Solução Comentada Prova de Matemática
08 questões
18. Se x e y são números inteiros maiores do que 1, tais que x é um divisor de 20 e y é um divisor de
35, então o menor valor possível para
A)
B)
C)
D)
E)
x
é:
y
4
35
4
7
2
5
5
7
2
35
Questão 18, alternativa E
Assunto: Números reais (Operações com números inteiros positivos e números racionais)
Comentário: Na solução dessa questão o candidato deverá utilizar conceitos elementares que
envolvem divisibilidade e desigualdades. Dentre as possibilidades para x e y ele deverá escolher
aquelas que tornam o valor da fração
x
mínimo.
y
Solução:
Sejam Dx = {2, 4, 5, 10, 20 } e Dy = { 5, 7, 35 } os conjuntos dos divisores, maiores que 1, dos
números 20 e 35, respectivamente.
x
vai ocorrer quando x for igual ao menor elemento de Dx que
y
2
é 2, e o y for igual ao maior elemento de Dy que é 35. Logo, a fração procurada será
.
35
O menor valor possível para a fração
A alternativa correta é a (E)
(
)
19. O conjunto solução da inequação log1 / 3 x 2 −1 < log1 / 3 ( x + 1) é o intervalo:
A)
B)
C)
D)
E)
(– ∞, 0)
( 2, ∞)
(– ∞, 2)
( 3, ∞)
(–∞, –2)
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08 questões
Questão 19, alternativa B
Assunto: Logarítmo (bases e inequações logarítmicas)
Comentário: Esta questão envolve o conhecimento relativo a inequações logarítmicas, explorando
principalmente as propriedades do domínio da função logarítmica bem como a influência da base na
questão do estudo do crescimento ou decrescimento de uma função.
Solução: A função logaritmo de base menor que 1 é decrescente.
(
)
Assim log 1 / 3 x − 1 < log 1 / 3 ( x + 1) ⇒
(x
2
2
−1) > ( x +1) ⇒ x 2 − x − 2 > 0 ⇒ x < − 1 ou x > 2
Por outro lado, como o domínio de uma função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos,
2
devemos ter (x − 1 ) > 0 e ( x + 1 ) > 0 de onde concluímos que x >1 .
Portanto, devemos ter ( x < − 1 ou
x > 2 ) e x >1 , de onde concluímos que x > 2
A alternativa correta é a (B)
20. Considere o triângulo eqüilátero ABC, cujo lado mede 10 cm,
conforme a figura ao lado. Pelo ponto S, traça-se a perpendicular
SR sobre o lado AC, do ponto R, traça-se a perpendicular RQ
sobre o lado BC, e do ponto Q , traça-se a perpendicular QP sobre
o lado AB. Se a medida do segmento AS é igual a 4 cm, então a
medida do segmento SP, em cm, é:
A)
B)
C)
D)
E)
C
Q
R
2
3
4
5
6
A
S
P
B
Questão 20, alternativa B
Assunto: Geometria plana
Comentário: Este problema envolve conhecimento de conceitos básicos relativos a triângulos,
especificamente triângulo eqüilátero, e algumas relações especiais do triângulo retângulo.
Solução:
Sendo ABC um triângulo eqüilátero, cada um dos ângulos internos A, B e C mede 600 . Assim, como
ˆ P , CRˆ Q e ASˆR mede
os triângulos BQP, CRQ e ASR são retângulos, cada um dos ângulos BQ
300. Sabemos que, no triângulo retângulo, o cateto oposto ao ângulo de 300 mede a metade do valor
da hipotenusa, e como AS tem medida igual a 4 cm, segue:
AS = 4 cm → AR = 2 →
RC = 8
→ CQ = 4
→ QB = 6 →
PB = 3 →
SP = 3.
A alternativa correta é a (B)
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{
}
{
}
21. Sejam M= x ∈ R; x + 3 = 2 e N= x ∈ R; x − 5 x + 4 = 0 . Se a∈M e b∈N, então o maior
2
valor do produto a.b é:
A)
B)
C)
D)
E)
2
1
0
–1
–2
Questão 21, alternativa D
Assunto: Conjuntos e equações ( Equação modular e equação do segundo grau )
Comentário : Nessa questão, o candidato deverá mostrar conhecimentos sobre teoria dos conjuntos
e das equações de 1º e 2º graus, bem como sobre propriedades de valor absoluto.
Solução:
Se x ∈ M, então | x + 3 | = 2 → x + 3 = 2 ou x + 3 = -2 ⇔ x = -1 ou x = -5
Se x ∈ N, então x2 -5x + 4 = 0. Resolvendo a equação do 2º grau, temos x = 4 ou x = 1
Assim: M = { -1, -5 }
e N = { 1, 4 }
Seja P = { a.b ; a ∈ M e b ∈ N } = { -1. 1, -1.4, -5. 1, -5. 4 } = { -1, -4, -5, -20 } o conjunto de
todos os produtos possíveis de elemento de M por um elemento de N.
Logo, o elemento de maior valor do conjunto P é -1.
A alternativa correta é a (D)
22. Sejam f e g funções reais de variáveis reais definidas por f(x) = x2+2 e g(x) = -x2+3x+1. Dentre os
conjuntos abaixo, o que representa os valores de x para os quais f(x) < g(x) é:
1


< x < 0
2


{x ∈ R; 0 < x < 1}
1


 x ∈ R; < x < 1
2


{x ∈ R; x > 0}
1

 x ∈ R; x < 
2

A)  x ∈ R; −
B)
C)
D)
E)
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Questão 22, alternativa C
Assunto: Funções e inequações:
Comentário: Esta questão trata da comparação entre valores de funções a partir do estudo da
solução de uma inequação do 2o grau.
Solução:
Sejam as funções f(x) = x2 + 2 e g(x) = - x2 + 3x + 1.
Se f(x) < g(x) , então x2 + 2 < - x2 + 3x + 1
⇔
2x2 – 3x + 1 < 0
∆ = ( -3 )2 - 4 (2)(1) = 1
−(−3) ±
2(2)
3±1
1
. Então : x = 1 ou x =
.
2
4
Sinal de 2x2 – 3x + 1: ++++++ | - - - - - - | ++++++
x =
1
=
1
2
1
Logo, o conjunto de valores de x para os quais 2x2 – 3x + 1 < 0 será
{ x ∈R ;
1
< x < 1 }
2
A alternativa correta é a (C)
23. Se a seqüência –x3 – 8x + 4; 2x – 5; x3 + 2x2 + 4 forma, nesta ordem, uma Progressão Aritmética,
o valor de x é:
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
3
4
5
Questão 23, alternativa C
Assunto: Seqüência (Progressão Aritmética )
Comentário: Essa questão envolve noções de seqüência e as propriedades que relacionam os termos
de uma progressão aritmética.
Solução:
Se a seqüência –x3 –8x +4; 2x-5; x3+2x2+4 está em progressão aritmética, então:
a diferença entre o segundo e o primeiro termos é igual à diferença entre o terceiro
e o segundo, ou seja, ( 2x – 5 ) – ( -x3 – 8x + 4 ) = ( x3 + 2x2 + 4 ) – ( 2x – 5) Ù
Ù 2x – 5 + x3 + 8x – 4 = x3 + 2x2 + 4 – 2x + 5 Ù 2x2 – 12x + 18 = 0 Ù
Ù x2 – 6x + 9 = 0 Ù ( x – 3 )2 = 0 Ö x = 3.
A alternativa correta é a (C)
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T
24. Na figura, os segmentos de reta RP e TP
medem respectivamente 8 cm e 16 cm. Se
TP é tangente à circunferência em T, então
a medida do raio, em cm, é:
A)
B)
C)
D)
E)
16cm
r
O
12
14
16
18
r
R
P
8cm
20
Questão 24, alternativa A
Assunto: Geometria plana (Tangente ao círculo e triângulo retângulo)
Comentário: Essa questão requer conhecimentos básicos de geometria plana, envolvendo tangente a
uma curva, distância de um ponto a uma curva e o teorema de Pitágoras.
Solução:
O segmento PT ,na figura, é perpendicular ao raio r e portanto o ângulo PTˆO é reto. Então o
triângulo PTO é retângulo.
Pelo Teorema de Pitágoras:
OP2 = OR2 + PT2 ou ( r + 8 )2 = r2 + 162 →
r2 + 16r + 82 = r2 + 162 ⇔
⇔
16r =
162 - 82 = 24 . 8
⇔
r =
24 . 8
= 12
16
Alternativa correta é (A)
25. Considere a situação em que há dois homens, um com mais de 30 anos e o outro com menos
de 30 anos, sendo que, um veste camisa preta e o outro veste camisa branca.
O homem que veste camisa preta disse que tem mais de 30 anos.
O homem que veste camisa branca disse que tem menos de 30 anos.
Se alguém está mentindo, podemos concluir que:
A)
B)
C)
D)
E)
Só o homem de camisa branca mentiu.
Só o homem de camisa preta mentiu.
Os dois homens mentiram.
O homem de camisa branca falou a verdade.
O homem de camisa preta falou a verdade.
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Questão 25, alternativa C
Assunto: Lógica (Lógica elementar )
Comentário: Essa questão trata basicamente de raciocínio lógico. Nela o candidato deverá fazer uma
análise envolvendo duas afirmações e uma condição, das quais, a partir de um estudo das
possibilidades, ele deverá concluir sobre a veracidade de cada uma das afirmativas.
Solução:
Considerando as duas afirmações, temos as seguintes possibilidades: VV,VF,FV e FF
Como alguém está mentindo, não pode ocorrer VV.
Supondo que o primeiro homem (homem de camisa preta) esteja falando a verdade, neste caso ele
tem mais de 30 anos e conseqüentemente o homem de camisa branca tem menos de 30 anos.
Portanto, o segundo homem (homem de camisa branca) também estará falando a verdade e assim não
pode ocorrer VF.
Supondo que o primeiro homem (homem de camisa preta) esteja mentindo, neste caso ele tem menos
de 30 anos e conseqüentemente o homem de camisa branca tem mais de 30 anos. Portanto, o segundo
homem (homem de camisa branca) também estará mentindo e assim não pode ocorrer FV.
Logo devemos ter FF, isto é, os dois homens estão mentindo.
A alternativa correta é a (C).
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