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PARA QUEM CURSA A 1.a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2014
Colégio
Disciplina:
Prova:
MaTeMÁTiCa
desafio
nota:
QUESTÃO 16
Se m e n são inteiros não negativos, com m < n, definimos m 욽 n como a soma dos números
compreendidos entre m e n, incluindo m e n.
22욽26
Por exemplo, 5 욽 8 = 5 + 6 + 7 + 8 = 26. O valor numérico de –––––––– é:
4욽6
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
RESOLUÇÃO
22욽26
22 + 23 + 24 + 25 + 26
120
––––––– = –––––––––––––––––––––– = ––––– = 8
4욽6
4+5+6
15
Resposta: C
QUESTÃO 17
Se {a,b} é o conjunto-solução da equação x2 – 6x + 8 = 0, então a– 1 + b– 1 é igual a:
a) 0,75
b) 0,82
c) 0,94
d) 1,02
e) 1,20
RESOLUÇÃO
x2 – 6x + 8 = 0  x =
(– 6)2 – 4 . 1 . 8
6 ± –––––––––––––––––––––
2
6 ± 4
 x = ––––––– 
2
6±2
 x = –––––  x = 4 ou x = 2
2
A soma de a– 1 + b– 1 é:
1
1
1+2
3
––– + ––– = –––––– = ––– = 0,75
4
2
4
4
OBJETIVO
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
OUTRA SOLUÇÃO
A soma e o produto das raízes dessa equação são
– (– 6)
8
a + b = ––––––– = 6 e a . b = ––– = 8.
1
1
Assim:
1
1
a+b
6
3
a– 1 + b– 1 = ––– + ––– = ––––– = ––– = ––– = 0,75
a
b
ab
8
4
Resposta: A
QUESTÃO 18
Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base
quadrada. O lado da base mede 8 m e a altura da pirâmide, 3 m. As telhas para cobrir
esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m2. Supondo que possa haver 10 lotes
de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser
comprado é:
a) 90
b) 100
c) 110
d) 120
e) 130
RESOLUÇÃO
V
D
3
C
4
4
O
A
8
B
4
M
No triângulo VOM, temos:
(VM)2 = (VO)2 + (OM)2
(VM)2 = 32 + 42
VM = 5m
A área S da superfície lateral dessa pirâmide é:
S = 4 . (1/2 . BC . VM)
1
Portanto: S = 4 . ––– . 8 . 5 = 80 m2
2
Sabendo que as telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem
MAT-0002481-bpb
que possa haver 10 lotes desperdiçados, o número mínimo de lotes de
1 m2 e supondo
telhas a ser comprado é 80 + 10, ou seja, 90.
Resposta: A
OBJETIVO
2
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 19
Em um tanque, há 4 000 bolinhas de pingue-pongue. Um menino começou a retirar as
bolinhas, uma por uma, com velocidade constante, quando eram 10h. Após 6 horas,
havia no tanque 3 520 bolinhas. Se o menino continuasse no mesmo ritmo, a que horas
o tanque ficaria com exatamente 2 000 bolinhas?
a) Às 11h do dia seguinte.
b) Às 23h do mesmo dia.
c) Às 4h do dia seguinte.
d) Às 7h do dia seguinte.
e) Às 9h do dia seguinte.
RESOLUÇÃO
Em 6h de trabalho foram retiradas 4 000 – 3 520 = 480 bolinhas e, como a velocidade de
480
retirada é constante, saem –––– = 80 bolinhas por hora. Para que 2 000 bolinhas
6
2 000
saiam do tanque, restando as outras 2 000, são necessárias ––––– = 25 horas. Portanto,
80
o tanque fica com 2 000 bolinhas às 11h do dia seguinte.
Resposta: A
QUESTÃO 20
As soluções da equação, em x,
2(y4 + 1)
x–y
x+y
+
=
, em que x ≠ ± y e y ≠ 0, são:
––––––––––
––––––
––––––
x+y
x–y
y2(x2 – y2)
–y
y
a) –––– e ––– .
2
4
–y
y
b) –––– e ––– .
4
4
–1
1
d) –––– e ––– .
y
2y
–1
1
e) –––– e ––– .
y
y
–1
1
c) –––– e –––– .
2y
2y
RESOLUÇÃO
Como y ≠ 0 e x2 ≠ y2, temos:
x+y
x–y
–––––– + –––––– =
x–y
x+y
2 . (y4 + 1)
––––––––––––––
y2 . (x2 – y2)
y4 + 1
2
(x – y)2 + (x + y)2
=
.
––––
–––––––
–––––––––––––––––
y2
x2 – y2
x2 – y2
2
x2 – 2xy + y2 + x2 + 2xy + y2 = –––– . (y4 + 1)
y2
OBJETIVO
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
2
2x2 + 2y2 = ––– . (y4 + 1)
y2
2
2(x2 + y2) = ––– . (y4 + 1)
y2
2
1
x2 + y2 = ––– . (y4 + 1) . –––
y2
2
1
x2 + y2 = y2 + –––
y2
1
x2 = –––
y2
1
1
–––  x = ± –––
2
y
y
x=±
Resposta: E
QUESTÃO 21
Se girarmos o pentágono regular, abaixo, de um ângulo de 252°, em torno do seu centro,
no sentido horário, qual figura será obtida?
A
C
B
D
E
RESOLUÇÃO
MAT-0002482-dpb
360°
Como o ângulo central do pentágono regular é de ––––– = 72° e 252° = 180° + 72°
5
temos:
Inicialmente
A
Após girar
180°
Após girar
mais 72°
B
B
O
O
O
B
A
A
Resposta: B
OBJETIVO
MAT-0002483-cpb
4
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 22
O perímetro de um retângulo é 100 e a diagonal mede x. Qual é a área do retângulo?
a) 625 – x2
x2
b) 625 – ––––
2
x2
d) 250 – ––––
2
x2
e) 2 500 – ––––
2
x2
c) 1 250 – ––––
2
RESOLUÇÃO
Sejam a e 50 – a os lados do retângulo. A área procurada é (50 – a) . a = 50a – a2.
Pelo Teorema de Pitágoras: x2 = a2 + (50 – a)2  x2 = 2 500 – 100a + 2a2 
x2
 50a = 1 250 + a2 – –––
2
Deste modo: 50a – a2 =
x
a
x2
x2
= 1 250 + a2 – ––– – a2 = 1 250 – –––
2
2
Resposta: C
50 - a
MAT-0002484-apb
QUESTÃO 23
Vovó Mafalda resolveu distribuir balas para os seus netinhos. Percebeu que, se desse
15 balas para cada neto, faltariam 25 balas. Resolveu, então, distribuir 12 balas para cada
um deles e com isso sobrariam 11. O número de balas que vovó Mafalda possuía está
representado no resultado da expressão:
a) 142 – 62
d) 132 – 2 . 7
c) 10 000 + 2 . 52
b) (22)3 + 6 . 15
e) 53 + 22 . 5
RESOLUÇÃO
Se x for o número de netos e y, o número de balas, então:
15x = y + 25 
12x = y – 11
y = 15x – 25  15x – 25 = 12x + 11 
y = 12x + 11
 3x = 36  x = 12 e y = 155
Como:
a) 132 – 2 . 7 = 169 – 14 = 155
b) (22)3 + 6 . 15 = 26 + 90 = 64 + 90 = 154
c) 10 000 + 2 . 52 = 100 + 2 . 25 = 100 + 50 = 150
d) 142 – 62 = 196 – 36 = 160
e) 53 + 22 . 5 = 125 + 4 . 5 = 125 + 20 = 145
temos
y = 132 – 2 . 7
Resposta: D
OBJETIVO
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 24
Efetuando as operações indicadas na expressão
22 007 + 22 005
––––––––––––––
22 006 + 22 004
× 2 006
obtemos um número de quatro algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
RESOLUÇÃO
22 007 + 22 005
–––––––––––––
22 006 + 22 004
22 005 (22 + 1)
× 2 006 = ––––––––––––– × 2 006 = 2 × 2 006 = 4 012
22 004 (22 + 1)
A soma dos algarismos do número 4 012 é 7.
Resposta: D
QUESTÃO 25
Uma transportadora entrega, com caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido a
problemas operacionais, em um certo dia cada caminhão foi carregado com 500 kg a
menos que o usual, tendo sido necessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões.
Quantos caminhões foram necessários naquele dia?
a) 22 . 32 caminhões
b) 22 . 5 caminhões
c) 23 . 3 caminhões
e) 32 . 5 caminhões
d) 33 . 2 caminhões
RESOLUÇÃO
Seja x o número de caminhões utilizados em um dia normal e y a quantidade em kg
carregada em cada um.
(y – 500) . (x + 4) = 60 000
y . x = 60 000
(1)
(2)
Das relações (1) e (2), temos:
y . x + 4y – 500x – 2 000 = yx
 y = 500 + 125x (3)
Substituindo-se (3) em (1), vem:
(500 + 125x) . x = 60 000  125x2 + 500x – 60 000 = 0  x2 + 4x – 480 = 0
– 4 ± 42 – 4 . 1 . (– 480)
x = ––––––––––––––––––––––––
2
– 4 ± 44
x = –––––––––
2
x = 20
x = – 24
x = 20, pois x > 0.
Nos dias normais, são necessários 20 caminhões. Naquele dia, foram utilizados
20 + 4 = 24 caminhões = 23 . 3 caminhões.
Resposta: C
OBJETIVO
6
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 26
Observe a figura.
A
B
h
G
D
E
C
F
b
O triângulo ABC tem altura h e base b. Nele, está inscrito o
retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura. Nessas
condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é
dada pela fórmula:
b.h
a) ––––––
h+b
2.b.h
b) ––––––
h+b
b.h
c) ––––––
h + 2b
b.h
b.h
d) ––––––
e) –––––––––
2h + b
2(h + b)
RESOLUÇÃO
MAT-0002485-apb
Do enunciado,
temos a figura:
Da semelhança dos triângulos ADG e ABC, temos:
A
2x
h–x
= –––––
–––
h-x
b
h
x
B
G
2x
D
h
Logo: 2hx = bh – bx
2hx + bx = bh
x(2h + b) = b . h
x
2x
E
F
C
b.h
x = –––––––
2h + b
Resposta: D
b
MAT-0002486-bpb
QUESTÃO
27
짰
A medida do arco de circunferência AB, em destaque na figura, representa que fração do
—
comprimento da circunferência de raio OB?
225°
O
B
A
16
a) ––––
5
3
b) ––––
8
11
d) ––––
4
14
e) ––––
5
12
c) ––––
5
RESOLUÇÃO
O
MAT-0002487-apb
135°
A
B
1) 360° – 225° = 135°
2) Se o comprimento do arco de ângulo central 360° repre
짰senta 100% da circunferência e o comprimento do arco AB
de ângulo central 135° representa x% da circunferência,
então:
135° . 100%
360°
100%
360°  100%
 ––––– = ––––––  x = ––––––––––– 
135° 
x
360°
MAT-0002488-apb
135°
x
37,5
375
3
 x = 37,5% = ––––– = –––––– = –––
100
1000
8
Resposta: B
OBJETIVO
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 28
No quadro da figura, o produto dos elementos de cada linha, cada coluna ou cada
diagonal é sempre o mesmo.
92
B
x
1
–––––
3–7
A
1
–––––
3–1
1
–––––
3–2
y
33
3–3
C
Z
1
–––
94
1
–––––
9– 3
1
–––––
3– 5
D
A.B
A expressão –––––– é igual a:
C.D
a) zero
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESOLUÇÃO
Da tabela, conclui-se:
1) Produto dos elementos da diagonal secundária:
1
1
1
––––– . ––––– . 3 – 3 . –––– = 37 . 32 . 3– 3 . 3– 8 = 3 – 2
94
3– 7
3– 2
2) Produto dos elementos da 1ª coluna:
1
92 . A . 33 . –––– = 34 . A . 33 . 3– 8 = 3 – 1 . A = 3 – 2  A = 3– 1
94
3) Produto dos elementos da 2ª coluna:
1
1
B . –––– . 3– 3 . –––– = B . 31 . 3– 3 . 36 = 34 . B = 3 – 2  B = 3 – 6
3– 1
9– 3
4) Produto dos elementos da 4ª linha:
1
1
1
–––– . –––– . –––– . D = 3– 8 . 36 . 35 . D = 33 . D = 3 – 2  D = 3 – 5
94
9– 3
3– 5
5) Produto dos elementos da diagonal principal:
1
92 . –––– . C . D = 34 . 31 . C . 3 – 5 = 30 . C = 3 – 2  C = 3 – 2
3– 1
OBJETIVO
8
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
A.B
3– 7
3– 1 . 3– 6
Assim: –––––– = ––––––––– = –––––– = 1
C.D
3–2 . 3– 5
3– 7
Resposta: B
QUESTÃO 29
Observe os quadriláteros abaixo:
x cm
x cm
2
x cm
1 cm
2
Dividindo-se o número que indica a área do quadrado, em centímetros quadrados,
MAT-0002489-bpb
menos uma unidade pelo número
que representa o perímetro do retângulo, em
centímetros, obtém-se o número 3. A razão entre os perímetros do quadrado e do
retângulo, nessa ordem, é de:
a) 2,8
b) 3,2
c) 4,4
d) 5,6
e) 6,8
RESOLUÇÃO
Sendo:
Área do quadrado = x2 cm2
Área do quadrado menos uma unidade = (x2 – 1) cm2
x
1
Perímetro do retângulo = 2 ––– + –––
2
2
cm = (x + 1) cm
Temos que:
x2 – 1
(x + 1)(x – 1)
––––––– = 3  –––––––––––– = 3  x – 1 = 3  x = 4
x+1
x+1
16 cm
A razão entre os perímetros é igual a: ––––––– = 3,2
5 cm
Resposta: B
OBJETIVO
9
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 30
Um time de futebol ganhou 8 jogos mais do que perdeu e empatou 3 jogos menos do
que ganhou, em 31 partidas jogadas. Quantas partidas o time venceu?
a) 11
b) 14
c) 15
d) 17
e) 23
RESOLUÇÃO
Seja n o número de partidas que o time venceu. Então perdeu n – 8 e empatou
n – 3 jogos.
Portanto, n + n – 8 + n – 3 = 31  3n – 11 = 31  3n = 42  n = 14, isto é, o time venceu
14 partidas.
Reposta: B
OBJETIVO
10
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE