UFJF – ICE – Departamento de Matemática CÁLCULO I - LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 1 1- Sejam a e b números reais positivos tais que a < b. Considere as seguintes afirmações: I) 4 a 4 b II) 3b 3a a b 4 4 1 1 IV) b a III) Podemos afirmar que: a) Todas as afirmações são verdadeiras. b) Todas as afirmações são falsas. c) As afirmações II, III e IV são verdadeiras e a afirmação I é falsa. d) A afirmação II é verdadeira e as afirmações I, III e IV são falsas. e) Apenas a afirmação IV é verdadeira. GABARITO: C 2x 4 1. x 1 2x 4 1º passo: O aluno multiplicou os dois membros da desigualdade 1 por x 1 e obteve 2 x 4 x 1. x 1 2- Observe os passos que um aluno seguiu ao resolver a desigualdade 2º passo: Ele somou 4 aos dois membros de 2 x 4 x 1 obtendo 2 x x 5 . 3º passo: Ele diminuiu x dos dois membros de 2 x x 5 e, finalmente, obteve x 5 . Podemos afirmar que: a) A resolução que o aluno apresentou está correta. b) A resolução que o aluno apresentou está errada e o erro cometido se encontra no 1º passo da resolução. c) A resolução que o aluno apresentou está errada e o erro cometido se encontra no 2º passo da resolução. d) A resolução que o aluno apresentou está errada e o erro cometido se encontra no 3º passo da resolução. e) O conjunto solução da desigualdade é S 2 5, . GABARITO: B 3- Classifique como Verdadeiro (V) ou Falso (F) cada uma das seguintes afirmações: a) Se a e b são números inteiros positivos, então a é um número racional. b a é um número racional. b ab c) Se a e b são números inteiros e a b 0 , então é um número racional. ab ab d) Se a e b são números inteiros, então é um número racional. 1 a2 ab e) Se a e b são números inteiros, então é um número racional. 1 a 56 f) Se a é um número inteiro, então a é um número racional. b) Se a e b são números inteiros, então g) Se a e b são números racionais, então o produto a.b é um número racional. h) Se a e b são números racionais, então a é um número racional. b Resp.: a)V, b)F, c)V, d)V, e)F, f)V, g)V, h)F 4- Determine a geratriz de cada uma das dízimas periódicas: a) 4,22222... b) 4,52222... c) 13,82434343... Resp.: a) 38 407 136861 , b) , c) 9900 9 90 a 0,666... , b 1,333... e c 0,141414... , então ab 1 c é igual a: 74 127 80 187 67 a) b) c) d) e) 99 198 30 30 99 5- Se GABARITO: B n m s(n) , onde s(n) é o sucessor de n, então é sempre verdade que: b) n m c) m n d) m n 1 e) m n e m s(n) 6- Se m e n são números naturais e se a) m n ou m s(n) GABARITO: A 7- Se p e q são números inteiros quaisquer, com q 0 , então: p é um número inteiro. q p b) é um número inteiro. pq pq c) é um número inteiro. q p d) é um número inteiro se, e somente se, existir um inteiro k tal que p kq . q p q e) sendo um inteiro, tem-se também que é um inteiro. q p a) GABARITO: D 8- Classifique como Verdadeiro (V) ou Falso (F) cada uma das seguintes afirmações: a) 8 Qc 5 18. 2 Q c f) b) 3 2 Qc g) c) 5 32 Q c 5 2 50 Q c h) d) 4 5 Qc 12 Qc 3 i) e) 5. 2 Q c 3 2 2 Qc Resp.: a) V, b) V, c) F, d) V, e) V, f) F, g) F, h) F, i) V 9- Classifique como Verdadeiro (V) ou Falso (F) cada uma das seguintes afirmações: a) Toda dízima não-periódica é um número irracional. b) Toda dízima é um número irracional. c) Toda dízima periódica é um número racional. d) Todo número que pode ser escrito sob a forma decimal é real. e) Números reais são somente aqueles que podem ser representados pela razão entre dois números inteiros. 7 R. 8 R. 6,3333... R. 3 i) R. 8 f) g) h) j) 3 Qc . R. 3 c c l) Q R Q . m) Q R Q. k) n) O produto de um número racional por um número irracional é um número irracional. o) O oposto de um número irracional é irracional. p) O inverso de um número irracional é irracional. Resp.: a) V, b) F, c) V, d) V, e) F, f) V, g) V, h) F, i) V, j) V, k) V, l) F, m) V, n) F, o) V, p) V 10- Indiquemos por p e d as medidas do perímetro e do diâmetro de uma circunferência. Sabe-se da Geometria que a razão p é igual ao número irracional 3,141592654.... . Nestas condições, assinale a afirmação verdadeira: d a) p e d são números racionais. b) Se p for irracional, então d deverá ser, obrigatoriamente, irracional. c) O produto pd é certamente irracional. d) A soma p + d pode ser racional. e) Se p for inteiro, então d deverá ser, obrigatoriamente, inteiro. GABARITO: D 11- Sejam a e b números irracionais quaisquer. Das afirmações: I. ab é um número irracional; II. a + b é um número irracional; III. a – b pode ser um número racional, pode-se concluir que: a) as três são falsas. b) as três são verdadeiras. c) somente (I) e (III) são verdadeiras. d) somente (I) é verdadeira. e) somente (I) e (II) são falsas. GABARITO: E 12- A área de um triângulo é 8 cm2. Pode-se afirmar que: a) se a medida, em centímetros, de um lado desse triângulo é um número natural, então a medida, em centímetros, da altura relativa a esse lado é um número natural. b) se a medida, em centímetros, de um lado desse triângulo é um número irracional, então a medida, em centímetros, da altura relativa a esse lado é um número racional. c) nenhum dos lados do triângulo pode ter como medida, em centímetros, um número irracional. d) se as medidas, em centímetros, dos três lados desse triângulo forem números racionais, então a medida, em centímetros, de cada altura do triângulo é um número racional. e) se as medidas, em centímetros, dos três lados desse triângulo são números irracionais, então a medida, em centímetros, de pelo menos uma das alturas é um número racional. GABARITO: D 13- Marque a alternativa CORRETA: a) Se x é um número real e x < 1 então x2 < 1. b) Se x é um número real tal que x 1 então x > 1. c) Se x e y são números reais tais que x < y então x2 > y2. d) Se x é um número real então x 2 e) Se x é um número real tal que x 1 então x < 1 e x > – 1. x . GABARITO: E 14- O conjunto solução da inequação 4 x R; x 3 4 1 d) x R; x ou x 3 2 5 3 é: 2x 1 1 4 c) x R; x ou x x R; x 3 3 4 1 e) x R; x ou x 3 3 a) b) 1 2 GABARITO: E 15- Classifique cada uma das sentenças como V ou F: a) 5 5 b) 0 0 c) 3 3 4 4 d) 1 2 1 2 e) 5 2,2 5 2,2 f) 3 10 2,3 2,3 3 10 g) 4 9 3 0 h) 3,14 0 i) 3,15 3,15 d) 3,14 3,15 Resp.: a) V, b) V, c) F, d) F, e) V, f) V, g) V, h) F, i) V 16- Resolva, em R, a equação Resp.: S 1,2,3,6 17- Resolva, em R, a equação Resp.: x. x 5 6 . x2 3 x 4 0 . S 4,4 18- Calcule os valores dos módulos: 3 1,6 1,6 a) Resp.: a) 5 2,4 5 b) c) 1 2 2 2 3 , b) 2,4, c) 1, d) 0,01 19- A soma e o produto das raízes da equação a) 0 e –16 b) 4 e –2 GABARITO: A c) 1 e –16 20- O conjunto solução da equação x 2 2 x 8 0 são, respectivamente: d) 2 e –8 e) –2 e 8 x 1 x 1 em R: 2 a) possui apenas um elemento. b) possui exatamente dois elementos. c) é vazio. d) possui exatamente três elementos. e) possui exatamente quatro elementos. GABARITO: D 21- Qual o conjunto dos valores assumidos pela expressão números reais não nulos? a) 4,3,2,1,0,1,2,3,4 GABARITO: C b) 4,2,0,2,4 a b c abc , quando a, b e c variam no conjunto dos a b c abc c) 4,0,4 22- Resolva, em R, as seguintes equações: a) 5x 8 4 x 10 b) x 2 3x x c) x2 x3 d) 2 x 2 3x x 2 Resp.: a) 5 2 2, b) 0,2,4, c) 1 , d) 1, 1 2 23- Determine, em R, o conjunto solução de cada uma das equações: a) 5x 10 2 x 3 b) x2 x x c) 3x 12 x 6 13x d) 5x 1 1 x 6 x e) x 32 x 3x Resp.: a) 1 , b) 0,2, c) 2, d) ,1 , e) 1 5 d) 4 e) R 24- Resolva, em R, as seguintes inequações: a) x2 3 1 b) 3x 5 11 3x 1 x 1 2 d) 2 3x 2 x 12 c) e) 5x 10 2 x 6 x Resp.: a) ,2 16 2 , 2 2, , b) ,2 , c) 0,4 , d) R, e) 1, 3 1 x 3 4 é o conjunto dos números x tais que: 4 x 7 ou 1 x 2 1 x 7 ou 3 x 1 1 x 7 ou 2 x 4 0 x4 1 x 4 ou 2 x 7 25- O conjunto solução de a) b) c) d) e) GABARITO: A 26- Exercícios das páginas 10 e 11 do livro texto.