Capı́tulo 7
Mecânica de fluidos. Fluidos perfeitos
A designação de fluidos abrange todos os lı́quidos e gases. Estes têm algumas propriedades
distintas excepto em regiões crı́ticas. Assim um lı́quido ocupa um volume definido e apresenta
uma superfı́cie livre. Ao contrário um gás ocupa sempre completamente o recipiente onde é
introduzido e não têm superfı́cie livre. Daqui resulta que um lı́quido tem uma densidade definida
a uma dada temperatura, o que não acontece com um gás. Estes efeitos têm a sua origem na
estrutura microscópica. Nos lı́quidos as moléculas estão ligadas por forças intermoleculares
enquanto que num gás as moléculas estão praticamente livres. Assim é evidente que um lı́quido
é fracamente compressı́vel o que não acontece com os gases. Esta propriedade permite uma
importante divisão no estudo dos fluidos, isto é, fluidos incompressı́veis e compressı́veis.
O estudo dos fluidos pode ainda ser subdividido: fluidos em equilı́brio e em movimento. Para
um fluido em repouso a interacção entre dois elementos contı́guos do fluido é normal à superfı́cie comum, pois se isto não se verificasse, isto é, se existisse uma componente tangencial
as moléculas deslizariam o que contrariava a hipótese de equilı́brio. Todavia essa componente
tangencial pode existir em fluidos em movimento. Assim um fluido em movimento pode exibir
essa componente sobre a superfı́cie com a qual está em contacto; um tal fluido diz-se viscoso.
Um fluido não viscoso ou perfeito pode ser definido como um meio contı́nuo que não exibe
reacção tangencial com qualquer superfı́cie com a qual está em contacto. Todos os fluidos possuem um certo grau de viscosidade mas, em alguns casos, ela é pequena e pode ser desprezada,
considerando o fluido como não viscoso. Problemas ligados a fluidos perfeitos são de mais fácil
estudo que os outros. Estudaremos aqui alguns aspectos ligados a fluidos ideais com algum
pormenor, terminando o curso com uma breve referência a fluidos viscosos.
Antes de passar ao estudo de fluidos ideais vamos referir que também em mecânica de fluidos
os fenómenos estudados têm um caracter macroscópico sendo o fluido olhado como um meio
contı́nuo e homogéneo, isto é, não existem lacunas nele. Isto significa que cada pequeno elemento
de volume é tal que contém um elevado número de moléculas. Assim qualquer elemento de
volume infinitesimal é um elemento pequeno em relação ao corpo mas grande em relação às
distâncias entre as moléculas. É também neste sentido que entendemos partı́cula do fluido e
ponto do fluido. Assim quando se fala de deslocamento duma partı́cula do fluido, tem-se em
vista não o deslocamento duma molécula isolada, mas o de um elemento de volume contendo
um grande número de moléculas.
61
7.1
A Hidrostática
A hidrostática estuda os fluidos em repouso.
Vamos começar por considerar o problema das tensões
que se exercem num meio contı́nuo. A força df exercida pelas moléculas será proporcional à extensão da
superfı́cie dS e perpendicular à superfı́cie. Teremos
df = −p n̂ dS,
(7.1)
dS
n̂
onde df é a resultante das forças que as moléculas d f
do lado de fora, para o qual aponta o vector n̂, normal à superfı́cie, exercem sobre as moléculas do lado
oposto, e p uma constante de proporcionalidade que
designaremos por pressão. Esta equação é aplicável a fluidos em repouso ou a fluidos ideais
em movimento, nos quais não existem forças tangenciais.
Da maneira como definimos a pressão somos levados a concluir que ela pode variar de ponto
para ponto, e como se pode considerar uma infinidade de orientações da superfı́cie, em torno
do ponto P , a grandeza fı́sica p dependeria ainda dessa orientação que podemos caracterizar
pelo vector n̂. Isto é,
p = p(P, n̂).
(7.2)
Verifica-se, no entanto, que p não depende de n̂. Assim, num dado ponto do fluido em equilı́brio,
a pressão tem o mesmo valor em todas as direcções, sendo, por isso, uma quantidade escalar.
De facto, dado que
df = t(n̂)dS,
(7.3)
comparando esta equação com a eq. (7.1) vem
t(n̂) = −p(n̂)n̂.
(7.4)
Como a tensão é função linear das componentes da normal n̂, p(n̂) terá os mesmos valores para
todos os n̂.
Assim,
t(n̂) = − p n̂,
(7.5)
onde p pode, como já vimos, variar de ponto para ponto. Multiplicando esta equação escalarmente por êi
t(n̂) · êi = −pn̂ · êi
e comparando com (??) obtemos
X
tij nj = −p ni ⇒ tij = −p δij .
(7.6)
j
Assim para um fluido em equilı́brio


−p 0
0
t =  0 −p 0  .
0
0 −p
62
(7.7)
Como já vimos a condição de equilı́brio pode escrever-se na forma
X ∂tij
+ ρgi = 0,
∂x
j
j
(7.8)
ou seja
−
X ∂
(pδij ) + ρgi = 0
∂x
j
j
X ∂p
−
δij + ρgi = 0
∂xj
j
−
∂p
+ ρgi = 0.
∂xi
(7.9)
Vectorialmente a equação anterior pode ser escrita como
−∇p + ρg = 0,
(7.10)
∇p = ρg.
(7.11)
Esta equação descreve o equilı́brio mecânico do fluido. Na ausência de forças exteriores, a
equação de equilı́brio reduz-se a ∇p = 0, quer dizer p = cte, a pressão é a mesma em todos os
pontos do fluido.
Suponhamos que um fluido não se encontra somente em equilı́brio mecânico, mas também em
equilı́brio térmico. Usando a relação da termodinâmica
dφ = −sdT + V dp,
(7.12)
sendo φ o potencial termodinâmico referido à unidade de massa do fluido e s a entropia por
unidade de massa. A temperatura constante
1
dφ = V dp = dp.
ρ
(7.13)
Da identidade dφ = ∇φ · dr e dp = ∇p · dr, temos
∇φ =
∇p
.
ρ
Assim a equação (7.11) toma a forma
∇p
= ∇φ = g.
ρ
(7.14)
g = −∇(gz),
(7.15)
∇(φ + gz) = 0.
(7.16)
φ + g z = cte,
(7.17)
Substituindo
na última equação, temos
Concluı́mos então que
sendo g z a energia potencial da unidade de massa do fluido no campo da força gravı́tica. Esta
condição é conhecida em fı́sica estatı́stica como condição de equilı́brio termodinâmico dum
sistema colocado num campo externo.
63
7.2
7.2.1
Fluidos incompressı́veis
Pressão em diferentes pontos de um fluido
A equação (7.11) é fácil de integrar se a densidade do fluido puder ser considerada como
constante em todo o seu volume, quer dizer, se não há compressão significativa do fluido sob
o efeito do campo exterior. Dirigindo o eixo dos z (referencial de inércia) verticalmente para
cima tem-se
∂p
∂p
∂p
=
= 0,
= −ρg.
(7.18)
∂x
∂y
∂z
Donde
p = −ρ g z + cte.
(7.19)
Se o fluido em repouso, tem a superfı́cie livre à altura h, na qual existe uma pressão exterior
p0 , a mesma para todos os pontos, esta superfı́cie deve ser um plano horizontal z = h. Da
condição p = p0 para z = h deduz-se
p0 = −ρgh + cte donde cte = p0 + ρgh
(7.20)
p = p0 + ρ g (h − z).
(7.21)
de tal modo que
Situações bem conhecidas como, por exemplo, o ”princı́pio”dos vasos comunicantes onde a
pressão é a mesma em todos os pontos situados à mesma profundidade em todos os ramos
que comunicam entre si, ou o princı́pio de Arquimedes cujo enunciado é: um corpo total
ou parcialmente imerso num fluido fica sujeito, da parte deste, a uma força vertical (força de
impulsão), dirigida de baixo para cima, igual ao peso do volume de lı́quido deslocado, facilmente
se compreendem à luz da eq. (7.21).
7.2.2
Superfı́cie livre de um lı́quido incompressı́vel em rotação
Vamos considerar nesta secção um lı́quido incompressı́vel contido num recipiente que roda com
velocidade angular ω, em torno do seu eixo, como mostra a figura. O lı́quido roda juntamente
com o recipiente, mantendo-se, relativamente a ele, em equilı́brio. A análise desta situação
fı́sica e, em particular, o estudo da forma da superfı́cie livre do lı́quido podem ser feitos a
partir da condição de equilı́brio em relação a um referencial acelerado (não inercial), neste
caso o próprio recipiente. Nesta situação, a condição de equilı́brio (7.10) deve incluir as forças
inerciais para além das forças newtonianas já consideradas e que são a força gravitacional e as
forças superficiais (de pressão). A expressão geral das forças inerciais é da forma F ∗ = −m a,
em que m é a massa do objecto cujo movimento está a ser analisado e a é a aceleração do
referencial. Neste caso concreto, a = −ω 2 rr̂ e a força inercial F∗ = mω 2 rr̂ tem a designação
de força centrı́fuga apontando para fora do eixo.
Atendendo a que as dimensões das parcelas que entram na condição de equilı́brio são de forças
por unidade de volume, a condição de equilı́brio relativo a um referencial de inércia toma a
forma
−∇p + ρ g + ρ ω 2 rr̂ = 0.
64
(7.22)
A condição de equilı́brio pode também ser reescrita em função de potenciais como já foi feito
ao escrever (7.16), tendo em conta que
2 2
ˆ ω 2 r2
d
ω r
2
r = g z k̂, e ω r r̂ = f racddr
,
r=∇
dz
2
2
permitindo obter
∇(
1
p
+ g z − ρ r 2 ω 2 ) = 0,
ρ
2
(7.23)
que implica
êz
1 2 2
ρ r ω ) = constante.
(7.24)
2
Os valores das diferentes grandezas fı́sicas definidas
para o ponto B (ver figura) sobre a superfı́cie livre
permitem determinar a constante do segundo membro
da equação anterior, conduzindo a
p + ρ(gz −
êr
B
p − p0 = ρ g (z0 − z + r 2 ω 2 /2g).
z0
(7.25)
Para a superfı́cie livre, p = p0 , reduzindo-se esta equação
a
z − z0 = r 2 ω 2 /2g,
(7.26)
que representa um paraboloide de revolução. Estas
equações mostram que a forma da superfı́cie livre deω
pende da velocidade angular ω e que todos os pontos
a igual profundidade relativamente à superfı́cie livre se encontram à mesma pressão.
7.3
7.3.1
Fluidos compressı́veis
Superfı́cie livre de um lı́quido compressı́vel em rotação
Para grandes massas de fluido a densidade ρ não será, em geral, constante. Isto acontece
principalmente com os gases como já referimos, em que a densidade varia com a pressão. Para
um gás ideal a relação entre estas grandezas fı́sicas constitui a equação de estado
p V = n R T,
(7.27)
ou
p = ρ R T /M
com
ρ = n M/V,
(7.28)
onde R é uma constante universal dos gás, n é o número de moles e M é a massa molar..
A temperatura constante (estado isotérmico) a eq. (7.28) pode ser escrita na forma p = c ρ,
onde c é uma constante. Assim, o potencial termodinâmico toma a forma (ver eq. (7.13))
Z
dp
RT
,
(7.29)
φ =
M
p
ou seja,
65
A
B
C
z
z=0
r
ω
RT
lnp.
(7.30)
M
Considerando um problema análogo ao tratado na secção anterior, e admitindo que a temperatura T é constante, obtemos, usando a condição de equilı́brio,
φ =
ln p +
1
M
( g z − r 2 ω 2 ) = constante.
RT
2
(7.31)
Uma vez que para z = 0 e r = 0 a pressão é p = p0 , a constante de integração da equação
anterior é ln p0 , permitindo escrever
M
1
( − g z + r 2 ω 2 )].
(7.32)
RT
2
Assim as superfı́cies a pressão constante são paraboloides, sendo estes definidos, por exemplo,
por
1
(7.33)
− g z + r 2 ω 2 = 0,
2
para o caso em que p = p0
Os paraboloides com p < p0 , p = p0 e p > p0 estão, respectivamente, acima (curva A) e abaixo
(curva C) do paraboloide de referência (7.33) (curva B) como se mostra na figura. Vamos
apresentar de seguida algumas aplicações da eq. (7.32).
p = p0 exp [
(i) Princı́pio da centrifugação:
Desprezando o efeito da gravidade (g = 0), a eq. (7.32) reduz-se a
M
) r 2 ω 2 ],
(7.34)
2RT
mostrando que para r = 0 temos p = p0 . Por outro lado, para valores definidos de r e
ω, a pressão depende da massa molecular M . Isto significa se tivermos uma mistura de
p = p0 exp [(
66
dois fluidos compressı́veis com massas moleculares M1 e M2 diferentes, podemos obter, a
partir da eq. (7.34), pressões parciais da forma
Mi
) r 2 ω 2 ],
i = 1, 2
(7.35)
2RT
onde p01 e p02 são as pressões parciais dos gases para r = 0. A pressão total é obtida
através da soma, p = p1 + p2 . Da equação anterior conclui-se que, à medida que r
aumenta, a pressão sobre o componente de maior massa aumenta mais que a pressão sobre
o componente de menor massa. Este facto traduz-se numa concentração do componente
de maior massa junto das bordas enquanto o componente de menor massa se situa próximo
do eixo — princı́pio da centrifugação. Esta descoberta tem sido largamente desenvolvida
e aplicada, por exemplo, na separação da nata do leite, na separação parcial dos gases
na atmosfera terrestre, na separação dos isótopos do urâneo, etc. As ciências biológicas
também beneficiaram consideravelmente do princı́pio da centrifugação.
pi = p0i exp [(
(ii) Fórmula barométrica para uma atmosfera isotérmica
Fazendo ω = 0 na eq. (7.32), ou usando directamente a condição de equilı́brio (7.10),
obtém-se
p = p0 exp ( − M g z/R T ).
(7.36)
Esta equação pode ser usada para determinar a altitude de um ponto, z, na atmosfera
acima de um determinado nı́vel de referência onde a sua pressão é p0 , a partir da leitura
de um barómetro. Considerando, por exemplo, os seguintes valores para a atmosfera
M = 29 × 10−3 kg,
T = 273 K,
R = 8, 3 JK−1
g = 9, 8m s−2 ,
z = 1000 m
obtém-se p/p0 ≈ 0, 88.
Este cálculo mostra que a uma leitura no barómetro de p/p0 ≈ 0, 88 numa atmosféra
isotérmica, corresponde a uma altitude de 1000 m.
Para o estado a temperatura constante a eq. (7.36) pode também ser escrita em termos
da densidade,
ρ = ρ0 exp ( − M g z/R T ),
(7.37)
onde ρ0 é a densidade para um nı́vel de referência z = 0. escrevendo M g z/R T =
m g z/k T = U/k T , onde U é a energia potencial da partı́cula de massa m no campo
gravı́tico situado à altura z, a equação anterior conduz a
ρ = ρ0 exp (− U/k T ).
(7.38)
A função exponencial desta equação tem a designação de factor de Boltzmann, constituindo
uma quantidade fundamental em fı́sica estatı́stica.
67
Capı́tulo 8
Hidrodinâmica
A hidrodinâmica estuda fluidos em movimento. Efeitos irreversı́veis tais como os que são
associados à viscosidade e conductividade térmica não são tratados neste ponto. Reservaremos
um outro capı́tulo para uma breve referência a fluidos viscosos.
A descrição matemática do estado dum fluido em movimento faz-se por meio de funções que
determinam a distribuição da velocidade do fluido, v = v(x, y, z, t), e de duas quaisquer das
suas grandezas termodinâmicas, por exemplo, a pressão p(x, y, z, t) e a densidade ρ(x, y, z, t). A
equação de estado permite determinar todas as grandezas termodinâmicas a partir dos valores
de duas delas. São, por isso, necessárias cinco grandezas (três componentes da velocidade v, a
pressão p e a densidade ρ) para determinar completamente o estado do fluido em movimento.
Todas estas grandezas são funções das coordenadas x, y, z e do tempo t. Assim v(x, y, z, t) é a
velocidade do fluido em cada ponto do espaço x, y, z no instante t, quer dizer, refere-se a pontos
determinados no espaço. E o mesmo para p e ρ.
Consequentemente a mudança de qualquer destas quantidades durante um certo intervalo de
tempo depende não só do intervalo de tempo mas também da posição dentro do fluido. É
conveniente, para o que se pretende desenvolver, exprimir esta dependência do tempo e da
posição no fluido introduzindo explicitamente o conceito de derivada total. Vamos fazê-lo a
seguir através de um exemplo.
8.1
A derivada total
Consideremos a densidade do fluido ρ(x, y, z, t). A variação da densidade δρ durante o intervalo
de tempo δt é dada por
δρ = δρ(x, y, z, t) =
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
δt +
δx +
δy + δz,
∂t
∂x
∂y
∂z
(8.1)
onde (δx, δy, δz) são os correspondentes incrementos das componentes da posição durante δt.
Dividindo a equação por δt obtemos
∂ρ
∂ρ ∂ρ ∂x ∂ρ δy ∂ρ δz
=
+
+
+
.
∂t
∂t ∂x ∂t
∂y δt ∂z δt
(8.2)
Considerando o limite desta expressão quando δt → 0, e introduzindo neste limite a notação
usual de cálculo
δx
dx δy
dy δz
dz
→
,
→
,
→
(8.3)
δt
dt δt
dt δt
dt
68
que são, respectivamente, as componentes vx , vy e vz , do vector velocidade do fluido v no ponto
(x, y, z) e no instante t, podemos escrever
dρ
∂ρ ∂ρ
∂ρ
∂ρ
=
+
vx +
vy + vz
dt
∂t ∂x
∂y
∂z
(8.4)
por dρ .
em que também se substitui δρ
δt
dt
Introduzindo o vector (grad ρ) e o produto escalar (v.grad)ρ, temos finalmente
dρ
∂ρ
=
+ (v.grad)ρ,
dt
∂t
(8.5)
em que
∂ρ
∂ρ
∂ρ
(8.6)
î +
ĵ + k̂.
∂x
∂y
∂z
O primeiro termo do 2o membro da equação (8.5) é a variação de ρ no tempo numa dada
posição (x, y, z) de tal modo que dx, dy, dz são todos nulos. O segundo termo é a variação da
densidade do fluido com a posição num dado instante, isto é, dt = 0, dx 6= 0, dy 6= 0, dz 6= 0.
Assim a eq. (8.5) traduz a variação total da densidade em torno de um elemento do fluido,
quando este se move no espaço com o fluido. É esta a interpretação fı́sica da quantidade dρ
dt
que é a chamada a derivada total da densidade do fluido. A expressão
grad ρ =
d
∂
=
+ (v.grad)
dt
∂t
(8.7)
é um operador chamado derivada total.
8.1.1
Notação das componentes
A equação (8.7) pode ser expressa em termos das componentes dos vectores. Cada vector
tem três componentes independentes, por exemplo a velocidae v tem componentes vx , vy , vz
que vamos substituir por v1 , v2 , v3 . Vamos usar esta notação em conjunto com o conceito de
derivada total
3
X
∂
∂
∂
∂
(v.grad) = vx
vk
+ vy
+ vz
=
.
(8.8)
∂x
∂y
∂z
∂xk
k=1
Assim, a derivada total na notação das componentes toma a forma
3
X
∂
∂
d
=
+
vk
,
dt
∂t k=1 ∂xk
(8.9)
e a derivada total da densidade é dada por
3
dρ
∂ρ X ∂ρ
=
+
vk
.
dt
∂t k=1 ∂xk
(8.10)
A densidade é uma quantidade escalar, isto é, tem amplitude mas não tem propriedades direccionais. No entanto a derivada total dum vector, por ex. a velocidade duma partı́cula do
fluido, também está incluida neste esquema. Assim
dv
∂v
=
+ (v.grad)v.
dt
∂t
69
(8.11)
Na notação das componentes temos
3
dvi
∂vi X ∂vi
=
+
vk
.
dt
∂t
∂xk
k=1
Esta equação traduz três equações (i = 1, 2, 3).
70
(8.12)