Plano de estudo
Introdução
Seção transversal circular cheia
Seção transversal circular vazada
Resistência dos materiais 1
Prof. Dr. Iêdo Alves de Souza
Assunto: torção em barras de seção transversal circular
DECE: UEMA & DCC: IFMA
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Seção transversal circular cheia
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Seção transversal circular vazada
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Convenção de sinal e classificação da estrutura
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Cálculo da reação TA : equação de equilı́brio
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Cálculo da reação TA : esforços solicitantes
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Cálculo da reação TA : esforços solicitantes
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Efeitos causados pelo momento torçor
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Efeitos causados pelo momento torçor
Uma seção transversal gira em relação a outra
Aparecem tensões de cisalhamento variando de forma linear
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Efeitos causados pelo momento torçor
Uma seção transversal gira em relação a outra
Aparecem tensões de cisalhamento variando de forma linear
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Efeitos causados pelo momento torçor
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Efeitos causados pelo momento torçor
τl .dxdr .dt = τ.dtdr .dx =⇒ τl = τ
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τl .dxdr .dt = τ.dtdr .dx =⇒ τl = τ
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Teorema de Cauchy e segurança contra a ruptura
Em planos perpendiculares, as tensões de cisalhamento são iguais
entre si, e convergem ou divergem de uma mesma aresta.
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Teorema de Cauchy e segurança contra a ruptura
Em planos perpendiculares, as tensões de cisalhamento são iguais
entre si, e convergem ou divergem de uma mesma aresta.
bb 0 = dφ D2 = γdx
b1 b10 = dφr = γr dx
dφ. D2
dφ.r
2r
Dγ
=
γdx
γr dx
τ = Gγ
G=
γr =
E
2(1+ν)
p/γ = r
τr = G γr
γr =
Nota: ν = coeficiente de Poisson
τr =
2r
D τ,
fazendo o raio igual a
D
2
τr
G
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Teorema de Cauchy e segurança contra a ruptura
Em planos perpendiculares, as tensões de cisalhamento são iguais
entre si, e convergem ou divergem de uma mesma aresta.
bb 0 = dφ D2 = γdx
b1 b10 = dφr = γr dx
dφ. D2
dφ.r
2r
Dγ
=
γdx
γr dx
τ = Gγ
G=
γr =
E
2(1+ν)
p/γ = r
τr = G γr
γr =
Nota: ν = coeficiente de Poisson
τr =
2r
D τ,
fazendo o raio igual a
D
2
τ ≤ τ̄ =
τr
Cs
τr
G
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tensão de cisalhamento
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tensão de cisalhamento
Mt =
R
Mt =
πτ D 3
16
A τr dA.r =⇒ Mt =
∴τ =
16Mt
πD 3
R
D
2
0
2r
D τ.2πrdr .r
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tensão de cisalhamento
Mt =
R
Mt =
πτ D 3
16
A τr dA.r =⇒ Mt =
∴τ =
16Mt
πD 3
R
D
2
0
2r
D τ.2πrdr .r
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Deslocamento
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Deslocamento
Giro de uma seção genérica x:
Rx
R x 2 16Mt
. πD 3 dx = 32
ϕ(x) = 0 GD
π 0
ϕ(x) =
Mt x
GIt
R ϕ(x)
Rx 2
dϕ = 0 GD
.τ dx
0
Mt
32Mt x
dx = πGD 4
GD 4
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Deslocamento
Giro de uma seção genérica x:
Rx
R x 2 16Mt
. πD 3 dx = 32
ϕ(x) = 0 GD
π 0
ϕ(x) =
Mt x
GIt
R ϕ(x)
Rx 2
dϕ = 0 GD
.τ dx
0
Mt
32Mt x
dx = πGD 4
GD 4
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Tubo de parede grossa: tensão cisalhante
Considera-se tubo de parede grossa quando e >
d
20
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Tubo de parede grossa: tensão cisalhante
Considera-se tubo de parede grossa quando e >
d
20
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Tubo de parede grossa: deslocamento angular
R ϕ(x)
0
dϕ =
Rx
16Mt D
2
0 GD . π(D 4 −d 4 ) dx
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Tubo de parede grossa: deslocamento angular
R ϕ(x)
0
dϕ =
Rx
16Mt D
2
0 GD . π(D 4 −d 4 ) dx
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Tubo de parede grossa: deslocamento angular
R ϕ(x)
0
dϕ =
ϕ(x) =
Rx
16Mt D
2
0 GD . π(D 4 −d 4 ) dx
32Mt x
πG (D 4 −d 4 )
=
Mt x
GIt
=⇒ It =
π(D 4 −d 4 )
32
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Tubo de parede fina: tensão de cisalhamento
Considera-se tubo de parede fina quando e ≤
d
20
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Tubo de parede fina: deslocamento angular
R ϕ(x)
0
dϕ =
Rx
2
0 GD .τ dx
=
Rx
2Mt
2
0 GD . πdm 2 e dx
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Tubo de parede fina: deslocamento angular
R ϕ(x)
0
dϕ =
ϕ(x) =
Rx
2
0 GD .τ dx
4Mt x
πG dm 3 e
=
Mt x
GIt
=
Rx
2Mt
2
0 GD . πdm 2 e dx
=⇒ It =
πdm 3 e
4
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Exemplo-01
1
Resp.: φA = 5, 19◦
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Exemplo-01
Dois eixos maciços de aço (G = 77 GPa) são conectados pelas
engrenagens mostradas (Figura abaixo). Determinar o ângulo de
torção da extremidade A, quando nesse ponto um torque T de 340
N.m é aplicado1 .
1
Resp.: φA = 5, 19◦
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Exemplo-02
2
Resp.: τI = 0, 33 cmt 2 ; τII = 0, 32 cmt 2 ; τIII = 0, 38 cmt 2 ; φI =
8, 15(10)−3 rad; φII = 2, 18(10)−3 rad; φIII = 8, 47(10)−3 rad .
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Exemplo-02
No eixo mostrado abaixo, calcule τmáx indicando onde ocorre. Sendo
G= 800 cmt 2 , calcule os giros que o eixo sofre nas seções I, II e III 2 .
2
Resp.: τI = 0, 33 cmt 2 ; τII = 0, 32 cmt 2 ; τIII = 0, 38 cmt 2 ; φI =
8, 15(10)−3 rad; φII = 2, 18(10)−3 rad; φIII = 8, 47(10)−3 rad .
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Exemplo-03
3
Resp.: T= 4,12 kN.m
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Exemplo-03
As extremidades A e D de dois eixos maciços de aço, AB e CD,
estão engastadas. As extremidades B e C são conectadas por
engrenagens, como indicado. Sabendo-se que a tensão de
cisalhamento admissı́vel é 50 MPa para cada eixo, determinar o
maior torque T que pode ser aplicado na engrenagem B3 .
3
Resp.: T= 4,12 kN.m
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Exemplo-04
4
Resp.: (a)MA = 9,68 kN.m; MC = 2,82 kN.m;(b) τAB = 29, 7MPa (c)
τBC = 34, 1MPa
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Exemplo-04
Os cilindros maciços AB e BC estão unidos em B e engastados em
A e C. Sabendo-se que AB é de alumı́nio (Gal =26 GPa) e BC é de
latão (Gl =39 GPa), determinar para o carregamento mostrado: (a)
a reação em cada extremidade fixa; (b) a máxima tensão cisalhante
em AB; (c) a máxima tensão cisalhante em BC4 .
4
Resp.: (a)MA = 9,68 kN.m; MC = 2,82 kN.m;(b) τAB = 29, 7MPa (c)
τBC = 34, 1MPa
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Exemplo-05
5
Resp.: (a)17,47 MPa; (b)27,6 MPa; (c) 2,05
◦
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Exemplo-05
O eixo composto mostrado consiste em uma camisa de latão (Gl =39
GPa) com 5,5 mm de espessura, colado a um núcleo de aço (Ga =77
GPa) com diâmetro de 40 mm. Sabendo-se que o eixo é submetido
a um torque de 600 N.m, determinar: (a) a máxima tensão
cisalhante na camisa de latão; (b) a máxima tensão cisalhante no
núcleo de aço; (c) o ângulo de torção de B, relativo a A5 .
5
Resp.: (a)17,47 MPa; (b)27,6 MPa; (c) 2,05
◦
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Exemplo-06
6
Resp.: T̄ = 12, 566 t.cm
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Exemplo-06
Calcular o momento torçor T admissı́vel para a Figura abaixo.
Dados: E = 2.100 cmt 2 ; G = 700 cmt 2 ; σ̄ = 1, 2 cmt 2 ; τ̄ = 0, 8 cmt 2 . As
barras AB e CD têm 1 centı́metro de diâmetro e 1 metro de
comprimento 6 .
6
Resp.: T̄ = 12, 566 t.cm
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Exemplo-07
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Exemplo-07
Sendo G = 800 kN/cm2 , calcular qual deve ser o o coeficiente de
mola k (kN/cm2 ), indicado na Figura abaixo, para que o giro da
barra rı́gida seja 0,01 radiano.
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BEER, F.P. et al. Resistência dos materiais. Ed. McGraw-Hill.
DI BLASI, C.G. Resistência dos materiais. Liv. Freitas Bastos.
HIGDON, A. et al. Mecânica dos materiais. Ed. Guanabara
Dois.
LANGENDONCK, T. et al. Resist. dos materiais. Ed. da USP.
NASH, W.A. Resistência dos materiais. Ed. McGraw-Hill.
RACHID, M. et al. Exercı́cios de resistência dos materiais. Ed.
da UFSCar.
SCHIEL, F. Introdução à Resistência de materiais. Ed.
HARBRA.
SHAMES, I.H. Introdução à mecânica dos sólidos. Ed.
Prentice-Hall.
TIMOSHENKO, S.P. e GERE, J.E. Mecânica dos sólidos.
Livros Técnicos e Cientı́ficos Ed..