Capítulo 8
Estimativa do Intervalo
de Confiança
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Chap 8-1
Objetivos:
Neste capítulo, você aprenderá:
 Construir e interpretar estimativas de
intervalos de confiança para a média
aritmética e para a proporção
 Determinar o tamanho da amostra necessário
para desenvolver um intervalo de confiança
para a média aritmética ou para a proporção
 Utilizar estimativas de intervalos de
confiança em auditoria
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Chap 8-2
Tópicos
Intervalos de confiança para a média
populacional, μ
 Quando o desvio-padrão da população σ
é conhecido
 Quando o desvio-padrão da população σ
é desconhecido
2. Intervalos de confiança para a proporção
populacional, π
3. Determinação do tamanho da amostra
necessário
1.
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Chap 8-3
Estimativa Pontual
 Uma estimativa pontual é um número único.
Para a média populacional (e desvio-padrão
populacional), a estimativa pontual é a média
amostral (e o desvio-padrão amostral).
 O intervalo de confiança traz informações
adicionais sobre a variabilidade da estimativa.
Limite Inferior do
Intervalo
Estimativa Pontual
Limite Superior do
Intervalo
Largura (amplitude) do
Intervalo de Confiança
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Chap 8-4
Estimativas do Intervalo de
Confiança
 Um intervalo de confiança dá um intervalo de
valores possíveis:
 Leva em consideração a variação na estatística
amostral que ocorre de amostra para amostra
 Baseada em todas as observações de 1 amostra
 Dá informações sobre a proximidade do parâmetro
populacional desconhecido
 Estabelecido em termos do nível de confiança
 Ex. 95% de confiança, 99% de confiança
 Não pode ser nunca 100% de confiança
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Chap 8-5
Estimativas do Intervalo de
Confiança
 A fórmula geral de todos os
intervalos de confiança é:
Estimativa Pontual ± (Valor Crítico) (Desvio Padrão)
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Chap 8-6
Nível de Confiança
 Nível de Confiança
 Confiança de que o intervalo conterá o
parâmetro populacional desconhecido
 Um percentual (menor que 100%)
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Chap 8-7
Nível de Confiança
 Suponha nível de confiança = 95%
 Também escrito (1 - ) = .95
 Uma interpretação da frequência relativa:
 No longo prazo, 95% de todos os intervalos de
confiança que poderão ser construídos
conterão o parâmetro desconhecido
 Um intervalo específico pode conter ou não
o parâmetro verdadeiro
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Chap 8-8
Intervalo de Confiança para μ
(σ conhecido)
Premissas
 Desvio-Padrão da população σ é conhecido
 População é normalmente distribuída
 Se a população não é normal, use amostras grandes
Estimativa do Intervalo de Confiança:
σ
XZ
n
(onde Z é o valor crítico em uma distribuição normal
padronizada para uma probabilidade α/2 em cada cauda)
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Chap 8-9
Encontrando o Valor Crítico, Z
Considere um intervalo de confiança de 95%:
1   .95
α
 .025
2
Z unidades:
X unidades:
α
 .025
2
Z= -1.96
Limite
Inferior do
Intervalo
0
Estimativa
Pontual
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Z= 1.96
Limite
Superior do
Intervalo
Chap 8-10
Encontrando o Valor Crítico, Z
Intervalos de Confiança mais comuns: 90%, 95%, e
99%
Nível de
Confiança
Coeficiente
de Confiança
Valor Z
80%
90%
95%
98%
99%
99.8%
99.9%
.80
.90
.95
.98
.99
.998
.999
1.28
1.645
1.96
2.33
2.58
3.08
3.27
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Chap 8-11
Intervalos e Nível de Confiança
Distribuição Amostral
da Média
/2
Intervalos se
extendem de:
σ
X Z
n
1 
x
μx  μ
x1
x2
a
σ
X Z
n
/2
(1-)x100%
dos intervalos
construídos
contém μ;
()x100% não.
Intervalos de Confiança
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Chap 8-12
Intervalo de Confiança para μ
(σ conhecido) Exemplo
 Uma amostra de 11 circuitos extraída de uma
população normal tem resistência média de
2.20 ohms. Sabemos de testes anteriores que
a população tem desvio-padrão igual a .35
ohms.
 Determine o intervalo de confiança a 95%
para a verdadeira resistência média da
população.
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Chap 8-13
Intervalo de Confiança para μ
(σ conhecido) Exemplo
σ
X Z
n
 2.20  1.96 (.35/ 11)
 2.20  .2068
(1.9932 , 2.4068)
 Nós estamos 95% confiantes de que o intervalo entre 1.9932 e
2.4068 ohms contém a verdadeira média da população.
 Apesar da verdadeira média poder ou não estar no intervalo,
95% dos intervalos formados desta maneira conterão a
verdadeira média da população
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Chap 8-14
Intervalo de Confiança para μ
(σ desconhecido)
 Se o desvio-padrão da população σ é
desconhecido, nós podemos adotar como
aproximação o desvio-padrão da amostra, S
 Isso introduz uma incerteza adicional, já que
S varia de amostra para amostra
 Então, usamos a distribuição t de Student ao
invés da distribuição normal
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Chap 8-15
Intervalo de Confiança para μ
(σ desconhecido)
Premissas:
 Desvio-padrão da população é desconhecido
 População é normalmente distribuída
 Se a população não for normal, use amostras grandes
Use Distribuição t de Student
Estime o intervalo de confiança:
S
X  t n-1
n
(onde t é o valor crítico da distribuição t com n-1 g.l. e
uma área de α/2 em cada cauda)
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Chap 8-16
Distribuição t de Student
 O valor t depende dos graus de liberdade (g.l.)
 Número de observações que estão livres para variar
após a média da amostra ter sido calculada
d.f. = n - 1
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Chap 8-17
Graus de Liberdade
Ideia: Número de observações que estão livres para
variar após a média da amostra ter sido calculada
Exemplo: Suponha que a média de 3 números seja
8.0
Sea média dos valores é 8.0,
então X3 deve ser 9
Seja X2 = 8
Qual o valor de X3? (i.e., X3 não é livre para variar)
 Seja X1 = 7


Aqui, n = 3, então os graus de liberdade são = n – 1 = 3 – 1 = 2
(2 valores podem ser qualquer número, mas o terceiro não é livre para
variar uma vez que a média está dada)
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Chap 8-18
Distribuição t de Student
Observe:
t
Z à medida que n aumenta
Normal Padrão
(t com gl = ∞)
t (gl = 13)
Distribuições t são em forma
de sino e simétricas, mas têm
caudas mais “gordas” que a
normal
t (gl = 5)
0
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t
Chap 8-19
Tabela da t de Student
Áreas da Cauda Superior
gl
.25
.10
.05
1 1.000 3.078 6.314
Seja: n = 3
gl = n - 1 = 2
 = .10
/2 =.05
2 0.817 1.886 2.920
/2 = .05
3 0.765 1.638 2.353
O corpo da tabela contém os
valores t, não as probabilidades
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0
2.920
t
Chap 8-20
Intervalo de Confiança para μ
(σ desconhecido) Exemplo
Uma amostra aleatória com n = 25 tem X = 50 e S = 8.
Construa um intervalo de confiança a 95% para μ
 g.l. = n – 1 = 24, então
 O intervalo de confiança é:
X  t/2, n -1
S
8
 50  (2,0639)
n
25
(46,698 ; 53,302)
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Chap 8-21
Intervalos de Confiança para a
Proporção Populacional, π
 Uma estimativa intervalar para a proporção
populacional ( π ) pode ser calculada
acrescentando uma incerteza à proporção
amostral ( p )
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Chap 8-22
Intervalos de Confiança para a
Proporção Populacional, π
Lembre-se que a distribuição da proporção amostral é
aproximadamente normal se o tamanho da amostra é grande,
com desvio-padrão
σp 
 (1   )
n
Nós estimaremos este valor a partir dos dados amostrais:
p(1 p)
n
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Chap 8-23
Intervalos de Confiança para a
Proporção Populacional, π
Os limites inferior e superior do intervalo de confiança da
proporção populacional são calculados com a fórmula:
p(1 p)
pZ
n
Onde:
 Z é o valor crítico na distribuição normal padronizada para
o nível de confiança desejado
 p é proporção na amostra
 n é o tamanho da amostra
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Chap 8-24
Intervalos de Confiança para a
Proporção Populacional, Exemplo
Em uma amostra aleatória de 100 pessoas, 25 são canhotas.
Construa um intervalo de confiança para a verdadeira
proporção de canhotos na população com 95% de confiança.
p  Z p(1 p)/n
 25/100  1,96 .25(.75)/100
 .25  1,96 (.0433)
(0,1651 ; 0,3349)
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Chap 8-25
Intervalos de Confiança para a Proporção
Populacional, Exemplo
 Nós estamos 95% confiantes de que a
proporção de canhotos da população esteja
entre 16,51% e 33,49%. Apesar de o
intervalo de .1651 a .3349 poder ou não
conter a proporção populacional verdadeira,
95% dos intervalos construídos a partir de
amostras de tamanho 100 conterão a
verdadeira proporção de canhotos na
população.
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Chap 8-26
Determinando o tamanho da
amostra
 O tamanho de amostra desejado pode ser
definido de forma a obter uma determinada
margem de erro (e) com um nível de
confiança especificado (1 - )
 A margem de erro é também chamada de
erro amostral
 O quão imprecisa é a estimativa do parâmetro
populacional
 O montante somado e subtraído da estimativa
pontual para formar o intervalo de confiança
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Chap 8-27
Determinando o tamanho da
amostra
 Para definir o tamanho da amostra para a
estimativa da média, você precisa conhecer:
 O nível de confiança desejado (1 - ), que
determina o valor crítico Z
 O erro amostral desejado (margem de erro), e
 O desvio-padrão, σ
σ
eZ
n
Agora,
resolva para
n
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Z σ
n
2
e
2
2
Chap 8-28
Determinando o tamanho da
amostra
Se  = 45, que tamanho de amostra é necessário
para estimar a média com uma margem de erro de
± 5 com 90% de confiança?
Z 2 σ 2 (1,645) 2 (45) 2
n

 219,19
2
2
e
5
Então, o tamanho de amostra necessário é
n = 220
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Chap 8-29
Determinando o tamanho da
amostra
 Se desconhecido, σ pode ser estimado
quando necessário na fórmula do tamanho da
amostra
 Use um valor para σ a partir da análise da
amplitude (se distribuição normal esta é
aproximadamente igual a 6σ)
 Selecione uma amostra piloto e estime σ a
partir do desvio-padrão da amostra, S
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Chap 8-30
Determinando o tamanho da
amostra
Para determinar o tamanho da amostra necessário para a
proporção, você precisa saber:
 O nível desejado de confiança (1 - ), que determina
o valor crítico Z
 O erro amostral aceitável (margem de erro), e
 A verdadeira proporção de “sucessos”, π
 π pode ser estimado a partir de uma amostra piloto, se
necessário (ou conservadoramente use π = .50)
eZ
 (1   )
n
Resolvendo
para n
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Z  (1   )
n
e2
2
Chap 8-31
Determinando o tamanho da
amostra
Qual o tamanho da amostra necessário à
estimativa da proporção de defeituosos em uma
grande população, com uma margem de erro de
±3%, e 95% de confiança?
 (Assuma que em uma amostra piloto foi
obtida a proporção p = .12 de defeituosos)
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Chap 8-32
Determinando o tamanho da
amostra
Solução:
Para 95% confiança, use Z = 1.96
e = .03
p = .12, então use este para estimar π
Z 2  (1   ) (1,96) 2 (.12)(1  .12)
n

 450,74
2
2
e
(.03)
Então use n = 451
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Chap 8-33
Aplicações em Auditoria
 Seis vantagens da amostragem estatística em
auditoria
 Resultados amostrais são objetivos e
defensáveis
 Desde que baseados em princípios estatísticos
demonstráveis
 Permite a estimativa do tamanho da amostra
previamente e com bases objetivas
 Permite uma estimativa do erro amostral
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Chap 8-34
Aplicações em Auditoria
 Permite conclusões mais precisas sobre a
população
 A análise de toda a população pode demandar muito
tempo e estar sujeitas a outros erros que não o da
amostragem
 Amostras podem ser combinadas e avaliadas por
diferentes auditores
 Amostras são baseadas em abordagem científica
 Amostras podem ser tratadas como se tivessem sido
feitas por um único auditor
 Uma avaliação objetiva dos resultados é possível
 Baseado no conhecimento do erro amostral
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Chap 8-35
Estimando o Valor Total da
População
 Estimativa Pontual:
Population total  NX
 Estimativa do Intervalo de Confiança:
S
NX  N( t n1 )
n
Nn
N 1
(Esta amostragem é sem reposição, então use o fator de correção para
populações finitas na fórmula do intervalo de confiança)
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Chap 8-36
Estimando o Valor Total da
População
 Uma firma tem uma população de 1000 faturas e
deseja estimar o valor total da população.
 Uma amostra de 80 faturas é selecionada com valor
médio de $87.6 e desvio-padrão de $22.3.
 Encontre a estimativa do valor total para um nível de
confiança de 95%.
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Chap 8-37
Estimando o Valor Total da
População
N  1000, n  80, X  87,6, S  22,3
S
N X  N (t n 1 )
n
Nn
N 1
22.3 1000  80
 (1000)(87.6)  (1000)(1,9905)
80 1000  1
 87.600  4.762,48
O intervalo de confiança a 95% para o valor total da
população de faturas é de $82.837,52 a $92.362,48
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Chap 8-38
Intervalo de Confiança para a
Diferença Total
 Estimativa Pontual:
Diferença Total  ND
 Onde a diferença média D ,é:
n
D
D
i 1
i
n
onde Di  valor auditado - valor original
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Chap 8-39
Intervalo de Confiança para a
Diferença Total
Estimativa do Intervalo de Confiança:
SD
ND  N( t n1 )
n
onde:
Nn
N 1
n
SD 
2
(
D

D
)
 i
i1
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n 1
Chap 8-40
Intervalos de Confiança
Unilaterais
Aplicações: encontre o limite superior para a proporção de itens
que não estão em conformidade com os controles internos
p(1 p) N  n
Limite Superior  p  Z
n
N 1
Onde:
 Z é o valor crítico na normal padrão para o nível de
confiança desejado
 p é a proporção amostral de itens em não conformidade
 n é o tamanho da amostra
 N é o tamanho da população
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Chap 8-41
Estimativas e Questões Éticas
 Problemas
 Fornecer somente estimativas pontuais sem o intervalo de
confiança e o tamanho da amostra
 Não informar o nível de confiança da estimativa
 Não explicar, para o público leigo, o significado do intervalo de
confiança
 Então, ao trabalhar com estimativas a partir de amostras
informe sempre:




A estimativa pontual
O intervalo de confiança com o respectivo nível de confiança
O tamanho da amostra
Uma explicação do conceito do intervalo de confiança
 “Há 95% de chances de que o intervalo xxxxxx contenha a
verdadeira (xxxxx=média/desvio/proporção) da população”