1)=encher comágua
t=11 : x (11)=lavagem pesada , u (11)=20
y (11)=molho
t=31 : x (31)=lavagem pesada , u (31)=10
y (31)=bater a roupa
t=41 : x (41)=lavagem pesada , u (41)=10
y (41)=trocar a água
t=51 : x (51)=lavagem pesada , u (51)=20
y (51)=molho
O processo continua até que, u (t)=0 e y (t)=desliga .
Exercícios
1) Identifique no sistema do Exemplo 1.2, as variáveis de entrada e saída; os possíveis distúrbios.
2) Dê exemplos de sistema em malha aberta e malha fechada. Liste as vantagens e desvantagens dos sistemas a malha aberta se
fossem projetados com algum mecanismo de realimentação.
3) O sistema ilustrado na figura abaixo é um sistema de controle de nível de líquido. O objetivo é manter o nível num patamar
desejado ajustando a válvula por onde entra o líquido.
Responda: Este é um sistema a malha aberta ou fechada? Se x (t) é o nível de líquido no instante t , e r (t) o nível desejado,
estipulado por um operador do sistema, qual seria a relação do erro e (t) calculado pelo controlador, em função de x (t) e r (t) ?
Quando e (t)=0 a válvula pneumática deve estar aberta ou fechada?
Sistemas e Sinais
Sistema: É um modelo matemático de um determinado processo que relaciona o sinal de entrada com o sinal de saída. Se x for a
entrada do sistema e y a saída, então o operador (transformação linear) T , mapeia os valores de x para valores de y , assim:
y=T { x } . Um sistema pode modificar um sinal ou extrair informações adicionais deste, e pode ser realizado em hardware (sistemas
elétricos, mecânicos, hidráulicos, etc) ou software (algoritmo computacional).
Um sistema é linear se vale o princípio da superposição: T {α 1 x 1 +α 2 x 2 }=α1 y 1+α 2 y 2 , onde T {x 1 }= y 1 e T {x 2 }= y 2 . Em outras
palavras, se a resposta do sistema a entrada x 1 é y 1 e a entrada x 2 é y 2 então a saída quando a entrada for x 1+ x 2 , será
y 1+ y 2 . Ou seja, um sistema é linear quando a saída é proporcional a entrada e também vale o propriedade aditiva mencionada.
Vejamos uma ilustração:
y1(t)
x1(t)
x2(t)
Sistema
y2(t)
Sistema
x1(t) + x2(t)
y1(t) + y2(t)
Sistema
Desenho 3: Sistema Linear: Propriedade Aditiva
Um sistema é invariante no tempo quando T {x (t − τ)}= y ( t−τ) . Ou seja, se a entrada é atrasada em τ segundos, por exemplo,
a saída também será.
Neste minicurso apenas estudaremos os Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo SLIT. Porém é importante ressaltar que
geralmente, modelos matemáticos de sistemas reais são não-lineares. Então para aplicar os conceitos aqui aprendidos utilizamos
técnicas de linearização destes sistemas.
Sinal: É uma função que contém informações sobre o comportamento ou natureza de um fenômeno. Usualmente esta é uma função
do tempo t , como x (t) .
Um sinal é par quando x (−t)= x (t) e ímpar quando x (−t)=−x (t ) . Ele é periódico com período T se x (t +T )=x (t ), ∀ t .
Ilustração 3: Sinal Periódico com período
T0
Quando t é uma variável contínua, ou seja, pode assumir valores no conjunto dos reais, então x (t) é um sinal contínuo.
Sendo t discreto, ou seja, toma valores no conjunto dos inteiros, então x (t) é um sinal discreto.
Essa qualificação dos sinais diz respeito a natureza do sinal ao longo do eixo t .
Quando x (t) assume valores contínuos, o sinal é analógico, e quando assume valores discretos é digital.
Ilustração 4: Sinal Discreto e Digital
Ilustração 5: Sinal Contínuo e Analógico
Sinais comuns
{
Degrau unitário: u (t)= 1 t≥0
0 t< 0
}
. Este sinal é útil quando queremos que nossa função tenha valores nulos para t< 0 .
Ilustração 6: Degrau Unitário
Degrau unitário deslocada: u (t−t 0)=
{
1 t≥t 0
0 t< t 0
}
.
Impulso Unitário (delta de Dirac):
{
δ(t )= 0 t≠0
∞ t=0
}
b
ε
,
∫ δ (t)dt=1 ou
alternativamente
−ε
∫ φ ( t)δ (t)dt=
a
{
φ (0)
a< 0< b
0
a< b< 0 ou 0< a< b
indefinido
a=0 ou b=0
função contínua em t=0 .
Ilustração 7: Impulso Unitário
Exponenciais complexos: x (t)=e j ω t ou x (t)=e s t =e (σ + j ω)t=eσ t (cos ω t+ j sen ω t)
0
}
,
onde φ (t) é
qualquer
Ilustração 8: Exponencial Complexa
Exponenciais reais: x (t)=e σ t
Senoidais: x (t)=A cos (ω0 t+θ) , onde A é a amplitude; ω0 a frequência e θ o ângulo de fase. Este sinal é periódico com
2π
período fundamental T 0= ω .
0
Revisão de Álgebra Linear
Multiplicação Matricial
[
a 11 ... a1n
Dadas as matrizes A= ... ... ...
a m1 ... amn
] [
e
b 11 ... b1p
B= ... ... ...
b n1 ... bnp
]
então
AB=C , onde cada elemento de C é formado pela soma dos
produtos dos elementos de uma linha de A com uma coluna de B , assim: c ij =a i1 b 1j +...+a i n bnj .
Matriz simétrica e Hermitiana
Uma matriz A complexa é hermitiana se A= A∗ , ou seja, a matriz é igual sua transposta conjugada. Se A for uma matriz real
então será simétrica, ou seja, A= At .
Forma Quadrática
Seja A uma matriz simétrica, então q ( x )=x t A x é uma forma quadrática, onde x ∈ℝn é um vetor. Temos a seguinte
representação matricial:
q ( x )=[ x 1
x 2 ...
xn ]
[
][ ]
x
a 11 a 12 ... a1n 1
x
2
2
2
... ... ... ... 2 =a 11 x 1 +a 22 x 2+ ...+ a nn x n + 2 ∑ aij x i x j
i< j
a n1 a n2 ... ann ...
xn
Se A é uma matriz diagonal, então a parcela que envolve somatório é zero, portanto, q ( x )=a 11 x 21 + a22 x 22 +...+ a nn x 2n .
Matriz (Semi)definida Positiva
Uma matriz A real é definida positiva se x t A x >0, ∀ x≠0 e semi-definida positiva se x t A x≥0, ∀ x≠0 onde x ∈ℝn é um vetor.
Se a matriz A é complexa então devemos ter ℜ( x ∗ A x)>0, ∀ x≠0 onde x ∗ denota o transposto conjugado, e ℜ( x t A x) a parte
real do produto vetor pela matriz.
O critério de Sylvester estabelece que a matriz de uma forma quadrática é definida positiva se todos os determinantes do menores
principais forem maiores que zero.
Posto de uma matriz
O posto de uma matriz A é o número de linhas não nulas quando a matriz está na forma escalonada.
Matriz não-singular
Se o determinante da matriz A quadrada for diferente de zero, ∣ A∣≠0 , então
A é singular e não admite inversa.
Matriz companheira
A é dita não-singular. Se for igual a zero, então
Dado um polinômio p (t)=t n+ a1 t n−1 + a2 t n−2 +...+ a n−1 t +a n
[
0 0 0 ... 0 −a n
1 0 0 ... 0 −an−1
0 1 0 ... 0 −a n−2
, a matriz Companheira desse polinômio é C=
... ... ... ... ...
...
0 0 0 ... 0 −a 2
0 0 0 ... 1 −a 1
]
.
Capítulo II
A Transformada de Laplace
A Transformada de Laplace é uma ferramenta utilizada para resolver equações diferenciais lineares. Ela “Transforma” uma equação
(no domínio do tempo) em uma equação algébrica (no domínio complexo), de mais fácil solução. Abaixo vemos um esquema dessa
transformação.
Domínio t (tempo)
Domínio s (complexo)
Transformada
Y ( s )=
y (t )=e−at sin ω t
Transformada
Inversa
Essa transformada é assim definida:
s+ a
2
2
( s+ a )+ ω
∞
ℒ { f (t) }=F (s)=∫ f (t)e−st dt
0
E a inversa assim:
c+∞
1
st
ℒ { f (t ) }= f (t)=
F ( s) e ds , t >0
∫
2 π j c− j ∞
−1
Neste curso não aprenderemos como calcular esta transformada utilizando as definições acima, mas apenas utilizaremos os
resultados da tabela abaixo.
1
f (t)
F ( s)
2
δ(t )
1
3
u (t)
1
s
4
t
1
s2
5
t n −1 e−at
(n−1)!
1
( s+ a )n
6
tn
n!
s n+ 1
7
e−at
1
s+ a
8
t e −at
1
( s+ a )2
9
t e
10
cos ω t
n −at
n!
n+ 1
( s+ a )
s
2
s+ω
2
11
sin ω t
ω
s + ω2
12
1
−at
(1−e )
a
1
s (s+ a )
13
1
(be−bt−ae−at)
b−a
1
(s+ b)(s+ a )
14
1
−bt
−at
(be −ae )
b−a
1
2
s (s+ a )
15
1
(at −1+ e−at )
2
a
1
s ( s+ a)
16
e−at cos ω t
17
e−at sen ω t
s+ a
( s+ a )2+ ω2
ω
( s+ a )2+ ω2
18
1−cos ω t
ω2
s ( s 2+ ω 2)
19
ω t−sen ω t
ω3
s 2 (s 2+ ω 2)
20
sen ω t−ω t cos ω t
2 ω3
(s 2+ ω 2)2
21
1
t sen ω t
2ω
s
2 2
(s + ω )
22
t cos ω t
s −ω
2
2 2
(s + ω )
23
sen( ω t+θ)
ω cos θ+ s sen θ
s 2 +ω2
2
2
2
2
2
Propriedades da Transformada de Laplace
24
ḟ (t)
sF ( s)− f (0)
25
f̈ (t)
s 2 F ( s)−sf (0)− ḟ (0)
26
e−at f (t)
F ( s+ a)
27
t f (t )
− Ḟ ( s)
28
t n f ( t)
(−1)n F ( s)
29
t
f( )
a
aF (as)
30
f (t−t 0)
e−st F (s)
31
f (at )
1
s
F( )
∣a∣ a
n
0
Vamos calcular algumas transformadas:
Exemplos
Exemplo 2.1:
a) g (t )=te −3t . Primeiro olhamos para a linha 26 da tabela, onde f (t)=t e a=3 . Então temos G( s )=F ( s+3) , porém pela linha
1
1
4 temos que F (s)= 2 , então concluímos que G(s )=
.
2
s
( s+ 3)
b) h( t)=t 2 sen ω t . Pelo Teorema de Derivação Complexa (linha 28), temos que se h( t)=t 2 f (t) então H (s)= F̈ (s ) , então como
−2 ω 3+ 6 ω s 2
.
f (t)=sen ω t pela linha 11, F ( s)= 2 ω 2 logo H (s)= F̈ (s )=
s +ω
(s 2 +ω 2)3
1
c) Dada a equação deferencial ÿ +2 ẏ + y=x + ẋ , queremos calcular a Transformada de Laplace, sendo que todas as condições
2
iniciais de y (t) , x (t) e de suas derivadas são nulas, ou seja, ẏ (0)= y ( 0)= ẋ (0)= x (0)=0 .
Para calcular a transformada de uma equação diferencial utilizamos as relações dadas nas linhas 24 e 25 da tabela. Então temos:
1
ℒ { ÿ+ 2 ẏ + y }=ℒ {x + ẋ }
2
s 2 Y ( s)−s ẏ (0)− y (0)+2 [ s Y ( s)− y(0) ] +Y (s)= X (s )+
1
[ sX (s)− x(0) ]
2
Substituindo os valores acima obtemos:
1
s 2 Y ( s)+2s Y (s)+Y ( s)= X ( s)+ sX ( s )
2
Colocando em evidência os termos semelhantes finalmente temos:
[
1
Y ( s ) [ s 2 +2s +1 ]= X (s) 1+ s
2
Polos e Zeros
Usualmente F ( s) é uma função racional de s , ou seja,
F ( s)=
a0 ( s−z 1)... ( s−z m )
b 0 (s− p 1)...(s− p n)
Se n> m , F ( s) é uma função racional própria, se n≤m é imprópria.
]
Os Zeros de F ( s) são as raízes do polinômio do numerador e os Polos as raízes do polinômio do denominador.
Exemplos
1
. Encontramos os polos fazendo 1−e −s=0 ⇒ e−s=1 . Precisamos lembrar que s=σ+ j ω e
−s
1−e
1
σ
−(σ + j ω)
−σ
e
=e (cos ω− jsen ω)=1 , logo cos ω− jsenω= −σ =e . Fazendo σ=0 obtemos cos ω− jsenω=1 . Concluímos então que
e
ω=±2 π n (n=0,1, ...) . Então os polos são s=σ+ j ω=0+ j(±2 π n)=± j2 π n .
Exemplo 2.2: Seja F (s)=
Exercícios de Fixação
1) Calcule a transformada de Laplace das funções dadas abaixo utilizando-se da tabela.
a)
f (t)=e−0,4t cos 12t
b)
f (t)=sen ( 4t+ π )
4
c)
f (t)=t e
2 −at
d) 2 ÿ (t)+ ẏ ( t)−
1
1
y (t)= x (t)+ ẋ (t )− ⃛x (t) . Suponha todas as condições iniciais nulas.
4
2
e) 2 α ẏ (t)+5y( t)=0 . Suponha todas as condições iniciais nulas.
2) Obtenha X (s ) dada a equação diferencial ẍ +3 ẋ +6x=0 , dada as condições iniciais x (0)=0, ẋ (0)=3 .
Capítulo III
Função de Transferência
É a razão entre a Transformada de Laplace do sinal de saída (resposta) pela do sinal de entrada (excitação), supondo todas as
condições iniciais nulas.
G(s)=
∞
∞
Y (s)
−st
−st
, (Eq. 3.1) onde Y ( s )=∫ y (t)e dt e X ( s )=∫ x (t) e dt , sendo y (t) o sinal de saída e x (t) o de entrada.
X (s)
0
0
Exemplos
Exemplo 3.1:
Ilustração 9: Sistema massa-mola-amortecedor
Neste sistema temos um corpo de massa m montado sobre uma carreta de massa desprezível, que se move, com movimento
constante, horizontalmente, fazendo com que a massa se desloque sobre ela. Há um amortecedor com constante de amortecimento
b e uma mola com constante de elasticidade k , ambos mecanismos oferecem resistência ao movimento da massa.
O sinal de entrada, que é o deslocamento da carreta, é designado por x (t ) e o sinal de saída por y (t) , sendo o deslocamento da
massa sobre a carreta.
O modelo matemático deste sistema é
m ÿ+ b ẏ+ k y=b ẋ+ k x
Aplicando a Transformada de Laplace obtemos
m [ s 2 Y ( s)−sy (0)− ẏ (0) ] + b [ sY (s)− y (0) ] + k Y ( s)=b [ s X (s )−x ( 0) ] + kX (s )
Considerando as condições iniciais nulas, obtemos:
m s2 Y (s )+ b sY ( s)+ k Y (s)=b s X ( s)+ kX (s)
Deixando Y ( s ) , X ( s ) em evidência.
Y (s ) [ m s +bs+ k ]= X (s) [ b s+k ]
2
Então obtemos a função de transferência
G( s )=
Y ( s)
b s+k
=
X ( s) m s2 + bs+ k
Exemplo 3.2: Analisaremos agora um sistema mecânica de amortecimento de automóvel. Consideraremos apenas o deslocamento
da carroceria no sentido vertical. A figura abaixo ilustra um modelo simplificado deste sistema, onde m é a massa do carro, x 0 o
sinal de saída (deslocamento da carroceria), x i o sinal de entrada (deslocamento o ponto P que representa os pneus em contato
com o solo). Acoplado a carroceria temos um amortecedor com constante de amortecimento b e uma mola com constante elástica
k .
Ilustração 10: Sistema simplificado de suspensão de automóvel
A equação deste sistema conforme exibido na parte direita da figura é
m x¨0 +b x˙0 + k x0 =b ẋ i + k xi
Aplicando a transformada de Laplace e considerando todas as condições iniciais nulas, obtemos
X 0 (s ) [ ms2 +bs +k ] = X i ( s ) [ bs +k ]
Precisamos da razão da transformada de Laplace da saída pela entrada:
X 0 ( s)
bs+ k
= 2
X i ( s) ms + bs+ k
Que é a função de transferência para este sistema.
Modelagem no Espaço de Estados
A modelagem no espaço de estados é utilizada pela Teoria de Controle Modernos pois possibilita a análise de sistemas mais
complexos, que envolve várias entradas e saídas (MIMO – multiple input, multiple output).
O estado de um sistema é o menor conjunto de valores das variáveis de estado de modo que, conhecendo os valores do sinal de
entrada nos instantes t≥t 0 e os valores dessas variáveis no instante t=t 0 , fica determinado o comportamento do sistema em
qualquer instante t≥t 0 .
Se cada variável de estado é uma componente de um vetor, este é um vetor de estado. O espaço vetorial que o contém é um
Espaço de Estados. Então qualquer estado do sistema, pode ser representado por um ponto neste espaço.
Temos, para um sistema linear e invariante do tempo - SLIT, a equação de estado abaixo, sendo x (t) o sinal de entrada, r (t) o
vetor de estado, A , B matrizes de estado e de entrada respectivamente.
ṙ (t )= A r (t )+ B x (t) (Eq. 3.2)
A equação de saída do sistema será
y (t)=C r (t )+ D x (t ) (Eq. 3.3)
onde y (t) é o sinal de saída, C , D matrizes de saída e de transmissão direta, respectivamente.
No diagrama de blocos abaixo vemos o comportamento de tal sistema.
Ilustração 11: Representação da Modelagem no Espaço de Estados
(n)
(n−1 )
Dada uma equação diferencial da forma y +a 1 y +...+ an −1 ẏ+ a n y= x , podemos fazer a seguinte substituição convenientemente
r 1= y
r 2= ẏ
.
.
.
(n−1 )
r n= y
Derivando ambos os lados obtemos
r˙1= ẏ
r˙2= ÿ
.
.
.
(n)
Observamos que r 2=r˙1 , r 3=r˙2 , … , r n=r n−1
˙
r˙n= y
. Então obtemos as seguintes relações para as derivadas das variáveis de estado.
r˙1=r 2
r˙2=r 3
.
.
.
r n−1
˙ =r n
r˙n=−a n r 1−a n−1 r 2 −a n−2 r 3− ... −a 1 r n + x
Se a última igualdade não é tão evidente, então vejamos como obtê-la: Na equação diferencial
(n)
encontramos o valor de y , a saber,
obtemos r˙n=−a n r 1−...−a1 r n+ x .
(n)
(n)
(n−1 )
y +a 1 y +...+ an −1 ẏ+ a n y= x ,
(n−1)
y = x−a1 y −...−an−1 ẏ −a n y , e substituindo pelos valores das variáveis de estado enfim
Já vimos que a equação no espaço de estados é ṙ (t )= A r (t )+ B x (t) . Substituímos os valores acima obtidos nesta equação:
[][
r˙1
0
1
0
r˙2
0
0
1
...
...
r˙3 = ...
0
0
0
...
−a
−a
−a
r˙n
n
n−1
n− 2
[]
r1
r2
A saída y (t)=C r (t)+ D x (t) é então y=[ 1 0 0 ... 0 ] r 3
...
rn
.
... 0
... 0
... ...
... 1
... −a 1
][ ] [ ]
r1
0
r2
0
r 3 + 0 x (Eq. 3.5)
... ...
1
rn
Percebemos
[
0
1
t
que A = 0
...
0
0 0 ... 0 −an
0 0 ... 0 −a n−1
1 0 ... 0 −a n−2
... ... ... ...
...
0 0 ... 1 −a1
]
é
uma
matriz
companheira,
logo
o
polinômio
associado
é
p (t)=t n+ a1 t n−1 + a2 t n−2 +...+ a n−1 t +a n .
(n)
(n−1 )
Calculando a transformada de Laplace da equação diferencial y +a 1 y +...+ an −1 ẏ+ a n y= x supondo condições iniciais nulas,
obtemos
Y ( s ) [ s n +a 1 s n−1 +....+ a n−1 s+ a n ]= X (s)
Logo a função de transferência é
Y (s )
1
= n
n −1
X (s) s + a1 s +....+a n−1 s +a n
Vemos que o denominador da função de transferência é o polinômio visto acima, com s no lugar de t . Isso quer dizer que se
temos a função de transferência a matriz de estados pode ser determinada facilmente, e vice-versa. Como a matriz B e C são
constantes, a equação no espaço de estados pode ser determinado completamente, devendo antes ser observado se há alguma
constante multiplicando a derivada de maior ordem, pois se houver a matriz B deverá ser dividida por ela.
(n)
(n−1 )
(n)
a
a
x a (n−1)
Neste último caso se nossa equação fosse a 0 y +a 1 y + ...+a n−1 ẏ +a n y= x , então teríamos y = − 1 y −...− n−1 ẏ− n y , logo
a 0 a0
a0
a0
[][
0
r˙1
0
r˙2
...
r˙3 = 0
...
−an
r˙n
a0
1
0
...
0
−an−1
a0
0
1
...
0
−an− 2
a0
...
...
...
...
0
0
...
1
−a 1
...
a0
][ ] [ ]
0
r1
0
r2
0
r 3 + ... x
...
1
rn a
0
Exemplos
Exemplo 3.3: Encontre a matriz de estados da função de transferência
[
Y (s )
1
= 3
.
2
X (s) s + 2s + ms2 +b
0
1
0
Dada a observação anterior a matriz de estados será A= 0
0
1
−2 −m −b
estados:
[ ][
][
]
. Então podemos escrever nossa equação no espaço de
0
1
0
r˙1 (t ) =
r 1 (t) + 0 x (t )
e y (t)= [ 1 0 ] r 1 (t)
0
0
1
r 2 (t)
r˙2 (t) −2 −m −b r 2 (t) 1
][]
[ ]
.
Exemplo 3.4: Consideramos agora uma modelo simplificado de piloto automático de veículo, mostrado na imagem abaixo, onde m
é a massa do veículo, u (sinal de entrada) uma força proporcionada pelo motor do veículo, b é a força do vento/resistência do ar e
do atrito dos pneus com o solo, que consideraremos proporcional a velocidade v (sinal de saída); x é o deslocamento de veículo e
a sua aceleração. Este sistema de controle consiste em ajustar a velocidade do veículo para uma velocidade de referência pré-fixada
pelo motorista. O sistema deve então considerar a desaceleração do carro proporcionada pela resistência do ar e pelo atrito dos pneus
com o solo.
Ilustração 12: Sistema de Piloto Automático
O modelo para este sistema é
m v̇ (t)+ b v (t)=u (t) e
y=v(t)
Escrevemos este modelo no espaço de estados.
Seja r (t) nosso vetor de estados. Escrevemos r (t)=v (t) ⇒ ṙ (t)= v̇ (t)=
Então no espaço de estados temos ṙ (t)=
u (t)−b r (t )
.
m
−b
1
r (t )+ u(t) e y=r (t) .
m
m
Exemplo 3.5: Considere um sistema mecânico com uma massa m suspensa por uma mola com constante de elasticidade k .
Quando uma força vertical, com direção de cima-para-baixo é aplicada nesta massa, é oferecida resistência pelo amortecedor
posicionado abaixo, com constante de amortecimento b . A entrada do sistema x (t) , é a força aplicada na massa e a saída y (t) , o
deslocamento da massa, em relação a posição de equilíbrio.
Ilustração 13: Sistema mecânico
mola-massa-amortecedor
O modelo matemático deste sistema é dado pela equação abaixo:
m ÿ (t)+ b ẏ (t )+ k y=x (t )
O sistema é de 2ª ordem, portanto teremos duas variáveis de estado: r 1(t) , r 2 (t) . Nosso vetor de estados então será
r ( t)
r (t)= 1
.
r 2( t)
[ ]
Precisamos escrever nosso modelo matemático em função das derivadas das variáveis de estado, conforme a equação de estado
ṙ (t)= A r (t)+ B x (t) .
Definimos então as variáveis de estado:
{
}
{
}
r (t)= r 1 (t)= y( t)
r 2 (t)= ẏ (t)
Derivando, obtemos:
ṙ (t)= r˙1 (t)= ẏ( t)
r˙2 (t)= ÿ (t)
Substituindo r˙1( t)= ẏ (t) por r 2 (t)= ẏ (t ) , temos r˙1( t)=r 2 (t) . Portanto temos nosso modelo escrito em função das derivadas das
x (t )−b ẏ (t)−k y( t)
variáveis de estado, dado que nosso modelo pode assim ser escrito ÿ (t)=
:
m
ṙ (t)=
{
r˙1 (t)=r 2 (t)
x( t) b ẏ (t) k y (t)
r˙2 (t)=
−
−
m
m
m
}
Escrevemos então esta equação na forma matricial:
[ ][
0
ṙ (t)= r˙1( t) = −k
r˙2 (t)
m
][ ] [ ]
1
0
r 1 (t ) +
−b
1 x (t )
r
(t
)
2
m
m
Então extraímos os valores das matrizes A , B :
[
0
A= −k
m
1
−b
m
] []
0
e B= 1
m
O sinal de saída é y (t)=r 1 (t) , então na forma matricial temos:
[ ]
y (t)= [ 1 0 ] r 1 (t)
r 2 (t)
Logo os valores das matrizes C , D são:
C=[ 1 0 ] e D=0
Resumindo, nossas equações no espaço de estados para este sistema são:
[
0
r˙1 (t) =
−k
r˙2 (t)
m
[ ]
1
−b
m
][ ] [ ]
0
r 1 (t) +
r (t)
1 x (t) e y (t)= [ 1 0 ] 1
r 2 (t)
r 2 (t)
m
[ ]
Função de Transferência e Equações no Espaço de Estados
Para obter a função de transferência quando temos as equações no espaço de estados, basta substituirmos as matrizes na relação
abaixo:
G( s)=C (sI −A)−1 B+ D
Exemplo 3.6: Consideramos agora um sistema de controle de atitude de foguete durante o lançamento. Sistemas como estes são
conhecidos como “Pêndulo Invertido”. Na figura abaixo vemos o foguete montada sobre uma base móvel M . O foguete tende a se
deslocar para todos os lados, no entanto para simplificação do modelo, consideraremos apenas o movimento na horizontal:
direita-esquerda. Para controlarmos o posicionamento do foguete devemos mover a base móvel, alterando assim a direção para a qual
aponta o centro de massa do foguete, fazendo com que este volte a posição de equilíbrio.
O sinal de entrada x (t) é a força aplicada a base móvel; os de saída são: θ(t ) , ângulo de deslocamento do foguete e, u (t) ,
posição da base móvel.
Ilustração 14: Sistema de Controle de Atitude de Foguete
Temos então os seguintes modelos:
( M + m) ü(t )+ ml θ̈=x (t)
( I + m l 2 ) θ̈ +ml ü (t)=mlg θ(t )
Seja M =1000, m=20,l=50, g =10, I =1 os dados de um modelo específico. Agora nosso modelo é:
1020 ü(t )+ 1000 θ̈(t )=x (t)
I
50000 θ̈(t )+1000 ü(t )=10000 θ(t ) II
O vetor de estados será r (t)=[r 1 (t) r 2 (t) r 3 (t) r 4 (t)]t , onde
r 1( t )=θ (t )
r 2 (t)=θ̇ (t)
r 3(t)=u (t)
r 4 (t)= u̇(t )
Derivando as variáveis de estado obtemos
r˙1(t)=θ̇(t)
r˙2 (t)=θ̈ (t)
r˙3(t)=u̇ (t)
r˙4 (t)= ü(t )
Encontramos o valor de r˙2 (t)=θ̈ (t) na equação I : θ̈(t)=
equação II : ü (t)=
x (t ) 1020 ü(t) x( t)
−
=
−1,02 ü (t) (IA) e o valor de r˙4 (t)= ü(t ) na
1000
1000
1000
10000 θ(t ) 50000 θ̈( t)
−
=10 θ(t )−50 θ̈(t ) (IB) .
1000
1000
Substituindo ( IA) em (IB) obtemos: ü (t)=0,01 x (t)−0,02 θ (t ) . Substituindo essa expressão em (IA) obtemos
θ̈( t)=−0,0002 x (t)+0,0204 θ (t) .
Agora substituímos pelos valores das derivadas das variáveis de estado.
r˙1( t)=r 2 (t)
r˙2 (t)=−0,0002 x ( t)+0,0204 r 1( t)
r˙3(t)=r 4 (t )
r˙4 (t)=0,01 x (t)−0,02 r 1 (t)
Agora escrevemos na forma matricial:
[ ][
r˙1 (t)
0
1 0
r˙2 (t) 0,0204 0 0
=
0
0 0
r˙3 (t)
−0,02 0 0
r˙4 (t)
0
0
1
0
][ ] [ ]
r 1 (t)
0
r 2 (t) −0,0002
+
x (t)
0
r 3 (t)
0,01
r 4 (t)
[ ][ ]
r (t)
Como os sinais de saída são θ(t ) e u (t) , podemos escrever nossa equação de saída como y (t)= θ( t) = 1
u (t)
r 3 (t)
Então a equação de saída na forma matricial será
[]
r 1 (t)
r (t)
y (t)= 1 0 0 0 2
0 0 1 0 r 3 (t)
r 4 (t)
[
]
Exercícios de Fixação:
1) Obtenha as equações no espaço de estados para o sistema mecânico do Exemplo 3.1.
2) Encontre a função de transferência G(s) do sistema apresentado no Exemplo 3.5.
3) A equação no espaço de estados para um sistema de controle de altitude de aeronave é dado abaixo.
.
Ilustração 15: Sistema de Controle de Aeronave
[][
][ ] [ ]
−0,313
56,7
0 α
α̇
0,232
q̇ = −0,0139 −0,426 0 q + 0,0203 δ(t)
θ̇
0
56,7
0 θ
0
α
y=[ 0 0 1 ] q
θ
[]
Determine as matrizes A , B , C , D e o vetor de estados r (t) conforme visto nas definições anteriores.
Capítulo IV
Estabilidade
O problema da estabilidade é o mais relevante no estudo de sistemas de controle lineares. Abaixo veremos conceitos de
estabilidade para sistemas SLIT.
Do ponto de vista da BIBO(bounded input-bounded output)-estabilidade, um sistema é estável se dada uma entrada limitada em
amplitude a saída também seja limitada em amplitude, ou seja, a saída não crescerá indefinidamente.
Vejamos abaixo a resposta (saída) de dois sistemas a entrada degrau unitário.
Ilustração 16: Sistema Estável
Ilustração 17: Sistema Instável
Percebemos no gráfico da esquerda que a curva se aproxima, com o tempo, da linha tracejada, o que caracteriza um sistema estável.
Já no gráfico a direita vemos que a curva cresce indefinidamente a medida que o tempo passa.
Um sistema instável pode ser estabilizado utilizando a técnica de realimentação (sistema em malha fechada), ou ainda, se for estável
e for a malha aberta utilizar a realimentação pode causar instabilidade.
Deve ficar claro que a estabilidade de um sistema não depende do sinal de entrada, mas apenas das propriedades do sistema.
Por isso, analisaremos a estabilidade de sistema com entrada nula, ou seja,
ṙ (t)= A r (t )
Conhecendo a localização dos polos da Função de Transferência no plano complexo, podemos determinar a BIBO-estabilidade de
um sistema. Se os polos estão localizados no semiplano esquerdo, então teremos um sistema estável; se no direito teremos um
sistema instável. Se os polos se localizarem no eixo j ω então nosso sistema oscilará, o que não é requerido, portanto ao
projetarmos um sistema faremos com que os polos a malha fechada situem-se no semiplano esquerdo do plano completo.
jω
Região de
Estabilidade
σ
Desenho 4: Região de Estabilidade no Plano Complexo
Exemplos
Exemplo 4.1: Seja G( s )=
s+10
. Este sistema é estável, pois todas as raízes tem parte real negativa.
( s+ 2)( s+5)(s +4)
s−K
. As raízes do polinômio do denominador são: 2, 1+ j , 1− j . Logo o sistema é instável, pois há
s −4s 2+ 6s−4
duas raízes com parte real positiva.
Exemplo 4.2: G( s )=
3
Critério de Routh
No caso em que o polinômio do denominador seja de grau elevado, torna-se difícil obter suas raízes para determinação da
estabilidade. Um método que pode ser utilizado para determinar a estabilidade sem resolver o polinômio é o Critério de Routh,
demonstrado abaixo.
IMPORTANTE: Antes deve-se verificar se todos os coeficientes do polinômio são positivos, pois se algum for negativo então o
sistema já é instável, o que indica que haverá raiz com parte real positiva. Mas caso todos os coeficientes sejam negativos, pode-se
multiplicar por (-1), tornando-os positivos. Outro fato que deve ser observado é se todas as potências estão presentes.
Ambas essas condições são necessárias, mas não suficientes, para a estabilidade do sistema.
Ilustração 18: Critério de Routh
Este critério consiste em verificar se há mudança de sinal na primeira coluna da tabela acima, nos elementos a 0 a g 1 e se
todos são maiores que zero.
2
Exemplo 4.3: Utilizamos a função de transferência do exemplo 4.2, G( s )= 3
.
2
s +4s +5s+ 2
Montamos a tabela
3
s
1
5
0
0
s
2
4
2
s1
b1
s0
c1
0
b2
Calculamos: b 1=
a1 a2 −a 0 a 3 4∗5−2∗1 18 9
a a −a a 4∗0−0∗1
, b 2= 1 4 0 5 =
=
= =
=0
a1
4
4 2
a1
4
Montamos a tabela com os valores obtidos
s3
1
5
0
2
4
2
0
s1
9/2
0
0
c1
s
s
0
9
∗2−0∗4
b1 a3 −a1 b 2 2
9 18
Calculamos: c 1=
=
= = =2 . Substituindo na tabela temos
a1
9
9 9
2
2
s
3
1
5
0
s2
4
2
0
s
9/2
0
s0
2
1
0
Como podemos perceber não há mudança de sinal na primeira coluna, o que indica que as raízes tem parte real negativa, logo o
sistema é estável.
Exemplo 4.4: Agora vejamos como fica a tabela para um sistema instável, onde G( s )=
2s+1
.
2
s + 2s +3s +4s +5
4
3
Fazendo os cálculos devidos, a primeira coluna da tabela será:
s4
1
s3
2
s2
1
s1
-6
0
s
5
Vemos então que da 3º para a 4º linha e desta para a 5º linha há mudança de sinal, o que indica que existem duas raízes no
semiplano esquerdo do plano complexo, logo o sistema é instável.
Segundo Método de Lyapunov
A análise da estabilidade de um sistema SLIT pode ser realizada pelo Segundo Método de Liapunov.
Dado um sistema SLIT da forma ṙ (t)= A r (t ) , onde r é um vetor de estado e A uma matriz constante não-singular. Para que o
estado de equilíbrio r =0 seja estável, é necessário e suficiente que dada uma matriz Q definida positiva (ou semi-definida
positiva) hermitiana (ou real simétrica) qualquer, exista uma matriz P hermitiana (ou real simétrica) definida positiva tal que
∗
A P + PA=−Q
Podemos convenientemente escolher Q= I , onde I é a matriz identidade. Caso nossa escolha seja uma matriz Q semi-definida
√Q
positiva, então devemos ter que o posto da matriz Q ' = √Q A
deve ser n , onde n é a ordem da matriz A .
...
√Q An−1
[ ]
Exemplos
Exemplo 4.5: Dado o sistema no espaço de estados assim descrito
[ ][
][ ]
ẋ 1 = 0
1 x1
ẋ 2 −1 −1 x 2
, escolhemos Q= I 2 e P=
[
p11
p12
p12
p 22
]
, então
utilizando a relação acima temos:
A ∗ P + PA=−Q ⇒
Multiplicando as matrizes obtemos
[
][
0
1 p 11
−1 −1 p 12
][
p 12
p
+ 11
p 22
p12
][
] [ ]
p12 0
1 =− 1 0
0 1
p 22 −1 −1
−2p12=−1
p
p 11− p 12− p 22 =0 , e resolvendo em termos dos p temos que P= 11
p12
2p12−2p22=−1
[
][
p12
= 3/ 2 1/2
p 22 1/2 1
]
Falta verificar se P é definida positiva. Utilizamos o critério de Sylvester.
3
2
∣3/ 2∣= >0 ,
∣
∣
5
3/ 2 1/2
=3 /2−1/ 4= > 0 , portanto é definida positiva, logo concluímos que o sistema é estável na origem.
1/2 1
4
Exemplo 4.6: Seja o sistema assim descrito
[ ][
][ ]
ẋ 1 = 0
1 x1
−1
−2
ẋ 2
x2
. Encontre uma matriz P definida positiva, tal que,
A ∗ P + PA=−Q .
[ ]
Para este exemplo escolheremos Q= 4 0
0 0
semi-definida positiva. Antes devemos verificar se o posto de Q ' é igual a 2 .
[ ][ ]
2
0
Q '=
0
0
0 2 0
0 0 2
=
2 0 0
0 0 0
.
que tem posto 2 , logo podemos utilizá-la.
[
][
p
A ∗ P + PA=−Q ⇒ 0 −1 11
1 −2 p12
[
que nos leva a
−2p12
p11−2p12− p22
[ ]
p 11=5, p12=2, p 22=1 , e P= 5 2
2 1
][
p12
p
+ 11
p22
p12
][
] [ ]
p12 0
1 =− 4 0
0 0
p 22 −1 −2
][ ]
p11 −2p12− p 22 −4 0
=
0 0
2p12 −4p22
é definida positiva, pois ∣5∣> 0 e
∣ ∣
5 2 =1>0 . Então o sistema é estável na
2 1
origem x=0 .
Exercícios de Fixação
1) Determine se o sistema
[ ][
][ ]
ẋ 1 = −2 −1− j x 1
−3
ẋ 2 −1+ j
x2
[
]
[
−1− j ⇒ A∗ = −2
−1+ j
é estável na origem. Dica: A= −2
−1+ j
−3
−1− j
−3
[ ]
2) Verifique a estabilidade do sistema do exemplo 4.6 utilizando Q= 1 0
0 1
]
.
3) Dado o sistema descrito pelas equações abaixo, determinar a equação no espaço de estados e a estabilidade do sistema na
origem.
x˙1=−x 1−2x2 + 2
ẋ 2=x 1−4x 2−1
4) Determinar se a forma quadrática q ( x 1, x 2, x 3 )=x 21 + 4x 22+ x 23 +2x 1 x 2−6x 2 x 3−2x 1 x 3 é definida positiva.
5) Determine a faixa de valores de K dada a função de transferência G(s )=
K
para que o sistema a malha
s ( s + s+1)( s +2)+ K
2
fechada seja estável.
6) Dado um sistema com retroação unitária descrito pela função de transferência G(s )=
estável?
10
. Diga se este sistema é
s (s−1)(2s +3)
Referências Bibliográficas
[1] Katsuhiko Ogata. Engenharia de Controle Moderno. 3ª Edição, LTC Editora.
[2] B. P. Lathi. Sinais e Sistemas Lineares. 2ª Edição, Editora Bookman.