Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos
Aula 3 – Cinemática dos Fluidos
Prof. Édler Lins de Albuquerque
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Cinemática dos Fluidos
• Escoamento de fluidos:
Movimento de massas fluidas em relação a um dado
referencial. Neste escoamento há, essencialmente,
transporte de massa, mas também ocorrem transportes
da quantidade de movimento e de energia.
Deste modo, nestes escoamentos há associação entre:
- Princípio de Conservação da Massa;
- Segunda Lei de Newton da Dinâmica;
- Primeira Lei da Termodinâmica;
- Segunda Lei da Termodinâmica.
2
1
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Variação da pressão ponto a ponto em um
fluido em movimento
dp
dp
ds
p dx
x ds
p dy
y ds
p
cos
x
p
dx
x
p
dy
y
p
sen
y
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Variação da pressão ponto a ponto em um
fluido em movimento
dp
ds
p
cos
x
p
sen
y
Caminhos interessantes:
1- dp/ds é nulo
2- dp/ds é máximo
2
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Variação da pressão ponto a ponto em um
fluido em movimento
1- dp/ds é nulo!!!
dp
ds
p
cos
x
sen
cos
Neste caminho dp é nulo e,
portanto, a pressão é
constante!!!
p
sen
y
tg
0
p/ x
p/ y
dp / ds 0
dp / ds 0
Tais caminhos são
chamados de “Isolinhas
de pressão”!
p/ x
p/ y
Arctg
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Variação da pressão ponto a ponto em um
fluido em movimento
dp
ds
p
cos
x
p
sen
y
Maximizand o a função
d
d
dp
ds
sen
cos
d
d
p
( sen )
x
tg
Arctg
dp
ds
p/ y
p/ x
0:
p
cos
y
dp / ds max
dp / ds max
dp / ds max
2- dp/ds é máximo!!!
0
p/ y
p/ x
dp
ds max
p
x
2
p
y
2
3
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Variação da pressão ponto a ponto em um
fluido em movimento
tg
dp / ds max
dp
ds max
2- dp/ds é máximo!!!
p/ y
p/ x
p
x
2
p
y
2
Máximaderivada direcional é um vetor da forma :
p
î
x
p
ĵ
y
vetor gradiente de p em duas dimesões

p
p
î
x
p
ĵ
y
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Variação da pressão ponto a ponto em um
fluido em movimento
2- dp/ds é máximo!!!
Em três dimensões:

p
p
î
x
p
ĵ
y
p
k̂
z
Em coordenadas cartesianas.
Gradiente é o vetor tendo a direção e magnitude da
máxima taxa de variação de uma variável dependente
com respeito à distância.
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Cinemática dos Fluidos
Variações do vetor velocidade
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Propriedades Cinemáticas


Vetor deslocamento
r
V dt
 
V V ( x , y , z, t ) uî v ĵ w k̂
Vetor taxa de
translação
(velocidade)
u ( x , y , z , t ); v ( x , y , z , t ) e w ( x , y , z , t ).

  
 D 
V
Vetor aceleração
a
V
(V
)V
Dt
t
 
Vol
(V n ) dA
Vazão volumétrica
A
 
1 d
V
dt
 1  
(
V)
2
Taxa de dilatação
volumétrica
Vetor taxa de rotação
10
(velocidade angular)
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Cinemática dos Fluidos
Parte 1
Formas de Estudo dos Escoamentos Fluidos
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Métodos de Análise de Escoamentos
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Método de Euler
• Não há preocupação
individuais.
em
descrever
partículas
• O movimento do fluido é descrito pela especificação
completa dos parâmetros necessários em função do
vetor posição do ponto no espaço e do tempo.
• Adota-se um intervalo de tempo e pontos no espaço.
Observa-se as partículas passando por esses pontos.
• As coordenadas
independentes.

V
de

V(r , t)
posição
são
variáveis
V(x, y, z, t)
6
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Método de Euler
O movimento do fluido é descrito pela especificação
completa dos parâmetros necessários em função do
vetor posição do ponto no espaço e do tempo.
Adota-se um intervalo de tempo e pontos no espaço.
Observa-se as partículas passando por esses pontos.
As coordenadas
independentes.
de
posição


V V(r , t) V(x, y, z, t)
 
V V(u, v,w)
u f1 (x, y, z, t); v f2 (x, y, z, t); w
são
variáveis
f3 (x, y, z, t).
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Métodos de Análise de
Escoamentos
Método de Lagrange
• O observador desloca-se com a partícula fluida.
• A partícula é seguida e é determinado como as
propriedades das partículas variam com o tempo ao
longo do movimento.
• São descritas as trajetórias de determinadas
partículas bem identificadas. Esta identificação é
caracterizada por um vetor posição inicial r0 = (x0, y0,
z0) num determinado instante de tempo t0.
• De tratamento matemático difícil, mas empregado
quando se requerem as trajetórias de determinadas
partículas.
7
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Método de Lagrange
• As coordenadas de posição das partículas são funções
do
tempo.
Assim: Conhece-se a “história” das partículas.


r
r( r0 , t), com r0
(x 0 , y0 , z0 );
x f1(x 0 , y0 , z0 , t); y f2 (x 0 , y0 , z0 , t); z

 
 
r
V V(u, v, w)
V( r0 , t)
t r0 const.
u
x
t
y
t
;v
x 0 const.

V
V[x(t), y(t), z(t), t]

a

a(ax , a y , a z )
2
ax

a

r
t2
y0 const.

V(t);
a[x(t), y(t), z(t), t]
z0 const.
 
a( r0 , t)
r0 const.
; ay
x 0 const.
z
t
;w
2
x
t2
2
f3 (x 0 , y0 , z0 , t)
t2

a(t)
2
y
; az
y0 const.
z
t2
z0 const.
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Derivada Substantiva
(Total ou Lagrangeana)
f
f(x, y, z, t) f x î f y ĵ f z k̂
 
Df
f
(V )f
Dt
t
Contribuição Convectiva
Onde :

Contribuição local
x
( ) î
y
( ) ĵ
z
( ) k̂
f pode ser qualquer campo escalar ou vetorial.

Por exemplo,p (pressão) , (massa específica), V (velocidade) etc.
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Descrição dos Escoamentos dos Fluidos
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Linhas de Trajetória
É a trajetória real percorrida por uma partícula de fluido
individual em determinado período de tempo. Lugar
geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em
instantes sucessivos.
z
Partícula no
instante t3
Partícula no
instante t2
Partícula no
instante t1
X
y
Descrição dos Escoamentos dos Fluidos
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Linha de Trajetória
• Fornece o “histórico” das localizações de uma
partícula;
• Uma fotografia de uma linha de trajetória requer um
tempo de exposição de uma partícula iluminada
(sinalizadora).
• A posição da partícula sinalizadora no instante t:

x( t )

x inicial
t

V dt
t inicial
9
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Descrição do Escoamentos dos
Fluidos
Linhas de Trajetória
Linhas de trajetória abaixo de uma onda em um tanque de água.
(Photograph by Wallet and Ruellan. Courtesy of M.C. Vasseur).
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Descrição do Escoamentos dos Fluidos
Linhas de Emissão
• É o conjunto das posições das partículas de fluido
que passaram seqüencialmente através de um ponto
prescrito do escoamento.
• Linha instantânea, cujos pontos são ocupados por
todas as partículas originadas de algum ponto
específico no campo de escoamento.
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Descrição do Escoamentos dos Fluidos
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Linhas de Emissão
• INFORMAM ONDE AS PARTÍCULAS ESTÃO AGORA!!
• Uma fotografia de uma linha de emissão seria uma
foto instantânea do conjunto de partículas iluminadas
que passaram por um determinado ponto.
• A posição da partícula sinalizadora integrada:

x

x injeção
t presente

V dt
t injeção
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Linhas de Emissão
Linhas de emissão em um escoamento transiente ao
redor de um cilindro. (Photograph by Sadatashi Taneda.)
Ver Vídeos Munson et al.: 4.1, 4.2, 4.3, 4.5, 4.6, 6.4.
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Descrição do Escoamentos dos Fluidos
Linhas de Corrente (Conceito teórico)
• São linhas tangentes aos vetores velocidade de
diferentes partículas NO MESMO INSTANTE.
• Uma fotografia de uma linha de corrente não pode ser
efetuada diretamente.
z
Partícula 2
no instante t
v2
Partícula 3
no instante t
Partícula 1 v1
no instante t
v3
X
y
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Descrição do Escoamentos dos
Fluidos
Linhas de Corrente


V dr

0
Equação para uma Linha de Corrente em um Campo de Velocidade.
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Descrição do Escoamentos dos
Fluidos


Linhas de Corrente

V dr

V u ˆi v ˆj w kˆ

dr dx ˆi dy ˆj dz kˆ
î
ĵ
k̂
u
v
w
dx
dy
dz
 
V x dr

V

dr
u
dx
v
dy
0

0
w
dz
Equação para uma Linha de Corrente em um Campo de Velocidade.
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Tubo de Corrente
• No interior de um fluido em escoamento existem infinitas
linhas de corrente definidas por suas partículas fluidas
• A superfície constituída pelas linhas de corrente
formadas no interior do fluido é denominada de tubo
de corrente.
• Nenhuma partícula de fluido conseguirá escapar de um
tubo formado pela linhas de corrente que tangenciam
uma determinada área A arbitrária.
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21/2/2013
Cinemática dos Fluidos
Parte 2
Tipos Básicos de Escoamentos Fluidos
27
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Tipos de escoamento
Os escoamentos de fluido classificam-se quanto à(ao):
– Efeito da viscosidade do fluido;
– Quanto à rotação das partículas do fluido;
– Compressibilidade do fluido;
– Dimensão do vetor velocidade;
– Variação espacial da velocidade;
– Variação temporal das propriedades do fluido;
– Número de fases presentes;
– Contato do fluido com a superfície sólida;
– Movimentação das camadas do fluido etc.
28
14
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Quanto à variação temporal das propriedades
• Escoamento em regime permanente: Todas as
propriedades do fluido permanecem constantes com o
tempo, embora possam variar de um ponto a outro.
1
2
3
1
Tempo 0 segundos:
T1 = 30, T2 = 28 e T3 = 27 ºC
e 3 = 8 g cm-3
1 = 4,
2 = 7
2
1h após o início:
T1 = 30, T2 = 28
1 = 4,
2= 7
3
e T3 = 27 ºC
e 3 = 8 g cm-3
Regime Permanente
Propriedades do fluido são invariáveis em cada ponto com
o passar do tempo. As propriedades podem variar de
ponto para ponto, mas todas as propriedades são
constantes ao longo do tempo para cada ponto.
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Cinemática dos Fluidos
Regime permanente
(1)
(2)
0
t
representa qualquer propriedade do fluido.
Matematicamente falando:
onde
Assim, para um escoamento permanente:
( x, y , z )

V
t
0
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Linhas de Trajetória, de Emissão e de
Corrente
• Normalmente não são coincidentes, exceto quando o
escoamento ocorre em regime permanente. Neste caso,
estes três tipos de linhas apresentam o mesmo formato.
Linhas de Corrente em volta de um arco semicircular. Boa concordância com a
solução de equações diferenciais. Pó de alumínio disperso em glicerina é iluminado
por uma fenda de luz. (Courtesy of The Parabolic Press, Stanford, California.)
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Quanto à variação temporal das propriedades
• Escoamento em regime transiente (transitório ou
variado): Há variação das propriedades do fluido com o
tempo.
1
2
3
1
Tempo 0 segundos:
T1 = 30, T2 = 28 e T3 = 27 ºC
e 3 = 8 g cm-3
1 = 4,
2= 7
Regime variado
2
3
1min após o início:
T1 = 32, T2 = 29 e T3 = 28 ºC
e 3 = 4,0 g cm-3
1 = 3,
2= 5
( x, y , z ,t )
As condições do fluido variam com o tempo em alguns pontos
ou regiões de pontos do escoamento.
32
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Cinemática dos Fluidos
Variações do vetor velocidade
Velocidade de uma partícula fluida em movimento de translação.
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Deslocamento, Velocidade e Aceleração

r
x î
y ĵ
z k̂

V dt
 
V V ( x , y , z, t ) u î v ĵ

  
 D 
V
a
V
(V
)V
Dt
t
w k̂
Vetor Taxa de
Translação
Aceleração Convectiva
Aceleração local
Onde :

x
( ) î
y
( ) ĵ
z
( ) k̂
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Quanto à variação espacial da velocidade
• Escoamento uniforme numa seção
A velocidade é a mesma numa dada seção do escoamento.
• Escoamento não uniforme numa seção
Há variação da velocidade numa dada seção do escoamento.
35
Quanto à dimensão do vetor velocidade
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• Escoamento unidimensional
Uma coordenada espacial é necessária para descrição da
velocidade.
r
 
V V ( r ,t ) (regime transiente) ou
 
V V ( r )( regime permanente)
• Escoamento bidimensional
A velocidade varia em duas coordenadas espaciais (dimensões)
no
sistema
de
estudo.
Por
exemplo
na
seção
convergente/divergente abaixo.
r
x
 
V V ( r , x ,t ) (regime transiente) ou
 
V V ( r , x )( regime permanente)
36
18
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Quanto à dimensão do vetor velocidade
• Escoamento tridimensional
A velocidade varia nas
(dimensões).
três
coordenadas
espaciais
 
V V ( x , y , z ,t ) (regime transiente) ou
 
V V ( x , y , z )( regime permanente)
37
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Quanto ao efeito da viscosidade do fluido
• Escoamento Viscoso: São escoamentos reais, onde os
efeitos da viscosidade dos fluidos são considerados.
• Escoamento não-viscoso ( = 0): São escoamentos onde é
possível de serem desprezados os efeitos da viscosidade
dos fluidos.
Fluxo em volta de uma esfera: (a) Fluxo não viscoso; (b) Fluxo real
38
(viscoso).
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Quanto ao efeito da viscosidade do fluido
• Exemplos de Escoamentos bem modelados como
escoamentos não-viscosos: Escoamentos Externos (ao
redor de corpos sólidos).
Fluxo ao redor de um aerofólio.
39
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Quanto ao contato do fluido com a
superfície sólida
• Escoamento Externo: São escoamentos que ocorrem
em torno de corpos imersos num fluido não-contido.
40
20
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Quanto ao contato do fluido com a
superfície sólida
• Escoamento Interno ou em dutos: São escoamentos
que ocorrem envoltos por superfícies sólidas.
– Escoamento em canal aberto: Escoamento interno de
líquidos onde o duto não fica completamente preenchido,
havendo uma superfície livre sujeita a uma pressão
constante.
(a) Um rio:
(b) dentro de um tubo
Escoamento interno em Canal aberto
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Quanto à compressibilidade do fluido
• Escoamento Incompressível: Quando não há alteração
significativa na massa específica do fluido em
escoamento.
 
D
Dt
t
V
t
u
x
v
0
y
w
z
0
• Exemplos: escoamento de líquidos sujeitos a pressões
moderadas, ou gases a baixas velocidades onde o N.
de Mach < 0,3 (
< 3% ou p/ o ar qdo. V < 100m/s).
M
V
c
Razão entre a velocidade do gás
e a velocidade do som.
42
21
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Quanto à compressibilidade do fluido
• Escoamento Compressível: Há alteração significativa
na massa específica do fluido. Ocorre no escoamento
de gases.
D
Dt
0
Exemplos:
Escoamento de gases onde o N. de Mach > 0,3
(
> 3% ou para o ar quando V > 100m/s).
43
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Quanto ao número de fases presentes
• Escoamento monofásico:
O fluido escoa estando numa
única fase, líquido ou vapor.
É
o
que
ocorre
no
downcomer mostrados na
figura ao lado.
• Escoamento bifásico: O
fluido
escoa
estando
presente nas duas fases:
líquido e vapor. É o que
ocorre no riser mostrado na
figura ao lado.
44
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21/2/2013
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Escoamento quanto à movimentação
das camadas do fluido
Fonte: Mecânica dos Fluidos – Sylvio Reynaldo Bistafa
45
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Escoamento quanto à movimentação
das camadas do fluido
(a) Laminar;
(b) Turbilhonar ou turbulento.
46
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Cinemática dos Fluidos
• Tipos de Escoamento
– Laminar
• Movimento do fluido é reto e contínuo.
– Turbulento
• Movimento do fluido é variável/randômico.
Regime laminar (ocorre em velocidades muito baixas)
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- Todos os filetes líquidos são paralelos entre si, sem haver
mistura significativa entre partículas vizinhas do fluido.
- As partículas do fluido descrevem trajetórias invariáveis e o
fluido se apresenta como composto de lâminas de formas
definidas, deslizando umas sobre as outras.
- Velocidades maiores são registradas mais distantes das
superfícies sólidas.
- Há predomínio de forças viscosas sobre forças de inércia.
(a) em um rio
(b) dentro de um tubo
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21/2/2013
Regime turbulento (ocorre em velocidades altas)
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- As partículas do fluido descrevem trajetórias que variam de
instante a instante. Movem-se em todas as direções com
velocidades variáveis (em direção e grandeza) de um ponto
para outro.
- As maiores velocidades são registradas em posições mais
próximas à superfície sólida que às velocidades observadas
no regime laminar.
- Há predomínio de forças de inércia sobre forças viscosas.
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
49
Fonte: Mecânica dos Fluidos – Sylvio
Reynaldo Bistafa
(a) As partículas se deslocam em lâminas individualizadas, sem
trocas de massa entre elas.

V

ui
(b) As
partículas
apresentam
um
movimento
aleatório
macroscópico, isto é, a velocidade apresenta componentes
transversais ao movimento geral do conjunto do fluido.




V ( u u' ) i v j w k
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21/2/2013
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Regimes Laminares


V ui
onde u u (t).


V ui
onde u é praticamente cons tan te.
Velocidade como uma função do tempo em um escoamento
laminar: (a) Regime transiente; (b) regime permanente.
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Regimes Turbulentos

V
(u

u' ) i ( v

v' ) j ( w
Comportamento Errático nas
três dimensões.
 
w' ) k V
(u



u' ) i v' j w' k
Oscilações aleatórias em torno
de um valor médio constante.
Velocidade como uma função do tempo em um escoamento
turbulento: (a) Regime transiente; (b) regime permanente.
26
21/2/2013
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Cinemática dos Fluidos
• O escoamento laminar é menos comum, na
prática.
• REYNOLDS verificou que o tipo de
escoamento (em relação à movimentação das
camadas fluidas) depende do valor numérico
adimensional, dado por:
Re
vL
onde:
• ρ é a massa específica do fluido
• o vetor v é a velocidade do fluido no tubo
• L é um comprimento característico do
escoamento
• é a viscosidade absoluta do fluido
Regimes Laminar e Turbulento
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• Número de Reynolds: razão entre forças inerciais e
forças viscosas que agem no fluido em escoamento.
• De um modo geral:
Re
Re
ρv2
2
ρv L
L
v
vL
Re – Número de Reynolds
- Massa específica do fluido
v – velocidade média do fluido em escoamento
L – Comprimento característico do escoamento
- Viscosidade absoluta do fluido
- Viscosidade cinemática do fluido
54
27
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Regimes Laminar e Turbulento
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• Para escoamentos em tubos com seção reta circular:
Re
ρvD
vD
D
Re – Número de Reynolds
- Massa específica do fluido
v – velocidade média do fluido em escoamento
D – Diâmetro interno do tubo
- Viscosidade absoluta do fluido
- Viscosidade cinemática do fluido
55
Regimes Laminar e Turbulento
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• Número de Reynolds: razão entre forças inerciais e forças
viscosas que agem no fluido em escoamento.
• Para escoamentos em tubos cilíndricos:
Re
ρvD
vD
D
Critério para o regime de escoamento em tubos cilíndricos:
Re 2000 ou 2300
escoamento laminar (v baixa e/ou alta)
Re 4000
escoamento turbulento (v alta e/ou baixa)
O que ocorre se 2300 < Re < 4000 ????
56
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Transições de fase entre os regimes
Laminar e Turbulento
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Fonte: Mecânica dos Fluidos – Sylvio Reynaldo Bistafa
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Cinemática dos Fluidos
• Observação:
– Escoamento turbulento é variado (transiente) por
natureza, devido as flutuações de velocidade.
– No entanto, podemos considerá-lo permanente,
caso adotemos uma velocidade média.
v
Valor médio indicado
pelo controlador
Tempo
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Cinemática dos Fluidos
Fonte: Mecânica dos Fluidos – Sylvio Reynaldo Bistafa
30
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Fonte: Mecânica dos Fluidos – Sylvio Reynaldo Bistafa
Cinemática dos Fluidos
Parte 3
Deformações de Elementos Fluidos
62
31
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Cinemática dos Fluidos
Deformações em Fluidos
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Translação
 
V V ( x , y , z, t ) u î v ĵ

  
 D 
V
a
V
(V
)V
Dt
t
w k̂
Aceleração Convectiva
Aceleração local
Onde :

x
( ) î
y
( ) ĵ
z
( ) k̂
32
21/2/2013
Translação
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque

V

V ( x, y, z, t ) u ˆi vˆj wkˆ




D( V )
V
V
a( x, y, z, t )
u
Dt
t
x

a( x, y, z, t )

V
v
y

V
w
z
a x ˆi a y ˆj a zkˆ
(a x , a y , a z )
ax
D(u) ˆ
i
Dt
u
u
u
u
v
t
x
y
w
u ˆ
i
z
ay
D( v ) ˆ
j
Dt
v
v
u
t
x
w
v ˆ
j
z
az
D( w ) ˆ
k
Dt
v
w
w
u
t
x
v
y
v
w
y
D(u) ˆ D( v ) ˆ D( w ) ˆ
i
j
k
Dt
Dt
Dt
w ˆ
k
z
w
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Translação (Coord. Cilíndricas)
 



V V (r , , z , t ) ur er u e u z ez






D(V )
V
V u V
V
a (r , , z, t )
ur
uz
Dt
t
r r
z



a (r , , z , t ) (ar , a , a z ) ar er a e

a z ez
ar
D(ur ) 
er
Dt
ur
t
ur
ur
r
ay
D(u ) 
e
Dt
u
t
ur
u
r
u
r
az
D(u z ) 
ez
Dt
uz
t
ur
uz
r
u uz
r
u ur
r
u
D(ur )  D(u ) 
er
e
Dt
Dt
u 
u z r er
z
u2
r
ur u
r
uz
uz
D(u z ) 
ez
Dt
u 
e
z
uz 
ez
z
33
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Variações do vetor velocidade
Deformação Linear
Deformação Linear
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Variação do volume
= (∂u/ ∂x x) t ( y z)
Taxa de variação relativa do volume (taxa de deformação
linear ou normal) devido ao gradiente de velocidade ∂u/ ∂x:
1 d( )
dt
Lim
t
o
u/ x t
t
u
x
34
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Deformação Linear
Taxa de variação relativa total do volume devido aos
gradientes de velocidade ∂u/∂x, ∂v/∂y, ∂w/∂z:
1 d( )
dt
u
x
v
y
w
z
 
V
Divergente do
Vetor velocidade
ou
1 d( )
dt
1 (rur )
r
r
1 u
r
uz
z
  Taxa de dilatação
V
volumétrica
A Taxa de dilatação volumétrica é nula
para fluidos (escoamentos)
incompressíveis!!
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Variações do vetor velocidade
Movimento e Deformação angulares
Rotação e deformação angular em um elemento de fluido.
Ver Filme Munson 6.1.
35
21/2/2013
Movimento angular e Deformação
Velocidades angulares:
Lim
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
OA
t
tg (
t
v
δx δt
x
x
)
Lim
OA
OB
t
0
0
v
δt
x
t
Lim
t
t
v
δt
x
0
Lim
t
tg (
v
x
OB
0
u
δy δt
y
δy
)
Lim
t
t
0
u
δt
y
t
Lim
t
t
u
δt
y
0
u
y
Movimento angular e Deformação
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Velocidades angulares em relação aos eixos:
OA
z

1
2
OB
2
x
1
2
w
y
v
z
y
1
2
u
z
w
x
(x, y, z, t ) (
x,
y,
v
x
z)
u
y
x î
y ĵ
Vetor velocidade
angular
z k̂
Vetor taxa de rotação
Haverá rotação de corpo rígido (rotação sem deformação
angular) se:
x
w
y
w
y
v
z
y
u
z
u
z
w
x
z
v
x
v
x
u
y
36
21/2/2013
Movimento angular e Deformação
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Rotação e Vorticidade




( x , y , z, t ) (
x,
y,
z
)
x î
( x , y , z, t )

1
( rotV )
2
( x , y , z, t )
1  
(
V)
2
î
1
2 x
u
( x , y , z, t )
1  
(
V)
2
1
2

2

î

rotV
ĵ
z k̂
1  
(
V)
2
ĵ
x
u
y
ĵ
k̂
y
v
z
w
w
y
v
î
z
u
z
w
ĵ
x
v
x
u
k̂
y
k̂
y
v
w
y
z
w
v
î
z
u
z
w
ĵ
x
v
x
u
k̂
y
Vetor Vorticidade
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Rotação em Coordenadas Cilíndricas




(r , , z, t ) (
(r , , z, t )
r
uz
;
1  
( V)
2

2 (r , , z, t )
1
r
;
z
)

er

e
r r

e

e
1
1
2 r r
ur
u

 
rotV ( V )
u 
er
z
ur
z
uz 
e
r

ez

e
z z
z
uz
1
r
(ru )
r
ur 
ez
74
37
21/2/2013
Quanto à rotação das partículas do fluido
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
• Escoamento Irrotacional: É o escoamento no qual todas as
partículas fluidas estão isentas de movimento de rotação.

2


rotV

0
Não ocorre na prática,
mas simplifica bastante
os cálculos !!
• Escoamento Rotacional: Escoamentos onde se verifica
movimento rotacional das partículas fluidas.

2


rotV

0
75
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Quanto à rotação das partículas do fluido
• Escoamento Irrotacional: É o escoamento no qual todas as
partículas fluidas estão isentas de movimento de rotação.
• Escoamento Rotacional: Escoamentos onde se verifica
movimento rotacional das partículas fluidas.
76
Fonte: Mecânica dos Fluidos – Sylvio Reynaldo Bistafa
38
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Deformação Angular das partículas do fluido
• A deformação angular no plano xy é determinada pela
variação do ângulo formado entre as linhas OA e OB:
 xy
Lim
t
0
v
x
Lim
t
t
u
y
t
t
v
x
t
0
u
y
Taxa de Deformação por Cisalhamento no Plano xy
77
Deformação das partículas do fluido
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Deformação Angular:
Taxas de Deformação por Cisalhamento
xy
1
2
v
x
u
y
 yz
1
2
w
y
v
z
1
2
zx
w
x
u
z
Deformação Linear:
Taxas de Deformação Normal ou Dilatação Linear
xx
u
x
 yy
v
y
w
z
zz
Tensor Taxas de Deformação
 ij
 xx
 xy
 xz
 yx
 zx
 yy
 zy
 yz , onde  ij
 zz
 ji para i
j.
78
39
21/2/2013
Tensões de Cisalhamento
Tensor Taxa de Deformação por Cisalhamento
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Em Coordenadas Cartesianas:
u
x
ij
onde
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
ji , para
ij
1
2
1
2
i
v
x
w
x
1
2
u
y
u
z
u
y
v
x
v
y
1
2
w
y
1
2
1
2
u
z
v
z
v
z
w
x
w
y
,
w
z
j.
Em Coordenadas Cilíndricas:
u
1
1 ur
r
2
r r
r
1 u
ur
r
r
1 u 1 uz
2 z r
ur
r
rr
ij
r
rz
r
onde
u
1
r
2
r r
1 ur
2 z
z
zr
z
zz
ij
ji , para
i
1 ur
r
uz
r
1 ur
uz
2 z
r
1 u
1 uz
2 z r
uz
z
,
79
j.
Tensões de Cisalhamento
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Tensor Tensão de Cisalhamento (Escoamento Laminar, Fluido
Newtoniano e incompressível).
u
x
2
ij
onde
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
ij
ji
, para i
v
x
w
x
2 ij
ij
r
zr
onde
r
ij
rz
z
z
ji
2 ij
zz
, para i
j.
u
y
u
z
v
x
u
z
v
z
v
y
2
w
y
v
z
2
w
x
w
,
y
w
z
j.
2
rr
u
y
r
r
u
r
ur
z
ur
r
r
1 ur
r
uz
r
2
r
u
r
1 u
r
u 1
z r
1 ur
r
ur
r
uz
ur
uz
z
r
u 1 uz
z r
uz
2
z
,
80
40
21/2/2013
Referencial Inercial (A = a)
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque

a
D 
V
Dt

V
t
  
(V
)V
Referencial
Não-Inercial (A ≠ a)

 
A a
    
d 2S
2
V
r
dt 2 Aceleração de Aceleração
Coriolis
Normal

d
dt

r
Aceleração
Angular
Aceleração do
referencial
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Movimento relativo a um
referencial não inercial.
Cinemática dos Fluidos
Parte 4
Análise Diferencial de Escoamentos de
Fluidos
82
41
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Conservação
da Massa
Na ausência de reações químicas:
Taxa de
acúmulo de
massa dentro
do VC
Taxa de
entrada de
=
massa no VC
Taxa de
saída de
massa do VC
83
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Conservação
da Massa
84
42
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Conservação
da Massa
85
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Conservação
da Massa – Equação da Continuidade

t
D
Dt

( V)
(
t
 
(V )
(
 
V) 0
 
V) 0
86
43
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
F = Variação total de momento linear no VC
Taxa de
Taxa de entrada Taxa de saída
F = acúmulo de - de momento + de momento
momento
linear no VC
linear no VC
linear no VC
Taxa de acúmulo de momento linear no VC
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
F = Variação total de momento linear no VC
Taxa de
Taxa de entrada Taxa de saída
F = acúmulo de - de momento + de momento
momento
linear no VC
linear no VC
linear no VC
Taxa líquida de saída de momento linear no VC
44
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Quantidade
de Momento Linear
DV
Dt
DV
Dt
89
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Quantidade
de Momento Linear
DV
Dt
DV
Dt
90
45
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear

DV
dx dy dz
Dt
F
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Conhecendo as forças externas F:
Forças de campo + forças superficiais

Força da gravidade: F
GRAV

g dx dy dz
Forças de superfície: tensões normais e viscosas
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
Tensor tensão
P
0
0
0
P
0
0
0
P
Pressão mecânica
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
Tensão viscosa
46
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Forças de superfície:
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
Tensor tensão
P
0
0
0
P
0
0
0
P
Pressão mecânica
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
Tensão viscosa
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Forças de superfície:
47
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Forças de superfície:
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Equação geral para a conservação do momento linear:
Equação de Cauchy:

g

ij

DV
Dt

Forma alternativ a : g

g

p

ij

ij
t

V

DV
Dt


VV
48
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Simplificações da Equação geral para a conservação
do momento linear:
Equação de Euler:
Escoamento invíscido.


g

DV
Dt
p
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Simplificações da Equação geral para a conservação
do momento linear:
Equação de Navier-Stokes: Para fluido Newtoniano e
incompressível, isotérmico (propriedades constantes):
2
ij
onde
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
ij
ji
, para i
2 ij
v
x
w
x
u
x
u
y
u
y
u
z
2
w
y
v
x
u
z
v
z
v
y
v
z
2
w
x
w
y
,
w
z
j.
49
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Equação de Navier-Stokes: Para fluido Newtoniano e
incompressível, isotérmico (propriedades constantes):
2
ij
onde
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
ij
ji
v
x
w
x
2 ij
, para i
u
x
u
y
u
y
u
z
2
v
x
u
z
v
z
v
y
w
y
v
z
w
x
w
y
,
w
z
2
j.

g


DV
Dt

p
ij
Equação de Navier-Stokes: Para fluido Newtoniano,
incompressível e isotérmico
(propriedades constantes):


 
DV
g
p
ij
Dt
Du
Dt
Du
Dt
Du
Dt
gx
gx
gx
2
p
x
p
x
u
x2
2
y
2
2
u
x2
p
x
u
x2
2
v
x
y
2
u
x
x
gx
p
x
u
x2
Du
Dt
p
x
2
gx
u
x2
u
y2
u
z2
Du
Dt
p
x
2
2
2
gx
u
x2
u
x
2
u
y2
y
y
Du
Dt
x
v
x
y
w
x
z
u
y
y
z
2
v
x
u
y2
x
u
x
x
u
x
x
v
y
w
z
u
z
u
z
z
w
x
z
u
z
2
w
x
z
v
y
w
x
z
u
y
v
x
2
u
z2
u
y
u
z2
w
z
x
gx
p
x
2
u
50
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
21/2/2013
Equação de Navier-Stokes: Para fluido Newtoniano,
incompressível e isotérmico
(propriedades constantes):


 
DV
g
p
ij
Dt
Du
ρg x
Dt
Dv
ρ
ρg y
Dt
Dw
ρ
ρg z
Dt
p
μ 2u
x
p
μ 2v
y
p
μ 2w
z
ρ

DV
ρ
Dt

ρg

p μ
2

V
“Equação de Navier-Stokes
incompressível”
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Simplificações da Equação geral para a conservação
do momento linear:
Equação de Navier-Stokes: Para fluido Newtoniano e
incompressível, isotérmico (propriedades constantes):

g

g

p

p
2
V
2
V

DV
Dt

DV
Dt
51
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equações Diferenciais relacionadas
ao Escoamento de Fluidos
 


1 D
V
V 0
Dt
t
Equação da Continuida de

DV
p
Dt
Equação de Navier Stokes " incompressível"

g

2
V
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equações Diferenciais relacionadas
ao Escoamento de Fluidos
 


1 D
V
V 0
Dt
t
Equação da Continuida de
Em coordenadas cartesianas :
u
v
w
t
x
y
z
Em coordenadas cilíndricas :
u
1 r ur 1
t r
r
r
0
uz
z
0
52
21/2/2013
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equações Diferenciais relacionadas
ao Escoamento de Fluidos

DV
p
Dt
Equação de Navier Stokes " incompressível"


g
2
V
Em coordenadas Cartesianas:
u
t
u
x
w
u
z
gx
p
x
u
x2
2
v
u
y
2
u
u
y2
u
z2
v
t
v
x
gy
p
y
2
w
v
z
2
v
v
y
2
u
w
t
u
w
x
v
w
y
w
w
z
gz
v
x2
2
v
y2
v
z2
2
p
z
2
w
x2
2
w
y2
w
z2
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Equações Diferenciais relacionadas
ao Escoamento de Fluidos

DV
p
Dt
Equação de Navier Stokes " incompressível"


g
2
V
Em coordenadas Cilíndricas:
ur
t
ur
ur
r
u ur
r
u2
u
uz r
r
z
u
t
ur
u
r
u u
r
ur u
r
uz
t
ur
uz
r
u uz
r
uz
uz
uz
z
p
r
gr
u
z
gz
g
p
z
1
u
r r
r r
r
1 p
r
ur
r2
u
1
r
r r
r
1
u
r z
r r
r
1
r2
2
2
1
r2
2
u
r2
uz
2
ur
1
r2
2 u
r2
2
u
2
2
ur
z2
2 ur
r2
2
u
z2
2
uz
z2
53
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
21/2/2013
Cinemática dos Fluidos
Parte 5
Balanços de Força em um escoamento
invíscido
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z
dz
z
ds
s
Partícula se movendo ao longo de uma linha de corrente.
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Balanço de forças durante o escoamento
fluido sem a interferência de forças viscosas
Movimento ao
longo da linha de
corrente
Movimento na
direção normal à
linha de corrente
 
V V ( n, t )


V
dV
dn
n



DV
V
an
Dt
n


 V

V
an V
n
t
 
V V ( s, t )



V
V
dV
ds
dt
s
t



 DV
V ds
V
as
Dt
s dt
t


 V

V
as V
s
t

V
dt
t

dn
V
dt
t
109
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Balanço de forças durante o escoamento
fluido sem a interferência de forças viscosas
Balanço de Forças na direção da linha de corrente

Fs

m as
p dA ( p
p
ds ) dA - W sen
s
p
ds dA - g ds dA sen
s
p
- sen
s
p
s
dz
ds
dp - dz
V
V
V
s
V dV
V
s
m as
ds dA V
V
s
V
t
V
t
V
. Tomando ds
t
V
ds
t
dp
- g dz
s, multiplicando - se por ds :
d (V 2 )
2
V
ds
t
110
55
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Balanço de forças durante o escoamento
fluido sem a interferência de forças viscosas
Balanço de Forças na direção da linha de corrente
dp
d (V 2 )
2
- g dz
d (V 2 )
2
V2
2
dp
dp
V
ds
t
V
ds
t
g dz
V
ds
t
gz
0
cons tan te
Expressão Geral válida para Escoamento
Compressível não-Permanente
111
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Balanço de forças durante o escoamento
fluido sem a interferência de forças viscosas
Balanço de Forças na direção de uma linha de corrente
V2
2
dp
gz
V
ds
t
cons tan te
Escoamento Compressível Permanente
V2
2
dp
gz
cons tan te
Escoamento Incompressível Permanente
V2
2
p
gz
cons tan te
(Equação de Bernoulli)
112
56
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Balanço de forças durante o escoamento
fluido sem a interferência de forças viscosas
V2
2
p
gz
cons tan te ao longo de uma linha de corrente
(Equação de Bernoulli)
Suposições:
- Escoamento sobre uma linha de corrente;
- Escoamento invíscido (sem atrito);
- Escoamento incompressível;
- Escoamento em regime permanente.
113
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Balanço de forças durante o escoamento
fluido sem a interferência de forças viscosas
V2
2
p
gz
cons tan te ao longo de uma linha de corrente
(Equação de Bernoulli)
A somatória das parcelas de energia cinética, de
escoamento (pressão) e potencial gravitacional é
constante ao longo de uma linha de corrente quando
o escoamento é permanente e quando os efeitos da
compressibilidade e do atrito são desprezíveis.
114
57
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Outras formas para Equação de Bernoulli
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V2
2
p
gz cons tan te ao longo de uma linha de corrente
Energia/unidade de massa [Dimensão: L2T-2]
V2
2
p
z cons tan te ao longo de uma linha de corrente
Pressão/tensão [Dimensão: ML-1T-2]
V2
z cons tan te ao longo de uma linha de corrente
2g
Carga/altura de uma coluna de fluido [Dimensão: L]
p
115
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Outras formas para Equação de Bernoulli
p
p
V2
2
z cons tan te ao longo de uma linha de corrente
Pressão/tensão [Dimensão: ML-1T-2]
pressão estática (pressão termodinâmica real)
V2
pressão dinâmica
2
z pressão hidrostática
pestagnação
p
V2
2
Fonte: Mecânica dos Fluidos – Sylvio Reynaldo Bistafa
pressão de estagnação
116
58
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Tubo de Pitot – Medição de velocidade
V2
2
pestagnação p
pressão de estagnação
2 ( pestagnação p )
V
117
Fonte: Mecânica dos Fluidos – Sylvio Reynaldo Bistafa
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Outras formas para Equação de Bernoulli
C arg a total
p
htotal
p
V2
2g
Carga [Dimensão: L]
z
Carga de pressão
V2
Carga de velocidade
2g
z Carga da elevação
C arg a piezométrica
hpiezom.
p
z
118
59
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Balanço de forças durante o escoamento
fluido sem a interferência de forças viscosas
Movimento na direção normal à linha de corrente
z
 
V V ( n, t )
z
ds
s
dz
V2
R
an
119
Balanço de forças durante o escoamento
fluido sem a interferência de forças viscosas
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Movimento na direção
normal à linha de corrente



Fn
 V
m V
n

m an
p dAn ( p
p
dn) dA n
n
p
dn dA n
n
p
n
dp
dn
Logo,
cos

 V
V
n
dp
V
t
W Cos
g dn dA n Cos
m an
dn dA n

 V
V
n

V
t


 V
V
dz
V
, mas cos
. Assim :
n
t
dn


 V
V
dz
0. Em reg. permanente, V
t
dn
n
V2
V2
e

V
t
0.
dn gz con tan te na direção normal à linha de corrente
120
60
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Balanço de forças durante o escoamento
fluido sem a interferência de forças viscosas
Movimento na direção normal à linha de corrente
Equação do movimento na direção normal à
linha de corrente em regime permanente
dp
dn
dp
V2
V2
dz
dn
dn gz
0
con tan te na direção normal à linha de corrente
Expressão Geral válida para Escoamento
Compressível Permanente
121
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Balanço de forças durante o escoamento
fluido sem a interferência de forças viscosas
Movimento na direção normal à linha de corrente
Para escoamento incompresível:
p
p
V2
dn gz
V2
dn
z
con tan te na direção normal à linha de corrente
con tan te na direção normal à linha de corrente
Suposições:
- Escoamento normal à uma linha de corrente;
- Escoamento invíscido (sem atrito);
- Escoamento incompressível;
- Escoamento em regime permanente.
122
61
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Balanço de forças durante o escoamento
fluido sem a interferência de forças viscosas
Para escoamento incompresível:
p
p
V2
z
2
V2
dn
con tan te ao longo da linha de corrente
z
con tan te na direção normal à linha de corrente
Suposições:
- Escoamento ao longo da (ou normal) à uma linha de corrente;
- Escoamento invíscido (sem atrito);
- Escoamento incompressível;
- Escoamento em regime permanente.
123
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Discussão
62
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21/2/2013
Discussão
Discussão
Coeficiente de Contração: Cc
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21/2/2013
FIM
64