Anais do XIV Encontro de Iniciação Científica da PUC-Campinas - 29 e 30 de setembro de 2009
ISSN 1982-0178
MODELAGEM MATEMÁTICA NA DISCIPLINA DE CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Paola Colombo Franzini
Engenharia de Computação
CEATEC
[email protected]
Resumo: Muitas pesquisas têm mostrado que os
alunos do curso das engenharias normalmente apresentam muitas dificuldades na disciplina de Cálculo
Diferencial e Integral I. As causas dessas dificuldades podem ser provenientes do ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos que trazem consigo
de séries anteriores, e também por vivenciarem muitas vezes um ensino descontextualizado da realidade. Nesse sentido, abordamos algumas aplicações
do curso de Engenharia Elétrica relacionadas à disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, de forma
que o aluno possa visualizar a vinculação dos conteúdos da disciplina com o curso escolhido e, além
disso, auxiliar o professor em suas atividades pedagógicas.
Palavras-chave: Ensino e aprendizagem, Cálculo I,
Engenharia Elétrica.
Área do Conhecimento: Ciências Exatas e da Terra
– Matemática.
1. INTRODUÇÃO
Alunos de todos os níveis de escolaridade em geral
apresentam dificuldades de aprendizagem nos
conteúdos matemáticos. Encontramos na literatura
estudos que buscam entender as razões dessas
dificuldades e, ao mesmo tempo, encontrar alternativas
no sentido de contribuir para a aprendizagem dos
conteúdos estudados nas disciplinas de Matemática [1,
2, 3]. Embora cursos da área de exatas demandem
uma grande necessidade de disciplinas de
Matemática, é comum encontrarmos alunos desses
cursos com dificuldades na manipulação com os
conteúdos matemáticos.
Experiências comprovam que é quase uma regra
encontrarmos um elevado número de reprovações
pelos alunos da área de engenharias que cursam a
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. É
emergente a necessidade da adoção de novos
comportamentos no que diz respeito à prática docente
dessa disciplina, com intuito de promover um
aprendizado mais significativo. Uma possibilidade é
fazer uso de problemas relacionados com a área de
engenharias. Isso ocorre naturalmente quando
Denise Helena Lombardo Ferreira
Modelagem Matemática
CEATEC
[email protected]
fazemos uso da estratégia de ensino e aprendizagem
Modelagem Matemática, pois a utilização dessa
estratégia possibilita o tratamento de situações reais,
resgatando a investigação, a construção dos
conteúdos matemáticos, a reflexão e a argumentação
crítica.
Para Bassanezi [4] “A Modelagem Matemática consiste
na arte de transformar problemas da realidade em
problemas matemáticos e resolvê-los, interpretando
suas soluções na linguagem do mundo real”. Nesse
ambiente, as ações são voltadas à experimentação,
visualização, interpretação, previsão. Além disso, a
Modelagem Matemática pode auxiliar os alunos a
identificarem aplicações em outras áreas do
conhecimento e em diferentes contextos.
Zbiek e Conner [5] destacam alguns objetivos a serem
alcançados ao se trabalhar com a Modelagem
Matemática em sala de aula, como, por exemplo,
preparar os alunos para trabalhar profissionalmente
com a Modelagem, motivar os alunos mostrando para
eles as aplicabilidades das idéias matemáticas no
mundo real e fornecer oportunidades para que os
estudantes a integrem com outras áreas do currículo.
Muitas das habilidades requeridas para o engenheiro,
tais como: raciocinar, analisar e argumentar com
clareza, demonstrar idéias, lidar com informação e
tecnologia
podem
ser
favorecidas
pelo
desenvolvimento de atividades com a Modelagem
Matemática, pois requer interação, colaboração,
cooperação, participação ativa, envolvimento em
atividades de estudo, socialização de idéias,
capacidade de argumentação e síntese, capacidade de
expressar idéias próprias e disposição para rever
resultados obtidos.
Nos últimos anos, alguns livros de Cálculo Diferencial e
Integral como os de [6, 7, 8] abordam aplicações da
matemática em situações do cotidiano. Sobretudo para
o aluno de Engenharia, a aprendizagem de conceitos
matemáticos pode ser auxiliada ao trabalhar com a
aplicação desses conceitos em problemas reais
através do uso da tecnologia, dando mais sentido para
essa aprendizagem. Stewart [7], ao enfatizar a
compreensão dos conceitos no ensino de Cálculo,
Anais do XIV Encontro de Iniciação Científica da PUC-Campinas - 29 e 30 de setembro de 2009
ISSN 1982-0178
lembra que a visualização e as experiências numéricas
e gráficas, entre outras ferramentas, alteram
fundamentalmente a forma como ensinamos os
raciocínios conceituais.
Quando o professor e seus alunos envolvem-se
conjuntamente nos procedimentos relacionados
diretamente com a modelagem (seleção dos temas,
coleta dos dados e escolha dos modelos
matemáticos), e na abordagem dos conteúdos
matemáticos, essa forma pedagógica de atuar com a
modelagem se aproxima do que Barbosa [2]
considera como sendo de terceiro nível, quando, a
partir de um tema gerador, os alunos coletam
informações qualitativas e quantitativas relacionadas
com o assunto de interesse, formulam e solucionam
problemas. Entretanto, essa forma de atuar com a
Modelagem Matemática exige do estudante muitas
horas extraclasse, o que torna inviável para alunos
que frequentam a sala de aula em períodos
noturnos.
Barbosa [2] considera igualmente outras duas
possibilidades: nível 1 - aborda a “problematização”
de algum episódio “real”, quando a uma dada
situação (que pode até ter sido extraída de um livro
texto), associam-se problemas; nível 2 – aborda o
cenário no qual o professor apresenta um problema
aplicado e os dados necessários para a solução
desse problema são coletados pelos próprios alunos
durante o processo de investigação.
Dando prioridade ao nível 1 na classificação de
Barbosa, interagimos com professores para levantar
dados, informações e problemas relacionados
especificamente com a área de Engenharia Elétrica
com a finalidade de construir modelos matemáticos
que utilizam conceitos do Cálculo Integral e
Diferencial I. Essa forma de trabalhar favoreceu um
ambiente de colaboração docente, que embora
desejável, não é usual, pois é comum os professores
trabalharem sozinhos no desenvolvimento de suas
disciplinas, como afirma Kenski [6] professores
isolados desenvolvem disciplinas isoladas, sem
maiores articulações com temas e assuntos que têm
tudo a ver um com o outro, mas que fazem parte dos
conteúdos de uma outra disciplina, ministrada por
um outro professor. Na mesma direção, Goddard;
Goddard e Tschannen-Moran [8] assinalam que são
raros os exemplos de colaboração docente entre
professores, quer estejam eles ministrando a mesma
disciplina em turmas diferentes, quer sejam eles
professores responsáveis por disciplinas diferentes
ministradas para um mesmo grupo de alunos. Nessa
pesquisa, além da colaboração que ocorreu entre os
professores, também houve uma forte interação
entre os alunos de Iniciação Científica.
Além dos fatores apontados acima, é interessante
destacar a inclusão da tecnologia presente nesta
pesquisa, tanto na aquisição dos dados por meio de
sensores, ou mesmo pelo uso da planilha Excel na
manipulação com os dados. Nessa linha, Lévy [7]
ressalta as possibilidades de novas estratégias e
critérios que são necessários “para a construção do
conhecimento, um conhecimento por simulação, típico da cultura da informática”. Para o autor, o conhecimento é produzido pela simulação e experimentação. Dessa forma, a utilização desses recursos, particularmente na educação, ocupa uma posição central, e por isso é importante refletir sobre as mudanças educacionais provocadas por essas tecnologias,
propondo novas práticas docentes e buscando proporcionar experiências de aprendizagem significativas para os alunos. É desejável um ensino que demande desafios constantes aos alunos, onde o professor atue apenas como mediador.
Temos como objetivo ilustrar algumas aplicações de
Cálculo Diferencial e Integral I relacionadas ao curso
de Engenharia Elétrica tornando a aprendizagem dos
conteúdos da disciplina mais significativa.
2. APLICAÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL I
Nessa seção, vamos apresentar um resumo de três
aplicações da disciplina Cálculo Diferencial e Integral
I no curso de Engenharia Elétrica. São elas: sinais
digitais, movimento harmônico simples, dados de
temperatura e intensidade de sinal obtidos por um
sensor e consumo de energia elétrica do Brasil no
ano de 2008.
2.1. Sinais digitais
Sinais digitais são um dos tipos de sinais elétricos,
em que suas características principais são: apresentam alguns níveis, os quais variam em um ritmo (cadência) constante e sua função apresenta valores
fixos, constantes em intervalos de tempo. Percebemos assim, que é comum a aplicação de função por
partes.
Exemplo: Construa o gráfico do sinal digital representado por (1).
2, 0 ≤ t < 2
f(t) =
1, 2 ≤ t < 3
0, 3 ≤ t ≤ 4
(1)
com f(t+4) = f(t) , ∀ t ∈ Dom f
Esta é uma função contínua por partes, onde f(t) são
os sinais emitidos em cada t de seu intervalo de
transmissão. Ela repete-se em intervalos de 4 s, por
isso f(t+4).
Anais do XIV Encontro de Iniciação Científica da PUC-Campinas - 29 e 30 de setembro de 2009
ISSN 1982-0178
2,
5
2
[
1,
5
]
x
4 u.m.
Figura 2. Partícula deslocando-se em um movimento
de “vai-vem”
1
0,
5
0
0
0,
5
1
1,
5
2
2,
5
3
3,
5
4
Figura 1. Gráfico da função representada por (1)
a) Sabendo-se que o sinal se repete a cada 4 seg. ,
determine f(t) para t = 5 seg, t = 6,5 seg, t =7,5 seg,
t = 15 seg.
Para t = 5s, f(1+4) = f(1)=2
Para t = 6,5s, f(2,5+4) = f(2,5) =1
Para t =7, 5s, f(3,5+4) = f(3,5) = 0 (não há sinal)
Para t = 15s, f(11+4) = f(11)
f(7+4) = f(7)
f(3+4) = f(3) =0 (não há sinal)
b) Descreva o comportamento do sinal em torno de
t0 = 3. Idem para t no intervalo ]3,4[.
Para um t0 = 3, a emissão de sinal é alterada. Para
um t no intervalo ]3,4[,a função é nula, logo não se
verifica a existência de sinal.
c) Em que instantes de transmissão a emissão de
sinal é alterada? Há intervalo em que não há transmissão de sinal?
Os instantes em que há alteração da emissão de
sinais são: t =2, t =3 nos primeiros 4s. Já no intervalo
]3,4[, a transmissão é nula.
2.2. Movimento Harmônico Simples
O conhecimento das características de um movimento oscilatório (ou vibratório) é essencial na compreensão de fenômenos relacionados à propagação do
som e luz, pois esta se dá através de ondas que se
deslocam por um meio, fazendo com que os pontos
deste meio oscilem, descrevendo um movimento de
"vai-vem" à medida que as ondas passam por ele.
Exemplo:
Considere uma partícula que se desloca, sem atrito,
sobre um eixo horizontal, segundo um movimento de
"vai-vem" constante, com deslocamento máximo de
4 unidades de medida (u.m.),veja a Figura 2.
4,
5
Suponha que a função que descreve a sua posição
ao longo do intervalo de deslocamento (com origem
no ponto médio) seja
x(t)=2cos (3t)
(2)
para t > 0, tempo em segundos.
a) Construa uma tabela da posição ocupada pela
partícula nos instantes t = 0, t = π/6, t= π/3, t = π/2 ,
t = 2π/3 , t = 5π/3, sendo t em segundos.
t
0
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/3
x(t)
2
0
-2
0
2
0
Para achar a posição da partícula, substitua os valores dos instantes de tempo em (2).
b) Em que instante(s) a partícula passa pela posição
x = -2, x = 0 e x = 2?
Queremos saber o instante em que a bolinha passa
em cada uma das posições, logo temos que substituir em (2).
x(t) = 2 cos (3t)
2 cos (3t) = 2
cos (3t) = 2/2
cos (3t) = 1
Sabemos que o ângulo que resulta em cosseno de 1
é 0 ou 2π, logo devemos fazer a seguinte passagem
para achar o instante que a bolinha passa em x = 2:
3t = 0, t = 0
ou
3t = 2π, t = 2π/3
Então, descobrimos os instantes que a bolinha passa
em x = 2; eles são: t = 0 ou t = 2π/3.
Os cálculos seguintes serão seguindo o mesmo raciocínio do exercício já resolvido.
Para x = 0;
2 cos (3t) = 0
cos (3t) = 0
Anais do XIV Encontro de Iniciação Científica da PUC-Campinas - 29 e 30 de setembro de 2009
ISSN 1982-0178
Sabemos que o ângulo que resulta em cosseno de 0
é π/2 ou 3π/2, logo devemos fazer a seguinte passagem para achar o instante que a bolinha passa em
x = 0:
3t = π/2, t = π/6
ou
3t = 3π/2, t = π/2
Então, descobrimos os instantes que a bolinha passa
em x = 0; eles são: t = π/6 ou t = π/2.
Para x = -2;
2 cos (3t) = -2
cos (3t) = -2/2
cos (3t) = -1
Sabemos que o ângulo que resulta em cosseno de 1 é π, logo devemos fazer a seguinte passagem para
achar o instante que a bolinha passa em x = -2:
3t = π, t = π/3
Então, descobrimos o instante que a bolinha passa
em x = -2; ele é t = π/3.
c) Qual o menor intervalo de tempo para que o movimento volte a se repetir? Qual a distância percorrida pela partícula até que o movimento se repita?
O menor intervalo de tempo para que o movimento
comece a se repetir novamente é 2π/3 (período do
movimento).A distância percorrida até que o movimento se repita é de 8 u.m. (sendo 4 u.m.na ida e 4
na volta).
2.3. Dados de temperatura e de intensidade de
sinal
Por intermédio do sensor DS1820, os alunos do curso de Engenharia Elétrica obtiveram dados de temperatura e intensidade de sinal medidos na praça de
alimentação da universidade no dia 08 de outubro de
2008 no período de 17h26 (evento 0) a 18h14 (evento 49), com intervalo de um minuto, Figura 3, Figura
4, respectivamente.
0
0
10
20
30
40
50
60
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
Figura 4. Gráfico relacionando a potência (intensidade de sinal) ao longo do tempo
Com os dados em mãos, foi possível usar vários
conteúdos matemáticos listados abaixo.
a) Ajuste dos dados tanto os de temperatura como
os da intensidade de sinal por uma curva. Para isso,
usamos a ferramenta Análise de Tendência do Excel.
b) Calcular a taxa de variação média para diversos
pontos do conjunto de dados, observando onde há
acréscimo ou decréscimo para os dados de temperatura e de intensidade de sinal.
c) Encontrar valores máximos e mínimos locais.
d) Calcular o valor médio da temperatura e da intensidade de sinal usando o Teorema do Valor Médio
para Integrais.
Definição. Valor Médio (Média)
Se f for integrável em [a, b], então seu valor médio
(média) em [a, b] é definida por (3)
b
1
M( f ) =
f ( x )dx
b − a ∫a
(3)
Teorema. O teorema do Valor Médio para Integrais
Definidas
22.2
Seja f(x) contínua no intervalo em [a, b], então em
algum ponto c em [a, b] [11].
22
21.8
b
f (c) =
21.6
21.4
1
f ( x )dx
b − a ∫a
(4)
21.2
21
20.8
0
10
20
30
40
50
60
Figura 3. Gráfico relacionando a temperatura ao
longo do tempo
Como não temos a fórmula analítica da função f(x),
usamos a Regra do Trapézio Generalizada (5) para
encontrar o valor da integral [10].
Anais do XIV Encontro de Iniciação Científica da PUC-Campinas - 29 e 30 de setembro de 2009
ISSN 1982-0178
b
∫ f ( x)dx ≅
a
Δx
( f (x 0 ) + 2 f (x1 ) + 2 f (x 2 ) + ... + 2 f (x n −1 ) + f (x n ))
2
25.500.000
(5)
F
onde Δx = (b – a)/n, n é o número de subintervalos.
25.000.000
O valor médio da temperatura é 21,2834 C, a temperatura média obtida pelo teorema do Valor Médio,
usando a equação (3) com os cálculos obtidos no
Excel foi de 21, 1702 oC.
O valor médio da intensidade de sinal é -59,5605
dBm1, a intensidade de sinal média obtida pelo teorema do Valor Médio, usando a equação (3) com os
cálculos obtidos no Excel foi de -59,5605 dBm.
Consumo de energia (MWh)
o
24.500.000
G
24.000.000
B
D
C
A
23.500.000
E
23.000.000
0
2.4. Consumo de energia
Pontos de máximo e de mínimo dos dados referentes ao consumo de energia elétrica do Brasil.
Exemplo: Pontos de máximo e mínimo da Figura 5.
A Tabela 1 e o gráfico da Figura 5 mostram o consumo de energia elétrica mensal no Brasil, segundo
alguns dos relatórios do SAD (Secretaria de Administração) disponíveis na Internet2. Isso só foi possível,
pois a Annel (Agência Nacional de Energia Elétrica)
percebeu as necessidades dos diversos públicos do
setor elétrico pelo acesso a essas informações que
antes só eram disponíveis ao público interno.
Tabela 1. Relaciona mês e energia consumida no ano
de 2008
Mês de
2008
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
Consumo elétrico
(MWh)3
23.609.608
23.925.750
23.662.392
23.684.453
23.909.649
23.269.809
23.529.427
24.323.937
24.520.386
25.107.141
25.234.071
24.114.214
1
dBm = 10 log Potência(em watts)/watts.10-3 .
2
http://rad.aneel.gov.br/ReportServerSAD?%2f
SAD_REPORTS%2fConsumidoresConsumoReceitaTarifaMedia
-ClasseConsumo&rs:Command=Render.
3
MWh = quantidade de energia utilizada para alimentar uma
carga com potência de 1.000.000 watt pelo período de uma hora.
2
4
6
8
10
12
Figura 5. Gráfico relacionando consumo e tempo com
retas tangentes nos pontos máximos e mínimos
Na Figura 5, observamos que a curva y = f (x) está
subindo nos pontos de A para B, de C para D e de E
para F.Logo, a função é crescente nos intervalos a A
< x < B, C < x < D e E < x < F. Analogamente, a curva está descendo de B para C, de D para E e de F
para G, neste caso então, ela é decrescente nos intervalos B < x < C, D < x < E e F < x < G.
Podemos deduzir, então, que uma função é crescente quando os valores de y = f (x) aumentame que ela
é decrescente, quando y = f (x) diminui.
Então, B, D e F são pontos máximos e suas ordenadas são valores máximos da função correspondente.
Do mesmo modo, C e E são pontos mínimos e suas
ordenadas são valores mínimos da função.
A partir desse estudo, podemos obter algumas conclusões: em meados de abril a junho, há uma queda
de consumo de energia, por serem dias frios (outono
e inverno), nota-se nesse período que o consumo de
alguns aparelhos domésticos de alta potência, por
exemplo, diminuem. Já de junho para frente, observamos um aumento no consumo, isso se deve as
épocas de primavera e verão começando.
3. COMENTÁRIOS FINAIS
Relacionar o conteúdo matemático com situações do
cotidiano do aluno não é uma tarefa fácil, já que, além da rigidez que em geral caracteriza os currículos, tal relacionamento exige, dos alunos, tempo disponível para atividades externas (pesquisas, trabalhos em grupo, visitas a empresas ou entidades, etc.)
que extrapolam o cotidiano da sala de aula. Essa
situação se agrava em cursos noturnos, onde a maioria dos alunos trabalha durante o dia e não dispõe
de tempo para atividades extraclasse.
Acreditamos, entretanto, que, mesmo com essas
dificuldades, esse relacionamento entre a matemática curricular e a realidade do aluno, além de atender
a alguns dos anseios da comunidade estudantil, con-
14
Anais do XIV Encontro de Iniciação Científica da PUC-Campinas - 29 e 30 de setembro de 2009
ISSN 1982-0178
tribui para tornar a aprendizagem mais significativa
e, conseqüentemente, proporciona melhores resultados acadêmicos.
4. REFERÊNCIAS
[1] CURY, H. N. (2006), Análise de erros em
disciplinas matemáticas de cursos superiores, III
Seminário Internacional de Pesquisa em
Educação Matemática, Águas de Lindóia, Anais..
Águas de Lindóia: SBEM, CD-ROM.
[2] FERREIRA, D. H. L.; BRUMATTI, R. N. M. (2009),
Um olhar voltado para alunos com dificuldades
em Matemática num curso de Engenharia
Elétrica. Anais do VI Congresso Iberoamericano
de Educación Matemática, Puerto Montt, Chile, p.
949-955.
[3] POCHULU, M. D. (2008), Análisis y categorización de errores en el aprendizaje de la matemática en alumnos que ingresan a la universidad. Revista Iberoamericana de Educación, v. 35, n. 4,
2004.
Disponível
em:
http://www.campusoei.org/revista/deloslectores/84
9Pochulu.pdf. Acesso em: 14 de abr. 2008.
[4] BASSANEZI, R. C. (2002), Ensino-Aprendizagem
com Modelagem Matemática: uma nova
estratégia. São Paulo: Contexto, 389 p.
[5] ZBIEK, R. M., CONNER, A. (2006), .Beyond
Motivation: exploring mathematical modeling as a
context for deepening students’ understandings of
curricular mathematics. Educational Studies in
Mathematics. v. 63, n. 1, p. 89-112
[6] ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. (2007), Cálculo:
um novo horizonte, 8 ed., Porto Alegre: Bookman,.
581 p.
[7] STEWART, J. (2008), Cálculo. 6 ed. São Paulo:
Cengage Learning
[8] THOMAS, G. B.; FINNEY, R. L.; WEIR. M. D.;
GIORDANO, F. R. (2005), Cálculo. 10 ed. São
Paulo: Addison Wesley.
[9] BARBOSA, J. C. (2001),.Modelagem Matemática e
os professores: a questão da formação. Bolema,
Ano 14, n. 15, p. 5-23.
[10] KENSKI, V. M. (2007), Educação e Tecnologias:
o novo ritmo da informação. 2 ed. Campinas:
Papirus.
[11] GODDARD, Y. L.; GODDARD, R. D.;
TSCHANNEN-MORAN,
M.
A.
(2007),
Theoretical and Empirical Investigation of
Teacher Collaboration for School Improvement
and Student Achievement in Public Elementary
Schools. Teachers College Record. v.109, n. 4,
p. 977-896.
[12] LÉVY, P. (1999), Cibercultura. São Paulo: 34.