Revisão de distribuições de
probabilidades contínuas
(Capítulo 6 – Levine)
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Chap 6-1
Objetivos:
Neste capítulo, você aprenderá:
 Calcular probabilidades a partir da distribuição
normal
 Utilizar o gráfico da probabilidade normal para
determinar se um conjunto de dados está distribuído
aproximadamente nos moldes da distribuição normal
 Calcular probabilidades a partir da distribuição
uniforme
 Calcular probabilidades a partir da ditribuição
exponencial
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Chap 6-2
Distribuições de Probabilidades
Contínuas
 Uma variável aleatória contínua é uma variável que
pode assumir qualquer valor em um continuum (pode
assumir um no. incontável de valores)
 Espessura de um item
 Tempo necessário para concluir uma tarefa
 Temperatura de uma solução
 Peso
 As variáveis acima pode assumir qualquer valor,
dependendo apenas do nível de precisão com que serão
medidas.
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Chap 6-3
Variável Aleatória Contínua

Para v.a. contínua não faz sentido estabeler um par entre xi e p(xi)
 A probabilidade de ocorrer um xi específico é zero
 A distribuição de probabilidades é denominada função densidade de
probabilidade que é uma função não negativa
 A probabilidade de ocorrer valores entre a e b é definida pela área sob a curva
entre os valores a e b.
f(X)
P(a ≤ X ≤ b)
(Note que a
probabilidade de
qualquer valor individual
é zero)
a
b
Distribuição Normal
Propriedades
 tem o formato de “sino”
 Simétrica
 Média, Mediana e Moda são iguais
 a posição é caracterizada pela média, μ
 a dispersão é caracterizada pelo desvio-
padrão, σ
 a variável aleatória possui amplitude
infinita: - a +
 caso limite para diversas outras
distribuições
 fundamental para a inferência estatística
 definida por dois parâmetros (μ , σ)
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f(X)
σ
μ
Média
= Mediana
= Moda
Chap 6-5
Distribuição Normal
Função Densidade
• A fórmula para a função densidade de probabilidade da
distribuição Normal é
1
f(X) 
e
2π
Onde
1  (X μ) 
 

2  
2
e = constante matemática aproximada para 2,71828
π = constante matemática aproximada para 3,14159
μ = média da população
σ = desvio padrão da população
X = qualquer valor da variável contínua, em que
- < X < +
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Chap 6-6
Distribuição Normal
Forma
f(X)
B
A
C
X
Variando os parâmetros μ e σ, obtemos diferentes
distribuições normais
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Chap 6-7
Distribuição Normal
Forma
f(X)
Mudando μ a
distribuição move-se
para a direita ou
esquerda.
σ
μ
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Mudando σ a dispersão é
aumentada ou diminuída.
X
Chap 6-8
Distribuição Normal Padrão
•
•
•
Qualquer distribuição normal (com qualquer
combinação de média e desvio padrão) pode
ser transformada em uma distribuição normal
padrão (Z).
Necessário transformar X unidades em Z
unidades.
A distribuição normal padrão tem média 0 e
desvio padrão igual a 1.
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Chap 6-9
Distribuição Normal Padrão

Para converter qualquer variável aleatória normal,
X, em uma variável aleatória normal padronizada,
Z, subtrai-se a média de X e divide-se pelo desvio
padrão:
X μ
Z
σ
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Chap 6-10
Distribuição Normal Padrão: Função
Densidade de Probabilidade
 A fórmula da função densidade de probabilidade normal
padrão é:
1
f(Z) 
e
2π
Onde:
Z2

2
e = constante matemática aproximada para 2,71828
π = constante matemática aproximada para 3,14159
Z = qualquer valor da distribuição normal padrão
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Chap 6-11
Distribuição Normal Padrão
Forma
•
•
•
Também conhecida como distribuição “Z”
Media é 0
Desvio Padrão é 1
f(Z)
1
0
Z
Valores acima da média têm valores-Z positivos, valores
abaixo da média têm valores-Z negativos
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Chap 6-12
Distribuição Normal Padrão
Exemplo
•
Se X é uma variável aleatória normalmente distribuída
com média 100 e desvio padrão igual a 50, o valor-Z
para um valor X = 200 é
X  μ 200  100
Z

 2.0
σ
50
•
Isto quer dizer que X = 200 está dois desvios-padrão (2
incrementos de 50 unidades) acima da média 100.
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Chap 6-13
Distribuição Normal Padrão
Exemplo
100
0
200
2.0
X
Z
(μ = 100, σ = 50)
(μ = 0, σ = 1)
Observe que a distribuição é a mesma, somente a
escala é diferente. Nós podemos expressar o
problema na unidade original (X) ou em unidades
padronizadas (Z)
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Chap 6-14
Probabilidades na Distribuição
Normal
A probabilidade, como em qualquer distribuição
contínua, é medida pela área sob a curva
f(X)
P(a ≤ X ≤ b)
(Observe que a
probabilidade de
ocorrência de qualquer
valor individual é zero)
a
b
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Chap 6-15
Normal Probabilities
A área total sob a curva é 1,0, e a curva é simétrica,
então, metade está acima da média e metade está
abaixo da média.
f(X)
P(   X  μ)  0.5
0.5
P(μ  X   )  0.5
0.5
P(   X  )  1.0
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Chap 6-16
Tabelas da Distribuição Normal
 As tabelas da Normal Padronizada costumam
dar a probabilidade de valores menores do que Z
(ou seja, do negativo infinito até Z)
.9772
Exemplo:
P(Z < 2.00) = .9772
0
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2.00
Z
Chap 6-17
Tabelas da Distribuição Normal
A coluna dá o valor de Z na segunda
casa decimal
Z
0.0
A linha mostra o
valor de Z para a 0.1
.
primeira casa
.
.
decimal
2.0
0.00
.9772
0.01
0.02 …
O valor da tabela dá a
probabilidade de que Z
esteja entre Z =   e Z
igual ao valor desejado.
2.0
P(Z < 2.00) = .9772
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Chap 6-18
Encontrando Probabilidades Normais
Procedimento
Para encontrar a P(a < X < b) quando
X é distribuído normalmente:
•
Especifique a distribuição normal do seu problema em
termos da variável X.
• Transforme os valores-X em valores-Z.
• Use as tabelas da distribuição Normal padrão.
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Chap 6-19
Encontrando Probabilidades Normais
Exemplo
 Seja X uma variável aleatória que represente o
tempo (em segundos) para fazer o download de um
arquivo na internet.
 Suponha que X tenha distribuição normal com
média 8,0 e desvio-padrão 5,0
 Encontre P(X < 8,6)
X
8.0
8.6
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Chap 6-20
Encontrando Probabilidades Normais
Exemplo

Supondo que X seja normal com média 8,0 e desviopadrão 5,0. Encontre a P(X < 8,6).
Z
X  μ 8.6  8.0

 0.12
σ
5.0
μ=8
σ = 10
8 8.6
μ=0
σ=1
X
P(X < 8.6)
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0 0.12
Z
P(Z < 0.12)
Chap 6-21
Encontrando Probabilidades Normais
Exemplo
Tabela da Distribuição Normal
Padronizada (Extrato)
Z
.00
.01
P(X < 8.6)
= P(Z < 0.12)
.5478
.02
0.0
.5000 .5040 .5080
0.1
.5398 .5438 .5478
0.2
.5793 .5832 .5871
0.3
.6179 .6217 .6255
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μ=0
σ=1
0 0.12
Z
Chap 6-22
Encontrando Probabilidades Normais
Exemplo
 Encontrando P(X > 8.6)…
P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)
= 1.0 - .5478 = .4522
.5478
1.0 - .5478 = .4522
Z
0
0.12
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Chap 6-23
Encontrando Probabilidades Normais
Entre dois valores
• Suponha X uma v.a. com distribuição normal com média
8,0 e desvio padrão 5,0. Encontre P(8 < X < 8,6)
Calcule os valores Z:
X μ 8 8
Z

0
σ
5
X  μ 8.6  8
Z

 0.12
σ
5
8 8.6
X
0 0.12
Z
P(8 < X < 8.6)
= P(0 < Z < 0.12)
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Chap 6-24
Encontrando Probabilidades Normais
Entre dois valores
P(8 < X < 8.6)
= P(0 < Z < 0.12)
= P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0)
= .5478 - .5000 = .0478
Tabela da Distribuição Normal
Padronizada (Extrato)
Z
.00
.01
.02
0.0
.5000 .5040 .5080
0.1
.5398 .5438 .5478
0.2
.5793 .5832 .5871
0.3
.6179 .6217 .6255
.0478
.5000
Z
0.00
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0.12
Chap 6-25
Dada a Probabilidade Normal,
Encontrar o valor X
 Seja X uma v.a. que represente o tempo (em segundos)
para fazer o download de um arquivo na Internet.
 Suponha que X siga uma distribuição Normal com média
8,0 e desvio padrão 5,0
 Encontre X tal que 20% dos tempos para download sejam
inferiores a X.
.2000
?
?
8.0
0
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X
Z
Chap 6-26
Dada a Probabilidade Normal,
Encontrar o valor X
 Primeiro, encontre o valor-Z correspondente
à probabilidade conhecida usando a tabela.
Z
….
-0.9
….
.1762 .1736 .1711
-0.8
….
.2033 .2005 .1977
-0.7
….
.2327 .2296 .2266
.03
.04
.05
.2000
? 8.0
-0.84 0
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X
Z
Chap 6-27
Dada a Probabilidade Normal,
Encontrar o valor X
 A seguir, converta o valor-Z em valor-X
usando a fórmula.
Z
X-

X -   Z 
X  μ  Zσ
 8,0  (0,84)5,0
 3,80
Então 20% dos tempos para fazer o download são
menores do que 3,80 segundos.
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Chap 6-28
Avaliando a Normalidade
 É importante saber avaliar o quão bem a
distribuição dos dados pode ser aproximada por
uma distribuição normal.
 Dados normalmente distribuídos deveriam
seguir as propriedades teóricas da distribuição
Normal:
 A distribuição Normal é em forma de sino
(simétrica) sendo a média igual à mediana.
 As regras empíricas aplicam-se à distribuição
normal.
 A amplitude interquartil é igual a 1,33 desviospadrão.
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Chap 6-29
Avaliando a Normalidade
 Construa gráficos
 Para conjuntos de dados de tamanho pequeno ou
moderado, construa uma disposição ramo e folha e
um box-plot. Eles parecem simétricos?
 Para conjuntos grandes de dados, construa um
histograma. Ele tem a forma de sino?
 Calcule as estatísticas descritivas
 A média, mediana e moda têm valores semelhantes?
 A amplitude interquartil é aproximadamente igual a
1.33 σ?
 A amplitude é aproximadamente igual a 6 σ?
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Chap 6-30
Avaliando a Normalidade
 Observe a distribuição do conjunto de dados
 Aproximadamente 2/3 dos valores se posicionam
entre a média aritmética e ± 1 desvio-padrão?
 Aproximadamente 80% dos valores se posicionam
entre a média aritmética e ± 1.28 desvio-padrão?
 Aproximadamente 95% dos valores se posicionam
entre a média aritmética e ± 2 desvios-padrão?
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Chap 6-31
Distribuição Uniforme
 A distribuição uniforme é uma distribuição de
probabilidade que tem probabilidades iguais
para todos os possíveis resultados da variável
aleatória. Todos os valores do espaço amostral
têm a mesma probabilidade de ocorrer.
 Por causa disso ela é também chamada de
distribuição retangular
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Chap 6-32
Distribuição Uniforme
A função densidade de probabilidade da Distribuição Uniforme :
f(X) =
1
ba
0
se a  X  b
caso contrário
Onde:
f(X) = valor da função densidade para qualquer valor de X
a = valor mínimo de X
b = valor máximo de X
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Chap 6-33
Distribuição Uniforme
 A média, ou valor esperado, de uma variável
que segue a distribuição uniforme é :
ab
μ
2
 O desvio-padrão é :
σ
(b - a)2
12
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Chap 6-34
Distribuição Uniforme
Exemplo: encontre os parâmetros (média e desvio
padrão) de uma v.a. que segue a distribuição
uniforme e assume valores entre 2 ≤ X ≤ 6 :
1
f(X) = 6 - 2 = .25 for 2 ≤ X ≤ 6
f(X)
μ
.25
2
6
X
σ
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ab 26

4
2
2
(b - a) 2

12
(6 - 2) 2
 1.1547
12
Chap 6-35
Distribuição Exponencial
 Usada para modelar o tempo entre duas ocorrências
de um evento
 Muito utilizada em Teoria das Filas para estudar o
tempo entre duas chegadas
 Exemplos:
 Tempo entre a chegada de clientes a um supermercado
 Tempo entre chamadas telefônicas
 Tempo entre transações em um terminal ATM
 É uma distribuição assimétrica à direita que se
extende de zero até o infinito positivo
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Chap 6-36
Distribuição Exponencial
 Definida por um único parâmetro, sua média λ
(lambda)
 A probabilidade de que o tempo de chegada seja
menor que um tempo especificado X é
P(tempo antes da próxima chegada  X)  1  e λX
onde
e = constante matemática aproximadamente igual a
2.71828
λ = a média aritmética do número de chegadas por
unidade
X = qualquer valor da variável contínua, em que
0<X< 
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Chap 6-37
Distribuição Exponencial
Exemplo: Clientes chegam a um balcão de atendimento a
uma taxa de 15 por hora. Qual a probabilidade de que o
tempo de chegada entre dois clientes consecutivos seja
menor do que 3 minutos?
 A média do número de chegadas por hora é 15, então λ = 15

3 minutos é igual a 0,05 horas

P(tempo entre chegadas < .05) = 1 – e-λX = 1 – e-(15)(0,05) =
0,5276

Então há 52,76% de probabilidade de que o tempo entre
chegadas sucessivas de clientes seja menor do que 3 minutos
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Chap 6-38