Matemática Professor: Paulo Tiago EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS a) {60°, 300°} b) {30°, 330°} c) {30°, 150°} d) {30°, 150°, 210°, 330°} e) {15°, 165°, 195°, 345°} EXERCÍCIOS Observação: as questões marcadas com *** exigem conteúdo que ainda não foi visto no curso e podem ser puladas. Nível I 1. Resolva as seguintes equações, em [ 0๐ , 360๐ ]: a) 2 ๐ ๐๐ ๐ฅ โ 1 = 0 b) โ2 ๐ ๐๐ ๐ฅ + 1 = 0 2 c) 2๐ ๐๐ ๐ฅ + 2 = 0 d) 2๐ ๐๐2 ๐ฅ โ 5 ๐ ๐๐ ๐ฅ + 2 = 0 2 e) 2 cos ๐ฅ = 1 โ ๐ ๐๐๐ฅ 10. (FGV - 01) Resolva as seguintes equações trigonométricas: 2 a) sen x = , onde 0 โค x โค 2ฯ 2 b) sen x = cos2x, onde 0 โค x โค 2ฯ 11. (PUCRJ - 08) Assinale o valor de ฮธ para o qual sen 2ฮธ = tg ฮธ. a) ฯ/2 b) ฯ/3 c) 2ฯ/3 d) 4ฯ/3 e) 3ฯ/4 2. Resolva as seguintes equações, em [0, 2๐]: b) cos ๐ฅ = 0 c) 2๐๐๐ 2 ๐ฅ = cos ๐ฅ e) 3๐ก๐2 ๐ฅ โ 1 = 0 a) 2 cos ๐ฅ + 1 = 0 d) cos 2๐ฅ = cos ๐ฅ 3. (CESGRANRIO - 90) O número de raízes reais da equação (3/2) + cosx = 0 é: a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) maior do que 3. b) {ฯ/3} e) {ฯ/4, 5ฯ/4} c) {5ฯ/4} c) 2 d) 3 b) 2ฯ c) 3ฯ d) 4ฯ e)6๐ 13. Resolva as seguintes equações, em โ e graus: b) 2๐ ๐๐2 ๐ฅ โ 1 = 0 d) 2๐ ๐๐2 ๐ฅ + 3 ๐ ๐๐ ๐ฅ + 1 = 0 *** 15. (MACKENZIE - 01) As soluções positivas de sen 2x = 2 sen2 x, com sen x โ 0, formam uma sequência que é uma: e) 4 a) PA de razão ฯ/2 e primeiro termo ฯ/4. b) PA de razão 2ฯ e primeiro termo 3ฯ/4. c) PA de razão ฯ e primeiro termo ฯ/4. d) PG de razão 3 e primeiro termo ฯ/4. e) PG de razão 3 e primeiro termo 3ฯ/4. e) 5ฯ 8. (FATEC - 95) O conjunto solução da equação 2cos2x + cosx - 1 = 0, no universo U = [0, 2ฯ], é: a) {ฯ/3, ฯ, 5ฯ/3} b) {ฯ/6, ฯ, 5ฯ/6} c) {ฯ/3, ฯ/6, ฯ} d) {ฯ/6, ฯ/3, ฯ, 2ฯ/3, 5ฯ/3} e) {ฯ/3, 2ฯ/3, ฯ, 4ฯ/3, 5ฯ/3, 2ฯ} 16. (UFRRJ - 99) O número de soluções da equação 2cos2x - 3cosx - 2 = 0 no intervalo [0, ฯ] é a) 0 9. (UNIRIO - 98) O conjunto-solução da equação cos 2x = 1/2, onde x é um arco da 1a volta positiva, é dado por: CASD Vestibulares d) 5๐ d) ๐ก๐ ๐ฅ = โ3 e) ๐ ๐๐ ๐ฅ + cos ๐ฅ = 0 7. (FGV - 03) No intervalo [0, 2ฯ], a equação trigonométrica sen 2x = sen x tem raízes cuja soma vale: a) ฯ c) 4๐ a) โ2 cos ๐ฅ + 1 = 0 b) 2๐๐๐ 2 ๐ฅ โ 3 cos ๐ฅ + 1 = 0 c) 4๐๐๐ 2 ๐ฅ โ 3 = 0 6. (CESGRANRIO- 93) O número de soluções da equação sen2x=2sen x, no intervalo [0,2ฯ], é: b) 1 b) 3๐ 14. Resolva as seguintes equações, em โ e em radianos: 5. (PUCRJ - 99) Quantas soluções de sen(x) + cos(x) = 0 existem para x entre 0 e 2ฯ? a) 0 a) 2๐ a) 3 ๐ ๐๐ ๐ฅ + 3 = 0 c) ๐ ๐๐2 ๐ฅ = ๐ ๐๐ ๐ฅ 4. (UNIRIO - 00) O conjunto-solução da equação senx=cosx, sendo 0 โค x < 2ฯ, é: a) {ฯ/4} d) {ฯ/3, 4ฯ/3} 12. (FUVEST โ 02) A soma das raízes da equação ๐ ๐๐2 ๐ฅ โ 2๐๐๐ 4 ๐ฅ = 0, que estão no intervalo [0, 2๐] é: b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 17. (FATEC - 98) Sejam as equações A: tgx = sen2x e B: cos2x = 1/2. Sobre as sentenças abaixo: I. As equações A e B têm exatamente as mesmas soluções. II. A equação B tem soluções x = (ฯ/4) + (kฯ/2), com k MATEMÁTICA 1 โ Z.. III. No intervalo 0 โค x โค ฯ/2 a equação A tem soluções x = 0 e x = ฯ/4. é verdade que a) somente a I é falsa. b) somente a II é falsa. c) somente a III é falsa. d) todas são verdadeiras. e) todas são falsas. Nível II x2 18. (UFRJ - 04) A equação possui raízes reais iguais. Determine ฮธ, 0 โค ฮธ โค 2ฯ. - 2xcosฮธ + sen2ฮธ =0 ๏ฆฯ๏ถ ๏ท + 2kฯ ๏จ4๏ธ ๏ฆฯ๏ถ ๏ท + 2kฯ c) ฯ โ kฯ ๏จ2๏ธ ๏ฆฯ๏ถ e) ฯ โ 2kฯ ± ๏ง ๏ท ๏จ9๏ธ a) ฯ โ ๏ง b) ฯ โ ๏ง d) ฯ โ 2kฯ 26. (FUVEST โ 05) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação ๏ฆ3๏ถ ๏จ2๏ธ (cos2ฮฑ) x2 - (4 cosฮฑ senฮฒ) x + ๏ง ๏ท senฮฒ = 0, sendo ฮฑ e ฮฒ os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura a seguir. *** 19. (UFSCAR - 07) O conjunto solução da equação sen [ (8ฯ/9) + (8ฯ/27) + (8ฯ/81) ... ] = cos x, com x โ [0,2ฯ[, é a) {2ฯ/3, 4ฯ/3}. b) {5ฯ/6, 7ฯ/6}. c) {3ฯ/4, 5ฯ/4}. d) {ฯ/6, 11ฯ/6}. e) {ฯ/3, 5ฯ/3}. 20. (FUVEST โ 99) Ache todas as soluções da equação Pode-se então afirmar que as medidas de ฮฑ e ฮฒ são, respectivamente, ๐ ๐๐3 ๐ฅ๐๐๐ ๐ฅ โ 3๐ ๐๐๐ฅ๐๐๐ 3 ๐ฅ = 0 no intervalo [0,2๐) a) sen4x 21. (MACKENZIE - 03) Se pode pertencer ao intervalo: a) [ฯ/4, 3ฯ/4] d) [ฯ/6, ฯ/3] =1+ cos2x, então x ๐ 8 e 3๐ 8 b) ๐ e 6 ๐ c) 3 b) [0, ฯ/6] c) [ฯ, 5ฯ/4] e) [5ฯ/3, 2ฯ] 23. (FUVEST - 02) Determine as soluções da equação (2cos2x + 3senx) (cos2x - sen2x) = 0 que estão no intervalo [0,2ฯ]. ๐ 4 d) ๐ 3 e ๐ 6 e) 3๐ 8 e ๐ 8 28. (UFV - 99) Determine todos os pares (x,y) de números reais que satisfazem o sistema a seguir: 2 2 ๏ฌ ๏ฏsen x ๏ฝ sen 2y ๏ญ 2 2 ๏ฏ ๏ฎcos x ๏ฝ sen y sendo 0 โค x โค ฯ e 0 โค y โค ฯ (Dica: some as duas equações do sistema). GABARITO {30๐ c) 0 < x < ฯ/6 *** 25. (UNIRIO - 95) Para que a matriz a seguir, seja inversível, é necessário que: ๐} 1. a) ๐ = , 150 b) ๐ = {225๐ , 315๐ } c) ๐ = โ d) ๐ = {30๐ , 150๐ } e) ๐ = {90๐ , 210๐ , 330๐ } 2. a) b) ๐ 2 e 3 tg x + 2 cos x = 3 sec x. 24. (FEI - 96) Se s = sen(x), 5s2 + s - 4 = 0 e 0 โค x โค ฯ/2 então: b) 0 < x < ฯ/4 e) ฯ/4 < x < ฯ/2 4 27. (UFMG - 94) Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo (0, ฯ) que satisfazem a equação 22. (FUVEST - 05) Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0, 2ฯ] que satisfazem a equação cos2 2x = (1/2) - sen2 x. a) x = 0 d) x = ฯ/2 ๐ 2๐ 4๐ ๐={3 , ๐ 3๐ ={ , } } 2 2 ๐ ๐ 3๐ 5๐ c) ๐ = {3 , 2 , d) ๐ = {0, e) ๐ = {6 , MATEMÁTICA 3 , 2 3 2๐ 4๐ , } , 2๐} 3 3 ๐ 5๐ 7๐ 11๐ 6 , 6 , 6 } CASD Vestibulares 3. A 25. C 4. E 26. D 5. 2 soluções 27. ๐ 6. C 6 } ๐ 7. D ๐ ๐ (๐ฅ, ๐ฆ) = (0, ) ๐๐ข (๐ฅ, ๐ฆ) = ( , ) ๐๐ข 2 ๐ 5๐ 28. ๐ = (๐ฅ, ๐ฆ) = ( , 8. A 3 ) ๐๐ข (๐ฅ, ๐ฆ) = ( 6 2๐ 5๐ { (๐ฅ, ๐ฆ) = ( 3 , 9. D 10. ๐ ๐ 5๐ = {6 , ๐ 5๐ 3๐ = {6 , 6 , 2 6 3 6 2๐ ๐ 3 , ) ๐๐ข 6 ๐ ) ๐๐ข (๐ฅ, ๐ฆ) = (๐, ) 2 } } 11. E 12. C 13. a) ๐ = {๐ฅ โ โ / ๐ฅ = 270๐ + 360๐ ๐, ๐ โ โค} b) ๐ = {๐ฅ โ โ / ๐ฅ = 45๐ + 90๐ ๐, ๐ โ โค} c) ๐ = {๐ฅ โ โ / ๐ฅ = 180๐ ๐ ๐๐ข ๐ฅ = 90๐ + 360๐ ๐, ๐ โ โค} ๐ฅ โ โ/ ๐ฅ = 210๐ + 360๐ ๐ ๐๐ข ๐ฅ = 270๐ + 360๐ ๐ d) ๐ = { } ๐๐ข ๐ฅ = 330๐ + 360๐ ๐, ๐ โ โค ๐ฅ โ โ/ ๐ฅ = 14. a) ๐ = { 3๐ 4 + 2๐๐ ๐๐ข ๐ฅ = 5๐ ๐โโค ๐ 4 + 2๐๐, } ๐ฅ โ โ/ ๐ฅ = 2๐๐ ๐๐ข ๐ฅ = + 2๐๐ ๐๐ข ๐ฅ = 3 b) ๐ = { ๐โโค ๐ 5๐ 6 6 c) ๐ = {๐ฅ โ โ/ ๐ฅ = + ๐๐ ๐๐ข ๐ฅ = 5๐ 3 + 2๐๐, } + ๐๐, ๐ โ โค} ๐ d) ๐ = {๐ฅ โ โ/ ๐ฅ = + ๐๐, ๐ โ โค} 3 3๐ e) ๐ = {๐ฅ โ โ/ ๐ฅ = 4 + ๐๐, ๐ โ โค} 15. C 16. B 17. A 18. ๐ ๐ 3๐ 5๐ 7๐ = {4 , 4 , , 4 4 } 19. B 20. ๐ ๐ ๐ 2๐ = {0, 3 , 2 , 3 , ๐, 4๐ 3๐ 5๐ 3 , 2 , 3 } 21. A ๐ ๐ 3๐ 5๐ 7๐ 5๐ 7๐ 11๐ 22. ๐ = {6 , 4 , 23. ๐ = {4 , 4 , 6 , 6 , 4 , 4 ๐ 3๐ 7๐ 5๐ 7๐ 11๐ 4 , 6 , 4 , 4 , 6 , 6 } } 24. E CASD Vestibulares MATEMÁTICA 3