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4~ Lista de Exercicios - MA-141 - 20/04/06
VETORES
NO PLANO E NO ESPAQO
1. Determine a extremidade au a origem do segmento orientado nos seguintes casos:
a) Representa 0 vetor v = (1, -2, 1) e sua origem e 0 ponto P = (1,0,1), isto , queremos urn
vetor com origem no ponto P e que tenha norma, direcao e sentido iguais ao vetor que tern
origem no ponto 0 = (0,0,0) e extremidade no ponto (1, -2,1).
b) Representa 0 vetor v = (-1,0, 1) e sua origem e 0 ponto medic entre os pontos
PI = (1,1,3) e g = (-1,1,1).
c) Representa 0 vetor v = (1,1,1) e sua extremidade
0 ponto P = (1,1,1).
-
e
2. Verifique se os pontos dados abaixo silo colineares:
a)A=(l,O,l),
B=(2,2,0)
eC=(0,-2,2)
b) A=(O,l,-l),
B=(1,2,0)
eC=(0,2,1)
3. Dados os pontos A = (1,0,1), B = (-1,1,1)
e C = (0,1,2).
a) Determine 0 ponto D tal que A,B,C e D sejam os vertices consecutivos
gramo
b) Determine a ponto media entre A e Ceo ponto medic entre BeD.
de urn paralelo-
4. Demonstre que as diagonais de urn paralelogramo se cortam ao meio (Sugestao:
MeN
os pontos medics das duas diagonais. Mostre M N = (])
Sejam
5. Demonstre que 0 segmento que une os pontos medics dos lados nao paralelos de urn
trapezio e paralelo as bases e seu comprimento e a media aritrnetica dos comprimentos das
bases.
6. a) Demonstre que nao existe x tal que os vetores v = (x, 2, 3) e u = (x, -2,3) sejam
perpendiculares.
b)Encontre 0 angulo entre os vetores u = (2,1,0) e v = (0,1, -1) e entre os vetores w =
(1,1,1) e z = (0, -2, -2).
7. a) Dado urn triangulo
(ie, e perpendicular a base).
isosceles.
Mostre que a mediana
a
relativa
b) Mostre que: Se urn triangulo tern d uas medianas iguais entao ele
base
ea
mediatriz
e isosceles.
PRODUTO VETORlAL E PRODUTO MISTO
8. a) Determine,
produto
se existir, os valores de x para que
vetorial de w = i
+ xl + 2k
por
0
vet or v = xi
u = 2i + 1 + 2k
b) Determine .'L para que os pontos A = (x, 1,2), B = (2, -2, -3),
(3, -2, -2) sejam coplanares.
9. Encontre
0
volume do paralelepipedo
determinado
cases:
1
+ 6k
seja paralelo ao
C = (5, -1, 1) e D =
pelos vetores u, v e w nos seguintes
a) Dados os pontos A = (1,3; 4); B
v = AC e w = AD = (1,3,4).
=
(3,5,3), C
=
(2,1,6) e D
=
(2,2,5) tome
1L
= AB;
b) U = ; + 3J + 2k, v = 2; + J - k e w = ; - 2J + k.
10. Sejam U e v vetores no espaco. Mostre que
a) (u+v) x (u-v) = 2v xu
b) Se u x v e nao nulo ewe um vetor qualquer no espaco entao existern numeros reais a, b
e e tal que w = a(u x v) + bu + ev.
e) Se u x v e nao nulo e u e ortogonal a v entao u x (u x v) e paralelo a v.
a)
b)
e)
d)
11. Responda, justificando, falso ou verdadeiro a cada uma das seguintes afirmacoes:
Se u, v e w sao vetores no espaco, com v nao nulo e v x u = v x w entao u = w
Seu, vewsaovetores no espaco entao: 17.L.(vxw) 1=1v.(uxw) 1=1w.(vxu) 1=1 v.(wxu)
Se u, v e w sao vetores no espaco entao u x (v x w) = (u x v) x w.
Se u, v e w sao vetores no espaco, u e nao nulo e u x v = u x w = entao v x w = O.
1
a
RETAS E PLANOS NO ESPAc;O
12. Para cada urn dos casos abaixo encontre equacoes parametricas e equacoes simetricas
para a reta r:
a) Areta r passa pelos pontos A = (1,0,1) e B = (2,3,1).
b) Areta r tem vetor diretor v = (1,1, -1) e passa pelo ponto Po = (0,1,7).
e) Areta r passa pelo ponto Po = (1, -1,1), e paralela a reta I : x-I = y = 2z;2 e ortogonal
ao eixo z .
d) Areta r e perpendicular ao plano 2x - y
retas i, e l2 dadas por:
=
X
lr:
{
+ 2z
4 e pass a pelo ponto de intersecao das
=
t
X
y=2+t
z = 1 +t
, tcIR
e
l2 :
{
= -1 + 28
y = 1+ 8
,
z=o
e) Areta rea intersecao dos planos x + y + 2z = 1 e 2x - y + z = 2.
13. Para cada par de retas r e l abaixo encontre In r. Enos casos em que a intersecao
e vazia decida se elas sao paralelas ou reversas.
a)
b)
r . x-2
.
4
.
:z:+1
2
r'
=
y+3 = z+2
-1
=
y+4
-5
e
l : { 3x
3
=
':1:
z-2
3
e
°
3:7: - y - z =
c r' {
) . 8x - 2y - 3z = -1
I ..
=
:z:-3
2
X
l :
+ 2y + z = -2
- y + 2z = 1
{
-
y+14
5
3y
= z-8
+z
3
'x-y-z=-
-3
=-3
5
14. Em cada urn dos casos abaixo encontre a equacao do plano
2
7r.
a) 0 plano
passa pelo ponto P
7r
=
=
e tern vetor normal N
(3,1,2)
(1,2, -3).
passa pelos pont os A = (0,0,2), B = (2,4,1) e C = (-2,3,3)
c) Tem-se que C = (-5,1,2)
E 7r e que 7r e perpendicular a reta que passa pelos pontos
b) 0 plano
A
=
(2,2,
7r
-4) e B = (7, -1,3).
e
+ 3y
an plano x
d) 0 plano 7r perpendicular
B = (0,2, -1).
-
Z
=
°
e) 0 plano 7r e perpendicular a cada urn dos planos x - y - 2z =
contem 0 ponto A = (4,0, -2)
15.
a) Encontre a distancia do plano
tt :
+ 2y
2x
=
7 e contem os pontos A
- z =6 e
0
e 2x
+y -
(2,0,5)
4z - 5 =
e
°
e
ponto P = (2,2, -4).
b) Encontre a distancia perpendicular
entre os planos (paralelos):
z
4x - 8y - z = 9 e 2x - 4y - "2 = 5
c) Verifique que a reta x-I
=z - 2ey
a distancia perpendicular entre eles.
=
3
e paralela
16. a) Sejam r : a reta x-I
= Y = z e A, B os pontos A
Encontre 0 ponto de r eqiiidistante de A e B.
b) Dados 0 plano x - y + z = 1 eo ponto P = (1,0,1).
a P em relacao an plano dado.
1'7. Sejam P
= (a, b, c)
7r(m,n) :
Mestre que: PEr
Encontre
urn ponto no espaco era
par, nao nulo, de mimeros reais (m, n) considere
(m
+ n)x + (m -
2n)y
se e somente se P E 7r(m,n),
0
+ 2y
ao plano x
reta
X
{
=
0
- z
(1,1,1)
ponto
=
3 e encontre
e B
Q que
=
(0,0,1).
e simetrico
+y2 + 2z = 45 . Para cada
x- y+z=
.
plano
+ (2m + n)z = 4m + 5n
para todo par nao nulo (m, n).
18. Dados os dois pontos A = (Xl, yl, Z1) e B = (X2' Y2, Z2), mostre que 0 lugar geometrico
dos pontos do espaco que eqiiidistam de A e B urn plano que passa pelo ponto medio de
A e Bee perpendicular
reta que contem A e B.
19. Considere as retas r e l dadas por:
r: x = 0, y = 2 + t e z = 1 + t
l: x - 2 = z + 1 e y = 3.
a) Mestre que r e l sao reversas.
e
a
b) Encontre os planes 7r e a tais que: r
c) Encontre
C
7r, I Cae 7r
e paralelo
a a.
a distancia entre os planes 7r e a do item anterior.
d) Encontre P em
r
e
Q em I tais que a reta que passa por P e Q seja perpendicular
are
al.
20. Considere os planos a : .J;
-
y
+z
- 3=
°
e fJ : 2m2x - (m
+ l)y + 2z
a) Determine m, em cada caso, para que as planos a e fJ sejam: paralelos;
concorrentes ortogonais.
b) Para m
=
-1 encontre a equacao da reta intersecao
3
entre a e fJ·
= 0.
concorrentes
e
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M +
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(-1/ J. J 3) .
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