MECANICA
O homem sempre procurou explicações para os fenômenos ocorridos na natureza, desde a
Antiguidade, principalmente no que diz respeito à explicação para os movimentos dos corpos.
Talvez por isso, a mecânica seja considerada o ramo de estudo mais antigo da Física.
Pensadores famosos como Aristóteles, Galileu e Ptolomeu foram alguns dos que estiveram na
busca por explicações sobre os movimentos, além de serem os responsáveis pelo
estabelecimento de muitas das leis que hoje conhecemos.
Sendo assim, a mecânica é a parte da Física que analisa o estado de movimento e de repouso
dos corpos, ou seja, é esta parte que procura responder questões como: o que é movimento?
Como fazer para alterar o movimento de um corpo? ,etc.
Didaticamente, o estudo da mecânica é dividido em Cinemática (escalar, vetorial e angular),
dinâmica e estática.
CINEMÁTICA
A cinemática é a divisão da mecânica que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar
com suas causas, ou seja, iremos analisar o deslocamento de uma partícula, o tempo levado
para ocorrer este deslocamento, com que velocidade esta partícula o percorreu e a sua
aceleração sem em momento algum perguntar o que o causou.
Para que iniciemos o estudo da cinemática, se torna necessário que estabeleçamos alguns
conceitos básicos.
1-Móvel
É muito comum no desenvolvimento teórico ou no enunciado de um exercício, falarmos em
corpos que estão associados ao nosso cotidiano, como o movimento de um carro ou de um
outro corpo qualquer. Muitas vezes, como não há necessidade de se especificar qual é o corpo
que está em movimento o chamamos genericamente de móvel.
Sendo assim, o móvel é o objeto principal de estudo da cinemática, sobre o qual analisamos o
estado de repouso ou de movimento.
Quanto as suas dimensões, este móvel pode ser classificado em:
a)Corpo extenso
Móvel cujas dimensões não podem ser desprezadas.
Em relação as vagas do estacionamento , as dimensões
dos carro não podem ser desprezadas
Para um corpo extenso, a distancia percorrida corresponde a soma do tamanho do trajeto
percorrido com a dimensão do móvel.
Ex: Se um trem de 100m atravessa uma ponte de 250m, a distancia percorrida durante esta
travessia é de 350m.
b) Ponto material
Corpo cujas dimensões podem ser desprezadas durante o estudo do fenômeno.
Quando estudamos o movimento de um corpo, muitas vezes é necessário levarmos em conta
o seu comprimento, a sua largura e a sua altura. Porém, em certos casos, essas dimensões
(comprimento, largura e altura) são muito pequenas em relação ao percurso que esse corpo
vai descrever; aí então, desprezamos essas dimensões e consideramos o corpo como se fosse
um ponto material.
Ponto portanto vem da dimensão desprezível, e material porque tem matéria, ou seja , a
massa não pode ser desprezada
Aa terra em translação, pode ser considerá-la um
ponto material, pois seu tamanho não é importante em relação à extensão de sua órbita.
Para um móvel considerado um ponto material, a distancia percorrida corresponde somente a
dimensão da trajetória.
Ex: Se um carro com dimensão de 4m fizer o percurso de 50 km entre duas cidades A e B, , ele
pode ser considerado um ponto material, porque seus 4 m de comprimento tornam-se
desprezíveis se comparados aos 50000 m de percurso.
c)Referencial
Para descrever o estado de repouso ou de movimento de um corpo, o observador deve definir
um sistema de referência ou referencial em relação ao qual o móvel será analisado.
Sendo assim, definimos referencial como sendo um ponto ou um corpo tomado como
referência para o estudo do estado de movimento ou de repouso do móvel.
Podemos então concluir que um corpo a noção de movimento ou repouso depende do
referencial ou seja:
Dizemos que um corpo se encontra em movimento em relação a um determinado referencial
sempre que a sua posição se modificar no decorrer do tempo, e que este corpo se encontra
em repouso, sempre que a sua posição for a mesma no decorrer do tempo, em relação a um
referencial.
Note na figura a seguir que o passageiro no interior do ônibus está em repouso em relação ao
ônibus ,ao motorista,e aos outros passageiros, porque a sua posição em relação a eles é
sempre a mesma. Já em relação ao observador fixo na Terra, tal passageiro está em
movimento, porque sua posição muda com o decorrer do tempo.
Como
Cinemática
a
não
estuda as causas dos movimentos, servindo então para ela qualquer referencial.
Assim, se o referencial for o Sol, a Terra gira ao seu redor, e se o referencial for a Terra, o Sol
gira ao seu redor.
d)Trajetória
É a linha determinada pelas diversas posições que um corpo ocupa no decorrer do tempo.
A trajetória então indica o caminho percorrido pelo móvel durante o seu movimento
Ex: As marcas deixadas pelos esquis de um esquiador em movimento, que representa o
caminho percorrido pelo esquiador em relação a uma pessoa parada no solo.
Na figura ,os pontos P1, P2, P3, ... representam as sucessivas
posições ocupadas pela bola durante o seu movimento
A trajetória depende do referencial adotado.
A lâmpada que se destaca do teto de um vagão cai de forma retilínea em relação ao
vagão e, ao mesmo tempo, apresenta trajetória parabólica em relação aos trilhos.
De acordo com a trajetória, os movimentos recebem os seguintes nomes:
- movimento retilíneo: a trajetória é uma reta
- movimento curvilíneo: a trrajetória é uma curva
e)Posição ou espaço (S)
Indica a localização de um objeto em certo instante em relação a um determinado referencial.
Representado pela letra s, é a medida algébrica, ao longo de uma determinada trajetória, da
distância do ponto onde se encontra o móvel a origem dessa trajetória.
Vale ressaltar que a posição apenas localiza o corpo dentro de uma trajetória sem informar
necessariamente nada a respeito do movimento do corpo.Por exemplo, se alguém disser que
viu um carro no marco 50Km de uma estrada, não significa dizer que este carroandou 50Km,
ou ainda, se a pessoa não informar não se pode afirmar qual o sentido do seu movimento (
nem se está em movimento).
Ex:
S1 =-70 km e S2 = 50 km
f) Deslocamento (ΔS)
A posição de um móvel pode variar em referencial ao referencial , e a essa variação de posição
chamamos deslocamento.
O deslocamento de um móvel é representado por ΔS (lê- se: "delta s") e corresponde à
localização que o móvel ocupa no final do movimento (posição final s) menos sua posição no
início do movimento (posição inicial S0).
)
0
)
0
Obs:
1- O deslocamento escalar é uma grandeza algébrica, portanto pode ser positiva, negativa ou
nula, e não deve ser confundido com a distância efetivamente percorrida.
Por exemplo, quando o móvel se desloca a favor da orientação da trajetória, o deslocamento
escalar é positivo (∆S > 0); quando se desloca contra a orientação da trajetória, é negativo.
(∆S < 0).
2-Se o móvel voltar ao ponto de partida através de uma trajetória fechada, sem inverter o
sentido de seu movimento, então ∆S não será nulo e sim igual à distância percorrida. Por
exemplo, numa corrida de fórmula 1 a pista corresponde a uma trajetória fechada e ao
completar uma volta teremos ∆S = distância efetivamente percorrida.
g)Distancia percorrida (d)
É todo o caminho efetivamente percorrido pelo móvel. Matematicamente pode ser
determinado pela soma dos módulos dos deslocamentos parciais do móvel.
T0
-12
T1
T2
Km
8
12
Km
Km
Observe que na figura acima, o deslocamento do corpo é ∆S = 8 – (-12) = 20 km
E a distancia percorrida é d= |12 -(-12)| + | 8-12| = 28 km
Obs :O deslocamento e a distancia são iguais em trajetórias retilíneas, em uma única direção
e no sentido do movimento
h) Velocidade escalar
Grandeza que indica a rapidez com que um móvel percorre uma trajetória. Pode ser
classificada em média e em instantânea.
- Velocidade escalar média (Vm)
É possível calcular a velocidade média desses corredores?
Para explicar o significado da velocidade escalar média, vamos dar o seguinte exemplo: um
carro parte às 8 horas da manhã de uma cidade A que está situada no km 150 de uma outra
cidade B chegando nesta as 11 horas. Com estes dados podemos calcular qual foi a velocidade
média do carro.
Mas, este carro mantém a mesma velocidade durante todo o percurso?Sabemos que ao
trafegar por um determinado percurso, um automóvel qualquer geralmente varia sua
velocidade, quer seja aumentando-a para ultrapassar um veículo mais lento ou até mesmo
reduzindo-a ao passar por um posto de vigilância rodoviária. Sendo assim, a velocidade média
nos dá uma visão de qual foi a velocidade que o móvel manteve na maioria do seu percurso.
A velocidade média é definida matematicamente,pela razão entre a distancia percorrida e o
intervalo de tempo gasto neste percurso, independentemente se durante todo o trajeto o
móvel esteve sempre em movimento.Ou seja, é a distancia total percorrida pelo tempo total
gasto.
d
A unidade de medida da velocidade média, no Sistema Internacional de Unidades (SI), é o m/s,
porém existem outras como o cm/s e o km/h.
As relações entre elas são as seguintes:
Isto é: para converter de m/s para cm/s , devemos multiplicar o valor da velocidade por 100, e
se a conversão for de cm/s para m/s , basta dividir o valor por 100.
Já para converter de m/s para km/h basta multiplicar o valor da velocidade por 3,6, se for
necessário o contrário, ou seja, transformar de km/h para m/s, basta dividir o valor da
velocidade por 3,6, conforme o esquema acima.
Como exemplo, suponha um carro efetuando um deslocamento escalar de 45 km num
intervalo de tempo de 0,50 h. A sua velocidade escalar média neste percurso corresponde a:
d
Vm = 45 / 0,5 = 90 Km/h = 25 m/s
-Velocidade escalar instantânea
A cada dia que passa o homem busca se mover cada vez mais rápido. Recentemente a china
anunciou a construção de um trem que irá se mover a aproximadamente 300 km/h.
Mas o que significa velocidade de 3000 km/h? Dentro dos conceitos físicos, esse valor expressa
que um móvel sofrerá um deslocamento de 300 km em uma hora caso mantenha constante
essa velocidade. O valor de 300 km refere-se ao deslocamento do móvel e hora (h) é uma
unidade de medida de tempo. Dessa forma, podemos concluir que a velocidade de um móvel
mostra o deslocamento por ele descrito numa unidade de tempo.
Vamos supor que em uma viagem entre duas cidades, esse trem desenvolve velocidades
variadas. Em cada instante, seu velocímetro registrará essas diferentes velocidades, que serão
chamadas de velocidades instantâneas.
Velocidade escalar instantânea
Ex: Imagine-se dirigindo um carro em uma viagem. A partir de certo instante, você olha para o
velocímetro e para o relógio e começa a anotar as velocidades indicadas no decorrer do
tempo. Suponha que os valores anotados sejam os da tabela abaixo:
Para cada instante podemos associar um valor para a velocidade
do automóvel.Portanto, para cada valor indicado pelo velocímetro
num dado instante denominamos velocidade escalar instantânea.
A determinação da velocidade escalar instantânea é feita a partir da velocidade escalar média ,
fazendo-se o intervalo de tempo ( t) tender a zero.
Assim, escrevemos:
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
Quando conceituamos a velocidade, vimos que no nosso dia a dia são comuns os movimentos
em que o seu valor algébrico varia. Mas, e se esta velocidade se mantiver constante, que
movimento é este?
Quando a velocidade é constante dizemos que o movimento é uniforme, ou seja, o móvel irá
percorrer a mesma distancia para o mesmo intervalo de tempo. Inicialmente falaremos deste
tipo de movimento em trajetória retilínea (M.R.U.) e mais tarde trataremos de trajetórias
circulares (M.C.U.).
A figura a seguir representa um movimento uniforme, em trajetória retilínea, com velocidade
escalar constante de 4 m/s.
Observe que a cada 1 s o móvel cumpre deslocamentos escalares iguais de 4 m.
Sendo assim, sabendo que no movimento uniforme a variação da velocidade é igual a zero,
pois a velocidade final é igual à velocidade inicial, concluímos que a aceleração é constante e
igual a zero.
Obs. No movimento uniforme, a velocidade escalar instantânea é constante e diferente de
zero, sendo igual à velocidade escalar média.
Movimentos progressivos e retrógrados
O movimento de um corpo é dito progressivo quando o móvel se movimenta a favor da
trajetória tendo seus espaços aumentando com o tempo (V>0) e retrógrado ou regressivo, que
quando o móvel se movimenta contra a trajetória, e seus espaços diminuem com o tempo em
relação ao referencial (V<0)
Obs. Na prática, não existe velocidade negativa. O sinal da velocidade serve apenas para
indicar o sentido do movimento e dizer se o movimento é progressivo ou retrógrado.
A função Horária do Movimento Uniforme
Vimos que no movimento uniforme a velocidade escalar é constante e coincide com a
velocidade escalar média em qualquer instante. Como matematicamente, a velocidade escalar
média pode ser expressa por:
Onde:
• ΔS é a variação de posição do móvel, ΔS = S – So;
• Δt é a variação do tempo, Δt = t – to.
Temos que:
Fazendo tempo inicial igual a zero, to= 0, temos a função horária do movimento uniforme.
S = So + Vt
Essa função do primeiro grau é chamada de função horária da posição. Através dela podemos
determinar qual a posição de um móvel num determinado instante.
Velocidade relativa
Consideremos duas partículas A e B movendo-se em uma mesma trajetória e com velocidades
escalares VA e VB, de forma que podem se mover no mesmo sentido ou em sentidos opostos.
Podemos observar que existe uma velocidade entre elas, ou seja, que uma das partículas
possui uma velocidade em relação à outra (tomada como referência) chamada de velocidade
relativa (VREL) e o seu módulo é calculado como relatamos a seguir.
O que fazemos na realidade é tomar uma das partículas como referencia e considerá-la parada
e a outra em movimento se afastando ou se aproximando desta.
Veja os exemplos:
a)Móveis no mesmo sentido
b)Móveis em sentidos opostos
Exercício resolvido
Um tiro é disparado contra um alvo preso a uma grande parede capaz de refletir o som. O eco
do disparo é ouvido 2,5 segundos depois do momento do golpe. Considerando a velocidade do
som 340m/s, qual deve ser a distância entre o atirador e a parede?
t=2,5 s
v=340 m/s
Aplicando a equação horária do espaço, teremos:
S = S0 +v.t, mas o eco só será ouvido quando o som "ir e voltar" da parede S = 2S. Então:
Posição de encontro
Considere dois móveis A e B se movimentando em uma mesma trajetória simultaneamente em
sentido opostos ou em mesmo sentido. O encontro entre o móvel A e o móvel B ocorrerá
quando eles estiverem na mesma posição. Ou seja: SA = SB.
Sendo assim, para determinarmos a posição de encontro de dois móveis, devemos igualar as
equações horárias determinando deste modo o instante de encontro, e então substituir este
instante em qualquer das equações.
Obs. Quando substituímos o instante de encontro nas equações horárias dos móveis, não
encontramos quanto cada móvel se deslocou em relação a posição inicial.Se assim o
quisermos, basta multiplicar sua velocidade escalar pelo instante de encontro
Exemplos:
1) Dois automóveis, A e B, movem-se em movimento uniforme e no mesmo sentido. Suas
velocidades escalares têm módulos respectivamente iguais a 15 m/s e 10 m/s. No instante
T=0 , temos as suas posições conforme a figura abaixo.
Determine:
a) o instante em que A alcança B;
Primeiro encontramos as funções horárias de cada móvel .
SA = S0A + vA.t e SB = S0B + vB.t
SA = 0 + 15.t e SB = 100 + 10.t
Para determinar o instante que A encontra B basta igualar as funções SA = SB.
0 + 15.t = 100 + 10.t
15t – 10t = 100
5t = 100
Portanto,
t = 20 s.
b) Qual a posição de encontro?
Para encontrarmos a posição de encontro, basta substituir o valor do tempo, encontrado
no item anterior na função horária do espaço do móvel A ou do móvel B.
Assim:
SA = 0 + 15 . 20 e SB = 100 + 10.t
SA = 300 m
e SB = 300m
2)Dois carros movem-se em movimento uniforme, um de encontro ao outro. Suas velocidades
escalarem têm módulos 12 m/s e 8 m/s, respectivamente. No instante t = 0 os carros
ocupam as posições indicadas na figura:
Primeiro escolheremos um móvel como referencial.
No nosso exemplo escolheremos o móvel A. A seguir, orientamos a trajetória de A para B e
adotamos a origem dos espaços na posição inicial A.
A resolução deste problema é semelhante ao anterior.
a) Escreva as funções horárias do espaço de A e B.
As funções horárias de A e B são:
SA = 0 + 12.t e SB = 200 – 8t.
Aqui a velocidade de B é – 8 porque o carro move-se no sentido contrário ao da orientação da
trajetória.
b) Determine o instante do encontro Igualando as funções horárias dos espaços .
SA = SB
12.t = 200 – 8.t
12.t + 8t = 200
20.t = 200
t = 10 s
Portanto, o instante em que os carros se encontram é 10 s.
c) A que posição ocorre o encontro?
Para determinarmos a posição,vamos substituir o valor do tempo na equação do espaço do
carro A( lembre que se fosse a equação de B o resultado seria o mesmo).
SA = 12.t
SA = 12.10
SA = 120 m
Temos assim que os carros se encontram a 120 m da posição inicial A
3) (ESPM-SP) Dois colegas estão numa praça circular cujo diâmetro vale 60 m, conforme o
esquema.
Os dois resolvem caminhar, partindo de A, e um deles segue o diâmetro AC enquanto o outro
segue o contorno ABC. Se os dois caminham com velocidade de 1,0 m/s, aquele que segue o
contorno passando pelo ponto B chega ao ponto C com atraso em relação ao colega.
Considerando = 3,1, esse atraso, em segundos é igual a:
a) 27
b) 33
c) 67
d) 73
e) 93
Solução:
Encontrando a função horária do espaço daquele que caminha pela trajetória ABC:
SABC = S0 + vA.t
A distância percorrida por essa pessoa é igual à metade do comprimento da circunferência.
Como o comprimento da circunferência é dado por C = 2πR, a metade desse comprimento é:
SABC = πR
Assim:
πR = 0 + 1.t1
3,1.30 = t1
t1 = 93 s
O tempo gasto para aquele que percorre o diâmetro de 60 m é de:
SAC = S0 + v.t2
60 = 0 + 1.t2
t2 = 60 s.
Portanto, a diferença entre os tempos é de:
t1 – t2 = 93 – 60
t1 – t2 = 33 s
Fonte dos exercícios : http://www.mundoeducacao.com.br/fisica/encontro-ultrapassagemuma-aplicacao-movimento-uniforme-.htm - Por Marina Cabral
Gráficos do movimento uniforme
1- Gráfico S x T
A equação horária das posições no movimento uniforme S = S0+ v.t é uma função de 1º grau ,
sendo representada graficamente por uma reta, no sistema de coordenadas cartesianas, em
relação ao eixo dos tempos.
Para v > 0 a função é crescente, assim o gráfico pode ter a forma abaixo, sendo que a posição
inicial pode se encontrar ainda a partir do zero(S0 =0) ou abaixo do eixo(S0<0)
MOVIMENTO PROGRESSIVO
Para v < 0 a função é decrescente, e a representação gráfica da função pode ser:
MOVIMENTO RETRÓGRADO
Podemos observar através dos gráficos apresentados que:
S0 corresponde ao coeficiente linear da reta (intersecção com eixo OY)
V corresponde ao coeficiente angular da reta ou inclinação da reta
Como o coeficiente angular de uma reta é determinado pela tangente do ângulo que esta reta
faz com a direção horizontal, podemos determinar a partir desta a velocidade escalar.
Acompanhe o exemplo:
∆S
∆T
Como o coeficiente angular é dado pela tg , e tg = V calculamos graficamente a velocidade
por: V = ∆S/∆ T
Exercício resolvido.
A partir do gráfico abaixo que indica como varia a posição de um móvel com o tempo,
determine a velocidade do corpo.
Sabemos então que a posição inicial será a posição S0= 50m quando o tempo for igual a zero.
Também sabemos que a posição final S=-10m se dará quando t=2s. A partir daí, fica fácil
utilizar a equação horária do espaço e encontrar a velocidade do corpo:
2-Gráfico V x T
Como no movimento uniforme a velocidade escalar é constante, o gráfico da velocidade em
função do tempo é um reta paralela ao eixo t , podendo apresentar as duas formas seguintes:
a) Para v > 0(movimento progressivo)
b) Para V< 0 (movimento retrógrado)
A partir deste gráfico, Pode-se calcular a variação de espaço ocorrida em um intervalo de
tempo, calculando-se a área abaixo da reta obtida (área hachurada na figura), que é a área de
um retângulo.
Sendo assim, ∆S = área
Exercício resolvido
Determine a partir do gráfico abaixo, a velocidade escalar média do corpo
V
20
12
∆S3
∆S2
6
∆S1
3
15
40
Calculam-se primeiro as áreas dos retângulos
a) entre 0s e 2s
∆S1 = 3 x 5
∆S1= 18 m
b) entre 2s e 15 s
∆S2 = 12 x 12
∆S2 = 144 m
c) entre 15s e 30s
∆S3 = 25 x 20
∆S3 = 500 m
Como Vm = ∆S/∆t
Vm = 662 /40
Vm = 16,55 m/s
T
MOVIMENTO VARIADO (M.R.V.)
São os movimentos em que o módulo da velocidade do móvel varia de maneira aleatória, ou
seja, a aceleração do corpo tem módulo variável.
Para estes movimentos, nos cursos de segundo grau se determina a aceleração escalar média
Aceleração escalar média (am)
A variação da velocidade de um móvel depende de uma grandeza chamada aceleração.
Para calcular a aceleração média de um móvel devemos aplicar a seguinte expressão
matemática:
am = ∆V
∆t
Onde:
∆V = variação de velocidade, velocidade final menos velocidade inicial.
∆t = variação do tempo
Unidades:
S.I (M.K.S.)
m/s2
C.G.S.
cm/s2
outros
Km/h2 ; Km/h/s ,etc.
Exercícios resolvidos
1-Ao caçar, um guepardo - partindo do repouso - atinge uma velocidade de 72 Km/h em 2
segundos. Qual a sua aceleração média nesse intervalo de tempo?
Como ele parte do repouso, temos:
Vo = 0 Km/h
V = 72Km/h
t0 = 0 s
t =2 s
am = 72 / 2
am = 36 Km/h por s
2-Durante um trecho da corrida, um carro de fórmula 1 aumenta sua velocidade de 100 Km/h
para 262 Km/h, fazendo isso em 4 segundos. Qual a sua aceleração média neste trecho?
vo = 100 Km/h
v = 260 Km/h
to = 0 s
t=4s
∆v= (262 – 100)
∆v=162Km/h = 45 m/s
a m = 45/ 4
a m = 11,25 m/s2
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
(M.R.U.V.)
São os movimentos em que o módulo da velocidade varia de maneira uniforme, ou seja, em
intervalos de tempos iguais ocorrem iguais variações de velocidades. Dizemos então que a
aceleração do móvel tem módulo constante e diferente de zero.
Observe a figura abaixo:
A cada 1s de movimento, a velocidade do carro varia de 5m/s, sendo assim dizemos que a
aceleração foi de 5m/s2
No movimento uniformemente variado, a aceleração escalar por ser constante , é igual a
aceleração escalar média.
CLASSIFICAÇÃO DO MUV
a) Movimento acelerado uniformemente - O módulo da velocidade escalar aumenta ao longo
do tempo. Velocidade e aceleração escalares têm sentidos e sinais iguais.
Podem ser de dois tipos
movimento progressivo acelerado
movimento retrógrado acelerado
v>0 e a >0
v<0 e a<0
b) Movimento retardado uniformemente - O módulo da velocidade escalar diminui no decurso
do tempo. Velocidade e aceleração escalares têm sentidos e sinais contrários.
Podem ser:
movimento progressivo retardado
v>0 e a <0
movimento retrógrado retardado
v<0 e a>0
Equações do M.U.V.
1-Função horária da velocidade
Vamos considerar um ponto material em movimento uniformemente variado, conforme a
figura abaixo.
Vo
V
.
Estando o móvel em movimento uniformemente variado temos a seguinte equação horária:
Adotando o tempo inicial nulo temos:
A expressão acima é uma função horária da velocidade escalar no MUV. Através
dela,conhecendo a velocidade inicial do móvel e sua aceleração escalar, podemos determinar
a velocidade escalar do móvel em um determinado instante t.
2-Função horária das posições
A partir da equação anterior podemos representar graficamente essa velocidade em função do
tempo, obtendo uma reta oblíqua aos eixos.
Como já foi visto, o deslocamento escalar ΔS pode ser obtido por meio da área, no gráfico da
velocidade em função do tempo:
No gráfico acima temos:
Sendo v = v0 + a.t, a expressão anterior passa a ser:
Que finalmente resulta em:
Exemplo:
Suponhamos que um automóvel com velocidade escalar inicial de 10 m/s, acelere a
1m/s2 constantemente. A distância percorrida nos seis primeiros segundos é igual a:
A questão forneceu a velocidade inicial V0 = 10 m/s, a aceleração a=1m/s2 e o intervalo de
tempo ∆t = 6 s. Agora basta usar a função horária dos espaços e determinar, assim, o valor do
espaço percorrido pelo móvel durante os seis primeiros segundos.
3-Equação de Torricelli
Evangelista Torricelli deduziu uma equação para encontrar a velocidade final de um corpo
em movimento retilíneo uniformemente variado sem conhecer o intervalo de tempo em que
este permaneceu em movimento.
Esta equação pode ser deduzida a partir das equações horária das posições e da velocidade
conforme mostraremos a seguir.
Vimos que:
e que
Da primeira equação temos :
S - So =vo.t +a.t2/2
donde ∆S = vo.t +a.t2/2 (eq.1).Pegando a equação da velocidade e elevando ao quadrado
ficamos com ;
(v)2 =( vo + a.t)2
v2 =v02+2vo.a.t+a2.t2
podemos então usar o seguinte artifício matemático
v2 =v02+2 .a(vo.t+a.t2) (eq.2)
2
Substituindo a eq. 1 na eq.2 temos que:
Obs.Esta equação é conveniente nas situações em que não temos o tempo nem queremos
este tempo
Exemplo:
1-(UFPE) Uma bala que se move a uma velocidade escalar de 200m/s, ao penetrar em um
bloco de madeira fixo sobre um muro, é desacelerada até parar. Qual o tempo que a bala
levou em movimento dentro do bloco, se a distância total percorrida em seu interior foi igual a
10cm?
Apesar de o problema pedir o tempo que a bala levou, para qualquer uma das funções
horárias, precisamos ter a aceleração, para calculá-la usa-se a Equação de Torricelli.
Observe que as unidades foram passadas para o SI (10cm=0,1m)
A partir daí, é possível calcular o tempo gasto:
Gráficos do M.U.V.
1- Gráfico S x t
Conforme vimos, A função horária dos espaços no MUV é uma função do 2º grau dada por
Por ser do 2º grau, a representação gráfica da função é uma parábola , cuja equação geral é
dada por y = ax2 +bx+c
Da matemática então percebemos que o termo a que na função horária é a aceleração, indica
a concavidade, então:
1) Para a > 0
Esse gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois a aceleração é maior
do que zero (a > 0). Assim, se a velocidade for menor do que zero (v < 0), o movimento é
retardado e se a velocidade for maior do que zero (v > 0), o movimento é acelerado. No vértice
temos v =0 o que significa que houve inversão do sentido do movimento.
2) Para a < 0
Nesse caso a parábola tem concavidade voltada para baixo, pois a aceleração é menor do que
zero (a < 0). Se a velocidade for menor do que zero (v < 0), o movimento é acelerado. Se a
velocidade for maior do zero (v > 0), o movimento é retardado.
Exercício resolvido
1-Para um móvel que parte do repouso, temos o gráfico que indica como sua posição varia em
função do tempo. Determine a função horária que melhor representa o movimento do móvel.
Fonte:http://www.ciencia-cultura.com
2-Gráfico v x t
Vimos que a função horária da velocidade é uma função do 1º grau, representada por:
v = v0 + a.t
Sendo assim , o gráfico v x t é representado por uma reta.
1) Para a > 0 , o gráfico é uma reta crescente
2) para a < 0 é representado por uma reta decrescente
A partir do gráfico podemos analisar também o tipo de movimento, observe:
a>0
V
V
V>0 (progressivo acelerado)
t
V < 0 (retrógrado retardado)
(progressivo retardado)
t
(retrógrado acelerado)
A partir do gráfico Vxt, é possível descobrir o módulo da aceleração:
Veja que assim como fizemos no gráfico Sxt do MU, vamos extrair a tangente da
reta(inclinação)
Tgθ = ΔV/Δt
Ou seja, como:
a = ΔV/Δt
Tgθ = a
No gráfico Vxt, a inclinação é a aceleração
Conforme vimos no gráfico V x T do movimento uniforme, o deslocamento escalar é
determinado pela área da região entre a reta e o eixo horizontal. Veja:
∆S = área do trapézio
Exemplo:
1-O gráfico da velocidade em função do tempo de um ponto material é dado na figura a seguir.
Determine a aceleração nos intervalos:
a) t=0s a t=5s,
b) t=5s a t=10s,
c) t=10s a t=15s.
Fonte : http://www.ciencia-cultura.com
3- Gráfico a x t
Como a aceleração é constante no MUV, o gráfico a x t corresponde a uma reta paralela ao
eixo do tempo:
1) Se a > 0 temos:
2- Se a < 0 temos:
a
a
t
t
E que informação podemos extrair do gráfico axt? Vejamos o gráfico abaixo:
a
a
t
t
A área em questão é a do retângulo formado no intervalo de tempo
Área = base x altura
Área = (t2 – t1).(a-0)
Área = Δt.a (1)
Entretanto, pela definição de aceleração temos que:
a = ΔV/Δt
donde tiramos que :
ΔV = Δt.a (2)
Substituindo (1) em (2), temos
Área = ΔV
No gráfico axt a área debaixo da curva é a variação da velocidade
EXERCÍCIOS
01.Um móvel percorre uma distancia de 1200 m em 4 min. Qual a sua velocidade escalar
media em m/s?
02.Uma partícula percorre 30 m com velocidade escalar media de 36 km/h. Em quanto tempo
faz este percurso?
03.(UFAC) Um carro com uma velocidade de 80 km/h passa pelo km 240 de uma rodovia às 7 h
30 min. A que horas este carro chegará à próxima cidade, sabendo-se que a mesma está
situada no km 300 dessa rodovia?
04.Um percurso de 310 km deve ser feito por um ônibus em 5 h. O primeiro trecho de 100 km
é percorrido com velocidade media de 50 km/h, e o segundo trecho de 90 km, com velocidade
média de 60 km/h. Que velocidade media deve ter o ônibus no trecho restante para que a
viagem se efetue no tempo previsto?
05.A velocidade escalar média de um automóvel é de 80 km/h no primeiro trecho de seu
percurso e 60 km/h no trecho restante. Os trechos são percorridos no mesmo intervalo de
tempo. Qual é a velocidade escalar média durante todo o percurso? Ela é a média aritmética
das velocidades escalares medias em cada trecho do percurso?
06.Um trem com comprimento 200 m gasta 20 s para atravessar um túnel de comprimento
400 m. Determine a velocidade escalar media do trem.
07.(Cesgranrio-RJ) Uma patrulha rodoviária mede o tempo que cada veiculo leva para
percorrer um trecho de 400 m da estrada. Um automóvel percorre a primeira metade do
trecho com velocidade de 140 km/h. Sendo de 80 km/h a velocidade limite permitida, qual
deve ser a maior velocidade média do carro na segunda metade do trecho para evitar ser
multado?
08.(FUVEST-SP) Diante de uma agencia do INSS há uma fila de aproximadamente 100 m de
comprimento, ao longo da qual se distribuem de maneira uniforme 200 pessoas. Aberta a
porta, as pessoas entram, durante 30 s, com uma velocidade média de 1 m/s. Avalie:
a) o numero de pessoas que entraram na agencia;
b) o comprimento da fila que restou ao lado de fora.
09.(Fuvest-SP) Um ônibus sai de São Paulo às 8 h e chega a Jaboticabal, que dista 350 km da
capital, as 11 h 30 min. No trecho de Jundiaí a Campinas, de aproximadamente 45 km, a sua
velocidade foi constante e igual a 90 km/h.
a) Qual é a velocidade média, em km/h no trajeto São Paulo-Jaboticabal?
b)Em quanto tempo o ônibus cumpre o trecho Jundiaí-Campinas?
10.A velocidade escalar média de um móvel de um automóvel até a metade de seu percurso é
90 km/h e na outra metade restante é 60 km/h. Determine a velocidade escalar média no
percurso total. Ela é a média aritmética das velocidades escalares médias em cada trecho do
percurso?
11.A velocidade média de um automóvel que durante os primeiros 150 km de viagem
deslocou-se a 50 km/h e nos 700 km seguintes a 100 km/h, é:
a) 55 km/h
b) 60 km/h
c) 65 km/h
d) 85 km/h
e) 70 km/h
12.Num passeio promovido pelo Jeep Clube de Minas Gerais, o navegador recebe uma planilha
onde se diz que um trecho de 10km deve ser percorrido à velocidade média de 30km/h. Se o
veículo iniciar o trajeto às 11h00min, ele deverá chegar ao final do referido trecho às:
a) 11h30 min
b) 11h10 min
c) 12h40 min
d) 11h20 min
e) 14h00 min
13.Um automóvel parte de Curitiba com destino a Cascavel com velocidade de 60km/h. 20
minutos depois parte outro automóvel de Curitiba com o mesmo destino à velocidade 80km/h.
Depois de quanto tempo o 2 automóvel alcançará o 1?
a) 90 min
b) 56 min
c) 60 min
d) 70 min
e) 80 min
14.Um carro faz uma viagem de 200km a uma velocidade média de 40km/h. Um segundo
carro, partindo 1 hora mais tarde, chega ao ponto de destino no mesmo instante que o
primeiro. Qual é a velocidade média do segundo carro?
a) 45 km/h
b) 50 km/h
c) 55 km/h
d) 60 km/h
e) 80 km/h
15.Uma família viaja de carro com velocidade constante de 100 km/h, durante 2 h. Após parar
em um posto de gasolina por 30 min, continua sua viagem por mais 1h 30 min com velocidade
constante de 80 km/h. A velocidade média do carro durante toda a viagem foi de:
a)80km/h.
b)100km/h.
c)120km/h.
d)140km/h.
e)150km/h.
16.Uma escada rolante de 6 m de altura e 8 m de base, transporta uma pessoa da base até o
topo da escada num intervalo de tempo de 20 s. A velocidade média desta pessoa, em m/s, é:
a) 0,3
b) 0,5
c) 0,7
d) 0,8
e) 1,0
17. (UFPE) A escada rolante de uma galeria comercial liga os pontos A e B em pavimentos
consecutivos a uma velocidade ascendente constante de 0,5 m/s, conforme mostrado na
figura. Se uma pessoa consegue descer contra o sentido de movimento da escada e leva 10
segundos para ir de B até A, pode-se afirmar que sua velocidade, em relação à escada, foi em
m/s igual a:
a) 0,0
b) 0,5
c) 1,0
d) 1,5
e) 2,0
18 .(PUC-MG) Um homem, caminhando na praia, deseja calcular sua velocidade. Para isso, ele
conta o número de passadas que dá em um minuto, contando uma unidade a cada vez que o
pé direito toca o solo, e conclui que são 50 passadas por minuto. A seguir, ele mede a distância
entre duas posições sucessivas do seu pé direito e encontra o equivalente a seis pés. Sabendo
que três pés correspondem a um metro, sua velocidade, suposta constante, é:
a) 3 km/h
b) 4,5 km/h
c) 6 km/h
d) 9 km/h
e) 10 km/h
19 . (PUC-MG) Quando navega a favor da correnteza, um barco desenvolve 40 km/h;
navegando contra, faz 30 km/h. Para ir de A até B, pontos situados na mesma margem, gasta
três horas menos que na volta. A distância entre A e B é de:
a) 360 km
b) 420 km
c) 240 km
d) 300 km
e) 180 km
20 . (FMU) Você vai para a faculdade com a velocidade média de 30 km/h e volta com a
velocidade média de 20 km/h. Para ir e voltar gastando o mesmo tempo, sua velocidade média
deveria ser
a) 25 km/h
b) 50 km/h
c) 24 km/h
d) 10 km/h
e) 48 km/h
21 . (PUC-PR) Um automóvel percorre um certo trecho com velocidade escalar média de 40
km/h e depois volta pelo mesmo trecho com velocidade escalar média de 60 km/h. Sua
velocidade escalar média no trajeto de ida e volta foi, em km/h, igual a:
a) 48
b) zero
c) 40
d) 50
e) 60
22 . (PUC-PR) Um automóvel parte de Curitiba com destino a Cascavel com velocidade de 60
km/h. 20 minutos depois parte outro automóvel de Curitiba com o mesmo destino à
velocidade 80 km/h.
Depois de quanto tempo o 2 automóvel alcançará o 1?
a) 60 min
b) 70 min
c) 80 min
d) 90 min
e) 56 min
23. (UFPE) um atleta caminha com uma velocidade de 150 passos por minuto. Se ele percorrer
7,20 km em uma hora, com passos de mesmo tamanho, qual o comprimento de cada passo?
a) 40,0 cm
b) 60,0 cm
c) 80,0 cm
d) 100 cm
e) 120 cm
24 . (UFCE) Dois veículos, A e B, se movem ao longo de uma estrada horizontal e reta e suas
posições variam com o tempo conforme o gráfico mostrado abaixo.
Sobre o movimento de A e B podemos afirmar:
a) no instante de tempo t = t_o as velocidades dos dois veículos são iguais;
b) A e B percorrem uma mesma distância entre os instantes t = 0 e t =t_o ;
c) no instante de tempo t = t_o A e B encontram-se igualmente afastados da posição x = 0;
d) no instante de tempo t = t_o a aceleração de A é maior do que a aceleração de B;
e) em qualquer instante de tempo a velocidade de B é maior do que a velocidade de A.
25. (UFRRJ) “Maurice Greene, o homem mais rápido do Planeta”.
Ex-vendedor de hambúrguer bate o recorde mundial dos 100 metros em Atenas.
Não faz muito tempo, Maurice Greene era um dos muitos adolescentes americanos que
reforçavam o orçamento familiar vendendo hambúrgueres em Kansas City, sua cidade. Mas ele
já corria desde os 8 anos e não demorou a descobrir sua verdadeira vocação. Trocou a
lanchonete pela pista de atletismo e ontem se tornou o homem mais rápido do planeta ao
vencer os 100 metros do meeting de Atenas, na Grécia, estabelecendo um novo recorde
mundial para a prova. Greene, de 24 anos, correu a distância em 9s 79, superando em cinco
centésimos de segundo a marca anterior (9s 84), que pertencia ao canadense Dono Van Bailey
desde a final olímpica de Atlanta, em julho de 1996. Jamais um recordista conseguira tal
diferença desde a adoção da cronometragem eletrônica, em 1978.
GLOBO: 17 de junho de 1999.
Com base no texto acima, pode-se afirmar que a velocidade média do homem mais rápido do
planeta é de aproximadamente
a) 10,21 m/s.
b) 10,58 m/s.
c) 10,62 m/s.
d) 10,40 m/s.
e) 10,96 m/s.
26. (PUC-RS) Dois móveis, A e B, percorrem uma mesma trajetória retilínea, conforme as
funções horárias: sA = 30 + 20t e sB = 90 − 10t, sendo a posição s em metros e t em segundos.
No instante t = 0, a distância, em metros, entre os móveis era de:
a) 30
b) 50
c) 60
d) 80
e) 120
27. (PUC-RS) O instante de encontro, em segundos, entre os móveis A e B do exercício anterior
foi:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
28-. (UEL-PR) Duas cidades A e B distam entre si 400 km. Da cidade A parte um móvel P
dirigindo-se à cidade B e, no mesmo instante, parte de B outro móvel Q dirigindo-se a A. Os
pontos P e Q executam movimentos uniformes e suas velocidades escalares são, em módulo,
30 km/h e 50 km/h, respectivamente. A distância da cidade A ao ponto de encontro dos
móveis P e Q, em km, vale:
a) 120
b) 150
c) 200
d) 240
e) 250
29. (FGV-SP) Um batalhão de infantaria sai do quartel para uma marcha de exercícios às 5
horas da manhã, ao passo de 5 km/h. Depois de uma hora e meia, uma ordenança sai do
quartel de jipe para levar uma informação ao comandante da marcha, ao longo da mesma
estrada e a 80 km/h. Quantos minutos a ordenança levará para alcançar o batalhão?
a) 11 min
b) 1 min
c) 5,625 min
d) 3,5 min
e) 6 min
30. (UNIP-SP) Uma rua EF é reta e tem 4,0 km de comprimento. Um carro A, com velocidade
constante de módulo 20 m/s, parte da extremidade E indo para a extremidade F e outro carro
B, com velocidade constante de módulo 25 m/s, parte de F indo para E, 20 s depois da partida
de A. Com relação a este enunciado podemos afirmar que os carros A e B se cruzam:
a) 44 s após a partida de A num ponto mais próximo da extremidade E.
b) 80 s após a partida de B no ponto médio da rua EF.
c) 100 s após a partida de B num ponto mais próximo da extremidade E.
d) 100 s após a partida de A num ponto mais próximo da extremidade F.
e) 89 s após a partida de A.
31. (Vunesp-SP) Um trem e um automóvel caminham paralelamente e no mesmo sentido, num
trecho retilíneo. Seus movimentos são uniformes e a velocidade do automóvel é o dobro da
velocidade do trem. Desprezando-se o comprimento do automóvel e sabendo-se que o trem
tem 100 m de comprimento, determine a distância que o automóvel percorre desde que
alcança o trem até o instante que o ultrapassa.
32. (Fuvest-SP) Dois carros, A e B, movem-se no mesmo sentido, em uma estrada reta, com
velocidades escalares constantes vA = 100 km/h e vB = 80 km/h, respectivamente.
a) Qual é, em módulo , a velocidade do carro B em relação a um observador no carro A?
b) Em um dado instante, o carro B está 600 m à frente do carro A. Quanto tempo, em horas,
decorre até que A alcance B?
33. (AFA) Considere dois veículos deslocando-se em sentidos opostos, numa mesma rodovia.
Um tem velocidade escalar de 60 km/h e o outro de 90 km/h, em valor absoluto. Um
passageiro, viajando no veículo mais lento, resolve cronometrar o tempo decorrido até que os
veículos se cruzem e encontra o intervalo de 30 segundos. A distância, em km, de separação
dos veículos, no início da cronometragem, era de:
a) 0,25
b) 1,25
c) 2,0
d) 2,5
34. (ITE-PR) Dois móveis partem simultaneamente de dois pontos, A e B, e deslocam-se em
movimento uniforme sobre a mesma reta, de A para B, com velocidades escalares de 20 m/s e
15 m/s. Se o encontro ocorre 50 s após a partida, podemos afirmar que a distância inicial entre
os mesmos era de:
a) 250 m
b) 500 m
c) 750 m
d) 900 m
35. (FCC-SP) Dois trens (A e B) movem-se em trilhos paralelos, deslocando-se em sentidos
opostos. As velocidades escalares dos trens são constantes e de módulos iguais a 30 km/h.
Cada trem mede 100 m de comprimento. Quando os trens se cruzam, durante quanto tempo
um observador no trem B vê passar o trem A?
36.Um carro viaja com velocidade de 90 km/h (ou seja, 25m/s) num trecho retilíneo de uma
rodovia quando, subitamente, o motorista vê um animal parado na sua pista. Entre o instante
em que o motorista avista o animal e aquele em que começa a frear, o carro percorre 15m. Se
o motorista frear o carro à taxa constante de 5,0m/s£, mantendo-o em sua trajetória retilínea,
ele só evitará atingir o animal, que permanece imóvel durante todo o tempo, se o tiver
percebido a uma distância de, no mínimo,
a) 15 m.
b) 31,25 m.
c) 52,5 m.
d) 77,5 m.
e) 125 m.
37.A função horária da posição s de um móvel é dada por s=20+4t-3t2, com unidades do
Sistema Internacional. Nesse mesmo sistema, a função horária da velocidade do móvel é
a) v = -16 – 3t
b)v = -6t
c) v =4 – 6t
d) v =4 – 3t
e) v =4 – 1,5t
38.Um trem em movimento está a 15m/s quando o maquinista freia, parando o trem em 10s.
Admitindo aceleração constante, pode-se concluir que os módulos da aceleração e do
deslocamento do trem neste intervalo de tempo valem, em unidades do Sistema Internacional,
respectivamente,
a) 0,66 e 75
b) 0,66 e 150
c) 1,0 e 150
d) 1,5 e150
e) 1,5 e 75
39.Um caminhão com velocidade de 36km/h é freado e pára em 10s. Qual o módulo da
aceleração média do caminhão durante a freada?
a) 0,5 m/s2
b) 1,0 m/s2
c) 1,5 m/s2
d) 3,6 m/s2
e) 7,2 m/s2
40.Um objeto A encontra-se parado quando por ele passa um objeto B com velocidade
constante de módulo igual a 8,0m/s. No instante da ultrapassagem imprime-se ao objeto A
uma aceleração, de módulo igual a 0,2m/s2, na mesma direção e sentido da velocidade de B.
Qual a velocidade de A quando ele alcançar o objeto B?
a) 4,0 m/s
b) 8,0 m/s
c) 16,0 m/s
d) 32,0 m/s
e) 64,0 m/s
41. Em um teste para uma revista especializada, um automóvel acelera de 0 a 90km/h em 10
segundos. Nesses 10 segundos, o automóvel percorre:
a) 250 m b) 900 km c) 450 km
d) 450 m e) 125 m
42.Um trem de 100m de comprimento, com velocidade de 30m/s, começa a frear com
aceleração constante de módulo 2m/s2, no instante em que inicia a ultrapassagem de um
túnel. Esse trem pára no momento em que seu último vagão está saindo do túnel. O
comprimento do túnel é:
a) 25 m
b) 50 m
c) 75 m
d) 100m
e) 125 m
43.Um caminhão, a 72 km/h, percorre 50m até parar, mantendo a aceleração constante. O
tempo de frenagem, em segundos, é igual a
a) 1,4
b) 2,5
c) 3,6
d) 5,0
e) 10,0
44.Um automóvel parte do repouso no instante t=0 e acelera uniformemente com 5,0m/s£,
durante 10s. A velocidade escalar média do automóvel entre os instantes t=6,0s e t=10s, em
m/s, foi de
a) 40
b) 35
c) 30
d) 25
e) 20
45.Um "motoboy" muito apressado, deslocando-se a 30m/s, freou para não colidir com um
automóvel a sua frente. Durante a frenagem, sua moto percorreu 30m de distância em linha
reta, tendo sua velocidade uniformemente reduzida até parar, sem bater no automóvel. O
módulo da aceleração média da moto, em m/s2, enquanto percorria a distância de 30m, foi de
a) 10
b) 15
c) 30
d) 45
e) 108
46. (FUVEST) Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo e acelera com aceleração
escalar constante e igual a 2,0 m/s2. Pode-se dizer que sua velocidade escalar e a distância
percorrida após 3,0 segundos, valem, respectivamente:
a) 6,0 m/s e 9,0m;
b) 6,0m/s e 18m;
c) 3,0 m/s e 12m;
d) 12 m/s e 35m;
e) 2,0 m/s e 12 m
47. (FUND. CARLOS CHAGAS) Dois móveis A e B movimentam-se ao longo do eixo x,
obedecendo às equações móvel A: xA = 100 + 5,0t e móvel B: xB = 5,0t2, onde xA e xB são
medidos em m e t em s. Pode-se afirmar que:
a) A e B possuem a mesma velocidade;
b) A e B possuem a mesma aceleração;
c) o movimento de B é uniforme e o de A é acelerado;
d) entre t = 0 e t = 2,0s ambos percorrem a mesma distância;
e) a aceleração de A é nula e a de B tem intensidade igual a 10 m/s2.
48. (MACKENZIE) Um móvel parte do repouso com aceleração constante de intensidade igual a
2,0 m/s2em uma trajetória retilínea. Após 20s, começa a frear uniformemente até parar a
500m do ponto de partida. Em valor absoluto, a aceleração de freada foi:
a) 8,0 m/s2
b) 6,0 m/s2
c) 4,0 m/s2
d) 2,0 m/s2
e) 1,6 m/s2
49. (UFMA) Uma motocicleta pode manter uma aceleração constante de intensidade 10 m/s2.
A velocidade inicial de um motociclista, com esta motocicleta, que deseja percorrer uma
distância de 500m, em linha reta, chegando ao final desta com uma velocidade de intensidade
100 m/s é:
a) zero
b) 5,0 m/s
c) 10 m/s
d) 15 m/s
e) 20 m/s
50. (UFPA) Um ponto material parte do repouso em movimento uniformemente variado e,
após percorrer 12 m, está animado de uma velocidade escalar de 6,0 m/s. A aceleração escalar
do ponto material, em m/s vale:
a) 1,5
b) 1,0
c) 2,5
d) 2,0
e) n.d.a.
51. (UNIP) Na figura representamos a coordenada de posição x, em função do tempo, para um
móvel que se desloca ao longo do eixo Ox.
Os trechos AB e CD são arcos de parábola com eixos de simetria paralelos ao eixo das posições.
No intervalo de tempo em que o móvel se aproxima de origem dos espaços o seu movimento
é:
a) uniforme e progressivo;
b) retrógrado e acelerado;
c) retrógrado e retardado;
d) progressivo, retardado e uniformemente variado;
e) progressivo, acelerado e uniformemente.
52. (PUCC) Um vaso de flores cai livremente do alto de um edifício. Após ter percorrido 320cm
ele passa por um andar que mede 2,85 m de altura. Quanto tempo ele gasta para passar por
esse andar? Desprezar a resistência do ar e assumir g = 10 m/s2.
a) 1,0s
b) 0,80s
c) 0,30s
d) 1,2s
e) 1,5s
53. (PUCC) Duas bolas A e B, sendo a massa de A igual ao dobro da massa de B, são lançadas
verticalmente para cima, a partir de um mesmo plano horizontal com velocidades iniciais.
Desprezando-se a resistência que o ar pode oferecer, podemos afirmar que:
a) o tempo gasto na subida pela bola A é maior que o gasto pela bola B também na subida;
b) a bola A atinge altura menor que a B;
c) a bola B volta ao ponto de partida num tempo menor que a bola A;
d) as duas bolas atingem a mesma altura;
e) os tempos que as bolas gastam durante as subidas são maiores que os gastos nas
descidas.
54. (UFPR) Um corpo é lançado verticalmente para cima, atinge certa altura, e desce. Levandose em conta a resistência do ar, pode-se afirmar que o módulo de sua aceleração é:
a) maior, quando o corpo estiver subindo;
b) maior, quando o corpo estiver descendo;
c) igual ao da aceleração da gravidade, apenas quando o corpo estiver subindo;
d) o mesmo, tanto na subida quanto na descida;
e) igual ao da aceleração da gravidade, tanto na subida quanto na descida.
55. (UCPR) Num local onde a aceleração da gravidade vale 10 m/s2 uma pedra é abandonada
de um helicóptero no instante em que este está a uma altura de 1000m em relação ao solo.
Sendo 20s o tempo que a pedra gasta para chegar ao solo, pode-se concluir que no instante do
abandono da pedra o helicóptero: (Desprezam-se as resistências passivas)
a) subia
b) descia
c) estava parado
d) encontrava-se em situação indeterminada face aos dados;
e) esta situação é impossível fisicamente.
56. Unicamp 2005) O famoso salto duplo twistcarpado de Daiane dos Santos foi analisado
durante um dia de treinamento no Centro Olímpico em Curitiba, através de sensores e
filmagens que permitiram reproduzir a trajetória do centro de gravidade de Daiane na direção
vertical (em metros), assim como o tempo de duração do salto.
De acordo com o gráfico, determine:
a) A altura máxima atingida pelo centro de gravidade de Daiane.
b) A velocidade média horizontal do salto, sabendo-se que a distância percorrida nessa
direção é de 1,3m.
c) A velocidade vertical de saída do solo.
57. (Ufpe 2005) A figura mostra um gráfico da velocidade em função do tempo para um
veículo que realiza um movimento composto de movimentos retilíneos uniformes.
Sabendo-se que em t = 0 a posição do veículo é x0 = + 50 km, calcule a posição do veículo no
instante t = 4,0 h, em km.
58. (Unesp 2005) O gráfico na figura descreve o movimento de um caminhão de coleta
de lixo em uma rua reta e plana, durante 15s de trabalho.
a) Calcule a distância total percorrida neste intervalo de tempo.
b) Calcule a velocidade média do veículo.
59. (Unesp 2005) Um veículo A passa por um posto policial a uma velocidade constante
acima do permitido no local. Pouco tempo depois, um policial em um veículo B parte em
perseguição do veículo A. Os movimentos dos veículos são descritos nos gráficos da figura.
Tomando o posto policial como referência para estabelecer as posições dos veículos e
utilizando as informações do gráfico, calcule:
a) a distância que separa o veículo B de A no instante t = 15,0 s.
b) o instante em que o veículo B alcança A.
60. (Fatec 2005) Um objeto se desloca em uma trajetória retilínea. O gráfico a seguir
descreve as posições do objeto em função do tempo.
Analise as seguintes afirmações a respeito dessemovimento:
I. Entre t = 0 e t = 4s o objeto executou um movimento retilíneo uniformemente
acelerado.
II. Entre t = 4s e t = 6s o objeto se deslocou 50m.
III. Entre t = 4s e t = 9s o objeto se deslocou com uma velocidade média de 2m/s.
Deve-se afirmar que apenas
a) I é correta.
b) II é correta.
c) III é correta.
d) I e II são corretas.
e) II e III são corretas.
61. Pucpr 2005) O gráfico mostra a variação da posição de uma partícula em função do
tempo.
Analisando o gráfico, é correto afirmar:
a) É nulo o deslocamento da partícula de 0 a 15 s.
b) A velocidade da partícula é negativa entre 0 e 10
segundos.
c) A aceleração da partícula vale 20 m/s2.
d) A velocidade da partícula é nula no instante 10 s.
e) A velocidade da partícula é constante e vale 20m/s.
62. (Pucsp 2005) O gráfico representa a velocidade em função do tempo de uma pequena
esfera em movimento retilíneo. Em t = 0, a esfera se encontra na origem da trajetória.
Represente corretamente os gráficos da aceleração em função do tempo e do espaço em
função do tempo.
63. (Ufmg 2005) Um carro está andando ao longo de uma estrada reta e plana. Sua posição
em função do tempo está representada neste gráfico:
Sejam vA, vB e vC os módulos das velocidades do carro, respectivamente, nos pontos A,
B e C, indicados nesse gráfico. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que
64. As partículas A e B deslocam-se ao longo do eixo 0x com velocidades escalares dadas pelo
gráfico a seguir, sendo que no instante t0 = 0 ambas estão na origem do sistema de
coordenadas. No instante t = 2,0s, A e B estão, respectivamente, nos pontos de abscissas x1
e x2, com acelerações escalares a1 e a2
Podemos afirmar que:
a) a1 = a2
b) a1 > a2
c) x1 = x2
d) x1 < x2
e) x1 > x2 e a2 > a1
Gabarito
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
—
*
*
*
*
*
*
*
*
*
1
*
D
D
E
B
A
B
D
C
A
2
C
A
C
C
C
A
C
B
B
E
3
B
*
*
B
A
*
D
C
E
B
4
C
E
E
D
A
B
A
E
A
A
5
A
D
C
D
A
A
*
*
*
*
6
C
E
*
C
E
Gabarito
*01- 5 m/s
*02-3 s
*03- 8h 15 min
*04-80 km/h
*05- 70 km/h; Sim
*06- 30 m/s
*07- 56 km/h
*08-a) 60 pessoas b) 70 m
*09-a) 100 km/h b) 0,5 h
*10- 72 km/h; Não
*31-200m
*32-a)20 Km /h b)108 s
*35-6s
*56- a) 1,52m b) 1,2m/s c) 5,5m/s
*57-25 km
*58-a) 60m b) 4m/
*59-a) 250m b) 40,0s
*62-