Anais do V WORCAP, INPE, São José dos Campos, 26 e 27 de outubro de 2005.
Simulação de Transientes Elétricos durante Processos de Solda Anódica
1
Fabiana Ferreira Paes1, Maurício Fabbri2
Programa de Pós-graduação em Computação Aplicada (CAP)
2
Laboratório Associado de Sensores e Materiais (LAS)
Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE)
[email protected] [email protected]
na vizinhança da interface metal-vidro unindo as
superfícies devido ao campo eletrostático alto. Neste tipo
de adesão os materiais mais utilizados são metais ou
semicondutores, aderidos a vidros. E a tensão total
aplicada entre o pólo positivo e negativo é alta e
constante (~1000V).
Resumo
Descrevemos um modelo numérico para a camada de
depleção durante a solda eletrostática (solda anódica)
na ausência do transporte difusivo com evolução no
tempo. O esquema numérico permite modelos com
mobilidades independentes dos cátions e dos ânions,
permitindo que a camada oxida aumente na interface
vidro-metal e a interdependência entre o transporte de
sódio e de oxigênio. Contudo, os perfis das cargas da
camada de depleção são concentrados à frente da
interface, produzindo uma zona de depleção neutra.
Deste modo, propomos um estudo detalhado da camada
de depleção de íons de sódio.
2. Solda anódica: conceitos básicos e
aplicações
O processo de solda eletrostática também chamada
solda anódica, teve início em 1969 com o trabalho
pioneiro de G. Wallis e D. I. Pomerantz que propuseram
a união de diferentes tipos de vidros em temperaturas
abaixo do ponto de amolecimento, como por exemplo,
sílica fundida e metais como titânio, ou semicondutores
(tais como silício, germânio) impondo uma diferença de
potencial entre os dois materiais a serem soldados.
A junção aconteceu em 1 minuto aproximadamente,
aplicando uma tensão total de 1000V entre o vidro e o
metal. Wallis G. e Pomerantz D. I., (1969) aplicaram
este processo em um certo número de combinações de
metal (ou semicondutor)-vidro.
O processo proposto ganhou utilidade por ser
desenvolvido em temperaturas inferiores aquelas
utilizadas em solda por fusão térmica e também por não
ser tão dependente do processo de limpeza e da
planicidade das superfícies como o processo de solda
direta (“fusion bonding”). É, portanto um processo que
pode ser adicionado ao final de uma seqüência de
microfabricação de dispositivos (Rios et al, 2000).
O trabalho de Albaugh (1991) propõe um
modelamento para o transiente de corrente durante a
solda anódica Si-Pyrex, e considera a camada de vidro
como um resistor e a camada de depleção anódica como
um capacitor revestido de metal. A resistência do vidro é
determinada pela resistividade e pela geometria
experimental e a capacitância da camada de depleção em
função da área, da quantidade de carga transportada e da
constante dielétrica do vidro. O modelo em questão
equivale às medidas experimentais em pequenos
intervalos de tempo, e sugere o transporte de muitos
íons.
Palavras-chave: solda anódica, solda eletrostática,
camada de depleção elétrica, contorno variável.
1. Introdução
A microfabricação abrange processos de adicionar e
retirar material, além de processos para modificação dos
mesmos. Em relação à adição de materiais, podemos
citar a solda.
Os métodos que se destacam na solda são aqueles que
conseguem unir dois materiais sem fundi-los e sem a
utilização de adesivo líquido intermediário; ou seja, é
feita por contato mecânico. Os métodos mais eficientes
para alcançar este tipo de adesão são as soldas direta e
anódica.
A solda direta (“fusion bonding”) é obtida a partir do
simples contato entre duas superfícies extremamente
limpas. A limpeza, a ausência de rugosidade, a
planicidade das superfícies e a sua ativação são fatores
determinantes no início do processo de adesão direta.
Além da preparação das superfícies a serem aderidas,
freqüentemente é usado um recozimento em altas
temperaturas, para a obtenção da união permanente entre
os materiais (Rios et al, 2000).
A solda eletrostática ou solda anódica ocorre em
temperaturas entre 200 e 500ºC e sob influência da
migração dos cátions de sódio (Na+) da dissociação de
Na2O no interior do vidro em direção ao pólo negativo, e
assim forma uma camada de depleção de íons de sódio
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Anais do V WORCAP, INPE, São José dos Campos, 26 e 27 de outubro de 2005.
O trabalho de Rios et al, (2000) descreve um modelo
de evolução no tempo da camada de depleção e da
corrente durante a solda anódica e introduz um valor
crítico para o campo elétrico, que causa o transporte
imediato de oxigênio no vidro, resultando assim em
comportamentos distintos para pequenos e grandes
tempos.
Esse trabalho segue uma forma simplificada para a
solução analítica das equações e considera a distribuição
total da tensão dentro do vidro. Os resultados desse
trabalho mostraram ser coerentes com o modelo
proposto por Albaugh, (1991).
estacionários devido à pequena mobilidade, assim uma
região crescente adjacente ao ânodo, que já estava
depletada de íons de Na+, torna-se negativamente
carregada conforme a figura 3.4. Conseqüentemente o
campo elétrico, nesta região terá um comportamento
linear.
3. Metodologia
3.1. Modelo
Apresentamos para a solda anódica um modelo para o
movimento dos íons durante o processo. Consideramos
um esquema simples em que o potencial é inteiramente
distribuído dentro do vidro, como é mostrado na figura
3.1. Desprezamos a queda de potencial na camada de
semicondutor, que possui uma resistividade bastante
inferior ao vidro.
Figura 3.3: Densidade de carga dos íons de sódio
(Na+) na espessura do vidro.
Figura 3.1: Esquema da disposição dos eletrodos durante
a solda semicondutor-vidro.
Em t = 0 (no momento que a tensão total é imposta
sobre o par), o campo elétrico é uniforme ao longo do
vidro E = E0 (figura 3.2) e inicia-se o movimento dos
portadores de carga (íons de sódio no vidro e elétrons no
silício).
Figura 3.4: Densidade de carga total na espessura do
vidro.
Denotamos no interior do vidro as densidades de
carga normalizada do sódio (cátion) e do oxigênio
(ânion) por ρ+ e ρ-, respectivamente, satisfazendo, 0 ≤
ρ+,- ≤ 1 (ρ+,- = n+,- / n0+, onde n0+ é o conteúdo inicial de
sódio no vidro), conforme Fabbri & Senna (2004).
A figura 3.5 refere-se aos perfis de carga e de campo
elétrico no desenvolvimento da camada de depleção.
Denotamos o fluxo de carga normalizada dos cátions do
sódio por J+. A interface da camada de depleção Γ é
deslocada por uma quantidade dx durante o intervalo de
tempo dt, satisfazendo
dx = J + dt .
(3.1)
Note que a interface metal-vidro em x = 0 não é fonte de
íons de sódio, assim J+ = 0 para 0 ≤ x ≤ Γ. O aumento do
campo elétrico na camada de depleção segue a lei de
Gauss-Poisson (Jackson, 1975),
Figura 3.2: Campo elétrico uniforme (E=E0), em
t = 0s.
Nos próximos instantes de tempo o campo elétrico
tende a arrastar os íons de sódio (Na+) para o pólo
negativo, figura 3.3. Contudo os íons de O2- ficam
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∂E ρ
= .
∂x ε
Figura 3.5: Perfis de densidade de carga e campo
elétrico durante desenvolvimento da camada de
depleção, ambos com transporte de íons de sódio (+) e
de oxigênio (-).
(3.2)
Na região exterior à camada de depleção, o campo
elétrico é uniforme. Assumimos que a queda do
potencial ocorre apenas dentro da espessura do vidro L e
o perfil do campo elétrico deve satisfazer
3.2 Esquema Numérico
L
V0 = ∫ Edx .
Para o desenvolvimento do esquema numérico (Press
et al, 1992) levam-se em conta:
(1) a insignificância do transporte de oxigênio no
exterior a camada de depleção no interior do
vidro, onde o campo elétrico é uniforme, de baixa
intensidade e com decremento estável no tempo;
(2) o decremento da velocidade de avanço da camada
de depleção no tempo;
Uma razão adicional para desprezar o transporte de
oxigênio no exterior da camada de depleção, é a
presença de íons de sódio em x > Γ, que faz com que os
átomos de oxigênio permaneçam imobilizados pelo par
iônico Na2O.
As equações 3.1 a 3.5 são tratadas como um problema
de contorno móvel, em que é integrada de acordo com o
seguinte algoritmo:
(1) com o campo elétrico na posição Γ, obtemos o
fluxo de corrente local dos cátions Na+ usando a
relação descrita na equação 3.4;
(2) calculamos o deslocamento ∆x da posição da
camada de depleção avança durante o intervalo de
tempo ∆t, de acordo com a equação 3.1;
(3) com os valores atuais do campo elétrico no
interior da camada de depleção, o novo valor do
perfil da densidade de carga dos ânions ρ-(x) é
então obtido considerando um esquema numérico
explícito da equação 3.5 (Hoffman, 1992).
(4) com a densidade de carga total ρ = ρ + − ρ − , o
campo elétrico no tempo t + ∆t é encontrado pela
integração da equação de Poisson (equação 3.2)
subjacente ao potencial total normalizado,
equação 3.3.
As condições iniciais (quando t = 0 e Γ = 0) são E =
E0 = V0/L, ρ+ = ρ- = 1.0 (campos uniformes). Note que a
iteração do tempo no passo 2 estabelece uma malha com
espaçamento variável sobre o domínio 0 ≤ x ≤ Γ (Fabbri
& Senna, 2004).
(3.3)
0
O fluxo de corrente local relaciona o valor do campo
elétrico local e a densidade de carga local de acordo com
a relação J = J(E,ρ) que é denotada:
J + = µ + ρ + f (E ) .
(3.4)
Na ausência do transporte de oxigênio, as equações
3.1 a 3.4 determinam à evolução no tempo da camada de
depleção Γ(t). O comportamento ôhmico do transporte
de Na+, J + = µ + ρ + f (E ) , leva à mesma solução que
Albaugh, (1991) encontrou através do modelo
equivalente a um circuito com capacitância variável.
À medida que a camada de depleção avança, o campo
elétrico na interface metal-vidro aumenta e à frente de
Γ(t), o campo elétrico e a velocidade v(t) de avanço
diminuem com o tempo.
Empregar-se uma primeira aproximação ôhmica para
o fluxo de ânions:
J − = µ − ρ − f (E ) .
(3.5)
À medida que os valores do campo elétrico ficam
altos, o fluxo de ânions de oxigênio torna-se
considerável em direção a interface metal-vidro. Deste
modo, esperamos que uma região neutra de carga se
desenvolva com o tempo na camada de depleção e assim
limite o valor do campo elétrico na interface metal-vidro.
METAL
GLASS
1
ρ+
x
0
1
ρ_
4. Resultados
ρ = ρ+− ρ_
Esta seção representa os resultados obtidos para o
campo elétrico, o fluxo de corrente e a densidade de
carga para o transporte de íons de sódio e de oxigênio.
1ª parte: O transporte de íons de sódio (Na+)
considera a densidade de carga constante (ρ+ = 1.0) e a
mobilidade dos íons de oxigênio (O2-) desprezível
(µ - = 0.0);
-1
EI
EΓ
E
Γ
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2ª parte: Valores finitos para a mobilidade são
considerados para o transporte de íons de Oxigênio (O2-).
Neste trabalho apresentamos um valor finito.
A tabela 4.1 mostra as constantes usadas na simulação
numérica (Fabbri e Senna, 2004).
Valores característicos do comprimento lD para
dinâmica da camada de depleção são definidos como:
lD =
2εV0
,
n0 +
(3.5)
obtemos lD = 2.12×10-8 m, usando a tabela 4.1.
Tabela 4.1: Valores dimensionais dos parâmetros usados
nas simulações numéricas.
Parâmetro
SimValor
bolo
Quadro
Tensão
V0
1000V
experimen- aplicada
tal
Espessura do
L
3,2 mm
Vidro
Proprieda- Constante
7ε0
ε
des Físicas Dielétrica
Permissibiliε0
8.85×
dade
10-12 F/m
Carga do
n0+
2.77×
sódio
108 C/m3
Resistividade
r
1.1×105
+
iônica do Na
Ω.m
Figura 4.1.1: Decremento do fluxo de corrente
normalizado no tempo, considerando a
mobilidade dos ânions de oxigênio µ - = 0.0.
4.1. 1ª Parte: Transporte de íons de Sódio
(Na+)
Figura 4.1.2: Decremento do fluxo de corrente
normalizado no tempo
, pontos medidos por
Albaugh, (1991)
.
Os valores do fluxo de corrente são proporcionais ao
fluxo dos cátions de sódio, conforme equação 3.4, na
posição da interface Γ. No modelo linear simples
(ôhmico), J+ têm o mesmo comportamento do campo
elétrico local (E+) em Γ.
A figura 4.1.1 mostra o fluxo de corrente obtido para
os íons de sódio. O quadro experimental obtido por
Albaugh (1991) é apresentado na figura 4.1.2, ajustado
por um polinômio de terceiro grau. Ao comparar estas
figuras percebe-se que o resultado numérico (µ - = 0.0)
decresce rapidamente em relação os dados
experimentais. Assim torna-se necessário à análise de
resultados aumentando a mobilidade dos íons de O2- em
relação à do Na+.
A figura 4.1.3 apresenta a simulação numérica para o
campo elétrico que decresce linearmente no interior da
camada de depleção, devido sua relação com o fluxo de
corrente.
Os resultados da camada de depleção calculados
numericamente e os obtidos por Albaugh (1991) estão
representados na figura 4.1.4 e mostram-se coerentes no
intervalo de tempo [0, 90s].
Os resultados apresentados foram obtidos para
mobilidade dos ânions de oxigênio µ - = 0.0.
Figura 4.1.3: Campo elétrico na camada de depleção
para µ - = 0.0.
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A camada de depleção calculada pode ser vista na
figura 4.2.4.
300000
mob = 0.0
mob = 0.00003
250000
E/E0
200000
150000
100000
50000
Figura 4.1.4: Comparação da camada de depleção
calculada, com µ - = 0.0 e o resultado obtido
por Albaugh (1991).
0
0
0.25
0.5
x/ld
0.75
1
Figura 4.2.2: Campo elétrico na camada de depleção.
1
4.2. 2ª Parte: Transporte de íons de Oxigênio
(O2-)
0.9
Valores finitos para a mobilidade dos íons de
oxigênio são considerados para obter os resultados dos
transientes elétricos.
A densidade de oxigênio foi calculada explicitamente
no tempo. Deste modo, obtemos o campo elétrico e o
fluxo de corrente no interior da camada de depleção
utilizando o esquema numérico mostrado anteriormente.
O fluxo de corrente aproxima-se dos dados
experimentais obtidos por Albaugh ao aumentar a
mobilidade dos íons de O2-.
A figura 4.2.1 representa o decremento do fluxo de
corrente normalizado no tempo, considerando a
mobilidade dos ânions de oxigênio µ - = 0.00003.
n/n0
0.8
0.7
0.6
mob = 0.00003
mob = 0.0
0.5
0
0.25
0.5
0.75
1
x/ld
Figura 4.2.3: Densidade de íons de O2- no interior da
camada de depleção.
1
1
0.9
0.9
0.8
camada de depleção
0.8
0.7
J/J0
0.6
0.5
0.4
0.3
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
1
2
3
4
t [s]
0
0
1
2
3
4
x/ld
Figura 4.2.4: Camada de depleção calculada
(µ - = 0.00003).
Este estudo mostra resultados simples que evidenciam
a importância de considerar os íons de oxigênio móveis
no interior do vidro através de valores finitos para a
mobilidade.
O método explícito utilizado para obter os resultados
mostra-se instável para tempos grandes, deste modo
torna-se necessário a utilização de um método implícito.
Figura 4.2.1: Decremento do fluxo de corrente
normalizado no tempo.
A figura 4.2.2 compara o campo elétrico obtido na
camada de depleção para µ - = 0.0 e µ - = 0.00003.
A figura 4.2.3 compara a densidade de íons de O2que permanecem no interior da camada de depleção de
íons de Na+.
5
Anais do V WORCAP, INPE, São José dos Campos, 26 e 27 de outubro de 2005.
Bonding of Silicon to Sodium Borosilicate Glass.
Journal Electrochem Society, v. 138, n., p. 3089-3094,
oct. 1991.
[2] Fabbri, M.; Senna, J. R. Numerical Simulation of
Ion Transport During Anodic Bonding. In: XXV Congresso Íbero-Latino Americano de Métodos
Computacionais em Engenharia. Recife-PE, 2004.
[3] Hoffman, J. D.; Numerical Methods for Engineers
and Scientists. New York: McGraw - Hill, jan. 1992.
823 p.
[4] Jackson, J. D.; Classical Electrodynamics. New
York: John Wiley & Sons, Inc, 1975. 640 p.
[5] Press, W. H.; Teukolky, S. A.; Vetterling, W. T.;
Flannery, B. P. Numerical Recipes in C: The Art of
Scientific Computing. New York: Cambridge
University Press, 1992. 965 p.
[6] Rios A. N.; Gracias A. C.; Maia I. A.; Senna J. R.
Modeling the Anodic Current in Silicin-Glass Bonding.
Revista Brasileira de Aplicação de Vácuo, v. 19, n., p.
31-34, sept. 2000.
[7] Wallis G.; Pomerantz D. I. Field Assisted GlassMetal Sealing. Journal of Applied Phisics, v. 40, n., p.
3946-3949, sept. 1969.
5. Conclusões
Os trabalhos teóricos de Wallis G. e Pomerantz D. I.
(1969), Albaugh (1991) e Rios et al (2000) não
reproduziram os dados experimentais.
Fabbri & Senna, (2004) propuseram um modelo
numérico e ôhmico para a solda anódica Si-Pyrex. E
consideraram os íons de sódio e de oxigênio móveis.
Assim, o trabalho aproximou-se dos dados experimentais
com o aumento da mobilidade do oxigênio.
Nosso estudo reproduziu o trabalho de Fabbri &
Senna, (2004), porém utilizamos um esquema numérico
explícito para obter os transientes elétricos durante o
processo de solda anódica para os íons de oxigênio
móveis.
O próximo estudo prevê a implementação do método
implícito de Fabbri & Senna, 2004, bem como a
influência de não-linearidades na mobilidade dos íons de
oxigênio.
6. Bibliografia
[1] Albaugh, K. B.; Electrode Phenomena during Anodic
6