4. Escoamento de um Fluido Real
O escoamento de um fluido real é mais complexo que o de
um fluido ideal. A viscosidade dos fluidos reais é responsável pelas
forças de atrito entre as partículas fluidas, bem como entre estas e os
contornos sólidos. Para que o escoamento ocorra, um trabalho deve ser
realizado contra as forças de atrito e, durante este processo, parte da
energia mecânica se transforma em calor.
4.1 A experiência de Reynolds
Devido ao efeito da viscosidade, o escoamento de fluidos
reais pode ocorrer de dois modos distintos. As características destes dois
regimes foram inicialmente observadas por Reynolds (1883) em um
dispositivo semelhante ao esquematizado abaixo:
Tinta
Tubo de vidro
Tanque de água com
paredes de vidro
FLUXO
Registro
Abrindo o registro
(aumento da velocidade)
Filamento estreito e
paralelo ao eixo do tubo
( Regime laminar)
Filamento torna-se
ondulado ( Regime
crítico)
Ondulação aumenta
rompendo-se o
filamento que se
difunde na água
(Regime turbulento)
Reynolds generalizou os resultados do seu experimento
com a introdução do termo adimensional Re .
Re =
Onde:
V ⋅ LT
υ
R e = Número de Reynolds ( )
Q
Velocidade
Vazão (m3/s)
=
V = Média de Fluxo =
A
Área de fluxo (m2)
(m/s)
LT= Dimensão Linear Típica (m) equivalente a quatro vezes
o raio hidráulico do conduto (4Rh ),
para o caso dos condutos circulares :
LT = 4Rh = D , onde D = diâmetro interno (m)
Viscosidade
µ
(kg /m s)
υ = Viscosidade =
= Dinâmica
Massa
Cinemática
ρ
3
2
Específica (kg/m )
(m /s)
Obs:valores de ν da água, em diferentes temperaturas, são mostrados na tabela 4.1
Exemplo 4.1.1: Calcular o número de Reynolds no interior de uma
tubulação de 50mm de diâmetro interno que conduz água a uma temperatura
de 200C (ν = 1,003x 10-6 m2/s) com velocidade média de 0,9m/s.
50
m
V ⋅D
1000
Re =
=
= 44 865,4
ν
0.000 001 003 m2 /s
0,9m / s ⋅
O tipo de fluxo não se prende exclusivamente ao valor da
velocidade, mas ao valor do Número de Reynolds. Para encanamentos
comerciais se o escoamento se verificar com Re superior a 4000, o regime
é Turbulento. O escoamento em regime Laminar ocorre, e é estável, para
valores do número de Reynolds inferiores a 2000. Entre este valor e 4000,
encontra-se uma zona crítica, na qual não se pode determinar com
segurança as condições de escoamento.
Tabela 4.1- PROPRIEDADES FÍSICAS DA ÁGUA DOCE, À PRESSÃO ATMOSFÉRICA
(g = 9,80665 m/s2)
TEMPEPESO
RATURA ESPECÍFICO
MASSA
ESPECÍFICA
VISCOSIDADE VISCOSIDADE
DINÂMICA
CINEMÁTICA
γ
ρ
µ
ν
σ
PV
PV/γ
MÓDULO DE
ELASTICIDADE
CÚBICA
C
kN/m3
kg/m3
N.s /m2
m2/s
N/m
kN/m2
mca
kN/m2
0
5
10
15
20
25
30
40
50
60
70
80
90
100
9,805
9,807
9,804
9,798
9,789
9,777
9,764
9,730
9,689
9,642
9,589
9,530
9,466
9,399
999,8
1000,0
999,7
999,1
998,2
997,0
995,7
992,2
988,0
983,2
977,8
971,8
965,3
958,4
1,781x10-3
1,518x10-3
1,307x10-3
1,139x10-3
1,002x10-3
0,890x10-3
0,798x10-3
0,653x10-3
0,547x10-3
0,466x10-3
0,404x10-3
0,354x10-3
0,315x10-3
0,282x10-3
1,785x10-6
1,519x10-6
1,306x10-6
1,139x10-6
1,003x10-6
0,893x10-6
0,800x10-6
0,658x10-6
0,553x10-6
0,474 x10-6
0,413x10-6
0,364x10-6
0,326x10-6
0,294x10-6
0,0756
0,0749
0,0742
0,0735
0,0728
0,0720
0,0712
0,0696
0,0679
0,0662
0,0644
0,0626
0,0608
0,0589
0,61
0,87
1,23
1,70
2,34
3,17
4,24
7,38
12,33
19,92
31,16
47,34
70,10
101,33
0,06
0,09
0,12
0,17
0,25
0,33
0,44
0,76
1,26
2,03
3,20
4,96
7,18
10,3
3
2,02x10 6
2,06x10 6
2,10x10 6
2,15x10 6
2,18x10 6
2,22x10 6
2,25x10 6
2,28x10 6
2,29x10 6
2,28x10 6
2,25x10 6
2,20x10 6
2,14x10 6
2,07x10 6
O
TENSÃO
SUPERFICIAL
PRESSÃO
DE VAPOR
ε
NOS CÁLCULOS HABITUAIS DE HIDRÁULICA, NO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES,
QUANDO A TEMPERATURA NÃO É ESPECIFICADA, UTILIZA-SE :
ρ = 1000 kg/m3
γ = 9806 N/m3
ν = 1,003 x 10-6 m2/s
Exemplo 4.1.2: Utilize os valores da tabela 4.1 para calcular o valor do número
de Reynolds no interior de uma tubulação, de 100mm de diâmetro interno, que
conduz água a com velocidade média de 1,5m/s, quando a temperatura passa,
sucessivamente, de 10oC para 20oC e para 40oC.
Respostas: 1,1x105 ; 1,5x105 ; 2,3x105
Exemplo 4.1.3: Calcular a maior vazão (em m3/h) de água, a uma
temperatura de 200C, na qual ν = 1,003x 10-6 m2/s, no interior de uma tubulação
de 175mm de diâmetro interno, para que se obtenha fluxo laminar, isto é,
para que um número de Reynolds no interior da tubulação seja igual a 2000.
Resposta:0,993m3/h
4.2 Equações fundamentais do escoamento de fluidos
incompressíveis em tubos
Conforme visto anteriormente, a equação de Bernoulli para
o escoamento de fluidos reais incompressíveis é representada por:
Z1 +
V12
2⋅g
P1
V2
P
V2
+ 1 = Z 2 + 2 + 2 + hf 1 − 2
γ
γ
2⋅g
2⋅g
Plano de carga efetivo
hf1− 2
Linha de energia
V 22
2⋅ g
P1
γ
Linha piezométrica
P2
γ
Z1
Z2
Direção do Fluxo:
Maior energia
Menor Energia
Onde, hf1-2 representa a perda de carga ( E1 – E2 = dissipação da
energia mecânica da água) entre os pontos 1 e 2.
As primeiras experiências (por volta de 1850) sobre o
escoamento da água em tubos longos retos e cilíndricos, indicam que a
perda de carga varia (aproximadamente) diretamente com a carga
cinética (V2/2g ) e com o comprimento do tubo (L), e inversamente com
o diâmetro do tubo (D). Usando um coeficiente de proporcionalidade (f),
denominado de fator de atrito, Darcy, Weisback e outros propuseram
a seguinte equação para cálculo da perda de carga hf :
L V2
hf = f ⋅ ⋅
D 2g
Observações experimentais indicavam que o fator de
atrito depende não só do (i) material do tubo mas, também do (ii)
diâmetro do tubo, da (iii) velocidade do fluxo e (iv) da viscosidade
cinemática do fluido.
4.3 Experiências de atrito em tubos.
A análise dimensional do problema do atrito em tubos
indica que o fator da atrito (f) depende de dois fatores
adimensionais (i) do Número de Reynolds (que engloba o diâmetro
do tubo, D, a velocidade, V, e a viscosidade cinemática, ν, do fluido)
e (ii) da denominada rugosidade relativa do tubo (k/D), que
representa a razão entre os tamanhos das protuberâncias das
rugosidades nas paredes dos tubos e o seu diâmetro interno.
Fator de atrito f = Função (R e =
V ⋅D K
; )
ν D
4.3.1 As experiências de Nikuradse
Coeficiente de atrito - f
Para avaliar o efeito da rugosidade relativa (k/D) das
paredes dos tubos sobre o fator de atrito (f), Nikuradse, em 1933, decidiu
colar grãos de areia de tamanho uniforme na parede de tubos lisos de
vidro. Desta forma, Nikuradse pode determinar o fator de atrito, sob
condições controladas e bem determinadas de k/D. Os resultados obtidos
nesta experiência são ilustrados abaixo:
0,10
0,08
k
1
=
D
30
k
1
=
D
61 , 2
k
1
=
D
120
k
1
=
D
252
0,06
0,05
0,04
0,03
k
1
=
D
504
k
1
=
D
1014
0,02
0,01
103
104
105
Número de Reynolds - Re
106
No diagrama dos resultados experimentais de Nikuradse, os
seguintes fatos devem ser observados:
Coeficiente de atrito f
Regime Laminar
Tu
Tu
rbu
lê n
cia
de
rb
tra
ulê
nsi
nc
çã
ia
co
mp
let
a
o
Linha dos Tubos Lisos
103
2000
4000
104
105
Número de Reynolds
106
ƒ
A diferença física entre o regime de escoamento laminar e
o regime de escoamento turbulento é evidenciada pelo contraste na
variação de f com Re nas regiões com Re <2000 e Re>4000 .
ƒ No regime Laminar (Re < 2000), independentemente da rugosidade
relativa (k/D), os valores de f se agrupam em torno de uma única linha,
que é caracterizada pela seguinte equação: f = 64 Re
ƒ
Na região de regime Turbulento (Re>4000) uma curva de f
versus Re pode ser feita para cada valor de rugosidade relativa (k/D). No
regime turblulento duas regiões podem se identificadas: (i) a região de
turblência de transição, onde o fator f varia com Re e k/D, e (ii) a
região de Turbulência completa onde o aspecto horizontal das curvas
indica que o fator de atrito é independente de Re.
ƒ
Na parte esquerda da zona de transição rugosa , os valores de
f, independentemente do valor da rugosidade relativa, se agrupam em
torno de uma linha, a chamada linha dos tubos lisos, que é
caracterizada pela seguinte equação (fórmula de Von Kárman-Prandtl ):
 2,512
1
= −2 ⋅ log
f
 Re ⋅ f

 ou


(
)
1
= 2 ⋅ log R e ⋅ f - 0.8
f
Coeficiente de atrito f
Regime Lâminar
Tu
Tu
rbu
lê n
cia
de
rb
tra
ulê
nsi
nc
çã
ia
co
mp
let
a
o
Linha dos Tubos Lisos
103
2000
4000
104
105
Número de Reynolds
106
ƒ
A série de curvas de diferentes rugosidades relativas diverge da
cuva dos tubos lisos à medida em que Re aumenta . Isto se explica pela
espessura de uma subcamada viscosa, que se forma junto às paredes
dos tubos, que decresce a medida em que Re aumenta. Na porção
referente a linha dos tubos lisos, a rugosidades paredes fica submersa na
subcamada viscosa, de tal forma que a rugosidade não tem efeito
significativo sobre o módulo do fator de atrito. A medida que o Número
de Reynolds aumenta, causando um decréscimo na espessura da camada
viscosa, ocorre uma exposição maior das rugosidades das paredes fazendo
que o tubo se comporte como um tubo rugoso.
ƒNa zona de turbulência completa, na qual as curvas correspondentes as
diferentes rugosidades relativas são praticamente horizontais, o fator f é
calculado pela chamada fórmula de Nikuradse:
1
 K /D 
= −2 ⋅ log
 ou
f
 3,715 
1
k
= 1,14 − 2 ⋅ log 
f
D
ƒ
Infelizmente, os resultados excelentes de Nikuradse não podem ser
diretamente aplicados aos problemas de Engenharia por as configurações
das rugosidades dos tubos comerciais são inteiramente diferentes, mais
variáveis e muito menos identificáveis do que as rugosidades artificiais
usadas por Nikuradse.
4.3.2 As experiências de Colebrook e White
ƒ
Colebrook e White (1939) apresentaram os resultados de testes
efetuados para verificar se os valores de f obtidos por Nikuradse, com
grãos de areia, podiam ser aplicados aos tubos comerciais.
ƒ As diferentes curvas de f versus Re apresentadas por Nikuradse
foram agrupadas ao redor de uma única curva, quando plotadas em um
gráfico de 2 log(k/r)-1/f 1/2 versus Re f1/2/(r/k), sendo r o raio interno
do tubo:
0
-1
-2
-3
10
100
10000
1000
ƒOs testes de Colebrook e White com tubos comerciais indicaram que a
seguinte equação semi-empírica pode ser utilizada no regime turbulento:

1
K
2,512
= −2 ⋅ log
+
f
 D ⋅ 3,715 R e ⋅ f




`1

1
K
2,512
= −2 ⋅ log
+
⋅
D
3
,
715
f
R
e ⋅ f

0




Turbulência completa


k
1
= −2 ⋅ log

f
 D ⋅ 3,715 
-1
-2
Linha dos tubos Lisos
-3
1
 2,512
1
= −2 ⋅ log
f
 Re ⋅ f




Valores observados
por Nikuradse
(areia)
10
100
Tubos comerciais
Rugosidade artificial: areia uniforme (Nikuradse)
Rugosidade artificial: areia não uniforme (Nikuradse)
1000
4.4 Cálculo do Fator de Atrito (f) com o Uso do
Diagrama de Moody.
ƒ Moody (1944), baseado nos estudos de Colebrook e White (1939),
mostrou que, apesar dos tubos comerciais não apresentarem uma
rugosidade uniforme e facilmente identificável como aquela dos tubos de
vidro com grãos de areia, os resultados de Nikuradse podem ser utilizados
como indicadores quantitativos da rugosidade equivalente dos tubos
comerciais (k).
ƒPara contornar a dificuldade de se trabalhar com a formula de Colebrook
e White, Moody apresentou os valores de f em um diagrama de f versus
Re, para diferentes valores de rugosidade relativa dos tubos (k/D).

1
k
2,512
= −2 ⋅ log
+
f
 D ⋅ 3,715 R e ⋅ f
0.1
Diagrama de Moody

k
2 ,512
1
= − 2 ⋅ log 
+
Re ⋅ f
f
 D ⋅ 3 ,715




Tubo Rugoso


1
k
= − 2 ⋅ log 

f
 D ⋅ 3 , 715 
k/D
0.05
0.04
0.03
0.07
Zona Crítica
Fator de atrito (f)
Turbulento
0.05
0.04
0.03
0.02
Laminar
f = 64 / R e
0.01
Turbulência Completa
Transição
0.02
0.015
0.01
0.008
0.006
0.004
k ⋅
R e ⋅ f ⋅ ≡ 200
D
0.002
0.001
0.0008
Tubo Liso
 2 ,512
1
= − 2 ⋅ log 
f
Re ⋅ f
1E+03
1E+04
0.0004
0.0002
0.0001
0.00005




1E+05
1E+06
Número de Reynolds
1E+07
1E+08
Rugosidade relativa (k/D)
Crítico
Laminar




Tubo liso
Tabela 4.2: Valores de rugosidade equivalente (k) dos diversos materiais
utilizados na fabricação de tubos comerciais (Azevedo Neto):
Material
Tubos novos
Tubos velhos **
Aço Galvanizado
1,5x10-4 até 2,0x10-4
4,6 x10-3
Aço Rebitado
1,0x10-3 até 3,0x10-3
6,0 x10-3
Aço revestido
4,0x10-4
5,0x10-4 até 1,2x10-3
Aço soldado
4,0 x10-5 até 6,0x10-5
2,4 x10-3
Chumbo
Menor que 1,0 x10-5
Menor que 1,0 x10-5
Cimento Amianto
2,5x10-5
Cobre ou Latão
Menor que 1,0 x10-5
Concreto bem acabado
3,0x10-4 até 1,0x10-3
Concreto ordinário
1,0x10--3 até 2,0x10-3
Menor que 1,0 x10-5
Ferro Forjado
4,0 x 10-4 até 6,0 x 10-4
2,4 x 10-3
Ferro Fundido
2,5 x10-4 até 5,0x 10-4
3,0x10-3 até 5x10-3
Fero Fundido com
revestimento asfáltico
1,2x10-4
2,1 x10--3
Madeiras em aduelas
2,0x10-4 até 1,0x10-3
Manilhas cerâmicas
6,0x10-4
3,0 x10-3
Vidro
Menor que 1,0 x10-5
Menor que 1,0 x10-5
Plástico
Menor que 1,0 x10-5
Menor que 1,0 x10-5
Deve ficar claro que os valores de rugosidade equivalente (k) dos
diversos materiais utilizados para fabricação de tubos comerciais
apresentados em textos de Hidráulica (tabela acima) representam o
diâmetro dos grãos de areia que, quando colados uniformemente em um
tubo de vidro, com o mesmo diâmetro interno do tubo comercial
considerado, resultaria no mesmo fator de atrito f observado no tubo
comercial (f = (hf 2g D) /(L V2)).
Exemplo4.4.1: Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de aço
rebitado, com rugosidade absoluta (k) de 3,0x10-3 m, diâmetro interno
(D) de 0,30m e 300m de comprimento (L), que conduz 130L/s de
água com viscosidade cinemática (ν) de 1,127x 10-6 m2/s.
V=
Q 4 ⋅ Q 4 ⋅ 0,130m3 / s
=
=
= 1,839m / s
π ⋅ (0,30m)2
A π ⋅D
Re =
V ⋅ D 1,839m / s ⋅ 0,30m
=
= 4,896 × 105
−6
2
ν
1,127 × 10 m / s
k 0,003m
=
= 0,01
D 0,30m
f no Diagrama de MOODY com Re = 4,9 × 105 e k/D = 0,01
Crítico
Laminar
Turbulento
Diagrama de Moody
0.05
0.04
0.03
0.02
0.015
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0.02
0.001
0.0008
0.0004
0.0002
0.0001
0.00005
0.01
1E+03
1E+04
1E+05
1E+06
1E+07
1E+08
4.89 x 105
Número de Reynolds
hf = f ⋅
L V2
300m (1,839m / s) 2
⋅
= 0,038 ⋅
⋅
= 6,55m
D 2⋅g
0, 30m 2 ⋅ 9,81m / s2
Tubo
liso
Rugosidade relativa (k/D)
k/D
0.05
0.04
0.03
0.07
Zona
Crítica
0.038
Fator de atrito (f)
0.1
Exemplo 4.4.2: Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de PVC,
com rugosidade absoluta (k) de 2,4x10-6 m, diâmetro interno (D) de
0,10m e 100m de comprimento (L), que conduz água com viscosidade
cinemática (ν) de 0,43 x 10-6 m2/s e velocidade (V) de 2,26m/s
V = 2,26 m / s
Re =
V ⋅ D 2,26m / s ⋅ 0,10m
=
= 5,256 × 105
−6
2
ν
0,43 × 10 m / s
−
k 2,4x10 6 m
=
= 0,000024
D
0,10m
f no Diagrama de MOODY com Re = 5,3 × 105 e k/D = 0,000024
Crítico
Laminar
Turbulento
Diagrama de Moody
0.05
0.04
0.03
0.02
0.015
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0.02
0.001
0.0008
0.0004
0.0002
0.0001
0.00005
0,013
0.01
1E+03
1E+04
1E+05
1E+06
5,3 x 10
5
Número de Reynolds
hf = f ⋅
1E+07
1E+08
Tubo liso
L V2
100m (2,26m / s)2
⋅
= 0,013 ⋅
⋅
= 3,38m
D 2⋅g
0,10m 2 ⋅ 9,81m / s2
Tubo
liso
Rugosidade relativa (k/D)
k/D
0.05
0.04
0.03
0.07
Zona
Crítica
Fator de atrito (f)
0.1
Exemplo 4.4.3: Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de ferro
fundido, com rugosidade absoluta (k) de 3,0x10-4 m, diâmetro interno
(D) de 0,025m e 200m de comprimento (L), que conduz 1L/s de água
com viscosidade cinemática (ν) de 1,0x 10-6 m2/s.
V=
Q 4 ⋅ Q 4 ⋅ 0,001m3 / s
=
=
= 2,037m / s
2
A π ⋅ D π ⋅ (0,025m)
Re =
V ⋅ D 2,037m / s ⋅ 0,025m
=
= 5,093 × 10 4
−6
2
ν
1,0 × 10 m / s
k 0,0003m
=
= 0,012
D 0,025m
f no Diagrama de MOODY com Re = 5,1× 10 4 e k/D = 0,012
Crítico
Laminar
Turbulento
Diagrama de Moody
0.05
0,041
0.04
0.03
0.02
0.015
0.012
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0.02
0.001
0.0008
0.0004
0.0002
0.0001
0.00005
0.01
1E+03
1E+04
1E+05
5, x 10
1E+06
1E+07
1E+08
4
Número de Reynolds
hf = f ⋅
Rugosidade relativa (k/D)
k/D
0.05
0.04
0.03
0.07
Zona
Crítica
Fator de atrito (f)
0.1
L V2
200m (2,037m / s)2
⋅
= 0,041⋅
⋅
= 69,37m
D 2⋅g
0,025m 2 ⋅ 9,81m / s2
Tubo
liso
Mais alguns exemplos :
(4.4.4) Calcule o fator de atrito (f), para as seguintes situações: (a)Re=3 x105 e
k/D= 0,00001; (b) Re=3 x105 e k/D= 0,0001; (c) Re=3 x105 e k/D= 0,001; (d)
Re=3 x105 e k/D= 0.01
Rerspostas:f = 0,015; f =0,015; f =0,021; f =0,038
(4.4.5) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo de uma tubulação de 1,5
km de comprimento (L), com 1,0m de diâmetro interno (D), de concreto, com
rugosidade k= 3x10-4m, que conduz uma vazão (Q) de 790 L/s de um líquido
com uma viscosidade cinemática (ν) de 1,01 x10-6 m2/s.
Respostas: Re = 1x106; k/D= 0,0003; f = 0,016; hf = 1,2m.
(4.4.6) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo da tubulação descrita no
exemplo anterior (ex.4.4.5), considerando uma redução de apenas 25% no
diâmetro interno (D = 0,75m).
Respostas: Re = 1,3x106; k/D= 0.0004; f = 0,016; hf = 5,2m
(4.4.7) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo da tubulação descrita no
exemplo anterior (ex.4.4.5), considerando o dobro da vazão dada (Q =.1580L/s)
Respostas: Re = 2x106; k/D= 0.0003; f = 0,015; hf = 4,6m
(4.4.8) Calcule a taxa de perda de carga (J = em m/100m) ao longo de uma
tubulação com 100mm de diâmetro interno (D), em material com rugosidade
k= 0,15mm, que conduz uma vazão (Q) de 57 m3/h de um líquido que
apresenta uma viscosidade cinemática (ν) de 1,0 x10-6 m2/s.
Respostas: Re = 2,0x105; k/D= 0.0015; f = 0,023; J =4,8 m/100m.
(4.4.9) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo de uma tubulação com 500
mm de diâmetro interno (D) , em material com rugosidade k= 2 x10-4m, com 1
km de comprimento (L), que conduz uma vazão (Q) de 190L/s de água na
temperatura de 30oC.
Respostas=Re=6,0x105; k/D=0.0004; f= 0.017; hf=0,8m
(4.4.10) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo de uma tubulação com 7
mm de diâmetro interno (D) , em material com rugosidade k= 1 x10-6m, com 5
m de comprimento (L), que conduz água com viscosidade cinemática (ν) de
1 x10-6 m2/s a uma velocidade de (V) de 0,18m/s.
Respostas= Re = 1,26 x 103; f=0.051, hf = 0.06m
4.5 Fórmulas explicitas para o cálculo do
fator de atrito (f).
Com a introdução das calculadoras programáveis e dos computadores
pessoais, algumas formulas explícitas para o cálculo do fator f
poassaram a ser uteis:
Fórmula de Churchill (1974), que pode ser utilizada em qualquer
regime de fluxo (Laminar e Turbulento):
 8 12

1
 +

f = 8 ⋅ 
3
2
R
 e 
(A + B) 
1
12








1

A = 2,457 ⋅ Ln

0 ,9




7
0
,
27
k
⋅



+
R 

D  
 e 

16
16
 37530 

B = 
R
e


Fórmula de Swamee (1993) que pode ser utilizada em qualquer
regime de fluxo (Laminar e Turbulento) no limite 0< Re <108




 64  8

9,5




f= 
+
6 16 
 R e 
  K

5,74   2500   
 Ln

−

+
  3,7 ⋅ D R 0e,9   R e   


 

Nota: Ln é o logaritmo Neperiano
0 ,125
4.6 Outros métodos para cálculo da perda de
carga em tubos: As Fórmulas Práticas.
Apesar da fórmula de Darcy-Weisbach ser o
método recomendado para cálculo de perda de carga em
tubulações, é muito comum encontrar na literatura especializada
referências às chamadas FÓRMULAS PRÁTICAS.
Dentre as centenas, ou milhares, de fórmulas práticas
encontradas na literatura, estudaremos apenas três delas: (i) a fórmula
de Hazen-Williams, (ii) a fórmula de Flamant, e (iii) a Fórmula de
Blasius.
4.6.1 A fórmula de Hazen-Williams (1913)
É uma Fórmula que pode ser satisfatóriamente aplicada em
qualquer tipo de conduto e material. Resultou de um estudo estatístico
cuidadoso no qual foram considerados dados dos experimentais de
diversas fontes e observações feitas pelos próprios autores. Os seus
limites de aplicação são os mais largos : diâmetros de 50 a 300mm e
velocidades de até 3m/s. De acordo com Azevedo Neto, no Sistema
Internacional de Unidades a fórmula de Hazen-Williams tem a seguinte
apresentação:
s1,85
hf = 10,643 0,68
m
Q
⋅ 
C
1,85
⋅
L
D 4 ,87
Onde: hf = perda de carga, em metros de coluna de água, entre dois pontos da
tubulação
Q = Vazão em m3/s;
C = Coeficiente admensional que depende da natureza (material e
estado) das paredes dos tubos (ver Tabela 4.3);
L = é comprimento, em metros, entre os dois pontos da tubulação em
que se deseja calcular a perda de carga hf;
D = diâmetro interno da tubulação (m);
10,643 s1.85/m 0,68 = constante empirica.
Tabela 4.3- Valores do Coeficiente C sugeridos para a fórmula de Hazen -Williams
NOVOS
USADOS
Cerca de
10 Anos
USADOS
Cerca de
20 Anos
Aço corrugado (chapa ondulada)
60
-
-
Aço galvanizado roscado
125
100
-
Aço rebitado novos
110
90
80
Aço soldado, comum ( revestido c/
betume)
Aço soldado com revestimento epoxi
125
110
90
140
130
115
Chumbo
130
120
120
Cimento amianto
140
130
120
Cobre
130
135
130
Concreto, bom acabamento
130
-
-
Concreto acabamento comum
130
120
110
Ferro fundido , revestido com epoxi
140
130
120
Ferro fundido revestido com cimento
130
120
105
Grés ceramico,vidrado (manilhas)
110
110
110
Latão
130
130
130
Madeira em aduelas
120
120
110
Tijolos, conduto bem executado
100
95
90
Vidro
140
-
-
Plástico ou PVC
140
135
135
MATERIAL do TUBO
4.6.2 A fórmula de Flamant (1892)
É uma Fórmula que pode ser satisfatóriamente aplicada em
tubos de pequeno diâmetro. De acordo com Azevedo Neto, no Sistema
Internacional de Unidades, a Fórmula de Flamant tem a seguinte
apresentação:
7
D⋅J
V
= b⋅4
4
D
7
V
ou hf = 4 ⋅ b ⋅ L ⋅ 4 5
D
Onde: J= hf/L = taxa de perda de carga entre dois pontos da tubulação (em
metros/metros);
b = coeficiente que depende da natureza ( material e estado) das
paredes dos tubos ( ver tabela abaixo);
V = velocidade média da água em m/s;
L = é comprimento, em metros, entre os dois pontos da tubulação em
que se deseja medir a perda de carga;
D = diâmetro interno da tubulação (m), sendo recomendado observar
o limite entre 0,01m e 1,0m.
Os seguintes valores do coeficiente b são utlizados na fórmula de Flamant:
b = 0,000 23 s1,75/m0,5 para tubos de ferro ou aço;
b = 0,000 185 s1,75/m0,5 para tubos novos;
b = 0,000 185 s1,75/m0,5 para canos de cobre;
b = 0,000 140 s1,75/m0,5 para canos de chumbo;
b= 0,000 135 s1,75/m0,5 para canos de PVC (catálogo da tigre)
Note que, quando a raiz quarta é eliminada da fórmula de
Flamant, a seguinte expressão é obtida :
V 1,75
hf = 4 ⋅ b ⋅ L ⋅ 1,25
D
4.6.3 A fórmula de Blasius (1913)
Em tubos de polietileno de pequeno diâmetro, onde se espera a
ocorrência de um regime de fluxo do tipo turbulento liso, pode-se utilizar
a fórmula de Blasius, para o fator f da fórmula universal, e um valor fixo
da viscosidade cinemática da água (ν = 1,0 x10-6 m2/s), para desenvolver
uma fórmula simplificada que tem a seguinte representação:
V 1,75
hf = k v ⋅ 1,25 ⋅ L
D
Q 1,75
ou hf = K Q ⋅ 4 ,75
D
Onde:
hf = perda de carga, em metros, entre dois pontos da tubulação
kv= 0,000 5101 s1,75/ m0,5 ou 5,101 x 1 0-4 s1,75/ m0,5;
kQ= 0,000 7785 s1,75/ m0,5 ou 7,785 x 1 0-4 s1,75/ m0,5;
Q = vazão da água em m3/s;
V= Velocidade média da água em m/s;
L = é comprimento, em metros, entre os dois pontos da tubulação em
que se deseja medir a perda de carga;
D = diâmetro interno da tubulação (m)
O valor da constante kv= 5,101x10-4 s1,75 / m0,5 pode ser deduzido através da
combinação das 3 fórmulas dadas abaixo (i, ii e iii) e assumindo, para a
viscosidade cinemática e para a aceleração da gravidade, os seguintes valores:
ν = 1,0 x10-6 m2/s e g = 9,80665m2/s.
L V2
hf = f ⋅ ⋅
(i)
D 2⋅g
hf =
0,3164
 V ⋅D 


 ν 
0 ,25
Re =
V ⋅D
(ii)
ν
f=
0,3164 ⋅ ν 0,25 V 1,75
⋅ 1,25 ⋅ L
hf =
2⋅g
D
L V2
⋅ ⋅
D 2⋅g
(
0,3164 ⋅ ν 0,25 0,3164 ⋅ 1x10 −6 ⋅ m2 / s
=
Kv =
2⋅g
2 ⋅ 9,80665m / s2
(
Kv = 5,101x10
−4
0,3164
(iii)
R 0,25
e
)
)
0.25
1,75
m2 x 0,25 s2
−4 s
⋅ 0.25 ⋅
= 5,101x10
s
m
m0 ,5
4.6.3 A fórmula de Blasius (cont.)
De forma semelhante, o valor da constante KQ= 7,785x10-4 s1,75 / m0,5 pode ser
facilmente determinada através da combinação das 3 fórmulas dadas abaixo (i, ii e
iii) e assumindo, para a cviscosidade cinemática e para a aceleração da gravidade,
os seguintes valores: ν = 1,0x10-6 m2/s e g= 9,80665m2/s:
L V2
hf = f ⋅ ⋅
(i)
D 2⋅g
hf =
0,3164
 V ⋅D 


 ν 
0 ,25
Re =
 4⋅Q 


π ⋅ D2 

⋅
D1,25
0,3164 ⋅ ν 0,25  4 
⋅ 
Kv =
2⋅g
π
−4
1,75
f=
0,3164
(iii)
R 0,25
e
0,3164 ⋅ ν 0,25 V 1,75
⋅ 1,25 ⋅ L
hf =
2⋅g
D
L V2
⋅ ⋅
D 2⋅g
0,3164 ⋅ ν 0,25
hf =
2⋅g
K Q = 7,785 x10
V ⋅D
(ii)
ν
1,75
⋅L
0,3164 ⋅ ν 0,25
hf =
2⋅g
(
0,3164 ⋅ 1x10 −6 ⋅ m2 / s
=
2 ⋅ 9,80665m / s2
(
)
)
4
⋅ 
π
0.25
1,75
4
⋅ 
π
Q 1,75
⋅ 4 ,75 ⋅ L
D
1,75
1,75
m2 x 0,25 s2
−4 s
⋅ 0,25 ⋅
= 7,785 x10
s
m
m0 , 5
Note que a Fórmula de Blasius tem validade apenas para tubos lisos na faixa
de número de Reynolds maior que 4000 e menor que 80 000 (4000 <Re < 80 000)
f=
0,3164
Re 0.25
Exemplo 4.6.1. Calcule a perda de carga em um tubo de 24 mm de diâmetro de PVC (com k=
0,06mm), com 15m de comprimento, no qual escoa um vazão de 0,76 L/s de água com,
temperatura de 20oC ( v= 1,0 x10-6 m2/s). Compare o valor da perda de carga obtida com o
diagrama de Moody com valores de perda de carga obtidos com as fórmulas de Churchill (1974),
Swamee (1993), de Hazen-Williams com C=140, de Flamant ( com b=0,000 135 s1,75/m0,5 ), e de
Blasius.
Respostas: Moody (Re = 4,0 x104; k/D= 0.0025, f = 0,0281, hf = 2,53m); Churchill (f = 0,0285; hf = 2,56m);
Swamee( f = 0,0284, hf= 2,56m); Hazen-Williams ( hf = 2,24m); Flamant ( hf = 2,13m); Blasius (hf (com kv) =
2,0m, hf (com kQ) = 2,0m).
Exemplo 4.6.2. Calcule a perda de carga na tubulação do exercício anterior (tubo de 24 mm de
diâmetro de PVC, com k= 0,06mm e 15m de comprimento), considerando uma vazão de
0,37L/s de água com, temperatura de 20oC ( v= 1,0 x10-6 m2/s). Compare o valor obtido com o
abaco de Moody com valores obtidos com as fórmulas de (i) Hazen-Williams (com C=140), (ii)
Flamant (com b=0,000 135 s1,75/m0,5 ) e (iii) Blasius.
Respostas:Moody ( Re = 2 x104; k/D= 0.0025; f = 0,0307; hf =0,66m); Hazen-Williams ( hf= 0,59m); Flamant
(hf= 0,60m); Blasius (hf = 0,57m).
Para resolver os exercícios 4.6.3 até 4.6.6 considere os valores de diâmetro interno mostrados
pela tabela 4.4 que se refere a tubos PVC rígido para linhas fixas enterradas de sistemas de
irrigação localizada (PN40) e sistemas de aspersão semi-portateis (PN-80) .
Tabela 4.4 - Tubos de PVC IRRIGA_LF PN40- PN-80 com Ponta Lisa (PL)
PN40
PN80
Diâmetro
Nominal
(DN)
Diâmetro
Externo
(DE)
Espessura
da parede
(e)
Diâmetro
Interno
(D)
Diâmetro
Nominal
(DN)
Diâmetro
Externo
(DE)
Espessura
da parede
(e)
Diâmetro
Interno
(D)
Mm
35
50
75
100
125
150
Mm
38,1
50,6
75,4
101,6
125
150
mm
1,2
1,2
1,5
2,0
2,5
3,0
mm
35,7
48,2
72,4
97,6
120
144
mm
mm
mm
mm
50
75
100
50,6
75,4
101,6
1,9
2,5
3,6
46,8
70,4
94,4
Exemplo 4.6.3. Com base na fórmula de Hazen-Williams, com C =140, e nas dimensões dos
tubos IRRIGA LF PN40 dados na tabela 4.4, i) calcule o menor diâmetro comercial de uma
adutora, de um único diâmetro, que é capaz de conduzir uma vazão de 25m3/h ao longo de uma
distância de 200m, com uma perda de carga menor do que 6m. ii) calcule também o
comprimento e o diâmetro de cada trecho de uma adutora, com dois diâmetros comerciais
distintos e sucessivos, que é capaz de conduzir a vazão de 25m3/h, ao longo de uma distância de
200m, com uma perda de carga mais próxima de 8m.
Resposta : i) o diâmetro teórico é 77,3mm e o diâmetro interno comercial imediatamente
superior é 97,6mm, que corresponde ao tubo PN40-DN100mm ; ii) Comprimentos teóricos:
128,2m de tubo PN40-DN100 e 71,8m de tubo PN40-DN75mm.