INSTITUTO DE PESQUISAS ENERGÉTICAS E NUCLEARES
S E C R E T A R I A DA INDÚSTRIA. C O M É R C I O , C I Ê N C I A E T E C N O L O G I A
A U T A R Q U I A A S S O C I A D A À UNIVERSIDADE DE S A O P A U L O
APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS NA SOLUÇÃO
DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO EM ESTADO ESTACIONÁRIO
SHIZUCA ONO
Oiasertaçâo apr«8«ntada ao Institiito de
Pesquisas Energéticas e Nucleares como
fwrta dos requisitos para obtenção do
grau de 'Mestre na Área de Concentração
em Reatores Nucleares de Potônda e
Tecnologia do Combustível Nuclear".
Orientador: Dr. José Rubens Maiorino
512.4
São Paulo
1982
INSTITUTO
DE
SECRETARIA
DO
ENERGÉTICAS
DA INDUSTRIA,
AUTARQUIA
APLICAÇÃO
PESQUISAS
COMÉRCIO,
ASSOCIADA À
MÉTODO
DOS
E
CIÊNCIA
UNIVERSIDADE
ELEMENTOS
NUCLEARES
E TECNOLOGIA
DE SAO PAULO
FINITOS
NA
SOLUÇAO
D A E Q U A Ç Ã O DE D I F U S A O EM E S T A D O E S T A C I O N A R I O
Shizuca O no
Oissertaçío
Pesquisas
parte
apresentada
Energéticas
d o s requisitos
ao InAituto de
e Nudeares
para
como
obtençío
do
grau d e " M e s t r e n a A n a d a C o n o e n t r a ç l o
em
Reatores
Nucleares
Tecnologia d o Combustível
de Potinda
e
Nudear".
O r i e n t a d o r : D r . J o s é Rubens Maiorino
SÃO
PAULO
1982
I N S T I T U T O D E P E S O U S A S E v E R G É tiC"^ S E N U C L E A R E S
I. P . E . N .
^0
INSTlTUiO OE PESOU
J a m i l ,
:SASEt^^ïkoïV|C*S
1. P. E . N .
E NUCLEARES
AGRADECIMENTOS
Ao D r . J o s é R u b e n s M a i o r i n o p e l a o r i e n t a ç ã o
g r a n d e a p o i o p r e s t a d o na r e a l i z a ç ã o d e s t e
trabalho.
Ao J o s é L u i z B a t i s t a e M i t s u o
auxilio e colaboração
na e x e c u ç ã o d e s t e
Ao G e l s o n T o s h i o O t a n i
e
Yamaguchi
pelo
trabalho.
pela a j u d a
na
parte
computacional .
A G a i a n ê S a b u n d j i a n pelo i n c e n t i v o e c o o p e r a ção .
S PRONUCLEAR
pela contribuição
A t o d o s os c o l e g a s do C e n t r o
financeira.
de
Engenharia
N u c l e a r q u e de a l g u m m o d o c o l a b o r a r a m na e x e c u ç ã o d e s t e tra^
balho.
A N e u s a p e l o t r a b a l h o de d a t i l o g r a f i a .
APLICAÇÃO
DO M É T O D O DOS E L E M E N T O S F I N I T O S NA S O L U Ç Ã O
E Q U A Ç Ã O DE D I F U S A O EM E S T A D O
SHIZUCA
DA
ESTACIONARIO
ONO
RESUMO
A s o l u ç ã o da e q u a ç ã o
de d i f u s ã o de n e u t r o n s e m esta^
do e s t a c i o n a r i o e o b t i d a a t r a v é s do m é t o d o d o s e l e m e n t o s
tos.
Especificamente, usa-se a técnica variacional
finj_
para pro-
b l e m a s em uma d i m e n s ã o e o m é t o d o dos r e s T d u o s p o n d e r a d o s
(Ga
l e r k i n ) p a r a p r o b l e m a s e m uma ou d u a s d i m e n s õ e s . E l e m e n t o s rie
t a n g u l a r e s são u t i l i z a d o s
e o f l u x o de n e u t r o n s
p a r a a d i v i s ã o do d o m í n i o
é aproximado
dimensional) e função bilinear
espacial
por f u n ç ã o linear (caso [ini_
(caso b i d i m e n s i o n a l ) .
R e s u l t a d o s n u m é r i c o s são o b t i d o s p o r m e i o de um
g r a m a de c o m p u t a d o r e m l i n g u a g e m F O R T R A N
pr£
IV, e c o m p a r a d o s
os f o r n e c i d o s p e l o c ó d i g o C I T A T I O N de d i f e r e n ç a s
com
finitas.
Os
r e s u l t a d o s m o s t r a m q u e f u n ç õ e s l i n e a r e s ou b i l i n e a r e s (2D)
não
descrevem satisfatoriamente
n ú c l e o de r e a t o r e s
tam
bons r e s u l t a d o s
os p a r â m e t r o s
diferenciais
com grande h e t e r o g e n e i d a d e s ,
p a r a os p a r â m e t r o s
integrais
para
mas a p r e s e n como o fator
de mui ti pli c a ç ã o .
I N S T I T U t O D E P E S Q U ' S A S ENER6ÉT|C"S E N U C L E A R E S
I, P . E . N .
ON THE A P P L I C A T I O N O F F I N I T E E L E M E N T M E T H O D
OF S T E A D Y S T A T E D I F F U S I O N
SHIZUCA
IN T H E S O L U T I O N
EQUATION
ONO
ABSTRACT
The s o l u t i o n of the s t e a d y s t a t e n e u t r o n
equation
is
Specifically
sional
o b t a i n e d by u s i n g
the
variational
approach
problems.
method
dimensional
(one d i m e n s i o n a l
results
domain
f l u x is
is
ap­
c a s e ) , a n d bilinear (two-
are o b t a i n e d w i t h
computer program and compared with
a
those obtained by
FORTRAN
the
IV
finite
C I T A T I O N c o d e . T h e r e s u l t s s h o w t h a t l i n e a r or b i ­
linear f u n c t i o n s ,
parameters
dimen­
case) functions.
Numerical
difference
method.
(Galerkin)
The spatial
into r e t a n g u l a r e l e m e n t s a n d the n e u t r o n
p r o x i m a t e d by l i n e a r
do not satisfactorily d e s c r i b e
in h i g h l y h e t e r o g e n e o u s
good results for
factor.
element
is u s e d f o r o n e
problems and the w e i g h t e d residual
for one a n d two d i m e n s i o n a l
divided
the f i n i t e
diffusion
integral
the
differential
reactor c a s e s , but
parameters
s u c h as
provide
multiplication
Í N D I C E
Pãg
CAPITULO
I
1
1.1
- Introdução
1.2-
Histórico
2
1.3
- C a m p o de a p l i c a ç ã o do M E F
4
1.4
- A p l i c a ç ã o em f T s i c a de r e a t o r e s
4
1.5
- O u t r a s t é c n i c a s de s o l u ç ã o da e q u a ç ã o
1.6
CAPITULO
1
de
difusão
6
1.5.1
- M é t o d o das d i f e r e n ç a s f i n i t a s
6
1.5.2
- M é t o d o de s T n t e s e
8
1.5.3
- Métodos nodais
8
1.5.4
- M é t o d o de M o n t e C a r i o
9
-Objetivo
do t r a b a l h o
10
II
11
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
DO M E F EM F i S I C A DE R E A -
TORES
CAPITULO
11
III
19
O MEITODO DOS E L E M E N T O S F I N I T O S
CAPITULO
3.1
- Técnica variacional
3.2
- T é c n i c a dos R e s T d u o s
(GERAL)
19
21
Ponderados
22
IV
A P L I C A Ç Ã O DO M E F EM P R O B L E M A DE F l S I C A DE R E A TORES
24
4.1
26
- A E q u a ç ã o de d i f u s ã o
, NUCLEARES
Pãg
4.2
- Técnica variacional
4.3
- Técnica dos resTduos
28
ponderados
32
CAPITULO V
CAPITULO
RESULTADOS NUMÉRICOS
40
5.1
- Problema
1
41
5.2
- Problema
2
43
5.3
- Problema 3
49
5.4
- Problema 4
55
5.5
- Problema
61
5
VI
CONCLUSÃO
E TRABALHOS FUTUROS
69
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
70
APÊNDICE A
PRINCIPIOS VARIACIONAIS
E A SOLUÇAO
DA
EQUAÇAO
DE D I F U S A O
76
APÊNDICE B
ALGORITMO
MULTIGRUPO
PARA A S O L U Ç A O DA E Q U A Ç Ã O DE
DIFUSAO
78
ÍNDICE
DAS
FIGURAS
Pãg,
Fig,1.5,1
- I l u s t r a ç ã o da d i s c r e t i z a ç a o e s p a c i a l
utili-
z a d a pelo m é t o d o de d i f e r e n ç a s f i n i t a s .
Fig.3.1
- I l u s t r a ç ã o do d o m i n i o do p r o b l e m a
contorno
Fig.4,1
(íí) e s e u
( 9 ^ ) , d o m i n i o do e l e m e n t o
seu contorno
7
(Í2 )
(9íí^) em d u a s d i m e n s õ e s
e
(X-Y).
- I l u s t r a ç ã o da e s t r u t u r a de m u l t i g r u p o
de
energia.
Fig,4.2.1
25
- I l u s t r a ç ã o da g e o m e t r i a u n i d i m e n s i o n a l
com
os el e m e n t e s .
Fig.4.3,1
- Discretizaçao
30
bidimensional
(X-Y).
35
F i g . 4 . 3 . 2 - E s t r u t u r a das m a t r i z e s .
Fig.5.1.1
Fig.5.2.1
- Geometria e constantes nucleares
blema celular.
28
p a r a o pr^o
41
- G e o m e t r i a e s q u e m á t i c a do r e a t o r do
problema
2.
44
F i g . 5 . 2 . 2 - F l u x o t é r m i c o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a 2.
Fig.5.3.1
- Geometria, dimensões e condições
47
de c o n t o r -
no para o p r o b l e m a 3.
F i g . 5 . 3 . 2 - D i s p o s i ç ã o da m a l h a
49
(8x8) do r e a t o r do p r o -
b l e m a 3.
Fig.5.3.3
- D i s t r i b u i ç ã o de p o t e n c i a n o r m a l i z a d a do
b l e m a 3.
20
50
pro
51
Pãg
F i g . 5 . 3 . 4 - F l u x o r á p i d o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a 3 na
pos i ção y = 15 c m .
52
F i g . 5 . 3 . 5 - F l u x o t é r m i c o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a
na
p o s i ç ã o y = 15 c m .
53
Fig.5.4.1
- G e o m e t r i a do ZION-1 .
Fig.5.4.2
- A r r a n j o das m a l h a s do ZION-1
no p r o g r a m a .
Fig.5.4.3
3
55
para
entrada
57
- D i s t r i b u i ç ã o de p o t ê n c i a n o r m a l i z a d a
ZION-1
do
(problema 4 ) .
58
F i g . 5 . 4 . 4 - F l u x o r á p i d o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a 4 na
posição y = 78,485 cm,
Fig.5.4.5
- Fluxo
59
t é r m i c o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a 4 na
posição y = 78,485 cm.
60
Fig.5.5.1
- G e o m e t r i a do r e a t o r 2 D - I A E A .
Fig.5.5,2
- D i s p o s i ç ã o da m a l h a do 2 D - I A E A p a r a e n t r a da
Fig.5,5,3
62
no p r o g r a m a ,
- Distribuição
64
da p o t ê n c i a n o r m a l i z a d a do pro^
b l e m a 5,
65
F i g . 5 . 5 . 4 - F l u x o r á p i d o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a 5
na
p o s i ç ã o y = 1 0 0 , 0 cm
Fig.5.5.5
66
- F l u x o t é r m i c o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a 5
na
pos i ção y = 1 0 0 , 0 cm .
Fig,B,2,1
- Ilustração dos pontos
67
para i n t e g r a ç ã o
dupla
81
numéri c a ,
INSTITUTO O EP E O Q U ' S A é E N E R G É T t G » S E NUCLEAP^fiS
I. P . È . N .
Pãg.
F i g . B.3.T
- Estrutura
F i g . B.3.2
- Fluxograma
do p r o g r a m a
do p r o g r a m a
82
84
I N D I C E DAS
TABELAS
Pãg
Tab.5.1.1
- F a t o r de d e s v a n t a g e m t é r m i c a
( Ç ) do p r o -
blema 1 .
42
Tab.5,2.1
- Constantes
Tab.5.2.2
- V a l o r e s do Kef do p r o b l e m a
Tab.5.2.3
- Erro do Kef d e s s e t r a b a l h o em r e l a ç ã o
do C I T A T I O N
n u c l e a r e s do p r o b l e m a 2.
44
2.
45
ao
( problema 2 )
45
T a b . 5 . 2 . 4 - V a l o r e s do (}>( x )/(()( O ) do p r o b l e m a 2.
Tab.5.3.1
46
- V a l o r e s do f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o do pro^
b l e m a 3.
50
Tab.5.4.1
- Constantes
n u c l e a r e s do Z I O N - 1 .
Tab,5.5.1
- C o n s t a n t e s n u c l e a r e s do 2 D - I A E A .
Tab.5.7
- V a l o r e s do f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o d o s
blemas 4 e 5
56
63
pro
68
CAPITULO I
1.1.
INTRODUÇÃO
A a n a l i s e de m u i t o s
f e n ô m e n o s na n a t u r e z a c o n d u z
m o d e l o s m a t e m á t i c o s c o m p l e x o s q u e r e s u l t a m em e q u a ç õ e s
a
dife-
r e n c i a i s ou T n t e g r o - d i f e r e n c i a i s , que p r o c u r a m d e s c r e v e r o c o m
p o r t a m e n t o do f e n ô m e n o . São f r e q u e n t e s as s i t u a ç õ e s o n d e solu^
ções analíticas
rigorosas
te e n c o n t r a d a s ou m e s m o
p a r a e s t e s m o d e l o s não são facilmejn
são i n e x i s t e n t e s . U m a a l t e r n a t i v a
ria s i m p l i f i c a r o m o d e l o m a t e m á t i c o q u e d e s c r e v e
f í s i c o em e s t u d o
o
fenômeno
para se o b t e r u m a e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l
vel de ser a n a l i t i c a m e n t e
possT
solucionável. Entretanto, a
g e m em o b t e r - s e s o l u ç õ e s a n a l í t i c a s , e p o r t a n t o
se-
vanta-
" e x a t a s " , é dj_
minuTda
p e l o f a t o de t e r - s e m o d e l a d o o s i s t e m a f í s i c o de
maneira
não r e a l í s t i c a , e p o r t a n t o , e s s a s e q u a ç õ e s , a s s i m o b -
t i d a s , não d e s c r e v e r i a m
r i g o r o s a m e n t e o f e n ô m e n o em
uma
análise.
Uma o u t r a m a n e i r a de se c o n t o r n a r as d i f i c u l d a d e s de c á l c u l o ,
é u s a r t é c n i c a s n u m é r i c a s que l e v a m ãs s o l u ç õ e s
madas devido a discretizaçao
das variáveis e n v o l v i d a s .
a d v e n t o dos m o d e r n o s c o m p u t a d o r e s
tizações
t a m b é m aproxJ_
é possível
obter-se
Com o
discre-
tão p e q u e n a s q u a n t o se q u e i r a , e m b o r a r e s t r i t a
l i m i t a ç õ e s do c o m p u t a d o r . A s s i m as t é c n i c a s n u m é r i c a s
ram m a i o r e s
perspectivas
e e s t ã o s e n d o c a d a vez m a i s
pelas
ganha-
emprega-
d a s nas s o l u ç õ e s das e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s , p e r m i t i n d o
então
m o d e l o s f i n a i s m a i s r e a l í s t i c o s , e m b o r a não f o r n e c e n d o
resul-
tados
"exatos".
Com o a u m e n t o da c a p a c i d a d e d o s c o m p u t a d o r e s
digi-
t a i s , s u r g i u na c o m u n i d a d e c i e n t i f i c a um " c o n s e n s o "
de
qualquer problema
por m e i o
p o d e ser s o l u c i o n a d o n u m e r i c a m e n t e
do c o m p u t a d o r . E n t r e t a n t o , m e s m o s a b e n d o - s e do e n o r m e
cial
que
poten-
dos m é t o d o s n u m é r i c o s e da c a p a c i d a d e da m á q u i n a , i n ú m e -
ros p r o b l e m a s são a i n d a
impossíveis, e alguns casos
impraticã
v e i s , de s e r e m s o l u c i o n a d o s m e s m o n u m e r i c a m e n t e . T a i s
limita-
ç õ e s o c o r r e m por v á r i a s r a z õ e s ; uma d e l a s é a l i m i t a ç ã o
do a i m p o s s i b i l i d a d e de c e r t o s
problemas serem modelados
devicom-
p l e t a m e n t e , e o u t r a é a n e c e s s i d a d e de um t e m p o de
computador
p r o i b i t i v o para o c á l c u l o n u m é r i c o . A s o l u ç ã o p a r a tais impas^
ses e n v o l v e r i a um m a i o r d e s e n v o l v i m e n t o
tecnológico
o b t e r m a i o r e f i c i ê n c i a da m á q u i n a e d e s e n v o l v i m e n t o
para
se
de t é c n i -
cas numéricas mais p o d e r o s a s . Desta forma é crescente a
q u i s a em t é c n i c a s n u m é r i c a s , v i s a n d o a t i n g i r e s t e s
D e n t r e as v á r i a s t é c n i c a s , o m é t o d o d o s
finitos
pes-
objetivos.
elementos
( M E F ) , o b j e t o de e s t u d o d e s t e t r a b a l h o , é c o n s i d e r a d o
c o m o uma das m a i s
bre outras
promissoras, devido a certas vantagens
t é c n i c a s , c o m o : u t i l i z a ç ã o de m a l h a s
so-
relativamente
g r a n d e s , e m p r e g o de f u n ç õ e s de a l t a o r d e m , v e r s a t i l i d a d e
m o d e l a g e m de g e o m e t r i a s
na
irregulares, etc.
1 .2.HISTÓRICO
O M E F 7 6 , 1 8 , 2 4 , 4 4 / , c o m o um i n s t r u m e n t o de a n á l i s e ,
foi
i n i c i a l m e n t e u s a d o em p r o b l e m a s de m e c â n i c a e s t r u t u r a l
e n g e n h a r i a c i v i l , mas
logo seu c a m p o de a p l i c a ç ã o foi
na
amplia-
do a o u t r a s á r e a s da e n g e n h a r i a .
E difTcil
sua c o n c e p ç ã o .
e s t a b e l e c e r a sua o r i g e m e o m o m e n t o
O c o n c e i t o de a n á l i s e e s t r u t u r a l
v o l t a de 1 9 0 0 com M a x w e l l , C a s t i g l i a n o e M o h r
/ 1 8 / . Esse conceito
análise matricial
de
surgiu
entre
por
outros
r e p r e s e n t o u o p r i n c í p i o da m e t o d o l o g i a
de e s t r u t u r a , q u e é a b a s e da a n a l i s e
e l e m e n t o s f i n i t o s da m e c â n i c a
de
por
estrutural.
No i n T c i o , o d e s e n v o l v i m e n t o do M E F foi l e n t o , devj_
do a l i m i t a ç õ e s
p r á t i c a s na s o l u ç ã o n u m é r i c a das e q u a ç õ e s a l -
g é b r i c a s , e pelo fato d e s s e m é t o d o e x i g i r c á l c u l o s
vos e m u i t a s v e z e s
neas.
repetiti-
i t e r a t i v o s de c o n j u n t o de e q u a ç õ e s
A s o l u ç ã o m a n u a l , como era f e i t a , t o r n a v a - s e
simultá
trabalho-
sa e i n v i á v e l , l i m i t a n d o - s e a a p l i c a ç ã o do M E F na s o l u ç ã o
p r o b l e m a s s i m p l e s . C o m o d e s e n v o l v i m e n t o da e l e t r ô n i c a
c e r a m os c o m p u t a d o r e s d i g i t a i s na d é c a d a de 1 9 5 0 , e foi
de
aparepossT
vel
e n t ã o s u b s t i t u i r os c á l c u l o s m a n u a i s á r d u o s
e
demorados
pelo cálculo por m á q u i n a , o b t e n d o - s e assim soluções com
r a p i d e z e p r e c i s ã o , e c o m o c o n s e q ü ê n c i a , o M E F t e v e um
maior
rápido
desenvolvimento.
A n t e s de 1950 p o d e - s e c i t a r H r e n i k o f f 7 2 4 / q u e
t r o u que s o l u ç ã o n u m é r i c a do p r o b l e m a e s t r u t u r a l
lido r e g u l a r p o d e r i a ser o b t i d o s u b s t i t u i n d o - o
mos-
p a r a um
só-
por um c o n j u n -
to s i m p l e s de b a r r a s . C o u r a n t 7 2 4 7 , em 1 9 4 3 , s o l u c i o n o u o pro
b l e m a de t o r ç ã o de S t . V e n a n t , a p r o x i m a n d o a f u n ç ã o
em c a d a um dos e l e m e n t o s
deformação
triangulares e formulando a
solução
do p r o b l e m a a t r a v é s do p r i n c i p i o da e n e r g i a p o t e n c i a l
Em 1 9 5 9 , G r e e n s t a d t 7 2 4 7 e s b o ç o u
por d i s c r e t i z a ç a o
envolvendo
uma
mTnima.
aproximação
" c é l u l a s " , isto é , i m a g i n o u o do^
m i n i o do p r o b l e m a d i v i d i d o em um c o n j u n t o de s u b d o m T n i o s
j a c e n t e s . N e s t a t e o r i a , d e s c r e v e u um p r o c e d i m e n t o
sentar a função
qual
incógnita
para
ad-
repre-
por u m a s é r i e de f u n ç õ e s b a s e s
cada
a s s o c i a d a a uma " c é l u l a " , e a n a l i s a n d o o p r i n c i p i o varia^
cional
a p r o p r i a d o em cada
mite usar malhas
" c é l u l a " . A t e o r i a de G r e e n s t a d t per
de f o r m a i r r e g u l a r , e c o n t é m m u i t a s das idéias
essenciais e fundamentais
que s e r v e m de b a s e m a t e m á t i c a
o M E F , como este é conhecido
atualmente.
A p o p u l a r i d a d e do M E F a u m e n t o u na á r e a da
ria no i n T c i o da d é c a d a de 1 9 6 0 , c o m t r a b a l h o s
de W h i t e
- Friedrichs e Turner e seus
White e Friedrichs
para
usaram elementos
engenha-
significativos
colaboradores
724/.
triangulares
p a r a solucio^
nar e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s , a p a r t i r do p r i n c i p i o
variacional.
T u r n e r e seus c o l a b o r a d o r e s
em 1 9 6 7 i n t r o d u z i r a m o m é t o d o
reto da m a t r i z de r i g i d e z , c o m o é c o n h e c i d o h o j e , s e n d o
esses estudos
p e r m i t i r a m a s o l u ç ã o de p r o b l e m a s c o m p l e x o s
dique
da
t e o r i a da e l a s t i c i d a d e . Com o t r a t a m e n t o dos p r o b l e m a s de ela£
t i c i d a d e no p l a n o , por C l o u g h / 5 8 / , em 1 9 6 0 , a e f i c á c i a
M E F foi
do
estabelecida.
As b a s e s m a t e m á t i c a s
com B r e s s e l i n g
do m é t o d o f o r a m
e outros pesquisadores
solidificadas
/ 2 4 / os q u a i s
reconhe-
c e r a m q u e o M E F e r a u m a f o r m a v a r i a n t e do m é t o d o d e R i t z .
A p a r t i r de 1 9 6 5 e s t a t é c n i c a t e v e u m a
interpreta-
ção m a i s a m p l a c o m Z i e n k i e w i c z e C h e u n g / 5 8 / , os q u a i s
verify
c a r a m a s u a a p l i c a b i l i d a d e a t o d a c l a s s e de p r o b l e m a s q u e p o dem
ser moldados
na f o r m a
variacional.
1.3. C A M P O DE A P L I C A Ç Ã O DO M E F
Os t r a b a l h o s
fiiieè,
f ^ r j -
reaViiõQDS.
práticos
iniciais, aplicando esta t e c -
no
aa
carripo
dos s o l i d o s , mais
inecãnica
p r e c i s a m e n t e na á r e a de c á l c u l o e s t r u t u r a l , o n d e a l c a n ç o u
seu
o
m a i s a l t o g r a u de d e s e n v o l v i m e n t o .
A f a i x a de a p l i c a ç õ e s
p o s s T v e i s do M E F e s t e n d e - s e a
q u a s e t o d o s os r a m o s da e n g e n h a r i a , o n d e o c o m p o r t a m e n t o
do
sistema
e-
pode ser descrito por equações d i f e r e n c i a i s . Como
x e m p l o s , e m t r a n s f e r ê n c i a de c a l o r , h i d r o d i n â m i c a , e n g e n h a r i a
hidráulica, engenharia
a e r o e s p a c i a l , e n g e n h a r i a mecânica, etc.
/18,24/. Programas computacionais
ramenta o MEF são disponíveis
elaborados
usando como
fer-
p a r a a n á l i s e da e s t r u t u r a d e a e
r o n a v e s , na a r q u i t e t u r a n a v a l , na a n á l i s e d o v a s o de
pressão
de c o n c r e t o
proble-
p r o t e n d i d o de r e a t o r e s n u c l e a r e s e o u t r o s
m a s b á s i c o s da e n g e n h a r i a civil
estrutural
/ 2 4 / . A razão
a m p l o u s o do M E F na m e c â n i c a d o s s o l i d o s e f l u i d o s
é
do
devido
ãs v a n t a g e n s da t é c n i c a , tais c o m o : o t r a t a m e n t o c o m r e l a t i v a
facilidade
e e x a t i d ã o de g e o m e t r i a s
t r a t a m e n t o de h e t e r o g e n e i d a d e s
regulares e irregulares,
e quaisquer combinações
dasco£
diçÕes de c o n t o r n o .
1.4.
APLICAÇÃO
EM F T S I C A D E R E A T O R E S
O c á l c u l o do n ú c l e o * d e um r e a t o r n u c l e a r é
*
a pri-
N O C L E O do reator é o local onde sao induzidas e mantidas as reações de
fissao e onde se produz energia /II/.
ÍNSTITUTO
DEPESQU'SAS E N E R G E T I C S E NUCLEARES
I. P . E , N .
m e i r a e t a p a do p r o j e t o do r e a t o r .
p a r a se d e t e r m i n a r
Os c á l c u l o s são
um c o n j u n t o de p a r â m e t r o s do n ú c l e o que tor
n a r á a o p e r a ç ã o do r e a t o r s e g u r a , c o n f i á v e l
viável
no nTvel
da ú t i l .
realizados
e economicamente
de p o t ê n c i a de p r o j e t o d u r a n t e t o d a a sua v i -
A m a n e i r a pela qual
é realizada essa tarefa é
pela
f o r m u l a ç ã o de m o d e l o s t e ó r i c o s q u e p r o c u r a m d e s c r e v e r o
com-
p o r t a m e n t o da p o p u l a ç ã o de n e u t r o n s d e n t r o do n ú c l e o e a solu^
ção n u m é r i c a das e q u a ç õ e s
que d e s c r e v e m esse m o d e l o
dos códigos n u c l e a r e s * .
Um d e s t e s m o d e l o s é a c o n h e c i d a
ria de d i f u s ã o , a qual
espacial
e energético
p e r m i t e um t r a t a m e n t o do
através
teo
comportamento
( m u l t i g r u p o ) dos n e u t r o n s e f o r n e c e r e -
s u l t a d o s com p r e c i s ã o s u f i c i e n t e
de i n t e r e s s e da f T s i c a de
para a m a i o r i a d o s
problemas
reatores.
Vários procedimentos
n u m é r i c o s tem s i d o
desenvolvi-
dos o b j e t i v a n d o a s o l u ç ã o de probl e m a s e s t á t i c o s , b e m c o m o de^
p e n d e n t e s do t e m p o de r e a t o r e s
n u c l e a r e s , tanto para a
equa-
ç ã o de d i f u s ã o c o m o p a r a a e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e . Os
estudos
d e s t a s t é c n i c a s v i s a m um g a n h o em t e r m o s de t e m p o de
process£
m e n t o nos c o m p u t a d o r e s , b e m c o m o a m e l h o r i a da p r e c i s ã o
numé-
r i c a . D e n t r e as v á r i a s
dife-
t é c n i c a s n u m é r i c a s , o m é t o d o das
r e n ç a s f i n i t a s é uma das m a i s c o n h e c i d a s e de
desenvolvimento
t e ó r i c o r e l a t i v a m e n t e s i m p l e s , e por isso uma das m a i s
g a d a s na s o l u ç ã o da e q u a ç ã o de d i f u s ã o em c ó d i g o s
empre-
nucleares.
O m é t o d o das d i f e r e n ç a s f i n i t a s c o n s i s t e b a s i c a m e n t e em trans^
f o r m a r uma e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l
em e q u a ç ã o de d i f e r e n ç a s
tas a t r a v é s da p a r t i ç ã o do d o m í n i o da v a r i á v e l
fini-
i n d e p e n d e n t e pa^
ra se o b t e r v a l o r e s d i s c r e t o s s o b r e i n t e r v a l o s f i n i t o s das V £
riáveis
dependentes.
P a r a se o b t e r u m a p r e c i s ã o n u m é r i c a a c e i t á v e l
todo das d i f e r e n ç a s finitas
espacial
em m a l h a s
r e q u e r uma p a r t i ç ã o
relativamente pequenas
da
o mé-
variável
(da o r d e m do compr_i_
m e n t o de d i f u s ã o do m a t e r i a l ) , e p o r t a n t o o n ú m e r o de i n c ó g n i CÕDICO nuclear é um programa de computação que utiliza métodos numéricos para solucionar problemas de interesse da Engenharia Nuclear, com
intuito de fornecer resultados usados nos projetos de reatores, anal i
se de segurança de centrais nucleares ou na administração do combustT
vel nuclear /55/.
tas a ser c a l c u l a d o
t o r n a - s e p r o i b i t i v o , p o r q u e e n v o l v e o uso
de urna q u a n t i d a d e c o n s i d e r á v e l
de m e m o r i a e t e m p o
computacio-
n a l . E s t a s d i f i c u l d a d e s a u m e n t a m a i n d a m a i s no c a s o de m o d e l a
m e n t o do n ú c l e o de um r e a t o r n u c l e a r , o n d e se r e q u e r a a n á l i se em g e o m e t r i a m u i t i m e n s i o n a l
e de c o m p o s i ç ã o heterogênea, to£
nando-se extremamente dispendioso
tal p r o c e d i m e n t o .
O s u c e s s o a l c a n ç a d o na a p l i c a ç ã o do M E F em
grande
v a r i e d a d e s de p r o b l e m a s em o u t r a s á r e a s da e n g e n h a r i a tem r e s u l t a d o em um c r e s c e n t e
i n t e r e s s e em u t i l i z a r - s e d e s t a
técni-
ca na s o l u ç ã o de p r o b l e m a s de f T s i c a de r e a t o r e s , pri ncipalmein
te pelo fato d a s v á r i a s d i f i c u l d a d e s
do m é t o d o das d i f e r e n ç a s
existentes
na
aplicação
f i n i t a s p o d e r e m ser s u p e r a d a s .
1.5. O U T R A S T É C N I C A S DE S O L U Ç Ã O DA E Q U A Ç A O DE
1.5.1 - M é t o d o das d i f e r e n ç a s
DIFUSAO
finitas
í o método convecional
utilizado
p e l a m a i o r i a dos cõ
d i g o s n u c l e a r e s q u e r e s o l v e m p r o b l e m a s de f T s i c a de r e a t o r e s ,
c o m o m o d e l o de d i f u s ã o , c o m o o C I T A T I O N , P D Q , e t c .
P r i m e i r o , o b t é m - s e uma m a l h a e s p a c i a l
z a ç ã o do d o m T n i o da v a r i á v e l
espacial. A equação
pela
discret^
diferencial
é e n t ã o e s c r i t a na f o r m a de e q u a ç ã o de d i f e r e n ç a s n e s t a m a l h a .
V á r i o s e s q u e m a s são d i s p o n í v e i s , p a r a g e r a r u m a
representação
da e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l
finitas.
delas é a e x p a n s ã o
em e q u a ç ã o de d i f e r e n ç a s
em s é r i e de T a y l o r p a r a a v a r i á v e l
te para se o b t e r u m a a p r o x i m a ç ã o
rador diferencial
Uma
dependen^
para o termo que contém oope
/ I I / . A s s i m , c o m o e x e m p l o , seja r e s o l v e r
a
equação:
- D ^
dx^
(x) + Ea (í)(x) = S ( x ) ,
com as c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o ^{0)
x 6 D
(1.5.1.1)
= (p{à) = O p a r a um p r o b l e m a
de g e o m e t r i a t i p o p l a c a de e s p e s s u r a a^ d i s c r e t i z a d a c o m o i 1 us^
t r a d o na f i g u r a
1.5.1.
-}
y—^
^
X.
Fig,1.5.1.
I l u s t r a ç ã o da d i s c r e t i z a ç a o e s p a c i a l
lo m é t o d o de d i f e r e n ç a s
Expandindo
x^^^
-
*(Xi.l)
<)) em s é r i e de T a y l o r nos p o n t o s
*i
+
+
+
S o m a n d o as e q u a ç õ e s
~
i
1.5.1.2 e 1.5.1.3
*i + l " 2*i
^
...
(1.5.1.2)
. . (1.5.1.3)
-n-
^
^i-i
tem-se:
^
dx
pe
finitas.
, em t e r m o s de seu v a l o r no p o n t o x^
*i.l
utilizada
dx^ i
segue
*i-l
(1.5.1 .4)
dx'
Então a e q u a ç ã o
1.5.1.1 e s c r i t a c o m o e q u a ç ã o de d i f e r e n ç a s fi_
n i t a s é da f o r m a :
a •.
é.
T + b . d ) .
+
c.
i =
Estas
(1.5.1.5)
(í).i=S.
1,2,...N-1.
e q u a ç õ e s j u n t a m e n t e c o m as c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o
o s i s t e m a de equações a l g é b r i c a s
ser s o l u c i o n a d a s
Um
p a r a N+1
por um a l g o r i t m o
formam
incógnitas que
podem
adequado.
o u t r o e s q u e m a de se o b t e r as e q u a ç õ e s de d i f e r e ^
ças f i n i t a s c o n s i s t e em i n t e g r a r a e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l
origi-
I N S T I T U 1 O D E P E S Q U S A S E \ fe R G É T I C " S E N U C L E A R E S
I. P . E . N .
nal
s o b r e um i n t e r v a l o a r b i t r a r i o da m a l h a e a p r o x i m a r
nientemente estas
integrais usando valores medios
f ó r m u l a s de d i f e r e n ç a s
similares ã equação
para se o b t e r um c o n j u n t o
s i m p l e s ou
de
equações
(1.5.1.5) /II,41/.
Com o o b j e t i v o de c o n t o r n a r as l i m i t a ç õ e s do
das d i f e r e n ç a s f i n i t a s , o u t r a s t é c n i c a s tem s i d o
a fim de se o b t e r m a i o r e f i c i e n c i a .
1.5.2.
de m a l h a s
Método
método
investigadas
Pode-se citar dentre ou-
tros o m é t o d o de s T n t e s e , os v a r i o s t i p o s e combinações
t o d o nodal
conve-
l a r g a s e o m é t o d o de M o n t e
do m é -
Cario.
de s í n t e s e / 2 2 /
C o m o c i t a d o a n t e r i o r m e n t e , os c á l c u l o s
numéricos
e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s m u 11 i di m e n s i ona i s r e q u e r e m g r a n d e
de
quantj_
d a d e de m e m o r i a e t a m b é m d i s p e n d e m t e m p o c o m p u t a c i o n a l
eleva-
d o . C o m a f i n a l i d a d e de m i n i m i z a r e s s e s p a r â m e t r o s , o
método
variacional
e o método dos resTduos
ponderados
p o d e m ser
p r e g a d o s com uma t é c n i c a q u e s o l u c i o n a p r o b l e m a s
em-
multidimen-
s i o n a i s , e x p r e s s a n d o a s o l u ç ã o em p r o b l e m a s de m e n o r e s
dimen-
s õ e s . P a r a um p r o b l e m a t r i d i m e n s i o n a l , por e x e m p l o , a
variá-
vel
i n d e p e n d e n t e é f o r m u l a d a c o m o uma c o m b i n a ç ã o de
dos de p r o b l e m a s de uma e d u a s d i m e n s õ e s . Isto é
resulta-
basicamente
o m é t o d o de s T n t e s e . No e s q u e m a de s T n t e s e as f u n ç õ e s de aprio
ximação
são f o r t e m e n t e d e p e n d e n t e s do p r o b l e m a , s e n d o um
c o n j u n t o de f u n ç ã o
usualmente empregadas
de p r o b l e m a s . P o r t a n t o
numa classe
restrita
p a r a p r o b l e m a s c o m p l e x o s , o s u c e s s o de£
se m é t o d o d e p e n d e p r i n c i p a l m e n t e da s e l e ç ã o a d e q u a d a das
ç õ e s de a p r o x i m a ç ã o , r e q u e r e n d o a s s i m a l g u m a
1.5.3.
dado
fun-
experiência.
Métodos nodais /11,20,22/
São m é t o d o s c o m p u t a c i o n a i s de m a l h a s l a r g a s , o n d e o
r e a t o r é p a r t i c i o n a d o em z o n a s r e l a t i v a m e n t e g r a n d e s ,
das n o d o s . A i d é i a f u n d a m e n t a l
dos m é t o d o s
chama-
nodais consiste
r e l a c i o n a r a c o r r e n t e de n e u t r o n s a t r a v é s das
interfaces
em
en-
tre d o i s n o d o s aos f l u x o s m é d i o s n e s s e s n o d o s , por m e i o
dos
chamados coeficientes
de a c o p l a m e n t o . Esses c o e f i c i e n t e s
são
c o m o p r o b a b i l i d a d e de um n e u t r ó n n a s c e r em
uma
interpretados
c é l u l a nodal
e se d i f u n d i r em o u t r a s c é l u l a s . P o r t a n t o a c h a -
ve do m é t o d o e s t á em d e t e r m i n a r e s s e s c o e f i c i e n t e s de a c o p l a mentos
n o d a i s , que são u s u a l m e n t e e f e t u a d o s de m a n e i r a aproxi^
mada assumindo-se geralmente fonte plana e composição
unifor-
m e em c a d a n o d o . A l g u n s dos m é t o d o s n o d a i s não d e p e n d e m explj_
c i t a m e n t e da t e o r i a de d i f u s ã o de n e u t r o n s , e n t r e t a n t o , q u a n do a d e t e r m i n a ç ã o dos c o e f i c i e n t e s de a c o p l a m e n t o é f e i t a
com
b a s e na t e o r i a de d i f u s ã o , e s t a d e v e r á ser v á l i d a na s u p e r f í c i e de s e p a r a ç ã o dos n o d o s .
Se o t a m a n h o d o s n o d o s e os c o e f i c i e n t e s de a c o p l a mento nodais
dal
são
apropriadamente e s c o l h i d o s , e n t ã o o m é t o d o
p o d e ser e x t r e m a m e n t e útil
em g e r a r d i s t r i b u i ç ã o de
noflu-
xos e p o t ê n c i a em g e o m e t r i a s m u i t i m e n s i o n a i s , c o m p r e c i s ã o
zoável
ra
e g r a n d e e c o n o m i a de t e m p o e m e m ó r i a computacional, q u a n -
do c o m p a r a d o ao m é t o d o de d i f e r e n ç a s
1 . 5 . 4 . M é d o t o de M o n t e C a r l o
finitas.
/41/
M o n t e C a r l o é um m é t o d o n u m é r i c o b a s e a d o na
teoria
estatística usando números aleatórios. A aplicabilidade
da
t é c n i c a de M o n t e C a r l o em f T s i c a de r e a t o r e s e s t a l i g a d a a o f a
to do c o m p o r t a m e n t o
do g o v e r n a d a s
das partículas
serem probabilísticas
por d i s t r i b u i ç ã o de p r o b a b i l i d a d e , e as
de c h o q u e s e r e m i n t e r p r e t a d a s c o m o uma p r o b a b i l i d a d e de
sen-
seções
inte-
r a ç ã o . N e s s e m é t o d o um c o n j u n t o de h i s t o r i a s sao g e r a d a s , "sé
guindo-se"
i n d i v i d u a l m e n t e o n e u t r o n a t r a v é s de s u c e s s i v a s
l i s õ e s , s e n d o o l o c a l , d i r e ç ã o e e n e r g i a do n e u t r o n
d e t e r m i n a d o s a t r a v é s de t é c n i c a s de
c£
emergente
amostragem.
O m é t o d o de M o n t e C a r l o não é r e s t r i t o p e l a c o m p l e x i d a d e da g e o m e t r i a ou n ú m e r o de v a r i á v e i s
independentes.
o b s t á c u l o , e n t r e t a n t o , é o tempo computacional
ra se o b t e r r e s u l t a d o s c o m s i g n i f i c a n c i a
necessário
estatística.
O
pa-
Um c ó d i g o n u c l e a r que u t i l i z a e s s e m é t o d o é o
KENO
, s e n d o um p r o g r a m a p a r a a n á l i s e de cri tical i d a d e em m u l tigrupo. Sistemas tri-dimensionais
c r i t o s , sendo possTvel
1.6.
OBJETIVO
DO
p o d e m ser f a c i l m e n t e
o t r a t a m e n t o de g e o m e t r i a s
des-
complexas.
TRABALHO
O o b j e t i v o d e s t e t r a b a l h o foi o e s t u d o da
aplicação
do m é t o d o
dos elementos finitos na solução da equação de difusão
neutrons.
Para t a l , d e s e n v o l v e u - s e
de
p r o g r a m a s de c o m p u t a ç ã o que
p o s s i b i l i t a r a m a s o l u ç ã o de p r o b l e m a s em g e o m e t r i a uni e
d i m e n s i o n a l , os q u a i s f o r a m a p l i c a d o s em v á r i o s
bi-
problemas
a-
m o s t r a s , s e n d o s e u s r e s u l t a d o s c o m p a r a d o s c o m os o b t i d o s
com
o CITATION / 1 3 / .
pro
curou
introduzir
S a l i e n t a - s e q u e n e s t e t r a b a l h o , não se
n e n h u m novo c o n c e i t o n u m é r i c o
no M E F ,
se p r o c u r o u d e s e n v o l v e r um p r o g r a m a de c o m p u t a d o r
nem
eficiente
que p u d e s s e s e r c o m p e t i t i v o c o m os c ó d i g o s j á e x i s t e n t e s , q u e
u t i l i z a m a t é c n i c a dos e l e m e n t o s f i n i t o s .
Entretanto,
t r a b a l h o f o r n e c e uma d e s c r i ç ã o s o b r e o " e s t a d o da a r t e
a p l i c a ç ã o do M E F em F T s i c a de R e a t o r e s , b e m c o m o um
q u e , a p e s a r de não o t i m i z a d o e r e s t r i t o q u a n t o a
este
"
da
programa
precisão,per
m i t e o c á l c u l o da d i s t r i b u i ç ã o de n e u t r o n s , do f a t o r de m u l t i
p l i c a ç ã o , em g e o m e t r i a X - Y , s i m u l a n d o o n ú c l e o de r e a t o r e s
cleares .
nu
I I
CAPITULO
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
II
DO M E F EM F i S I C A DE
REATORES
N e s t e c a p i t u l o são a p r e s e n t a d o s de m o d o s u m á r i o
p r i n c i p a i s t r a b a l h o s da a p l i c a ç ã o do M E F na s o l u ç ã o da
ção de d i f u s ã o e na s o l u ç ã o da e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e
os
equa-
(separa-
d a m e n t e ).
C r o n o l o g i c a m e n t e o i n T c i o dos e s t u d o s de
do M E F na t e o r i a de d i f u s ã o
multaneas. A justificativa
aplicação
e transporte são, quase que,
para tal c o m p o r t a m e n t o
si-
reside
f a t o de que em f í s i c a de r e a t o r e s , t a n t o a t e o r i a de
no
difusão
c o m o a t e o r i a de t r a n s p o r t e são á r e a s j á bem e s t a b e l ecidas.Por
outro
l a d o , o MEF já possui
estudos exaustivos
p r á t i c a s r e a i s em p r o j e t o s de o u t r o s c a m p o s da
e
aplicações
engenharia,com
base m a t e m á t i c a bem d e f i n i d a , permitindo assim aos
res em f í s i c a de r e a t o r e s
pesquisado^
uma a p l i c a ç ã o m a i s d i r e t a d e s t a
té£
nica.
A
revisão
b i b l i o g r á f i c a aqui
a p r e s e n t a d a é um p a -
n o r a m a em o r d e m c r o n o l ó g i c a , sem l e v a r em c o n s i d e r a ç ã o
c e s s o e v o l u t i v o da a p l i c a ç ã o do M E F em p r o b l e m a s de
se da f T s i c a de r e a t o r e s . As p r i n c i p a i s
publicações
das t a n t o ã t e o r i a de d i f u s ã o c o m o ã t e o r i a de
r e c é m no p r i n c i p i o da d é c a d a de
Dentre
os p r i m e i r o s
o pro-
interesrelación^
transporte,ap£
1970.
t r a b a l h o s em d i f u s ã o de neutrons
d e s t a c a m - s e os de S e m e n z a , L e w i s e R o s s o w / 5 2 / em 1 9 7 2 ,
os
q u a i s t r a t a m da s o l u ç ã o da e q u a ç ã o de d i f u s ã o de n e u t r o n s
em
multigrupo
pela técnica variacional
res de L a g r a n g e para f u n ç õ e s
i n t e r p o l a n t e s em e l e m e n t o s
guiares, e polinomios bilineares
Do m e s m o
usando polinomios
para elementos
lineatriaji
retangulares.
período
p o d e m - s e c i t a r : K a p e r et a l . / 2 8 / ( 1 9 7 2 ) , Na
kamura e Ohnishi
( 1 9 7 2 ) / 4 2 / e Kang e H a n s e n / 2 6 , 2 7 / , ( 1 9 7 3 ) .
Os p r i m e i r o s
uti 1 izaram u m a a p r o x i m a ç ã o de a l t a o r d e m ,
INSTITUTO D EP E S Q U ' S A S E^ER6ÉT1C"SE
I, P . E . N .
usando
NUCLEARES
i (-
o principio variacional
p a r a s o l u c i o n a r a e q u a ç ã o de
difusão
m u l t i g r u p o em d u a s d i m e n s õ e s e c o m p a r a m os r e s u l t a d o s c o m
o
método das d i f e r e n ç a s
e
f i n i t a s de b a i x a o r d e m .
O h n i s h i apresentaram u m a s o l u ç ã o
cial
iterativa
Nakamura
para a equação
matr^
de e l e m e n t o s f i n i t o s com é n f a s e no e s q u e m a de a c e l e r a ç ã o .
Adotaram a t é c n i c a i t e r a t i v a SOR (s u c c e s s i v e - o v e r - r e í axa t i on
sendo o trabalho restrito a elemento
dimensional
t r i a n g u l a r e geometria b ^
X-Y.
Em 1 9 7 4 , n o v a m e n t e H a n s e n j u n t a m e n t e c o m
10/
),
Deppe / 9 ,
publicaramum t r a b a l h o o n d e s o l u c i o n a m a e q u a ç ã o de
difusão
em m u l t i g r u p o , b i d i m e n s i o n a l , em e s t a d o e s t a c i o n a r i o , p e l a ex
p a n s a o do f l u x o
i n c ó g n i t a em p o l i n o m i o s b i c ú b i c o s de H e r m i t e .
A formulação matricial
Ó o b t i d a a p l i c a n d o a t é c n i c a de Galerkin
e o conjunto das equações Ó s o l u c i o n a d a
e f a t o r i z a ç a o de C h o l e s k y
pelo m é t o d o
e apresentam resultados
iterativo
numéricosob^
t i d o s por m e i o do p r o g r a m a C H D , por e l e s d e s e n v o l v i d o s .
principal
c o n c l u s ã o d e s t e t r a b a l h o Ó a v i a b i l i d a d e de se
t e n d e r o d o m T n i o das f u n ç õ e s de e x p a n s ã o
géneas e portanto descrevendo
pacial
A
sobre regiões
es-
hetero
realisticamente a dependênci a e £
das s e ç õ e s de c h o q u e .
Dois a n o s m a i s
um a r t i g o
introduzindo
t a r d e , B i s w a s et a l . / 8 /
publicaram
um m é t o d o s i m p l e s de g e r a r equações
ma-
t r i c i a i s , p a r a s o l u ç ã o da e q u a ç ã o de d i f u s ã o m u l t i g r u p o , usaji
do um " s i s t e m a de c o o r d e n a d a s
n a t u r a i s " . N e s t e t r a b a l h o é feji_
to um e s t u d o c o m p a r a t i v o de e l e m e n t o s
linear e quadrático
triangulares com
e elementos retangulares com modelo
n e a r , para m o s t r a r a e f i c i ê n c i a r e l a t i v a do m é t o d o
A interpolação
perior a modelos
modelo
bili-
proposto.
q u a d r á t i c a m o s t r a ser c o m p u t a c i o n a l m e n t e
su-
l i n e a r e s e b i l i n e a r e s , f o r n e c e n d o um e r r o
re
l a t i v a m e n t e m e n o r p a r a o f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o . Mostraram a i n da a f l e x i b i l i d a d e do t r a t a m e n t o
c u l o da
por e l e m e n t o s f i n i t o s no za]_
reatividade.
Com F r a n k e / 1 4 , 1 5 , 1 6 / , em 1 9 7 6 , t e m - s e a s o l u ç ã o da
e q u a ç ã o de d i f u s ã o em e s t a d o e s t a c i o n á r i o
por e l e m e n t o s
fini-
tos em três d i m e n s õ e s e s p a c i a i s . O a u t o r desenvolveu um progra^
ma onde usa elementos
trons é interpolado
condições
de f o r m a t e t r a é d r i c a . O f l u x o de
por p o l i n o m i o s
de L a g r a n g e , e são
neuaceitas
de c o n t o r n o h o m o g ê n e a s . A p a r t i r d e s t e , f o r a m publjj^
cados vários trabalhos
em t r ê s d i m e n s õ e s , d e s t a c a n d o - s e
ainda
nessa mesma é p o c a , Kavenoky e Lautard /30/, Misfeldt
/38,39/,
em 1 9 7 7 . K a v e n o k y e L a u t a r d
depleção
fizeram
o c á l c u l o de
com s e ç ã o de c h o q u e d e p e n d e n t e do e s p a ç o
em d u a s e t r ê s
dimeji
s o e s . P o s t e r i o r m e n t e , L a u t a r d / 3 2 / a p r e s e n t o u um n o v o m é t o d o de
elementos
finitos
com i n t e g r a ç ã o
te o uso de m a l h a s g r a n d e s
numérica Gaussiana
com m a i o r
p r o b l e m a s de d u a s e t r ê s d i m e n s õ e s
a técnica
para solucionar a equação
s õ e s e em
multigrupo.
permj^
precisão e rapidez,
em
espaciais. Misfeldt
aplicou
de d i f u s ã o em t r ê s
dimen-
Um e s t u d o do c o m p o r t a m e n t o
influência
que
na o r d e m de c o n v e r g ê n c i a
das s i n g u l a r i d a d e s
Hennart
e M u n d / 2 1 / em p r o b l e m a s de d i f u s ã o a d u a s d i m e n s õ e s .
Neste
figuração
do
realizado
a
por
t r a b a l h o a e s c o l h a dos e l e m e n t o s
foi
e
é descrita
p r o g r a m a de c o m p u t a d o r
(FEM-BABEL)
ciais onde utilizam uma combinação
guiares e retangulares
/ 2 5 / d e s e n v o l v e r a m um
em t r ê s
dimensões
de e l e m e n t o s
baseado
p r i s m a s trian^
de a c e l e r a ç ã o
no m é t o d o de G a l e r k i n
c o m a e q u a ç ã o de d i f u s ã o em e s t a d o
rio e t r a n s i e n t e . São p o s s T v e i s
res, quadriláteros
o uso de e l e m e n t o s
e de c o n t o r n o s c u r v o s , p e r m i t i n d o
to p a r a c i m a e s e n d o d i s p o n í v e i s
equ£
é um o u t r o p r o g r a m a
por S c h m i d t / 5 0 , 5 1 / que r e s o l v e p r o b l e m a s
t o d a s as c o n d i ç õ e s
De
e ado-
p a r a r e s o l v e r o s i s t e m a de
ções de u m a m a n e i r a o t i m i z a d a . D I F G E N
e três d i m e n s õ e s
espa-
p a r a s i m u l a r a g e o m e t r i a do r e a t o r .
um a l g o r i t m o
t a r a m um m é t o d o
senvolvido
con
reator.
Em 1 9 7 8 , Ise , Yamazaki, Nakahara
senvolveram
para uma dada
em
deduas
estaciona
triangulaespalhamen
de
contor
no u s u a i s .
Uma n o v a t é c n i c a de s o l u ç ã o da e q u a ç ã o de
por e l e m e n t o s
f i n i t o s foi d e s e n v o l v i d a
difusão
por A z e k u r a 7 4 , 5 /
1 9 8 0 . N e s s e n o v o m é t o d o a p r e c i s ã o do c á l c u l o é m e l h o r a d a
crescentando-se
da e l e m e n t o
pontos
nodais
imaginários e
t r i a n g u l a r em t r ê s s u b e l e m e n t o s
em
a-
subdividindo-seG£
quadriláteros.
No
processo
cionais
de s o l u ç ã o d a s e q u a ç õ e s a l g é b r i c a s
incógnitas
incógnitas
de tal m o d o q u e o n ú m e r o
recentemente, Nakata 7 4 3 / desenvolveu
de c á l c u l o de r e a t o r e s , o n d e a c o p l a
ca da m a t r i z
resposta, o núcleo
l a r g a s , e a solução global
adjacentes
s a , com o objetivo
difusão
parciais
dos na s o l u ç ã o
incidentes
putador
em
r e l a c i o n a n d o malhas
parciais
nos
respectivos
para cada m a l h a
gro£
a e q u a ç ã o de d i f u s ã o , c o m
padrões como
para solução
Do ú l t i m o s e m i n á r i o
los de b l i n d a g e n s
do r e a t o r é d i v i d i d o
no c o n t o r n o .
de p r o b l e m a s
v a m a c a p a c i d a d e do m é t o d o
da
nos c á l c u l o s
de s o l u c i o n a r
novo
usual
é obtida
por m e i o d a s c o r r e n t e s
c o n t o r n o s . O MEF é aplicado
Grenfell
um
r e s p o s t a , p a r a s o l u c i o n a r a e q u a ç ã o de
t é c n i c a da m a t r i z
rentes
de
o M E F c o m a técnj^
não h o m o g é n e a , na f o r m a f r a c a . U s a n d o o f o r m a l i s m o
malhas
adi-
p e r m a n e ç a a m e s m a do M E F u s u a l .
Mais
método
são e l i m i n a d a s
as v a r i á v e i s
Os r e s u l t a d o s
2D-IAEA
sobre aplicação
obti-
e BIBLIS
de p r o b l e m a s
cor
pro
práticos.
do M E F em cálcui
7 5 7 / v a l e m c i t a r os t r a b a l h o s d e Shuttl eworth,
e Armishaw.
O primeiro
( F E N D E R ) , o qual
desenvolveu
um p r o g r a m a de com
s o l u c i o n a a e q u a ç ã o de d i f u s ã o
usan-
do o M E F c o m a t é 1 0 0 0 e l e m e n t o s , e c o m uma v a r i e d a d e d e alter^
nativas
nas c o n d i ç õ e s
de c o n t o r n o .
putador usando o MEF e visando
diação
foi
difusão
desenvolvido
programa
(FEDTRAN^
n i c a de M o n t e
da e q u a ç ã o
d e m , a qual
transporte
ra-
em três d i m e n s õ e s
com
de
dependeji
d e s e n v o l v e r a m um
o M E F em c o n j u n ç ã o
com a t é c -
Carlo.
ção de d i f u s ã o , s u r g i r a m
de t é c n i c a s
em b l i n d a g e m de
e seus c o l a b o r a d o r e s
que utiliza
Paralelamente
da e q u a ç ã o
aplicação
p r o g r a m a de c o m -
por G r e n f e l l . S o l u c i o n a a e q u a ç ã o
em e s t a d o e s t a c i o n á r i o
cia e n e r g é t i c a . Armishaw
Um o u t r o
a aplicação
trabalhos
do M E F na s o l u ç ã o
aplicando
o M E F na
de t r a n s p o r t e . D e s t e e n t ã o , uma g r a n d e
tem s i d o e s t u d a d a s
tanto
para a forma
i n t e g r o - d i f e r e n c i a 1 de t r a n s p o r t e
da
equa
solução
variedade
tradicional
de p r i m e i r a
or-
não é a u t o a d j u n t a , c o m o na f o r m a da e q u a ç ã o
de
de s e g u n d a o r d e m p a r a os f l u x o s de p a r i d a d e
i m p a r , a qual
é auto-adjunta
e que portanto
nal
que m i n i m i z a d o
fornece a solução.
associado
possui
um
par e
funcio-
I D
Dos p r i m e i r o s
t r a b a l h o s , p o d e - s e c i t a r o de
r a n t a e S i l v e n n o i s e n / 4 7 / , de 1 9 7 2 , c a l c u l a n d o
a
Pitka-
espessura
c r T t i c a de um r e a t o r t i p o p l a c a por m e i o da d i s c r e t i z a ç a o
da
e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e em um g r u p o . N e s t e t r a b a l h o c i t a m
p a r a u m a d a d a o r d e m de a p r o x i m a ç ã o é p o s s T v e l
cisão usando
que
aumentar a pre-
t a m a n h o de e l e m e n t o s v a r i á v e i s . Os m e s m o s
s a d o r e s , p o s t e r i o r m e n t e , / 4 8 / , t r a t a r a m de p r o b l e m a s
pesquj_
em multj_
g r u p o c o m o e s q u e m a de a p r o x i m a ç ã o b a s e a d o no p r i n c i p i o
cional
da e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e m o n o e n e r g e t i c o
varia
na f o r m a
auto
adjunta.
M i l l e r , L e w i s e R o s s o w /36/ , u s a r a m p o l i n o m i o s
neares
contínuos
, p a r a a p r o x i m a ç ã o do f l u x o a n g u l a r em
d i m e n s ã o . T r a t a m de g e o m e t r i a s c i l í n d r i c a
com espalhamento
liuma
, esférica e plana,
isotrópico. Posteriormente
/37/
suas
pesqui-
sas f o r a m e s t e n d i d a s a d u a s d i m e n s õ e s em g e o m e t r i a p l a n a (X-Y)
com modelo monoenergético. Neste trabalho utilizaram
bilineares
para a variável
a variável
e s p a c i a l , sendo possível
a n g u l a r , e 1 i n e a r ou bi1 i n e a r
t r i a n g u l a r e s ou r e t a n g u l a r e s
a u t i l i z a ç ã o de
na v a r i á v e l
espacial
c o m orienta^
cilíndri-
e um g r u p o de p e s q u i s a d o r e s / 2 3 / , em 1 9 7 4 , desen^
v o l v e r a m um a l g o r i t m o
variável
para
elementos
ç ã o a r b i t r á r i a . A i n d a em d u a s d i m e n s õ e s e g e o m e t r i a
c a , Horikami
funções
espacial
em m u l t i g r u p o o n d e o M E F é a p l i c a d o
com elemento
r e t a n g u l a r , e sendo a variável
a n g u l a r a p r o x i m a d a pela técnica das o r d e n a d a s d i s c r e t a s .
t é c n i c a u t i l i z a d a no M E F é a de G a l e r k i n c o m p o l i n ó m i o s de
terpolação bilinear, cúbico e bi-quadrático
Kaper, Leaf e Lindeman
de i n t e r p o l a ç ã o
ã
/29/
A
i£
de L a g r a n g e .
usaram como
p o l i n o m i o s de L a g r a n g e p a r a o b t e r
a
função
solução
n u m é r i c a da e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e , em e s t a d o e s t a c i o n a r i o , no
m o d e l o de m u l t i g r u p o , em duas d i m e n s õ e s e s p a c i a i s . O p r o c e d i m e n t o é b a s e a d o na f o r m u l a ç ã o v a r i a c i o n a l
da e q u a ç ã o de tranSí
p o r t e de 2- o r d e m de um g r u p o , s e n d o l i m i t a d o a el e m e n t o s t r i a n
guiares e espalhamento
isotrópico.
Em 1 9 7 5 , Y u a n e o u t r o s p e s q u i s a d o r e s
ram r e s u l t a d o s o b t i d o s
/56/, analisa-
pela a p l i c a ç ã o de t r ê s m é t o d o s iteratj_
I b
VOS
à e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e m o n o e n e r g é t i c a , d i s c r e t i z a d a
atra
vês do M E F : " p o i n t S O R " , " b l o c k S O R " e " a c c e l e r a t e d block SOR'!
D o i s e s q u e m a s de a l o c a ç ã o de m e m ó r i a são u s a d o s ; o
primeiro
p e r m i t i n d o a t r i a n g u l a ç ã o a r b i t r a r i a do d o m T n i o e s p a c i a l
en-
quanto o segundo é restrito a malha retangular. Ainda,
desse
p e r T o d o v a l e m c i t a r os t r a b a l h o s de L e w i s / 3 3 / e M a r t i m
/34/.
Lewis
inclui
no c á l c u l o do t r a n s p o r t e de n e u t r o n s em
bidimensionais
com
em g e o m e t r i a X - Y ,
células
a r e p r e s e n t a ç ã o de
regiões
i n t e r f a c e s c u r v a s . M a r t i m f a z a n á l i s e das t a x a s de
conver
g ê n c i a p a r a a s o l u ç ã o em g e o m e t r i a u n i d i m e n s i o n a l . Um
outro
t r a b a l h o c o m a p l i c a ç ã o de e l e m e n t o s de c o n t o r n o s c u r v o s
de M o r d a n d
/ 4 0 / o n d e desenvolveu um p r o g r a m a
(ZEPHYR) com capacidade
de
é
o
computação
p a r a s o l u ç ã o de p r o b l e m a s em d u a s d i -
m e n s õ e s , m u l t i g r u p o , em g e o m e t r i a X-Y ou R - Z . O M E F é a p l i c a do ã v a r i á v e l
espacial
c o m m a l h a t r i a n g u l a r ou
Em 1 9 7 7 , M a r t i m e D u d e r s t a d t
/35/
retangular.
publicaram
um
t r a b a l h o o n d e a p l i c a m o M E F a a m b a s as v a r i á v e i s , e s p a c i a l
a n g u l a r da e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e de n e u t r o n s de p r i m e i r a
dem. Resultados
numéricos
na u n i d i m e n s i o n a l
são a p r e s e n t a d o s
e comparados
d i g o A N I S N de o r d e n a d a s
e
or-
p a r a g e o m e t r i a pla^
c o m os o b t i d o s por m e i o do c ó -
discretas.
Fujimura e outros pesquisadores /17/ solucionaram a
e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e em g e o m e t r i a c i l i n d r i c a , b i d i m e n s i o n a l ,
s e n d o a e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e d i s c r e t i z a d a u s a n d o
retangulares
r e g u l a r e s c o m f u n ç õ e s q u a d r á t i c a s ou
de L a g r a n g e . O m é t o d o é i n c o r p o r a d o no c ó d i g o
de
elementos
bilineares
computador
FEMRZ.
Tomlinson e Robinson /54/ desenvolveram
um
método
de o b t e r a s o l u ç ã o da e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e de n e u t r o n s
malhas
triangulares
e espalhamento
i r r e g u l a r e s , com c o n t o r n o s não
a n i s o t r ó p i c o . Um f u n c i o n a l
p a r t i r da f o r m a c a n ó n i c a da e q u a ç ã o de
A variável
mÕnicos
sobre
ortogonais
é desenvolvido
a
transporte de multigrupo.
a n g u l a r é r e m o v i d a e x p a n d i n d o - s e o f u n c i o n a l em har
e s f é r i c o s e l i m i t a n d o o e s p a l h a m e n t o a ser
O MEF é aplicado usando
polinómios
para a e x p a n s ã o da v a r i á v e l
i n t e r p o l a n t e s de
espacial.
isotrópico.
Lagrange
17
A c o n j u n ç ã o de h a r m ô n i c o s e s f é r i c o s c o m M E F foi
ta por A c k r o y d /2,2,/
p a r a p r o b l e m a s em m u l t i g r u p o . M a i s
A c k r o y d , juntamente com Goddard adptam a formulação
fe^
tarde
para
tra-
tar de p r o b l e m a s de b l i n d a g e m em m u l t i g r u p o . Os r e s u l t a d o s
p r o b l e m a s de b l i n d a g e m u n i d i m e n s i o n a l
m o s t r a m que
o método
r ã p i d o e p r e c i s o e c o n s t a t a m q u e as s o l u ç õ e s são
" e f e i t o de r a i o " f r e q u e n t e m e n t e e n c o n t r a d a s
denadas
de
livres
é
do
no m é t o d o d a s o r -
discretas.
Splawski, Ziver e Galliara /53/ aproximaram a equa-
ção de t r a n s p o r t e de s e g u n d a o r d e m pelo M E F com o m é t o d o
riacional
para a d i s c r e t i z a ç a o
e
usam
Novamente M a r t i m e D u d e r s t a d t / 5 7 / com outros
pes-
uma f u n ç ã o o r t o g o n a l
da v a r i á v e l
para a p r o x i m a ç ã o
espacial
va-
angular.
q u i s a d o r e s a p r e s e n t a m a s o l u ç ã o da e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e
p r i m e i r a o r d e m em uma e d u a s d i m e n s õ e s c o n s t a t a n d o
que
" e f e i t o de r a i o " é d i m i n u i d a c o m a a p l i c a ç ã o do M E F .
t r a b a l h o , é d i s c u t i d o a s o l u ç ã o de p r o b l e m a com
de
o
Neste
dependência
t e m p o r a l , combinando o MEF com outros m é t o d o s .
Z i v e r e G o d d a r d / 5 7 / a p r e s e n t a m um m é t o d o
elemento triangular e retangular para dependência
f l u x o a n g u l a r e e x p a n s ã o em h a r m ô n i c o s e s f é r i c o s
que
usa
espacial
para
do
depen-
d ê n c i a a n g u l a r . A s o l u ç ã o p a r a e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e m u l t i g r u ^
po é b a s e a d o
na s o l u ç ã o da e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e de 2-
de um g r u p o de um t r a b a l h o a n t e r i o r . P a r a s o l u ç ã o c o m
ordem
malhas
g r a n d e s , e m p r e g a um e s q u e m a de e l i m i n a ç ã o d i r e t a e p a r a
lhas f i n a s um e s q u e m a
iterativo.
ma-
Faz e s t u d o s de p r o b l e m a s
de
" e f e i t o de r a i o " , " s t r e a m i n g " , p r o b l e m a c e l u l a r de um
reator
t i p o PWR e p r o b l e m a s de b l i n d a g e n s . Os t r a b a l h o s m a i s
recen-
tes da a p l i c a ç ã o do M E F em f T s i c a de r e a t o r e s são v o l t a d a s
ra o c á l c u l o de b l i n d a g e n s . A l é m dos c i t a d o s n e s t e
vários
trabalhos foram apresentados
p£
capTtulo,
no s e m i n á r i o s o b r e a
apH
c a ç ã o do M E F em f T s i c a da r a d i a ç ã o / 5 7 / , em 1 9 8 1 .
N e s t a r e v i s ã o b i b l i o g r á f i c a não c o n s t a m t o d o s os tr£
balhos
p u b l i c a d o s s o b r e a a p l i c a ç ã o do M E F . A p e n a s os p r i n c i -
18
p a i s a t é o ano de 1 9 8 1 , p a r a se ter urna i d é i a do e s t á g i o
p e s q u i s a s do M E F em f T s i c a de r e a t o r e s .
S a l i e n t a - s e que
tem v á r i o s t r a b a l h o s , nos q u a i s se tem o e s t u d o e
das
exi£
aplicação
do M E F em c o n j u n ç ã o c o m o u t r a s t é c n i c a s , c o m o , por e x e m p l o , o
m é t o d o de s T n t e s e .
19
CAPTTULO
III
O M É T O D O DOS E L E M E N T O S F I N I T O S
(GERAL)
O M E F é urna t é c n i c a n u m é r i c a q u e p e r m i t e a o b t e n ç ã o
s o l u ç õ e s a p r o x i m a d a s de p r o b l e m a s de v a l o r no c o n t o r n o
tas p e l a e q u a ç ã o do
LQP
U(!:)
= f(r)
,
r
da.
A equação
n .
G
U
f u n ç ã o d e f i n i d a s o b r e um d o m T n i o
pendentes definidas
descri^
tipo
o n d e L^p é um o p e r a d o r d i f e r e n c i a l ,
(uma
pelo v e t o r r G
a variável
(3.1)
dependente
Í2) das v a r i á v e i s
inde-
e f ( r ) u m a f u n ç ã o conhecj_
(3.1) v á l i d a em um d o m T n i o ^, i l u s t r a d o
na f i g .
3 . 1 , (que p o d e s e r v o l u m e , á r e a e t c ) j u n t o c o m as c o n d i ç õ e s
c o n t o r n o do
de
tipo:
a(n.V
U(r)) + 3 U(r) = g ( r ) ,
r 6 9fi ,
o n d e dü r e p r e s e n t a o c o n t o r n o do d o m T n i o
ma
de
de v a l o r no c o n t o r n o .
Na e q u a ç ã o
d i e n t e n r e p r e s e n t a o v e t o r normal
Í2 , d e f i n e m um
(3.2)
proble
(3.2) V é o o p e r a d o r
gra-
ã s u p e r f i c i e , g(r) uma
fun-
ção e s p e c i f i c a d a , a e 3 são p a r â m e t r o s e s p e c i f i c a d o s c u j o s v a l o r e s d e t e r m i n a m o tipo da c o n d i ç ã o de c o n t o r n o em c a d a
Assim para a = O e 3 = 1 a equação
em
e para
a qual
(3.2)
caso.
t o r n a - s e U ( j ) = g{
é c o n h e c i d a como c o n d i ç ã o de contorno de Dirichlet;
3 = 0
a equação
(3.2) r e p r e s e n t a a c o n d i ç ã o
de
c o n t o r n o de N e u m a n / 4 1 / .
C o m o e x e m p l o s de p r o b l e m a s que p o d e m s e r f o r m u l a d o s
pe
las e q u a ç õ e s do tipo da (3.1) e (3.2) c i t a m - s e as da t e o r i a
de
d i f u s ã o de n e u t r o n s r e p r e s e n t a d a s
p e l a e q u a ç ã o de d i f u s ã o ,
e
t a m b é m a e q u a ç ã o de t r a n s f e r e n c i a de c a l o r , d e n t r e o u t r a s .
P a r a a s o l u ç ã o do p r o b l e m a , n e c e s s i t a - s e do c a l c u l o da
f u n ç ã o U ( r ) q u e pode ser urna q u a n t i d a d e e s c a l a r ou p o d e
repre-
Í N S T I T U I O DE P É S O U ' S A g 6NiEftfeÉTlC'S E N U C L E A R E S
I, P . E. N ;
20
Fig.3.1
- I l u s t r a ç ã o do d o m T n i o do p r o b l e m a
( 9 n ) , d o m T n i o do e l e m e n t o
em d u a s d i m e n s õ e s
(Í2) e s e u
contorno
(fi^) e seu c o n t o r n o
(3íí^),
(X-Y).
s e n t a r um v e t o r de v a r i a s v a r i á v e i s . No p r i m e i r o c a s o s e r i a uma
e q u a ç ã o s i m p l e s e no s e g u n d o c a s o um c o n j u n t o de e q u a ç õ e s .
O M E F c o n s i s t e b a s i c a m e n t e na d i v i s ã o do d o m T n i o
problema
(Í2) em s u b d o m T n i o s , c h a m a d o s e l e m e n t o s
e da a p r o x i m a ç ã o da s o l u ç ã o
{ü^)
por f u n ç õ e s c o n t i n u a s
por
(fig.(3.1))
partes.
A s s i m , t e m - s e para U ( r ) - Ü(|;;). o n d e 0(r) e r e p r e s e n t a d o
0 ( r ) = E a . u^.
onde
são as f u n ç õ e s b a s e
independentes
subdominio
do
por
(3.3)
c o n t i n u a s , em t e r m o s d a s
variáveis
(por e x . r , x , y , e t c ) , d e f i n i d a s l o c a l m e n t e
(fi^), e a^. s ã o os p a r â m e t r o s
incógnitas a serem de-
t e r m i n a d o s . P a r t i c u l a r m e n t e , p a r a as f u n ç õ e s b a s e y ^ ( r ) ,
=1
se r é a v a r i á v e l
no
i n d e p e n d e n t e c o r r e s p o n d e n t e ao nó
do e l e m e n t o e u^. = O no c a s o c o n t r á r i o a^ e o v a l o r nodal
onde
i
de U.
21
A aplicação
ta t r a t a n d o
do M E F , p a r a a s o l u ç ã o do p r o b l e m a , é f e ^
o p r o b l e m a o r i g i n a l , q u e c o n s i s t e de e q u a ç õ e s
f e r e n c i a i s , numa forma
I =
integráveis
f
Fdfi +
o n d e F e H são
integral
Hd(9Q)=
equivalente.
O
,
respectivamente.
operadores
(fi) do p r o b l e m a e no s e u c o n t o r n o
Essa f o r m a
ser realizada elemento
integral
permitirá a
por e l e m e n t o , e
para todo o sistema como a s o m a t ó r i a
ou
(3.4)
f u n ç õ e s , c o m b i n a ç ã o de f u n ç õ e s ou
no d o m T n i o
obtenção
(3fi)
aproximação
da
solução
s o b r e os e l e m e n t o s / 5 3 / ,
seja
Hd^S^) = l
e
Fdfi +
8í2
As d u a s
técnicas
m a ç ã o em t a i s f o r m a s
dos r e s T d u o s
3.1. T é c n i c a
integrais
são a v a r i a c i o n a l
integral
e a
da a p r o x i técnica
(eq. (3.4)) c o r r e s p o n -
funcional. Nesta formulação
(ou f u n ç õ e s ) i n c ó g n i t a
associado
a equação
o funcional
necessita-
se
(s) q u e e x t r e m i z e
d i f e r e n c i a l . Tal
a solucionar a equação diferencial
ção que e x t r e m i z a
cial
para a obtenção
Variacional
calcular a função
equivalente
(3.5)
ponderados/12/.
dente é denominada
funcional
f
Fd^*" +
principais
Nesta técnica a forma
um
procedimento
ou s e j a , a
é a s o l u ç ã o da e q u a ç ã o
é
fun
diferen-
(apêndice A ) .
A s s i m na e q . (3.4) F e H são f u n ç õ e s da v a r i á v e l
p e n d e n t e U ( r ) , o n d e se a p r o x i m a
to
di-
(e) a f o r m a
U(r) - Ü ( r ) .
integral
pode ser expressa
Fdfi^ +
Hd[9fi^ )
de-
P a r a um e l e m e n -
como
(3.6)
22
portanto
I =
I
.
(3.7)
e
A s o l u ç ã o do p r o b l e m a e a f u n ç ã o 0 ( r ) , o n d e
elemento
para
um
(e)
0^(r)
=
l
a.
(3.8)
,
M.
de tal m o d o que pelo p r i n c i p i o v a r i a c i o n a l
61
=
O
deve-se
ter
(3.9)
.
A e q . (3.9) r e p r e s e n t a um c o n j u n t o de e q u a ç õ e s simulta^
n e a s das q u a i s p o d e m - s e o b t e r os p a r â m e t r o s a^. .
3.2. T é c n i c a dos R e s T d u o s
Ponderados
A t é c n i c a dos r e s T d u o s p o n d e r a d o s é um p r o c e d i m e n t o
d e r i v a ç ã o d i r e t a da e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l
a ser r e s o l v i d a .
m i n d o - s e um c o m p o r t a m e n t o o m a i s p r ó x i m o p o s s T v e l
m e n t o real
para a variável
de
Ass£
do c o m p o r t a -
d e p e n d e n t e , isto é ; U ( r ) - 0 ( r )
con-
f o r m e e q . ( 3 . 3 ) , o b t é m - s e um e r r o de a p r o x i m a ç ã o ou resTduo
(R)
ou s e j a
V(i:)
- f(!:) = R ^ o .
(3.2.1)
A t é c n i c a c o n s i s t e em i m p o r q u e e s s e r e s T d u o se a n u l e ,
em m é d i a , s o b r e todo o d o m T n i o da s o l u ç ã o . E n t ã o d e v e - s e
{ (w L U(r) - w f ( r ) } díí
ter
+
w { a(n.V 0(r) + 6 0 ( r ) - g ( r ) } d{dü)
= O ,
(3.2.2)
o n d e w é c h a m a d a f u n ç ã o p e s o ou f u n ç ã o
ponderação.
23
C o n f o r m e a e s c o l h a da f u n ç ã o
ponderação
(w) t e m - s e os
t i p o s do m é t o d o dos r e s T d u o s
ponderados
/58/.
te, para a função
igual
ponderação
t é c n i c a dos r e s T d u o s
ponderados
vários
Particularmen-
ã f u n ç ã o de a p r o x i m a ç ã o
é c h a m a d a de t é c n i c a de
a
Galer
ki n .
A e q . ( 3 . 2 . 2 ) é do t i p o da e q u a ç ã o
chamada
f o r m a f r a c a da e q u a ç ã o
Aplicando
(3.4) e é
é subdividido
em elemejí
(3.2.1).
o M E F , o domTnio ^
tos c o m s e u s d o m i n i o s
integral
sendo a eq. (3.2.2) expressa
na
for
ma
,e
{w LQpU(r) - w f ( r ) } dfi'^
+
e
w { a ( n . V 0(r)
onde 0 ( r ) e d e f i n i d a
sobre
Escolhendo-se
que e s t a s s e j a m
+ B 0(r)
, c o m o em
as f u n ç õ e s
- g{r)}d{dü^}
= O
(3.2.3)
(3.8).
p o n d e r a ç ã o , w , em n ú m e r o
tal
i g u a i s as dos p a r á m e t r o s
incógnitas
a^.
-se e n t ã o d e r i v a r um s i s t e m a de e q u a ç õ e s
algébricas
lineares,
para esses
p a r â m e t r o s , o qual
las t é c n i c a s
numéricas
pode então ser solucionado
usuais.
•
- - " " T T T T R ' ^ É T I C SE NUCLEARES
podepe-
CAPTTULO
APLICAÇÃO
IV
DO M E F EM P R O B L E M A S DE F T S I C A
DE
REATORES
Neste capTtulo é desenvolvido
o método dos
f i n i t o s a p l i c a d o ã e q u a ç ã o de d i f u s ã o de n e u t r o n s
estacionário, utilizando
a t é c n i c a dos r e s T d u o s
a técnica variacional
elementos
em
estado
para e s s e fim a t é c n i c a v a r i a c i o n a l
ponderados. Particularmente,
e
utiliza-se
e a dos r e s T d u o s p o n d e r a d o s na s o l u ç ã o da
e q u a ç ã o de d i f u s ã o em g e o m e t r i a p l a n a u n i d i m e n s i o n a l , e a t é c n i c a dos r e s T d u o s
nal
(X-Y).
ponderados
para g e o m e t r i a plana
bidimensio-
N e s t e ú l t i m o caso s e r á t r a t a d a a e q u a ç ã o de d i f u -
são d e p e n d e n t e da e n e r g i a , s e n d o essa v a r i á v e l
m é t o d o de m u l t i g r u p o
/II
parâmetros essenciais
pelo
/.
A equação fundamental
c á l c u l o de d i s t r i b u i ç ã o
aproximada
espacial
para a n á l i s e de cr i ti cal i d a d e ,
do f l u x o de n e u t r o n s e d e m a i s
para o p r o j e t o de r e a t o r e s n u c l e a r e s ,
a c h a m a d a e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e / I I / ,
é
ou e q u a ç ã o de B o l t z m a n n .
P e l a c o m p l e x i d a d e , a e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e , p o d e ser
resolvida
c o m e x a t i d ã o em um n ú m e r o r e s t r i t o de c a s o s , os q u a i s usualmen^
te são i d e a l i z a d o s , e não r e t r a t a m a r e a l i d a d e f T s i c a .
Portan^
t o , para p r o p ó s i t o s p r á t i c o s , u t i l i z a m - s e v á r i a s
aproximações
c o m o o b j e t i v o de se o b t e r s o l u ç õ e s n u m é r i c a s por
procedimentos
c o m p u t a c i o n a i s . Uma d a s a p r o x i m a ç õ e s o b t i d a p e l a
simplificação
da t e o r i a de t r a n s p o r t e é a t e o r i a de d i f u s ã o ,
representada
p o r uma e q u a ç ã o d e n o m i n a d a e q u a ç ã o de d i f u s ã o , d e p e n d e n t e
e n e r g i a , a qual
ção
é a m p l a m e n t e u s a d a na d e s c r i ç ã o da
neutrÔnica em r e a t o r e s
da
distribui-
nucleares.
A e q u a ç ã o de d i f u s ã o é e s s e n c i a l m e n t e uma e q u a ç ã o
b a l a n ç o da p o p u l a ç ã o de n e u t r o n s num e l e m e n t o de v o l u m e
r e n c i a l , sendo que a a p r o x i m a ç ã o
uma d i r e ç ã o
preferencial
lei de F i c k , e x p r e s s a
usada, consiste
em
de
dife-
impor-se
ã c o r r e n t e i T q u i d a de n e u t r o n s ,
pela
por J = - DVcj), ou s e j a , a c o r r e n t e
iTqu^
da tem a d i r e ç ã o c o n t r á r i a a do g r a d i e n t e do f l u x o . A c o n s t a n -
25
de p r o p o r c i o n a l i d a d e D é c h a m a d a c o e f i c i e n t e d e d i f u s ã o / 3 1 / .
Não é p r á t i c o em c á l c u l o de r e a t o r e s t r a t a r a e n e r g i a do n e u t r ó n c o m o u m a v a r i á v e l
continua. Usualmente, faz-se
a a p r o x i m a ç ã o e m m u l t i g r u p o , o n d e a f a i x a de e n e r g i a de i n t e r e s s e é d i v i d i d a em um n ú m e r o f i n i t o de g r u p o s d e e n e r g i a d i £
c r e t o s * , como
i l u s t r a d o na f i g . (4.1) / 7 / .
Grupo
1
Grupo
2
Grupo
g
Fofxa
Eg-r
de
interesse
Eg
E
•
Grupo
Fig.4.1-
Ilustração
de
da
cresc
G
estrutura
de
multigrupo
energia.
N e s t e t r a t a m e n t o , os g r u p o s d i s c r e t o s de e n e r g i a s ã o
dos s o b r e um i n t e r v a l o de i n t e r e s s e q u e t e m
defini-
c o m o l i m i t e su
p e r i o r e Eg c o m o l i m i t e i n f e r i o r . D e n t r o d e s s e i n t e r v a l o d e f ^
n e - s e a e s t r u t u r a de m u l t i g r u p o , o n d e ao í n d i c e g a s s o c i a - s e
a energia E^ como limite superior e E
como limite
* Em cálculos de multigrupo é frequente o uso da variável
que é definido como
trón.
v = ín -J- onde
inferior.
letargia
e a máxima energia
do
(y)
neu-
26
A s s i m a p a r t i r do f l u x o d e p e n d e n t e da p o s i ç ã o e energia, (|)(r,E),
do s i s t e m a o b t é m - s e um f l u x o d e g r u p o <í>g(n) d e f i n i d o p o r
rE
(|)(r,E)dE ,
g-1
que é o f l u x o de n e u t r o n s do g r u p o g . As c o n s t a n t e s
nuclea-
res de c a d a g r u p o
difusão,
( s e ç õ e s de c h o q u e , c o e f i c i e n t e
etc.) s ã o c o n s i d e r a d a s
devidamente
ponderadas
4.1, A Equação
lanço de neutrons
grupo g
-
no r e s p e c t i v o
destas
constantes,
grupo de e n e r g i a .
de D i f u s ã o
A equação
Fuga do
como valores médios
de
de difusão
num elemento
absorção do
grupo g
-
(II)
(I)
em estado estacionario
de volume d i f e r e n c i a l , ou seja
produção
espalhaespalhamento p/ - mento p/
no
grupo
+
fora de g
dentro de g
g
pode ser expressa
- V , LDg(!:)^<í'a(í:)l
g
-
= o.
(V)
(IV)
(III)
ou e m t e r m o s d a s c o n s t a n t e s d e m u l t i g r u p o , a e q u a ç ã o
ço a c i m a
é o ba-
de balaji
como:
^li^J
*n(!:)
g^~' "g
+
2
ir)
(|)^(r)
h=l
(I)
(ii + i i i )
+ Sg(r) = O ,
(V)
(IV)
(4.1.1)
27
o n d e o t e r m o (I) r e p r e s e n t a o t e r m o de f u g a , e s e n d o Dg(!^) o coe
f i c i e n t e de d i f u s ã o do g r u p o g, ^gV)
grupo g e
V
taxa total
a. s e ç ã o
o f l u x o de n e u t r o n s
operador gradiente, O termo
(II+IIl)representa a
de i n t e r a ç ã o de n e u t r o n s c o m
de c h o q u e
total
=
+ E^
de n e u t r o n s do g r u p o g, O
é o t e r m o de e s p a l h a m e n t o
do
sendo
t e r m o (IV)
de n e u t r o n s de o u t r o s g r u p o s
h
pa
ra d e n t r o do g r u p o g, c o m E ^ ^ ^ a s e ç ã o de c h o q u e de e s p a l h a m e n t o de n e u t r o n s de q u a l q u e r g r u p o h p a r a o g r u p o g, inclusj_
v e , os q u e são e s p a l h a d o s
e p e r m a n e c e m no m e s m o g r u p o ou h = g ,
O t e r m o ( V ) d e s c r e v e a taxa c o m que os n e u t r o n s são
produzidos
no g r u p o g, isto e , a taxa c o m que n e u t r o n s c o m e n e r g i a no g r u
po g são g e r a d o s c o m o r e s u l t a d o das f i s s õ e s
induzidas
t r o n s de t o d a s as e n e r g i a s , e das p o s s T v e i s f o n t e s
Mais
por
ne£
externas.
explicitamente,
G
h=l
onde:
Xg
i n d i c a a p r o b a b i l i d a d e de um n e u t r o n de f i s s ã o
e m i t i d o no g r u p o
^
g,
é o f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o e f e t i v o , e x p r e s s a n d o
t a x a do n ú m e r o de n e u t r o n s de f i s s ã o em d u a s
ções
a
gera-
sucessivas,
é o n ú m e r o m é d i o de n e u t r o n s de f i s s ã o
produzidos
por f i s s ã o c a u s a d a por n e u t r o n s de e n e r g i a
é a s e ç ã o de c h o q u e de f i s s ã o do g r u p o \}, e
Sg^*
ser
a f o n t e e x t e r n a de n e u t r o n s no g r u p o
g.
h,
28
4.2.
Técnica
Variacional
Conforme discutido
cional
no c a p T t u l o
p o d e ser u s a d a p a r a a d e r i v a ç ã o
v a l e n t e de u m a d a d a e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l
forma
p a r t i n d o da e q u a ç ã o de
-V.D(r)V({)(r) + ^^{r)<i,{rj
com as c o n d i ç õ e s
de
III, a técnica
varia
da f o r m a i n t e g r a l
(apéndica A ) .
equj^
Desta
difusão*
= S(r)
,
r S
íl ,
(4.2.1)
contorno**
cf)(r) = O
,
r
£
(4.2.1a)
r G
(4.2.1b)
e/ou
3
cí)(r) = O ,
3n
o n d e t o d o s os s í m b o l o s f o r a m d e f i n i d o s
nou-se o subscrito
g, r e f e r e n t e
anteriormente e elimi-
ao g r u p o de e n e r g i a . Com
sas c o n s i d e r a ç õ e s
o funcional
l{r,<t>A')
{-D(r) [V(í,(r)]2 - l^{r)<t>[{r) 2
- \
equivalente
+ 2S(r)(})(r)} dfi
o n d e (j)' r e p r e s e n t a
*
es-
s e r á d a d a por / 8
/
+
,
(4.2.3)
o g r a d i e n t e de <t>.
Neste capTtulo discute-se apenas a equação a um grupo de energia,
o
que é justificável, na medida em que as soluções das equações multigrupo podem ser interpretadas como uma sucessão de problemas
a
um
grupo (apêndice B ) .
**
Adota-se nesse trabalho as condições de contorno mais usuais (p{r) = O,
r 6
onde r
inclui a distância extrapolada e |^ = O,
da condição de simetria do reator.
proveniente
29
S o l u c i o n a r a e q u a ç ã o de d i f u s ã o na f o r m a
cial, equação
(4.2.1), é equivalente a extremizar o
dado pela equação
em subdomTnio
um e l e m e n t o
diferen-
(4.2.3).
funcional
Para tal, o domTnio ü e
( e l e m e n t o s ) , Í2
dividido
, e escrevendo o funcional
para
(e) t e m - s e ,
I = l
l(^)
,
(4.2.4)
e
onde
I^^^
significa que a integral
no s u b d o m T n i o
((elemente
elemento)
.
d e v e ser e f e t u a d a
apenas
O M E F c o n s i s t e e n t ã o , em
apro-
x i m a r o f l u x o <})(r) por
*(r) =
o n d e P.j(r) são as f u n ç õ e s
m e n t e de tal m a n e i r a
I
<>
li
U^{r)
base,
,
(4.2.5)
sendo
definidas
usual-
que
1
, i = j
(4.2.6)
O
ou
seja a função
base
c o m os p o n t o s n o d a i s
é unitaria quando a v a r i á v e l
r
coincide
( p o n t o s p e r t e n c e n t e s ãs f r o n t e i r a s
e l e m e n t o s ) , e desta forma
nodais.
, i ?^ j
e o v a l o r de ^{r)
nesses
pontos
D e s t a f o r m a , com e s t a a p r o x i m a ç ã o , o f u n c i o n a l
ca s e n d o f u n ç ã o dos v a l o r e s
mizá-lo, deve-se
n o d a i s <^^, e p o r t a n t o
para
dos
I fiextre-
ter
= O ,
i = 1 .2,....n ,
(4.2.7)
9(f,.
o b t e n d o - s e e n t a o um c o n j u n t o de e q u a ç õ e s
l i n e a r e s , p a r a os V c [
1 o r e s (f)^ .
Com o o b j e t i v o de e x e m p l i f i c a r o M E F c o m a
técnica
30
v a r i a c i o n a l ; seja o desenvolvimento
acima discutido,
ao c a s o de g e o m e t r i a u n i d i m e n s i o n a l
(Fig. (4.2.1)). Nesta c a -
so, I
aplicado
e d a d o por
^j
I ^ X , $ , ( } , ' )
=
i
{- D ( x ) (^)
- Z (x)[c^(x)] +
^i
+ 2S(x)(})(x) } dx ,
o n d e X . e x . sao p o n t o s a d j a c e n t e s
1
F i g . 4.2.1
ao e l e m e n t o
2
1
(4.2.8)
a
2
X.
- I l u s t r a ç ã o da g e o m e t r i a
b
tn*^
m
m-t
X.
(e)
unidimensional
com
os
elementos .
P a r t i c u l a r m e n t e , seja a função
ção l i n e a r e d e s t a f o r m a o f l u x o
so p o r
é . X .
c^^^^x) = 11_J
-
A .X .
p a r a um e l e m e n t o
* .
1J_L + 12.
^j - ^•
base
*i
X
,
,
uma fun
sera
exprès
X^. < X < X j
^j
(4.2.9)
31
e c o n f o r m e ja d i s c u t i d o , (}>. = (|>(x.) e cf). = Hx.),
I
'
J
do f l u x o nos nos a d j a c e n t e s ao e l e m e n t o .
principio
os
valores
J
Desta forma
pelo
variacional
=0
,
m = 1 , 2 , . . . ,n ,
(4.2.10)
^m
ou
^=
I I I ! = 0 . 0 . ...
^*m
e
. i l l ^ . 0 . ... . 0 ,
^*m
^*m
^'^m
(4.2.11)
onde a e b referem-se a elementos ã esquerda e d i r e i t a ,
p e c t i v a m e n t e , do no m ( F i g . 4 . 2 . 1 ) . P o r t a n t o
pela e q .
res-
(4.2.8)
e (4.2.9) o b t é m - s e :
lili!..
3*
°'^''vvi'. ^
Ax
m
„
6
,.
"
.
2
(4.2.12a)
—
^
(2*™ ^ V i ' ^ - 7 - >
(4.2.12b)
o n d e Ax é a l a r g u r a do e l e m e n t o , considerada constante.
Da e q u a ç ã o
(4.2.11) resulta
32
AX
AX
í-
n(«) - n(b)
-Ú'^
-
m
Ax
Ax
(b)
Ax
+
AX
(3(a) ^ 3 ( b ) ^ ^
AX
O
(4.2.13)
q u e r e p r e s e n t a o s i s t e m a de e q u a ç õ e s a l g é b r i c a s
simultâneas,
q u e r e s o l v i d a s por um m é t o d o a p r o p r i a d o f o r n e c e os valores
variáveis
i n c ó g n i t a s c|)^, m = l , 2 , . . . , n e p o r t a n t o a
das
solução
do p r o b l e m a .
4 . 3 . T é c n i c a dos R e s T d u o s P o n d e r a d o s
( a p r o x i m a ç ã o de
P a r a a d e r i v a ç ã o da f o r m a i n t e g r a l
e q u a ç ã o de d i f u s ã o , a t é c n i c a d o s r e s T d u o s
plica a equação
Galerkin)
equivalente
ponderados
ã
multi-
( 4 . 2 . 1 ) por u m a f u n ç ã o p o n d e r a ç ã o w ( r ) e i n -
t e g r a no d o m T n i o Q p a r a o b t e r - s e a f o r m a f r a c a da e q u a ç ã o
de
d i f u s ã o , ou s e j a
w(r)D(r)V^())(r)dfi +
w(r)S(r)díí .
Í2
(4.3.1)
ou u s a n d o a i d e n t i d a d e de G r e e n p a r a o p r i m e i r o
D(r)V({)(r)Vw(r)díí +
termo.
w ( r) í ^ ( r) (j) ( r) dQ =
9
w(r)S(r)díí -
w(r)D(r) |1
dOí2),
(4.3.2)
33
onde a integral
no c o n t o r n o
te t r a b a l h o , r e s t r i n g i u - s e
torno.
ta
dü se a n u l a , na m e d i d a em
a condição
Com e s s a s c o n s i d e r a ç õ e s
't' ou |^
a forma fraca
que,ne£
n u l o s no
con-
pode ser e s c r i -
como
w(r)Eg(r)(})(r)dfi =
D(r)V(í)(r)Vw(r)dfi +
w(r)S(r)dí^ .
(4.3.3)
Aproximando
o f l u x o de n e u t r o n s
por
(j)(r) = ^ a . y . (r)
o n d e a . sao os p a r â m e t r o s
bases,
L
(4.3.4)
,
a determinar
e y.j(*;;) são as
funções
tem-se
a. /
í D ( r ) V y . (r)Vw(r)dí2 + j
w(r)S(r)dí^
Pelo M E F , d i v i d i n d o
( r )w( r)y . ( r ) d n | =
.
(4.3.5)
o domTnio
ü
em s u b d o m T n i o s
ou
p
elementos
elemento
(fi ,
e = l,2,...n), e definindo
s e n d o os c o e f i c i e n t e s
a^. os v a l o r e s
a^ = (f)^ ( v a l o r e s do f l u x o q u a n d o
ces do e l e m e n t o
como a somatória
( e ) ) , a equação
ponderados
ponderação
como
a. y.(r)
cada
coordenada
( 4 . 3 . 4 ) p o d e ser
(4.3.6)
dos
e,
vértj_
interpretada
elemento.
os c o e f i c i e n t e s
com a aproximação
sendo
,
n o d a i s de (|) ( r ) , isto
r e a
dos f l u x o s em c a d a
Para d e t e r m i n a r
ções
para
como
.(^)(r) = L
resTduos
o fluxo
a^ , a t é c n i c a
de G a l e r k i n
dos
t o m a as fun_
i g u a i s ãs funções bases ou w(r)=y-(r) .
J
34
Assim
a eq. (4.3.5) torna-se:
^a(r)y.(r)yj(r)dfi
D(r)Vy .(r)Vyj(r)dn +
yj.(r)S(r)dfi
que c o n s t i t u e m
ra os v a l o r e s
numérica
um c o n j u n t o
nodais
conveniente
Como
do f o r m a l i s m o
de g e o m e t r i a
+
. V. D g ( x , y ) V * g ( x , y )
s
1
Vg(^'y)^(^'y)
h=l
(4.3.7)
de e q u a ç õ e s a l g é b r i c a s
esses coeficientes
ção de d i f u s ã o m u l t i g r u p o
9-1~¡
j = 1 , 2 , . . .n ,
<j)^ . D e s t a f o r m a , u s a n d o - s e
ilustração
caso particular
,
^
r
na
l i n e a r e s pa^
uma
técnica
p o d e m ser determinados.
d e s e n v o l v i d o , seja
bidimensional
(X-Y) c o m a
o
equa-
forma
Z^(x.y)c{>g(x,y)
X
4 ,
-f
E
^h^h(^'y^*h(^'y)
h=l
.
^
S^^^x.y)
g = 1 , 2 , . . . ,6
(4.3.8)
R r
o n d e C g é a s e ç ã o de c h o q u e de r e m o ç ã o do g r u p o g,
R
T
isto
é,
S
= Eg - Eg^g
, e os d e m a i s
termos
c u t i d a s no i n T c i o d e s s e c a p T t u l o
t o r n o as m e s m a s
da s e ç ã o 4 . 2 .
tem a i n t e r p r e t a ç ã o
e s e n d o as c o n d i ç õ e s
Particularmente,
de
discon-
considerando
BX t
-se Sg
(x,y)
= O e usando o formalismo
apresentado
m e n t e , p o d e - s e o b t e r a f o r m a f r a c a da e q . ( 4 . 3 . 8 ) ou
anterior-
•a rb
Dg(x,y)V(j)g(x,y) V w ( x , y ) d y dx +
0
0
Zg(x,y)(i)g(x,y)w(x,y) dy dx
0
0
X
a
G
b
^J(x,y)(i)f^(x,y)w(x,y) dy dx +
K
h=l
g-1
I
h=l
0
a
0
b
Í
Í
0
0
^^^Ax,y)<¡>A>^,y)^{>^,y)
dy dx
g = 1 , 2 , . . . ,G
(4.3.9)
o n d e V = g9 ^ +. 39 y e a e b
i l u s t r a d o s na F i g .
4.3.1
i+1
III
IV
J -1
i-1
F i g . 4,3.1
i+1
- Discretizaçao
bidimensional
(X-Y)
Dividindo o domTnio 0 < x
tos e a p r o x i m a n d o o f l u x o
1
< a,
0<y<b
em
elemen-
por:
j
ou
(4.3.10)
1
onde y.
J
-(x.y) = y . ( x ) y . ( y ) são as f u n ç õ e s b a s e s , s e n d o
n e s t e t r a b a l h o r e s t r i n g i u - s e a f u n ç õ e s b i l i n e a r e s /26
y^íx)
yi(x)
^ - ^•-l
X . _ .| < X ^
que
/ ou se
X .
- <
(4.3.11a)
X . . -, -
s>i
X
-
uj(y)
^j-i^
yj
(4.3.11b)
y.--.i - y
y,-j í y í y
j+i
í
ou
y|(x)yj(y)
,
em
I
y • {x)yj(y)
,
em
11
y. .(x,y) = <
1
(4.3.12)
sJ
yí(x)yj(y)
,
em III
y^- ( x ) y j ( y )
,
em IV
37
o n d e f o r a da r e g i ã o e s p e c i f i c a d a , i n d i c a d a na f i g u r a 4 . 3 . 1 , a
função y.
1
•(x,y) se a n u l a .
5
J
E s c o l h e n d o - s e as f u n ç õ e s w ( x , y ) i g u a i s as
funçõesb£
s e s , p o d e - s e d e r i v a r um c o n j u n t o a c o p l a d o de s i s t e m a s
linea-
res ou
g-1
íg
- Rg $g = 1 Xg S .
E ^ ^ ^ $h
'
^ = 1.2,...,G
(4.3.13)
onde F e a
m a t r i z NxN (N = n9 de e l e m e n t o s )
t e r m o de f u g a , p o d e n d o ser c a l c u l a d a
k,^
R, S e E
r
V
g
p o d e m ser o b t i d a s
correspondente
ao
por
(4.3.14)
u
respectivamente
por
(4.3.15)
i
i
j
Ü
e
j
L
fi^
V,
h=l
s(e)
S - g ^-j
'k,£
i
j
onde
y , ^ , d a « , (4.3.16)
e
^kü
(4.3.17)
Í2
k = 1 ,2 ,. . . n
a = 1 , 2 , . . .n
e o s i g n i f i c a d o de c a d a t e r m o é a p r e s e n t a d o
no a p ê n d i c e B
38
As m a t r i z e s
F , R , S e E , p a r a g e o m e t r i a p l a n a em duas
d i m e n s õ e s , com e l e m e n t o s
sas,
de f o r m a r e t a n g u l a r são do t i p o
com b l o c o s de s u b m a t r i z e s
v a r na f i g u r a 4.3.2
tridiagonais como pode-se
espar
obser
p a r a o c a s o em q u e se t e n h a r e d e 4 x 4 , i s -
to é , 16 e l e m e n t o s .
^ é o v e t o r i n c ó g n i t a (IxN) o n d e N e o
m e n t o s , sendo dado pela eq.(4.3.18)
X X 0 0
X X 0 0 ;
X X X 0
X X X 0 !
!
0 X X X
0 0 X X
;
0
Î
;
0 X X X ¡
¡
0 0 X X ¡
1
!
X X 0 0
x x o o ' i x x o o
X X X 0
x x x o î x x x o
1
!
o x x x ¡ o x x x
¡
o o x x i o o x x
x x o o ! 1 x x o o
!
0 X X X
n ú m e r o de
¡
0
0
0 0 X X
L_
0
1
¡ x x o o
x x x o j
x x x o
j x x x o
o x x x ;
o x x x
¡ o x x x
o o x x !
o o x x
¡ o o x x
¡ " x x o o
¡ x x o o
¡ x x x o
¡ x x x o
1 o x x x
¡ o x x x
1 o o x x
¡ o o x x
0
X - e l e m e n t o não
O - elementos
Fig.4.3.2
nulo
nulos
- E s t r u t u r a das
matrizes
ele
4>(1,1)
m,2)
ct)(2J)
0(2,2)
(4.3.18)
<Í>(2.J)
M U )
cí>(l,2)
(t)(I,J)
40
CAPTTULO
RESULTADOS
V
NUMÉRICOS
Como m e n c i o n a d o a n t e r i o r m e n t e um dos o b j e t i v o s
para
a e x e c u ç ã o d e s s e t r a b a l h o foi a p r e n d e r a t é c n i c a u t i l i z a d a
ra r e s o l v e r p r o b l e m a s c o m o M E F . Para e s s e p r o p ó s i t o ,
pa
além
dos p r o b l e m a s em d u a s d i m e n s õ e s e s p a c i a i s e m u l t i g r u p o , f o r a m
equacionados e solucionados
p r o b l e m a s de u m a d i m e n s ã o em d o i s
g r u p o s de e n e r g i a c o m a t é c n i c a v a r i a c i o n a l
e a técnica
G a l e r k i n e um p r o b l e m a c e l u l a r u t i l i z a n d o a t é c n i c a
de
variacio-
nal .
A s e g u i r s e r ã o a p r e s e n t a d o s os r e s u l t a d o s o b t i d o s pe
Io p r e s e n t e t r a b a l h o e os o b t i d o s
dos r e s u l t a d o s a n a l T t i c o s
lativa entre esses
pelo c ó d i g o C I T A T I O N ,
além
para alguns c a s o s , e a d i f e r e n ç a
resultados.
re
41
V.l. PROBLEMA 1
T i t u l o : C á l c u l o do f a t o r de d e s v a n t a g e m
térmica.
D e s c r i ç ã o : E s t e p r o b l e m a c o n s i s t i u em c a l c u l a r o f a t o r de
v a n t a g e m t é r m i c a p a r a uma c é l u l a p l a n a
vel + m o d e r a d o r ) , o qual
/
a
é definido
(combustí-
por
(í) (x)dx
(5.1)
A
/
o
de£
(í)Jx) dx
o n d e a é a e s p e s s u r a do c o m b u s t í v e l
a e s p e s s u r a do m o d e r a d o r
(m)
(c) e A = b - a ,
e (p^ e <i)^ são os flu^
x o s nas r e g i õ e s do m o d e r a d o r e c o m b u s t í v e l
respec-
t i v a m e n t e . A g e o m e t r i a , b e m c o m o as c o n s t a n t e s
c l e a r e s , são i l u s t r a d a s na f i g u r a
nu-
5.1.1
1
comb .
moder.
1 D = 2,92cm
D = 0,16 cm
E
1
=0,1121
-1
cm
0
.
a
a=0,30cm
Fig.5.1.1
E = 0,0197
^
-1
cm
A
t)
=1,35 cm
- Geometria e constantes nucleares
celular.
x
para o problema
42
Resultados : P a r a a o b t e n ç ã o de K e q . ( 5 . 1 ) , d e s e n v o l v e u - s e
p r o g r a m a u t i 1 i z a n d o - s e o m é t o d o dos e l e m e n t o s
tos com a t é c n i c a v a r i a c i o n a l , c o n f o r m e
na
seção 4.2,
obtendo-se
dos na t a b e l a 5 . 1 . 1 , a qual
mostraparámetro
p a r a d i f e r e n t e s n ú m e r o s de e l e m e n t o s . E s s e s
t a d o s são c o m p a r a d o s c o m o r e s u l t a d o
fin^
discutido
os r e s u l t a d o s
reporta este
um
resul-
referencia o b -
t i d o pela s o l u ç ã o a n a l í t i c a / 31 /
no de
MEF
(O
dif.relat.*
34
1 ,0986
0.76
40
1 .0994
0.69
60
1 ,1039
0.28
elementos
* o resultado
ticamente
Tab.5.1.1
%
r e f e r e n c i a foi o b t i d o a n a l i -
( R e f . a n a l i tico = 1 . 1 0 7 0 )
- F a t o r de d e s v a n t a g e m
térmica(ç)
do problema 1.
INSTITUTO D E P E S Q U ' S A S E N E R G É T I C A S E N U C L E A R E S
I. P . E . N .
43
V.2. PROBLEMA
2
T í t u l o : Reator tipo p l a c a , duas r e g i õ e s , dois g r u p o s .
D e s c r i ç ã o : E s t e p r o b l e m a c o n s i s t i u em c a l c u l a r a d i s t r i b u i ç ã o
de f l u x o s r á p i d o
cação
e t é r m i c o e o f a t o r de m u l t i p l i -
( K ) , para um r e a t o r t i p o p l a c a com d u a s
giões: o caroço e o refletor. A geometria,
sões e as c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o
são i l u s t r a d o s na f i g . 5.2.1
nucleares
para este
s e n d o as
dimenproblema
constantes
para as d u a s r e g i õ e s e p a r a d o i s
de e n e r g i a m o s t r a d a s
na t a b e l a
re-
grupos
5.2.1.
R e s u l t a d o s : Para a o b t e n ç ã o da d i s t r i b u i ç ã o de f l u x o p a r a
d o i s g r u p o s de e n e r g i a , e o f a t o r de
os
multiplicação
( K ) , u s o u - s e o m é t o d o dos e l e m e n t o s f i n i t o s com as
duas técnicas
(variacional
das no c a p T t u l o
IV.
e Galerkin)
Na t a b e l a 5,2.2
o f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o
apresenta-
a p r e s e n t a - se
obtido pela aplicação
d u a s t é c n i c a s , para v á r i a s l a r g u r a s de
( L / 6 , L / 1 2 , L / 2 4 , L/48)
os r e s u l t a d o s o b t i d o s
que o r e s u l t a d o
elementos
e e s t e s são c o m p a r a d o s
pelo c ó d i g o C I T A T I O N ,
com
sendo
referência adotado é p a r a A x = L / 6 0 .
Os e r r o s r e l a t i v o s
são a p r e s e n t a d o s na tabela 5.2.3.
O c r i t é r i o de c o n v e r g ê n c i a u t i l i z a d o p a r a e s s e
b l e m a foi c o m r e l a ç ã o ao a u t o v a l o r ,
^(n)
pro
i.e..
_ ^(n-1 )
<
e
1
K (n)
o n d e C j é um v a l o r e s p e c i f i c a d o
o n ú m e r o de
das
-8
(10" ) e n
indica
iteração.
A i n d a , em r e l a ç ã o ao p r o b l e m a 2, i l u s t r a - s e na
la 5 . 2 . 4 , para v á r i o s
tab£
p o n t o s do r e a t o r , o fluxo tej^
mico normalizado obtido
pelo p r e s e n t e t r a b a l h o
pelo c ó d i g o C I T A T I O N . P a r a o c a s o do M E F
e
usou-se24
e l e m e n t o s e p a r a o C I T A T I O N d i v i d i u - s e o r e a t o r em
60 p a r t e s . Na f i g . 5.2.2
fluxo térmico normalizado
ilustra-se graficamente o
para A x =
L/24,Ax=L/48
44
(MEF) e A x
= L / 6 0 ( C I T A T I O N ) . Pelo v a l o r do e r r o
l a t i v o p a r a f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o
o fluxo
(da o r d e m de 1%)
considerados
(f) = O
Ref1etor
(< 1%)
os r e s u l t a d o s
re
e
para
podem
ser
satisfatórios.
(j) = O
Ref1etor
C o m b u ítTvel
L/3
-* x
L=60cm
Fig.5.2.1 - G e o m e t r i a e s q u e m á t i c a do r e a t o r do p r o b l e m a 2
GRUPO
Caroço
Refletor
RÁPIDO
D^
(cm)
1 .5
1 .2
Ey^
(cm"l )
0.0623
0.101
0.06
0.1
(cm~^ )
0.0
0.0
(cm/seg)
1,0
vE
r:
f1
x 10^
1 .0
>^1
GRUPO
TÉRMICO
D2
(cm)
0.4
0.15
E-p
(cm"^ )
0.2
0.02
0.218
0.0
-1
2
V E .
(cm
')
^2
V2
(cm/seg)
X2
Tab.5.2.1
2,2
X
10^
0.0
- Constantes
n u c l e a r e s do p r o b l e m a 2
45
GALERKIN
VARIACIONAL
CITATION
L/6
1.0226
1.0149
-
L/12
1.0215
1.0188
1.02064
L/24
1.0211
1.0198
1.02060
L/48
1.0209
1.0212
-
A X
1
1.02083
L/60
Tab.5.2.2 - Valores do Kef do problema 2
A
X
GALERKIN
L/6
0.173 %
0.581 %
L/12
0.066 %
0.199 %
L/24
0.026 %
0.101 %
L/48
0.009 %
0.04
VARIACIONAL
t
Tab. 5.2.3 - Erro do Kef deste trabalho
relação ao do CITATION ( K e f
= 1 ,02083).
em
46
x(cm)
MEF
CITATION
Erro relati
vo (%)
~
-
1.00
1 .00
2.5
0.99663
0.99675
0.012
7.5
0.96978
0.97009
0.032
12.5
0.91680
0.91678
-0.002
17.5
0.83912
0.83875
-0.044
22.5
0.73883
0.73797
-0.117
27.5
0.61866
0.61743
-0.199
32.5
0.48282
0.48134
-0.307
37.5
0.37960
0.38036
0.200
42.5
1.0901
1.0728
-1.613
47.5
0.53754
0.52737
-1.928
52.5
0.16733
0.16612
-0.728
57.5
0.03475
0.03486
0.316
0
Tab. 5.2.4 - Valores de <i>{x)/<t>{0)
do problema 2.
47
CITATKMM (60 pontos)
MEF ( A X = L/48)
MEF{AX=L/24)
Fig.5.2.2
- F l u x o t é r m i c o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a 2
48
V.3. PROBLEMA 3
T i t u l o : Reator com duas regiões
(combustível
e refletor)
em
d u a s d i m e n s õ e s , 2 g r u p o s de e n e r g i a .
Descrição :
E s t e p r o b l e m a c o n s i s t i u em c a l c u l a r as
distribui-
ç õ e s de f l u x o s t é r m i c o s e r á p i d o s p a r a um
reator
c o m d u a s r e g i õ e s , em g e o m e t r i a X - Y , c o m s i m e t r i a em
x = 0 e y = 0, c o n f o r m e i l u s t r a d o na f i g u r a
5.3.1.
As
c o n s t a n t e s n u c l e a r e s n e c e s s á r i a s são as m e s m a s
do
p r o b l e m a 2 ( t a b e l a 5.2.1 ).
Resultados
Para a obtenção dos r e s u l t a d o s
para a
distribuição
de f l u x o , b e m c o m o do f a t o r de m u i t i p l i c a ç ã o . u s o u -se o f o r m a l i s m o d i s c u t i d o na s e ç ã o 4.3
f e c ç ã o do p r o g r a m a de c o m p u t a d o r
r e a t o r foi d i s c r e t i z a d o
p a r a a coji
(apêndice B ) .
em (I,J) e l e m e n t o s ,
q u e na f i g . 5 . 3 . 2 , e x e m p l i f i c a - s e um c a s o de
cretizaçao
O
sendo
dis-
( 8 x 8 ) . Os v a l o r e s do f a t o r de m u l t i p l i -
c a ç ã o para d i f e r e n t e s di s c r e t i z a ç õ e s são a p r e s e n t a ^
das na t a b e l a 5.3.1
referência obtido
zaçao
e c o m p a r a d o s com
o
resultado
pelo C I T A T I O N p a r a uma d i s c r e t i -
( 4 0 x 4 0 ) . A d i s t r i b u i ç ã o de p o t ê n c i a
z a d a é i l u s t r a d a na f i g . 5.3.3
e comparado
o b t i d a p e l o c ó d i g o C I T A T I O N , A l e m d i s s o os
rápido
e
térmico
nas f i g u r a s
5.3.4
na p o s i ç ã o y = 15 cm são
e 5.3.5
normalicom
a
fluxos
ilustrados
respectivamente.
49
0 = 0
FCFLETOR
dy
L/2
0:0
CAROÇO
L/2
J _
Fig.5,3.1
L = 40 cm
0 í O
- G e o m e t r i a , D i m e n s õ e s e C o n d i ç õ e s de
para o problema
3.
Contorno
50
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
F i g . 5.3.2
- D i s p o s i ç ã o da m a l h a
( 8 x 8 ) do r e a t o r do
problema
3.
MALHA
MEF
4 x 4
0,90488
0.90991
- 0,902%
6 x 6
0,89860
0,89823
-
8 x 8
0,89560
-
-
0,89679
40
X
40
* r e l a t i v o ao C I T A T I O N
Tab.5.3.1
CITATION
ERRO
RELATIVO*
0,202%
0,133%
T
(40x40)
- V a l o r e s do f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o do problema
3.
51
L/2
0,44431
0,34646
22,20%
0,59074
0,52303
0,71625
0,50583
-21 ,25
3,29
0,84597
0,70726
0,62821
0,91902
0,81367
0,57728
-8,63
-15,04
8,11
1,0
0,91985
0,76928
0,68380
1,0
0,95889
0,80038
0.60258
-4,04
11 ,88
-4.24
L/2
CITATION
MEF
Bif.ReU%)
Fig.5.3.3 - Distribuição de potência normalizada do problema 3.
52
CITATION
X
(em)
F i g . 5 . 3 . 4 - F l u x o r á p i d o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a 3 na
y =
15 c m .
posição
53
'.8
CITAnON
X(cm)
F1g.
5.3.
5 - Fluxo
t é r m i c o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a 3 na po-
s i ç ã o y = 15 c m .
INSTITUTO DEPESQU!SAS ENERGÉTICAS E NUCLEARES
I, p ; E . N .
54
V.4
Título:
R e a t o r ZION-1
D e s c r i çao :
PROBLEMA
4
em d o i s g r u p o s de e n e r g i a e 5 z o n a s
E s t e p r o b l e m a c o n s i s t i u em c a l c u l a r a
de f l u x o e f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o
distribuição
para o caroço
do
r e a t o r ZION-1 , o qual
é um r e a t o r de p o t ê n c i a / 9/,
e tem s i d o u s a d o c o m o
" p r o b l e m a p a d r ã o " (benchmark )
para t e s t e de m é t o d o s de c a l c u l o , em d o i s
grupos
de e n e r g i a
reator
(térmico-rapido). O caroço deste
c o n s i s t e de 5 z o n a s , d e v i d o as d i f e r e n ç a s de e n r i q u e c i m e n t o dos e l e m e n t o s c o m b u s t T v e i s , " b a f f l e " r £
f l e t o r e t c . Na f i g u r a 5 . 4 . 1 , i l u s t r a m - s e as
z o n a s d e s t e c a r o ç o , e na t a b e l a 5 . 4 . 1 , as
de c h o q u e h o m o g e n e i z a d a s
Resultados
por
várias
secções
zona.
O m e s m o p r o g r a m a u s a d o no p r o b l e m a 3 foi
p a r a se e n c o n t r a r r e s u l t a d o s
numéricos
utilizado
para
o
Z I O N - 1 , s e n d o q u e na f i g u r a 5 . 4 . 2 , i l u s t r a - s e o air
r a n j o ou m a l h a s u t i l i z a d a s
p a r a a e n t r a d a no p r o -
g r a m a . Os v a l o r e s p a r a o f a t o r de mui t i p l i c a ç ã o são
os m o s t r a d o s
do p r o b l e m a
na t a b e l a 5 . 7 , j u n t o c o m os
resultados
5 e os o b t i d o s p e l o c ó d i g o C I T A T I O N . A
d i s t r i b u i ç ã o de p o t ê n c i a n o r m a l i z a d a é ilustrada
f i g u r a 5 . 4 . 3 , j u n t o c o m os r e s u l t a d o s do
e na f i g u r a 5.4.4
na
CITATION,
e 5 . 4 . 5 , os f l u x o s r ã p i d o e t é r -
m i c o , a m b o s na p o s i ç ã o y = 7 8 , 4 8 5
cm.
55
-- o
d0
=0
dy
0.-0
4
-\
21.608
h
1_.
21.608
21.608
21.608
21.608
40
dn
Fig.5.4.1
-i
21.608 21.608
=0
- Geometria
do ZION-1
1-
21.608 /
18.7505 (cm)
/2.8575
REGIÃO
GRUPO
DE
ENERGIA
(cm'"")
D (cm)
V E ^ (cm~^)
k->k+l ^
1
1 .41760
0.02597
0.00536
2
0.37335
0.06669
0,10433
1
1 .41970
0.02576
0.00601
2
0.37370
0.07606
0,12472
1
1 .02130
0.00322
0.0
2
0.33548
0.1 4 5 9 6
0,0
1
1 .38377
0.025164
0.0
2
0.29745
0.032006
0,0
1
1 .45540
0.02950
0.0
2
0.28994
0.00949
0,0
0,01742
'
COMPOSIÇÃO
CombustTvei
1
?
2.2 5%
0,01694
CombustTvei
C
3
2.8%
0.0
"baffle"
0.024241
4
+
83.5% ãgua
0.02903
5
Xa = 1.0
1 6 . 5 % a ç o inox
água
X,
=
0.0
Tab.5.4.1
- C o n s t a n t e s n u c l e a r e s do Z I O N - 1 .
O
-
10,804
Ol
<Jt
ro
21,608
i
3
-
ro
Ol
Ol
-
ro
-»
Ol
Ol
ro
ro ro
ro
Ol
(*l
ra
1»
f»
ra
(K
Ol
Ol
<ff
I»
na
Ol
o>
Ol
o»
3
9
OD
a
3
(»
Q.
O
en
o
O
3
o
a>
M
O
ro
21,608
-
EN
3
3
o
o
n
3
o
(ft
o.
o
21,608
2,8575
-
ro
21,608
O
CO
2,8575
ro
—
-
O
a.
o
2,8575
18,7505
CU
CU
(9
en
».
3
O
o
CM
t
s
....
o
o»
(H
(M
(«1
Ol
Ol
Ol
(H
en
m
Ol
(il
(ff
u
Ol
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(*l
Ol
Ol
Ol
Ol
(ff
4k
Ol
(ff
Ol
(Il
Ol
Ol
Ol
Ol
(ff
CU
Ol
(»
Ol
(Il
Oi
Ol
Ol
(ff
Ol
(II
Ol
(A
(Il
(H
Ol
(H
Ol
(ff
(ff
2,8575
18,7505
3
(Jl
3
18,7505
O
—
18,7505
I
T3
Ol
•• . , ,j
! . .
o»
o
o»
1
.
J O
09
œ
Vi
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1
1——1
y
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- ra
»
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O
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w
o
<" (ff
;á O
S
S
Ol
W
GR
^
«
Ol
o»
Ol
,^
»
o
58
0.8696
0,7214
17,04
1,00
1,00
0,5634
0,5191
7,86
0,3612
0,3165
12,38
0,7314 0.6412
0.6417 0,5612
12,26 12,48
0,4567
0,4062
11,06
0,7747 0,6813
0,7649 0,5493
0,5179
0,5333
0,3335
0,2996
19,37
- 2,97
10.16
1,27
0,9752
0,9193
0,8156 0,7212
0,5696
0.3900
0,8174
16,18
1,0318 1,0025
0,8929 0,9878
13,46
1,47
0,9012
1,97
0,9442
0,7801
17,38
0,6759 0,6890
17,13
4,46
0,8357 0,7343
0,7821 0,6091
6,41 17,05
0,4368
23,31
0,3365
13.72
0,5919
0,5639
4,73
0,4130
0,3590
13.08
1,0331 1.0067
0,9680 0,8504
6,3 15,53
0,9471
0.9515
-0,46
0,8056 0,7446
0,7650 0,7090
5,04
4,78
0,5550
0,5169
6.86
0,4149
0,3683
12,44
CITATION
MEF
Dif.(%)
Fig. 5.4.3
- D i s t r i b u i ç ã o de p o t e n c i a n o r m a l i z a d a
ZION-1
(Problema
4)
do
59
CíTATION
1,0
0,6
0^4 4
9
0^2 +
F i g. 5.4.4.- F l u x o
na
ropido
.posipao
normollzado
y= 7 8 , 4 8 5
cm
do
problema
4
60
CITATION
2
K
F i g . 5.4.5
- Fluxo
no
t é r m i c o
p o s i ç û o
n o r m o l i z o d o
y s
78,485
do
cm
p r o b l è m e
4
DI
V.5
Titulo:
PROBLEMA
Reator 2D-IAEA
5
( " b e n c h m a r k ) em d o i s g r u p o s de
energia
e 4 zonas.
D e s c r i ç ã o : E s t e p r o b l e m a c o n s i s t i u em c a l c u l a r a
de f l u x o e f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o
distribuição
para
o
reator
2 D - I A E A em 2 g r u p o s de e n e r g i a e 4 z o n a s
diferentes.
Na f i g . 5.5.1
esquemáti-
é apresentada a geometria
c a , m o s t r a n d o as d i f e r e n t e s z o n a s e as c o n d i ç õ e s
c o n t o r n o . Na t a b e l a 5.5.1
cleares homogeneizadas
c o n s t a m as c o n s t a n t e s
para cada
de
nu-
zona.
R e s u l t a d o s : A t r a v é s do p r o g r a m a o b t e v e - s e a d i s t r i b u i ç ã o de
tência
(fig.5.5.3) que é comparada com
CITATION.
o
po
código
A d i v i s ã o do n ú c l e o do r e a t o r em e l e m e n -
tos p a r a e n t r a d a no p r o g r a m a é m o s t r a d a na fig.5.5.2.
Nas f i g s . 5.5.4
e 5.5.5
são i l u s t r a d a s as
distribuí
ç õ e s de f l u x o r á p i d o e t é r m i c o , r e s p e c t i v a m e n t e
pa-
ra a p o s i ç ã o y = 1 0 0 . c m . O f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o
apresentado
na t a b .
5.7.
é
62
0 - O
d0
»0
20
-I
2Õ
^
20
20
20
dx
F i g . 5.5.1
20
+
20
1-
20
-\
r-r
20
- O
- G e o m e t r i a do r e a t o r
;:;;TrüTODEPBSQU>SASE^K^ERGÉT,C
2D-IAEA.
íS E NUCLEARES
1-
(cm)
REGIÃO
GRUPO
DE
ENERGIA
D(cm)
1
1,5
2
0,4
0,08
0,135
1
1,5
0,03
0,0
2
0,4
0,085
0,135
1
1,5
0,03
0,0
0,4
0,13
0,135
2,0
0,04
0,0
v E ^(cm"^)
0,03
1
2
0,0
^U.lí^'""^
0,02
comb. 1
0,02
comb
3
2
1
4
0,02
2
comb. +
b a r r a de c o n trol e
0,04
ref1etor
0,3
2
X , = 1 .0
COMPOSIÇÃO
X2
0,01
0,0
= 0.0
T a b . 5.5.1
- C o n s t a n t e s n u c l e a r e s do 2 D - I A E A
64
4
4
4
4
4
4
4
4
4
1
1
1
4
4
4
4
4
4
2
2
1
1
1
4
4
4
4
2
2
2
2
1
1
4
4
4
3
2
2
2
3
1
1
4
4
2
2
2
2
2
2
1
4
4
2
2
2
2
2
1
1
4
2
2
2
2
2
2
2
1
4
3
2
2
2
3
2
2
1
1
-
•
2
1
4
•
Fig. 5.5.2 - D i s p o s i ç ã o
no
da m a l h a do 2 D - I A E A
programa.
para
entrada
65
0,7890
0,5579
29,29
1,00
1,0
0,6352 0,9285
0,5020 1,3634
20,97 -46,84
0,8073
0,6820
15,52
1,6105
1,9608
-21,75
1 ,3085 1,2267
1,7027 1,5839
-30,13 -29,12
1,1437
1,2136
-6,11
1,9782 1,8137
2,3559 2,1938
-19,09 -20,96
1,5932 1,4482
1 ,9893 1,8683
-24,86 -29,01
1,3194 0,9335
1 ,8724 0,7648
-41,91 -18,07
1,9294 1 ,9906 1,7716
2,2559 2,3531 2,1138
-16,92 -18,21 -19,32
1 ,4457 1 ,4020
1,8507 1,8031
-28,01 -28,61
1 ,2858 0,9931
1 ,7284 1,1925
-34,42 -20,08
1,7618
2,1471
-21,87
0,8219 1,2663
0,7545 1,7096
8,20 -35,01
1,2644
1,7175
-35,84
1,9548 1,6316
2,3155 2,0241
-18,45 -24,06
1,Õ1S9
1,2189
-19,63
:iTAtioN
MEF
Di
Fig.5.5.3 - Distribuição da potência normalizada do problema 5,
66
CITATION
170
Fig.5.5.4-
Fluxo
no
rd'pido
posição
y=
normalizado
100,0
cm.
do
problema
5
67
CITATION
A
Fig.
5.5.5-
Fluxo
na
térmico
posiçoo
i
normolizodo
y s 100,0
cm
MEF
do
problème
.
INSTITUTO DE PESQU'SAS E N E R G E T I C S E N U C L E A R E S
I. p- E . N .
..
5
68
MALHA
13
ZION-1
X
13
MEF
CITATION
ERRO RELATIVO
1,27506
1 ,2751427
0,0065%
(80x
1 ,05009
9x9
8 0)
1 ,033999
1 ,556%
2D-IAEA
(170x 170)
18
Tab. 5 . 7 -
X
18
1,03506
0,1026%
V a l o r e s do f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o dos p r o b l e m a s
5.
4,
03
CAPTTULO
VI
CONCLUSÃO E TRABALHOS
FUTUROS
C o n f o r m e r e s u l t a d o s d o s p r o b l e m a s a p r e s e n t a d o s no c a p T t u l o V , o b s e r v a - s e q u e o m é t o d o dos e l e m e n t o s f i n i t o s , u t i l i z a n d o - s e de f u n ç ã o de a p r o x i m a ç ã o
linear com elementos
t a n g u l a r e s , não a p r e s e n t a b o n s r e s u l t a d o s
para o cálculo
p a r â m e t r o s d i f e r e n c i a i s , t a i s c o m o d i s t r i b u i ç ã o de
d i s t r i b u i ç ã o de p o t ê n c i a .
rede
fluxo
e
Isto se t o r n a m a i s a c e n t u a d o em pro
b l e m a s q u e a p r e s e n t a m f o r t e s h e t e r o g e n e i d a d e s , c o m o o 2D-IAEA,
o n d e os r e s u l t a d o s o b t i d o s não d e s c r e v e m s a t i s f a t o r i a m e n t e
a
d i s t r i b u i ç ã o de f l u x o nas r e g i õ e s de p i c o s . E n t r e t a n t o no que
se r e f e r e ao p a r â m e t r o
integral
( f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o )
ve-se bons resultados com erros relativos
p a r a d o com o c ó d i g o C I T A T I O N .
obte
i n f e r i o r e s a 1% c o m
A p e s a r d i s s o , a l i t e r a t u r a mos^
t r a que o M E F é u m a t é c n i c a p r o m i s s o r a , p o i s p o d e c o n d u z i r
considerável
a
r e d u ç ã o na m e m ó r i a e t e m p o c o m p u t a c i o n a l , uma vez
q u e e s t a p e r m i t e o uso de m a l h a s
cisão comparável
l a r g a s p a r a se o b t e r uma
pre
a m é t o d o s de m a l h a s f i n a s , c o m o d i f e r e n ç a s fj_
ni t a s .
F i n a l m e n t e , s a l i e n t a - s e que tais i m p r e c i s õ e s
resul-
t a m , p r i n c i p a l m e n t e , do f a t o de t e r - s e u s a d o f u n ç õ e s b a s e s
l i n e a r e s , as q u a i s não c o n s e g u e m d e s c r e v e r as g r a n d e s
b^
varia-
ç õ e s na d i s t r i b u i ç ã o de f l u x o em e l e m e n t o s a d j a c e n t e s c o m fojr
tes h e t e r o g e n e i d a d e s . D e s t a f o r m a , o p r o g r a m a aqui
do d e v e ser u s a d o p a r a o c á l c u l o de p a r â m e t r o s
desenvolvi^
diferenciais
a p e n a s em n ú c l e o s c u j o s e l e m e n t o s não p o s s u a m g r a n d e s
ç a s nas c o n s t a n t e s
nucleares.
diferein
Além disso, cumpre notar
p a r a se o b t e r u m a boa p r e c i s ã o no v a l o r d o s p a r â m e t r o s
que
inte-
g r a i s , o M E F n e c e s s i t a um n ú m e r o m u i t o m e n o r de e l e m e n t o s
q u e o m é t o d o de d i f e r e n ç a s f i n i t a s
do
(CITATION)..
P a r a t r a b a l h o s f u t u r o s f i c a a s u g e s t ã o da
utilização
e c o m p a r a ç ã o de f u n ç õ e s de a p r o x i m a ç ã o de m a i o r o r d e m , c o m ou
t r a s o p ç õ e s de c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o , e por f i m , a s o l u ç ã o
p r o b l e m a s de d i f u s ã o em g e o m e t r i a
tridimensional.
de
70
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73
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76
APÉNDICE A
P R I N C I P I O S V A R I A C I O N A I S E A S O L U Ç A O DA E Q . DE
S e j a ü um d o m T n i o de R
2
DIFUSAO
(2)
c o m contorno 3ñ e seja C^ ' {ü)
o c o n j u n t o de t o d a s as f u n ç õ e s q u e p o s s u e m d e r i v a d o s de
2? e m ÇI.
Para uma função ^
U =
em
1? e
define-se o conjunto.
6 C(^)(íí)|'^ espefificado em
9SÍ}
O p r o b l e m a e a c h a r u m a f u n ç ã o ^ tal que I t e n h a v a lores e x t r e m o s onde
I =
I
é dado
por
(F(r),(j)(r),<}>'(r))dfi
(A.l)
O c o n j u n t o de todas as f u n ç õ e s que s a t i s f a z e m
são d a d o s
(A.l)
por
(í)(r,e) = ct)(r) +
(A.2)
en(r)
o n d e E T I ( r ) r e p r e s e n t a a v a r i a ç ã o de (j)(r) e RI(r) e tal que
p a r a r G 3fi e r\>0 p a r a r 6 fi. O v a l o r de ^ que
n=0
extremiza
I
t a m b é m é a s o l u ç ã o de um p r o b l e m a de v a l o r no c o n t o r n o . A s s i m
para I dado pela
I =
expressão
1
{-DrV(|)] ^ - la <t>^ + 2S(í)} dfi
(A.3)
fi
p r o v a - s e q u e a f u n ç ã o que e x t r e m i z a
D V (j) - Eacj) + S = O
I é a s o l u ç ã o da
equação
(A.4)
P a r a isso s u b s t i t u i n d o
(A.2) e m
(A.3)
= ^ j{-D[v(<!)+en)]^ -Za{<t>+en)^
Aplicando o princTpio
a equação
(A.5)
obtém-se
+ 2S{<J)+en)} dfi
v a r i a c i o n a l , isto é ,
fazendo
.
(A.5)
= O,
de
torna-se
e=0
í-D[V(())+en )ri] - T.a{<t>+er])^ + Sn)
|
dO = O
e =0
ou
{-D
v[(|)n]- Eacj)n + S^}dçl = o
{-D[(V(1)) (Vn)]
Integrando
(A.7)
(A.6)
(A.7)
- La<pn + Sn) dfi = O
por partes o primeiro
termo
da
equação
obtém-se
D
dn
nd(3fi) +
ü
9fi
a integral
n D v (¡)dfi +
no c o n t o r n o
é e s p e c i f i c a d a e m 9fi.
{-la(pT]
+ Sn}dfi = O
(A.8)
ü
(9Q) se a n u l a pois n = 0 e m 9fi, e mais,())
Portanto
níDV^íj) - la<i> + S} dfi = O
(A.9)
fi
e, desde que n>0
, para
Vr 6 fi, e n t ã o
DV (J) - Ea<í) + S = O
^ERGÉTlC^Se- NUCLEARES
/a
APÊNDICE B
B.l.
ALGORITMO
P A R A A S O L U Ç A O DA E Q U A Ç A O
As e q u a ç õ e s
na forma matricial
c a ç ã o do M E F , c o m a t é c n i c a d o s r e s T d u o s
da g r u p o de e n e r g i a , c o n f o r m e
da
DE DIFUSAO
MULTIGRUPO
resultantes
da apli-
p o n d e r a d o s , para c a -
apresentado
n a s e ç ã o 4.3,
forma
E2*2 ' ?2*2
^
f3*3 '
-
h^zU
•
!I-^3*1 ' Í2^3*2
I H I '
'
1
~g~g
~g~g
L
~h->g~h
h =l
K ^g ~
h=l
onde
g =
1,2,3...G
indica grupo
de e n e r g i a ,
F = matriz correspondente
ao t e r m o de f u g a ,
R = matriz correspondente
ao t e r m o de r e m o ç ã o ,
E = matriz
ao t e r m o de e s p a l h a m e n t o ,
correspondente
K = f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o
Xg= espectro
efetivo,
d o s n e u t r o n s de f i s s ã o ,
S = matriz correspondente
(|) = v e t o r f l u x o
ao t e r m o f o n t e de f i s s ã o ,
de n e u t r o n s .
são
79
A m a t r i z c o r r e s p o n d e n t e ao t e r m o f o n t e de f i s s a o e
obtida pela
expressão.
S =
h-^1
onde
h
1^
é a matriz cujos elementos
~h
^
por
^
definidos anteriormente
No c o n j u n t o das e q u a ç õ e s
representam o produto
de
(Cap. IV).
(B.1.1) o lado direito
da
i g u a l d a d e de c a d a e q u a ç ã o , e m p r i n c T p i o , não e s t á d e f i n i d a , u
ma
vez que a m a t r i z S não e c o n h e c i d a pois seu valor
dos p a r â m e t r o s
uma
i n c ó g n i t a s que f o r m a m o v e t o r ^.
e s t i m a t i v a de S, S=:S^^^
pela e x p r e s s ã o
i^a
K==K^^^,
P a r a o calculo de S^^^
a s s i m , de i m e d i a t o , o t e r m o
obtendo-se
discre-
forma
como solução o valor
Com esse valor
calcula-
p o d e - s e e s t i m a r u m a n o v a f o n t e de f i s s ã o S ^ ^ ^ ,
que p a r a o t e r m o c o r r e s p o n d e n t e
lor é atualizado
pa-
. Com
' p o d e - s e r e s o l v e r a e q u a ç ã o de d i f u s ã o
t i z a d a p a r a o p r i m e i r o g r u p o , na
do,
A s s i m , faz-se
(B.l.2) a s s u m e - s e uma primeira aproximação
4>u-<t>Í^^, o b t e n d o - s e
o v a l o r de
e
depende
notando
ao f l u x o do g r u p o 1 e s t e
com o calculado pela equação
(B.l.3).
vaEste
p r o c e s s o se r e p e t e a m e d i d a q u e se c a l c u l a m os v a l o r e s cj) p a r a
c a d a g r u p o de e n e r g i a , de tal m o d o q u e S ao final
da p r i m e i r a
i t e r a ç ã o é o r e s u l t a d o que e n v o l v e os f l u x o s t o t a i s
dos na p r i m e i r a
calcula-
iteração.
O auto valor K é c o n s i d e r a d o
c o n s t a n t e p a r a cada ite
r a ç ã o , s e n d o e s s a g r a n d e z a r e c a l c u l a d a a p e n a s no final
da p r o c e s s o
*0s
iterativo pela expressão.
superscritos
indicam o número
da
iteração.
de c a -
80
(n + 1)
dfi
,n+l
(B.l.4)
TñT
j
O procedimento
(n) dfi
i t e r a t i v o e f i n a l i z a d o q u a n d o os s e -
g u i n t e s c r i t é r i o s de c o n v e r g ê n c i a são s a t i s f e i t o s :
(n) _ ^ ( n - 1 )
<
e.
(B.l.5a)
(n) _ 5 ( n - l )
max
onde
e
<
sao q u a n t i d a d e s
(B.l.5b)
e,
especificadas.
E s s e e s q u e m a de s o l u ç ã o s u c e s s i v a das e q u a ç õ e s na dj_
reção decrescente
das e n e r g i a s é e m p r e g a d a p e l a h i p ó t e s e
q u e não h á e s p a l h a m e n t o
de n e u t r o n s de um d e t e r m i n a d o
de
grupo de
e n e r g i a p a r a g r u p o s de e n e r g i a m a i s e l e v a d o s .
8.2.
ESTIMATIVA
Nesse
DA I N T E G R A L
DE S
trabalho, o cálculo
de
Sdfi
p r e s e n t e na e x -
p r e s s ã o que c a l c u l a o v a l o r de K , foi a p r o x i m a d a
numericamen-
te p e l a e x p r e s s ã o /l / .
1
4h
í f(x,y)dxdy =
fi
l
Wi
i=l
f(x. « y J
+ R
,
(B.2.1)
onde
INSTITUTO
DEPESQUISAS ENERGÉTICAS E NUCLEARES
I, P . E . N .
(Xj .Yi)
(0,0)
4/9
(±h,±h)
1/36
(±h.O)
1/9
(0,±h)
1/9
(Xj
e os p o n t o s
) mostrados
R = O(h^)
na f i g u r a B.2.1
(h.h)
(0,h)
(-h,h)
(0.0)
(-h,0)
(-h,-h)
(h.O)
(0,-h)
F i g . B,2.1 - I l u s t r a ç ã o
dos pontos
(h,-h)
para integração
d u p l a nume'
rica.
A determinação
dios dos lados
foi
de S c o r r e s p o n d e n t e
do q u a d r i l á t e r o
aos
(que r e p r e s e n t a u m
pontos
me-
elemento),
f e i t a p e l a f ó r m u l a de T a y l o r , ou s e j a
s.^,^,
-
^ S : ( 2 h / 2 ) + s;
S. ,
-LíJ
- S.
S'.
(B.2.2)
onde
=
4h
.
Lli
(B.2.3)
82
i. , - 2 S . + S. ,
1 +1
1
1-1
(2h)2
1
B.3.
FLUXOGRAMA
DO
PROGRAMA
As s o l u ç õ e s n u m é r i c a s
dos p r o b l e m a s
foram obtidas
ob-
t i d a s por m e i o de u m p r o g r a m a de c o m p u t a d o r em 1 i nguagem FORTRAN
IV, p r o c e s s a d o
pelo sistema
IBM 3 7 0 / 1 5 5 do
IPEN.
O p r o g r a m a c o n s t a de u m p r o g r a m a p r i n c i p a l
subrotinas
auxiliares conforme figura
SUBROTINA
1
IMP
SUBROTINA
2
MATRI2
SUBROTINA
2
MATRI1
SOMAF
SUBROTINA
SUBRÔTÍNA
5
6
SPAMA1
SPAM
para i m p r e s s ã o
SUBROTINA
PRINCIPAL
A Subrotina
seis
B.3.1
PROGRAMA
F i g . B.3.1
e
- E s t r u t u r a do p r o g r a m a .
1 (IMP) c o n s i s t e
dos r e s u l t a d o s .
g a + r e m o ç ã o são c a l c u l a d o s
a p e n a s de um
programa
Os e l e m e n t o s da m a t r i z de f u -
p e l a s u b r o t i n a 2 ( M A T R I l ) , e os e l e
mentos da m a t r i z c o r r e s p o n d e n t e
ao t e r m o de f o n t e s ã o calcula^
dos p e l a s u b r o t i n a 3 ( M A T R I 2 ) .
E s t a m e s m a c a l c u l a ainda o
mo de e s p a l h a m e n t o .
mente a integral
ter
A subrotina 4 (SOMAF), calcula numerica-
de s u p e r f T c i e .
n u l o s da m a t r i z de r e m o ç ã o + f u g a
As p o s i ç õ e s dos elementos
necessárias
no
não
algorTtmo
83
que s o l u c i o n a
são f o r n e c i d a s
- s u b r o t i n a 6 (SPAMAl ) / 4 9 / -
o s i s t e m a de e q u a ç ã o
pela subrotina
Salienta-se
5 (SRAM).
que o p r o g r a m a em simples
é o t i m i z a d o , não u s a n d o n e n h u m p r o c e s s o
precisão
de a c e l e r a ç ã o
não
da c o n -
vergência .
Na F i g u r a B.3.2
g r a m a , de m a n e i r a
é apresentada
simplificada.
A s e g u i r , para
ç ã o , é m o s t r a d a a s a T d a do p r o g r a m a
a i n d a os c a r t õ e s
para a e n t r a d a
do
pro-
exemplifica-
de um p r o b l e m a
amostra, e
de d a d o s , tais c o m o n ú m e r o
p o n t o s da m a l h a , n ú m e r o de g r u p o s
nucleares, etc..
o fluxograma
de e n e r g i a , p r e c i s ã o ,
de
dados
an
^
J
inicio
calculo do
novo termo
de
fonte
leiturQ
de
dodoé
I
c a l c u l o do
m o n t . d o m o t r i z de
r e m o ç õ o ^ tuga
t e r m o de
espalhome nto
- MATRM-
mont.
de
e
d o
motriz
espolhomento
nu X s i g m O f
- MATR|2-^
m o n t . dos Indices
dos elfim^ent. n S T o
n u l o d o s matrizes
-SiPAM^-
I
I
mont. dos índices
dos elementos noo
nulo dos motrizes
- SPAM-
calculo do
f l u x o poro o
grupo I G
- SPAMA1-
I
c o l c u l o xlo t e r m o
de fonte c o m
sub. o f l u x o o n tigo deste g r u p o
pelo c a l c u l a d o
I
colculo
do
gral
de
ra
tlUKO
0
inte-
fonte
pa-
initial
-SOMAF
-
E >
calculo do fluxo do g r u p o
1
- SPA M A I -
IGs 2
1
c a l c u l o do
i n t e g r a l de
f o n t e , K^f e
dist. P o t i n e í o
o
IG
v d
IG= I Q-fl I 6 G
poro
n o v o
itero^oo
Fig.
B.3.2 -
Fluxograma
do
príogramO
Imprimo
sóido
INSTRUÇÕES
CARTÃO
NOME
PARA E N T R A D A NO
PROGRAMA
COLUNA
FORMATO
DESCRIÇÃO
18A4
1
TI TU
1-72
2
II
1-3
13
n9 de elementos na direção x
JJ
4-6
13
nO de elementos na direção y
IGG
7-9
13
no de grupos de energia
ITMAX
12-14
13
nÇ máximo de iterações
EPI
17-23
E7.1
precisão de K
XK0
26-28
F3.1
1? estimativa de K
NCl
30-32
12
EP2
34-40
E7.1
ELX
1-10
FIO.O
comprimento do núcleo na direção x
ELY
11-20
FIO.O
comprimento do núcleo na direção y
XNI
21-30
FIO.O
valor de v
g
valor de x por grupo de energia
3
4
QUI(IG)
1-80
FIO.O
5
INZ(I)
1-80
4012
tTtulo do problema
no de zonas
precisão de S
tipo de zona de cada elemento (da
esquerda p/ direita, de baixo para cima)
6
HX(I)
1-80
8F10.0
largura de cada elemento no senti
do do eixo x
7
HY(J)
1-80
8F10.0
largura de cada elemento no sentj_
do do eixo y
8
A(INC,I)
1-80
8F10,.0
*
9
FLU0(INC,I)
1-80
8F10.0
*
* As entradas das constantes nucleares de cada grupo e zona é feita do seguinte modo.
- Seção de choque de remoção, fissão ( v E f ) e D, em um cartão para
cada
zona para o primeiro grupo.
Para os grupos de 2 a IGG
^
^
1. Seção de choque de espalhamento ( E ^ j ^ ^ , . . . E g _ . | ^ ) .
2. Seção de choque de remoção, fissão ( v E ) e D,'num mesmo cartão.
Os Ttens 1 e 2 são repetidos para todai as zonas de cada grupo, até o
último grupo IGG.
[NS
T I T U T O DE P E S Q U I S A S E N E R G É T I Q - S E N U C L E A R E S
I.
P. E. N.
86
Listagem do programa
c
C
C
C
C
C.
E S T E PROGRAMA C A L C U L A 0 F L U X O DE NEUTRONS E 0 F A T O R
O E M U L T I P L I C A Ç Ã O , PELA EOUACAO D E DIFUSÃO
S O L U C I O N A D A P E L O M É T O D O DOS E L E M E N T O S F I N I T O S
E M DUAS D I M E N S Õ E S t X - Y )
C
CCMM0N/0EL/HX(20),HYÍ20)
CCMM0N/REG1/A(400,300J,0(20,20),SIÜR(20,20)
CCMM0N/REG2/IC
J , I N Z í ^00)
CCMM0N/REG3/II,JJ,IGÜ.ICl,IC2,IC3,IC-i,IC5,IC6,IC7,NL0G
CCMMON/RÊG6/S0(20,20)
CCí^M0N/ReG7/S21(*00) . F L U U O O )
DIMENSIÓN F L U O ( 4 0 Ü , 5 ) , 0 U I 1 5 ) , S l ( 4 0 0 ) , 0 F ( 4 0 0 ) , S I l I 4 0 0 ) ,
• SIGSP(20,20),XNIS(20,20),SAl(400).POT(20,20),RI 20,20),
•
AXNI5(20,20,5».ICA(400,20)tINZA1400),FLUO0(4OO,10),
• TiTU(20),XNn5)
CtOO,300
c
C
LEITURA
E IMPRESSÃO
O O S DADOS
C
100
101
10
11
20
40
l
13
18
12
21
14
5
17
30
7
15
4
C
C
C
REAO(5,I00)(TITU(I),1=1*181
FCRMAT(13A4)
WRITE16,101)
(TITUÍH,I=1,18)
F O R M A T d X , 18A4I
ÊPS»1.0E-05
NZM»1
READ(5,10) I I , J J , I G G , ITMAX, EPl» X K O , N C l , e P 2
F0RMAT(3I3,2X,ia,2X,E7.1,2X,F3.I,1X,(2,1X.E7.IJ
WRlTE(6,n>NCl
F Q R M A H / 1 X , « N U M . DE Z O N A S = ' , I 2 )
N»II*JJ
REA0(â,20)ELX,ELy,(XNKIG),IG=1,IGG)
FQRMAT(8F10.0)
IF»N
ReA0(â,4ü)(CUl(IG)«IS=lfIGG)
FCRMATtSf10.0)
RtAC(ã,l) ( I N Z U ) , I= 1,N)
FaRMAT(40I2)
MRITE(6,13}
F C R M A T Í l X , ' C C N F I G U f i A C A O DO R E A T O R » )
IN^N
D C 18 J = 1 , J J
IM=lN-ll*l
WRlTE(6,i2)(INZ(1),I-IN1,IN)
IN=IN1-1
CCNTINUE
FCRMATI3X,40I2)
R E A D ( 5,41 i H X n , 1 = 1 , 1 1 )
R£AC(5,4){HY(J),J=I,JJ)
WRUEt6,21)
F C R M A T ( / I X , « L A R G U R A DAS MALHAS N A O I R E C A U : ' )
hRITE(6,5)(HX(I),I=l,II>
WR1TE16,.17) ( H Y U ) , J = 1 , J J )
VíRITEl6,14)
F O R M A T l / I X , « V A L O R E S DOS DADOS N U C L E A R E S D E fcNTRAOA»)
f C R M A T l / l X , « X : ' , 2 0 ( 1X,F4.1))
FCRKATÍ/IX.'Y:•,20(lX,F4.i))
00 e I G = l , I G G
IGl=IG-l
OC 7 I N C = l , N C i
I F d G . E Q . l ) G O T O 30
R E A D ( â , 4 ) { A ( I N C , I ) , 1 = 1, I G l )
WRITEi 6 . 1 5 ) ( A ( I N C , I ) , I = 1,IG1)
R E A C ( 5 , 4 ) ( F L U O d N C , 1), 1=1,3)
WRITEÍ6,15)(FLUOlINC,1),1=1,3)
CCNTINUt
fCRHAT(lX,8<3X,E12.ò))
FORMATItíFlO.C)
C O M P O S I Ç Ã O DAS M A T R I Z E S
IFlIG.fcQ.l)
GO T O 41
00 e 1 K = 1 , 1 G 1
11 = 0
DC 9 J = 1 , J J
PARA
TODOS O S G R U P O S
87
9
8
41
16
6
700
701
00 s 1 = 1 , n
11*11+1
NC=INZ(11)
SIGSPtI,J)--A(KC,IK)/3f>.
CCNTINUE
NLCG=10
CALL M A T K I 2 1 S I & S P )
CCNTINUE
I1=C
00 1 6 J = 1 , J J
OC 1 6 1 = 1 , 1 1
I1=I1»1
KC=IN2(U)
SIGR(I,J)=FLU0(NC,lJ/36.
AXNIStI.J,IG)=FLU0iNC,2)
XNISÍI,J)=FLU0CNC,^)/3ó.
Ü( I , J J= F L U 0 ( N C , 3 ) / : !
CCNTINUE
CALL MATRIl
NLQG=9
CALL
MATRI2(XNIS)
CCNTINUE
END F I L E 8
ENO F I L E 9
ENO f I L E 10
REViINO 8
REhlNO 9
REmINO 1 0
00 7 0 0 J = 1 . J J
s o n i * i , j j = o .
DC 7 0 1 I = U I I
S O U , I I * U = 0s o m « - i , j j + i )=o.
c
710
80
81
C
C
C
490
OC 7 1 0 I G - l . I G G
OQ 7 1 0 1 = 1 . N
f L - j c o í 1 , 1 ;» = i .
FLUOII,IG)=1.
CCNTINUE
DO 8 0 1 = 1 , N
S11(U=0.
C A L L SPAM
OC 8 1 1 = 1 , N
l N Z A ( n = I N Z ( I>
DO 8 1 J = l , 9
1 C A U , J ) =IC( I , J )
CCNTINUE
CALCULO D C T E R M O
DF FONTE
DC 6 1 1 G = ; , I G G
DC 4 9 0 I - 1 , N
DC 4 9 0 J = : , q
A(I,J»=0.
READ19)
1( A l I , J ) , J = K 9 )
CO 62 1 = 1 , N
S1U)=0.
K2=INZAm
D C 62 K 1 = 1 , K 2
PARA
,1 = 1 ,!'.•)
K=ICAn , K 1 )
62
63
61
64
501
500
S I I H = S U i ) + A (I , M )»FLUOO(K,I G )
D C 63 1 = 1 , N
S l l t I ) = S l i 1 1 ) t S l i i )
CCMINtC
REWIND S
UG 64 1 ^ 1 , ; i
D G 64
J=1,JJ
SC(I,J)=0.
1K = 0
DO 500 1 = 1 , 1 1
D G 501
J = 1 , J J
li=IK*JJ+J
SCI I , J ) - S 1 1 1 I 1 )
CCMINUl:
IK=IK+1
CCNTINUt
U FLUXO
INICIAL
88
c
C
C
CALCULO D A
CALL
C
C
C
95
92
91
491
C
C
C
INTEGRAL
D E S PARA C FLUXO
INICIAL
SOMAFtSSO)
CALCULO 0 0
SISTEMA
PARA O P R I M E I R O
GRUPO
1T=0
OC 92
1G=I,IGG
00 92
I=l»N
FLUO0{I,IG)=FLU0ÍI,IG)
IG=1
00 9 1 1 = 1 , N
S21(n = (iJUI ( l ) / X K O ) * S l l l I J
CCNTINUE
OC 491 1 = 1 , N
O C 491
J=l,9
A(I,J)=0.
REACÍ8
J
n A { I , J J , J = l , 9 1 , I = l , N )
C A L L SPAM
S U B R O T I N A P A R A A S O L U Ç Ã O OC S I S T E M A
C A L L SPAMAKN.EPS, IS,N2H, IF)
00
C
C
97
C
C
C
C
C
C
C
DC 97 1 = 1 , N
FLUCII.I» -FLU(n
CCNTINUt
S O L U Ç Ã O DOS
C A L C U L O D A NOVA
CO
C
C
C
98
800
72
SISTEMAS
110
00
INTEGRAL
C A L C U L O 00
TERMO OE
IGl=IG-l
DC 98 1 = 1 , N
S1HI)=0.
DO 71 1 0 3 = 1 , I G G
CC 800 1 = 1 . N
OC eoc J = 1 . Ç
A(i,J)=0.
REACÍSl ( ( A U , J ) , J = 1 , 9 J , I =1 , N >
DO 72 1 = 1 , N
S U I ) = 0.
k2=in/;a( 1»
OC 72 K 1 = 1 , K 2
K=ICA( I.Kl )
S1(I)=S1(I)*AII.Kl)*FLU0{K,IG3)
DC 75 1 = 1 , N
sinn=siiii)*si( n
CCNTINUE
REWIND 9
ÜC 74 1 = 1 , N
S21I1)=lUUI(IG)/XKC)*Sl H I )
CCNTINUE
dlO
CALCULO DC l E R K O
D E ESPALHAKENTG
OC 99 1 = 1 , N
SAin)=0.
00.L¿¿
lG4=liIGl
DC 6 1 0 1 = 1 , N
DO 8 1 0 J = l , 9
A1ITJ)=0.
READUO)
( l Al I . J ) ,J= 1 T 9 ) , 1 = 1 , N )
CO 1 2 3 J = 1 , N
SI t n = u .
K2=IN¿A(1»
DC 123
Ki=l,K2
K=ICA(I ,Kl)
A T EG
FCNTE
FONTE
71
99
CA
i&=2,IGG
75
74
t
C
C
C
GRUPO 2
GRUPO
RAPIOQ
89
123
125
122
124
Slin=Sl(n+A(I ,K1) *FLU01K, IGA)
DC 1 2 5 1 = 1 , N
5A1( I ) = S A H I ) t S l ( I i
CCNTINUE
CCNTINUE
DO 124 1 = 1 , N
S21(I)=S211I)*SA1ÍIJ
CCNTINUE
DC 502 1 = 1 , N
DC 5 0 2 J = l , 9
502
A(I,J}=0.
R£AC(8}
((A(1,J),J=1,9),I=1,N)
C A L L SPAM
C
C
C
SLaROTINA
CALL
P A R A A RESOLUÇÃO 00 SISTEMA
SPAMAl(N,EPS,IS,NZM,IF)
C
C
C
CALCULO 00 TERMO D E FONTE
111
110
D C 111 1 = 1 , N
F L U O ( I . IC>) = F L U ( I )
CCNTINUE
REt«INO 8
REmINO
O C 113
113
10
1= 1,N
511(11=0.
CCNTINUE
DO 1 3 1 I G = 1 . I G G
CC 503 1 = 1 , N
DC 5 0 3 J = l , 9
503
AlI,J)=0.
REAC<9) « { A ( I , J J , J =1 , 9 ) , I = 1 , N )
0 0 1 3 2 1 = 1 , N •S1(1)=0.
K2=IN2A(1)
00 1 3 2 K 1 = 1 , K 2
-
K=ICA( I,K1)
S1(I»=S11I)*A(I,K1)*FLUC(K,IG)
132
135
131
65
CCNTINUE
DC 1351 = 1 , N
S 1 H I I = S 1 U I ) +S H I )
CCNTINUE
CCNTINUE
REhIND 9
DC 65 1 = 1 , 1 1
DO t 5 J = 1 , J J
S0(I,J)=O.
IK'C
DO 1 3 3 1 = 1 , 1 1
DC 1 3 4 J = 1 , J J
P0TII,JI=C.
ll=IK*JJ*J
134
133
C
C
C
SCÍI,J)=S111ll)
CCNTINUE
IK=IK+1
CCNTINUE
C A L C U L O D A I N T E G R A L DE S
CALL
C
C
C
201
220
230
SOMAF(SS)
CALCULO DO FATOR OE MULTIPLICAÇÃO
XK=XKO*SS/SSO
I F l l A b S t X K - X K Ü ) ) . L T . t P l t GO TO 201
IF(IT.GE.ITNAX)
GO TO615
XK1=1./XK
XKU=XK
SSC=SS
n=iT+i
GC T O 9 5
DC 2 1 0 I G = 1 , 1 G G
00 2 2 0 1 = 1 , N
DF(I)=ABS(FLUOlI,IGG)-FLüOOl1,IGGl1
DFMAX=DFl1)
ÜC 2 3 0 1 = 1 , N
I F l C F i n . G T . D F MAX I O F M A X = D F l I Í
C E EQUAÇÕES
90
210
96
615
602
771
770
780
603
CCNTINUE
I F I C F M A X . G T - E P 2 » GO T O 96
I F Í I T . L T , ITMAXJ GO TO 9i
XKl^l./XK.
WRITE(6,£>C9)XK,XK1,EP1,EP2,IT
DC 602
1=1.11
D G 602
J=1.JJ
XNIS(I,JI=0PI1=0.
DG 600
IG=1.IGG
IK=0
DC 7 7 0
1=1.11
00 7 7 1
J=ltJJ
I1=IK*JJ*J
f-CTlI,JJ=FLUO(Il,IG)
CCNTINUE
IK=1K*1
CCNTINUE
CC 780
1=2.11
DC 780
J=2,JJ
I F Í P O T l I . J ) . G E . O > G O T O 780
pxHX(I-l)/tHX(1-1)+HX(I
}J
0*HYIJ-ll/IHY(J-1J*HY(J))
PCTII1*1.J)=0.
pcm,jj->-i)=o.
POTÍII*1.JJ+1)=0.
POr(I,J)=íl.-P)*Il.-Q)*POT(I-1,J-1)+
• P*I
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101
Um exemplo de saTda dos dados e resultado do programa
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N U M . DE 2CNAS » 2
C C N F U i L B A C A C 0 0 BE4ICB
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5.0
VALORES DCS OAUOS
0.623000E-01
O . I C I O C O E 00
. O.bOCOOOE-01
0.2COOOOE 00
O . I C C C C C E CO
0.2000COk-01
5.0
5.0
5.0
5.0 5.0
5.0
5.0
5.0
5.C 5.0
NUCLEARES O E ENTRACA
0.0
0 . 1 5 0 0 0 C E Cl
0.0
0.120000Ê 01
0.21dOO0E 00
C.4C0000E 00
C.O
C . I S O O O C E CC
F A I C R O E M U L T I P L I C A Ç Ã O IKEF) » C . 8 7 a C 8 7 E 00
1/KEF
o 0 . 1 1 3 8 8 4 E 01
P R E C I S Ã O DO FATCR DE M U L T . "
P R E C I S Ã O CÚ FLUXO =
0.lOOOOfc-C«
NUMERO O E ITERAÇÕES
=
FLUXO OC GRUPO
1
2
3
4
5
6
7
8
1
J
1
C . 3 8 C 4 E 01
0 . 3 7 2 2 E Oi
0 . 3 4 2 8 E 01
0 . 2 e 5 5 E Cl
0 . 1 b 9 6 E 01
C . 3 2 7 1 E CO
0.62b9E--Ol
0.1153E--Ol
FLUXO OC GRUPO
2
0.3T22E 01
0.3b42E 01
0.3355E 01
0.2793E 01
0.16506 01
0.31Ó6C 00
0.60216--Ol
O . U O O E - -Ol
7
G.1107E
C.10286
C.76106
0.1223E
0.21íi5E
0.6190E
01
01
01
00
01
Cl
00
2
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C. l O S l E 01
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0.1178c 01
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8
C . 1 3 3 1 E 00
0.1273E 00
C.1134E
2
3
4
5
4
0 . 2 a 5 5 E 01
C . 2 7 9 3 E Cl
0 . 2 5 Ó 5 E 01
0 . 2 0 9 9 E 01
0.11 7£E 01
0 . 2 0 4 2 E 00
C.40C6E--Cl
Ü . 7 * 1 2 E --02
0 . 1 ã 9 6 E 01
0 . 1 6 5 0 E 01
0 . 1 4 9 8 E 01
0.ll76fc 01
0 . ã l 3 6 F 00
0 . 1 2 5 4 E 00
0.2536E--01
J.5069E--02
6
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0 . 1 2 5 4 6 00
0 . 5 1 1 4 E -•01
0 . l J 4 2 e - -01
a.2da06-02
01
Cl
00
00
O . l Q Í C e Cl
0 . 1 0 7 Ó E 01
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4
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C.74406
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C.793SE
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3
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O.C
0.0
0.0
0.0
4
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C.43706--01
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
CC
0.0
0.0
0.0
3
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0 . 3 Í 5 5 E Cl
0 . 3 C 9 C E 01
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0 . 1 4 9 8 E 01
0.2Ò06E 00
Ü.519^E--Cl
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7
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8
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0.1365E-02
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00
7
0 . 6 1 9 0 6 00
0 . 5 9 4 9 6 00
0 . 5 1 Ô 4 Ê 00
0 . 3 9 4 3 6 UO
0 . 2 5 2 7 6 00
0.132 3E 0 0
0.49166--01
0,13316 C O
0 . 1 2 7 3 6 00
Ü . 1 1 0 6 6 00
0.86036-•01
0.58186--01
0 . 3 3 0 9 E - -01
0.15716--01
0.3309E--01
0.15716--01
0.5213E--02
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2
l
1
6
O.lOOOOE-04
3
0.10286
C.1CC3C
0.9¿SoE
0.69096
00
00
CO
00
00
01
00
6
01
01
01
00
00
00
00
01
01
01
01
00
00
8
O l S T R l b L I C A Q DA POTENCIA
1
2
i
4
6
7
8
1
C.9d90fc-Cl
0.96556-01
0.89626-01
C.tÈ3fcE-0l
0.0
CC
0.0
0.0
2
0.96556- Ol
0.94266- ül
O.OT'.íE- Ol
C.b4öö6- Ol
0.0
0.0
0.0
0.0
7
6
5
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
O.U
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