Matemática
Professor: Paulo Tiago
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
a) {60°, 300°} b) {30°, 330°} c) {30°, 150°}
d) {30°, 150°, 210°, 330°}
e) {15°, 165°, 195°, 345°}
EXERCÍCIOS
Observação: as questões marcadas com *** exigem
conteúdo que ainda não foi visto no curso e podem ser
puladas.
Nível I
1. Resolva as seguintes equações, em [ 0๐‘œ , 360๐‘œ ]:
a) 2 ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ 1 = 0
b) โˆš2 ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ฅ + 1 = 0
2
c) 2๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ฅ + 2 = 0
d) 2๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ฅ โˆ’ 5 ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ฅ + 2 = 0
2
e) 2 cos ๐‘ฅ = 1 โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ
10. (FGV - 01) Resolva as seguintes equações
trigonométricas:
2
a) sen x =
, onde 0 โ‰ค x โ‰ค 2ฯ€
2
b) sen x = cos2x, onde 0 โ‰ค x โ‰ค 2ฯ€
11. (PUCRJ - 08) Assinale o valor de ฮธ para o qual
sen 2ฮธ = tg ฮธ.
a) ฯ€/2
b) ฯ€/3
c) 2ฯ€/3
d) 4ฯ€/3
e) 3ฯ€/4
2. Resolva as seguintes equações, em [0, 2๐œ‹]:
b) cos ๐‘ฅ = 0 c) 2๐‘๐‘œ๐‘  2 ๐‘ฅ = cos ๐‘ฅ
e) 3๐‘ก๐‘”2 ๐‘ฅ โˆ’ 1 = 0
a) 2 cos ๐‘ฅ + 1 = 0
d) cos 2๐‘ฅ = cos ๐‘ฅ
3. (CESGRANRIO - 90) O número de raízes reais da
equação (3/2) + cosx = 0 é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) maior do que 3.
b) {ฯ€/3}
e) {ฯ€/4, 5ฯ€/4}
c) {5ฯ€/4}
c) 2
d) 3
b) 2ฯ€
c) 3ฯ€
d) 4ฯ€
e)6๐œ‹
13. Resolva as seguintes equações, em โ„ e graus:
b) 2๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ฅ โˆ’ 1 = 0
d) 2๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ฅ + 3 ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ฅ + 1 = 0
*** 15. (MACKENZIE - 01) As soluções positivas de
sen 2x = 2 sen2 x, com sen x โ‰  0, formam uma
sequência que é uma:
e) 4
a) PA de razão ฯ€/2 e primeiro termo ฯ€/4.
b) PA de razão 2ฯ€ e primeiro termo 3ฯ€/4.
c) PA de razão ฯ€ e primeiro termo ฯ€/4.
d) PG de razão 3 e primeiro termo ฯ€/4.
e) PG de razão 3 e primeiro termo 3ฯ€/4.
e) 5ฯ€
8. (FATEC - 95) O conjunto solução da equação
2cos2x + cosx - 1 = 0, no universo U = [0, 2ฯ€], é:
a) {ฯ€/3, ฯ€, 5ฯ€/3}
b) {ฯ€/6, ฯ€, 5ฯ€/6}
c) {ฯ€/3, ฯ€/6, ฯ€}
d) {ฯ€/6, ฯ€/3, ฯ€, 2ฯ€/3, 5ฯ€/3}
e) {ฯ€/3, 2ฯ€/3, ฯ€, 4ฯ€/3, 5ฯ€/3, 2ฯ€}
16. (UFRRJ - 99) O número de soluções da equação
2cos2x - 3cosx - 2 = 0 no intervalo [0, ฯ€] é
a) 0
9. (UNIRIO - 98) O conjunto-solução da equação
cos 2x = 1/2, onde x é um arco da 1a volta positiva, é
dado por:
CASD Vestibulares
d) 5๐œ‹
d) ๐‘ก๐‘” ๐‘ฅ = โˆš3
e) ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ฅ + cos ๐‘ฅ = 0
7. (FGV - 03) No intervalo [0, 2ฯ€], a equação
trigonométrica
sen 2x = sen x tem raízes cuja soma vale:
a) ฯ€
c) 4๐œ‹
a) โˆš2 cos ๐‘ฅ + 1 = 0
b) 2๐‘๐‘œ๐‘  2 ๐‘ฅ โˆ’ 3 cos ๐‘ฅ + 1 = 0
c) 4๐‘๐‘œ๐‘  2 ๐‘ฅ โˆ’ 3 = 0
6. (CESGRANRIO- 93) O número de soluções da
equação sen2x=2sen x, no intervalo [0,2ฯ€], é:
b) 1
b) 3๐œ‹
14. Resolva as seguintes equações, em โ„ e em
radianos:
5. (PUCRJ - 99) Quantas soluções de
sen(x) + cos(x) = 0 existem para x entre 0 e 2ฯ€?
a) 0
a) 2๐œ‹
a) 3 ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ฅ + 3 = 0
c) ๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ฅ
4. (UNIRIO - 00) O conjunto-solução da equação
senx=cosx, sendo 0 โ‰ค x < 2ฯ€, é:
a) {ฯ€/4}
d) {ฯ€/3, 4ฯ€/3}
12. (FUVEST โ€“ 02) A soma das raízes da equação
๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ฅ โˆ’ 2๐‘๐‘œ๐‘  4 ๐‘ฅ = 0, que estão no intervalo [0, 2๐œ‹] é:
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
17. (FATEC - 98) Sejam as equações A: tgx = sen2x e
B: cos2x = 1/2.
Sobre as sentenças abaixo:
I. As equações A e B têm exatamente as mesmas
soluções.
II. A equação B tem soluções x = (ฯ€/4) + (kฯ€/2), com k
MATEMÁTICA
1
โˆˆ Z..
III. No intervalo 0 โ‰ค x โ‰ค ฯ€/2 a equação A tem soluções x
= 0 e x = ฯ€/4.
é verdade que
a) somente a I é falsa.
b) somente a II é falsa.
c) somente a III é falsa.
d) todas são verdadeiras.
e) todas são falsas.
Nível II
x2
18. (UFRJ - 04) A equação
possui raízes reais iguais.
Determine ฮธ, 0 โ‰ค ฮธ โ‰ค 2ฯ€.
- 2xcosฮธ +
sen2ฮธ
=0
๏ƒฆฯ€๏ƒถ
๏ƒท + 2kฯ€
๏ƒจ4๏ƒธ
๏ƒฆฯ€๏ƒถ
๏ƒท + 2kฯ€ c) ฯ† โ‰  kฯ€
๏ƒจ2๏ƒธ
๏ƒฆฯ€๏ƒถ
e) ฯ† โ‰  2kฯ€ ± ๏ƒง ๏ƒท
๏ƒจ9๏ƒธ
a) ฯ† โ‰  ๏ƒง
b) ฯ† โ‰  ๏ƒง
d) ฯ† โ‰  2kฯ€
26. (FUVEST โ€“ 05) Sabe-se que x = 1 é raiz da
equação
๏ƒฆ3๏ƒถ
๏ƒจ2๏ƒธ
(cos2ฮฑ) x2 - (4 cosฮฑ senฮฒ) x + ๏ƒง ๏ƒท senฮฒ = 0,
sendo ฮฑ e ฮฒ os ângulos agudos indicados no triângulo
retângulo da figura a seguir.
*** 19. (UFSCAR - 07) O conjunto solução da equação
sen [ (8ฯ€/9) + (8ฯ€/27) + (8ฯ€/81) ... ] = cos x,
com x โˆˆ [0,2ฯ€[, é
a) {2ฯ€/3, 4ฯ€/3}. b) {5ฯ€/6, 7ฯ€/6}. c) {3ฯ€/4, 5ฯ€/4}.
d) {ฯ€/6, 11ฯ€/6}. e) {ฯ€/3, 5ฯ€/3}.
20. (FUVEST โ€“ 99) Ache todas as soluções da equação
Pode-se então afirmar que as medidas de ฮฑ e ฮฒ são,
respectivamente,
๐‘ ๐‘’๐‘›3 ๐‘ฅ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ โˆ’ 3๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ๐‘๐‘œ๐‘  3 ๐‘ฅ = 0 no intervalo [0,2๐œ‹)
a)
sen4x
21. (MACKENZIE - 03) Se
pode pertencer ao intervalo:
a) [ฯ€/4, 3ฯ€/4]
d) [ฯ€/6, ฯ€/3]
=1+
cos2x,
então x
๐œ‹
8
e
3๐œ‹
8
b)
๐œ‹
e
6
๐œ‹
c)
3
b) [0, ฯ€/6] c) [ฯ€, 5ฯ€/4]
e) [5ฯ€/3, 2ฯ€]
23. (FUVEST - 02) Determine as soluções da equação
(2cos2x + 3senx) (cos2x - sen2x) = 0
que estão no intervalo [0,2ฯ€].
๐œ‹
4
d)
๐œ‹
3
e
๐œ‹
6
e)
3๐œ‹
8
e
๐œ‹
8
28. (UFV - 99) Determine todos os pares (x,y) de
números reais que satisfazem o sistema a seguir:
2
2
๏ƒฌ
๏ƒฏsen x ๏€ฝ sen 2y
๏ƒญ
2
2
๏ƒฏ
๏ƒฎcos x ๏€ฝ sen y
sendo 0 โ‰ค x โ‰ค ฯ€ e 0 โ‰ค y โ‰ค ฯ€ (Dica: some as duas
equações do sistema).
GABARITO
{30๐‘œ
c) 0 < x < ฯ€/6
*** 25. (UNIRIO - 95) Para que a matriz a seguir, seja
inversível, é necessário que:
๐‘œ}
1. a) ๐‘† =
, 150
b) ๐‘† = {225๐‘œ , 315๐‘œ }
c) ๐‘† = โˆ…
d) ๐‘† = {30๐‘œ , 150๐‘œ }
e) ๐‘† = {90๐‘œ , 210๐‘œ , 330๐‘œ }
2. a)
b) ๐‘†
2
e
3 tg x + 2 cos x = 3 sec x.
24. (FEI - 96) Se s = sen(x), 5s2 + s - 4 = 0 e
0 โ‰ค x โ‰ค ฯ€/2 então:
b) 0 < x < ฯ€/4
e) ฯ€/4 < x < ฯ€/2
4
27. (UFMG - 94) Determine todos os valores de x
pertencentes ao intervalo (0, ฯ€) que satisfazem a
equação
22. (FUVEST - 05) Determine todos os valores de x
pertencentes ao intervalo [0, 2ฯ€] que satisfazem a
equação
cos2 2x = (1/2) - sen2 x.
a) x = 0
d) x = ฯ€/2
๐œ‹
2๐œ‹ 4๐œ‹
๐‘†={3 ,
๐œ‹ 3๐œ‹
={ ,
}
}
2 2
๐œ‹ ๐œ‹ 3๐œ‹ 5๐œ‹
c)
๐‘† = {3 , 2 ,
d)
๐‘† = {0,
e)
๐‘† = {6 ,
MATEMÁTICA
3
,
2 3
2๐œ‹ 4๐œ‹
,
}
, 2๐œ‹}
3 3
๐œ‹ 5๐œ‹ 7๐œ‹ 11๐œ‹
6
,
6
,
6
}
CASD Vestibulares
3. A
25. C
4. E
26. D
5. 2 soluções
27. ๐‘†
6. C
6
}
๐œ‹
7. D
๐œ‹ ๐œ‹
(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = (0, ) ๐‘œ๐‘ข (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ( , ) ๐‘œ๐‘ข
2
๐œ‹ 5๐œ‹
28. ๐‘† = (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ( ,
8. A
3
) ๐‘œ๐‘ข (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = (
6
2๐œ‹ 5๐œ‹
{ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ( 3 ,
9. D
10. ๐‘†
๐œ‹ 5๐œ‹
= {6 ,
๐œ‹ 5๐œ‹ 3๐œ‹
= {6 ,
6
,
2
6
3 6
2๐œ‹ ๐œ‹
3
, ) ๐‘œ๐‘ข
6
๐œ‹
) ๐‘œ๐‘ข (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = (๐œ‹, )
2
}
}
11. E
12. C
13. a) ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ / ๐‘ฅ = 270๐‘œ + 360๐‘œ ๐‘˜, ๐‘˜ โˆˆ โ„ค}
b) ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ / ๐‘ฅ = 45๐‘œ + 90๐‘œ ๐‘˜, ๐‘˜ โˆˆ โ„ค}
c) ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ / ๐‘ฅ = 180๐‘œ ๐‘˜ ๐‘œ๐‘ข ๐‘ฅ = 90๐‘œ + 360๐‘œ ๐‘˜, ๐‘˜ โˆˆ โ„ค}
๐‘ฅ โˆˆ โ„/ ๐‘ฅ = 210๐‘œ + 360๐‘œ ๐‘˜ ๐‘œ๐‘ข ๐‘ฅ = 270๐‘œ + 360๐‘œ ๐‘˜
d) ๐‘† = {
}
๐‘œ๐‘ข ๐‘ฅ = 330๐‘œ + 360๐‘œ ๐‘˜, ๐‘˜ โˆˆ โ„ค
๐‘ฅ โˆˆ โ„/ ๐‘ฅ =
14. a) ๐‘† = {
3๐œ‹
4
+ 2๐‘˜๐œ‹ ๐‘œ๐‘ข ๐‘ฅ =
5๐œ‹
๐‘˜โˆˆโ„ค
๐œ‹
4
+ 2๐‘˜๐œ‹,
}
๐‘ฅ โˆˆ โ„/ ๐‘ฅ = 2๐‘˜๐œ‹ ๐‘œ๐‘ข ๐‘ฅ = + 2๐‘˜๐œ‹ ๐‘œ๐‘ข ๐‘ฅ =
3
b) ๐‘† = {
๐‘˜โˆˆโ„ค
๐œ‹
5๐œ‹
6
6
c) ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„/ ๐‘ฅ = + ๐‘˜๐œ‹ ๐‘œ๐‘ข ๐‘ฅ =
5๐œ‹
3
+ 2๐‘˜๐œ‹,
}
+ ๐‘˜๐œ‹, ๐‘˜ โˆˆ โ„ค}
๐œ‹
d) ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„/ ๐‘ฅ = + ๐‘˜๐œ‹, ๐‘˜ โˆˆ โ„ค}
3
3๐œ‹
e) ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„/ ๐‘ฅ =
4
+ ๐‘˜๐œ‹, ๐‘˜ โˆˆ โ„ค}
15. C
16. B
17. A
18. ๐‘†
๐œ‹ 3๐œ‹ 5๐œ‹ 7๐œ‹
= {4 ,
4
,
,
4
4
}
19. B
20. ๐‘†
๐œ‹ ๐œ‹ 2๐œ‹
= {0, 3 , 2 ,
3
, ๐œ‹,
4๐œ‹ 3๐œ‹ 5๐œ‹
3
,
2
,
3
}
21. A
๐œ‹ ๐œ‹ 3๐œ‹ 5๐œ‹ 7๐œ‹ 5๐œ‹ 7๐œ‹ 11๐œ‹
22. ๐‘†
= {6 , 4 ,
23. ๐‘†
= {4 ,
4
,
6
,
6
,
4
,
4
๐œ‹ 3๐œ‹ 7๐œ‹ 5๐œ‹ 7๐œ‹ 11๐œ‹
4
,
6
,
4
,
4
,
6
,
6
}
}
24. E
CASD Vestibulares
MATEMÁTICA
3
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