ELETRICIDADE E MAGNETISMO
144
CAPÍTULO 8
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
8.1 Resistência Elétrica
8.1.1 Resistores
Uma resistência elétrica pode ser definida como a propriedade que determina, para uma dada
corrente, a fração de energia que se converte em energia térmica. Seu valor é tal que o produto da
resistência pelo quadrado da corrente equivale à potência elétrica convertida em calor. Um resistor é
um elemento físico (dispositivo) cuja finalidade principal é a introdução de uma resistência elétrica
no circuito. Aplicando-se uma tensão V a uma resistência de valor R a corrente resultante é
proporcional à tensão, ou seja,
V = RI
8.1
em qualquer instante. A equação 8.1 é conhecida como a Lei de Ohm, e o gráfico correspondente
(V versus I), pode ser visto na figura 8.1.
12
10
V (V)
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
I (mA)
Figura 8.1: Gráfico típico da lei de Ohm.
A inclinação da reta (coeficiente angular) da figura 8.1, corresponde ao valor da resistência.
A reta em vermelho é o ajuste feito após a coleta de dados experimentais de voltagem e corrente.
Portanto, o resistor é o elemento físico representado a grosso modo pela sua resistência, no
qual o fenômeno físico principal que nele ocorre é o da condução elétrica; conseqüentemente,
resistores apresentam efeito Joule e se aquecem ao conduzir corrente elétrica. Um tipo especial de
resistor cuja resistência pode ser variada por meios mecânicos, sem interromper o circuito, é
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
145
denominado reostato. Um resistor variável muitas vezes utilizado como um divisor de tensão, é o
potenciômetro. Os símbolos do resistor comum (resistência), reostato e potenciômetro são indicados
abaixo:
Resistor ou “resistência”
Potenciômetro
Reostato
Vários são os tipos de resistores empregados na prática, conforme mostra a figura 8.2. As suas
características são: a tolerância, a resistência elétrica (valor em Ohm), a potência dissipada (corrente
máxima), desde que
P = RI 2
8.2
que também pode ser escrita como (usando a equação 8.1):
P = VI
8.3
Figura 8.2: Resistores industrializados. As faixas coloridas gravadas sobre alguns deles são códigos que indicam o valor
de sua resistência.
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
146
Notamos então que na escolha de um resistor devemos nos preocupar não somente com seu
valor em ohms, mas também com sua máxima potência de dissipação, para estarmos certos de que
ele não se danificará pelo aquecimento durante a utilização. Quanto maior a área exposta, maior a
sua capacidade de dissipação de calor, ou seja, quanto maior a superfície lateral do dispositivo, maior
a potência que ele suporta. Em circuitos elétricos normalmente se empregam resistores de fio
metálico (liga de Ni-Cr, em geral) enrolado sobre isolante, de filme de óxido metálico, de filme
metálico, de carvão, de carvão moldado com aglutinante, etc. Os mais utilizados são os de carvão
depositado e são fabricados em tamanhos permitindo dissipações máximas de 1/8 W, 1/4 W, 1/2 W,
1W e 2W de potência. Para que não haja risco de danificar o componente, damos em geral uma
margem de segurança de 100%; por exemplo, um resistor de 1 W é usado para dissipar somente até
0,5 W. Estes resistores são fabricados com tolerâncias de 5, 10 e 20%. Os valores vêm indicados
sobre o resistor segundo o código de cores, pois este fornece toda a informação necessária para se
identificar um resistor. Podem vir pintados, conforme ilustrado abaixo:
1° anel
2° anel
3° anel
4º anel
Código de Cores
Cor
Preto
Marrom
Vermelho
Laranja
Amarelo
Verde
Azul
Violeta
Cinza
Branco
Ouro
Prata
Incolor
1º Anel
1º algarismo
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-
2º Anel
2º algarismo
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-
3º Anel
Multiplicador
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
10-1
10-2
-
Para se determinar o valor da resistência, considerar:
1º anel: 1º algarismo significativo
2º anel: 2° algarismo significativo
3º anel: multiplicador decimal
4º anel: tolerância
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4º Anel
Tolerância
5%
10%
20%
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147
Exemplo 8-1: Considere o resistor dado acima, onde:
1º anel: marrom = 1
2º anel: vermelho = 2
3º anel: preto = 100
4º anel: ouro = 5%
R = (12 x 100) Ω ± 5% = (12 x 1) Ω ± 5% = (12,0 ± 0,6) Ω
R = (12,0 ± 0,6) Ω
8.2 Força Eletromotriz
Uma fonte de força eletromotriz (fem) é um dispositivo qualquer (uma bateria ou um
gerador) que aumenta a energia potencial das cargas que circulam num circuito. Pode-se pensar
numa fonte de fem como uma "bomba de cargas" que força os elétrons a se moverem numa direção
oposta à da força eletrostática que atua sobre essas cargas negativas, no interior da fonte. A fem, ε,
de uma fonte é medida pelo trabalho feito sobre urna carga unitária, e por isso a unidade no SI
(sistema internacional de medidas) de fem é o volt.
Consideremos o circuito que aparece na Figura 8.3, constituído por uma bateria ligada a um
resistor.
Figura 8.3: Circuito constituído por um resistor ligado aos terminais de uma bateria.
Vamos admitir que os fios de ligação não tenham resistência. O terminal positivo da bateria
está num potencial mais elevado que o terminal negativo. Se desprezássemos a resistência interna
da própria bateria, a diferença de potencial na bateria (a voltagem entre os terminais) seria igual à
fem da bateria. No entanto, em virtude de uma bateria real ter sempre uma certa resistência interna
r, a voltagem entre os terminais não é igual à fem da bateria. O circuito da figura 8.3 pode ser
esquematizado pelo diagrama da figura 8.4. A bateria, simbolizada pelo retângulo mais escuro, é
representada por uma fonte de fem, ε, em série com uma resistência interna, r. Imaginemos, então,
única carga positiva deslocando-se entre os pontos a e b da figura 8.4. Quando essa carga passa do
terminal negativo para o terminal positivo da bateria, o seu potencial aumenta de ε. No entanto, ao
se deslocar através da resistência r, o seu potencial diminui de Ir, onde I é a corrente no circuito.
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
148
Figura 8.4: Diagrama de um circuito com uma fonte de fem ε, cuja resistência interna é r, ligada a
uma resistor externo R.
Então, a voltagem entre os terminais da bateria, V = Vb – Va é dada por
V = ε − Ir
8.4
Por esta expressão, observa-se que ε é a voltagem em circuito aberto, isto é, a voltagem
entre os terminais quando a corrente é nula. Pela inspeção da Fig. 8.3, vemos que a voltagem entre
os terminais V também é igual à diferença de potencial na resistência externa R, que é muitas vezes
denominada a resistência de carga. Isto é, V = IR. Combinando essa equação com a equação 8.4,
vemos que
ε = IR + Ir
8.5
Isolando a corrente, temos
I=
ε
R+r
8.6
Este resultado mostra que a corrente neste circuito simples depende da resistência externa à
bateria e da resistência interna.
Exemplo 8-2: Uma bateria tem uma fem de 12 V e uma resistência interna de 0,05Ω. Os seus
terminais estão ligados a uma resistência de carga de 3Ω.
Achar a corrente no circuito e a voltagem entre os terminais da bateria.
(a)
Calcular a potência dissipada na resistência de carga, a potência dissipada na resistência
(b)
interna da bateria e a potência total dissipada pela bateria.
Resolução:
(a) A corrente no circuito:
12V
ε
=
= 3,93A
R + r 3,05Ω
A voltagem entre os terminais da bateria:
V = ε − Ir = 12V − (3,93A )(0,05Ω ) = 11,8V
I=
(b) A potência dissipada na resistência de carga é
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
149
PR = I 2 R = (3,93A ) (3Ω ) = 46,3W
A potência dissipada na resistência interna da bateria é
2
Pr = I 2 r = (3,93A ) (0,05Ω ) = 0,772 W
2
A potência total dissipada pela bateria é a soma das duas potências anteriores:
P = PR + Pr = 46,3W + 0,772 W = 47,1W
8.3 Associação de Resistores em Série
Quando dois ou mais resistores estiverem ligados, de modo que só tenham em comum um
único ponto por par, a ligação entre os resistores é em série. A figura 8.5 mostra dois resistores R1 e
R2 ligados em série a uma bateria ideal de diferença de potencial (ddp) V . Observe que
I = I1 = I 2
8.7
a corrente é a mesma através de cada resistor, pois qualquer carga que passa por R1 deve ser igual à
carga que passa por R2.
Figura 8.5: Ligação em série de dois resistores R1 e R2. As correntes em cada resistor são iguais.
Por outro lado, pela lei de Ohm sabemos que a ddp nos terminais de cada resistor é dada por
V1 = I1 ⋅ R 1 = I ⋅ R 1
V2 = I 2 ⋅ R 2 = I ⋅ R 2
dessa forma, a voltagem total num circuito com dois resistores associados em série é dada por
V = V1 + V2
V = I ⋅ R1 + I ⋅ R 2
V = I ⋅ (R 1 + R 2 )
Podemos, então, substituir os dois resistores em série por uma única resistência equivalente
Req. Podemos associar a resistência equivalente à resistência total que o circuito oferece à passagem
de corrente, cujo valor é a soma das resistências individuais:
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
150
R ser
eq = R 1 + R 2
8.8
A resistência equivalente de n resistores ligados em série é, simplesmente,
R ser
eq = R 1 + R 2 + R 3 + " + R n
8.9
Portanto, a resistência equivalente de resistores ligados em série é sempre maior que
qualquer uma das resistências individuais.
8.4 Associação de Resistores em Paralelo
Consideremos agora dois resistores ligados em paralelo, como mostra a figura 8.6.
Figura 8.6: Ligação de dois resistores, R1 e R2, em paralelo. A diferença de potencial em
cada resistor é a mesma.
Nesse caso, a diferença de potencial é a mesma em cada resistor.
V = V1 = V2
8.10
A corrente, porém, não é, em geral, a mesma nos resistores. Quando uma corrente I atinge
um ponto como a (um nó), divide-se em duas partes, I1, que vai pelo ramo R1, e I2 que vai pelo
ramo R2. Se R1 for maior que R2, então I1, será menor que I2. Isto é, a carga tende a seguir a via de
menor resistência. Como é claro, uma vez que a carga deve ser conservada, a corrente I que entra no
nó a deve ser igual à corrente que sai deste nó:
I = I1 + I 2
8.11
Uma vez que a diferença de potencial (ddp) em cada resistor é constante, a lei de Ohm nos
dá
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
151
V1 = V2 = V
V1 = R 1 ⋅ I1
V2 = R 2 ⋅ I 2
⇒ I1 =
V
R1
⇒ I2 =
V
R2
Pela equação 8.11 e as obtidas logo acima, temos
I = I1 + I 2 =
 1
V
V
1 
V
 = par
+
= V
+
R1 R 2
 R 1 R 2  R eq
8.12
Com esse resultado, vemos que a resistência equivalente de dois resistores em paralelo é
dada por
R ⋅R
1
1
1
par
8.13
=
+
⇒ R eq
= 1 2
par
R eq
R1 R 2
R1 + R 2
Para n resistores ligados em paralelo, entretanto, devemos considerar a resistência
equivalente sendo
1
1
1
1
1
8.14
=
+
+
+"+
par
R eq
R1 R 2 R 3
Rn
Pode-se ver, com esta expressão, que a resistência equivalente de dois ou mais resistores
ligados em paralelo é sempre menor que a resistência presente no grupo de resistores.
Nos circuitos domésticos, as lâmpadas (e outros equipamentos domésticos) são ligados em
paralelo. Dessa maneira, cada dispositivo opera independentemente um do outro, de modo que, se
um deles for desligado, os outros permanecem ligados. Igualmente importante é o fato de todos os
equipamentos operarem na mesma voltagem.
Exemplo 8-3: Quatro resistores estão ligados como mostra a figura a) abaixo.
(a) Achar a resistência equivalente entre a e c.
(b) Qual a corrente, em cada resistor, se a diferença de potencial (ddp) entre a e c for constante e
igual a 42 V ?
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152
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
A resistência dos quatro resistores que aparecem em a) pode ser reduzida, em etapas, à
resistência de um único resistor de 14Ω.
Solução: a) O circuito pode ser reduzido, em etapas, como ilustra a figura acima. Os resistores de 8
Ω e 4 Ω estão em série, e então, a resistência equivalente entre a e b, dada pela equação 8.3.2, é
R ser
eq = 8 Ω + 4 Ω = 12 Ω
Os resistores de 6 Ω e 3 Ω estão em paralelo, e então, pela equação 8.4.4 achamos a
resistência equivalente entre b e c
6 Ω × 3 Ω 18 Ω 2
par
R eq
=
=
= 2Ω
6 Ω + 3Ω
9Ω
Os resistores de 12 Ω e de 2 Ω estão em série. Então, a resistência equivalente de a para c,
pela equação 8.3.2, é
R eq = 12 Ω + 2 Ω = 14 Ω
(b) A corrente I nos resistores de 8 Ω e de 4 Ω é a mesma, pois os dois estão em série, sendo a
corrente total do circuito. Com a lei de Ohm e o resultado obtido em (a), temos
V
42 V
I = ac =
= 3A
R eq 14 Ω
Quando esta corrente entra no nó em b, divide-se, e uma parte passa pelo resistor de 6 Ω (I1)
e outra parte pelo resistor de 3 Ω (I2). Uma vez que a diferença de potencial nesses resistores é a
mesma (estão em paralelo), podemos chamá-la de Vbc. Assim, a voltagem total no circuito é dada
por:
Vac = Vab + Vbc
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
153
A voltagem entre os pontos a e b, é a soma da voltagem nos resistores de 8 Ω e 4Ω, já que
esses resistores se encontram ligados em série. Então, temos
Vab = I ⋅ 8 Ω + I ⋅ 4 Ω = 3A ⋅ 8 Ω + 3A ⋅ 4 Ω
Vab = 24V + 12V
Vab = 36V
Dessa forma, fica fácil encontrar a voltagem que percorre os dois resistores que estão
ligados em paralelo.
Vac = Vab + Vbc ⇒ 42V = 36V + Vbc
Vbc = 42V − 36V = 6V
Finalmente, é possível calcular a corrente em cada resistor em paralelo, através da lei de
Ohm.
I1 =
Vbc 6V
=
= 1A
6Ω 6Ω
I2 =
Vbc 6V
=
= 2A
3Ω 3Ω
Já que a corrente I se divide em duas partes no nó em b, é de se esperar que a soma de I1 e I2
deva ser igual a I, o que se verifica na prática.
Exemplo 8-4: Três resistores estão ligados em paralelo, como mostra a figura abaixo.
Uma diferença de potencial de 18 V se mantém entre os pontos a e b.
(a) Achar a corrente em cada resistor.
(b) Calcular a potência dissipada em cada resistor e a potência total dissipada nos três resistores.
(c) Calcular a resistência equivalente dos três resistores e, a partir do resultado, achar a potência
total dissipada.
Solução: (a) Os resistores estão em paralelo, e a diferença de potencial em cada um deles é 18 V.
Aplicando a lei de Ohm a cada resistor temos
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
154
I1 =
V 18V
=
R1 3 Ω
⇒
I1 = 6A
I2 =
V 18V
=
R2 6Ω
⇒
I1 = 3A
I3 =
V 18V
=
R3 9 Ω
⇒
I1 = 2A
(b) A potência em cada resistor é dada por:
2
P1 = I12 ⋅ R 1 = (6A ) ⋅ (3Ω ) ⇒
3Ω:
P1 = 108 W
6Ω:
P2 = I 22 ⋅ R 2 = (3A ) ⋅ (6Ω ) ⇒
P2 = 54 W
9Ω:
P3 = I 32 ⋅ R 3 = (2A ) ⋅ (9Ω ) ⇒
P3 = 36 W
2
2
Observe que para achar a potência dissipada em cada resistor também se pode usar P = I V.
A soma dos três valores dá a potência total :
PT = P1 + P2 + P3 = 198W
(c) Podemos usar a equação da resistência equivalente para resistores associados em paralelo, assim
teremos
1
1
1
1
=
+
+
R eq R 1 R 2 R 3
1
1 1 1
= + +
R eq 3 6 9
1
6 + 3 + 2 11
=
=
R eq
18
18
R eq =
18
Ω
11
A potência total dissipada é:
PT = I 2 ⋅ R eq = (11A ) ⋅
2
18
Ω = 198W
11
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
155
8.5 Capacitores
Pode-se armazenar energia, na forma de energia potencial, esticando a corda de um arco,
distendendo uma mola, comprimindo um gás ou levantando um livro. Pode-se também fazê-lo num
campo elétrico; e um capacitor é um dispositivo apropriado para tal fim.
Durante o processo de carga, o capacitor de uma bateria portátil numa máquina fotográfica,
por exemplo, acumula carga com lentidão, criando assim um campo elétrico nesse período de
tempo. A manutenção do campo e de sua energia ocorre até o momento em que acontece a rápida
liberação da energia durante a curta duração do flash.
Os capacitores, nesta época da eletrônica e da microeletrônica, têm muitas aplicações, além
de servirem como armazenadores de energia potencial. Por exemplo, eles constituem elementos
vitais nos circuitos com os quais sintonizamos os transmissores e os receptores de rádio e televisão.
Outro exemplo, os capacitores microscópicos formam os bancos de memória dos computadores. Os
campos elétricos nestes minúsculos dispositivos são significativos não só pela energia armazenada,
mas também pela informação LIGA-DESLIGA que a presença ou a ausência deles proporciona.
8.5.1 Capacitância
Os capacitores se apresentam numa grande variedade de tamanhos e formas, conforme
podemos observar na figura 8.7.
Figura 8.7: Capacitores fabricados em diversas formas.
Entretanto, como mostra a figura 8.8, os elementos básicos de qualquer capacitor são dois
condutores isolados de formato arbitrário. Chamamos tais condutores de placas, qualquer que seja
sua geometria.
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156
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Figura 8.8: Dois condutores, isolados um do outro e de suas vizinhanças, formam um capacitor. Quando o capacitor é
carregado, os condutores, ou placas como eles são chamados, ficam com cargas de mesmo módulo q e sinais contrários.
A figura 8.9a mostra um arranjo menos geral, porém mais convencional, chamado de
capacitor de placas paralelas, que consiste em duas placas condutores paralelas de área A, separadas
por uma distância d. O símbolo que usamos para representar um capacitor (
) é baseado na
estrutura de um capacitor de placas paralelas; entretanto, é usado para capacitores de todas as
geometrias. Supomos, por enquanto, que nenhum meio material, como vidro ou plástico, esteja
presente na região entre as placas.
Quando um capacitor é carregado, suas placas adquirem cargas iguais, mas de sinais
opostos, +q e -q. Entretanto, referimo-nos à carga de um capacitor como sendo q, o valor absoluto
dessas cargas sobre as placas. (Note que q não é a carga líquida do capacitor, que é zero.)
Uma vez que as placas são condutores, elas constituem superfícies equipotenciais: todos os
pontos sobre uma placa têm o mesmo potencial elétrico. Além disso, existe uma diferença de
potencial V entre as duas placas.
Figura 8.9: (a) Um capacitor de placas paralelas, feito de duas placas de área A separadas por uma distância d. As
placas têm cargas iguais e opostas de módulo q sobre as superfícies que se defrontam. (b) Como mostram as linhas de
campo, o campo elétrico é uniforme na região central entre as placas. As linhas de campo se deformam nas bordas das
placas, evidenciando que naquela região o campo não é uniforme.
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
157
A carga q e a diferença de potencial V para um capacitor são proporcionais uma à outra. Isto
é,
q = C⋅V
8.15
A constante de proporcionalidade C, cujo valor depende da geometria das placas, é chamada
de capacitância do capacitor.
A unidade SI de capacitância que segue da equação 10.1 é o coulomb por volt. Esta unidade
é o farad (F):
1 farad = 1F = 1 coulomb/volt
1F = 1C/V
Na prática as unidades mais usadas são os submúltiplos do farad, tais como o microfarad
(1µF = 10-6 F) e o picofarad (1 pF = 10-12 F).
8.6 Cálculo da Capacitância
O nosso objetivo é calcular a capacitância de um capacitor, desde que se conheça a sua
geometria. A seguir, mostraremos a expressão apropriada para o cálculo da capacitância de acordo
com a geometria do capacitor.
8.6.1 Capacitor de Placas Paralelas
Consideremos o capacitor da figura 8.10. Vamos supor que as placas desse capacitor sejam
tão grandes e estejam tão próximas uma da outra, que podemos ignorar a “distorção” do campo
elétrico nas suas bordas.
Figura 8.10: Um capacitor de placas paralelas carregado. Entre as placas vemos a trajetória do campo elétrico.
A capacitância para esta geometria é dada por:
C = ε0
onde:
A
d
ε0 = 8,85 x 10-12 F/m (constante de permissividade)
A é a área das placas, em m2
d é a distância entre as placas, em metros.
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8.16
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
158
8.6.2 Capacitor cilíndrico
A figura 8.11 mostra, lateralmente (a) e em secção transversal (b), um capacitor cilíndrico de
comprimento L, formado por dois cilindros coaxiais de raios a e b. Supomos que L >> b, de modo
que podemos desprezar a “distorção” do campo elétrico que ocorre nas extremidades dos cilindros.
A placa interna contém carga +q e a placa externa contém carga –q.
Figura 8.11: (a) Capacitor cilíndrico constituído por um condutor cilíndrico de raio a e comprimento L, envolto por uma
casca cilíndrica, que é coaxial, de raio b. (b) Vista em corte de um capacitor cilíndrico.
A capacitância é dada por
C = 2 π ε0
L
ln (b / a )
8.17
onde:
π = 3,1415....... (constante pi);
ε0 = 8,85 x 10-12 F/m (constante de permissividade);
L é o comprimento do cilindro coaxial (em metros);
a é o raio do cilindro interno (em metros);
b é o raio do cilindro externo (em metros);
ln é o logaritmo neperiano (ln = loge , onde e = 2,719.....).
Vemos que a capacitância de um capacitor cilíndrico, assim como a de um capacitor de
placas paralelas, depende somente de fatores geométricos, neste caso, L, b e a.
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
159
8.6.3 Capacitor Esférico
A figura 8.12 mostra um exemplo de um capacitor esférico, sendo constituído por uma casca
esférica, de raio b e carga –q, concêntrica a uma esfera condutora menor, de raio a e carga +q.
Figura 8.12: Um capacitor esférico consiste em uma esfera interna, de raio a, dentro de uma casca esférica concêntrica ,
de raio b. O campo elétrico entre as esferas é radial, para fora, se a esfera interna for positiva.
A capacitância é dada por
C = 4 π ε0
ab
b−a
8.18
onde:
π = 3,1415....... (constante pi);
ε0 = 8,85 x 10-12 F/m (constante de permissividade);
a é o raio da esfera interna (em mm , cm ou metros);
b é o raio da casca esférica externa (em mm, cm ou metros);
Exemplo 8-5: As placas de um capacitor de placas paralelas estão separadas por uma distância d =
1,0 mm. Qual deve ser a área da placa para que a capacitância seja de 1,0F?
Solução: Da equação 8.16 temos
A=
C ⋅ d (1,0F) ⋅ (1,0 × 10 −3 m )
=
ε0
8,85 × 10 −12 F / m
A = 1,1 × 108 m 2
Esta é a área de um quadrado cujo lado mede mais de 10 Km. O farad é de fato uma unidade
grande. Contudo, a tecnologia moderna tem permitido a construção de capacitores de 1 F de
tamanhos muitos modestos. Estes “supercapacitores” são utilizados como fontes de voltagem
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
160
secundárias para computadores; eles podem manter a memória do computador por mais de 30 dias
no caso de queda de potência.
Exemplo 8-6: Os condutores interno e externo de um longo cabo coaxial, usado para transmitir
sinais de TV, tem diâmetros a = 0,15 mm e b = 2,1 mm. Qual é a capacitância por unidade de
comprimento deste cabo?
Solução: Da equação 8.17, temos
2 π ε0
(
C
2 π ) 8,85 × 10 −12 F / m
=
=
L ln (b / a )
 2,1mm 
ln

 0,15mm 
(
)
C
= 21 × 10 −12 F / m
L
Exemplo 8-7: Um capacitor sobre um chip RAM (com acesso aleatório de memória) tem uma
capacitância de 55 x 10-15 F. Estando ele carregado a 5,3 V, quantos elétrons em excesso existem
sobre sua placa negativa?
Solução: O número n de elétrons em excesso é dado por q/ε, onde ε é a carga fundamental do
elétron (ε = 1,8 x 10-19 C). Então, usando a equação 10.1, temos
n=
(
)
q C ⋅ V 55 × 10 −15 F ⋅ (5,3V )
=
=
e
e
1,60 × 10 −19 C
n = 1,8 × 10 6
elétrons
8.7 Capacitores em Paralelo
A figura 8.13a mostra três capacitores ligados em paralelo a uma bateria B. Os terminais da
bateria estão ligados por fios condutores diretamente às placas dos três capacitores. Como a bateria
mantém uma diferença de potencial V em seus terminais, ela aplica a mesma diferença de potencial
V através de cada um deles.
Dizemos que capacitores associados estão ligados em paralelo quando uma diferença de
potencial V aplicada através da associação resulta na mesma diferença de potencial através de cada
capacitor, e a carga total acumulada, é a soma das cargas individuais acumuladas em cada capacitor.
Procuramos a capacitância única Ceq, que seja equivalente à associação em paralelo e, assim,
possa substituí-Ia (como na Fig. 8.13b) sem variação da carga total q armazenada na combinação ou
da diferença de potencial V aplicada através da associação.
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
161
De acordo com a equação 8.15, podemos escrever para cada capacitor
q1 = C1 ⋅ V,
q 2 = C 2 ⋅ V,
e
q 3 = C3 ⋅ V
Figura 8.13: (a) Três capacitores ligados em paralelo com a bateria B. A bateria mantém uma diferença de potencial V
entre seus terminais e, assim através de cada um dos capacitores da associação em paralelo. (b) A capacitância
equivalente Ceq substitui a associação em paralelo. A carga sobre Ceq é igual à soma das cargas q1, q2 e q3, sobre os
capacitores de (a).
A carga total da associação em paralelo vale
q = q1 + q 2 + q 3 = (C1 + C 2 + C 3 ) ⋅ V
A capacitância equivalente, com a mesma carga total q e a diferença de potencial V aplicada
à associação é, então,
q
C eq = = C1 + C 2 + C 3
V
um resultado que pode ser estendido para qualquer número n de capacitores, como
C eq = C1 + C 2 + C3 + " + C n
8.19
A capacitância equivalente de uma associação de capacitores em paralelo, é simplesmente a
soma das capacitâncias individuais.
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
162
8.8 Capacitores em série
A figura 8.14a mostra três capacitores ligados em série a uma bateria B, que mantém uma
diferença de potencial V através dos terminais esquerdo e direito da associação em série. O que
produz diferenças de potencial V1, V2 e V3 através dos capacitores C1, C2 e C3, respectivamente, tais
que V1 + V2 + V3 = V.
Dizemos que capacitores associados estão ligados em série, quando uma diferença de
potencial aplicada através da associação é a soma das diferenças de potencial resultantes através de
cada capacitor, e a carga total acumulada é a mesma carga acumulada em cada capacitor da
associação.
Procuramos a capacitância única Ceq que seja equivalente à associação em série e, assim,
possa substituí-Ia (como na Fig. 8.14b) sem variação da carga total q armazenada na associação ou
da diferença de potencial V aplicada através da associação. Quando a bateria está ligada, cada
capacitor na figura 8.14a tem a mesma carga q. Isso é válido, mesmo que os três capacitores sejam
de tipos diferentes e possam ter capacitâncias diferentes. Para compreender, notemos que o
elemento do circuito englobado pelas linhas tracejadas na figura 8.14a está eletricamente isolado do
resto do circuito. Inicialmente, não há carga líquida neste elemento e - exceto a ruptura elétrica dos
capacitores - não existe modo algum de haver movimento de carga para dentro dele. A ligação da
bateria produz simplesmente uma separação de carga nesse elemento, com uma carga +q se
movendo para a placa esquerda e uma carga - q se movendo para a placa direita; a carga líquida
dentro da linha tracejada na Fig. 8.14a permanece zero. A aplicação da equação 8.15 a cada
capacitor nos dá
V1 =
q
,
C1
V2 =
q
q
, e V3 =
C2
C3
A diferença de potencial para a associação em série é, então,
V = V1 + V2 + V3
V=
q
q
q
+
+
C1 C 2 C 3
 1
1
1 

+
V = q ⋅  +
 C1 C 2 C 3 
A capacitância equivalente vale
1
1
1
1
=
+
+
C eq C1 C 2 C 3
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
163
Figura 8.14: (a) Três capacitores ligados em série com a bateria B. A bateria mantém uma diferença de potencial V
entre os lados esquerdo e direito da associação em série. (b) A capacitância equivalente Ceq substitui a associação em
série. A diferença de potencial V através de Ceq é igual à soma das diferenças de potencial V1, V2 e V3, através dos
capacitores de (a).
Para n capacitores em série, temos
1
1
1
1
1
=
+
+
+"+
C eq C1 C 2 C 3
Cn
8.20
Da equação 8.20, podemos concluir que a capacitância equivalente da ligação em série é
sempre inferior à menor das capacitâncias na série de capacitores.
Exemplo 8-8: Considere o circuito abaixo:
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
164
(a) Determine a capacitância equivalente da associação mostrada na figura acima. Suponha que
C1 = 12,0 µF,
C 2 = 5,3 µF e C 3 = 4,5 µF
(b) Uma diferença de potencial V = 12,5 V é aplicada aos terminais de entrada da figura acima.
Qual é a carga sobre C1 ?
Solução:
(a) Os capacitores C1 e C2 estão em paralelo. Da equação 10.5, a capacitância equivalente desta
associação é
C12 = C1 + C 2
C12 = 12,0 µF + 5,3 µF = 17,3 µF
Como mostra a figura abaixo, a associação C12 e C3 está em série.
Da equação 8.20, a capacitância equivalente final, é
1
1
1
1
1
17,3µF + 4,5µF
21,8µF
=
=
+
=
+
=
2 2
C eq C12 C 3 17,3µF 4,5µF
77,85µ F
77,85µ 2 F 2
Invertendo as frações dos dois lados da igualdade, vem
C eq =
77,85µF
= 3,57 µF
21,8
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
165
(b) Como os capacitores C12 e C3 estão associados em série, sabemos que a carga acumulada em
ambos é a mesma, e corresponde à carga total. Dessa forma, temos
(c)
q T = C eq ⋅ V = (3,57 µF) ⋅ (12,5 µF) = 44,6 µC.
Esta mesma carga existe sobre cada capacitor na associação em série. Representaremos q12
(= qT) a carga sobre C12 . A diferença de potencial através de C12 é, então
V12 =
q12 44,6 µC
=
= 2,58 V
C12 17,3 µF
Esta mesma diferença de potencial aparece através de C1, já que C1 e C2 estão assoicados em
paralelo. Representaremos por V1 (=V12) a diferença de potencial através de C1. Temos, então
q1 = C1 ⋅ V1 = (12,0 µF) ⋅ (2,58 V )
q1 = 31,0 µC .
8.9 Campos Magnéticos
Experiências realizadas ao longo dos últimos séculos nos mostraram que todo ímã,
independente da sua forma, tem dois pólos, o pólo norte e o pólo sul, que exercem forças, um sobre
o outro, de maneira análoga à carga elétrica. Isto é, pólos iguais se repelem e pólos opostos se
atraem. Mas, embora a força entre dois pólos magnéticos seja semelhante à força entre duas cargas
elétricas, há uma importante diferença. As cargas elétricas podem ser isoladas (por exemplo, um
elétron ou um próton), enquanto os pólos magnéticos não podem ser isolados. Ou seja, os pólos
magnéticos sempre se encontram aos pares. Todas as tentativas que se fizeram até hoje para detectar
um monopólo magnético isolado não tiveram êxito. Qualquer que seja o número de vezes em que se
divide um ímã permanente, sempre se tem em cada pedaço um pólo norte e um pólo sul.
Hoje sabemos que cargas elétricas em movimento geram um campo magnético, e cargas
elétricas em movimento ficam submetidas a forças devidas a um campo magnético.
Mas o que tem a ver ímãs e cargas elétricas em movimento? Até a descoberta de que as
correntes elétricas produziam efeitos magnéticos, Ampère sugeria que o campo magnético gerado
por um ímã teria origem numa multidão de minúsculas correntes elétricas existentes em seu interior.
Na época de Ampère, isso era apenas uma hipótese, mas hoje sabemos que a matéria é
constantemente percorrida por cargas em movimento. Dentro das moléculas, os elétrons estão em
contínua e rápida rotação. A idéia sugerida por Ampère se revelou correta. De fato, graças ao
movimento dos elétrons, em alguns casos um átomo pode ser descrito como um circuito
microscópico percorrido por corrente, podendo gerar no espaço circundante um fraquíssimo campo
magnético.
Como os átomos de um pedaço de ferro não-magnetizado estão orientados de todos os
modos possíveis, os pequenos campos magnéticos por eles gerados dão uma resultante vetorial nula
(figura 8.15a). Quando, porém, se magnetiza esse pedaço de ferro, a maior parte de seus átomos se
orienta numa direção bem determinada (figura 8.15b).
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
166
(a)
(b)
Figura 8.15: (a) Num pedaço de ferro, as rotações dos elétrons no interior dos átomos geram correntes microscópicas,
que produzem pequeníssimos campos magnéticos. Entretanto, como os elétrons giram em todos os planos possíveis, a
soma de seus campos magnéticos dá uma resultante nula. O campo magnético total do pedaço de ferro é, portanto, igual
a zero. (b) A presença de um campo magnético B externo ao pedaço de ferro (gerado, por exemplo, por um ímã) faz
com que os elétrons passem a girar em planos paralelos. Os campos magnéticos por eles gerados tendem, assim, a se
dispor na mesma direção do campo externo, e sua resultante é diferente de zero. Nessas condições, o ferro se torna um
ímã.
Na verdade, qualquer ponto interno do ímã está situado entre correntes atômicas com
sentidos contrários, cujos efeitos se anulam. Já na superfície externa, as correntes giram todas no
mesmo sentido.
Assim, no interior do ímã, tudo se passa como se não houvesse corrente. Sobre a superfície
externa, entretanto, circula uma corrente superficial semelhante à que percorre os fios de uma
bobina. Do ponto de vista magnético, o ímã cilíndrico e a bobina se equivalem, gerando, portanto, o
mesmo campo magnético externo.
Podemos dizer que, em última análise, um campo magnético é sempre gerado por cargas
elétricas em movimento e exerce forças sobre qualquer carga em movimento.
As forças magnéticas são, portanto, forças que duas cargas exercem entre si quando ambas
se acham em movimento com relação ao observador.
8.9.1 Definição e Propriedades do Campo Magnético
O campo elétrico E num ponto do espaço foi definido corno a força elétrica, por carga
unitária, que atua sobre uma carga de prova colocada nesse ponto. Analogamente, o campo
gravitacional g num ponto do espaço é a força gravitacional, por unidade de massa, que atua sobre
uma massa de prova no ponto.
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
167
Vamos agora definir o vetor do campo magnético B (chamado também de vetor indução
magnética ou vetor densidade de fluxo magnético) num certo ponto do espaço em termos de uma
força magnética que seria exercida sobre um corpo de prova apropriado. O nosso corpo de prova é
uma partícula carregada que se desloca com a velocidade v. Vamos admitir, no momento, que não
existam campos elétricos ou campos gravitacionais na região onde está essa partícula. As
experiências com o movimento de diversas partículas carregadas, em movimento num campo
magnético, levam aos seguintes resultados:
1. A força magnética é proporcional à carga q e ao modulo da velocidade v da partícula.
2. O módulo e a direção da força magnética dependem da velocidade da partícula e do
modulo e da direção do campo magnético.
3. Quando uma partícula carregada se move numa direção paralela ao vetor campo
magnético, a força magnética F sobre a partícula é nula.
4. Quando o vetor velocidade fizer um ângulo θ com o campo magnético, a força magnética
atua numa direção perpendicular a v e a B; isto é, F é perpendicular ao plano definido por v e por B
(Fig. 8.16a).
5. A força magnética sobre uma carga positiva está na direção oposta à direção da força
sobre uma carga negativa que se mova com o mesmo vetor velocidade (Fig. 8.16b).
6. Se o vetor velocidade fizer um ângulo θ com o vetor campo magnético, o modulo da força
magnética é proporcional a sen θ.
Estas observações podem ser resumidas, escrevendo-se a força magnética na forma
F = qv × B
8.21
onde a direção da força magnética é a direção de v x B, que, pela definição do produto vetorial, é
perpendicular a v e a B.
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168
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Figura 8.16: A direção da força magnética sobre uma partícula carregada que se move com uma velocidade v na
presença de um campo magnético B. (a) Quando v faz um ângulo θ com B, a força magnética é perpendicular a v e a B.
(b) Na presença de um campo magnético, as partículas carregadas em movimento se desviam conforme as curvas
tracejadas.
A Fig. 8.17 encerra uma rápida revisão da regra da mão direita para a determinação da
direção do produto vetorial v x B. Os quatro dedos da mão direita são apontados na direção de v e
depois curvados para a direção de B. O polegar, então, aponta na direção de v x B. Uma vez que F =
qv x B, F está na direção de v x B, se q for positiva (Fig. 8.17a), e na direção oposta à de v x B, se q
for negativa (fig. 8.17b).
Figura 8.17: A regra da mão direita para determinar a direção da força magnética F que atua sobre uma carga q em
movimento com uma velocidade v, num campo magnético B. Se q for positiva, F está dirigida para cima, na direção do
polegar. Se q for negativa, F está para baixo.
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
169
O valor da força magnética é dado por
F = q v B sen θ
8.22
onde θ é o ângulo entre v e B. Por essa expressão, vemos que F é nula quando v for paralela a B (θ =
O ou 180°). Além disto, a força tem o seu valor máximo, F = qvB, quando v for perpendicular a B
(θ = 90°).
Podemos encarar a equação 8.22 como uma definição operacional do campo magnético num
ponto do espaço. Isto é, o campo magnético se define em termos de uma força lateral que atua sobre
uma partícula carregada. Há diversas diferenças importantes entre as forças elétricas e as
magnéticas:
1. A força elétrica está sempre na direção do campo elétrico, enquanto a força magnética é
perpendicular à direção do campo magnético.
2. A força elétrica atua sobre urna partícula carregada, independentemente da velocidade da
partícula, enquanto a força magnética atua sobre uma partícula carregada somente quando a
partícula estiver em movimento.
3. A força elétrica efetua trabalho ao deslocar urna partícula carregada, enquanto a força
magnética, associada a um campo magnético permanente, não efetua trabalho quando a partícula for
deslocada.
Em outras palavras, quando uma carga se move com a velocidade v, um campo magnético
aplicado pode alterar a direção do vetor velocidade, mas não pode alterar o módulo da velocidade
de uma partícula.
A unidade no Sistema Internacional de Medidas (SI) de campo magnético é o weber por
metro quadrado (Wb/m2), chamado tesla (T). Essa unidade pode ser relacionada às unidades
fundamentais mediante a equação 8.22
[B] = T = Wb2 =
m
N
N
=
C⋅m/s A⋅m
8.23
Exemplo 8-9: Um próton se move com uma velocidade de 8 x 106 m/s, sobre o eixo dos x. Entra
então numa região onde há um campo magnético de 2,5 T, com a direção fazendo um ângulo de 60°
com o eixo dos x e no plano xy (figura 8.18). Calcular a força magnética inicial sobre o próton e a
aceleração inicial do próton.
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
170
Figura 8.18: A força magnética F sobre um próton está na direção dos z positivos quando v e B estão no plano xy.
Solução: Pela equação 8.2 temos que,
F = q v B sen θ
F = (1,67 × 10 −19 C )(8 × 106 m / s ) (2,5T ) (sen 60°)
F = 2,77 × 10 −12 N
Uma vez que v x B está na direção dos z positivos e que a carga é positiva, a força F está na
direção dos z positivos.
Sendo 1,67 x 10-27 kg a massa do próton, a aceleração inicial é
F = m⋅a
⇒ a=
F 2,77 × 10 −12 N
=
m 1,67 × 10 −27 kg
a = 1,66 × 1015 m / s 2
na direção dos z positivos.
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
171
8.10 Cálculo do Campo Magnético
A questão central desta seção é:
De que modo podemos calcular o campo magnético que uma dada distribuição de
correntes cria no espaço à sua volta?
A resposta à essa pergunta não é dada de forma única, mas pressupondo que o cálculo do
campo magnético depende da geometria do problema apresentado. Dessa forma, descrevemos
abaixo, algumas das mais freqüentes geometrias encontradas em problemas de magnetismo.
8.10.1 Campo Magnético Devido a um Fio Retilíneo Longo
Um fio retilíneo, comprido, de raio R, tem uma corrente constante I0 = i uniformemente
distribuída pela seção reta do fio ( figura 8.19).
Figura 8.19: Um fio condutor, retilíneo, de raio R, tem uma corrente I0 = i
uniformemente distribuída sobre a sua seção reta. O campo magnético, em
qualquer ponto pode ser calculado usando-se uma circunferência, de círculo,
de raio r, centrada no eixo do fio.
Na região 1, onde r >> R (fora do fio), vamos escolher uma circunferência de raio r, com
centro no eixo do fio. Uma vez que a corrente que atravessa a superfície limitada pela curva 1 é i, a
lei de Ampère nos dá
B=
µ0 i
2πr
(fora do fio)
8.24
Consideremos agora o interior do fio, isto é, a região limitada pelo círculo 2, onde r < R.
Nesse caso, o campo magnético, dentro do fio, é dado por
B=
(µ 0 i )
(2 π R ) ⋅ r
2
(dentro do fio)
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8.25
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
172
onde µ0 é uma constante, denominada constante de permeabilidade, cujo valor exato, por definição,
é
T⋅m
A
µ 0 = 4π × 10 −7
8.26
i é a corrente que percorre o fio, R é o raio do fio e r é o ponto onde se calcula o campo magnético.
Exemplo 8-10: Um fio retilíneo longo de raio R = 1,5 mm transporta uma corrente constante i de
32 A.
(a) Qual é o módulo do campo magnético na superfície do fio?
(b) Qual é o módulo do campo magnético no interior do fio?
Solução: (a) Neste caso podemos aplicar a equação 8.4, já que o campo é calculado na superfície
(fora) do fio. Na superfície do fio, r = 1,5 mm = 0,0015 m, temos então
B=
B=
µ0 i
2πr
(4π × 10
)
T ⋅ m / A (32A )
(2 π) (0,0015m )
−7
B = 4,27 × 10 −3 T
(b) Como estamos considerando um ponto no interior do fio, devemos aplicar a equação 8.25.
Obtemos
B=
B=
µ0 i r
2 π R2
(4π × 10
−7
)
T ⋅ m / A (32A ) (0,0012m )
(2 π) (0,0015m )2
B = 3,41 × 10 −3 T
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
8.10.2
173
Campo Magnético Devido a um Solenóide
Um solenóide é constituído por um fio condutor comprido enrolado ao modo de uma hélice.
Com esta configuração, é possível ter um campo magnético razoavelmente uniforme, num pequeno
volume no interior do solenóide, caso as espiras estejam suficientemente juntas. Quando as espiras
forem muito espaçadas, cada qual pode ser encarada como uma espira circular, e o campo
magnético resultante é igual à soma vetorial dos campos pertinentes a cada uma das espiras.
A figura 8.20 mostra as linhas do campo magnético de um solenóide com as espiras
separadas. Observe que as linhas do campo, no interior da bobina, são quase paralelas, estão
distribuídas quase uniformemente e são muito aproximadas umas das outras. Isso indica que o
campo no interior do solenóide é uniforme. As linhas do campo, entre as espiras, tendem a se
cancelar mutuamente. O campo fora do solenóide não é uniforme e é fraco. Nos pontos exteriores,
como P, o campo é fraco, pois o campo devido aos elementos de corrente na parte de cima do
solenóide tende a ser cancelado pelos elementos de corrente na parte de baixo.
Figura 8.20: As linhas do campo magnético de um solenóide com espiras espaçadas.
Se as espiras forem muito cerradas, e se o solenóide for de comprimento finito, as linhas do
campo são as da figura 8.21. Neste caso, as linhas do campo divergem numa extremidade e
convergem na outra. A análise desta distribuição do campo no exterior de um solenóide evidencia a
semelhança entre esse campo e o de uma barra imantada. Então, uma ponta do solenóide se
comporta como um pólo norte de um ímã, e a ponta oposta como um pólo sul. À medida que o
comprimento do solenóide aumenta, o campo no seu interior fica cada vez mais uniforme. O
solenóide aproxima-se, então, de um solenóide ideal, que tem as espiras muito juntas e o
comprimento é grande em comparação com o raio das espiras. Neste caso, o campo no exterior do
solenóide é fraco comparado ao campo no interior do solenóide, e, nesse interior, o campo é
uniforme numa região de grande volume.
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
174
Figura 8.21: Linhas do campo magnético de um solenóide com espiras muito cerradas, de
comprimento finito, com uma corrente constante. O campo no interior do solenóide é quase
uniforme e é forte. Observe que as linhas se parecem com as de uma barra imantada, de modo que o
solenóide tem, efetivamente, um pólo norte e um pólo sul.
A expressão do campo magnético no interior de um solenóide ideal, é dada por
B = µ0 i n
8.27
onde n = N/L é o número de espiras por unidade de comprimento ( não confundir com N que é
apenas o número de espiras) e i é a corrente que percorre o solenóide.
Exemplo 8-11: Um solenóide tem comprimento L = 1,23 m e diâmetro interno d = 3,55 cm. Ele
possui cinco camadas de enrolamentos de 850 espiras cada e transporta uma corrente i = 5,57 A.
Qual é o valor de B em seu centro?
 5 × 850 
B = µ 0 i n = 4 π × 10 −7 T ⋅ m / A (5,57A ) 

 1,23m 
(
)
B = 2,42 × 10 −2 T
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
175
8.10.3 Campo Magnético Devido a um Toróide
A figura 8.22 mostra um toróide, que podemos descrever como um solenóide encurvado na
forma de um pneu. Que campo magnético é criado em seus pontos interiores?
Figura 8.22: Bobina toroidal constituída por muitas espiras de fio condutor enroladas em um toro.
Se as espiras forem bem cerradas, o campo no interior do toróide é tangente ao círculo tracejado. O
campo externo é nulo.
O módulo do campo magnético no interior do toróide é dado por:
B=
µ0 i N
2πr
8.28
Exemplo 8-12: Um toróide tem raio interno de 0,7 m e externo de 1,3 m. Se o toróide tiver 900
espiras de fio, cada qual conduzindo uma corrente de 14000 A, achar a intensidade do campo
magnético.
(a) Sobre o raio interno do toróide.
(b) Sobre o raio externo do toróide.
Solução: (a) Da equação 8.28 temos,
B=
(
)
µ0 i N
4 π × 10 −7 T ⋅ m / A (14000A ) (900)
=
(2 π) (0,7m )
2πr
B = 3,6T
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
176
(b) Da equação 8.28 temos,
B=
µ 0 i N (4 π × 10 −7 T ⋅ m / A ) (14000A ) (900 )
=
(2 π) (1,3m )
2πr
B = 1,94T
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
177
8ª LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Uma bateria, com fem de 12 V e resistência interna de 0,9 Ω, está ligada a um resistor de carga
R. Se a corrente no circuito for 1,4 A, qual o valor de R? R: 7,67 Ω
2. (a) Qual a corrente num resistor de 5,6 Ω, ligado a uma bateria que tem a resistência interna de
0,2 Ω, se a voltagem entre os terminais da bateria for de 10 V ? (b) Qual a fem da bateria? R:
(a)1,79 A (b) 10,4 V
3. Uma corrente, na malha de um circuito que tem a resistência R1, é 2 A. A corrente se reduz
para 1,6 A quando se coloca um resistor R2 = 3 Ω em série com R1. Qual o valor de R1 ? R:
12,0 Ω
4. Uma bateria tem uma fem de 15 V. A voltagem terminal da bateria é de 11,6 V quando a bateria
está debitando 20 W de potência a um resistor e carga externo R. (a) Qual o valor de R. (b) Qual
a resistência interna da bateria ? R: (a) 6,73 Ω (b) 1,98 Ω
5. Duas pilhas de 1,5 V – com os terminais positivos na mesma direção – são instalados numa
lanterna de mão. Uma das pilhas tem a resistência interna 0,255 Ω e a outra a resistência interna
0,153 Ω. Quando a chave da lanterna é fechada, a lâmpada é percorrida por uma corrente de 0,6
A. (a) Qual a resistência da lâmpada ? (b) Qual a fração da potência que se dissipa nas pilhas ?
R: (a) 4,59 Ω (b) 8,16 %
6. Aos extremos de um condutor é aplicada uma ddp de 18 V. Calcule sua resistência, sabendo que
ele é atravessado por uma corrente de 6 mA de intensidade. R: 3000 Ω
7. Num circuito a cujos extremos é aplicada uma ddp de 200 V, passa uma corrente de intensidade
I = 5 A. Calcule a resistência desse circuito. R: 40 Ω
8. Que ddp é preciso aplicar aos extremos de um condutor metálico de resistência R = 12 Ω para
que ele seja percorrido por uma corrente de intensidade I = 20 A ? R: 240 V
9. Esta é a curva característica tensão-corrente de um resistor. Qual o valor de sua resistência ? R:
200 Ω
1,6
1,4
1,2
V (V)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
i (mA)
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7
8
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
10. Três resistores estão ligados em série. O primeiro tem resistência R1 = 10 Ω. O segundo, o
dobro desse valor. O terceiro, o dobro do segundo. Calcule a resistência equivalente do sistema.
R: 70 Ω
11. Usando somente três resistores – de 2 Ω, de 3 Ω, e de 4 Ω - achar todas as 17 resistências que
podem ser conseguidas mediante as várias combinações de um ou mais desses resistores.
Tabular os resultados na ordem das resistências crescentes. R: 0,923 Ω ≤ R ≤ 9,0 Ω
12. Considerando a figura abaixo:
(a) Achar a resistência equivalente entre os pontos a e b.
(b) Uma ddp de 34 V é aplicada entre os pontos a e b. Calcular a corrente em cada resistor. R: 1,99
A 1,17 A 0,819 A
13. Calcular a resistência equivalente da rede de resistores idênticos, cada qual com resistência R,
que aparece na figura abaixo. R: (6/11)R
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
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14. Calcular a potência dissipada em cada resistor do circuito da figura abaixo. R: 14,3W; 28,5W;
1,33W; 4,0W
15. Considere o circuito que aparece na figura abaixo. Achar:
(a) a corrente no resistor de 20 Ω; R: 0,227A
(b) a ddp entre os pontos a e b. R: 5,68V
16. Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio 8,2 cm e separação 1,3 mm.
(a) Calcule a capacitância. R: 140 pF
(b) Que carga aparecerá sobre as placas se a diferença de potencial aplicada for de 120 V ? R: 17 x
10-9 C
17. A placa e o catodo de um diodo tem a forma de dois cilindros concêntricos sendo o catodo o
cilindro central. O diâmetro do catodo é de 1,6 mm e o diâmetro da placa é de 18 mm; os dois
elementos tem comprimento de 2,4 m. Calcular a capacitância do diodo. R: 0,55 x 10-12 F
18. As placas de um capacitor esférico tem raios de 38,0 mm e 40,0 mm.
(a) Calcular a capacitânica. R: 84,5 x 10 –12 F
(b) Qual deve ser a área de um capacitor de placas paralelas que tem a mesma separação entre as
placas e capacitância idêntica ? R: 0,019 m2
19. Quantos capacitores de 1,00 µF devem ser ligados em paralelo para acumularem uma carga de
1,00 C com um potencial de 110 V através dos capacitores ? R: 9090 capacitores
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
20. Na figura abaixo, determine a capacitância equivalente da combinação. Suponha que C1 = 10,0
µF, C2 = 5,00 µF e C3 = 4,00 µF. R: 3,16 µF
21. Suponha que no circuito do exercício 20, o capacitor C3 teve seu isolamento rompido
eletricamente, tornando-o equivalente a um caminho condutor. Que variações ocorrem
(a) na carga. R: Nenhuma variação.
(b) Na ddp do capacitor C1. R: A ddp do capacitor C1 aumenta, se igualando à ddp V da bateria.
22. Na figura abaixo, determine a capacitância equivalente da combinação. Suponha que C1 = 10,0
µF, C2 = 5,00 µF e C3 = 4,00 µF. R: 7,33 µF
23. Uma capacitância C1 = 6,00 µF é ligada em série com uma capacitância C2 = 4,0 µF e uma ddp
de 200 V é aplicada através do par.
(a) Calcule a capacitância equivalente. R: 2,40 µF
(b) Qual é a carga sobre cada capacitor? R: 0,480 mC para ambos
(c) Qual é a ddp através de cada capacitor? R: V1 = 80 V; V2 = 120 V
24. Um capacitor de 100 pF é carregado sob uma ddp de 50 V e a bateria que o carrega é retirada. O
capacitor é, então, ligado em paralelo com um segundo capacitor, inicialmente descarregado.
Sabendo-se que a ddp cai para 35 V, qual é a capacitância deste segundo capacitor? R: 43 pF
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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
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25. Dispomos de vários capacitores de 2,0 µF, capazes de suportar 200 V sem ruptura. Como
poderíamos agrupar esse capacitores, de modo a obter uma combinação de capacitância
equivalente de :
(a) 0,40 µF. R: Cinco em série
(b) 1,20 µF, cada uma capaz de suportar 1.000 V. R: Três setas como em (a) em paralelo.
26. Um fio n° 10 (2,6 mm de diâmetro), de cobre desencapado, pode conduzir uma corrente de 50 A
sem se aquecer em demasia. Para esta corrente, qual é o campo magnético na superfície do fio?
R: 7,7 mT
27. Calcular o módulo do campo magnético a um ponto 100 cm distante de um fio condutor,
delgado, comprido, com uma corrente de 1 A. R: 200 nT
28. Um condutor delgado, comprido, retilíneo, tem uma corrente de 10 A. A que distância do
condutor o módulo do campo magnético é igual a 10-4 T? R: 6,28 cm
29. Um fio condutor de raio 0,5 cm tem uma corrente de 100 A distribuída uniformemente sobre a
área da seção reta. Achar o valor do campo magnético
(a) a 0,1 cm do eixo do fio. R: 8 x 10-4 T
(b) na superfície do fio. R: 4 x 10-3 T
(c) num ponto fora do fio, a 0,2 cm da sua superfície. R: 2,86 x 10-3 T
30. Um solenóide de 95,0 cm de comprimento tem um raio de 2,0 cm, um enrolamento de 1200
espiras e transporta uma corrente de 3,6 A. Calcule o módulo do campo magnético no interior
do solenóide. R: 5,71 mT
31. Um solenóide de 200 espiras tendo um comprimento de 25 cm e um diâmetro de 10 cm
transporta uma corrente de 0,30 A. Calcule o módulo do campo magnético B próximo ao centro
do solenóide. R: 3,02 x 10-4 T
32. Um solenóide supercondutor é projetado para gerar um campo de 10 T. Se o enrolamento do
solenóide tiver 2000 espiras/m, que corrente deve ter ? R: 3,98kA
33. Um solenóide com as espiras cerradas, comprido, com o comprimento de 30 cm, tem o campo
magnético B = 5 x 10-4 T no seu centro, quando percorrido pela corrente i = 1 A. Quantas
espiras tem o solenóide? R: 119 espiras
34. Um toróide , com espiras cerradas, e o raio interno de 1 cm e o externo de 2 cm, tem 1000
espiras e uma corrente de 1,5 A.
(a) Qual o campo magnético a 1,1 cm do centro do solenóide? R: 2,73 x 10-2 T
(b) Qual o campo magnético a 1,5 cm do centro? R: 2,00 x 10-2 T
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BIBLIOGRAFIA 182
BIBLIOGRAFIA
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