MOQ-13 – PROBABILIDADE E ESTATISTICA
LISTA DE EXERCÍCIOS 4 – DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS
1.
Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial
com vida média de 100 horas. Cada fusível tem um custo de R$10,00 e, se durar
menos de 200 horas, existe um custo adicional de R$8,00. Pergunta-se:
a. Qual a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas?
b. Foi proposta a compra de uma outra marca que tem uma vida média de
200 horas e um custo de R$15,00. Considerando também a incidência do
custo adicional, deve ser feita a troca de marca?
2.
Enuncie, demonstre e dê um exemplo da propriedade de perda de memória da
distribuição exponencial.
3.
A variável aleatória X tem distribuição uniforme com parâmetros a e b, isto é, f(x)
= 1/(b-a) se x ∈ [a,b]; 0 caso contrário. Sendo a=5 e b=10, calcule as
probabilidades:
a. P(X<7)
b. P(8<X<9)
c. P(X>8,5)
d. P(|X-7,5|>2)
4.
A duração de um certo tipo de pneu, em quilômetros rodados, é uma variável
aleatória com distribuição normal com duração média de 60.000 km e desviopadrão de 10.000 km.
a. Qual a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso durar mais de
75.000 km?
b. Qual a probabilidade de um pneu durar entre 63.500 km e 70.000 km?
c. Qual a probabilidade de um pneu durar entre 50.000 km e 70.000 km?
d. Qual a probabilidade de um pneu durar exatamente 65.555,3 km?
e. O fabricante deseja fixar a garantia de quilometragem, de tal forma que,
se a duração do pneu for inferior a garantia, o pneu será trocado. De
quanto deve ser essa garantia para que somente 1% dos pneus sejam
trocados?
5.
Uma máquina que enche automaticamente garrafas está regulada para que o
volume médio de refrigerante em cada garrafa seja de 2 litros e o desvio-padrão de
20 ml. Pode-se admitir que o volume de refrigerante nas garrafas tem distribuição
normal.
a. Se as embalagens são embaladas em pacotes com 6 unidades cada uma,
qual a probabilidade de que um pacote, escolhido aleatoriamente,
contenha pelo menos uma garrafa com volume de refrigerante inferior a
1.965 ml?
b. Sabendo-se que um supermercado vende em média, por semana, 2.500
dessas garrafas de refrigerante, com desvio-padrão de 80 garrafas e
distribuição normal, de quantas garrafas deve ser o seu estoque semanal
para que a probabilidade que falte este tipo de refrigerante, numa
determinada semana, seja apenas de 5%?
6.
Impostos pagos por uma comunidade distribuem-se conforme uma normal e de tal
forma que o coeficiente de variação vale 25%. Sabendo-se que para um
contribuinte que paga R$1.200,00 corresponde a um escore reduzido Z=-1,
determine o escore reduzido para um contribuinte que paga R$2.100,00.
7.
Pela experiência de anos anteriores verificou-se que o tempo médio gasto por um
candidato a supervisor de vendas, em determinado teste, é aproximadamente
normal com média de 60 minutos e desvio-padrão de 20 minutos.
a. Qual porcentagem de candidatos levará menos de 60 minutos para
concluir o teste?
b. Qual porcentagem não terminará o teste se o tempo máximo concedido
for de 90 minutos?
c. Se 50 candidatos fazem o teste, quantos podemos esperar que o terminem
nos primeiros 40 minutos?
8.
Uma companhia embala em uma caixa 5 pires e 5 xícaras. Os pesos dos pires
distribuem-se normalmente com média de 190 g com variância de 100 g2. Os
pesos das xícaras também se distribuem normalmente, mas com média de 170 g
com variância de 150 g2. O peso da embalagem é praticamente constante e igual a
100 g.
a. Qual a probabilidade da caixa pesar menos de 2.000 g ?
b. Qual a probabilidade de uma xícara pesar mais que um pires numa
escolha ao acaso?
9. Um combustível para foguete deve conter uma certa porcentagem X de um componente
especial. O fabricante obterá um lucro líquido T com a venda do combustível
(R$/galão) que é dado pela seguinte função:
 R$0,10 / galão
 R$0,05 / galão

T ( X ) =  R$0,05 / galão
 − R$0,10 / galão

 − R$0,10 / galão
se 30% < X < 35%
se 35% ≤ X < 40%
se 25% < X ≤ 30%
se X ≤ 25%
se X ≥ 40%
a. Calcular E[T] quando X~N(33,9).
b. Encontre as constantes a e b para que P(a<X<b)=0,60.
10.
A taxa de juros de uma economia é uma variável aleatória normalmente
distribuída com média de 8% e desvio-padrão de 2%. Suponha que o nível de
investimento foi determinado por regressão linear chegando-se em: I = 100.000 –
5.000*r, em que r é a taxa de juros em % e I é o nível de investimento em $.
a. Qual a probabilidade do nível de investimento exceder $50.000.
b. O crescimento do PIB (produto interno bruto) depende tanto da taxa de
juros, quanto do nível de investimento. Outro modelo de regressão linear
foi criado para quantificar a relação entre PIB, taxa de juros e nível de
investimento chegando-se em: ∆PIB = 9,3 – 1,1875*r + 0,00007*I, em
que ∆PIB é a variação no PIB (em %), r é a taxa de juros (em %) e I é o
nível de investimento em ($). A partir desses dados determine a
probabilidade do PIB crescer mais que 4%.