Mecânica dos Materiais
Revisão de conceitos da Estática
Tensões normais e de corte
Estado de tensão uniaxial
Noção de tensão admissivel
Tradução e adaptação: Victor Franco Correia
versão: 1/2013
Referências: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill
Mechanics of Materials, Hibbeler, Pearsons Education.
Revisão de conceitos da Estática
Revisão de conceitos da Estática
Força normal
máxima
Tensão normal
Revisão de conceitos da Estática
m = 80 Kg
Revisão de conceitos da Estática
Forças normais nos tirantes
Tensão normal média
Revisão de conceitos da Estática
Revisão – apoios/ligações e respectivas reacções
Revisão de conceitos da Estática
Revisão de conceitos da Estática
Forças de corte nos pinos
Revisão de conceitos da Estática
• Considere-se a estrutura
representada, que terá sido
projectada para suportar uma
carga de 30 kN
• Vamos efectuar uma análise estática para determinar as forças internas em
cada um dos elementos estruturais e as forças de reacção nos apoios
Diagrama de Corpo Livre da estrutura
• A estrutura é retirada dos seus apoios e as
correspondentes forças de reacção têm de
ser consideradas
• Condições para o equilibrio estático:
∑ M C = 0 = Ax (0.6 m ) − (30 kN )(0.8 m )
Ax = 40 kN
∑ Fx = 0 =Ax + C x
C x = − Ax = −40 kN
∑ Fy = 0 = Ay + C y − 30 kN = 0
Ay + C y = 30 kN
• Ay e Cy não podem ser determinadas a
partir destas equações (estrutura
estaticamente indeterminada)
Diagramas de Corpo Livre dos componentes
• Adicionalmente, cada componente da
estrutura deve satisfazer as condições para
equilibrio estático
• Considere-se o diagrama de corpo-livre da
viga horizontal:
∑ M B = 0 = − Ay (0.8 m )
Ay = 0
substituindo na equação de equilibrio da
estrutura, temos:
C y = 30 kN
• Resultando:
A = 40 kN → C x = 40 kN ← C y = 30 kN ↑
• A viga horizontal e o tirante inclinado estão
sujeitos a esforços axiais de
tracção/compressão
• Para equilibrio, as forças axiais têm
necessariamente de ter a mesma linha de acção,
a mesma intensidade e direcções opostas
• Os nós, ou pontos de ligação, têm de satisfazer
as condições de equilibrio estático, que podem
ser expressos sob a forma de um triângulo de
r
forças:
F
∑ B =0
FAB FBC 30 kN
=
=
4
5
3
FAB = 40 kN
FBC = 50 kN
Introdução à Análise de Tensões
Será que a estrutura pode suportar em
segurança a carga de 30 kN ?
• Da análise estática temos:
FAB = 40 kN (compressão)
FBC = 50 kN (tracção)
• Em qualquer secção da barra BC, a força
interna é 50 kN e tem-se uma tensão normal
média:
dBC = 20 mm
P
50 × 103 N
σ BC = =
= 159 MPa
6
2
A 314 ×10 m
• Se a barra BC for construída em aço esta
tensão poderá ser inferior a uma determinada
tensão admissível σ adm
para esse material e, assim, poder-se-á
concluir que a barra BC é adequada para
suportar em segurança a carga aplicada
Cont.
• O projecto de novas estruturas requer a
selecção dos materiais apropriados e o
cálculo das dimensões adequadas para os
componentes
• Imagine-se que por compromisso entre preço,
peso, disponibilidade de materiais, etc. se
decide construir a estrutura numa liga de
alumínio para a qual: σadm= 100 MPa.
• Qual seria a o diâmetro adequado da barra?
F
σadm =
A
d2
A=π
4
A=
(
F
σadm
=
50 ×103 N
100×106 Pa
= 500×10−6 m 2
)
4A
4 500×10−6 m 2
d=
=
= 2.52 ×10−2 m = 25.2 mm
π
π
• Neste caso, um diâmetro de 26 mm seria
adequado.
Esforços Axiais: Tensões Normais
• A resultante das forças internas para um elemento
sujeito a força axial é normal à secção transversal
• A tensão normal nessa secção é definida como:
∆F
∆A→0 ∆A
σ = lim
σmed =
P
A
• A tensão normal num ponto específico, pode não
ser igual à tensão média, mas a resultante da
distribuíção de tensões tem de satisfazer:
P = σ med A = ∫ dF = ∫ σ dA
A
• A exacta distribuíção de tensões na secção, é
estaticamente indeterminada, i.e., não pode ser
obtida unicamente através das equações de
equilibrio estático.
Carregamentos centrados e descentrados
• Uma distribuição uniforme de tensões numa
secção transversal pressupõe que a linha de
acção da resultante das forças internas passa
pelo centróide da secção
• Uma distribuição uniforme de tensões só é
possível se as cargas concentradas nas
extremidades das barras forem aplicadas nos
centróides da secção transversal – o que se
designa por carregamento centrado
• Se uma barra for sujeita a um carregamento
descentrado, então a resultante da distribuíção
de tensões na secção transversal resulta numa
força axial e num momento.
• A distribuíção de tensões em componentes
com carregamento descentrado não pode ser
uniforme nem simétrica
Tensões de Corte
• As forças P e P’ estão aplicadas
transversalmente ao componente AB.
• As correspondentes forças internas actuam no
plano da secção C - forças de corte.
• A correspondente Tensão de Corte média é:
τ med =
P
A
• A distribuíção das tensões de corte ao longo da
secção variam de zero nas superfícies exteriores
até valores máximos, que podem exceder a
Tensão de Corte média
• A distribuíção das tensões de corte na secção não se
pode assumir uniforme
Exemplos de solicitações por tensões de corte
Corte simples
τ med =
P F
=
A A
Corte duplo
τ med
P F
= =
A 2A
Exemplos - tensões de corte
Pressão específica em ligações
• No caso de ligações
aparafusadas, rebitadas e
através de pinos surgem
tensões nas superfícies de
contacto
• A resultante da distribuíção de
pressões na superfície é igual e
oposta à força exercida no pino
• A correspondente pressão
específica ou tensão de
contacto é:
σb =
P P
=
A td
Análise de tensões - exemplo
VISTA SUPERIOR DO TIRANTE BC
• Pretende-se calcular as
tensões no tirante e na viga
horizontal que compõem a
estrutura
• Da análise estática:
FAB = 40 kN (compressão)
FBC = 50 kN (tracção)
• É necessário considerar a
tensão normal máxima em
AB e BC, e a tensão de
corte a pressão específica
de contacto em cada ligação
com pinos
VISTA SUPERIOR DA VIGA AB
Tensões normais no tirante BC e na viga AB
• O tirante está sujeito a tracção axial (50 kN)
• No centróide da secção circular (A = 314x10-6m2), a
tensão normal média é: σBC = +159 MPa
• Nas extremidades planas do tirante, a menor área da
secção transversal ocorre no linha de eixo do pino,
A = (20 mm )(40 mm − 25 mm ) = 300 × 10−6 m 2
σ BC ,extrem
P
50 × 103 N
= =
= 167 MPa
−6
2
A 300 × 10 m
• Obviamente, não estamos aqui a considerar quaisquer
efeitos de concentração de tensões, que serão
abordados mais adiante.
• A viga horizontal está em compressão axial (40 kN)
e a tensão média é:
−40000 N
σ AB =
30 × 50 mm
2
= −26.7 MPa
Tensões de corte nos pinos
• Área da secção transversal dos pinos em
A, B, e C :
2
 25 mm 
−6 2
A = πr = π
 = 491×10 m
 2 
2
• A força exercida no pino em C é igual à
força no tirante BC,
τC ,med
P
50 × 103 N
= =
= 102 MPa
A 491 × 10−6 m 2
• O pino em A está sujeito a corte duplo
com uma força igual à força em AB,
τ A,med =
P
20 kN
=
= 40.7 MPa
−6
2
A 491 × 10 m
Tensões de corte nos pinos – cont.
50 kN
30 kN
• Pino B: secção mais solicitada em corte
PE = 15 kN
PG = 25 kN (máximo)
• Correspondente tensão de corte média na
secção mais solicitada:
= 25 kN
τ B ,med =
PG
25 kN
=
= 50.9 MPa
−6
2
A 491 × 10 m
pormenor da secção G do pino B
= 50 kN
= 25 kN
Pressões específicas de contacto nos pinos
• Para calcular as pressões específicas de contacto no
pino A, na viga AB, temos t = 30 mm e d = 25 mm,
σb =
P
40 kN
=
= 53.3 MPa
td (30 mm )(25 mm )
• Para calcular as pressões específicas de contacto no
pino A, no suporte, temos t = 2 (25 mm) = 50 mm e
d = 25 mm,
σb =
P
40 kN
=
= 32.0 MPa
td (50 mm )(25 mm )
Exemplo
Calcular:
Tensões normais nos tirantes
Tensão de corte no pino
Pressões específicas de contacto
nos componentes da ligação.
Estados de tensão uniaxiais
Tracção/Compressão
Corte
Factor ou coeficiente de segurança
Os componentes de máquinas e
estruturas são projectados por
forma que as tensões de serviço
sejam sempre inferiores à tensão
limite de elasticidade do material,
afectada de um determinado
factor ou coeficiente de
segurança, ie inferiores a uma
determinada tensão admissível:
ns = Factor de segurança
ns =
σe0,2
σadm
=
Tensão Limite de elasticidade
Tensão admissível
σ max ≤ σadm
τ max ≤ τadm
O coeficiente de segurança
pretende ter em consideração os
seguintes factores, entre outros:
• Incerteza nas propriedades dos
materiais
• Incerteza nas forças aplicadas
• Incerteza da análise de tensões
• Numero de ciclos de carga
• Tipos de ruptura (dúctil, frágil)
• Requisitos de manutenção e efeitos de
deterioração de propriedades
• Importancia da integridade da estrutura
ou componente
• Riscos de vida humana
• Influencia na função da máquina
• etc.
Propriedades mecânicas obtidas através do ensaio de tracção uniaxial
σr
σe 0.2
σ e 0 .2
σr
Normalização de propriedades materiais
Exercício
Considere-se o sistema representado na
figura:
a) Sabendo que o tirante AB é fabricado
em aço com uma tensão limite de
elasticidade de 600 MPa, calcular o
diâmetro do mesmo por forma que o
coeficiente de segurança em relação
ao limite elástico seja igual a 2.
b) Calcular a tensão de corte média no
pino C, fabricado no mesmo aço, se o
diâmetro do pino for de 20 mm.
Qual o factor de segurança em
relação ao limite elástico, utilizando
a relação seguinte:
τ adm =
3
⋅ σ adm = 0.5774 ⋅ σ adm
3
c) Calcular a espessura mínima t dos
suportes em C, sabendo que a
pressão específica admissível para o
aço utilizado é de 300 MPa.
Notas – equações da estática para cálculo de
esforços internos
Exemplo - cont.
Equilíbrio global:
Exemplo - cont.
Equilíbrio parcial de um troço AC
para determinação de esforços internos:
Exemplo
500 Kg