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Questão 16
Em um plano cartesiano, seja T o triângulo
que delimita a região definida pelas inequações y ≤ 2, x ≥ 0 e x − y ≤ 2.
a) Obtenha as equações de todas as retas que
são eqüidistantes dos três vértices do triângulo T.
b) Obtenha a equação da circunferência circunscrita ao triângulo T, destacando o centro
e o raio.
Resposta
A região delimitada por T é o conjunto dos pontos
abaixo da reta y = 2 , à direita da reta x = 0 e,
sendo x − y ≤ 2 ⇔ y ≥ x − 2 , acima da reta
y = x − 2:
Assim, as retas procuradas são r : x = 2, s : y = 0 e
2 −0
t:y −0 =
(x − 0) ⇔ y = x .
2 −0
b) Como o triângulo T é retângulo em A, sua
circunferência circunscrita tem centro no ponto
BC
médio da hipotenusa, M = (2; 0), e raio
=
2
(4 − 0) 2 + (2 − ( −2)) 2
=
= 2 2 , admitindo a
2
equação (x − 2) 2 + (y − 0) 2 = (2 2 ) 2 ⇔
⇔ (x − 2) 2 + y 2 = 8 ⇔ x 2 + y 2 − 4x − 4 = 0.
Questão 17
Colocam-se n3 cubinhos de arestas unitárias
juntos, formando um cubo de aresta n, onde
n > 2. Esse cubo tem as suas faces pintadas e
depois é desfeito, separando-se os cubinhos.
a) Obtenha os valores de n para os quais o
número de cubinhos sem nenhuma face pintada é igual ao número de cubinhos com exatamente uma face pintada.
b) Obtenha os valores de n para os quais o
número de cubinhos com pelo menos uma
face pintada é igual a 56.
Resposta
a) As retas eqüidistantes de A, B e C não podem
passar por qualquer um desses pontos. Assim,
cada uma dessas retas divide o plano em dois
semiplanos, um contendo dois dos vértices de T
e o outro contendo o terceiro vértice. Como cada
reta deve ser eqüidistante dos três vértices, cada
reta é paralela à reta que passa pelos dois vértices contidos no mesmo semiplano e, portanto,
passa pelos pontos médios de dois dos lados de
T: O = (0; 0), M = (2; 0) e N = (2; 2).
Os cubinhos unitários sem nenhuma face pintada
formam um cubo de aresta n − 2 . Em cada face
do cubo de aresta n há (n − 2) 2 cubinhos unitários
com exatamente uma face pintada.
Logo, dentre os n 3 cubinhos unitários, n > 2, há
(n − 2) 3 cubinhos sem nenhuma face pintada e
6 ⋅ (n − 2) 2 cubinhos com exatamente uma face
pintada.
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segunda-feira, 18 de dezembro de 2006 18:10:18
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matemática 2
a) (n − 2) 3 = 6 ⋅ (n − 2) 2 ⇔ n − 2 = 6 ⇔ n = 8
b) n 3 − (n − 2) 3 = 56 ⇔
⇔ (n − (n − 2))(n 2 + n ⋅ (n − 2) + (n − 2) 2 ) =
= 56 ⇔ 3n 2 − 6n + 4 = 28 ⇔
⇔ n 2 − 2n − 8 = 0 ⇔ n = 4
Questão 18
Em uma cidade existem 1000 bicicletas, cada
uma com um número de licença, de 1 a 1000.
Duas bicicletas nunca têm o mesmo número
de licença.
a) Entre as licenças de três algarismos, de
100 a 999, em quantas delas o valor absoluto
da diferença entre o primeiro algarismo e o
último é igual a 2?
b) Obtenha a probabilidade do número da licença de uma bicicleta, encontrada aleatoriamente entre as mil, não ter nenhum 8 entre
seus algarismos.
a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique
que ela é igual a dois terços da diagonal do
cubo.
b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e
o volume do tetraedro.
Resposta
a)
Resposta
a) Seja abc a representação decimal de um número inteiro positivo com três algarismos. Então
abc satisfaz as condições do problema se, e somente se:
i) {a, c} é igual a um dos seguintes pares {1, 3};
{2, 4}; {3, 5}; {4, 6}; {5, 7}; {6, 8}; {7, 9} ou
ii) a = 2 e c = 0.
No caso i há sete escolhas para o par {a, c} e, escolhido um dos pares, duas maneiras de determinar a casa das centenas e a das unidades. Há
ainda dez possibilidades para o dígito das dezenas. Logo, neste caso, existem 7 ⋅ 2 ⋅ 10 = 140 licenças.
Como no caso ii há dez licenças possíveis, o total
de licenças é 140 + 10 = 150.
b) Como em 0 e em 1 000 não aparece o algarismo 8, o número de licenças nas quais não aparece o 8 é 9 ⋅ 9 ⋅ 9 − 1 + 1 = 9 ⋅ 9 ⋅ 9. E a probabilidade
3
9 ⋅9 ⋅9
⎛ 9 ⎞
pedida é
= ⎜ ⎟ = 72,9%.
⎝ 10 ⎠
10 ⋅ 10 ⋅ 10
Questão 19
Quatro dos oito vértices de um cubo de aresta
unitária são vértices de um tetraedro regular. As arestas do tetraedro são diagonais das
faces do cubo, conforme mostra a figura.
Como a aresta é unitária, cada diagonal da face
mede 2 e a diagonal do cubo mede 3 .
No triângulo eqüilátero ACD, o ponto O é a projeção ortogonal de B sobre esse triângulo e O coincide com o baricentro. Assim:
2 ⎛
3 ⎞
6
⎟ =
⎜ 2 ⋅
AO =
3 ⎝
2 ⎠
3
No triângulo AOB, sendo BO a altura h do tetrae2
⎛ 6 ⎞
2 3
⎟ + h2 = ( 2 )2 ⇔ h =
,
dro, temos: ⎜
3
⎝ 3 ⎠
2
que é
da diagonal do cubo.
3
Vcubo
13
b)
=
=3
Vtetraedro
1 ( 2 )2 3
2 3
⋅
⋅
3
4
3
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segunda-feira, 18 de dezembro de 2006 18:10:20
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matemática 3
an = a1 + (n − 1)r < 180o
Questão 20
As medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados formam uma progressão aritmética em que o primeiro termo é
a1 e a razão é r > 0.
a) Se a1 ≥ 25o e se r ≥ 10o, obtenha o valor
máximo possível para n nas condições enunciadas.
b) Se o maior ângulo mede 160o e a razão é
igual a 5o, obtenha o único valor possível
para n.
⎛ 2a1 + (n − 1)r
⎜
⎝
2
Como os n ângulos do polígono convexo de
n lados, n ≥ 3, estão em progressão aritmética
de razão r > 0, seu maior ângulo interno é
an = a1 + (n − 1) ⋅ r e a soma dos ângulos inter⎛ a + an ⎞
⎛ a1 + a1 + (n − 1)r ⎞
nos é ⎜ 1
⎟n = ⎜
⎟n =
⎝
⎠
⎠
⎝
2
2
⎛ 2a + (n − 1)r ⎞
=⎜ 1
⎟ n.
⎝
⎠
2
Lembrando que a soma dos ângulos internos de
um polígono de n lados é (n − 2) ⋅ 180o e sendo o
polígono convexo, ele está bem definido se, e somente se:
( ∗)
a) Temos
( ∗) ⇔
⇔
a1 + (n − 1)r < 180o
a1 +
⇔
(n − 1)r
2⎞
⎛
= ⎜1 − ⎟180o
⎝
n⎠
2
a1 + (n − 1)r < 180o
(n − 1)r ⇒
2⎞
⎛
a1 = ⎜1 − ⎟180o −
⎝
n⎠
2
(n − 1)r
2⎞
⎛
⇒ ⎜1 − ⎟180o −
+ (n − 1)r < 180o ⇔
⎝
n⎠
2
⇔
Resposta
⎞
o
⎟ n = (n − 2) ⋅ 180
⎠
720o
> r.
n(n − 1)
Como r ≥ 10o ,
720o
> 10o ⇔
n(n − 1)
⇔ n(n − 1) < 72 ⇔ n < 9.
Assim, considerando que para n = 8 podemos tomar, por exemplo, a1 = 93 o e r = 12 o , o valor máximo possível para n é 8.
b) Sendo an = 160o e r = 5 o , a1 + (n − 1) ⋅ 5 o =
= 160o ⇔ a1 = 165 − 5n. Assim, de ( ∗),
160o < 180o
⇔
⎛ 2 ⋅ (165 − 5n) + (n − 1) ⋅ 5 ⎞
⎜
⎟ n = (n − 2) ⋅ 180
⎝
⎠
2
⇔ n 2 + 7n − 144 = 0 ⇔ n = 9.
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segunda-feira, 18 de dezembro de 2006 18:10:21