Universidade Federal da Bahia - UFBA
Instituto de Matemática - IM
Programa de Pós-Graduação em Matemática - PGMAT
Dissertação de Mestrado
Propriedades de Lie dos Elementos Simétricos sob
Involuções orientadas
Edward Landi Tonucci
Salvador-Bahia
Abril de 2013
Propriedades de Lie dos Elementos Simétricos sob
Involuções Orientadas
Edward Landi Tonucci
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da
Universidade Federal da Bahia como requisito
parcial para obtenção do título de Mestre em
Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Thierry Petit Corrêa
Lobão.
Salvador-Bahia
Abril de 2013
Tonucci, Edward Landi, 1988
Propriedades de Lie dos Elementos Simétricos sob Involuções Orientadas / Edward Landi Tonucci. – Salvador: UFBA, 2013.
69 f. : il.
Orientador: Prof. Dr. Thierry Petit Corrêa Lobão.
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de
Matemática, Programa de Pós-graduação em Matemática, 2013.
Referências bibliográficas.
1. Anéis (Álgebra). 2. Anéis de Grupo. 3. Teoria de Grupos. I.
Petit Lobão, Thierry. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de
Matemática. III. Título.
CDU : 512.552.7
Propriedades de Lie dos Elementos Simétricos sob
Involuções Orientadas
Edward Landi Tonucci
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da
Universidade Federal da Bahia como requisito
parcial para obtenção do título de Mestre em
Matemática, aprovada em 19 de Abril de 2013.
Banca examinadora:
Prof. Dr. Thierry Petit Corrêa Lobão (Orientador)
UFBA
Profa . Dra. Manuela da Silva Souza
UNICAMP
Profa . Dra. Paula Murgel Veloso
UFF
Aos meus pais, Cláudio e
Rita, minha companheira
Jacqueline e meus irmãos
João Paulo e Caroline.
Agradecimentos
Primeiro, agradeço imensamente à minha família por todo apoio moral e financeiro, pois sem este tenho certeza que nunca alcançaria o nível intelectual, acadêmico e
profissional no qual me encontro. Em especial, agradeço muito aos meus pais Cláudio e
Rita por todo amor, carinho, incentivo e educação moral, pois cada um desses detalhes
ajudou a construir minha personalidade e a pessoa que sou. Agradeço também aos meus
irmãos, João Paulo e Caroline, e aos meus primos pelos quais possuo tanto afeto, por
todo o carinho, amizade e diversão que me proporcionaram desde a minha infância até o
presente momento.
Agradeço à minha companheira Jacqueline por todo carinho, amor, confiança,
companheirismo e por estar sempre ao meu lado me ajudando a passar por todos os
momentos difíceis que apareceram nesta jornada, incentivando e apoiando as decisões
importantes que tive que tomar após iniciar minha carreira acadêmica, além de ser uma
pessoa excepcional com quem posso dividir meus desejos e gostos.
Agradeço aos meus amigos, ex-colegas de graduação e mestrado pelos bons momentos que passamos estudando e por ajudarem a me divertir e distrair nos momentos
de descanso. Agradeço em especial aos amigos Ângela Soldatelli, João Paulo Cirineu e
Marcus Morro, por toda a disposição e ajuda prestada neste trabalho e à Elen Deise por
ter sido companheira durante toda a jornada.
Agradeço muito também ao meu orientador, Thierry Petit Lobão, tanto pela sua
disposição, dedicação e prestatividade quanto pelo seu constante incentivo e profissionalismo durante o período da pesquisa orientada do mestrado e por sua disposição para me
orientar no doutorado.
Agradeço às professoras Manuela Souza e Paula Veloso por aceitarem participar
da comissão julgadora de minha dissertação e me darem a grande honra de tê-los como
membros da banca examinadora de minha defesa.
Agradeço a todos os professores do DCE-UESB e IM-UFBA que contribuíram
efetivamente para minha formação como matemático. Agradeço ainda mais aos que contribuíram para minha formação não somente como matemático, mas também como ser
humano. Agradecimentos especiais aos professores Adelzito, Acioly, Claudinei, Clênia,
Débora, Eridan, Flaulles, Júlio, Márcio, Reginaldo, Tânia e ao meu orientador Augusto,
por seus exemplos como profissionais e ótimos professores.
Finalmente, agradeço à CAPES pelo apoio financeiro concedido a mim durante
todo o meu mestrado.
“Sonho que se sonha só é só um sonho que
se sonha só. Mas sonho que se sonha junto
é realidade.”
–John Lenon, traduzido por Raul Seixas
Resumo
O presente trabalho exibirá a estrutura dos grupos tais que o conjunto dos elementos simétricos sob uma involução orientada, em um anel de grupo por ele gerado, é
comutativo, e, de forma original, estenderá tal resultado quando o anel é um corpo de
característica 0 e os simétricos satisfazem alguma propriedade de Lie. Finalmente, serão
caracterizados os grupos tais que os simétricos em relação à involução orientada induzida pela involução clássica, e o anel é um corpo, satisfazem alguma propriedade de Lie,
generalizando, quase que completamente, os resultados anteriores. Serão apresentadas
também condições para que as propriedades de Lie encontradas nos simétricos possam ser
estendidas para todo o anel de grupo. Além disso, será mostrado que algumas hipóteses
desses últimos resultados nunca poderão ser satisfeitas de forma não trivial.
Palavras-chave: Anéis de Grupos; Involuções; Involuções Orientadas; Propriedades de
Lie.
Abstract
This work will show the structure of groups such that the set of the symmetric
elements under an oriented involution, in a group ring generated by this groups, is commutative, and extend this result when the ring is a field of characteristic 0 and the symmetric
elements satisfy a Lie propertie, which is an original result. Finally, the groups such that
the symmetric elements under the classical oriented involution, and the ring is a field,
satisfy some Lie propertie will be classified, generalizing, almost completely, the results
above. It will be also shown conditions to extend the found properties in the symmetric
elements to the whole group ring, therefore, we will show that some hypothesis of these
last results will never be satisfied in a non-trivial way.
Keywords: Group Rings; Involutions; Oriented Involutions; Lie Properties.
Sumário
Introdução
1 Preliminares
1.1 Módulos e Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Anéis de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 O Homomorfismo de Aumento . . . . . .
1.2.2 O Centro de um Anel de Grupo . . . . .
1.3 Involuções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Involuções em Grupos . . . . . . . . . .
1.3.2 Involuções em Anéis . . . . . . . . . . .
1.3.3 Involuções orientadas em anéis de grupos
1.4 Os conjuntos (RG)σϕ e (RG)−
σϕ . . . . . . . . .
1.4.1 Propriedades de Lie . . . . . . . . . . . .
1
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2 Comutatividade de (RG)σϕ
4
4
6
7
9
9
9
13
16
18
21
22
3 Propriedades de Lie de (KG)σϕ com char(K) = 0
29
3.1 Involuções Orientadas em Q8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Propriedades de Lie de (KG)σϕ com char(K) = 0 . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Propriedades de Lie de (KG)σ∗ e (KG)−
σ∗
4.1 Resultados Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Extensão das propriedades de Lie dos elementos simétricos para o anel de
grupo KG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Grupos sem Elementos de Ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Grupos que não contêm Q8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Propriedades de Lie dos elementos simétricos . . . . . . . . . . . . . . . .
43
. 44
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47
47
56
58
Conclusão
64
Referências
65
Introdução
Dados um grupo G e um anel comutativo R, podemos tomar o R-módulo livremente gerado por G e definir um novo anel chamado anel de grupo de G sobre R. O
estudo dessa nova estrutura possui uma íntima relação com as teorias das estruturas fundamentais de grupos e anéis; portanto tem se desenvolvido em mão dupla, ou seja, com
resultados da teoria dos anéis de grupos, extraem-se propriedades dos grupos e anéis, e
vice-versa.
Dado uma involução ϕ em um grupo G, podemos induzir uma involução no anel
de grupo RG. Podemos observar, nas referências dessa dissertação, que muitos autores
têm estudado o conjunto (RG)ϕ = {α ∈ RG : ϕ(α) = α}, dos elementos simétricos, para
conseguir as informações supracitadas sobre as estruturas fundamentais. O estudo do
conjunto (RG)ϕ é um exemplo de como funciona essa via de mão dupla. A partir de
uma involução ϕ no grupo G, construímos uma involução no anel de grupo; estudamos as
propriedades dessa nova involução em RG e daí podemos fazer diversas afirmações sobre
o grupo e a involução ϕ.
Definindo o colchete de Lie como [x, y] = xy − yx, ∀x, y ∈ RG, podemos facilmente verificar que um subconjunto A de RG é comutativo se, e somente se, [x, y] =
0, ∀x, y ∈ A. Generalizando o conceito de comutatividade, temos que um subconjunto A ⊂ RG é dito Lie n-Engel, se [x, y, y, . . . , y ] = 0, ∀x, y ∈ A, e Lie nilpotente
| {z }
n vezes
se [x1 , x2 , . . . , xn ] = 0, ∀xi ∈ A, onde [x1 , x2 , x3 , . . . xn ] = [[x1 , x2 ], x3 , . . . xn ].
Para estudar RG utilizando involuções, podemos verificar sob quais condições
em G, R ou ϕ, podemos estender certas propriedades de (RG)ϕ para todo o anel RG.
Algumas dessas condições podem ser encontradas, por exemplo, em [JM06, L00, LSS09].
Outra linha de pesquisa é tentar descrever o grupo G quando (RG)ϕ satisfaz alguma
das identidades de Lie (Lie n-Engel, Lie nilpotência ou comutatividade). Tais resultados
podem ser encontrados, por exemplo, em [JM06, L00].
Um problema bastante difícil e extremamente importante de se tratar em anéis
de grupos é descrever o conjunto das unidades desse anel. Novamente, podemos verificar
em [JM06] a eficiência do estudo das involuções para resolver os mais diversos problemas
relacionados aos anéis de grupo.
S. P. Novikov em [N70] introduziu, a partir de uma orientação σ de G (homo2
3
morfismo de G em C2 ), uma nova involução σϕ em RG chamada involução orientada e,
naturalmente, a partir disso vários pesquisadores começaram a estudar as propriedades
dos elementos simétricos sob esse novo tipo de involução. Os mesmos métodos de se
resolver problemas utilizando involuções podem ser utilizados para as involuções orientadas. Nesse sentido, podemos buscar condições que o grupo G deva satisfazer para que o
conjunto (RG)σϕ satisfaça alguma identidade de Lie, ou ainda, sob quais condições tais
propriedades podem ser estendidas para todo o RG.
Nosso trabalho será estudar condições que o grupo deve possuir para que o conjunto dos elementos simétricos sob uma involução orientada satisfaça alguma das identidades de Lie, e, em alguns casos, mostrar condições para que a mesma propriedade nos
simétricos possa ser estendida para todo o anel de grupo.
No Capítulo 1, introduziremos os conceitos básicos e resultados fundamentais
para o entendimento dos resultados.
No Capítulo 2, apresentaremos condições necessárias e suficientes para que o
conjunto (RG)σϕ seja comutativo. Além disso, particularizaremos o resultado para o caso
quando ϕ = ∗, a involução clássica.
No Capítulo 3, mostraremos que se, K é um corpo de característica 0 e (KG)σϕ
é Lie n-Engel, então (KG)σϕ é comutativo, além de apresentar algumas consequências
desse resultado.
No Capítulo 4, apresentaremos condições necessárias e suficientes para que o
conjunto (RG)σ∗ seja Lie n-Engel ou Lie nilpotente, assim como exibiremos algumas
condições para que se tais propriedades forem satisfeitas em (RG)σ∗ ou (RG)−
σ∗ , também
o sejam em todo o anel de grupo.
Capítulo 1
Preliminares
Neste primeiro capítulo, apresentaremos os conceitos elementares que serão de
fundamental importância para o desenvolvimento deste trabalho. Todos os anéis serão
comutativos, tomados com unidade e denotados por R, exceto quando se tratar especificamente de um corpo, o qual denotaremos por K.
1.1
Módulos e Álgebras
Esta seção está baseada em [Po72].
Definição 1.1. Seja R um anel. Um grupo abeliano (M, +) é chamado de um R-módulo
(à esquerda) se, para cada r ∈ R e cada m ∈ M , corresponde um elemento rm ∈ M tal
que:
(i) (r + s)m = rm + sm;
(ii) r(m + n) = rm + rn;
(iii) (rs)m = r(sm);
(iv) 1m = m,
para todos r, s ∈ R, m, n ∈ M .
De maneira análoga, podemos definir um R-módulo à direita. Utilizaremos a
expressão R-módulo para nos referirmos a um R-módulo à esquerda.
Exemplo 1.2. Todo espaço vetorial sobre um corpo K é um K-módulo.
Exemplo 1.3. Todo grupo abeliano G pode ser considerado como um módulo sobre o anel
Z definindo-se o produto de um inteiro n por um elemento g ∈ G por:


, se n > 0;
 g + g + . . . + g(n vezes)
ng =
(−g) + (−g) + . . . + (−g)(|n| vezes) , se n < 0;


0
, se n = 0.
4
5
Exemplo 1.4. Se I for um ideal de um anel R, então I admite uma estrutura de Rmódulo com a soma induzida pela soma de R e a multiplicação por escalares definida pela
multiplicação de R.
Exemplo 1.5. Seja G um grupo abeliano. Indicaremos por End(G) o conjunto de todos
os endomorfismos de G. Neste conjunto, pode-se induzir uma estrutura de anel definindose a soma e produto de dois endomorfismos f, g ∈ End(G) por:
(f + g)(x) = f (x) + g(x), e
(f.g)(x) = f (g(x)), ∀x ∈ G.
Pode-se definir uma estrutura de End(G)-módulo em G associando, a cada par
(f, x) ∈ End(G) × G, o elemento f.x = f (x) ∈ G.
Definição 1.6. Sejam R um anel e I um conjunto de índices. Dizemos que uma sequência
(λi )i∈I de elementos de R é quase nula se apenas uma quantidade finita de elementos
da sequência é não-nula.
Definição 1.7. Seja M um R-módulo. Um conjunto {xi }i∈I de elementos de M é dito
um conjunto gerador de M (ou dizemos que {xi }i∈I gera M ) se, para todo m ∈ M ,
X
existe uma sequência quase nula (λi )i∈I de elementos de R tal que m =
λi xi . Se o
i∈I
conjunto {xi }i∈I é finito, dizemos que M é finitamente gerado.
Definição 1.8. Seja M um R-módulo. Um conjunto {xi }i∈I de elementos de M dizse linearmente independente (ou livre) se para toda sequência quase nula (λi )i∈I de
X
λi xi = 0 implica que λi = 0 ∀i ∈ I.
elementos de R tem-se que
i∈I
Definição 1.9. Seja M um R-módulo. Um conjunto {xi }i∈I de elementos de M diz-se
uma R-base de M se {xi }i∈I é um conjunto linearmente independente e gera M . Um
R-módulo é chamado de livre se possui uma R-base.
Neste ponto, podemos observar que alguns resultados válidos para espaços vetoriais não necessariamente o são para módulos.
(i) Em geral não é verdade que todo subconjunto linearmente independente de um
módulo livre possa ser ampliado a uma base;
(ii) Em geral é falso que todo conjunto gerador contém uma base;
(iii) Tanto para espaços vetoriais como para módulos, se, numa família de elementos
{xi }i∈I de um R-módulo M , um deles é combinação linear dos outros, a família não
é livre. A recíproca sempre é verdadeira no caso dos espaços vetorias, porém pode
não ser para módulos;
6
(iv) Nem sempre um submódulo de um módulo livre é livre;
(v) Sejam M um A-módulo livre e S ⊂ M , com S 6= M , um submódulo, também livre.
Nem sempre é verdade que o número de elementos de uma base de S é menor que
o número de elementos de uma base de M ;
(vi) Também não é válido, em geral, que duas bases de um mesmo R-módulo livre M
possuam a mesma cardinalidade.
Com o teorema a seguir, teremos condições suficientes para conseguirmos um
resultado positivo para o item (vi).
Teorema 1.10. Sejam R um anel comutativo e M um R-módulo livre finitamente gerado.
Então quaisquer duas R-bases de M possuem o mesmo número de elementos.
Definição 1.11. Seja M um R-módulo. Se M é livre e todas as R-bases de M possuem
o mesmo número de elementos, a cardinalidade de uma R-base é chamada de posto de
M.
Devido à definição acima, temos que o posto de M está bem definido se M estiver
nas condições do Teorema 1.10.
Definição 1.12. Seja R um anel comutativo. Um R-módulo M é chamado de uma Aálgebra (associativa) se existe uma multiplicação definida em M de tal maneira que com
a adição em M e esta multiplicação, M é um anel e para todos r ∈ R, m, n ∈ M é válida
a seguinte condição: r(mn) = (rm)n = m(rn). Uma A-álgebra é dita comutativa se M é
um anel comutativo.
Exemplo 1.13. Seja R um anel comutativo. O conjunto Mn (R) das matrizes de ordem
n com coeficientes em R com as operações de adição e multiplicação usuais é uma Rálgebra não comutativa. O conjunto U Tn (R) das matrizes triangulares superiores é uma
subálgebra de Mn (R).
Exemplo 1.14. Todo anel comutativo R é uma álgebra comutativa sobre si próprio.
1.2
Anéis de Grupo
Esta seção está baseada em [PS02].
Definição 1.15. Sejam G um grupo e R um anel com unidade. Denote por RG o conjunto
de todas as combinações lineares formais da forma
α=
X
g∈G
ag g,
7
onde ag ∈ R e {ag }g∈G é quase nula. O conjunto (RG, +, ·) dotado das operações de soma
e produto definido da forma a seguir é um anel, chamado anel de grupo de G sobre R:
!
X
ag g
!
X
+
g∈G
bg g
g∈G
(ag + bg )g;
!
·
ag g
X
g∈G
!
X
=
g∈G
X
bg g
=
g∈G
X
(ag bh )(gh).
g,h∈G
Note que RG é um anel com identidade, onde 1RG = 1R 1G , que, de agora em
diante, denotaremos por 1.
X
Dado α =
αg g ∈ RG, chamamos de suporte de α, supp(α), o conjuto dos
g∈G
elementos g ∈ G que aparecem na composição de α de forma não trivial, ou seja, αg 6= 0;
em outras palavras, supp(α) = {g ∈ G : αg 6= 0}.
Podemos também definir um produto por escalares do anel R da seguinte maneira
!
b·
X
ag g
=
g∈G
X
bag g, ∀b ∈ R,
g∈G
e facilmente verificamos que RG é um R-módulo. E, se R é comutativo, segue-se que RG
é uma álgebra sobre R.
Exemplo 1.16. Sejam G = C∞ ' {. . . , x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 , . . .} e R = R, o corpo dos
números reais. Temos que RG = RC∞ é isomorfo ao anel dos polinômios de Laurent.
Observe também que se R é comutativo e G é finito, pelo Teorema 1.10, temos
que posto de RG está bem definido e posto(RG) = |G|. Utilizando o monomorfismo de
inclusão i : R → RG definido por i(r) 7→ r1G temos naturalmente que RG contém um
subanel isomorfo a R, o qual frequentemente trataremos como o próprio R.
1.2.1
O Homomorfismo de Aumento
A próxima proposição introduzirá um homomorfismo de anéis de forma bastante
natural de RG em R.
Proposição 1.17. Seja a função ε : RG → R dada por
!
ε
X
g∈G
ag g
=
X
ag .
g∈G
Esta função é um homomorfismo de anéis, chamado homomorfismo de aumento de
RG. Neste caso, denotaremos seu núcleo por ∆(G) e o chamaremos de ideal de aumento
de RG.
8
Demonstração. Sejam
X
ag g,
g∈G
X
bg g ∈ RG. Então
g∈G
(i)
!
X
ε
X
ag g +
g∈G
bg g
!
= ε
X
g∈G
(ag + bg )g
g∈G
=
=
X
(ag + bg )
g∈G
X
ag +
g∈G
X
bg
g∈G
!
= ε
X
ag g
!
X
+ε
g∈G
bg g ;
g∈G
(ii)
!
ε
X
ag g ·
g∈G
X
bg g
!
= ε
g∈G
X
(ag bh )gh
g,h∈G
=
=
X
(ag bh )
g,h∈G
X
X
g∈G
g∈G
ag .
bg
!
= ε
X
!
X
ag g .ε
g∈G
bg g .
g∈G
Proposição 1.18 (Proposição 3.2.10, [PS02]). O conjunto {g − 1; g ∈ G, g 6= 1} é uma
R-base de ∆(G) sobre R.
A proposição anterior nos garante então que podemos escrever
∆(G) =
(
X
)
αg (g − 1); g 6= 1, αg ∈ R .
g∈G
Definição 1.19. Seja H < G. Denotaremos por ∆(G, H) o ideal à esquerda de RG
gerado pelo conjunto {h − 1; h ∈ H}, isto é,
(
∆(G, H) =
)
X
αh (h − 1); αh ∈ RG .
h∈H
Observe que na definição de ∆(G, H) os αg são tomados em RG, ao passo que
na definição de ∆(G) são tomados em R. Note também que, pela definição acima, o ideal
∆(G, G) coincide com ∆(G).
9
Note que, se N / G, uma vez que (n − 1)g = g(g −1 ng − 1) e g(n − 1) = (gng −1 −
1)g, ∀n ∈ N e g ∈ G, temos que ∆(G, N ) é um ideal bilateral e pode ser descrito como
(
∆(G, N ) =
)
X
(n − 1)αn ; αn ∈ RG .
n∈N
Além disso, podemos visualizar ∆(G, N ) de uma forma diferente e bastante útil também.
Como N /G, podemos tomar o quociente G/N e o homomorfismo canônico ψ N : G → G/N
e, assim, definir um homomorfismo de anéis ψN : RG → R(G/N ) da seguinte forma
!
ψN
X
αg g
g∈G
=
X
αg ψ N (g).
g∈G
Proposição 1.20 (Proposição 3.3.4, [PS02]). Sejam N /G e ψN definido da forma acima,
então ker(ψN ) = ∆(G, N ).
1.2.2
O Centro de um Anel de Grupo
Sejam G um grupo e g ∈ G. Definimos a classe de conjugação de g como sendo
o conjunto C(g) = {x−1 gx|x ∈ G}. Observe que, para todo h ∈ G, h−1 C(g)h = C(g).
Definição 1.21. Sejam G um grupo, R um anel comutativo, RG o anel de grupo de G
sobre R e {Ci }i∈I o conjunto das classes de conjugação de G que possuem apenas um
X
x ∈ RG. Esses elementos
número finito de elementos. Para cada i ∈ I, escreva γi =
x∈Ci
são chamados de somas de classes de G sobre R.
Teorema 1.22 (Teorema 3.6.2, [PS02]). Sejam G um grupo e R um anel comutativo.
Então o conjunto {γi }i∈I de todas as somas de classes de G sobre R é uma R-base de
Z(RG), onde Z(RG) = {α ∈ RG; αβ = βα, ∀β ∈ RG} é o centro de RG.
1.3
Involuções
Nesta seção, introduziremos os conceitos e alguns resultados de involuções em
grupos e involuções em anéis para posteriormente definirmos a principal ferramenta deste
trabalho, involuções orientadas em anéis de grupo.
1.3.1
Involuções em Grupos
Definição 1.23. Seja G um grupo. Uma aplicação ϕ : G → G é dita uma involução de
grupos, ou simplesmente involução, se, para todos g, h ∈ G, temos que,
(i) ϕ(gh) = ϕ(h)ϕ(g);
10
(ii) ϕ(ϕ(g)) = g.
Note que [(ii)] diz que ϕ é bijeção (ϕ−1 = ϕ).
Lema 1.24. Sejam G um grupo e ϕ uma involução em G. Então:
(1) ϕ(1G ) = 1G ;
(2) ϕ(g −1 ) = ϕ(g)−1 ; ∀g ∈ G.
Demonstração.
(1) Temos que 1G = ϕ(ϕ(1G )) = ϕ(1G ϕ(1G )) = 1G ϕ(1G ) = ϕ(1G ).
(2) Temos que 1G = ϕ(1G ) = ϕ(gg −1 ) = ϕ(g −1 )ϕ(g). Logo, ϕ(g −1 ) = ϕ(g)−1 .
Exemplo 1.25. Seja G um grupo. A aplicação ∗ : G → G definida por g ∗ = ∗(g) = g −1
é uma involução em G, chamada de involução clássica de G.
Exemplo 1.26. Seja S3 = {1S3 , (12), (13), (32), (123), (321)} o grupo de permutações de
3 elementos e considere a aplicação ϕ : S3 → S3 definida por ϕ(g) = (12)g −1 (12). A
aplicação ϕ é uma involução em S3 . De fato,
(i) ϕ(gh) = (12)h−1 g −1 (12) = [(12)h−1 (12)][(12)g −1 (12)] = ϕ(h)ϕ(g);
(ii) ϕ(ϕ(g)) = (12)(12)(g −1 )−1 (12)(12) = g.
Definição 1.27. Um elemento g ∈ G diz-se ϕ-simétrico, ou simplesmente simétrico,
se g é um ponto fixo para a involução ϕ, ou seja, ϕ(g) = g. Denotaremos por Gϕ =
{g ∈ G; ϕ(g) = g} o conjunto dos elementos simétricos de G em relação a involução ϕ.
Naturalmente, para H < G, denotaremos por Hϕ o conjunto dos elementos de H
que são simétricos em relação a involução ϕ, ou seja, Hϕ = {h ∈ H : ϕ(h) = h}.
Vamos introduzir agora os LC-grupos1 , uma classe interessante de grupos em que
podemos induzir uma involução de forma bastante natural e que nos será muito útil nos
Capítulos 2 e 3. Para isso, precisaremos antes conhecer alguns outros conceitos.
Definição 1.28. Seja G um grupo. Dados g, h ∈ G, o operador (g, h) = g −1 h−1 gh será
chamado de comutador de g e h. Denotamos por G0 = {h(g, h)i : g, h ∈ G}, o subgrupo
gerado por todos os comutadores de G, o chamado subgrupo derivado de G.
Definição 1.29. Seja G um grupo não abeliano. Dizemos que um elemento s ∈ G é o
único comutador não trivial de G se s 6= 1 e (g, h) = g −1 h−1 gh ∈ {1, s} ∀g, h ∈ G,
ou seja, G0 = {1, s}
1
Do inglês Limited Commutativity, o que poderia ser entendido por “comutatividade limitada”.
11
Lema 1.30. Seja G um grupo não abeliano. Se G possui um único comutador não trivial
s, então s2 = 1 e s ∈ Z(G).
Demonstração. Sejam g, h ∈ G tais que gh 6= hg, assim temos que g −1 h−1 gh = s ⇒ s =
h−1 g −1 hg = s−1 , logo s = s−1 ⇒ s2 = 1. Suponha por absurdo que s ∈
/ Z(G) e seja
g ∈ G tal que sg 6= gs. Temos que s = s−1 g −1 sg ⇒ 1 = g −1 sg ⇒ g = sg ⇒ s = 1, uma
contradição.
Definição 1.31. Dizemos que um grupo não abeliano G é um LC-grupo se, para todos
g, h ∈ G tais que gh = hg, temos que g ∈ Z(G), h ∈ Z(G) ou gh ∈ Z(G).
Observação 1.32. Com a definição acima, temos que, se G é um LC-grupo, então g 2 ∈
Z(G), ∀g ∈ G e com isso (g, h) = g −2 (gh−1 )2 h2 ∈ Z(G), ∀g, h ∈ G.
Exemplo 1.33. Seja o grupo dos quatérnios de ordem 8, Q8 = hx, y; x4 = 1, x2 =
y 2 , xy = x−1 i.
Dado essa presentação, podemos verificar que a tábua de multiplicação de Q8 é a
seguinte.
·
1
x
x2
x3
y
xy
x2 y
x3 y
1
1
x
x2
x3
y
xy
x2 y
x3 y
x
x
x2
x3
1
xy
x2 y
x3 y
y
x2
x2
x3
1
x
x2 y
x3 y
y
xy
x3
x3
1
x
x2
x3 y
y
xy
x2 y
y
y
x3 y
x2 y
xy
x2
x
1
x3
xy
xy
y
x3 y
x2 y
x3
x2
x
1
x2 y
x2 y
xy
y
x3 y
1
x3
x2
x
x3 y
x3 y
x2 y
xy
y
x
1
x3
x2
Por se tratar de um grupo finito, podemos computar g −1 h−1 gh, ∀g, h ∈ Q8 e
verificar que Q08 = {1, x2 } e, assim, concluir que Q8 possui um único comutador não
trivial x2 . Note também que os únicos elementos que comutam entre si e que não estão
no centro são x com x3 e xy com x3 y, e, nestes casos, xx3 = 1 e xyx3 y = 1, o que implica
que Q8 é um LC-grupo.
O próximo corolário é uma consequência do Teorema 1.22.
Corolário 1.34. Sejam R um anel comutativo e G um LC-grupo com um único comutador
não trivial s. Então o conjunto
Z(G) ∪ {g + sg; g ∈ G\Z(G)}
12
é uma R-base de Z(RG).
Demonstração. Seja g ∈ G. Se g ∈ Z(G) então C(g) = {g}. Agora, ∀x, y ∈ G tais
que xy 6= yx, temos que s = x−1 y −1 xy, assim y −1 xy = sx, logo, se g ∈
/ Z(G), então
C(g) = {g, sg}. Pelo Teorema 1.22, temos o resultado.
Lema 1.35. Seja G um LC-grupo com um único comutador não trivial s. Então a
aplicação ϕ : G → G dada por
(
ϕ(g) =
g, se g ∈ Z(G);
sg, se g ∈
/ Z(G),
define uma involução em G.
Demonstração.
(i) ϕ(gh) = ϕ(h)ϕ(g), ∀g, h ∈ G.
Suponha que gh 6= hg.
Assim, temos que g, h, gh ∈
/ Z(G), já que, se g ou h ∈ Z(G), teríamos que
gh = hg e, se gh ∈ Z(G), teríamos que ghg = ggh ⇒ gh = hg, absurdo. Note que
g −1 h−1 gh = s ⇒ gh = shg, logo ϕ(gh) = sgh = hg = shsg = ϕ(h)ϕ(g).
Suponha agora que gh = hg.
Como G é um LC-grupo, então g ∈ ZG, h ∈ ZG ou gh ∈ ZG.
Se g, h ∈ Z(G), então ϕ(gh) = gh = hg = ϕ(h)ϕ(g).
Se g ∈ Z(G) e h ∈
/ Z(G), então ϕ(gh) = sgh = shg = hsg = ϕ(h)ϕ(g). O caso
g∈
/ Z(G) e h ∈ Z(G) é análogo.
Se g, h ∈
/ Z(G), então gh ∈ Z(G), logo ϕ(gh) = gh = hg = s2 hg = shsg =
ϕ(h)ϕ(g).
(ii) ϕ(ϕ(g)) = g, ∀g ∈ G.
De fato, se g ∈ Z(G), temos que ϕ(ϕ(g)) = ϕ(g) = g. Se g ∈
/ Z(G), utilizando
o item anterior, temos que ϕ(ϕ(g)) = ϕ(sg) = ϕ(g)ϕ(s) e, pelo Lema 1.30, ϕ(g)ϕ(s) =
sgs = s2 g = g.
Definição 1.36. Dizemos que um LC-grupo, G, com um único comutador não trivial s,
juntamente com a involução ϕ dada pelo Lema 1.35, é um SLC-grupo2 em relação à
involução ϕ.
No próximo capítulo, enunciaremos um teorema que nos fornece condições necessárias e suficientes para que G seja um SLC-grupo em relação à involução ϕ.
2
Do inglês Special LC-group.
13
1.3.2
Involuções em Anéis
Definição 1.37. Seja R um anel. Dizemos que uma aplicação ϕ : R → R é uma involução de anéis em R, ou, simplesmente uma involução, se, para todo r, s ∈ R, as seguintes
propriedades são satisfeitas:
(i) ϕ(r + s) = ϕ(r) + ϕ(s);
(ii) ϕ(rs) = ϕ(s)ϕ(r);
(iii) ϕ(ϕ(r)) = r.
Lema 1.38. Sejam R um anel e ϕ uma involução em R, então valem as seguintes propriedades:
(i) ϕ(1) = 1;
(ii) ϕ(0) = 0;
(iii) ϕ(−r) = −ϕ(r), ∀r ∈ R;
(iv) Se u ∈ U(R) então ϕ(r−1 ) = ϕ(r)−1 ;
(v) r ∈ Z(R), se e somente se, ϕ(r) ∈ Z(R).
Demonstração.
(i,iv) Seguem de forma análoga ao Lema 1.24.
(ii,iii) Seguem do fato de que a involução atua como um homomorfismo de grupos na
estrutura de grupo aditivo que R possui.
(v) Se r ∈ Z(R) então para todo s ∈ R temos que
ϕ(r)s = ϕ(r)ϕ(ϕ(s)) = ϕ(ϕ(s)r) = ϕ(rϕ(s)) = ϕ(ϕ(s))ϕ(r) = sϕ(r).
Portanto, ϕ(r)s = sϕ(r), o que implica ϕ(r) ∈ Z(R). Reciprocamente, se ϕ(r) ∈
Z(R), então, do que já foi mostrado, temos que r = ϕ(ϕ(r)) ∈ Z(R).
Exemplo 1.39. A função identidade é uma involução em um anel comutativo. De forma
mais geral, todo homomorfismo de ordem 2 é uma involução em um anel comutativo.
Exemplo 1.40. Sejam R um anel e Mn (R) o anel das matrizes de ordem n com coeficientes em R. A transposição de matrizes é uma involução em Mn (R).
Exemplo 1.41. A conjugação complexa é uma involução em C.
14
Exemplo 1.42. Seja H = {a + bi + cj + dk; a, b, c, d ∈ R, i, j, k são unidades básicas}.
Definido a soma por
(a + bi + cj + dk) + (a0 + b0 i + c0 j + d0 k) = (a + a0 ) + (b + b0 )i + (c + c0 )j + (d + d0 )k
e o produto induzido pelo produto de R; sendo ele distributivo em relação à soma e satisfazendo as seguintes leis para as unidades básicas:
i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1
ij = k = −ji
jk = i = −kj
ki = j = −ik,
obtemos o anel (H, +, ·) dos quatérnios.
As aplicações
ϕ:H → H
a + bi + cj + dk 7→ a − bi − cj − dk
e
ψ:H → H
a + b1 i + b2 j + b3 k 7→ a + bγ(1) i + bγ(2) j + bγ(3) k,
onde γ é uma permutação do conjunto {1, 2, 3}, são involuções em H.
Exemplo 1.43. Sejam R uma anel com uma involução ϕ e G um grupo com uma involução ϕ0 . Definimos para o anel de grupo RG a seguinte aplicação:
α=
ϕ : RG → RG
P
0
g∈G αg g 7→
g∈G ϕ(αg )ϕ (g).
P
Esta aplicação define uma involução em RG.
De fato,
15
(i)
!
ϕ(α + β) = ϕ
X
αg g +
g∈G
= ϕ
X
X
g∈G
βg g
!
(αg + βg )g
X g∈G
=
ϕ(αg + βg )ϕ0 (g)
=
=
g∈G
X
g∈G
X
(ϕ(αg ) + ϕ(βg ))ϕ0 (g)
ϕ(αg )ϕ0 (g) +
g∈G
X
ϕ(βg )ϕ0 (g)
g∈G
= ϕ (α) + ϕ (β) ;
(ii)
!
X
ϕ(α · β) = ϕ
αg g
!!
·
g∈G
= ϕ
=
=
=
X
X
βg g
g∈G
!
(αg βh )gh
Xg,h∈G
ϕ(αg · βh )ϕ0 (gh)
g,h∈G
X
(ϕ(βh ) · ϕ(αg ))ϕ0 (h)ϕ0 (g)
g,h∈G
X
X
g∈G
g∈G
ϕ(βg )ϕ0 (g) ·
ϕ(αg )ϕ0 (g)
= ϕ (β) · ϕ (α) ;
(iii)
!!
ϕ(ϕ(α)) = ϕ ϕ
X
αg g
g∈G
!
= ϕ
X
ϕ(αg )ϕ0 (g)
X g∈G
=
ϕ(ϕ(αg ))ϕ0 (ϕ0 (g))
=
g∈G
X
αg g
g∈G
= α.
Definição 1.44. Nas condições do exemplo anterior, se R for um anel comutativo e ϕ
for a identidade, dizemos que ϕ é uma involução induzida em RG pela involução ϕ0 .
Quando não houver risco de ambiguidade, denotaremos as duas involuções pelo mesmo
símbolo ϕ. Em particular, quando ϕ0 = ∗, a involução clássica de G, chamamos ϕ de
involução canônica, ou clássica, de RG.
Definição 1.45. Sejam R um anel e ϕ uma involução em R. Um elemento r ∈ R é
16
chamado de simétrico ou antissimétrico, se ϕ(r) = r ou ϕ(r) = −r, respectivamente.
Denotamos por Rϕ e Rϕ− o conjunto dos elementos simétricos e antissimétricos de R, ou
seja, Rϕ = {r ∈ R; ϕ(r) = r} e Rϕ− = {r ∈ R; ϕ(r) = −r}.
Lema 1.46. Seja R um anel com uma involução ϕ. O conjunto Rϕ é um subanel de R
se, e somente se, Rϕ é comutativo.
Demonstração. Sejam a, b ∈ Rϕ . Então ϕ(a − b) = ϕ(a) − ϕ(b) = a − b. Logo a − b ∈ Rϕ .
Agora, ϕ(ab) = ϕ(b)ϕ(a) = ba. Assim, ab ∈ Rϕ se, e somente se, ab = ba; isto é, se, e
somente se, Rϕ é comutativo.
1.3.3
Involuções orientadas em anéis de grupos
Definição 1.47. Seja G um grupo. Um homomorfismo σ : G → {1, −1} é chamado de
uma orientação de G.
Observação 1.48. Seja N = ker(σ). Se σ é uma orientação não trivial de um grupo G,
então N 6= G, [G : N ] = 2, e com isso G = N ∪ N g para qualquer g ∈
/ N . Também, se G
é um grupo finito e adimite uma orientação não trivial, então |G| é um número par.
Observação 1.49. Note que, pela definição de subgrupo, se g, h ∈ N , então gh ∈ N e
se g ∈ N e h ∈
/ N , então gh ∈
/ N . Podemos garantir usando a propriedade da orientação
que se g, h ∈
/ N , então gh ∈ N , pois σ(gh) = σ(g)σ(h) = (−1)(−1) = 1.
Exemplo 1.50. Seja Sn o grupo das permutações de n elementos e considere o homomorfismo
σ : Sn → {1, −1}
ψ 7→ σ(ψ)
onde
(
σ(ψ) =
1, se ψ for uma permutação par;
−1, se ψ for uma permutação ímpar.
Então σ é uma orientação de Sn com núcleo N = An , o grupo das permutações
pares.
Exemplo 1.51. Seja (Q∗ , ·) o grupo dos racionais não nulos em relação ao produto. A
aplicação ϕ : Q → {1, −1} definida por
(
ϕ(α) =
1, se α > 0;
−1, se α < 0
é uma orientação em (Q, ·).
Exemplo 1.52. Tomando G = {A ∈ GL(n) : det(A) = ±1}, temos que σ(A) = det(A)
define uma orientação em G.
17
Seja R um anel comutativo. Dados σ uma orientação de um grupo G e ϕ uma
involução em G, podemos definir uma aplicação σϕ em RG dada por
!
σϕ
X
ag g
=
g∈G
X
ag σ(g)ϕ(g).
g∈G
Se N = ker(σ) e ϕ(N ) = N , então a aplicação σϕ é uma involução em RG. De
fato,
(i)
!
σϕ
X
αg g +
g∈G
X
βg g
= σϕ
P
g∈G
(αg + βg )g
g∈G
=
X
(αg + βg )σ(g)ϕ(g)
g∈G
X
X
αg σ(g)ϕ(g) +
βg σ(g)ϕ(g)
g∈G
g∈G
!
!
X
X
= σϕ
αg g + σϕ
βg g ;
=
g∈G
g∈G
(ii)
σϕ
αg g
g∈G
!
!!
!
X
X
βh h
X
= σϕ
(αg βh )gh
g,h∈G
h∈G
=
=
X
(αg βh )σ(gh)ϕ(gh)
g,h∈G
X
(αg βh )σ(g)σ(h)ϕ(h)ϕ(g)
g,h∈G
X
(βh σ(h))(αg σ(g))ϕ(h)ϕ(g)
!
!
X
X
= σϕ
βh h σϕ
αg g ;
=
g,h∈G
g∈G
h∈G
(iii)
!!
σϕ σϕ
X
αg g
!
= σϕ
g∈G
X
αg σ(g)ϕ(g)
g∈G
=
=
X
g∈G
X
αg σ(g)σ(ϕ(g))g
αg g,
g∈G
já que ϕ(N ) = N e [G : N ] = 2.
Definição 1.53. A aplicação σϕ : RG → RG definida acima é chamada de involução
orientada em RG.
Observação 1.54. Note que, esta involução é induzida por uma involução em G se, e
somente se, a orientação σ é trivial.
18
Em [N70], Novikov introduziu a noção de involução orientada em anéis de grupos.
Neste trabalho, Novikov trabalhou com involuções orientadas, onde a involução ϕ era a
involução clássica de G.
Em todo o texto, σ é orientação de grupo em G, N = ker(σ) e sempre que dissermos que σϕ é uma involução orientada estaremos supondo que ϕ(N ) = N . Vale ressaltar
também que, quando não explicitado o contrário, σ sempre denotará uma orientação não
trivial, pois, para uma orientação trivial, a maioria dos resultados encontrados nessa dissertação possuem versões semelhantes e podem ser encontradas, por exemplo, em [GPS09]
e [JM06].
Note que a condição ϕ(N ) = N não é uma condição muito forte, visto que se
ϕ = ∗ então para qualquer orientação σ de G essa condição é verificada. O mesmo ocorre
para σ em G do exemplo 1.52 quando ϕ é a transposição de matrizes.
Definição 1.55. Seja R um anel com unidade. Dizemos que R possui característica 0,
char(R) = 0, se 1| + 1 +
{z. . . + 1} 6= 0, ∀n ≥ 1. Caso char(R) 6= 0, o menor número i tal
n-vezes
que |1 + 1 +
{z. . . + 1} = 0 é chamado de característica de R, neste caso, char(R) = i.
i-vezes
Observação 1.56. Se σϕ é uma involução orientada em RG e σ é não trivial, então
devemos ter que char(R) 6= 2; pois, se char(R) = 2, teríamos que σ(g) = −σ(g), o
que contradiz o fato de σ ser não trivial. Observe também que se σϕ é uma involução
orientada em RG, então σϕ|RN = ϕ, onde RN é o anel de grupo de N sobre R.
1.4
Os conjuntos (RG)σϕ e (RG)−
σϕ
Como σϕ é uma involução no anel RG, podemos então considerar os conjuntos
(RG)σϕ e (RG)−
σϕ . Estes serão os principais objetos de estudo dessa dissertação. No
segundo capítulo, estudaremos condições necessárias e suficientes para que o conjunto
(RG)σϕ seja comutativo; no terceiro, estudaremos condições necessárias e suficientes para
que o conjunto (KG)σϕ com char(K) = 0 seja Lie n-Engel; no quarto capítulo, estudaremos sob quais condições podemos estender as propriedades de Lie dos conjuntos (KG)σ∗
e (KG)−
σ∗ para todo o anel KG, além de encontrar condições necessárias e suficientes para
que o conjunto (KG)σ∗ seja Lie n-Engel ou Lie nilpotente.
A importância do estudo desses conjuntos está no fato de que, sob certas condições, podemos estender algumas propriedades dos elementos simétricos para RG, e
também encontrar outras propriedades para G, R ou RG. Algumas dessas condições
podem ser observadas nos seguintes teoremas.
Teorema A, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos e K um corpo de
característica p 6= 2. Então, (KG)ϕ é Lie n-Engel se, e somente se, KG é Lie n-Engel.
19
Teorema B, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos e K um corpo
de característica p 6= 2. Então, (KG)ϕ é Lie nilpotente se, e somente se, KG é Lie
nilpontente.
Em [L99], Gregory Lee mostrou que este segundo resultado pode ser estendido
para grupos que contenham 2-elementos, contanto que Q8 6⊂ G, e classificou (RG)ϕ
quando Q8 ⊂ G.
No caso dos elementos simétricos sob involuções orientadas, (RG)σϕ , iremos descrever a estrutura de G, caso (RG)σϕ satisfaça alguma indentidade de Lie, e mostrar
que os teoremas acima podem ser verificados também quando se trata de uma involução
orientada.
Encontraremos algumas condições para que uma propriedade de (KG)σ∗ possa
ser estendida para KG. A seguinte proposição exemplifica uma dessas condições.
Proposição. Seja G um grupo tal que |Z(G)2 | = ∞. Então (KG)σ∗ ou (KG)−
σ∗
é Lie nilpotente de índice n se, e somente se, KG é Lie nilpotente de índice n.
Denotaremos por (G)σϕ = {g ∈ G : σϕ(g) = g} e (G)−
σϕ = {g ∈ G : σϕ(g) = −g}
os conjuntos dos elementos simétricos e antissimétricos de G sob σϕ. Denotaremos também por Gϕ os elementos simétricos sob a involução ϕ de G, ou seja, Gϕ = {g ∈ G : ϕ(g) = g}.
Seja g ∈ Gσϕ . Então σϕ(g) = σ(g)ϕ(g) = g. Logo, σ(g) = 1 e ϕ(g) = g. Assim,
Gσϕ = N ∩ Gϕ = Nϕ . Observe que, como gϕ(g) ∈ Gϕ , ∀g ∈ G, então gϕ(g) ∈ Nϕ , ∀g ∈ G.
Note que podemos particionar G, utilizando σ e ϕ, em quatro subconjuntos disjuntos, como segue:
G = Nϕ ∪ N \Nϕ ∪ (G\N )\Gϕ ∪ Gϕ \N.
Vamos então descrever como (RG)σϕ e (RG)−
σϕ podem ser gerados, como Rmódulos, a partir de elementos em cada uma dessas partes.
!
X
X
P
Seja α =
α
g
∈
(RG)
.
Então
σϕ
α
g
=
αg σ(g)ϕ(g) =
g
σϕ
g
g∈G
g∈G
X
g∈G
αg g. Logo, αϕ(g) = σ(g)αg , ∀g ∈ supp(α). Com isso obtemos que, se g ∈ supp(α) ∩
g∈G
Gϕ \N , temos que 2αg = 0, pois
αg = σ(ϕ(g))αϕ(g) = −αg .
Observação 1.57. Para evitar que esses elementos estejam no suporte dos elementos
simétricos, iremos sempre tomar anéis R tais que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}.
Observe que essa restrição é, de certa forma, natural; visto que ela é verificada
em todo anel de característica ímpar e nunca em característica par, exceto possivelmente
0. Uma das excessões para característica 0 ocorre justamente quando o anel é um corpo,
20
ou seja, esta condição sempre se verifica para um corpo K tal que char(K) 6= 2.
Logo, se R é um anel tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}, então (RG)σϕ é gerado como
R-módulo pelo conjunto
S = Nϕ ∪ {g + σϕ(g) : g ∈ G\Nϕ } .
Para refinar esse conjunto gerador de (RG)σϕ , note que
supp(α) ∩ G\Nϕ = supp(α) ∩ ((G\(N ∪ Gϕ )) ∪ (N \Nϕ ) ∪ (Gϕ \N ))
= supp(α) ∩ (((G\N )\Gϕ ) ∪ (N \Nϕ )),
com isso temos que
S = Nϕ ∪ {g + ϕ(g) : g ∈ N \Nϕ } ∪ {g − ϕ(g) : g ∈ (G\N )\Gϕ } .
Em particular, se ϕ = ∗, então (RG)σ∗ é gerado por
S = g ∈ N : g 2 = 1 ∪ g + g −1 : g ∈ N, g 2 6= 1 ∪ g − g −1 : g ∈ G\N, g 2 6= 1 .
−
(G\N ) ∩ Gϕ = Gϕ \N .
Seja g ∈ G−
σϕ . De forma análoga, encontramos que Gσϕ =!
X
X
P
αg g =
αg σ(g)ϕ(g) =
Seja α = g∈G αg g ∈ (RG)−
σϕ . Temos que σϕ
g∈G
−
X
g∈G
αg g. Logo, −αϕ(g) = σ(g)αg , ∀g ∈ supp(α). De forma análoga ao caso anterior,
g∈G
temos que, se R é um anel tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}, então supp(α) ∩ Nϕ = ∅. Logo,
(RG)−
σϕ é gerado como R-módulo pelo conjunto
L = Gϕ \N ∪ {g − σϕ(g) : g ∈ G\(Gϕ \N )} .
Como N ∪ Gϕ ⊂ G, temos que
supp(α) ∩ G\(Gϕ \N ) = supp(α) ∩ ((G\(N ∪ Gϕ )) ∪ (N \Nϕ ) ∪ Nϕ )
= supp(α) ∩ (((G\N )\Gϕ ) ∪ (N \Nϕ )).
Então, (RG)−σϕ é gerado por
L = {g ∈ Gϕ \N } ∪ {g + ϕ(g) : g ∈ G\(N ∪ Gϕ )} ∪ {g − ϕ(g) : g ∈ N \Gϕ } .
Em particular, se ϕ = ∗, então (RG)−σ∗ é gerado por
L = g ∈ G\N : g 2 = 1 ∪ g + g −1 : g ∈ G\N, g 2 6= 1 ∪ g − g −1 : g ∈ N, g 2 6= 1 .
21
1.4.1
Propriedades de Lie
Em um anel associativo R, definimos o colchete de Lie de dois elementos
x, y ∈ R por [x, y] = xy − yx. Esta definição pode ser estendida recursivamente por
[x1 , . . . , xn+1 ] = [[x1 , . . . , xn ], xn+1 ], ∀xi ∈ R.
Definição 1.58. Seja S um subconjunto de R. Dizemos que S é Lie nilpotente se existe
n ≥ 2 tal que [x1 , . . . , xn ] = 0, ∀xi ∈ S. O menor n tal que isso acontece é chamado de
índice de nilpotência de S.
Definição 1.59. Seja S um subconjunto de R. Dizemos que S é Lie n-Engel se existe
n ≥ 2 tal que [x, y, . . . , y ] = 0, ∀x, y ∈ S.
| {z }
n vezes
Note que, se S é Lie nilpotente de índice m, então S também é Lie n-Engel para
algum n ≤ m.
Observe também que, se G for abeliano, teremos então que RG é comutativo,
assim o fato de (RG)σϕ ser comutativo ou possuir alguma propriedade de Lie não acrescenta nenhuma informação realmente nova, logo não poderemos fazer nenhuma afirmação
acerca da estrutura do grupo. Assim, para que nosso estudo seja profícuo, exceto quando
não seja explicitado o contrário, G sempre denotará um grupo não abeliano.
Capítulo 2
Comutatividade de (RG)σϕ
Em [JM06], Eric Jespers e M. Ruiz Marín estudaram a comutatividade dos elementos simétricos sob uma involução induzida em um anel de grupo, encontrando condições necessárias e suficientes para que o conjunto (RG)ϕ seja comutativo.
Teorema 2.1 (Teorema 2.4, [JM06]). Sejam ϕ uma involução em um grupo não abeliano
G e R um anel comutativo tal que char(R) 6= 2. Então as seguintes afirmações são
equivalentes:
1. (RG)ϕ é comutativo;
2. O grupo G é um SLC-grupo;
3. G/Z(G) ' C2 × C2 ,
(
ϕ(g) =
g,
se g ∈ Z(G);
h−1 gh, se g ∈
/ Z(G),
∀h ∈ G com (g, h) 6= 1.
O. Broche Cristo e C. Polcino Milies em [BP06] estudaram algo semelhante, substituindo a involução induzida ϕ por uma involução orientada σϕ e encontrando condições
necessárias e suficientes para que o conjunto (RG)σϕ seja comutativo. Este capítulo está
baseado nesta referência.
Embora o artigo [BP06] foi utilizado como base para esse capítulo, devemos notar
que alguns resultados foram modificados, pois os autores cometeram um pequeno deslize
ao desconsiderar a existência de elementos r ∈ R\ {0} tais que 2r = 0. Os próprios
autores perceberam o equívoco e publicaram o artigo [GP13] considerando a existência de
tais elementos, corrigindo o resultado contido em [BP06]. Como nosso interesse é estudar
os elementos simétricos em anéis de grupo tais que o anel é um corpo de característica
diferente de 2, temos que os resultados encontrados em [BP06] para esse tipo de anel são
suficientes para nosso trabalho.
22
23
Em todo o capítulo, R será um anel comutativo com identidade tal que 2r 6=
0, ∀r ∈ R\ {0}, ϕ uma involução em G e σ uma orientação em G. Lembramos que, sob
essas condições sobre o anel R, temos char(R) = 0 ou char(R) = a, onde a é um número
ímpar.
Lema 2.2. Seja R um anel comutativo com identidade tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}. Se
(RG)σϕ é comutativo, então (G\N )\Gϕ ⊂ Z(G). Além disso, se g ∈ (G\N )\Gϕ , então
gϕ(g) = ϕ(g)g.
Demonstração. Seja h ∈ G.
Vamos analisar como h se relaciona com g ∈ (G\N )\Gϕ dependendo em que
subconjunto da partição de G esse elemento se encontra.
(a) Suponha que h ∈ Nϕ . Então
0 = [g + σϕ(g), h] = [g − ϕ(g), h]
⇓
gh + hϕ(g) = hg + ϕ(g)h.
Como char(R) 6= 2 e g ∈
/ Gϕ , temos que gh = hg. Em particular, como gϕ(g) ∈ Nϕ , g
comuta com gϕ(g), ou seja, ggϕ(g) = gϕ(g)g, o que implica que g comuta com ϕ(g).
(b) Se h ∈ (G\N )\Gϕ , temos que
0 = [g − ϕ(g), h − ϕ(h)]
⇓
gh + ϕ(g)ϕ(h) + hϕ(g) + ϕ(h)g = gϕ(h) + ϕ(g)h + hg + ϕ(h)ϕ(g).
Como g, h ∈
/ Gϕ , temos que gh 6= gϕ(h) e gh 6= ϕ(g)h. Assim como char(R) 6= 2, devemos
considerar as quatro seguintes possibilidades:
(1) gh = hg;
(2) gh = ϕ(h)ϕ(g);
(3) char(R) = 3 e três elementos do lado esquerdo da equação acima são iguais entre
si.
Se (1) ocorre, temos o resultado.
Suponha então que (2) ocorre, então temos que gh = ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(gh), implicando que gh ∈ Nϕ , logo, podemos aplicar o caso (a), e verificar que gh e g comutam, o
que nos garante que g e h comutam, e assim o resultado ocorre.
Se (3) ocorre, analisemos alguns casos. Se ϕ(g)ϕ(h) = hϕ(g) = ϕ(h)g, aplicando
ϕ em todos os elementos, temos que hg = gϕ(h) = ϕ(g)h. Assim gh = ϕ(h)ϕ(g), e
novamente temos o caso (2). Se gh = ϕ(g)ϕ(h) = hϕ(g), então ϕ(h)ϕ(g) = hg = gϕ(h).
24
Logo, ϕ(h)g = ϕ(g)h e dessa forma temos que ϕ(g)h ∈ Nϕ . Pelo caso (a), temos que
ϕ(g)hg = gϕ(g)h = ϕ(g)gh, e assim gh = hg. Se gh = hϕ(g) = ϕ(h)g ou gh =
ϕ(g)ϕ(h) = ϕ(h)g, de forma análoga encontramos o resultado.
(c) Suponha que h ∈ N \Gϕ . Então
0 = [g − ϕ(g), h + ϕ(h)]
⇓
gh + gϕ(h) + hϕ(g) + ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(g)h + ϕ(g)ϕ(h) + hg + ϕ(h)g.
Como char(R) 6= 2 e g, h ∈
/ Gϕ , temos que gh 6= gϕ(h), hϕ(g) 6= ϕ(h)ϕ(g) e gh 6= ϕ(g)h.
Assim, gh ∈ {ϕ(g)ϕ(h), hg, ϕ(h)g}. Se gh = ϕ(h)g, então ϕ(gh) = ϕ(g)h. Como g ∈
/ Gϕ ,
temos que gh ∈
/ Gϕ . Por outro lado, se gh = ϕ(g)ϕ(h) = ϕ(hg) então gh ∈ Gϕ se, e
somente se, gh = hg. Suponha então que gh ∈
/ Gϕ . Como gh ∈
/ N , podemos aplicar o
caso (b) para gh e concluiremos que gh comuta com g implicando que gh = hg.
(d) Suponha agora que h ∈ Gϕ \N . Neste caso, temos que gh ∈ N e podemos
analisar dois casos: g ∈ Gϕ ou g ∈
/ Gϕ . Se gh ∈ Gϕ então, pelo caso (a), segue que gh e
g comutam, e assim gh = hg. Agora, se gh ∈
/ Gϕ então, pelo caso (c), temos que ou gh
comuta com g ou ghϕ(g) = ϕ(gh)g. Assim, g comuta com h ou ghϕ(g) = ϕ(h)ϕ(g)g =
hgϕ(g). Logo, em ambos os casos, temos que gh = hg.
Para estudar os simétricos em relação às involuções orientadas, é de fundamental
importância conhecer o caso não orientado, pois temos que σϕ em N se comporta como
uma involução induzida sem orientação.
Visto isso, faremos as seguintes observações para continuarmos o estudo.
Observação 2.3. Suponha que (RG)σϕ é comutativo, então (RN )σϕ = (RN )ϕ é comutativo. Assim, pelo Teorema 2.1, temos duas possibilidades para N :
(A) N é um grupo abeliano;
(B) N é um LC-grupo com um único comutador não trivial s tal que a involução ϕ é
dada por:
(
g, se g ∈ Z(N );
ϕ(g) =
(2.1)
sg, se g ∈ G\Z(N ).
Agora provaremos o principal teorema desse capítulo.
Teorema 2.4. Sejam R um anel comutativo com identidade tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0},
G um grupo não abeliano, ϕ uma involução em G, σ uma orientação não trivial de G e
N = ker(σ). Então (RG)σϕ é comutativo se, e somente se, uma das condições é verificada:
(i) N é um grupo abeliano e (G\N ) ⊂ Gϕ ;
25
(ii) G e N são LC-grupos e existe um único comutador não trivial s tal que a involução
ϕ é dada por
(
ϕ(g) =
g, se g ∈ N ∩ Z(G) ou g ∈ (G\N )\Z(G);
sg, caso contrário.
Demonstração. Assuma que (RG)σϕ é comutativo. Devemos estudar separadamente dois
casos dependendo se os elementos em G\N são simétricos sob ϕ ou não.
(1) (G\N ) ⊂ Gϕ .
Neste caso mostraremos que (B) não pode ocorrer e, assim, (A) será satisfeito,
consequentemente o item (i) também o será. De fato, suponha que (B) valha. Sejam
x, y ∈ N tais que xy 6= yx. Dessa forma, podemos afirmar que x, y, xy ∈
/ Z(N ). Assim,
ϕ(x) = sx, ϕ(y) = sy e ϕ(xy) = sxy. Tome agora g ∈ G\N . Como x ∈ N e g ∈
/ N , temos
−1
que xg ∈ G\N , logo xg = ϕ(xg) = ϕ(g)ϕ(x) = gsx, ou seja, g xg = sx. Analogamente,
g −1 yg = sy e g −1 (xy)g = sxy. Mas, sxy = g −1 (xy)g = g −1 xgg −1 yg = sxsy = xy e assim
s = 1, contradição. Logo (B) não ocorre e assim N é abeliano.
(2) (G\N ) 6⊂ Gϕ .
Neste caso mostraremos que (ii) é satisfeito.
Fixe g um elemento de (G\N )\Gϕ . Neste caso, o Lema 2.2 nos garante que g é
central. Usando o fato de que g ∈ Z(G) e a Observação 1.48, podemos afirmar que G é
abeliano se, e somente se, N o é; logo, devemos assumir que N é não abeliano. Assim, N
é um LC-grupo com um único comutador não trivial s.
Afirmação: G é um LC-grupo com um único comutador não trivial.
De fato, se g é central, para todo x, y ∈ N temos que xg e yg comutam se, e
somente se, x e y comutam. Como N é um LC-grupo, isto é equivalente a x ∈ Z(N ), y ∈
Z(N ) ou xy ∈ Z(N ). Como G = N ∪ N g, resta mostrar que, se xgy = yxg, então
xg ∈ Z(G), y ∈ Z(G) ou xgy ∈ Z(G) e que se xgyg = ygxg então xg ∈ Z(G), yg ∈ Z(G)
ou xgyg ∈ Z(G).
Suponha então que xgy = yxg. Como g ∈ Z(G), temos que gxy = gyx, o que
implica em xy = yx, mas, como N é um LC-grupo, temos que x ∈ Z(N ), y ∈ Z(N ) ou
xy ∈ Z(N ), o que implica xg ∈ Z(G), y ∈ Z(G) ou xgy ∈ Z(G), já que G = N ∪ N g.
Suponha agora que xgyg = ygxg, portanto xy = yx, e, como N é LC-grupo,
temos que x ∈ Z(N ), y ∈ Z(N ) ou xy ∈ Z(N ), o que implica que xg ∈ Z(G), yg ∈ Z(G)
ou xgyg ∈ Z(G). Assim, podemos concluir que G é um LC-grupo. Por outro lado, para
todos x, y ∈ N que não comutam, temos que (xg, yg) = (x, y) = s e (xg, y) = (x, y) = s.
Assim, s é o único comutador não trivial de G, que sabemos pertencer ao centro de G.
Finalmente, lembrando que ϕ é dado por (2.1) em N , precisamos apenas mostrar
que Z(N ) = N ∩ Z(G) e determinar ϕ em G\N . Para determinar o segundo caso, seja
h ∈ G\N . Se h ∈
/ Z(G), então pelo Lema 2.2 temos que h ∈ Gϕ . Se h é central,
26
tome x ∈ N \Z(N ). Então xh ∈ (G\N )\Z(G) e novamente pelo Lema 2.2 obtemos que
xh ∈ Gϕ , logo hx = xh = ϕ(xh) = ϕ(h)ϕ(x) = ϕ(h)sx e, assim, temos que ϕ(h) = sh.
Mostraremos agora que Z(N ) = N ∩ Z(G). Seja x ∈ Z(N )\Z(G). Então,
ϕ(x) = x e existe y ∈ G\N tal que xy 6= yx e ϕ(y) = y. Assim, xy ∈ (G\N )\Z(G) e
do que foi mostrado acima temos que xy = ϕ(xy) = ϕ(y)ϕ(x) = yx, uma contradição.
Assim Z(N ) ⊂ Z(G), logo Z(N ) = N ∩ Z(G), e temos que (ii) é verificado.
Reciprocamente, suponha que algum dos 2 itens ocorrem. Já que (RG)σϕ é gerado
como R-módulo pelo conjunto
S = Nϕ ∪ {g + ϕ(g) : g ∈ N \Nϕ } ∪ {g − ϕ(g) : g ∈ (G\N )\Gϕ } ,
é suficiente mostrar que os elementos de S comutam.
Suponha que (i) ocorra. Seja g ∈ G\N . Temos que g + σϕ(g) = g − ϕ(g), mas
como G\N ⊂ Gϕ , temos que g − ϕ(g) = 0. Assim, G\N = ∅ e, neste caso,
S = Nϕ ∪ {g + ϕ(g) : g ∈ N \Nϕ } ;
mas, por hipótese, N é abeliano; logo os elementos de S comutam, e assim (RG)σϕ é
comutativo.
Suponha agora que (ii) valha. Primeiro, vamos mostrar que ϕ é uma involução.
Como s é um elemento central de ordem 2 em G e s ∈ N , já que s é o único comutador
não trivial de N , temos que ϕ(ϕ(g)) = g. Para mostrar que ϕ satisfaz a propriedade (ii)
da definição de involução, tome dois elementos g, h ∈ G e vamos considerar dois casos
abaixo.
Suponha que gh 6= hg. Neste caso, hg = sgh e g, h e gh não são elementos
centrais. Dessa forma, se g, h ∈ N ou g, h ∈
/ N , temos que ϕ(gh) = sgh = hg = s2 hg =
shsg = ϕ(h)ϕ(g). Caso g ∈ N e h ∈
/ N , então ϕ(gh) = gh = shg = hsg = ϕ(h)ϕ(g).
Logo, em ambos os casos, ϕ(gh) = ϕ(h)ϕ(g).
Suponha agora que gh = hg. Como G é um LC-grupo, temos que g, h ou gh
é central. Suponha que g, h ∈ N ou g, h ∈
/ N . Se g, h ∈ Z(G) ou g, h ∈
/ Z(G), então
gh ∈ Z(G) e, assim, ϕ(gh) = gh = hg = ϕ(h)ϕ(g).
Suponha agora que g ∈ N e h ∈
/ N . Novamente, se g, h ∈ Z(G) ou g, h ∈
/ Z(G),
então gh ∈ Z(G) e, assim, ϕ(gh) = sgh = shg = ϕ(h)ϕ(g).
Com isso, ϕ dado por (ii) é uma involução, e neste caso, podemos escrever
S = Z(N ) ∪ {g + sg : g ∈ N \Z(N )} ∪ {g − sg : g ∈ (G\N ) ∩ Z(G)}
e, como s ∈ Z(G), temos que os elementos de
{g − sg : g ∈ (G\N ) ∩ Z(G)}
27
comutam com todos os elementos de S. Trivialmente temos que Z(N ) comuta com
{g + sg; g ∈ N \Z(N )}, assim a comutatividade de (RG)σϕ segue.
Definição 2.5. Um grupo não abeliano G diz-se Hamiltoniano se, para todo H < G,
temos que H / G.
Definição 2.6. Um grupo G é chamado de p-grupo abeliano elementar se G é o
produto direto de cíclicos de ordem p.
Teorema 2.7 (Teorema 1.8.5, [PS02]). Um grupo não abeliano G é Hamiltoniano se, e
somente se, G ' Q8 × E × A, onde E é um 2-grupo abeliano elementar e A é um grupo
abeliano no qual todos os elementos possuem ordem ímpar.
Como a involução clássica, ϕ(g) = g ∗ = g −1 , é a involução mais natural que
podemos encontrar em um grupo, e possui propriedades bastante interessantes, o Capítulo
4 será destinado ao estudo dos elementos simétricos sob essa involução, porém iniciaremos
o estudo da mesma apresentando uma versão do Teorema 2.4 quando ϕ = ∗.
Teorema 2.8 (Teorema 2.3, [BP06]). Sejam R um anel comutativo com identidade tal
que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}, G um grupo não abeliano, ∗ a involução clássica de G e σ uma
orientação não trivial de G. Então, o conjunto (RG)σ∗ é comutativo se, e somente se,
uma das condições é verificada:
(1) N é abeliano e (G\N )2 = 1;
(2) N ' Q8 × E e G ' hx, y, g; x4 = 1, x2 = y 2 = g 2 , y −1 xy = x−1 , g −1 xg = x, g −1 yg =
yi × E, em que E é um 2-grupo abeliano elementar.
Demonstração. Mostraremos que, neste caso, os itens (i) e (ii) do Teorema 2.4 são equivalentes aos itens (1) e (2), respectivamente.
Note que trivialmente temos que (i) ocorre se, e somente se, (1) ocorre.
Assuma que a condição (ii) do Teorema 2.4 ocorra. Nesse caso, temos que Z(N ) =
N ∩ Z(G).
Como ϕ = ∗, temos que g 2 = 1 se g ∈ Z(N ) e g 2 = s se g ∈ N \Z(N ), já que
sg = ϕ(g) = g −1 . Como a ordem de s é igual a 2, podemos afirmar que N é um 2-grupo
com expoente menor ou igual a 4. Além disso, todo subgrupo cíclico de N é normal.
De fato, sejam g, h ∈ N tais que gh 6= hg. Neste caso, temos que g 2 , h2 e (gh)2 são
iguais a s e assim, |g| = |h| = |gh| = 4. Logo hgh = hshg = h2 sg = s2 g = g e assim
h−1 gh = h−1 (hgh)h = gh2 = g 3 = g −1 . E assim temos que N é um 2-grupo Hamiltoniano.
Assim, o Teorema 2.7 nos garante que N = hx, yi × E, onde hx, yi é o próprio
Q8 e E é um 2-grupo abeliano elementar. Observe também que, pela definição de ϕ,
(G\N )2 = 1 ou (G\N ) ∩ Z(G) 6= ∅.
28
Suponha que (G\N )2 = 1 e seja g ∈ G\N . Neste caso temos que xg ∈ G\N ,
logo 1 = (xg)2 , isto é gxg = x−1 . Analogamente, gyg = y −1 e g(xy)g = y −1 x−1 = x3 y.
Mas, g(xy)g = gxggyg = x−1 y −1 = xy, uma contradição. Assim, (G\N )2 6= 1 e existe
um elemento g ∈ (G\N ) ∩ Z(G). Já que G = N ∪ N g, N ' Q8 × E e g ∈ Z(G), temos
que E é um subgrupo central de G. Além disso, G = hx, y, giE e, assim, hx, y, gi é um
subgrupo normal de G.
Afirmação: G é o produto direto de hx, y, gi e E.
Note que g 2 = x2 . De fato, como g −1 = ϕ(g) = sg e x−1 = ϕ(x) = sx, temos que
g 2 = s = x2 , assim, hx, y, gi = {ag : a ∈ hx, yi} ∪ hx, yi. Mas ag ∈
/ N = hx, yi × E para
todo a ∈ hx, yi. Assim, hx, y, gi ∩ E = {1} e com isso G = hx, y, gi × E.
Já que g 2 = x2 , temos que
hx, y, gi = hx, y, g; x4 = 1, x2 = y 2 = g 2 , y −1 xy = x−1 , g −1 xg = x, g −1 yg = yi,
e assim (2) segue.
Reciprocamente, suponha que (2) ocorra e seja
H = hx, y, g; x4 = 1, x2 = y 2 = g 2 , y −1 xy = x−1 , g −1 xg = x, g −1 yg = yi.
Como E ⊂ Z(G) basta mostrar que (RH)σ∗|H é comutativo. Note que, na parte
(2.1) da demonstração do Teorema 2.4, encontramos que H é um LC-grupo com um único
comutador não trivial s. Assim (ii) segue pela demonstração do Teorema 2.4.
Dessa forma, temos que o Teorema 2.4 juntamente com o Teorema 2.1, encontrado
em [JM06], exibem a estrutura do grupo necessária para que os elementos simétricos em
relação a uma involução induzida ou involução orientada sejam comutativos. Embora para
uma involução induzida, o artigo [JM06] também exiba condições necessárias e suficientes
para que o conjunto (RG)ϕ seja comutativo, com char(R) = 2, não podemos fazer o
mesmo para os teoremas contidos neste capítulo, visto que char(R) 6= 2 faz-se necessário
para definirmos uma orientação trivial.
Capítulo 3
Propriedades de Lie de (KG)σϕ com
char(K) = 0
Neste capítulo, trataremos de um resultado que generaliza, em parte, o resultado
anterior. Essa generalização foi feita substituindo-se a comutatividade de (RG)σϕ pela
propriedade Lie n-Engel, porém não foi uma generalização completa, pois, para o resultado
particularizamos o anel R para um corpo K tal que char(K) = 0.
De agora em diante, K sempre denotará um corpo.
O resultado principal deste capítulo nos garantirá que, se char(K) = 0, então
(KG)σϕ é comutativo ⇔ (KG)σϕ é Lie n-Engel ⇔ (KG)σϕ é Lie nilpotente. Vale ressaltar
que isto pode ser verificado ao combinarmos o Teorema 2.12 de [Pa77] e o Lema 2 de
[LSS09], porém, iremos apresentá-lo aqui com uma abordagem original em que serão
necessários apenas o teorema principal do capítulo anterior e as técnicas utilizadas para
demonstrar-lo.
3.1
Involuções Orientadas em Q8
Ao observarmos o estudo das propriedades de Lie (Lie n-Engel, Lie nilpotência
e comutatividade) dos elementos simétricos sob involuções, tanto orientadas como não,
podemos verificar que o grupo dos quatérnios, Q8 , possui um papel de bastante destaque.
Por exemplo, nas hipóteses do Teorema 2.8, temos que caso N não seja abeliano, sempre
teremos uma cópia de Q8 contida em N , logo em G.
Podemos observar também na literatura, em [CP12, L10, L99, L00] por exemplo,
que a inclusão de Q8 em G impede a extensão das propriedades encontradas nos simétricos
para todo o anel de grupo. Utilizando a descrição do conjunto S dos geradores dos
simétricos e o Exemplo 1.33, podemos verificar que (KQ8 )σ∗ sempre é comutativo, porém,
pelo Teorema V.6.1 de [S78], KQ8 não pode ser Lie n-Engel para nenhum n. Para
exemplificar os resultados, podemos citar o Teorema 1 de [L00] e o Teorema 1 de [L99],
29
30
e verificar que fez-se necessário nas hipóteses admitir que Q8 6⊂ G; nos mesmos artigos,
os autores descreveram quando encontraremos as propriedades de Lie para os elementos
simétricos caso Q8 ⊂ G. Observações semelhantes podem ser feitas para o Capítulo 4
dessa dissertação.
Embora o estudo de Q8 seja essencialmente útil para o próximo capítulo, faremos
um estudo primordial de como algumas involuções orientadas se comportam nesse grupo,
pois o corolário 3.3 servirá como motivação para buscarmos o resultado principal desse
capítulo.
Lema 3.1 (Lema 3.1.6, [L10]). Seja R um anel com char(R) = p, onde p é um inteiro
positivo primo. Então, para todos x, y ∈ R, m ∈ N, temos que
m
[x, y, . . . , y ] = [x, y p ].
| {z }
pm vezes
Demonstração. Sejam ry e ly os operadores de multiplicação pela direita e pela esquerda,
respectivamente, em R por y. Então,
[x, y] = xy − yx = (ry − ly )(x).
Assim,
[x, y, . . . , y ] = [[x, y], y, . . . , y ]
| {z }
| {z }
pm vezes
pm−1 vezes
= [(ry − ly )(x), y, . . . , y ]
| {z }
pm−1 vezes
= [[(ry − ly )(x), y], y, . . . , y ]
| {z }
pm−2 vezes
= [(ry − ly )2 (x), y, . . . , y ],
| {z }
pm−2 vezes
portanto
m
[x, y, . . . , y ] = (ry − ly )p (x).
| {z }
pm vezes
Como os operadores definidos acima comutam, e char(R) = p, temos que
m
m
m
m
m
m
(ry − ly )p (x) = ((ry )p − (ly )p )(x) = xy p − y p x = [x, y p ].
Lema 3.2. Sejam σϕ uma involução orientada, sendo ϕ uma involução em hx, yi ' Q8
e σ uma orientação não trivial de Q8 e K um corpo tal que char(K) 6= 2. Se (KQ8 )σϕ é
Lie n-Engel, então a involução será dada por uma das seguintes condições:
31
(i) ϕ(x) = x e ϕ(y) = y, se x, y ∈
/ N;
(ii) ϕ(x) = x3 e ϕ(y) = y, se x ∈ N , y ∈
/ N;
(iii) ϕ(x) = x e ϕ(y) = x2 y, se x ∈
/ N, y ∈ N.
Demonstração. Suponha por absurdo que x, y ∈
/ N com x, y ∈
/ Gϕ .
Se char(K) = 0, temos que ZQ8 ⊂ KQ8 . Assim, (ZQ8 )σϕ é Lie n-Engel e,
portanto, para todo p primo, (Zp Q8 )σϕ também é Lie n-Engel. Tomando p primo tal que
p > max {3, n}, computando o colchete de Lie em (Zp Q8 ) temos que
0 = [x − ϕ(x), y − ϕ(y), . . . , y − ϕ(y)]
|
{z
}
p vezes
= [x − ϕ(x), y p − ϕ(y)p ].
Se p = 4t + 1 para algum t ∈ Z, temos que [x − ϕ(x), y − ϕ(y)] = 0, logo,
xy + ϕ(x)ϕ(y) + yϕ(x) + ϕ(y)x = xϕ(y) + ϕ(x)y + x3 y + ϕ(y)ϕ(x).
(3.1)
Como char(Zp ) > 3 e xy ∈
/ {xϕ(y), ϕ(x)y, x3 y}, temos que xy = ϕ(y)ϕ(x), assim ϕ(x) =
ϕ(y)−1 xy, como g −1 = x2 g, ∀g ∈ Q8 \ {1, x2 } e ϕ(y) ∈
/ {1, x2 }, já que involuções preservam
a ordem do elemento, podemos afirmar que ϕ(y)−1 = x2 ϕ(y), assim ϕ(x) = ϕ(y)−1 xy =
x2 ϕ(y)xy = ϕ(y)x3 y. Observe também que ϕ(yx) = ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(y)x3 yϕ(y), mas
ghg = h−1 , ∀g, h ∈ Q8 \ {1, x2 }, assim ϕ(yx) = ϕ(y)x3 yϕ(y) = x3 y. Substituindo em
(3.1), temos que
yϕ(y)x3 y + ϕ(y)x = xϕ(y) + ϕ(y)x3 y.
Note que yϕ(y)x3 y 6= ϕ(y)x3 y. Logo ϕ(y)x = ϕ(y)x3 y, absurdo.
Se p = 4t + 3, temos que
[x − ϕ(x), y 3 − ϕ(y)3 ] = 0 ⇒ [x − ϕ(x), x2 (y − ϕ(y))] = x2 [x − ϕ(x), y − ϕ(y)] = 0,
e, de forma análoga ao caso anterior, encontramos um absurdo.
Se char(K) = p > 3 podemos fazer o mesmo raciocínio e encontrar o resultado.
Se char(K) = 3, temos que considerar a mesma equação de (3.1), porém com a
possibilidade de que 3 elementos coincidam do lado esquerdo da equação. Vamos mostrar
que, se isso ocorrer, então os 4 elementos serão iguais e, novamente, teremos que xy é
igual a algum elemento do lado direito da equação.
Suponha que xy = ϕ(x)ϕ(y) = yϕ(x).
Como ϕ(x)ϕ(y) = yϕ(x) temos que ϕ(y)−1 = ϕ(x)ϕ(y)ϕ(x)−1 = y ⇒ ϕ(y) = x2 y
o que também implica que ϕ(y)x = x2 yx = xy. Para os outros casos a prova segue de
forma semelhante. Com isso, (i) ocorre.
32
Agora, suponha por absurdo que x ∈ N , y ∈
/ N , ϕ(x) 6= x3 e ϕ(y) 6= y.
De forma análoga ao caso anterior, temos que, se p = 4t + 1 então
[x + ϕ(x), y p − ϕ(y)p ] = 0,
assim
xy + ϕ(x)y + ϕ(y)x + ϕ(y)ϕ(x) = xϕ(y) + ϕ(x)ϕ(y) + x3 y + yϕ(x).
Note que xy 6= x3 y, xy 6= xϕ(y) e xy 6= yϕ(x). De fato, se xy = yϕ(x) temos que
ϕ(x) = x2 yxy = x3 , absurdo. Assim, xy = ϕ(x)ϕ(y), o que implica que ϕ(x) = x3 yϕ(y).
Logo temos que
ϕ(x)y + ϕ(y)x + ϕ(y)ϕ(x) = xϕ(y) + x3 y + yϕ(x)
⇓
3
3
x yϕ(y)y + ϕ(y)x + ϕ(y)x yϕ(y) = xϕ(y) + x3 y + yx3 yϕ(y)
⇓
3
3
x ϕ(y) + ϕ(y)x + x y = xϕ(y) + x3 y + x3 ϕ(y).
Dessa forma, temos que ϕ(y)x = xϕ(y), mas, como os únicos elementos que
comutam com x são xi e ϕ(y) ∈ Q8 \ {1, x2 }, temos que ϕ(y) = x ou ϕ(y) = x3 .
Se ϕ(y) = x, temos que ϕ(x) = x3 yx = x2 y; mas ϕ(x2 y) = ϕ(y)ϕ(x)2 = x3 ,
implicando que ϕ não preserva a ordem dos elementos, logo não é uma involução, e de
forma semelhante provamos que ϕ(y) = x3 não pode acontecer, assim encontramos um
absurdo.
Se p = 4t + 3, da mesma forma que o caso anterior, encontramos um absurdo.
Assim temos que (ii) ocorre. Para char(K) 6= 0 a prova segue de forma semelhante ao
caso (i).
O caso x ∈
/ N e y ∈ N , ϕ(x) = x e ϕ(y) = x2 y é análogo ao anterior.
Corolário 3.3. Seja σϕ uma involução orientada em KQ8 , em que σ é não trivial,
Q8 = hx, yi e char(K) 6= 2. Então são equivalentes:
(i) (KQ8 )σϕ é comutativo;
(ii) (KQ8 )σϕ é Lie nilpotente;
(iii) (KQ8 )σϕ é Lie n-Engel.
Demonstração. Trivialmente temos que (i)⇒(ii)⇒(iii), sendo assim, basta mostrar que
(iii)⇒(i).
Suponha então que (KQ8 )σϕ seja Lie n-Engel. Pela proposição anterior, podemos
descrever completamente σϕ em (KQ8 ) e, como Q8 é um grupo finito, podemos explicitar
o conjunto S e verificar que esse é comutativo em qualquer um dos casos.
33
Embora o corolário acima nos permita estender as propriedades de Lie mais gerais
(Lie n-Engel e Lie nilpotência) para o seu caso mais particular (comutatividade) para
KQ8 , podemos facilmente verificar que nem sempre esse fato ocorre. No Capítulo 4,
construiremos um exemplo de anel de grupo que exemplifica essa afirmação.
Corolário 3.4. Sejam KG tal que char(K) 6= 2 e G um grupo tal que Q8 ⊂ G. Seja σ
uma orientação não trivial de G. Se (KG)σ∗ é Lie n-Engel para algum n, então Q8 ⊂ N .
Demonstração. Basta verificar que, se Q8 6⊂ N , encontraríamos um absurdo, já que cada
uma das possibilidades de involução garantidas pelo Lema 3.2 são diferentes de ∗.
3.2
Propriedades de Lie de (KG)σϕ com char(K) = 0
O resultado principal deste capítulo mostrará que se Q8 ⊂ G e char(K) = 0, então
as três identidades de Lie são equivalentes para o conjunto dos elementos simétricos, ou
seja, se (KG)σϕ for Lie n-Engel, então (KG)σϕ comutativo.
Para encontrar o resultado citado acima, foram encontrados lemas semelhantes
aos do capítulo anterior e do artigo [JM06] ao substituir a hipótese de comutatividade em
(RG)σϕ pela propriedade de Lie n-Engel.
Para os próximos resultados, K será sempre um corpo tal que char(K) = 0 e σ
poderá ser trivial.
Lema 3.5. Suponha que (KG)σϕ é Lie n-Engel, para algum n, e char(K) = 0. Então
Nϕ ⊂ Z(G). Em particular hϕ(h) = ϕ(h)h, ∀h ∈ G.
Demonstração. Seja x ∈ G e g ∈ Nϕ , vamos mostrar que gx = xg.
Suponha que x ∈ Nϕ . Como char(K) = 0, temos que ZG ⊂ KG, assim (ZG)σϕ
é Lie n-Engel e, portanto, para todo p primo, (Zp G)σϕ também é Lie n-Engel. Tomando
p > n com p 6= 2 temos que
0 = [x, g, . . . , g ] = [x, g p ]
| {z }
p vezes
⇓
p
xg = g p x.
De forma análoga, tomando q primo, tal que q > p, encontramos que
xg q = g q x.
Como mdc {p, q} = 1, temos que existem r, s ∈ Z tais que pr + qs = 1, sendo
34
assim
gpx
g p(r−1) g p x
g pr x
g qs g pr x
g qs+pr x
g qs+pr x
gx
=
=
=
=
=
=
=
xg p
g p(r−1) xg p
xg pr
g qs xg pr
xg qs g pr
xg qs+pr
xg.
Suponha agora que x ∈ N \Nϕ . Sendo assim, de forma análoga ao caso anterior,
tomando p primo com p 6= 2 e p > n, temos que
0 = [x + ϕ(x), g p ]
⇓
p
p
xg + ϕ(x)g = g p x + g p ϕ(x),
assim,
(i) xg p = g p x e ϕ(x)g p = g p ϕ(x), ou;
(ii) ϕ(x)g p = g p x e xg p = g p ϕ(x).
De forma análoga, tomando q primo tal que q > p, temos que
(1) xg q = g q x e ϕ(x)g q = g q ϕ(x), ou;
(2) ϕ(x)g q = g q x e xg q = g q ϕ(x).
Se (i) e (1) ocorrem, a prova segue de forma análoga ao caso anterior.
Suponha que (i) e (2) ocorrem. De (2) temos que ϕ(x)g q = g q x e xg q = g q ϕ(x),
sendo assim
g q ϕ(x) = xg q
g q ϕ(x)g q = xg q g q
g q g q x = xg 2q
g 2q x = xg 2q .
Note que se mdc {p, q} = 1 e p, q 6= 2, temos que mdc {p, 2q} = 1, assim, procedendo
como o caso anterior, encontramos o resultado.
Se (ii) e (1) ocorrem, o resultado segue de forma semelhante.
Suponha agora que (ii) e (2) ocorrem.
Procedendo de forma análoga, encontraremos que g 2p x = xg 2p e g 2q x = xg 2q
35
ocorrem, e já que mdc {p, q} = 1, temos que mdc {2p, 2q} = 2, logo g 2 x = xg 2 , assim
xg q
xg q−1 g
g q−1 xg
xg
=
=
=
=
g q ϕ(x)
g q ϕ(x)
g q ϕ(x)
gϕ(x).
Mas, se xg = gϕ(x) = ϕ(g)ϕ(x) = ϕ(xg), temos que xg ∈ Gϕ ∩ N , e, pelo caso anterior,
temos que xg comuta com g, logo xgg = gxg ⇒ xg = gx.
Suponha agora que x ∈
/ N ∪ Gϕ . Assim, tomando p primo com p 6= 2 e p > n,
temos que
0 = [x − ϕ(x), g p ]
⇓
xg p + g p ϕ(x) = g p x + ϕ(x)g p .
Como x ∈
/ Gϕ , temos que xg p = g p x. Tomando q nas mesmas condições de p, com q > p,
temos que xg q = g q x. Assim, utilizando o argumento do mdc o resultado segue.
Finalmente, se x ∈ Gϕ \N , temos que xg ∈
/ N . Se xg ∈ Gϕ , então xg = ϕ(xg) =
ϕ(g)ϕ(x) = gx. Assim podemos assumir que xg ∈
/ Gϕ e, pelo caso anterior, temos que xg
comuta com x, o que já vimos que implica que xg = gx.
Note agora que hϕ(h) ∈ Nϕ , assim hϕ(h) ∈ Z(G), logo hhϕ(h) = hϕ(h)h, o que
implica hϕ(h) = ϕ(h)h.
A fim de simplificar as próximas demonstrações, enunciaremos o seguinte lema
para exibir como se comportam os elementos em alguns dos possíveis colchetes de Lie.
Lema 3.6. Suponha que (KG)σϕ Lie n-Engel com char(K) = 0 e g, h ∈
/ Gϕ .
(i) Se [g + ϕ(g), h + ϕ(h)] = 0 e g, h ∈ N , então
(a) gh = hg, ou;
(b) gh ∈ {hϕ(g), ϕ(h)g};
(ii) Se g, h ∈
/ N , então gh = hg;
(iii) Se [g − ϕ(g), h + ϕ(h)] = 0, g ∈
/ N e h ∈ N , então gh ∈ {hg, ϕ(g)ϕ(h)}.
Demonstração. Suponha que [g + ϕ(g), h + ϕ(h)] = 0 e g, h ∈ N . Então
0 = [g + ϕ(g), h + ϕ(h)]
⇓
gh + gϕ(h) + ϕ(g)h + ϕ(g)ϕ(h) = hg + hϕ(g) + ϕ(h)g + ϕ(h)ϕ(g).
36
Como char(K) = 0, temos que gh ∈ {hg, hϕ(g), ϕ(h)g, ϕ(h)ϕ(g)}. Suponha por absurdo
que nem (a) nem (b) ocorram. Assim temos que gh ∈ Gϕ , já que gh = ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(gh).
Logo, como g, h ∈ N , temos que gh ∈ N e, com isso, gh ∈ Nϕ , absurdo. Aplicando o
Lema 3.5, temos que gh ∈ Z(G) e assim gh = hg.
Suponha agora que g, h ∈
/ N . Então tomando p > n primo e computando em
Zp G temos que
0 = [g − ϕ(g), hp − ϕ(h)p ]
⇓
p
p
p
p
gh + ϕ(g)ϕ(h) + h ϕ(g) + ϕ(h) g = gϕ(h)p + ϕ(g)hp + hp g + ϕ(h)p ϕ(g).
Dessa forma, temos que ghp ∈ {gϕ(h)p , ϕ(g)hp , hp g, ϕ(h)p ϕ(g)}. Como ghp 6= ϕ(g)hp ,
temos que ghp = hp g, ghp = ϕ(h)p ϕ(g) ou ghp = gϕ(h)p . Suponha que ghp = ϕ(h)p ϕ(g),
ou seja, ghp ∈ Gϕ . Já que g, hp ∈
/ N , temos que ghp ∈ N . Logo ghp ∈ Nϕ e utilizando
o Lema 3.5, temos que ghp ∈ Z(G) e assim ghp = hp g. Repetindo o mesmo argumento
para q > p primo, temos que ghq = hq g ou ghq = gϕ(h)q .
Note que se ghp = gϕ(h)p e ghq = gϕ(h)q ocorrem simultaneamente, temos que
hp = ϕ(h)p e hq = ϕ(h)q , assim, utilizando o argumento do mdc, encontraremos que
h = ϕ(h), um absurdo.
Assim, sem perda de generalidade, temos que ghp = hp g ocorre. Se ghq = gϕ(h)q ,
podemos tomar t > q primo e de forma semelhante encontraremos que ght = ht ou ght =
gϕ(h)t . Dessa forma, devemos ter que o segundo caso não ocorre, pois encontraríamos
um absurdo, já que ghq = gϕ(h)q . Sendo assim, ght = ht g. Novamente, utilizando o
argumento do mdc, para ght e ghp , encontraremos que gh = hg.
Suponha que [g − ϕ(g), h + ϕ(h)] = 0, g ∈
/ N e h ∈ N ocorra, então temos que
0 = [g − ϕ(g), h + ϕ(h)]
⇓
gh + gϕ(h) + hϕ(g) + ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(g)h + ϕ(g)ϕ(h) + hg + ϕ(h)g.
Dessa forma, como char(K) = 0 temos que gh ∈ {ϕ(g)h, ϕ(g)ϕ(h), hg, ϕ(h)g}. Note que
gh 6= ϕ(g)h, pois g ∈
/ Gϕ .
Suponha então que gh = ϕ(h)g. Assim, temos que ϕ(gh) = ϕ(g)h. Além disso,
gh ∈
/ Gϕ e gh ∈
/ N já que g ∈
/ (Gϕ ∪ N ) e h ∈
/ N . Assim, utilizando o item (ii) para g e
gh, encontraremos que (gh)g = g(gh), logo gh = hg, absurdo.
O próximo lema é uma modificação do Lema 2.2.
Lema 3.7. Suponha que (KG)σϕ é Lie n-Engel, se char(K) = 0 então (G\N )\Gϕ ⊂
Z(G).
37
Demonstração. Vamos dividir G em 4 partes e mostrar que g ∈ (G\N )\Gϕ comuta com
os elementos de qualquer uma dessas partes.
(a) h ∈ Nϕ . Neste caso, pelo Lema 3.5, h ∈ Z(G) e assim g e h comutam.
(b) h ∈ (G\N )\Gϕ . Pelo item (ii) do Lema 3.6, temos que gh = hg.
Note que podemos proceder de forma análoga à demonstração do Lema 3.5 e
encontrar que (Zp G)σϕ , para qualquer p primo, é também Lie n-Engel.
(c) Se h ∈ N \Gϕ , podemos tomar p > n primo e computando o colchete de Lie
em Zp G temos que
0 = [g − ϕ(g), h + ϕ(h), . . . , h + ϕ(h)]
{z
}
|
,
p vezes
p
p
= [g − ϕ(g), h + ϕ(h) ]
assim, pelo item (iii) do Lema 3.6, ghp ∈ {hp g, ϕ(g)ϕ(h)p }. Analogamente, tomando q
primo tal que q > max {p, n} e computando em Zq G, temos que ghq ∈ {hq g, ϕ(g)ϕ(h)q }.
Se ghp = hp g e ghq = hq g ocorrem simultaneamente, já vimos que o resultado
segue.
Suponha então que ghp = ϕ(g)ϕ(h)p ocorre.
Note que ghp = ϕ(g)ϕ(h)p = ϕ(hp g), e assim, ghp ∈ Gϕ se, e somente se, ghp =
hp g. Se ghp ∈
/ Gϕ , assim, como ghp ∈
/ N , podemos utilizar o caso (b) e encontrar que
p
p
gh = h g. As mesmas afirmações podem ser feitas para ghq . Dessa forma sempre
encontraremos que ghp = hp g e ghq = hq g ocorrem e, consequentemente, o resultado
segue.
(d) h ∈ (G\N ) ∩ Gϕ .
Novamente, trabalhando em Zp G e Zq G com p, q primos maiores que n, temos
que ghp ∈ N . Se ghi ∈ Gϕ , com i ∈ {p, q} podemos aplicar o item (a) aos elementos g e
ghi , e encontrar que ghi = hi g. Se ghi ∈
/ Gϕ , podemos aplicar o item (c) aos elementos
i
i
i
g e gh , e encontrar que gh = h g. Dessa forma, pelo argumento do mdc, temos que o
resultado segue.
Como σϕ|N = ϕ, conseguimos, sob as novas hipóteses, um resultado semelhante
ao Lema 1.2 de [JM06].
Lema 3.8. Suponha que (KG)σϕ é Lie n-Engel com char(K) = 0. Seja g ∈ (G\Gϕ ) ∩ N .
Então gh = hg, gh = ϕ(h)g ou gh = hϕ(g), ∀h ∈ N .
Demonstração. Se h ∈ Nϕ , temos que h ∈ Z(G), e, neste caso, o lema se verifica.
Suponha então que h ∈ N \Nϕ .
Seja p > n primo, pelo Lema 3.6, temos que ghp ∈ {hp g, hp ϕ(g), ϕ(h)p g}. O
38
mesmo vale para q > p e, assim, podemos considerar a combinação dos seguintes casos:
(i)ghp = hp g,
(ii)ghp = hp ϕ(g),
(iii)ghp = ϕ(h)p g,
(1)ghq = hq g,
(2)ghq = hq ϕ(g),
(3)ghq = ϕ(h)q g.
É suficiente analisar apenas os casos semelhantes, pois, caso estes não ocorram
podemos tomar um primo s tal que p, q < s e observar qual das possibilidades ocorrerá
para ghs e, caso ainda não se repita algum dos casos, tomando um novo t primo tal que
t > s e, pelo Princípio da Casa dos Pombos, temos que algum dos casos será semelhante
ao outro para algum dos 3 primos considerados anteriormente.
Se (i) e (1) ocorrem, temos que gh = hg.
Se (iii) e (3) ocorrem, temos ghp g −1 = ϕ(h)p e ghq g −1 = ϕ(h)q , logo, tomando
r, s ∈ Z tais que pr + qs = 1, ghpr g −1 = ϕ(h)pr e ghqs g −1 = ϕ(h)sq , assim, multiplicando
cada um dos membros por seus respectivos temos que
ghpr g −1 ghqs g −1 = ϕ(h)pr ϕ(h)qs
ghpr+qs g −1 = ϕ(h)pr+qs
ghg −1 = ϕ(h).
Assim, gh = ϕ(h)g.
Suponha que (ii) e (2) ocorrem, logo temos que
ghp = hp ϕ(g) ⇒ h−p ghp = ϕ(g), e
ghq = hq ϕ(g) ⇒ h−q ghq = ϕ(g).
Observe que podemos aplicar o Lema 3.6 duas vezes aos elementos g e h−p , e, g
e h−q , e considerar os casos:
(i)0 gh−p = h−p g,
(ii)0 gh−p = h−p ϕ(g),
(iii)0 gh−p = ϕ(h)−p g,
(1)0 gh−q = h−q g,
(2)0 gh−q = h−q ϕ(g),
(3)0 gh−q = ϕ(h)−q g.
Vamos analizar as possibilidades para gh−p e gh−q .
Se (i)0 ocorrer, temos que gh−p = h−p g, o que implica que ghp = hp g, entrando
em contradição com o fato de (i) não ocorrer. Analogamente, (1)0 , (iii)0 e (3)0 não podem
ocorrer. Temos então que (ii)0 e (2)0 ocorrem.
Assim temos que gh−p = h−p ϕ(g) ⇒ hp gh−p = ϕ(g), e como (ii) ocorre, temos
39
que g = hp ϕ(g)h−p , assim
h2p gh−2p = hp hp gh−p h−p
= hp ϕ(g)h−p
= g.
Já que (2)0 também ocorre, de forma análoga encontramos que h2q gh−2q = g.
Assim, utilizando um argumento semelhante ao caso (ii) − (2) do Lema 3.5, temos que
gh = hϕ(g) e o resultado segue.
O próximo lema é uma modificação do Lema 2.1 de [JM06].
Lema 3.9. Sejam g, h ∈ N . Se (KG)σϕ é Lie n-Engel e char(K) = 0, então ghg −1 ∈
{h, ϕ(h)}.
Demonstração. Se g ∈ Nϕ , temos que g ∈ Z(G) e o lema se verifica.
Suponha então que g ∈
/ N ϕ. Pelo Lema 3.8, temos que gh = hg, gh = ϕ(h)g
ou gh = hϕ(g). Se as duas primeiras opções ocorrem, temos que o resultado é válido.
Suponha por absurdo que não ocorram. Sendo assim temos que gh = hϕ(g) e aplicando
novamente o Lema 3.8 para gh e h, temos que gh2 = hϕ(h)ϕ(g) ou gh2 = ϕ(h)gh.
Observe que, se gh2 = hϕ(h)ϕ(g), podemos aplicar o Lema 3.5 para hϕ(h) e,
assim, encontramos que gh2 = ϕ(g)ϕ(h)h ⇒ gh = ϕ(g)ϕ(h). Se gh2 = ϕ(h)gh então,
gh = ϕ(h)g. Mas, por hipótese, temos que gh = hϕ(h). Logo ϕ(h)g = hϕ(g), assim,
novamente pelo Lema 3.5, gh2 = ϕ(h)gh = ϕ(h)hϕ(g) = ϕ(g)ϕ(h)h. Portanto gh =
ϕ(g)ϕ(h).
Assim, sempre encontraremos que gh = ϕ(g)ϕ(h) e hg = ϕ(h)ϕ(g). Dessa forma
gh = ϕ(g)ϕ(h) = h−1 ghϕ(h) = h−1 hϕ(h)g = ϕ(h)g ⇒ gh = ϕ(h)g, uma contradição.
Lema 3.10. Suponha que (KG)σϕ é Lie n-Engel com char(K) = 0. Se g, h ∈ N e
g, h ∈
/ Z(N ) então g −1 ϕ(g) = h−1 ϕ(h).
Demonstração. Se gh 6= hg temos, pelo Lema 3.9, que
hgh−1 = ϕ(g) ⇒ hg = ϕ(g)h
e
g −1 hg = ϕ(h) ⇒ hg = gϕ(h),
logo
hg = ϕ(g)h = gϕ(h) ⇒ g −1 ϕ(g) = ϕ(h)h−1 .
Assim, pelo Lema 3.5, temos que h−1 ϕ(h) = ϕ(h)h−1 = g −1 ϕ(g), encontrando o resultado.
Suponhamos agora que gh = hg. Como g ∈
/ Z(N ), temos que existe x ∈ N , tal
que gx 6= xg. Se hx 6= xh, pelo Lema 3.9, temos que g −1 ϕ(g) = x−1 ϕ(x) = h−1 ϕ(h). Se
40
hx = xh, então g(xh) 6= (hx)g, e, novamente pelo Lema 3.9,
g(xh) = ϕ(xh)g = ϕ(h)ϕ(x)g,
como gx = ϕ(x)g, temos que gxh = ϕ(h)gx.
Observe que, como gh = hg, então gϕ(h) = ϕ(h)g, pois pelo Lema 3.9 temos que
−1
g ϕ(h)g ∈ {h, ϕ(h)}. Assim, se g −1 ϕ(h)g = ϕ(h), temos o resultado. Podemos supor
agora que gϕ(h)g = h, o que implica ϕ(h) = ghg −1 = h, logo h ∈ Nϕ , absurdo; pois pelo
Lema 3.5 deveriamos ter que h ∈ Z(G).
Logo, gxh = ϕ(h)gx o que implica em h = ϕ(h), já que g e x comutam com h; o
que seria um absurdo pelo Lema 3.5, pois h ∈
/ Z(G).
Teorema 3.11. Sejam K um corpo tal que char(K) = 0, G um grupo não abeliano, ϕ
uma involução em G e σ uma orientação de G. Então são equivalentes:
(1) (KG)σϕ é comutativo;
(2) (KG)σϕ é Lie nilpotente;
(3) (KG)σϕ é Lie n-Engel;
(4) G e N satisfazem um dos seguintes itens:
(a) N é um grupo abeliano e (G\N ) ⊂ Gϕ ;
(b) G e N são LC-grupos e existe um único comutador não trivial s tal que a
involução ϕ é dada por
(
ϕ(g) =
g , se g ∈ N ∩ Z(G) ou g ∈ (G\N )\Z(G);
sg , caso contrário.
Demonstração. Trivialmente temos que (1)⇒(2)⇒(3). Vamos mostrar agora que (3)⇒(4).
Suponha então que (3) se verifique, ou seja, (KG)σϕ é Lie n-Engel. Vamos dividir
a prova em dois casos.
(3.a) Suponha que σ seja trivial. Assim temos que G = N e (4) é equivalente a G
ser um grupo abeliano ou um SLC-grupo em relação à involução ϕ, e como, por hipótese,
temos que G é não abeliano, basta mostrar que a segunda opção ocorre.
Sejam g, h ∈ G tais que gh 6= hg, assim, pelo Lema 3.9, temos que 1 6=
g −1 h−1 gh = g −1 ϕ(g) e, pelo Lema 3.10, s = g −1 ϕ(g) é o único comutador não trivial
de G. Já que s−1 também é um comutador, temos que s−1 = s, e gs = gg −1 h−1 gh =
h−1 ghg −1 g = sg, ∀g ∈ G, ou seja, s ∈ Z(G).
Como s = s−1 , temos que s = g −1 ϕ(g) = ϕ(g)−1 g = gϕ(g)−1 , logo ϕ(s) =
g −1 ϕ(g) = s e com isso ϕ(h) = g −1 hg = g −1 hgh−1 h = sh, ∀h ∈ G\Z(G).
41
Se g ∈ Z(G) e h ∈
/ Z(G), então gh ∈
/ Z(G), logo
(sh)ϕ(g) = ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(gh) = sgh = shg,
ou seja, ϕ(g) = g.
Basta verificar que G é um LC-grupo. Sejam então g, h ∈
/ Z(G) tais que gh = hg,
2
assim ϕ(gh) = ϕ(h)ϕ(g) = shsg = s hg = gh. Logo gh ∈ Gϕ e pelo Lema 3.5 temos que
gh ∈ Z(G).
Dessa forma temos que G é um SLC-grupo em relação a involução ϕ e (4) é
satisfeito.
(3.b) Suponha que σ seja não trivial.
Neste caso, basta simular os itens (1) e (2) da demonstração do Teorema 2.4,
pois, para a sua prova, usamos apenas as hipóteses sobre N , a Observação 2.3, que é
garantida pela item (3.a) feito anteriormente, e o Lema 2.2 que é equivalente ao Lema
3.7, e encontrar que os itens (a) ou (b) serão satisfeitos.
Para finalizar a prova, resta mostrar que (4)⇒(1). Para isso, basta aplicar o
Teorema 2.4 de [JM06], se σ for trivial, ou o Teorema 2.4, caso contrário.
Corolário 3.12. Sejam K um corpo de característica 0, G um grupo sem elementos de
ordem 2 e σ uma orientação de G. Então, (KG)σ∗ é Lie n-Engel se, e somente se, G é
abeliano.
Demonstração. Suponha que (KG)σ∗ seja Lie n-Engel para algum n. Suponha, por absurdo, que G seja não abeliano. Aplicando o Teorema 3.11, podemos afirmar que (KG)σ∗
é comutativo, assim, pelo Teorema 2.8, temos que N é abeliano e (G\N )2 = 1. Note que
σ não pode ser trivial, pois, nesse caso N = G seria abeliano, absurdo. Porém, se σ é
não trivial, temos que G\N 6= ∅, e assim encontraríamos elementos de ordem 2, absurdo.
Logo G é abeliano.
A recíproca é trivial.
O corolário acima mostra que, para um corpo de característica 0 e uma orientação
não trivial, se (KG)σ∗ for Lie n-Engel, então devemos assumir que G possui elementos
de ordem 2, ou, caso contrário, estaremos trabalhando com um grupo abeliano, o que já
vimos ser irrelevante.
Corolário 3.13. Sejam K um corpo de característica 0, G um grupo não abeliano sem
elementos de ordem 2 e σ uma orientação de G, então (KG)σ∗ é Lie n-Engel para nenhum
n ∈ N.
Corolário 3.14. Sejam K um corpo de característica 0, G um grupo não abeliano tal que
Q8 6⊂ G com uma orientação não trivial σ. Se g 2 6= 1, ∀g ∈ G\N , então (KG)σ∗ não
pode ser Lie n-Engel para nenhum n ∈ N.
42
Demonstração. Suponha, por absurdo, que (KG)σ∗ é Lie n-Engel Aplicando os Teoremas
3.11 e 2.8 e utilizando o fato de Q8 6⊂ G, encontramos que N é abeliano e (G\N )2 = 1,
mas, por hipótese, temos uma contradição, logo (KG)σ∗ não pode ser Lie n-Engel.
Além de ser bastante interessante por si só, o resultado principal desse capítulo
irá nos fornecer uma prova mais simplificada dos próximos resultados, além de que os dois
últimos corolários irão mostrar a inexistência de algumas hipóteses admitidas no artigo
base do próximo capítulo.
Capítulo 4
Propriedades de Lie de (KG)σ∗ e
(KG)−
σ∗
Visto que o Capítulo 3 caracteriza os grupos G tais que (KG)σϕ é Lie n-Engel
(nilpotente) quando char(K) = 0, temos que, para prosseguir o estudo nessa linha um
caminho a seguir é caracterizar os grupos que satisfaçam a mesma propriedade para
char(K) = p > 2, ou para um anel R comutativo com char(R) 6= 2. Tal caracterização
ainda não se encontra completa na literatura, porém temos que foi realizada por John
Castillo Gómez e Polcino Milies em [CP12] para o caso ϕ = ∗ e Q8 ⊂ G. Este é um
dos temas desse capítulo. Vale ressaltar que, o caso em que a involução é qualquer e a
orientação é trivial, foi estudado em [LSS09].
Como vimos no Capítulo 1, Antonio Giambruno, Polcino Milies e Sudarshan
Sehgal mostraram os seguintes teoremas:
Teorema A, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos e K um corpo de
característica p 6= 2. Então, (KG)ϕ é Lie n-Engel se, e somente se, KG é Lie n-Engel.
Teorema B, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos e K um corpo
de característica p 6= 2. Então, (KG)ϕ é Lie nilpotente se, e somente se, KG é Lie
nilpontente.
No Teorema 1 de [L99], Lee mostrou que este segundo resultado pode ser estendido
para grupos que contenham 2-elementos, contanto que Q8 6⊂ G, e caracterizou o grupo
G, no Teorema 2 do mesmo artigo, quando (KG)ϕ é Lie nilpotente, com char(K) 6= 2 e
Q8 ⊂ G.
Seguindo essa linha de pesquisa, Castillo e Milies também mostraram em [CP12]
algumas condições para que as propriedades de Lie de (KG)σ∗ possam ser estendidas
para KG. Esse é o outro tema desse capítulo. Ressaltamos também que, o caso em que
a involução é qualquer e a orientação trivial, foi estudado em [GPS09].
Note que, o caso em que char(K) = 0, combinando os Teoremas 3.11 e 2.8, já
43
44
temos condições necessárias e suficientes para que o conjunto (KG)σ∗ seja Lie n-Engel
ou Lie nilpotente, e que implicarão comutatividade. Temos também pelo Corolário 3.13
que se, G é um grupo não-abeliano sem 2-elementos, então (KG)σ∗ não pode ser Lie
n-Engel. Dessa forma, todos os resultados contidos no artigo [CP12] para o caso de
char(K) = 0 estariam provados no capítulo anterior, caso os Teoremas 3.1 e 3.2 de
[CP12] não estendessem as propriedades de Lie também quando (KG)−
σ∗ é Lie n-Engel ou
Lie nilpotente.
Em todo o capítulo, exceto quando explicitado o contrário, K será um corpo, G
um grupo, σ uma orientação e ∗ a involução clássica.
4.1
Resultados Fundamentais
Lema 4.1. Se (KG)σ∗ é Lie n-Engel, para algum n, e char(K) 6= 2, então todo elemento
de ordem 2 em N é central, ou seja N∗ ⊂ Z(G).
Demonstração. Se char(K) = 0, pelo Lema 3.5, temos resultado.
Suponha então que char(K) = p > 2. Tome g ∈ N∗ e vamos considerar que g
comutará com qualquer elemento de G analisando cada uma das componentes da partição
de G.
Sejam x ∈ N∗ e m ∈ N tais que pm é maior do que n. Temos que 0 =
m
m
[g, x, . . . , x ] = [g, xp ]. Já que pm é ímpar, temos que g comuta com x, pois xp = x.
| {z }
pm vezes
Se x ∈ N \N∗ temos que
m
0 = [x + x−1 , g, . . . , g ] = [x + x−1 , g p ] = [x + x−1 , g]
| {z }
pm vezes
⇓
−1
xg + x g = gx + gx−1 .
Como xg 6= x−1 g, temos que ou xg = gx, ou xg = gx−1 , e, caso o primeiro ocorra,
encontramos o resultado. Podemos supor então que xg = gx−1 . Então (xg)2 = xggx−1 =
1, e, pelo primeiro caso, temos que xg comuta com g, logo gxg = xg 2 ⇒ gx = xg.
Se x ∈ G\(G∗ ∪ N ), então
m
0 = [x − x−1 , g, . . . , g ] = [x − x−1 , g p ] = [x − x−1 , g]
| {z }
pm vezes
⇓
−1
xg + gx = x−1 g + gx.
Assim, como char(K) 6= 2, xg = gx ou xg = x−1 g. Neste caso, temos que xg = gx, pois
xg = x−1 g ⇒ x = x−1 ; o que é um absurdo, já que estamos supondo que x2 6= 1. Logo, x
45
comuta com g.
Finalmente, se x ∈ G∗ \N , então xg ∈ G\N . Se (xg)2 = 1, então xg = (xg)−1 =
g −1 x−1 = gx. Assim, podemos assumir que (xg)2 6= 1. Então o caso anterior nos garante
que xg comuta com g, e, com isso, xg = gx.
Lema 4.2. Sejam g, h ∈ G\G∗ . Então valem as seguintes afirmações:
(i) Se [g + g −1 , h + h−1 ] = 0, então
(a) gh ∈ {hg, h−1 g, hg −1 }, ou;
(b) (g α hβ )2 = 1, ∀α, β ∈ {−1, 1};
(ii) Se [g − g −1 , h − h−1 ] = 0, então
(a) gh = hg, ou;
(b) (g α hβ )2 = 1, ∀α, β ∈ {−1, 1}.
(iii) Se [g − g −1 , h + h−1 ] = 0, então
(a) gh ∈ {hg, h−1 g}, ou;
(b) |g| = 4 = |h| e g 2 = h2 .
Demonstração. Suponha que ocorra [g + g −1 , h + h−1 ] = 0. Assim, temos que
gh + gh−1 + g −1 h + g −1 h−1 = hg + hg −1 + h−1 g + h−1 g −1 .
(4.1)
Se char(K) 6= 3, como gh ∈
/ {gh−1 , g −1 h}, então gh ∈ {hg, hg −1 , h−1 g, h−1 g −1 }.
Suponha que gh ∈
/ {hg, h−1 g, hg −1 }, então gh = h−1 g −1 , que é equivalente a hg = g −1 h−1 ;
logo (g −1 h−1 )2 = 1. Então, de (4.1), temos que gh−1 + g −1 h = hg −1 + h−1 g. Já que
char(K) 6= 2, podemos afirmar que gh−1 = hg −1 , ou gh−1 = h−1 g. Note que o segundo
caso não acontece, já que gh 6= hg. Logo, como gh−1 = hg −1 , temos que
gh−1 = hg −1
gh−1 (hg −1 )−1 = 1
(gh−1 )2 = 1.
Da mesma forma que o caso anterior, temos também que (g −1 h)2 = 1.
Se char(K) = 3 em (4.1), teríamos que considerar a possibilidade de 3 elementos
de um mesmo lado da equação coincidirem, ou seja, ao menos gh = gh−1 , gh = g −1 h ou
gh−1 = g −1 h−1 . Entretanto, todos esses casos levam a uma contradição. Dessa forma,
temos que o item (i) é verdadeiro.
46
Suponha agora que [g − g −1 , h − h−1 ] = 0. Temos então que
gh + g −1 h−1 + hg −1 + h−1 g = gh−1 + g −1 h + hg + h−1 g −1 .
(4.2)
Suponha que char(K) 6= 3 e que gh 6= hg, assim temos que gh ∈ {gh−1 , g −1 h, h−1 g −1 }.
Como g 2 6= 1 e h2 6= 1, temos que as duas primeiras opções não ocorrem, logo gh = h−1 g −1
e, de forma análoga ao caso anterior, encontramos o resultado.
Note que se gh = g −1 h−1 = hg −1 , então temos também que gh = h−1 g; logo, se
três elementos do lado esquerdo de (4.2) forem iguais entre si, então o quarto também
será. Note também que, se isso ocorre para o lado esquerdo da equação, o mesmo ocorrerá
para o lado direito.
Sendo assim, suponha que char(K) = 3. Então se gh 6= g −1 h−1 e gh 6= hg −1 ,
podemos proceder de forma semelhante ao caso anterior e encontraremos o resultado.
Suponha então que gh = g −1 h−1 = hg −1 e, pelo observado acima, temos também que
gh = h−1 g, logo a equação (4.2) é equivalente à
4gh = 4hg,
mas, como char(K) = 3, então, temos que gh = hg. Assim, o item (ii) é verdadeiro.
Admita agora que [g − g −1 , h + h−1 ] = 0. Temos então que
gh + gh−1 + hg −1 + h−1 g −1 = g −1 h + g −1 h−1 + hg + h−1 g.
(4.3)
Suponha que char(K) 6= 3. Se gh = hg ou gh = h−1 g, temos o resultado.
Suponha gh ∈
/ {hg, h−1 g}, assim gh = g −1 h−1 , e, com isso, g 2 = h−2 e hg = h−1 g −1 , logo
temos que
gh−1 + hg −1 = g −1 h + h−1 g,
implicando gh−1 = g −1 h ou gh−1 = h−1 g. Note que, se o segundo caso ocorre então
gh = hg, uma contradição. Logo gh−1 = g −1 h o que implica g 2 = h2 . Como encontramos
também que g 2 = h−2 , temos que g 4 = 1 = h4 , note também que g 3 = 1 ⇒ g = 1, o
que seria uma contradição, logo |g| = 4 = |h|, já que as mesmas considerações podem ser
feitas para h.
Suponha que char(K) = 3. Como gh = gh−1 ou hg −1 = h−1 g −1 implicam
h2 = 1, uma contradição, podemos supor que essas igualdades não ocorrem. Procendendo
de forma análoga ao caso anterior, encontramos que o item (iii) é verdadeiro.
Corolário 4.3. Assuma que char(K) = p > 2 e que (KG)σ∗ é Lie pm -Engel para algum
m
m
m ≥ 1. Sejam g, h ∈ G tais que g 2 6= 1 e h2p 6= 1. Se g, h ∈
/ N então (g, hp ) = 1.
Demonstração. Como g, h ∈
/ N , temos que g − g −1 , h − h−1 ∈ (KG)σ∗ e, já que (KG)σ∗
47
m
m
é Lie pm -Engel, obtemos que [g − g −1 , hp − h−p ] = 0; então, da parte (ii) do Lema
m
m
4.2, segue que (g, hp ) = 1 ou (ghp )2 = 1. Como h ∈
/ N , temos que hi ∈
/ N se i for
m
ímpar, logo hp ∈
/ N . Note também que ab ∈ N se a, b ∈ N , ou a, b ∈
/ N . Caso aconteça
m
pm 2
pm
(gh ) = 1, como g, h ∈
/ N , podemos usar o Lema 4.1, o que implica que ghp é central
m
e, assim, (g, hp ) = 1.
4.2
Extensão das propriedades de Lie dos elementos simétricos para o anel de grupo KG
Até agora vimos que o estudo dos elementos simétricos é bastante útil para conhecermos a estrutura do grupo gerador do anel de grupo. Não menos importante, podemos
também descobrir informações valiosas sobre todo o anel de grupo.
Nessa seção buscaremos algumas condições sob as quais podemos estender as
propriedades de Lie encontradas nos simétricos para todo o KG.
4.2.1
Grupos sem Elementos de Ordem 2
Como foi comentado no início do capítulo, temos que, se um grupo G não abeliano
não possuir elementos de ordem 2 e K for um corpo tal que char(K) = 0, então (KG)σ∗
não é Lie n-Engel para todo n ∈ N. Logo é impossível encontrar anéis de grupo que
satisfaçam as hipóteses dos Teoremas 4.14 e 4.16 para o caso char(K) = 0 e (KG)σ∗
satisfazendo as propriedades de Lie. Afirmações semelhantes podem ser feitas para os
Teoremas 4.18 e 4.19, que serão demonstrados nessa seção.
Como Castillo e Polcino Milies conseguiram demonstrar os Teoremas 4.12 e
4.13 para (KG)−
σ∗ Lie n-Engel e Lie nilpotentes, temos que é necessário explorar o caso
char(K) = 0, pois para este caso não temos, ainda, resultados suficientes para concluir
que não existam tais exemplos, e já que o resultado para o (KG)σ∗ segue sem muito
esforço quando temos que provar o mesmo para o (KG)−
σ∗ , faremos, então, o resultado
completo, já que ele por si só não é uma inverdade.
Lema 4.4. Seja G um grupo tal que |Z(G)2 | = ∞. Se α ∈ KG é tal que (σ(z)z 2 − 1)α =
0, ∀z ∈ Z(G), então α = 0.
P
Demonstração. Tome α nas condições acima e escreva α =
αi xi onde αi ∈ KZ(G)2 e
xi são escolhidos em um transversal à direita de Z(G)2 em G tal que x1 = 1. Suponha que
α1 6= 0. Dessa forma, (σ(z)z 2 − 1)α = 0 ⇒ (σ(z)z 2 − 1)α1 = 0 ⇒ σ(z)z 2 α1 = α1 ∀z 2 ∈
Z(G)2 , mas por hipótese |Z(G)|2 = ∞. Assim, se α1 6= 0, temos que card(supp(α1 )) = ∞,
absurdo, logo α1 = 0.
Multiplicando α por x−1
i , podemos mostrar de forma semelhante que αi = 0, ∀i.
Assim α = 0.
48
Proposição 4.5. Seja G um grupo tal que |Z(G)2 | = ∞. Então, (KG)σ∗ ou (KG)−
σ∗ é
Lie nilpotente de índice n se, e somente se, KG é Lie nilpotente de índice n.
Demonstração. Já que (KG)σ∗ é Lie nilpotente de índice n, temos que KG satisfaz a
identidade polinomial
0 = f (x1 , . . . , xn ) = [x1 + σ∗(x1 ), . . . , xn + σ∗(xn )]
= [x1 , . . . , xn + σ∗(xn )] + [σ∗(x1 ), . . . , xn + σ∗(xn )]
= f1 + f2 ,
em que f1 = [x1 , . . . , xn + σ∗(xn )] e f2 = [σ∗(x1 ), . . . , xn + σ∗(xn )].
Então, se z1 ∈ Z(G),
f (z1 x1 , . . . , xn ) = z1 f1 + σ∗(z1 )f2
é uma identidade polinomial para KG, o que implica que σ∗(z1 )f = σ∗(z1 )f1 + σ∗(z1 )f2
também o é, implicando que z1 f1 − σ∗(z1 )f1 possui a mesma propriedade. Temos também
que multiplicando a última identidade por σ(z1 )z1 , encontramos que
σ(z1 )z1 (z1 f1 − σ(z1 )z1−1 f1 ) = σ(z1 )z12 f1 − σ(z1 )2 z1 z1−1 f1
= σ(z1 )z12 f1 − f1
= (σ(z1 )z12 − 1)f1
também é uma identidade polinomial para KG.
Seja agora
f1 = [x1 , x2 + σ∗(x2 ), . . . , xn + σ∗(xn )]
= [x1 , x2 , . . . , xn + σ∗(xn )] + [x1 , σ∗(x2 ), . . . , xn + σ∗(xn )]
= f10 + f20 ,
em que f10 = [x1 , x2 , . . . , xn + σ∗(xn )] e f20 = [x1 , σ∗(x2 ), . . . , xn + σ∗(xn )]. Assim, para a
seguinte identidade
(σ(z1 )z12 − 1)f1 = (σ(z1 )z12 − 1)(f10 + f20 )
= (σ(z1 )z12 − 1)f10 + (σ(z1 )z12 − 1)f20 ,
podemos repetir o processo feito anteriormente e encontrar que
(σ(z1 )z12 −1)(σ(z2 )z22 −1)f10 = (σ(z1 )z12 −1)(σ(z2 )z22 −1)[x1 , x2 , x3 +σ∗(x3 ), . . . , xn +σ∗(xn )]
49
também é uma identidade. Repetindo o argumento acima n vezes, encontraremos que,
(σ(z1 )z12 − 1)(σ(z2 )z22 − 1) . . . (σ(zn )zn2 − 1)[x1 , . . . , xn ]
é uma identidade polinomial para KG. Já que |Z(G)2 | = ∞, pelo Lema 4.4 temos que
[x1 , . . . , xn ] = 0 e assim KG é Lie nilpotente de índice n.
Se (KG)−
σ∗ é Lie nilpotente de índice n, então KG satisfaz a identidade polinomial
h(x1 , . . . , xn ) = [x1 − σ∗(x1 ), . . . , xn − σ∗(xn )] = 0
e a prova segue de forma análoga.
Se KG é Lie nilpotente de índice n trivialmente temos que (KG)σ∗ e (KG)−
σ∗ são
Lie nilpotentes de índices m e t, respectivamente, com m, t ≤ n.
Lema 4.6. Seja G = ha, bi um grupo gerado por dois elementos a e b tais que b−1 ab = a−1 .
Se (KG)σ∗ é Lie n-Engel, para algum n, então ou
(i) a2 = 1 (e G é abeliano), ou
m
m
(ii) σ(a) = 1, σ(b) = −1, b2p = 1 para algum m > 0 e ha, bp i ' Dk , onde k = |a|, se
|a| < ∞, ou k = ∞, caso contrário.
Demonstração. Se a2 = 1, como b−1 ab = a−1 = a ⇒ ab = ba, temos que (i) ocorre.
Seja a2 6= 1. Dessa forma, temos que b−1 ai b = a−i , ∀i ∈ N, logo, ai ∈ Z(G) se, e
somente se, a2i = 1.
Suponha que char(K) = p > 2. Veja que b−1 ab = a−1 ⇒ b−1 a−1 b = a, logo
b−2 a−1 b2 = b−1 ab = a−1 , dessa forma facilmente verificamos que
(
−i
i
b ab =
a−1 , se i é ímpar;
a , se i é par.
(4.4)
Seja m > 0 tal que pm > n. Dependendo dos valores que σ pode assumir em G,
consideraremos 3 casos.
(1) a ∈
/ N e b ∈ N.
(1.a) b tem ordem finita.
Já que b2 ∈ Z(G) e b ∈
/ Z(G), |b| é da forma 2k para algum k ∈ Z+ , pois
bs = 1 ⇒ bs ∈ Z(G), mas isso não pode acontecer se s for ímpar. Note também que k
não pode ser ímpar, pois, se fosse, teríamos que |bk | = 2; mas bk ∈
/ Z(G), o que seria
um absurdo pelo Lema 4.1. Assim, 4 divide |b| e podemos escrever |b| = 2r s, com s um
inteiro ímpar e r ≥ 2.
m
m
Já que 0 = [a − a−1 , bp s + b−p s ], do item (iii) do Lema 4.2, temos que
abp
ms
m
m
∈ bp s a, b−p s a
50
ou
m
|a| = 4 = |bp s | e a2 = b2p
ms
acontece.
m
m
Se a primeira opção ocorre, por (4.4), devemos ter que abp s 6= bp s a, já que pm s
m
m
m
m
é ímpar e a 6= a−1 . Logo abp s = b−p s a. Como b−p s = a−1 b−p s a−1 , temos que
a =
=
=
⇓
2
a =
m
m
b−p s ab−p s
m
m
a−1 b−p s a−1 ab−p s
m
a−1 b−2p s
m
b−2p s .
m
m
Mas também temos que 0 = [a−1 − a, bp s + b−p s ], então podemos aplicar novamente o
Lema 4.2 e verificar que uma das duas condições acontece. Note porém, que se a segunda
ocorre para um dos casos, também ocorrerá para o outro; logo, como acima estamos
supondo que acontece o primeiro, temos que o mesmo deve ocorrer novamente e com um
m
argumento análogo encontramos que a2 = b2p s e assim a4 = 1.
m
m
Logo, as duas opções implicam |a| = 4, a2 = b2p s e b4p s = 1. Assim, |b| = 4s, já
que precisávamos apenas encontrar o valor adequado para r. Desta forma, |a| = |bs | = 4
e a2 = b2s , o que implica em ha, bs i ' Q8 . Mas σ(a) = −1 e sabemos pelo Corolário 3.4
que Q8 ⊂ N , logo temos uma contradição.
(1.b) bn 6= 1, ∀n ∈ N\ {0}.
m
m
Podemos escrever 0 = [a−1 − a, bp s + b−p s ] e aplicar o Lema 4.2. Como bn 6=
1, ∀n ∈ N\ {0}, temos que o segundo caso não acontece, e, de forma análoga ao caso onde
m
m
m
|b| < ∞, encontramos que a2 = bp s = b−p s ⇒ |a| = 4 ⇒ b2p s = 1, um absurdo, já que
estamos supondo que bn 6= 1, ∀n ∈ N\ {0}. Logo o caso (1) não ocorre.
(2) a ∈ N e b ∈
/ N.
m
Suponha que b2p 6= 1. Temos então que
(ab)2 =
=
=
=
abab
abab−1 b2
aa−1 b2
b2 6= 1.
m
m
m
Aplicando o Corolário 4.3 aos elementos ab e bp , temos que abp = bp a e novamente
m
m
a2 = 1, contradição. Assim, temos que b2p = 1, logo ha, bp i é isomorfo a Dk ou D∞ , de
acordo com a ordem de a.
(3) a, b ∈
/ N.
Seja c = ab. Então c ∈ N e c−1 ac = a−1 . Logo, novamente temos o primeiro
caso, que mostramos que não pode ocorrer.
51
m
Assim, provamos que ou a2 = 1 ou b2p = 1 para algum m ≥ 0, e, caso a2 6= 1, a
única possibilidade para σ é σ(a) = 1 e σ(b) = −1.
Se char(K) = 0, então ZG ⊂ KG. Assim (ZG)σ∗ é Lie n-Engel e assim, para
qualquer primo ímpar q, temos que ((Z/qZ)G)σ∗ é Lie n-Engel. Usando o resultado acima,
m
a2 = 1 ou b2q = 1, para algum m ≥ 0. Se a2 6= 1, então a a última opção vale para todo
primo ímpar q e m ≥ 0 tal que q m ≥ n. Tome então r, s dois primos ímpares e t ≥ 0 tal
que rt , st ≥ n. Como mdc {rt , st } = 1, temos que existem α, β ∈ Z tais que αrt + βst = 1,
t
t
t
t
logo b2r = 1 = b2s ⇒ b2αr = 1 = b2βs , assim
t
t
t
t
1 = b2αr b2βs = b2(αr +βs ) = b2 ,
mas isso implica que a2 = 1, contradição. Dessa forma a2 = 1 e G é abeliano.
O próximo lema não se encontra no artigo do Castillo, visto que é bastante
semelhante ao anterior, porém, para tornar o trabalho o mais completo possível, faz-se
necessário enunciar e provar o mesmo para demonstrarmos o Lema 4.8.
Lema 4.7. Seja G = ha, bi um grupo gerado por dois elementos a e b tais que b−1 ab = a−1 .
Se (KG)−
σ∗ é Lie n-Engel, para algum n, então G possui algum elemento de ordem 2.
Demonstração. Se a2k = 1, b2t = 1 ou (ab)2s = 1 para algum k, t, s ∈ Z, então temos o
resultado.
Note que temos também que
(
b−i abi =
a−1 , se i é ímpar;
a , se i é par.
(4.5)
Podemos supor então que a2k 6= 1, b2t 6= 1 e (ab)2s 6= 1 ∀k, t, s ∈ Z. Seja m > 0
tal que pm > n. Devemos considerar três casos separados, dependendo dos valores de σ
em G.
(1) a ∈
/ N e b ∈ N.
(1.a) Suponha que b tem ordem finita.
Já que b2 ∈ Z(G) e b ∈
/ Z(G) podemos fazer um raciocínio análogo ao item (1)
do lema anterior e concluir que 4 divide |b|, absurdo.
(1.b) Suponha que bn 6= 1, ∀n ∈ N\ {0}.
m
m
Como b2 ∈ N , b2 6= 1, (ab) ∈
/ N e (ab)2 6= 1, temos que [ab+(ab)−1 , bp −b−p ] = 0;
da parte (iii) do Lema 4.2, temos que
m
m
m
m
m
ou |b2p | = 4 = |(ab)| e b2p = (ab)2 .
bp (ab) ∈ (ab)bp , (ab)−1 bp
m
m
Se a primeira opção ocorre, podemos ter que bp (ab) = (ab)bp
m
ou bp (ab) =
52
m
m
m
(ab)−1 bp . Se bp (ab) = (ab)bp ocorre, temos que
m
bp (ab) = (ab)bp
m
m
bp a = abp ,
m
m
m
mas, por (4.4), temos uma contradição, já que pm é ímpar. Se bp (ab) = (ab)−1 bp , temos
então que
m
m
bp (ab) = (ab)−1 bp
m
m
bp ab = b−1 a−1 bp
m
m
bp +1 a = a−1 bp −1
m
m
bp +1 a = bp −1 a−1
b2 = a−2 .
De bab−1 = a−1 , temos que
ba2 b−1 = a−2
ba2 b−1 = b2
a2 = b 2 ,
assim, b2 = b−2 , o que implica que b4 = 1, contradição. Assim só resta a segunda opção,
mas, como estamos supondo que bn 6= 1, ∀n ∈ N\ {0}, temos que a ∈
/ N e b ∈ N não
ocorre.
(2) a ∈ N e b ∈
/ N.
De forma análoga ao item (1) do Lema 4.6, encontraremos uma contradição.
(3) a, b ∈
/ N.
Seja c = ab. Então c ∈ N e c−1 ac = a−1 . Assim, temos novamente o primeiro
caso, onde mostramos que não pode ocorrer.
Logo, para uma orientação não trivial σ, temos que existe um elemento de ordem
2 em G.
Lema 4.8. Seja G = ha, bi um grupo gerado por dois elementos a, b satisfazendo a 6= 1
e ab = a−1 . Suponha que G não possua elementos de ordem 2. Então nem (KG)σ∗ nem
(KG)−
σ∗ são Lie n-Engel.
Demonstração. O resultado segue imediatamente dos Lemas 4.6 e 4.7.
Lema 4.9. Seja G = hg, hi. Suponha que [g +c1 g −1 , h+c2 h−1 ] = 0, para algum c1 , c2 ∈ K
e G não possua elementos de ordem 2. Se (KG)σ∗ ou (KG)−
σ∗ é Lie n-Engel, então G é
abeliano.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que [g, h] 6= 0. Então, g, h, gh 6= 1 e gh ∈
/
{hg, g −1 h, gh−1 , h−1 g −1 }. Além disso, pelo Lema 4.8, temos que gh 6= hg −1 , h−1 g. Por
53
hipótese temos que
0 = [g + c1 g −1 , h + c2 h−1 ]
⇓
−1
−1
−1 −1
gh + c2 gh + c1 g h + c1 c2 g h
= hg + c2 h−1 g + c1 hg −1 + c1 c2 h−1 g −1 .
(4.6)
Se c1 = c2 = 0 temos o resultado. Se c1 6= 0 e c2 = 0, então temos que
gh + c1 g −1 h = hg + c1 hg −1 ,
mas, como gh 6= g −1 h, hg, hg −1 , encontramos um absurdo. Se c1 , c2 6= 0 da equação (4.6)
devemos ter que gh = −c1 c2 g −1 h−1 , o que implica c1 c2 = −1 e gh = g −1 h−1 , e assim
g 2 = h−2 . Daí, temos que g 2 comuta com h, logo g 2 ∈ Z(G). Já que g ∈
/ Z(G), temos
que g possui ordem infinita, pois g i ∈
/ Z(G) com i primo e, caso |g| = k < ∞, teríamos
k
k
que k é par, pois 1 = g ∈ Z(G); mas, se k é par, então g 2 seria um elemento de ordem
2 em G, contradição. De forma análoga podemos encontrar os mesmos resultados para h.
Assim,
0 = [g + c1 g −1 , h + c2 h−1 ] = [(1 + c1 g −2 )g, (1 + c2 h−2 )h]
= (1 + c1 g −2 )(1 + c2 h−2 )[g, h]
= (1 + c1 g −2 + c2 g 2 + c1 c2 )[g, h]
= (c1 g −2 + c2 g 2 )[g, h].
Vamos mostrar que (c1 g −2 + c2 g 2 ) não é um divisor de zero em KG.
X
ηx x tal que γ = (c1 g −2 + c2 g 2 )η = 0.
De fato, suponha que exista 0 6= η =
x∈G
Seja x ∈ supp(η). Assim temos que ηx 6= 0, então c1 ηx e c2 ηx são diferentes de zero e
com isso c1 ηx g −2 x e c2 ηx g 2 x aparecem como parcelas de γ; mas, como γ = 0, devemos ter
elementos em η que ao serem multiplicados por (c1 g −2 + c2 g 2 ), anulem esses elementos em
γ. Observe que os únicos elementos que, ao serem multiplicados por (c1 g −2 + c2 g 2 ), irão
resultar em αg −2 são ηx x e ηg−4 x g −4 x; como já utilizamos ηx x para encontrar o ηx g −2 x,
temos que ηg−4 x g −4 x é o elemento que deverá ser multiplicado por (c1 g −2 + c2 g 2 ) para
anular o ηx g −2 x; portanto g −4 x ∈ supp(η).
Repetindo o processo, podemos concluir que g 2k x ∈ supp(η), ∀k ∈ Z. Como
hg 2 i não é de torção, já que G não possui elementos de ordem 2, encontramos que
card(supp(η)) = ∞, um absurdo.
Como c1 g −2 + c2 g 2 não é um divisor de zero em KG, podemos aplicar o Lema
1.14 de [Pa77], e com isso temos que c1 g −2 + c2 g 2 também não é um divisor de zero em
KG. Assim [g, h] = 0, uma contradição, provando o lema.
Lema 4.10. Sejam G um grupo sem elementos de ordem 2 e K um corpo tal que
char(K) 6= 2. Suponha que (KG)σ∗ ou (KG)−
σ∗ é Lie n-Engel, para algum n. Então,
(i) se char(K) = 0, então G é abeliano;
54
m
(ii) se char(K) = p > 0, então Gp ⊂ Z(G), para algum m > 0.
Demonstração. Suponha que (KG)σ∗ é Lie n-Engel, para algum n ∈ N. Suponha que
char(K) = p > 2 e tome m > 0 tal que pm > n. Seja h um elemento fixo de G, então
para todo g ∈ G;
[g + σ(g)g −1 , h + σ(h)h−1 , . . . , h + σ(h)h−1 ] = 0.
|
{z
}
pm vezes
m
m
m
Assim, [g + σ(g)g −1 , hp + σ(h)h−p ] = 0 e, pelo Lema 4.9, temos que ghp =
m
m
hp g. Logo Gp ⊂ Z(G).
Se char(K) = 0, então ZG ⊂ F G, portanto (ZG)σ∗ é Lie n-Engel e, assim, para
m
qualquer primo ímpar q, (Zq G)σ∗ é Lie n-Engel. Usando o resultado acima, Gq ⊂ Z(G)
para algum m e usando um argumento análogo ao do Lema 4.6, temos que G ⊂ Z(G).
Se (KG)−
σ∗ é Lie n-Engel, para algum n, a prova segue de forma semelhante.
Com o item (i) do Lema que acabamos de demonstrar, podemos concluir que,
se o grupo G não possuir elementos de ordem 2, for não abeliano e K for um corpo tal
que char(K) = 0, então (KG)−
σ∗ também não pode ser Lie n-Engel (lembrando que o
Corolário 3.13 já garantia que sob essas hipóteses (KG)σ∗ não poderia ser Lie n-Engel).
Dessa forma, os teoremas a seguir embora estejam enunciados no artigo [CP12] com o
caso char(K) = 0, faremos nesta dissertação apenas o caso char(K) = p > 2.
Para entendermos a demonstração do próximo teorema, faz-se necessário a seguinte definição.
Definição 4.11. O subconjunto de G dos elementos de conjugação finita é chamado de
FC-subgrupo de G e será denotado por φ(G), ou seja,
φ(G) = {g ∈ G; |C(g)| < ∞} .
Note que facilmente podemos verificar que que ϕ(G) / G.
Definição 4.12. Um grupo G é chamado de p-abeliano, se G0 , o subgrupo derivado de
G, é um p-grupo finito. Dizemos que G é 0-abeliano se G for abeliano.
Definição 4.13. Sejam p um inteiro positivo primo e g ∈ G. Se |g| = pt para algum
t ∈ N , então g é chamado de p-elemento. Se |g| < ∞ e p 6 ||g| então g é chamado de
p0 -elemento.
Teorema 4.14. Sejam K um corpo de característica p > 2, G um grupo não abeliano sem
elementos de ordem 2 e σ uma orientação não trivial de G. Então (KG)σ∗ (ou (KG)−
σ∗ )
é Lie n-Engel, para algum n se, e somente se, KG é Lie m-Engel, para algum m.
55
Demonstração. Assuma que (KG)σ∗ é Lie n-Engel para algum n.
Temos então que
[x, y + y −1 , . . . , y + y −1 ] = 0
{z
}
|
n vezes
é uma ∗-identidade polinomial em KG. Assim pelo Teorema 6.5.2 de [H76], temos que
KG satisfaz uma identidade polinomial.
Vamos mostrar que G é nilpotente. Para isso basta verificar que G/Z(G) é
nilpotente.
m
Pelo Lema 4.10, podemos afirmar que Gp ⊂ Z(G) para algum m > 0, assim
G/Z(G) é um p-grupo de expoente limitado, pois, dado qualquer elemento g ∈ G/Z(G),
m
m
temos que g p = 1 já que g p ∈ Z(G). Como K(G/Z(G)) também é Lie n-Engel, temos
que K(G/Z(G)) satisfaz uma identidade polinomial; assim, podemos aplicar o Lema
3.2.7 de [L10] e encontrar que G/Z(G) é nilpotente, logo G também o é, dessa forma,
aplicando o item 2 da Proposição 1.3.7 de [L10] e encontrar que G0 é um p-grupo de
expoente limitado.
Também temos, pelo Teorema 5.2.14 de [Pa77], que φ(G), o FC-subgrupo de G,
é de índice finto em G e |φ(G)0 | < ∞. Note que Z(G) ⊂ φ(G), logo, como G/Z(G) é um
p-grupo de expoente limitado, G/φ(G) é um p-grupo finito. Também podemos afirmar
que φ(G) é p-abeliano, pois φ(G)0 é um p-grupo finito, já que φ(G)0 ⊂ G0 e este útimo
mostramos ser um p-grupo.
Assim, como φ(G) é normal em G, podemos aplicar o Teorema V.6.1 de [S78] e
encontrar que KG é Lie m-Engel.
Reciprocamente, se KG é Lie m-Engel, obviamente (KG)σ∗ é Lie n-Engel.
Se (KG)−
σ∗ é Lie n-Engel, então
[x, y − y −1 , . . . , y − y −1 ] = 0
{z
}
|
n vezes
é uma ∗-identidade polinomial em KG e a prova segue de forma análoga ao caso anterior.
Lema 4.15. Sejam G um grupo sem elementos de ordem 2 e K um corpo de característica
p 6= 2. Se (KG)σ∗ (ou (KG)−
σ∗ ) é Lie nilpotente, G é nilpotente e |ξi | = ∞, para algum i,
então KG é Lie nilpotente.
Demonstração. Note que se K (G/Z(G)) é Lie nilpotente de índice n, então KG será
Lie nilpotente de índice n, pois se 0 = [g1 Z(G), . . . , gn Z(G)] = [g1 , . . . , gn ]Z(G), então
[g1 , . . . , gn ] = 0, ∀gh ∈ G\Z(G) e, obviamente, se algum gh for substituido por g ∈ Z(G),
o resultado do comutador continua o mesmo.
Observe também que se (KG)σ∗ (ou (KG)−
σ∗ ) é Lie nilpotente, (K(G/ξj (G)))σ∗
−
(ou (K(G/ξj (G)))σ∗ respectivamente) também o será.
56
Seja i, o menor natural tal que |ξi | = ∞.
Como Z (G/ξi−1 (G)) ' ξi (G)/ξi−1 (G), pela minimalidade do i, temos que
|Z (G/ξi−1 (G)) | = |ξi (G)/ξi−1 (G)| = ∞.
Como G não possui elementos de ordem 2, temos que qualquer quociente de subgrupos
de G também não possuirá tais elementos, portanto |(ξi (G)/ξi−1 (G))2 | = ∞. Aplicando
a Proposição 4.5, temos que K(G/ξi−1 (G)) é Lie nilpotente.
Dessa forma, se i = 1, 2 temos o resultado. Suponha então que i > 2. Pelo
Teorema do Isomorfismo de Grupos, temos que
K(G/ξi−1 (G)) ' K
G/ξi−2 (G)
ξi−1 (G)/ξi−2 (G)
'K
G/ξi−2 (G)
Z (G/ξi−2 (G))
,
portanto, pelo argumento do início da demonstração, K(G/ξi−2 (G)) é Lie nilpotente.
Repetindo esse argumento, encontraremos que KG é Lie Nilpotente.
Teorema 4.16. Sejam K um corpo de característica p > 2, G um grupo não abeliano sem
elementos de ordem 2 e σ uma orientação não trivial de G. Então (KG)σ∗ (ou (KG)−
σ∗ )
é Lie nilpotente se, e somente se, KG é Lie nilpotente.
Demonstração. Assuma que (KG)σ∗ (ou (KG)−
σ∗ ) seja Lie nilpotente.
Pela demonstração do Teorema 4.14, G é nilpotente e G0 é um p-grupo.
Se |ξi (G)| = ∞, para algum i ∈ N, aplicando o Lema 4.15, temos o resultado.
Dessa forma, podemos admitir que |ξi (G)| < ∞, ∀i ∈ N. Portanto |G0 | < |G| <
∞, assim, podemos concluir que G é p-abeliano, logo, aplicando o Teorema V.4.4 de [S78],
encontramos que KG é Lie nilpotente.
4.2.2
Grupos que não contêm Q8
Estenderemos um pouco os resultados anteriores permitindo que o grupo G contenha alguns elementos de ordem 2, porém, exigindo certas propriedades dos mesmos, e
encontrando resultados semelhantes.
Lema 4.17. Sejam G um grupo não abeliano tal que Q8 6⊂ G com uma orientação não
trivial σ e K um corpo tal que char(K) = p > 2. Assuma que g 2 6= 1 para todo g ∈ G\N
m
e (KG)σ∗ é Lie n-Engel para algum n. Então, Gp ⊂ Z(G), para algum m > 0.
Demonstração. Escolha m > 0 tal que pm ≥ n e sejam b um elemento fixo de G e a ∈ G
um elemento qualquer. Vamos analisar os casos dependendo dos valores de σ em a e b:
(1) a, b ∈ N .
m
Do Lema 5 de [L99] temos que (a, bp ) = 1.
57
(2) a, b ∈
/ N.
m
Por hipótese, temos que a2 6= 1 6= b2p , assim, pelo Corolário 4.3, temos que
m
(a, bp ) = 1
(3) a ∈ N e b ∈
/ N.
m
Tome c = ab, do item anterior, temos que c ∈ G\N , daí, (c, bp ) = 1, o que implica
m
que (a, bp ) = 1.
(4) a ∈
/ N e b ∈ N.
m
m
Pelo item (1), temos que (a2 , bp ) = 1. Pelo item (3), temos que (b, ap ) = 1. Assim
temos que
m
m
m
m
ap +1 bp = bp ap +1
m
m
m
m
aap bp = bp ap +1
m
m
m
m
abp ap = bp ap +1
m
m
abp = bp a
e o resultado segue.
No artigo [CP12], os autores mostraram que, sob as condições do lema anterior
e alterando apenas a característica de K para 0, poderíamos afirmar que o grupo G seria
abeliano, porém o Corolário 3.14 mostra que tais hipóteses não podem ser satisfeitas.
Da mesma forma que os teoremas anteriores, temos que as hipóteses para o caso
char(K) = 0 também não podem ser satisfeitas, de forma não trivial, para os dois teoremas seguintes; assim enunciaremos os resultados apenas para char(K) = p > 2.
Teorema 4.18. Sejam K um corpo tal que char(K) = p > 2 e G um grupo não abeliano
tal que Q8 6⊂ G com uma orientação não trivial σ. Suponha que g 2 6= 1, para todo
g ∈ G\N . Então, (KG)σ∗ é Lie n-Engel, para algum n, se, e somente se, KG é Lie
m-Engel, para algum m.
Demonstração. Similar à prova do Teorema 4.14, substituindo apenas o Lema 4.10 pelo
Lema 4.17.
Teorema 4.19. Sejam K um corpo tal que char(K) = p > 2 e G um grupo não abeliano
tal que Q8 6⊂ G com uma orientação não trivial σ. Suponha que g 2 6= 1, para todo
g ∈ G\N . Então (KG)σ∗ é Lie nilpotente se, e somente se, KG é Lie nilpotente.
Demonstração. De forma análoga à prova do Teorema 4.14 temos que G é nilpotente e
que G/Z(G) é um p-grupo de expoente limitado, assim, segue da Proposição 1.3.7 de
[L10] que G0 é um p-grupo.
58
Suponha que G contenha um elemento x tal que xn 6= 1, ∀n ∈ Z\ {0}. Pelo Lema
4.17, temos que existe m > 0 tal que xm ∈ Z(G), e assim |Z(G)2 | = ∞. Pela Proposição
4.5 temos que KG é Lie nilpotente.
Podemos admitir então que G é de torção. Assim, pelo Teorema 5.2.7 de [R96],
temos que G = Πq Pq , onde para cada primo q, Pq é o único q-subgrupo de Sylow de G.
Como G0 é um p-grupo, temos que G0 = Pp0 . Já que (KPp )σ∗ é Lie nilpotente, podemos
aplicar o Teorema 1 de [L99], pois Pp só possui elementos de ordem prima. Logo Pp ⊂ N ,
assim, Pp0 é finito, e, com isso, G é p-abeliano. Assim, aplicando o Teorema V.4.4 de [S78]
obtemos que KG é Lie nilpotente.
Note que estes dois últimos teoremas generalizam completamente os teoremas
principais da seção anterior, exceto para o caso quando temos que as propriedades de Lie
são satisfeitas para os elementos antissimétricos.
4.3
Propriedades de Lie dos elementos simétricos
G.T. Lee caracterizou em [L99] e [L00] quando o conjunto dos elementos simétricos sob a involução clássica é Lie nilpotente e Lie n-Engel, respectivamente. Nesta seção
estudaremos estas propriedades para os elementos simétricos em relação a uma involução
orientada, ou seja, faremos um estudo semelhante ao trabalho de Lee, porém, no nosso
caso, utilizaremos uma orientação para induzir a involução em KG.
Definição 4.20. Um grupo G diz-se um produto central de dois subgrupos normais H
e K, se G = HK, (H, K) = 1 e H ∩ K ⊂ Z(G). Neste caso denotaremos G = H ×Z K.
Lema 4.21. Sejam G um grupo e A um subgrupo de índice 2 em G. Suponha que A =
C × E, um produto direto de grupos, com E um 2-grupo abeliano elementar. Se E é
central em G então, para qualquer g ∈ G\A, G é um produto central dos subgrupos hC, gi
e E.
Demonstração. Seja g ∈ G\A. Como, por hipótese, A é de índice 2 em G, E é central em
G e A = C × E, temos que G = hC, giE e claramente hC, gi ∩ E ⊂ Z(G). Resta mostrar
que hC, gi / G e E / G. Como E é central, trivialmente temos que E / G. Seja h ∈ hC, gi,
devemos mostrar que aha−1 ∈ hC, gi, ∀a ∈ G. Como G = hC, giE, temos que a = be
com b ∈ hC, gi e e ∈ E, assim, aha−1 = behe−1 b−1 = bhb−1 , já que E ⊂ Z(G), e como
b, h ∈ hC, gi, temos que bhb−1 ∈ hC, gi, logo hC, gi / G.
Lema 4.22. Sejam K um corpo de característica p > 2, G um grupo com uma orientação
não trivial σ e elementos x, y ∈ G tais que hx, yi ' Q8 . Se (KG)σ∗ é Lie pm -Engel
m
para algum m > 0, então existe g ∈ G\N tal que g 2p 6= 1 e g 2 = x2 . Além disso,
m
(h, x) = (h, y) = 1, para todo h ∈ G\N tal que h2p 6= 1.
59
m
Demonstração. Suponha, por absurdo, que a2p = 1 para todo a ∈ G\N . Seja g ∈ G\N .
Primeiramente, assuma que |g| =
6 2. Como (KG)σ∗ é Lie pm -Engel e |x| = 4, temos que
m
m
0 = [g − g −1 , xp + x−p ] = [g − g −1 , x + x−1 ].
m
Da parte (iii) do Lema 4.2, temos que gx = xg, gx = x−1 g ou |g| = 4. Já que g 2p = 1,
temos que a última opção não pode ocorrer. Como g ∈ G\N e, pelo Corolário 3.4, x ∈ N ,
m
m
m
m
temos que gx ∈ G\N . Se gx = xg, então 1 = (gx)2p = g 2p x2p e assim x2p = 1, uma
contradição. Logo gx = x−1 g.
Suponha agora que |g| = 2. Se (gx)2 6= 1, então, pelo argumento anterior,
(gx)x = x−1 (gx) e assim gx = x−1 g. Se (gx)2 = 1, então gx = x−1 g −1 = x−1 g. Dessa
forma, gx = x−1 g∀g ∈ G\N . Como gy ∈ G\N , devemos ter que (gy)x = x−1 (gy) = gxy,
o que implica xy = x, contradição.
m
Assim, existe um g ∈ G\N tal que g 2p 6= 1.
m
Seja h ∈ G\N um elemento tal que h2p 6= 1. Como (KG)σ∗ é Lie pm -Engel,
temos que [h − h−1 , x + x−1 ] = 0, assim, pelo item (iii) do Lema 4.2, podemos afirmar que
(1) hx = xh, ou;
(2) hx = x−1 h, ou;
(3) x2 = h2 e |h| = 4.
Vamos mostrar que (1) sempre ocorre.
De fato, suponha que (2) ocorra, assim, podemos verificar que
(
(hx)k =
Logo, (hx)2p
isso,
m
= h2p
m
hk , se k for par;
hk x, caso contrário.
6= 1 e, pelo Corolário 4.3, temos que h(hx)p
m
hhp x
m
hp +1 x
m
(hx)p +1 x
hx2
x2
=
=
=
=
=
m
m
= (hx)p h e, com
m
hp xh
m
hp xh
m
(hx)p h
h
1,
contradição.
Vamos mostrar agora que (3)⇒(1).
Suponha que (3) seja satisfeito. Isto significa que |h| = 4 e h2 = x2 . Se (xh)2 = 1,
então xh = h−1 x−1 = h3 x−1 = hx2 x−1 = hx. Suponha que (xh)2 6= 1, podemos então
aplicar o Corolário 4.3 encontrando que (xh, h) = 1, logo (x, h) = 1.
De forma análoga, podemos provar que [h − h−1 , y + y −1 ] = 0, o que implica
60
(i) hy = yh; ou
(ii) hy = y −1 h; ou
(iii) y 2 = h2 e |h| = 4;
e (i) sempre ocorre.
m
Finalmente, suponha que (xh)2 , (yh)2p 6= 1 para todos os elementos h ∈ G\N
m
m
como acima. Como h comuta com x e y, e y 2p = y ou y 2p = y −1 e, pelo Corolário 4.3,
m
m
m
m
temos que xhy 2p h2p = y 2p h2p xh, podemos concluir que xy = yx, uma contradição.
m
m
Assim, existe g ∈ G\N tal que g 2p 6= 1 e (xg)2 = 1 ou (yg)2p = 1.
Se (xg)2 = 1, então x2 g 2 = 1, o que implica que x2 = g 2 . De forma análoga,
m
m
m
(yg)2p = 1 implica que y 2 = g 2p . Neste caso, tomamos g1 = g p .
Em todos os casos encontramos um elemento g ∈ G\N nas condições esperadas.
Lema 4.23. Sejam R um anel comutativo, Q8 = hx, yi e G = hQ8 , gi, com (g, x) =
(g, y) = 1 e g 2 = x2 . Seja σ uma orientação de G definida por σ(x) = σ(y) = 1 e
σ(g) = −1. Então, (RG)σ∗ é central em RG.
Demonstração. Note que (RG)σ∗ é gerado como um R-módulo pelo conjunto
S = 1, x2 ∪ x + x−1 , y + y −1 , (xy) + (xy)−1 ∪ g − g −1 .
Para qualquer γ ∈ S, é fácil verificar que [γ, x] = [γ, y] = [γ, g] = 0. Assim (RG)σ∗ é
central em RG.
Teorema 4.24. Sejam K um corpo de característica p 6= 2, G um grupo com uma orientação não trivial σ e x, y elementos de G tais que hx, yi ' Q8 . Então, (KG)σ∗ é Lie
n-Engel, para algum n ≥ 0 se, e somente se, ou
(i) char(K) = 0, N ' Q8 × E e G ' hQ8 , gi × E, com E 2 = 1, e g ∈ G\N é tal que
(g, x) = (g, y) = 1 e g 2 = x2 ; ou,
(ii) char(K) = p > 2, N ' Q8 × E × P em que P é um p-grupo nilpotente de expoente
limitado contendo um subgrupo p-abeliano normal A de índice finito, e existe g ∈
G\N tal que G ' hQ8 , gi × E × P , com (g, x) = (g, y) = (g, t) = 1, para todo t ∈ P
e g 2 = x2 .
Demonstração. Suponha que char(K) = 0. Pelo Teorema 3.11, temos que (KG)σ∗ é
comutativo; logo, aplicando o Teorema 2.8, temos que (1) ou (2) ocorre, já que char(K) 6=
2.
61
Como Q8 ⊂ G, podemos aplicar o Corolário 3.4 e verificar que Q8 ⊂ N ; logo, N
não pode ser abeliano. Assim, (2) ocorre e facilmente podemos verificar que o mesmo é
equivalente ao item (i) desse teorema.
Assuma então que char(K) = p > 2 e que (KG)σ∗ é Lie n-Engel para algum n.
Pelo Corolário 3.4 e Teorema 2 de [L00], temos que N ' Q8 × E × P , em que E é um
2-grupo abeliano elementar e P é um p-grupo nilpotente de expoente limitado contendo
um subgrupo p-abeliano elementar A de índice finito. Pelo Lema 4.1, sabemos que E é
central em G e assim, pelo Lema 4.21, temos que G ' hQ8 × P, gi ×Z E, sendo g um
elemento qualquer de G\N . Já que (KG)σ∗ é Lie n-Engel, existe m > 0 tal que pm ≥ n e
m
[γ, β, . . . , β ] = [γ, β p ] = 0, ∀ γ, β ∈ (KG)σ∗ .
| {z }
pm vezes
m
Pelo Lema 4.22, sabemos que qualquer elemento h ∈ G\N tal que h2p 6= 1
m
comuta com Q8 . Pelo mesmo lema, obtemos que existe g ∈ G\N tal que g 2p 6= 1, g 2 = x2
e (g, x) = (g, y) = 1. Assim, temos também que |g| = 4.
Seja t um elemento qualquer de P . Então [t + t−1 , g k − g −k ] = 0, sendo k = pm ,
assim [t + t−1 , g − g −1 ] = 0, já que |g| = 4. Pela parte (iii) do Lema 4.2, temos que
gt ∈ {tgt−1 g} ou |t| = 4. Como t é um p-elemento, a última possibilidade não ocorre. Se
gt = t−1 g, então (gt)2 = gtgt = gtt−1 g = g 2 6= 1. Já que [gt − (gt)−1 , g − g −1 ] = 0, pelo
Corolário 4.3 obtemos que gt = tg e, assim, t2 = 1, logo t = t−1 . Podemos concluir então
que (g, t) = 1; assim, (g, P ) = 1, logo hQ8 × P, gi = hQ8 , gi × P .
Afirmação: O produto central de hQ8 × P, gi ×Z E = hQ8 , gi × P ×Z E é um
produto direto.
De fato, tome l ∈ (hQ8 , gi × P ) ∩ E. Como E ⊂ N , temos que g aparece uma
quantidade par de vezes na expressão de l como um elemento do grupo hQ8 , gi × P e g
comuta com os elementos de Q8 e P . Podemos escrever l = ztg 2r para algum r ∈ Z, z ∈ Q8
e t ∈ P . Já que g 2 = x2 temos que l ∈ (Q × P ) ∩ E = {1}, e disso a afirmação segue.
Reciprocamente, seja g ∈ G\N tal que G = hQ8 , gi × E × P, (g, x) = (g, y) = 1
e g 2 = x2 . Como g é central em G, temos que [g − g −1 , γ] = 0, ∀γ ∈ (KG)σ∗ . Queremos
s
mostrar que existe s > 0 tal que [γ, β p ] = 0, ∀γ, β ∈ (KG)σ∗ . Primeiramente, note que
X
P
podemos escrever β = β1 + β2 , onde β1 =
βh h e β2 = h∈(G\N ) βh h.
h∈N
Assim, β1 ∈ (KN )σ∗ , e podemos escrever β1 como uma combinação linear de
−1 −1
−1
elementos da forma a1 c1 +a−1
1 c1 , com a1 ∈ Q8 ×E e c1 ∈ P . Observe que a1 c1 +a1 c1 =
−1
a1 + a−1
1 + a1 (c1 − 1) + a1 (c1 − 1). Como E comuta com hQ8 , gi e, pelo Lema 4.23, temos
que a1 + a−1
é central em K(hQ8 , gi × E), logo, central em KG. Temos também que
1
−1 −1
a1 (c1 − 1) + a1 (c1 − 1) ∈ ∆(G, P ). Assim, β1 = α1 + δ1 , em que α1 é central em KG e
δ1 ∈ ∆(G, P ).
Por outro lado, escreva β2 como combinação linear de elementos da forma ga2 c2 −
62
−1
−1 −1 −1
−1
g −1 a−1
+
2 c2 , com a2 ∈ Q8 × E e c2 ∈ P . Note que ga2 c2 − g a2 c2 = ga2 − (ga2 )
−1 −1 −1
−1
ga2 (c2 − 1) − g a2 (c2 − 1). De forma análoga a β1 , temos que ga2 − (ga2 ) é central
em K(hQ8 , gi × E). Assim β2 pode ser escrito na forma α2 + δ2 , onde α2 é central em KG
e δ2 ∈ ∆(G, P ).
Assim podemos concluir que β = α+δ, onde α ∈ Z(KG) e δ ∈ ∆(G, P ). Observe
que
hQ8 , gi × E × P
G
=
' hQ8 , gi × P/A.
E×A
E×A
Dessa forma, podemos concluir que E × A possui índice finito em G, já que |g| = 4
e |P |/|A| < ∞, e também é p-abeliano. Assim, pela Proposição 1.1.4 de [L10], temos
que KG satisfaz uma identidade polinomial, logo, pelo Lema 1.3.14 de [L10], temos que
∆(G, P ) é nil de expoente limitado, neste caso, pr .
r
r
r
r
r
Concluimos então que β p = (α + δ)p = αp + δ p = αp . Como α é central em
r
r
KG, temos que [γ, β p ] = [γ, αp ] = 0 ∀γ ∈ (KG)σ∗ , logo (KG)σ∗ é Lie pr -Engel.
−
Lema 4.25. [(KG)σ∗ , (KG)σ∗ ] ⊂ (KG)−
σ∗ e [(KG)σ∗ , (KG)σ∗ ] ⊂ (KG)σ∗ .
Demonstração. Primeiramente vamos mostrar que [(KG)σ∗ , (KG)σ∗ ] ⊂ (KG)−
σ∗ . Para
isto, basta tomar α, β ∈ (KG)σ∗ e mostrar que [α, β] ∈ (KG)−
σ∗ .
De fato, como α, β, ∈ (KG)σ∗ , temos que σ∗(α) = α e σ∗(β) = β, logo, aplicando
σ∗ em [α, β] temos que
σ∗([α, β]) =
=
=
=
=
=
σ∗(αβ − βα)
σ∗(αβ) − σ∗(βα)
σ∗(β)σ∗(α) − σ∗(α)σ∗(β)
βα − αβ
−(αβ − βα)
−[α, β],
e com isso temos que [α, β] ∈ (KG)−
σ∗ .
De forma análoga, podemos mostrar que [(KG)−
σ∗ , (KG)σ∗ ] ⊂ (KG)σ∗ .
Teorema 4.26. Sejam K um corpo de característica p 6= 2, G um grupo com uma orientação não trivial σ e x, y elementos de G tais que hx, yi ' Q8 . Então (KG)σ∗ é Lie
nilpotente se, e somente se, ou
(i) char(K) = 0, N ' Q8 × E e G ' hQ8 , gi × E, em que E 2 = 1, e g ∈ G\N é tal
que (g, x) = (g, y) = 1 e g 2 = x2 ; ou,
(ii) char(K) = p > 2, N ' Q8 × E × P em que E 2 = 1, P é um p-grupo finito e existe
g ∈ G\N tal que G ' hQ8 , gi × E × P, com (g, x) = (g, y) = 1 e g 2 = x2 .
63
Demonstração. Se char(K) = 0, a prova segue de forma semelhante à do teorema anterior.
Suponha que char(K) = p > 2 e que (KG)σ∗ é Lie nilpotente. Pelo Corolário
3.4, temos que Q8 ⊂ N e, como a involução σ∗ em KN coincide com a involução canônica
em KN , temos, pelo Teorema 2 de [L99], que N ' Q8 × E × P , com E 2 = 1 e P um
p-grupo finito. Como (KG)σ∗ é Lie nilpotente, temos também que (KG)σ∗ é Lie n-Engel
para algum n. Assim, podemos aplicar o Teorema 4.24 e encontrar que ∃g ∈ G\N tal que
G ' hQ8 , gi × E × P, (g, x) = (g, y) = 1 e g 2 = x2 .
Reciprocamente, suponha que P é um p-grupo finito, ou seja, |P | = pn . Vamos
mostrar, por indução em n, que, ∀γ1 , . . . , γpn +1 ∈ (KG)σ∗ , temos que [γ1 , . . . , γpn +1 ] = 0.
Se n = 0, então G ' hQ8 , gi × E, e assim, pelo Lema 4.23 e o argumento feito no
item anterior, encontrarmos que (KG)σ∗ é comutativo.
Suponha que a tese valha para k = n − 1; vamos mostrar que também vale para
k = n. Tome z ∈ Z(P ) tal que |z| = p. Como p é ímpar, temos que σ(z) = 1. Assim,
podemos considerar a orientação induzida σ definida em G/hz 2 i. Assim, pela hipótese
de indução, temos que (K(G/hz 2 i))σ∗ é comutativo, e assim [γ 1 , . . . , γ pn−1 +1 ] = 0, ∀γ i ∈
(K(G/hz 2 i))σ∗ . Assim [γ1 , . . . , γpn−1 +1 ] ∈ ∆(G, hz 2 i) = (z 2 − 1)KG = (z − z −1 )KG. Logo,
[γ1 , . . . , γpn−1 +1 ] = (z − z −1 )w, para algum w ∈ KG.
Como pn−1 + 1 é par, pelo Lema 4.25, podemos afirmar que (z − z −1 )w =
−1
−1
−1
é
[γ1 , . . . , γpn−1 +1 ] ∈ (KG)−
σ∗ , logo σ∗((z − z )w) = −(z − z )w. Como z − z
central e antissimétrico, pois z ∈
/ N e z 2 6= 1, temos também que σ∗((z − z −1 )w) =
σ∗(w)σ∗(z − z −1 ) = −(z − z −1 )σ∗(w). Assim, (z − z −1 )w = (z − z −1 )σ∗(w), logo
(z − z −1 )w
w
(z − z −1 )
2
−1
−1 w
(z − z )w − (z − z )
2
−1
(z − z )w
= (z − z −1 )σ∗(w)
σ∗(w)
= (z − z −1 )
2
−1 σ∗(w)
= (z − z )
2
σ∗(w)
−1 w
= (z − z ) + (z − z −1 )
2
2
−1
−1 w + σ∗(w)
(z − z )w = (z − z )
2
(z − z −1 )w = (z − z −1 )β1 ,
w + σ∗(w)
onde β1 =
∈ (KG)σ∗ .
2
Então [γ1 , . . . , γ2pn−1 +1 ] = (z − z −1 )[β1 , γpn−1 +2 , . . . , γ2pn−1 +1 ]. Como o colchete
[β1 , γpn−1 +2 , . . . , γ2pn−1 +1 ] possui pn−1 + 1 elementos, então, com um argumento análogo
ao anterior, temos que [β1 , γpn−1 +2 , . . . , γ2pn−1 +1 ] = (z − z −1 )β2 , para algum β2 ∈ (KG)σ∗ .
Repetindo esse argumento, encontramos que [γ1 , . . . , γpn +1 ] = (z − z −1 )p βp , para
algum βp ∈ (KG)σ∗ . Mas (z − z −1 )p = z p − z −p = 1 − 1 = 0, assim encontramos que
(KG)σ∗ é Lie nilpotente.
Podemos agora construir um exemplo de anel de grupo que possua as propriedades
64
de Lie gerais e não seja comutativo. Para isto basta tomar um anel que satisfaça o item
(ii) dos Teoremas 4.24 ou 4.26 com P não trivial, e assim o Teorema 2.8 garantirá a
veracidade do nosso exemplo.
Vimos também, no Teorema 3.11, que, se char(K) = 0, não existem tais exemplos, pois, neste caso, as propriedades de Lie são equivalentes entre si.
Como podemos observar na literatura, a caracterização de grupos tais que (KG)σ∗
é Lie n-Engel (nilpotente) se torna mais complicada quando Q8 6⊂ G. Não conseguindo
ainda uma caracterização completa desse caso, os autores em [CP12] adicionaram a hipótese de KG ser semiprimo para resolver esse problema.
Proposição 4.27. Sejam K um corpo tal que char(K) 6= 2 e G um grupo tal que KG é
semiprimo e Q8 6⊂ G. Então (KG)σ∗ é Lie n-Engel para algum n se, e somente se, uma
das seguintes condições acontece:
(i) G é abeliano;
(ii) N = Ker(σ) é abeliano e (G\N )2 = 1.
Além disso, (KG)σ∗ é comutativo.
Demonstração. Se (i) ocorre, trivialmente temos que KG é Lie n-Engel, e, caso (ii) ocorra,
o Teorema 2.8 garante o resultado.
Reciprocamente, suponha que (KG)σ∗ é Lie n-Engel. Já que Q8 6⊂ G e K é um
corpo tal que char(K) 6= 2 temos, pelo Lema 2.4 de [GPS09], que (KG)σ∗ é comutativo
e, pelo Teorema 2.8, temos que o resultado segue.
Assim, embora ainda não se encontre na literatura a caracterização dos grupos
tais que o conjunto (RG)σϕ seja Lie n-Engel ou Lie nilpotente, ao menos para este caso
particular de involução, um dos mais importantes, já temos alguns resultados nesse sentido.
Conclusão
Com os resultados encontrados nos teoremas dos 3 últimos capítulos podemos,
utilizando involuções orientadas, extrair informações importantes sobre a estrutura do
grupo G tal que os elementos simétricos do anel de grupo RG sob essas involuções orientadas satisfazem alguma das propriedades de Lie.
Nesse sentido, no Capítulo 2, caracterizamos o grupo tal que os elementos simétricos em relação a uma involução orientada satisfaçam comutatividade. No Capítulo
4, caracterizamos o grupo tal que os elementos simétricos em relação a uma involução
orientada particular satisfaça alguma das propriedades de Lie.
Para concluir o trabalho feito nessa direção, podemos generalizar a involução
que particularizamos no Capítulo 4, ou equivalentemente, generalizar a comutatividade
do Capítulo 2 para uma das propriedades de Lie mais gerais. Sendo assim, conseguimos
resolver uma parte desse trabalho no Capítulo 3, onde utilizamos uma involução orientada
qualquer e a propriedade de Lie n-Engel (nilpotência), caracterizando o grupo que possua
alguma das propriedades supra citadas.
Dessa forma, um possível caminho a se seguir nesse estudo seria exibir a estrutura do grupo nas condições do Capítulo 3, alterando a condição de char(K) = 0 para
char(K) = p, ou, melhor ainda, para um anel R comutativo.
Observando também mais a fundo alguns dos resultados encontrados nessa dissertação, somos forçados a fazer a seguinte pergunta: seria possível encontrar um grupo
G não abeliano, que não possua elementos de ordem 2 e uma orientação não trivial σ tal
que (KG)σ∗ satisfaça alguma propriedade de Lie?
Por que somos forçados a fazer essa pergunta? Note que o Corolário 3.13 já nos
mostra que se char(K) = 0 tal grupo não existe. O Teorema 2.8 nos afirma que se tal
grupo existir, e os elementos simétricos forem Lie n-Engel (nilpotente), este subconjunto
não pode chegar a ser comutativo, pois caso contrário deverá possuir algum elemento
de ordem 2. Temos também que se KG for semiprimo a conjectura se fortalece com
a Proposição 4.27. Além disso o Lema 4.6 também reforça a mesma para um grupo
G = ha, bi tal que b−1 ab = a−1 .
65
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