Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 11,4, 637-643(1995)
O METODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
APLICADO A 0 PROBLEMA DA ONDA ESCALAR:
DERIVADAS ESPACIAIS E TEMPORAL
J.A.M. CARRER
e
W.J. MANSUR
COPPE/UFRJ Programa de Engenharia Civil
Caixa Postal 68506
CEP 21945-970 Rio de Janeiro, RJ - Brasil
As equacóes correspondentes As derivadas espaciais e temporal da representacáo integral
de Volterra do problema de propagacáo da onda escalar sáo escritas empregando-se o conceito
de parte finita da integral. Admitindo variacóes linear e constante para o potencial e sua
derivada na direcáo normal, respectivamente, a integras50 no tempo é efetuada analiticamente.
Apresenta-se, no final do trabalho, um exemplo para testar a eficiencia da formulacáo,
comparando-se as respostas numérica e analítica.
SUMMARY
The equations corresponding to spatial and time derivatives of the Volterra integral
representation of the scalar wave propagation problem are written using the concept of the
finite part of the equation. Allowing linear variations for the potential and constant variation
for its normal derivative, time integration is performed analytically. An example is presented
to test the efficiency of the formulation, comparing numerical and analytical solutions.
Os estudos d a elastodiniimica e do problema de propagacáo d a onda escalar
constituem u m a das mais interesantes aplicaqóes do método dos elementos de contorno.
Após o trabalho inicial d e Mansur4, muitas aplicacóes práticas foram apresentadas nos
últimos
demonstrando a eficiencia e justificando o emprego do método dos
elementos de contorno para a soluciio d e problemas que envolvem a variável tempo.
Alguns problemas ainda estiio em fase de estudo hoje em dia; entre eles, os d a obtenciio
das equacóes integrais para o cálculo das tensóes n a elastodiniimica e das derivadas do
potencial no problema escalar.
Recibido: Enero 1995
OUniversitat Politecnica de Catalunya (España)
ISSN 0213-1315
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J.A.M. CARRER E W.J. MANSUR
O problema de propagaciio da onda escalar é representado pela equaqiio abaixo (J
é o ponto fonte, X , o ponto campo e I' e R representam, respectivamente, o contorno
e o domínio):
+1J
c
{[u'(X't;
n
r
-
b : ( ~ , t; J)] uo(X)
Na equaciio acima, u(X, 7) é
na direqiio normal e
O
+ u:(X,
t; J )
auo ( X >
-a;-}
dn(X)
potencial, p(X, r) = au(X, r ) / a n , a sua derivada
u*(X,t; J , r) = U*(X,t; J , r)H[c(t - r) - r]
(2)
é a soluqao fundamental, com
onde r = Ir1 é a distancia entre X e J.
Os termos com índice zero se referem ao estado inicial (r = 0); na terceira integral
de contorno A direita da igualdade e nas integrais de domínio da equaqiio (l),tem-se
Adicionalmente
Na equaciio (l),o síiiibolo krepresenta a parte finita da integral3 e é definido como
segue (note-se que u; (X, t; J, 7) = U,*(X,t; J , 7)H [ ~ (-t 7) - TI):
=
lim
.r-tt-r/c
{AT
U:(X, t; J, r ) u ( X , r ) d r
1
- C
u*(x,t; J , T)U(X, T)}
O MEC APLICADO A 0 PROBLEMA DA ONDA ESCALAR
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DERIVADAS ESPACIAIS
A derivada da equaqiio (l), para pontos internos (c([) = l), em uma direqiio
genérica m((), tem a seguinte representaqiio (condiqoes iniciais nao siio incluídas neste
trabalho) :
a u ( r 1 t)
47r am(E>
u: (X, t; [, r)p(X, 7)d7(r0 . mO)dr(X)-
i, K (lt+
U:
+
(X, t; [, T)u(X,T
) ~ T
(rO. m') (rO no) dF(X)
Na equaqiio (7), as duas primeiras partes finitas das integrais em T ii direita da
igualdade devem ser interpretadas como representado pela equaqiio (6). A derivada da
parte finita, por sua vez, é definida como segue
com
Os vetores unitários r o lm 0 e no, presentes na equaqiio (7), estiio representados na
Figura 1
Figura 1. Definicáo dos vectores unitários
J.A.M. CARRER E W.J. MANSUR
A equactio (7) pode ser particularizada quando o vetor m0 coincide com os vetores
unitários i e j do sistema de coordenadas cartesiano, possibilitando o cálcillo de
a u ( x , T ) / ~ ex a u ( x , ay.
DERIVADA TEMPORAL
A derivada em relastio ao tempo da equactio (1) (c(J) = 1)tem a seguinte expresstio
A parte finita da integral no tempo do primeiro termo
equastio (lo), é definida como segue:
t+
t; J1T)P(X,T
) ~ T=
iim
T+t-r/c
{JIT
A direita da igualdade, na
U: (x,t; E, r)p(X, r ) d r
-
(11)
onde
A derivada da parte finita tem a seguinte expressáo
+ u; (X, t ;5; r)u(X, T) - -1 U* (X, t ;<,7)
u(X, T ) ~ T +
(13)
C
Para a resoluqáo numérica do problema, sáo adotadas variasoes linear e constante
para u(X, T ) e p(X, T), respectivamente. A integractio no tempo nas equaqoes (l),
(7) e (10) é efetuada analiticamente. Considerando um intervalo de tempo qualquer
tl « T « tl+l, tem-se
O MEC APLICADO A 0 PROBLEMA DA ONDA ESCALAR
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onde (ver Figura 2)
É importante observar que os resultados da integraqiio analítica devem ser
particularizados conforme a posiqiio da frente de onda5.
Figura 2. Funcóes de interpolacáo
O exemplo apresentado consiste em uma barra uni-dimensional, de dimensoes a
e b (b = a/2), fixa em uma de suas extremidades e sujeita a uma carga aplicada
instantaneamente em t = O igual a Ep, como indicado na Figura 3 (E é o módulo de
elasticidade longitudinal do material).
Figura 3. Condicóes de contorno e definicóes geométricas
O contorno foi discretizado com o emprego de vinte e quatro elementos lineares de
mesmo comprimento (Figura 4) e o tempo, subdividido em intervalos iguais tais que
,6 = (cAt/l) = (0,6), onde 1 é o tamanho do elemento.
Siio apresentados, nas Figuras 5, 6 e 7, os resultados relativos ao ponto A(a/2, b/2),
correspondentes a u, p, = a u l d x e v = a u l a t e as respectivas soluqoes analíticas.
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l*?
.l
Figura 4. Malha de elementos de contorno
Figura 5. Ponto A (a/2,b/2): resultados relativos a u
A--,
-0.500.00
2 O0
4 .O0
ti
00
ct/u
8 O0
Figura 6. Ponto A (a/2,b/2): resultados relativos a p,
O MEC APLICADO A 0 PROBLEMA DA ONDA ESCALAR
Figura 7. Ponto A (a/2,b/2): resultados relativos a v
O procedimento apresentado neste trabalho, baseado n a aplicas50 do conceito de
parte finita d a integral, é inteiramente análogo5 iquele baseado n a regularizaq50 das
integrais no tempo4. O cálculo preciso das derivadas, através das correspondentes
equasoes integrais, estimula implementaqoes posteriores, tais como o cálculo de tensoes
n a elastodinamica e a inclus5o das condisoes iniciais, tanto para o problema tratado
aqui como para a elastodiniimica.
1. H. Antes and 0. Von Estorff, "On FEM-BEM Coupling for Fluid-Structure Interation
Analyses in the Time Domain", Int. J. Num. Meth. Engng., Vol. 31, pp. 1151-1168,
(1991).
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Stress Intensity Factor Computations", Int. J. Num. Meth. Engng., Vol. 33, pp. 635647, (1992).
3. J. Hadamard, "Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations"~
Dover Publications, New York, (1952).
4. W.J. Mansur, "A Time-stepping Technique to Solve Wave Propagation Problems Using the
Boundary Element Method', Ph.D. Thesis, University of Southampton, England, (1983).
5. W.J. Mansur and J.A.M. Carrer, "Two-dimensional Transient BEM Analysis for the Scalar
Wave Equation: Kernels", Eng. Anal. with Boundary Elements, Vol. 12, pp. 283-288,
(1993).