Ângulo e Paralelismo nos Livros Didáticos à luz dos Três Mundos da
Matemática
Cairo Gomes Fernandes1
GD2 – Educação Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental
Resumo do trabalho. O objetivo deste trabalho é analisar os recursos propostos para o estudo dos conteúdos
relacionados aos ângulos e ao paralelismo nos livros didáticos do ensino fundamental II, à luz da teoria dos
Três Mundos da Matemática de Tall (2013). Buscamos responder à seguinte questão de pesquisa: “Os recursos
e atividades encontrados nos livros didáticos para o estudo dos ângulos propõem um caminho pelos Três
Mundos da Matemática, ou seja, podem ser caracterizados como propostas de experiências no Mundo
Corporificado, explorando as noções associadas ao ângulo, no Mundo Simbólico explorando a medida de
ângulo e suas propriedades e no Mundo Formal explorando a definição de ângulo e seu encaminhamento para
o paralelismo?” Um ângulo pode remeter às noções de giro, abertura, ou região, o que nos leva também à noção
de conceito figural de Fischbein (1993). Epistemologicamente ou historicamente encontramos algumas destas
noções nos trabalhos de Barbin (1996) e Vianna e Cury (2001). Analisamos os livros didáticos recomendados
pelo PNLD, ou seja, realizamos uma pesquisa bibliográfica. Seguindo a metodologia de análise de conteúdo de
Bardin (1977) mapeamos os dados e estabelecemos categorias de análise. Analisamos uma coleção e
concluímos que a apresentação de recursos que tratam ideias, medidas e a definição de ângulos, nessa coleção,
pode propiciar ao estudante uma jornada pelos Três Mundos da Matemática, permitindo que ele realize
sucessivas abstrações, visando à formação do conceito, por meio do desenvolvimento de imagens mentais, da
manipulação de instrumentos de medição e de propriedades a ele relacionadas.
Palavras-chave: Ângulos. Paralelismo. Três Mundos da Matemática. Livros Didáticos. Conceito Figural.
A motivação para a escolha desse tema para a dissertação de Mestrado foi sendo delineada a
partir do meu interesse por uma pesquisa que tratasse do raciocínio lógico e seu
desenvolvimento. A escolha de um objeto matemático levou-me à Geometria, aos ângulos e
1
Mestrando do Programa de Pós Graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo UNIAN, e-mail: [email protected], orientador: Maria Elisa Esteves Lopes Galvão.
ao paralelismo, por apresentarem um encadeamento lógico e estruturado em sua apresentação
em livros didáticos.
Desde Piaget (1956), o desenvolvimento da aquisição do conceito de ângulo e as várias
facetas desse conceito têm sido estudados por vários pesquisadores. Mitchelmore e White
(1998) observaram que o ângulo pode ser tratado ou como um objeto matemático, cuja
definição é explicitada no contexto da Geometria Euclidiana Axiomática, mas também como
um objeto “escolar”, que pode ser abordado considerando diferentes aspectos, associados a
movimentos (giros ou rotações), afastamento ou abertura ou ainda a uma região. Se o
considerarmos uma figura geométrica, segundo Charalambos (1997), nela encontramos
algumas características de um conceito, como idealização, abstração, perfeição,
universalidade, que, juntadas às suas propriedades figurais ou àquelas associadas a diferentes
aspectos de abordagem, compõem o que usualmente chamamos o conceito de ângulo, ou
ainda um conceito figural, segundo Fischbein (1993). Encontramos no trabalho de Tall e
Vinner (1991) a imagem do conceito, que sintetiza os aspectos não formais sobre um
conceito, que nos leva à chamada imagem do conceito de ângulo.
No trabalho de Barbin (1996) encontramos um estudo dos ângulos sob um ponto de vista
histórico, epistemológico e didático, no qual são considerados três diferentes aspectos
relacionados a essa figura geométrica. O primeiro aspecto é o dedutivo, proposto por
Euclides, para quem o ângulo é “a inclinação recíproca de duas linhas, que se tocam em uma
superfície plana, sem estarem em direitura uma com outra”2. Entre os séculos 17 e 18, Barbin
(1996) destaca dois tratamentos para o ângulo. O primeiro, que ela denomina metodológico,
proposto por Arnauld, que considera que as propriedades aparecem para auxiliar na
compreensão de um problema, no qual o ângulo é considerado como “uma porção da
superfície determinada pela parte proporcional de uma circunferência cujo centro é o ponto
onde essas retas se encontram”3 (Barbin, p. 20, tradução nossa). No segundo, o da “ordem
das invenções” proposto por Clairaut, as proposições somente aparecem para justificar o que
foi descoberto, dando aos leitores um espírito de exploração e invenção, sendo retomado o
tratamento para os ângulos dado por Euclides.
A pesquisa de Vianna e Cury (2001) buscou identificar quais as por eles chamadas
Commandino, F. Euclides – Elementos de Geometria. Edições Cultura, São Paulo, 1944.
“a portion of surface ‘determined by the proportional part of a circumference whose center is the point where these
lines meet”
2
3
“definições” de ângulos, encontradas na literatura em diferentes épocas. Algumas dessas
“definições” consideram o ângulo como região, outras como abertura entre duas semirretas e
outras “definições” o associam aos giros do ponteiro de um relógio. Outras “definições”
remetem à inclinação de duas retas (Euclides), a rotação de uma semirreta em torno de uma
origem sobre outra semirreta (Sannia), a interferência de dois semiplanos (Enriques), um par
de semirretas com uma origem em comum (Hilbert) ou ângulos associados a setores
circulares (Veronese).
Segundo Vianna e Cury (2001):
“a palavra ‘definições’ entre aspas porque, na maioria dos livros, não é explicitado
que se trata de uma definição. Muitas vezes o autor nos diz: “vamos trabalhar agora
com o conceito de ângulo”, mas o que vem em seguida não é um “trabalho” e sim
uma frase, geralmente curta, seguida de observações quanto à notação.
Entenderemos tal procedimento como sendo a apresentação implícita de uma
definição.” (p. 23)
Consideraremos, para este trabalho, a definição formal de ângulo, a função medida de ângulo
e as provas das propriedades relacionadas ao paralelismo que são estudadas no ensino
fundamental, as encontradas no livro Geometria Elementar, de Moise (1971), em que é
apresentada uma axiomática métrica da Geometria Plana.
A partir destas considerações a respeito dos ângulos, buscaremos então responder as seguintes
questões de pesquisa:
a)
“Os recursos e atividades encontrados nos livros didáticos para o estudo dos ângulos
propõem um caminho pelos Três Mundos da Matemática, ou seja, podem ser caracterizados
como propostas de experiências no Mundo Corporificado, explorando as noções de ângulos,
no Mundo Simbólico, explorando as medidas de ângulos e suas propriedades e no Mundo
Formal, explorando a definição de ângulo e seu encaminhamento para o paralelismo?”.
b)
“O conjunto de atividades ou recursos aborda diferentes aspectos relacionados ou ao
conceito figural ou à imagem do conceito do ângulo?”
Os resultados são apresentados a seguir.
2. Revisão de Literatura
Para a revisão de literatura escolhemos alguns estudos sobre o ensino de Geometria que nos
deram diferentes perspectivas de pesquisa.
Miranda (2012) analisou em sua pesquisa de que forma o conhecimento intuitivo sobre
ângulos pode influenciar nas decisões de alguns alunos do 7º ano em um jogo virtual,
inferindo que os sujeitos de sua pesquisa, embora não soubessem explicitar a definição formal
de ângulo, entendiam melhor esse objeto geométrico quando o relacionavam a mais de uma
ideia, como por exemplo, giro e abertura.
A pesquisa de Mello (1999) trata o desenvolvimento de aspectos formais em livros didáticos,
por meio de demonstrações. Considera que o desenvolvimento de habilidades geométricas
pode ocorrer quando há uma passagem de um tratamento empírico para um tratamento
formal. A pesquisa de Caralovich (2005) trata o ensino da Geometria Dedutiva por meio de
propriedades geométricas. Segundo a autora “é recomendado que os alunos façam, além de
exercícios, validações empíricas e dedutivas, caracterizando um enfoque heurístico” (Lakatos
apud Caralovich, 2005, p. 9). A pesquisa de Albuquerque (2011), foi escolhida por conter
uma análise de livros didáticos que remete aos aspectos figurais de um objeto geométrico e
sua influência na construção de determinado conceito, nesse caso, a semelhança.
Estivemos expostos, no contato com esses trabalhos, a análises baseadas em diferentes
referenciais teóricos. Embora somente uma das pesquisas selecionadas trate especialmente
sobre ângulos, as outras possuem elementos que serão considerados em nosso trabalho, tais
como os aspectos empíricos, simbólicos e formais e a análise de livros didáticos.
3. Fundamentação Teórica
David Tall (2013) desenvolveu um quadro teórico no qual trata do desenvolvimento do
pensamento matemático a longo prazo, que consiste em considerar relevantes as experiências
matemáticas do indivíduo, sejam elas atividades empíricas, ou elaboradas simbólica ou
formalmente, para que haja fixação de uma estrutura de conhecimento, transformando
determinados conceitos em estruturas mais sofisticadas.
Segundo Tall (2013), as experiências empíricas se realizam por meio de manipulações dos
objetos e exploração de suas propriedades, criando assim, imagens mentais desses objetos
que vão se aperfeiçoando a medida que são estudadas. As simbólicas acontecem num
ambiente com manipulações algorítmicas, ou seja, há manipulações de símbolos por meio de
procedimentos simbólicos, como as operações na aritmética e na álgebra. As formais são
realizadas em níveis mais avançados de estudos matemáticos.
O desenvolvimento do raciocínio ocorre por meio de diferentes níveis de abstrações, focando
primeiramente nas propriedades e estruturas dos objetos e posteriormente nas ações sobre os
objetos.
Conforme Tall (2013), o pensamento matemático pode ser desenvolvido em três distintos
mundos. No mundo da corporificação conceitual, as imagens mentais podem ser verbalizadas
por meio da percepção e ação; no do simbolismo operacional, os procedimentos matemáticos
se desenvolvem por meio de manipulações simbólicas e, no mundo do formalismo
axiomático, o raciocínio se desenvolve em sistemas axiomáticos, por meio de definições
teóricas ou provas matemáticas. Cada mundo, como denomina o autor, tem suas próprias
qualidades que levam à sofisticação dos conceitos, sendo os três integrados em um quadro
teórico mais amplo. Assim, os três mundos da Matemática de Tall (2013) são: Mundo
Conceitual Corporificado, Mundo Proceitual Simbólico e Mundo Formal Axiomático.
Figura 1. (Angelini, 2010, p. 54)
Na Geometria, ocorre uma mudança de foco a partir do reconhecimento e descrição dos
objetos para uma definição teórica e dedução de provas. Tall (2013) chama esse processo de
categorização. O indivíduo começa o processo de raciocínio manipulando objetos,
reconhecendo suas estruturas e descrevendo-as por meio da linguagem. Quando esse processo
é feito de maneira contínua, o indivíduo vai aperfeiçoando as definições de determinado
objeto por meio de linguagens mais sofisticadas até uma definição mais formal. Isso ocorre
de acordo com as experiências particulares de cada um (Tall e Vinner, 1981). Esses conceitos
vão sendo estruturados e modificados por meio de manipulações mentais, ou seja, vão
constituindo a denominada imagem do conceito. 4 Os autores a definem como “a total
estrutura cognitiva que está associada com o conceito, que inclui todas as imagens mentais,
propriedades e processos associados”5 (p. 2, tradução nossa). Dessa forma, um indivíduo faz
diversas evocações à imagem do conceito quando necessita solucionar um problema.
A imagem do conceito inclui as figuras, o simbolismo e a experiência vivida pelo aprendiz.
Assim, a imagem do conceito se desenvolve por meio de uma jornada entre os três mundos:
nas experiências no mundo corporificado, nas operações no mundo simbólico, evoluindo para
o mundo formal, no qual, organizará o conhecimento por meio de axiomas, teoremas e
definições. De acordo com Tall e Vinner (1981) a definição do conceito é diferente, sendo
considerada “a forma das palavras usadas para especificar aquele conceito”6 (tradução nossa).
Logo, cada indivíduo desenvolve sua própria imagem do conceito, que pode estar de acordo
ou não com a definição do conceito (Tall and Vinner, 1981).
A imagem, segundo Fischbein (1993) “não significa ‘imagem’ no sentido sensorial, mas sim
mental, subjetiva a reconstrução de uma entidade matemática formalmente dada” (p. 150,
tradução nossa) 7 . Conforme Laborde (1999), a figura, “consiste na relação entre objeto
geométrico (ente teórico) e suas possíveis representações (desenho)” (apud Mello, p. 17).
Fischbein (1993) complementa que a figura é uma entidade geométrica perfeita sob a ótica
conceitual, não possui um representante genuíno de correspondência e é controlada por
propriedades conceituais, ou seja, possui uma representação visual associada a uma imagem.
A idealização da figura tende a ser completa se a considerarmos como uma imagem e como
um componente estruturado logicamente. A esse processo, ele denomina como conceito
figural, o qual possui qualidades conceituais e propriedades espaciais.
Segundo Fischbein (1993), o conceito figural é “uma realidade mental, que é a construção
tratada pelo raciocínio matemático no domínio da geometria, desprovido de quaisquer
propriedades concreto-sensoriais (como cor, peso, densidade, etc.) mas exibe propriedades
figurais” (p. 148, tradução nossa) 8 . É controlado e manipulado por regras lógicas e
4
Do inglês, concept image.
“the total cognitive structure that is associated with the concept, which includes all the mental pictures and
associated properties and processes”
6
“a form of words used to specify that concept”.
7
“does not mean "picture" in the sensorial sense, but rather a mental, subjective reconstruction of a formally given
mathematical entity”.
8
“a mental reality, it is the construct handled by mathematical reasoning in the domain of geometry, devoid
of any concrete-sensorial properties (like color, weight, density, etc.) but displays figural properties”
5
procedimentos em determinado sistema axiomático, sendo considerado também como o
significado de um objeto geométrico.
Procedimentos Metodológicos
Esta pesquisa é de caráter bibliográfico (Lakatos, 2010), pois faremos uma análise de livros
didáticos recomendados pelo PNLD de 2014, por meio de identificação, compilação e
apresentação de dados referentes aos ângulos e paralelismo. Preliminarmente, foram
selecionados, dentre as coleções, livros destinados ao ensino fundamental II, em sua maioria os
volumes de 6.º, 7.º e 8.º anos, por apresentarem os estudos de ângulos e paralelismo.
Posteriormente foram mapeados os dados contidos nos livros a fim de fornecer uma visão
geral dos conteúdos e suas abordagens, apresentadas em cada volume. A organização desses
dados nos propiciou a busca de uma metodologia que tratasse esses aspectos, permitindo a
escolha da metodologia de análise de conteúdo (Bardin, 1977). A análise de conteúdo,
conforme Bardin (1977) consiste em três pólos cronológicos: a análise preliminar do material,
a exploração desse material e por fim o tratamento e interpretação dos dados.
Para análise do material estabelecemos como categorias norteadoras: a) o conceito de ângulo
e as principais ideias ou noções apresentadas; b) o paralelismo e a proposta de
encaminhamento a partir das noções elementares para uma abordagem formal; c) as propostas
de aplicações associadas a algumas das propriedades dos ângulos; d) observações e elementos
encontrados nos livros que consideramos merecedores de destaque; e) as orientações
didáticas apresentadas no Manual do Professor, ao final de cada livro, quanto às diretrizes
para a sistematização do conhecimento das propriedades dos ângulos e do paralelismo e; f)
os comentários referentes à obra explicitados no extrato de avaliação do PNLD.
Verificaremos assim se os recursos apresentados nos livros didáticos podem permitir a construção
do conceito figural, por algum percurso pelos Três Mundos da Matemática.
Análise dos Livros Didáticos
Selecionamos uma coleção que, num primeiro mapeamento, difere das outras coleções
recomendadas pelo PNLD. A proposta desta coleção é baseada na resolução de problemas e
apresenta os conceitos matemáticos e geométricos inseridos em atividades em sala de aula ou
para casa. Apresentaremos essa análise conforme as categorias acima estabelecidas.
Categorias
A
B
C
6.º Ano
Ângulo como abertura, sendo quanto
maior a abertura, maior o ângulo,
medida dos ângulos por meio de um
Correspondência de ângulos - estudo de
retas paralelas ou não interceptadas por
uma transversal; ângulos opostos pelo
Aplicações: ângulos em
rampas, inclinação de ruas,
em telhados e rotas de
jogo de esquadros e ângulos agudos,
retos e obtusos.
vértice e soma das medidas dos ângulos
internos de um jogo de esquadros.
aviões.
7.º Ano
Medidas dos ângulos por meio do
transferidor, ângulos complementares
e suplementares.
Definição formal de bissetriz, teorema do
ângulo externo e soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo.
8.º Ano
Definição de ângulo, como abertura de
duas semirretas e definição de
semirretas.
Ângulos opostos pelo vértice, ângulos
adjacentes, teorema do ângulo externo e
ângulos opostos pelo vértice como
semirretas opostas.
Quadro 1.
Dentre as atividades propostas nessa coleção, destacamos algumas que apresentaremos a
seguir. No volume do 6.º ano, não há introdução do grau como grandeza de medida do ângulo,
o mesmo é feito por um jogo de esquadros. Nessa perspectiva, os autores tratam a soma das
medidas dos ângulos internos dos esquadros, que supõem conhecidas (Figura 2) e propõem
uma atividade para ser realizada em casa relacionando o ângulo com o giro de ponteiros de
um relógio, a fim de que o aluno identifique que o ângulo não está relacionado ao tamanho
das semirretas (Figura 3).
Figura 2. (Coleção 01, – 6.º Ano, p. 34)
Figura 3. (Coleção 01 – 6.º Ano, p. 36)
Encontramos nesse volume atividades que propõem experiências inseridas no Mundo
Conceitual Corporificado, devido aos seus aspectos empíricos, como medir os ângulos por
meio dos esquadros, verbalização de imagens e identificação da figura do ângulo e do
paralelismo. Esses recursos fornecem ideias do que é o ângulo, não sendo dada sua definição
formal.
No processo de categorização de conceitos por meio de abstrações, identificamos dois
elementos: o reconhecimento e a descrição do ângulo e do paralelismo, não estando presentes
os elementos de definição e dedução. Identificamos também que o conceito de ângulo e o
paralelismo como conceitos pensáveis, foram dados por categorização e encapsulação,
estando ausente a definição. Entendemos que esse volume possui atividades que possuem
aspectos do mundo Corporificado e que podem iniciar o processo de formação do conceito
figural, devido às diversas representações poder gerar diversas concepções para a imagem do
conceito.
No volume do 7.º ano destacamos duas atividades: uma que faz referência ao ângulo reto e
outra relacionada à bissetriz. No volume anterior, a medida do ângulo reto foi definida como
90º, mesmo sem introduzir o conceito de grau (Figura 4). Na atividade relacionada à bissetriz
é apresentada a definição formal para posteriormente solicitar a construção da bissetriz de um
ângulo, ou seja, os autores partem de uma definição formal para um
tratamento empírico (Figura 5).
Figura 4. (Coleção 01 – 7.º Ano, p. 61)
Figura 5. (Coleção 01, 7.º Ano, p. 62)
Nesse volume identificamos atividades que podemos considerar inseridas nos mudos
Conceitual Corporificado e Proceitual Simbólico, pois as ideias de ângulos são apresentadas
novamente, complementando-as segundo as propriedades dos ângulos e do paralelismo e são
contempladas atividades que envolvem a medida dos ângulos, por meio de seu instrumento
de medição, que consideramos no mundo Corporificado. Ao serem medidos os ângulos por
meio do transferidor, há o registro simbólico das medidas e algumas representações dos
ângulos e cálculos com suas medidas, passando ao mundo Simbólico. Verificamos também
que as figuras apresentadas começam a ter significado conceitual, pois em algumas atividades
foi solicitado apenas o reconhecimento de algumas propriedades relacionando-as com os
conceitos. Esse aspecto já conduz em direção ao conceito figural, embora não tenha sido
apresentada a definição de ângulo.
No volume do 8.º ano destacamos uma atividade que apresenta asserções referentes aos
ângulos, apresentando também a definição do ângulo, porém sem explicitar que é a definição
de ângulo adotada pelos autores. É importante notar que a definição de semirreta só foi
apresentada em atividades anteriores a essa atividade destacada.
Figura 5. (Coleção 01 – 8.º Ano, p. 16)
Verificamos que as atividades apresentadas nesse volume do 8.º Ano podem propor algumas
experiências no Mundo Conceitual Corporificado e no Mundo Proceitual Simbólico devido
à verbalização de imagens mentais do conceito de ângulo e paralelismo por meio do
simbolismo conforme foi apresentado uma atividade relacionada ao ângulo externo (Figuras
6 e 7).
Figura 7. (Coleção 01, 8.º Ano, p. 17)
Figura 6. (Coleção 01 – 8.º Ano, p. 17)
Essas atividades podem também oferecer subsídios para um tratamento mais formal do
ângulo, pois, desde o volume do 6.º Ano, o aluno foi submetido ao encaminhamento das
ideias de ângulos para um tratamento mais formal. Dessa maneira, estão presentes, em relação
aos elementos de categorização, o reconhecimento, a descrição e a definição.
Em geral, entendemos que essa obra pode propiciar uma experiência de percurso pelos Três
Mundos da Matemática. Para Tall (2013), um indivíduo faz uma jornada entre os três mundos
quando faz sucessivas abstrações em relação a determinado conceito, tendo intenção de
formar um conceito cristalino, ou seja, um conceito perfeito inserido no mundo das ideias.
Essas abstrações são feitas por um processo de categorização e entendemos que essa coleção
atendeu aos elementos propostos para esse processo: o reconhecimento, a descrição e a
definição.
Conclusão
No presente estudo tínhamos como objetivo verificar se os recursos encontrados nos livros
didáticos propunham uma jornada pelos Três Mundos da Matemática. Verificamos que houve
a condução do estudo do ângulo relacionando-o inicialmente às ideias de giro, abertura ou
região, em direção a um tratamento mais formal, como objeto matemático. A coleção
analisada apresentou a definição do ângulo, e encontramos o que pode ser entendido como
um possível caminho que permite chegar ao Mundo Formal Axiomático. Na maioria dos
recursos apresentados, temos a predominância dos outros dois mundos.
Entendemos que a proposta da coleção contempla elementos de reconhecimento e descrição, e
poderá contribuir para tornar o ângulo e o paralelismo conceitos pensáveis.
Inferimos, em relação às figuras que, além das características figurais, elas possuem
características conceituais, que podem gerar diferentes imagens do conceito de ângulo e
paralelismo, subsidiados pela definição formal de ângulo, integralizando-as no conceito
figural.
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