Método dos Elementos Finitos 2014/15 (www2.dec.fct.unl.pt/seccoes/S_Estruturas/Elementos_finitos) Corneliu Cismaşiu Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade Nova de Lisboa [email protected] MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 1 / 183 Método dos Elementos Finitos 2014/15 Programa Apresentação Introdução: Mecânica computacional; Métodos de discretização; MEF; Problemas físicos/Modelos Matemáticos Introdução ao MEF: Modelos matemáticos discretos; Modelos matemáticos contínuos: Formulação diferencial, Formulação em resíduos ponderados, Diferenças finitas Método dos Elementos Finitos: Sistema governativo; Método dos deslocamentos; Tipos de elementos finitos: elemento de barra, elemento plano; Uso de programas de elementos finitos (GiD + Calsef); Erros na análise; Convergência da solução Aplicações: Barras, estado plano de tensão, lajes MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 2 / 183 Método dos Elementos Finitos 2014/15 Bibliografia [1] K. J. Bathe. Finite element procedures. Prentice-Hall, 1996. (COTA: TA347.BAT) [2] O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor and J. Z. Zhu. The finite element method. Volume 1: Its Basis and Fundamentals. Butterworth-Heinemann, 2005. (COTA: TA640.2.ZIE) [3] J. N. Reddy. An Introduction to the Finite Element Method. McGraw Hill, 1993. (COTA: TA347.RED) [4] A. F. M. Azevedo. Método dos elementos finitos. FEUP, 2003. (http://www.alvaroazevedo.com/publications/books/Livro_MEF_AA_1ed) MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 3 / 183 Método dos Elementos Finitos 2014/15 Avaliação de Conhecimentos - contínua sem exame ou trabalho final Haverão ao longo do período lectivo trabalhos de grupo (2 elementos) aos quais será atribuída classificação. Ao fim do semestre, os alunos serão convocados para realizar uma prova oral em que terão de defender estes trabalhos, ao fim de obter a sua classificação final. É ainda exigido que o número de faltas não justificadas às aulas não exceda um terço do número total de aulas leccionadas à respectiva turma. O não cumprimento desta condição implica a reprovação na disciplina. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 4 / 183 Método dos Elementos Finitos 2014/15 Estrutura dos trabalhos Deve seguir a estrutura de uma artigo científico: Título; Autor(es); Resumo; Palavras-chave; Conteúdo (introdução, desenvolvimento e conclusão); Referências bibliográficas. Assim NÃO! MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 5 / 183 Método dos Elementos Finitos 2014/15 Programa de cálculo automático CompassFEM-8.0.2R1 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 6 / 183 Introdução – Áreas da Mecânica Mecânica teórica - Estuda as Leis Fundamentais e os Princípios da Mecânica Mecânica aplicada - Transfere o conhecimento teórico à construção de modelos matemáticos de fenómenos físicos da área de ciência e da engenharia Mecânica computacional - Resolve problemas específicos através da simulação utilizando métodos numéricos implementados em computadores digitais MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 7 / 183 Introdução – Áreas da Mecânica Mecânica computacional - procura soluções a dados problemas Mecânica aplicada - procura os problemas que admitem dadas soluções Mecânica teórica - prova a existência de problemas e soluções MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 8 / 183 Áreas da Mecânica – Mecânica computacional Nano-mecânica e Micro-mecânica - Fenómenos a escala molecular e atómica - concepção de novos materiais e de micro-dispositivos Mecânica dos meios contínuos - Estudo de corpos a escala macroscópica utilizando modelos contínuos em que a micro-estrutura está homogeneizada Mecânica dos sólidos e das estruturas Mecânica dos fluidos Mecânica dos sistemas multi-fásicos Sistemas funcionais - Estudo de mecanismos estruturais, mecânicos, bio-mecânicos, etc. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 9 / 183 Mecânica computacional – Métodos de discretização Converter um modelo matemático contínuo num modelo discreto com um número limitado de graus de liberdade. Método dos Elementos Finitos (Finite Element Method) Método dos Elementos de Fronteira (Boundary Element Method) Método das Diferenças Finitas (Finite Difference Method) Método dos Volumes Finitos (Finite Volume Method) Método Espectral (Spectral Method) Método sem Malha (Mesh-Free Method) MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 10 / 183 Métodos de discretização – Método dos Elementos Finitos Formulação do MEF Deslocamentos Esforços Mista - u e σ no domínio, σ ou u na fronteira Híbrida - u ou σ no domínio, σ ou u na fronteira Solução do MEF Rigidez Flexibilidade Mista MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 11 / 183 Métodos de discretização – Método dos Elementos Finitos Obter a solução de um problema de engenharia utilizando o MEF significa essencialmente construir e resolver um sistema governativo de equações algébricas. Desenvolvimento dos computadores digitais ⇓ MEF eficiente e confiável ⇓ Grande desenvolvimento do MEF para aplicações práticas de engenharia MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 12 / 183 Método dos Elementos Finitos – História Origem do MEF - três grupos de investigação nas áreas de: Matemática Aplicada - R. Courant (1952, 1953) Física - J. L. Synge (1957) Engenharia - J. H. Argyris e S. Kelsey (1954, 1955) Contribuições muito significativas na área de engenharia - J. H. Argyris, S. Kelsey, M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp, O. C. Zienkiewicz, Y. K. Cheung. Clough, R. W. “The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”, Proceedings, Second ASCE Conference on Electronic Computation, Pittsburg, PA, pp. 345-378, Sept. 1960. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 13 / 183 Análise por Elementos Finitos Alteração do problema físico Problema físico Aperfeiçoamento da concepção Optimização estrutural Modelo matemático Governado por equações diferenciais Premissas sobre: geometria cinemática lei do material carregamento condições de fronteira etc. Solução em Elementos Finitos Escolha: tipo de elementos finitos densidade da malha parâmetros da solução Representação: carregamento condiçães de fronteira Avaliação da precisao da solução em elementos finitos do modelo matemático Refinamento da malha, parâmetros da solução, etc. Aperfeiçoamento do modelo matemático Interpretaçao dos resultados Refinamento da análise Solução em Elementos Finitos do Modelo Matemático A análise por elementos finitos resolve o modelo matemático. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 14 / 183 Modelos matemáticos Propriedades do modelo matemático: Eficácia - permite a obtenção da solução com a precisão desejada a um custo mínimo Confiabilidade - produz uma solução que se sabe ser contida dentro de uma margem de erro escolhida a priori MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 15 / 183 Problemas físicos/Modelos matemáticos Problema físico 2 cm 8 cm 2 cm 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 pinos Φ 2 cm 10 cm E = 2 × 107 N/cm2 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 4 cm 2 cm 6 cm 4 cm 1000 N 28 cm ν = 0.3 t = 0.4 cm 16 / 183 Problemas físicos/Modelos matemáticos Modelo matemático - Teoria de viga F F = 1000 N 5 L = 28 cm A∗ = A 6 h = 6 cm t = 0.4 cm h L Mmáx = F × L = 28000 Ncm δmáx = MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) FL FL3 + ≃ 0.053 cm 3EI GA∗ 17 / 183 Problemas físicos/Modelos matemáticos Modelo matemático - Estado plano de tensão Mmáx = 29448 Ncm MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) δmáx = 0.070 cm 18 / 183 Problemas físicos/Modelos matemáticos Mestado plano tensão − Mviga × 100 ≃ 5% M estado plano tensão δestado plano tensão − δviga × 100 ≃ 24% δestado plano tensão O modelo matemático viga é confiável para uma predição do momento flector máximo com um erro não superior a 5% e do deslocamento máximo com uma precisão de apenas 25% quando comparados com a solução obtida numa análise elástica linear em estado plano de tensão. Também é eficiente, tendo em conta o esforço computacional necessário. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 19 / 183 Problemas físicos/Modelos matemáticos Modelo matemático - Estado plano de tensão Deformada e o campo das tensões tangencias MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 20 / 183 Análise por Elementos Finitos - A escolha do modelo matemático deve ser em concordância com a solução que será prevista. - O modelo matemático mais eficiente é o que fornece uma resposta confiável com o mínimo esforço computacional. - Uma solução em elementos finitos pode resolver com a precisão desejada apenas o modelo matemático escolhido, podendo prever apenas os fenómeno contidos no modelo. - A confiabilidade do modelo matemático tem a ver com a avaliação da precisão da solução quando comparada com a solução obtida com um modelo matemático muito mais complexo. Na prática → refinamento (p ou/e h) e experiência em engenharia MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 21 / 183 Desastres de Engenharia provocados por erros computacionais Atenção! Os erros computacionais em situações da vida real podem sair muito caro. . . “On February 25, 1991, during the Gulf War, an American Patriot Missile battery in Dharan, Saudi Arabia, failed to track and intercept an incoming Iraqi Scud missile. The Scud struck an American Army barracks, killing 28 soldiers and injuring around 100 other people.The Patriot Missile failure, is ultimately attributable to poor handling of rounding errors.” Excerpted from the report of the General Accounting office GAO/IMTEC-92-26 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 22 / 183 Desastres de Engenharia provocados por erros computacionais “The explosion of the Ariane 5 rocket just after lift-off on its maiden voyage off French Guiana, on June 4, 1996, was ultimately the consequence of simple overflow.” Excerpted from the report of the Inquiry Board ARIANE 5. Flight 501 Failure MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 23 / 183 Desastres de Engenharia provocados por erros computacionais “The sinking of the Sleipner A offshore platform in Grandsfjorden near Stavanger, Norway, on August 23, 1991, resulted in a loss of about 700 million dollars. The post accident investigation traced the error to inacurrate finite element approximation using the popular finite element program NASTRAN.” Excerpted from SINTEF, Civil and Environmental Engineering MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 24 / 183 Introdução ao MEF Análise de um problema de engenharia: Idealização do problema Formulação do modelo matemático Modelos discretos com massa concentrada Modelos contínuos Resolução do modelo matemático Interpretação dos resultados MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 25 / 183 Introdução ao MEF – Modelos matemáticos discretos O problema pode ser descrito com a precisão desejada por intermédio de um número finito (pequeno) de variáveis. Idealização do problema Equilíbrio dos elementos Assemblagem dos elementos Cálculo da resposta Tipo de problemas: estacionários, de propagação, valores e vectores próprios. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 26 / 183 Modelos matemáticos discretos – Problemas estacionários Sistema de molas elásticas - solicitação estática R1 R3 k4 k3 k1 R2 k5 k2 u1 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) u2 u3 27 / 183 Modelos matemáticos discretos – Problemas estacionários Equações de equilíbrio dos elementos k1 (2) (1) k2 F1 F1 u1 u1 k1 0 0 0 0 0 0 u1 F1(1) 0 u2 = 0 u3 0 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) k2 −k2 0 −k2 k2 0 (2) F2 u2 (2) 0 u1 F1 0 u2 = F (2) 20 u3 0 28 / 183 Modelos matemáticos discretos – Problemas estacionários Equações de equilíbrio dos elementos (3) k3 F1 u1 k3 −k3 0 −k3 k3 0 (3) k4 F1 u1 u2 (3) 0 u1 F1 0 u2 = F (3) 20 u3 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) (4) F2 k4 0 −k4 0 0 0 (4) F3 u3 (4) −k4 u1 F1 0 0 u2 = F (4) u3 k4 3 29 / 183 Modelos matemáticos discretos – Problemas estacionários Equações de equilíbrio dos elementos (5) F2 k5 u2 0 0 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 0 k5 −k5 (5) F3 u3 0 0 u1 (5) −k5 u2 = F2 F (5) u3 k5 3 30 / 183 Modelos matemáticos discretos – Problemas estacionários Assemblagem dos elementos (1) (2) (3) (4) F1 + F1 + F1 + F1 = R 1 (2) (3) (5) F2 + F2 + F2 = R 2 (4) (5) F3 + F3 = R 3 k1 + k2 + k3 + k4 −(k2 + k3 ) −k4 u1 R1 R2 u2 −(k2 + k4 ) k2 + k3 + k5 −k5 = R3 u3 −k4 −k5 k4 + k5 Ku=R MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 31 / 183 Modelos matemáticos discretos – Problemas de propagação Sistema de molas elásticas - solicitação dinâmica R 1(t) R 2(t) k3 k1 R 3(t) k4 k5 k2 m1 m2 u1 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) m3 u2 u3 32 / 183 Modelos matemáticos discretos – Problemas de propagação Assemblagem dos elementos Condições iniciais: (1) (2) (3) (4) F1 + F1 + F1 + F1 = R1 (t) − m1 ü1 (2) (3) (5) F2 + F2 + F2 = R2 (t) − m2 ü2 (4) (5) F3 + F3 = R3 (t) − m3 ü3 m1 0 0 m2 0 M ü + K u = R(t) onde M = 0 0 0 m3 u(t = 0) = u 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) u̇(t = 0) = u̇ 0 33 / 183 Modelos matemáticos discretos – Problemas de valores e vectores próprios Sistema de molas elásticas - vibrações livres k4 k3 k1 k5 k2 m1 m2 u1 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) m3 u2 u3 34 / 183 Modelos matemáticos discretos – Problemas de valores e vectores próprios u = Φ sin(ωt − ψ) M ü + K u = 0 −ω 2 MΦ sin(ωt − ψ) + K Φ sin(ωt − ψ) = 0 K Φ = ω2M Φ MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 35 / 183 Modelos matemáticos discretos Exemplos de análises utilizando o “método dos elementos aplicados” (Applied Element Method) MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 36 / 183 Natureza das soluções Sistema discreto e condições de carregamento 2F F k r = kL 2 m k r = kL m/2 2 1 barra rígida A 2 B L P barra rígida C k L F F = sin P πt Td t t Td MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 37 / 183 Natureza das soluções 2F mu1 2 2 kL α cos α ≃ cos β ≃ 1 X X kL β P 2 β u1 α sin α ≃ α ≃ MA = Pu2 + ku2 2L + F kL β dt. MB = P(u2 − u1 ) + ku2 L + MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) mu2 2 u1 L sin β ≃ β ≃ ku 2 u2 u2 − u1 L u2 − u1 mü2 L − FL + kL2 =0 2 L u1 mü2 2L − F 2L − 2FL + mü1 L + kL2 =0 2 L 38 / 183 Natureza das soluções m 0 2P 5k + 0 ü1 L + m P ü2 − 2k + 2 L P − 2k + u1 2F L = 2P u2 F 2k + L M ü + K u = F Frequência próprias do sistema (K − ω 2 M)u = 0 ω1,2 ⇒ v s r u P P P2 ku 33 t9 +2 ∓ +8 +2 2 2 = m 2 kL 4 kL k L MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) T1,2 = 2π ω1,2 39 / 183 Natureza das soluções Frequências próprias do sistema 7 ω1 1/2 6 (k/m) 5 ω2 1/2 (k/m) 4 3 2 1 P/(kL) 0 −2 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 2 4 6 8 10 40 / 183 Natureza das soluções Análise estática vs. Análise dinâmica 1.4 u 2, análise estática 1.2 1.0 u 2, análise dinâmica m=1 k=1 L=1 P=1 0.8 0.6 u 1, análise dinâmica 0.4 u1, análise estática 0.2 0.0 −0.2 0.0 Td = 4 T1 0.2 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 0.4 t/Td 0.6 0.8 1.0 41 / 183 Natureza das soluções Análise estática vs. Análise dinâmica 2.0 1.8 1.6 m=1 k=1 L=1 P=1 u 2, análise dinâmica 1.4 1.2 u 2, análise estática 1.0 u 1, análise dinâmica 0.8 0.6 0.4 u1, análise estática 0.2 0.0 0.0 Td = (T1 + T2 )/2 0.2 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 0.4 0.6 t/Td 0.8 1.0 42 / 183 Natureza das soluções Análise estática vs. Análise dinâmica 1.2 m=1 k=1 L=1 P=1 1.0 u 2, análise estática 0.8 0.6 0.4 u1, análise estática u 2, análise dinâmica u 1, análise dinâmica 0.2 Td = T2/4 0.0 0.0 0.2 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) t/Td 0.4 0.6 0.8 1.0 43 / 183 Natureza das soluções Analisando as frequências próprias do sistema, ω1,2 = r v s u ku 33 P P P2 t9 +2 ∓ +8 +2 2 2 m 2 kL 4 kL k L observa-se que ω1 = 0 ⇒ Pcr = −2kL o sistema torna-se instável É importante: Verificar se o sistema pode tornar-se instável Decidir se a análise deverá ser estática ou dinâmica, linear ou não-linear MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 44 / 183 Introdução ao MEF Modelos matemáticos contínuos O problema pode ser descrito por intermédio de um conjunto de equações diferenciais que são válidas no domínio dos elementos. Juntam-se as condições de fronteira e as condições iniciais (para análise dinâmica). Formulação diferencial Formulação variacional Formulações em resíduos ponderados Diferenças finitas MEF MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 45 / 183 Modelos matemáticos contínuos Formulação diferencial Procura-se a solução analítica de uma equação diferencial de tipo: A(x, y ) ∂2u ∂u ∂u ∂2u ∂2u + 2B(x, y ) + C (x, y ) = φ x, y , u, , ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y sujeita a determinadas condições <0 2 =0 B − AC >0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) de fronteira e condições iniciais. ... ... ... eq. diferencial elíptica (Eq. Laplace) eq. diferencial parabólica (Eq. do calor) eq. diferencial hiperbólica (Eq. das ondas) 46 / 183 Modelos matemáticos contínuos Formulação diferencial 2 2 A = 1 cm 2 A = (1+y/40) cm 2 R = 100 N u, x A B C y 100 cm d dx du EA dx MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) =0 80 cm u|x=0 = 0 du =R EA dx x=L 47 / 183 Modelos matemáticos contínuos Formulação diferencial 2 2 A = 1 cm 2 A = (1+y/40) cm 2 R = 100 N u, x A B y 80 cm 100 cm Para 0 ≤ x ≤ 100 : E d2 u =0 dx 2 u(0) = ⇒ u(x) = C0 =0 E ⇒ u(x) = MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) C C0 + C1 x E C0 = 0 C1 x E 48 / 183 Modelos matemáticos contínuos Formulação diferencial 2 2 A = 1 cm 2 A = (1+y/40) cm 2 R = 100 N A u, x B C y 80 cm 100 cm Para 100 ≤ x ≤ 180 : d E dx " x − 100 1+ 40 2 du dx x − 100 2 du E 1+ 40 dx MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) # =0 = x=180 ⇒ u(x) = − C2 = 100 1600 ⇒ C2 C3 + E (x − 60) E C2 = 160000 49 / 183 Modelos matemáticos contínuos Formulação diferencial 2 2 A = 1 cm 2 A = (1+y/40) cm 2 R = 100 N u, x A B 100 cm C y 80 cm O deslocamento e a extensão devem ser contínuos no x = 100 : u|x=100 du dx x=100 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 4000 C3 100C1 =− + E E E ⇒ ⇒ 100 C1 = E E ⇒ C1 = 100 C3 = 14000 50 / 183 Modelos matemáticos contínuos Formulação diferencial 100x E u(x) = 14000 160000 − E E (x − 60) 100 du 160000 = σ(x) = E dx (x − 60)2 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) ... 0 ≤ x ≤ 100 ... 100 ≤ x ≤ 180 ... 0 ≤ x ≤ 100 ... 100 ≤ x ≤ 180 51 / 183 Formulação diferencial 2 2 A = 1 cm 2 A = (1+y/40) cm 2 R = 100 N u, x A B C y 100 cm 120 100 80 cm 1.0 u(x) Factor de escala: 100 E E 0.8 du(x) dx Factor de escala: 100 80 0.6 60 0.4 40 0.2 20 x x 25 50 75 100 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 125 150 175 25 50 75 100 125 150 175 52 / 183 Modelos matemáticos contínuos Formulação em resíduos ponderados 2 2 A = 1 cm 2 A = (1+y/40) cm 2 R = 100 N u, x A B C y 100 cm d dx EA du dx =0 80 cm u|x=0 = 0 u= n X ai fi EA du =R dx x=L i =1 fi - funções de forma linearmente independentes ai - pesos a ser determinados MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 53 / 183 Modelos matemáticos contínuos Formulação em resíduos ponderados Define-se o resíduo d Ξ= dx Solução exacta ⇒ " d EA dx n X i =1 ai fi !# Ξ=0 Resíduos ponderados - determinar ai de tal modo que Ξ → 0 Método Galerkin Z fi Ξ dD = 0; i = 1, 2, . . . , n D Método dos mínimos quadrados Z ∂ Ξ2 dD = 0; ∂ai D i = 1, 2, . . . , n Método da colocação MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 54 / 183 Modelos matemáticos contínuos Formulação em resíduos ponderados Seja u(x) = a1 x + a2 x 2 ⇒ f1 = x e f2 = x 2 Utilizando o método do Galerkin, Z L 0 fi d dx EA du dx dx = 0 Integrando por partes (Teorema da Divergência), F (x) = u(x) · v (x) Z b a (u ′ v + uv ′ ) dx = [uv ]ba − MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) Z L 0 EA ⇒ du dx dF = (u ′ v + uv ′ ) dx Z b Z b u ′ v dx = − uv ′ dx + [uv ]ba a a dfi du L =0 dx + EA fi dx dx 0 55 / 183 Modelos matemáticos contínuos Formulação em resíduos ponderados Z L 0 EA du dx dfi dx = Rfi |x=L dx i = 1, 2 Z 100 Z 180 100 × 180 x −100 2 (a +2a x) dx + (a1 +2a2 x) dx = 1+ 1 2 0 40 E 100 0 1340 3 115600 180 x −100 2 100 × 1802 (a1 +2a2 x)2x dx = 40 E 100 128.596 18000 115600 a1 = E E a1 ⇒ = −0.341171 102227200 a2 3240000 a2 = 3 E E Z 100 Z (a1 +2a2 x)2x dx + MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 1+ 56 / 183 Formulação em resíduos ponderados 2 2 A = 1 cm 2 A = (1+y/40) cm 2 R = 100 N u, x A B C y 100 cm 120 100 u(x) 80 cm solução analítica 1.2 Factor de escala: 100 E 1.0 Galerkin 80 E du(x) dx Factor de escala: 100 0.8 60 0.6 40 0.4 solução analítica Galerkin 20 0.2 x 25 50 75 100 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 125 150 175 x 25 50 75 100 125 150 175 57 / 183 Modelos matemáticos contínuos Diferenças finitas dw dx i d2 w dx 2 i d3 w dx 3 i d4 w dx 4 i wi +1 − wi −1 2h −1 wi +1 − 2wi + wi −1 h2 1 wi +2 − 2wi +1 + 2wi −1 − wi −2 2h3 wi +2 − 4wi +1 + 6wi − 4wi −1 + wi −2 h4 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) −1 2 1 −4 1 −2 6 1 −2 1 −4 1 58 / 183 Modelos matemáticos contínuos Diferenças finitas Operador de Laplace ou Laplaciano ∇2 w = ∇2 w i ,i ∂2w ∂2w + ∂x 2 ∂y 2 −4wi ,j + wi +1,j + wi ,j+1 + wi −1,j + wi ,j−1 h2 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 1 1 −4 1 1 59 / 183 Modelos matemáticos contínuos Diferenças finitas Operador biharmónico ∇4 w = ∇2 (∇2 )w = ∂4w ∂4w ∂4w + +2 2 2 4 4 ∂x ∂y ∂x ∂y 1 ∇4 w i ,i [20wi ,j − 8(wi +1,j + wi −1,j + wi ,j+1 + wi ,j−1 ) 1 2 −8 2 −8 20 −8 2 −8 2 1 +2(wi +1,j+1 + wi −1,j+1 + wi −1,j−1 + wi +1,j−1 ) +wi +2,j + wi −2,j + wi ,j+2 + wi ,j−2 ]/h4 1 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 60 / 183 Modelos matemáticos contínuos Diferenças finitas 2 2 A = 1 cm 2 A = (1+y/40) cm 2 R = 100 N u, x A B 100 cm h 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) i−1 C y 80 cm h i i+1 n−1 n n+1 61 / 183 Modelos matemáticos contínuos Diferenças finitas d dx du EA =0 dx ⇒ u(0) = 0 E Ai +1 − Ai −1 2h u0 = 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) ui +1 − ui −1 2h EAn dA du d2 u +A 2 dx dx dx du =R EA dx x=L E + Ai =0 ui +1 − 2ui + ui −1 h2 =0 un+1 − un−1 =R 2h 62 / 183 Modelos matemáticos contínuos Diferenças finitas h = 20 cm ⇒ n=9 ⇒ ( A0 . . . A5 = 1 A6 . . . A10 = 1 + (i −5)∗h 40 2 Para i = 1 . . . 9 (Ai +1 + 4Ai − Ai −1 )ui +1 − 8Ai ui + (−Ai +1 + 4Ai + Ai −1 )ui −1 = 0 Condições de fronteira u0 = 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) u10 − u8 = 2Rh EA9 63 / 183 Modelos matemáticos contínuos Diferenças finitas −8 4 F9 = − 4 −8 4 4 −8 4 56000 3E MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 4 −8 2.75 4 −8 6 5.25 −18 12 12 −32 20 20 −50 72 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 30 u8 u9 −72 0 0 0 0 0 = 0 0 0 F9 64 / 183 Modelos matemáticos contínuos Diferenças finitas u= 24.7475 49.4949 74.2424 98.9899 123.737 136.7 143.182 147.071 149.663 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 100 E du = dx 1.23737 1.23737 1.23737 1.23737 0.942761 0.486111 0.259259 0.162037 0.111111 100 E 65 / 183 Diferenças finitas 2 2 A = 1 cm 2 A = (1+y/40) cm 2 R = 100 N u, x A B C y 100 cm 80 cm 1.2 140 u(x) 120 Factor de escala: E 100 E 1.0 100 80 du(x) dx Factor de escala: 100 0.8 solução analítica diferenças finitas 0.6 60 0.4 solução analítica 40 diferenças finitas 0.2 20 x 25 50 75 100 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 125 150 175 25 50 75 100 125 150 175 66 / 183 Modelos matemáticos contínuos Diferenças finitas /* Exemplo de programação em Maxima (1/3) */ R:100; /* Força aplicada */ E: 1; /* Módulo de elasticidade */ h:20; /* Dimensão da malha */ Np:round(180/h); /* Número de pontos */ /* Inicialização da área da secção nos pontos da malha */ for i:0 thru Np+1 step 1 do if i*h <= 100 then a[i]:1 else a[i]:(1+(i*h-100)/40)^2; /* Inicialização da matriz */ for i:1 thru Np step 1 do for j:1 thru Np step 1 do mat[i,j]:=0; for i:1 thru Np step 1 do mat[i,i]:-8*a[i]; for i:1 thru Np-1 step 1 do mat[i,i+1]:a[i+1]+4*a[i]-a[i-1]; for i:2 thru Np-1 step 1 do mat[i,i-1]:-a[i+1]+4*a[i]+a[i-1]; mat[Np, Np-1]:8*a[Np]; MAT: genmatrix(mat,Np,Np); MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 67 / 183 Modelos matemáticos contínuos Diferenças finitas /* Exemplo de programação em Maxima (2/3) */ /* Inicialização do rhs */ for i:1 thru Np-1 step 1 do rhs[i]:0; rhs[Np]:-2*R*h/E/a[Np]*(a[Np+1]+4*a[Np]-a[Np-1]); RHS: makelist(rhs[i],i,1,Np); /* Solução em deslocamentos */ load ("lapack"); /* Solução alternativa sem LAPACK */ U:dgesv(MAT,RHS); /* U:first(linsolve_by_lu(MAT,RHS,’floatfield) */ sol[Np+1,1]: 2*100*h/E/a[Np]+U[Np-1][1]; sol[0,1]: 0; for i:1 thru Np step 1 do sol[i,1] : U[i][1]; /* Solução em extensão */ for i:1 thru Np step 1 do sol[i,2] : (sol[i+1,1]-sol[i-1,1])/2/h; /* Solução em deslocamentos e extensão */ SOL: genmatrix(sol,Np,2); MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 68 / 183 Modelos matemáticos contínuos Diferenças finitas /* Exemplo de programação em Maxima (3/3) */ /* Plotar deslocamentos */ xvals: makelist(i, i, 0, Np); uvals: makelist(sol[i,1], i, 0, Np); plot2d([discrete, xvals, uvals], [style, points]); /* Plotar extensão */ x1vals: makelist(i, i, 1, Np); duvals: makelist(sol[i,2], i, 1, Np); plot2d([discrete, x1vals, duvals], [style, points]); MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 69 / 183 Método dos elementos finitos F fΓ uk+1 Γσ 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 Γu uk uk+2 fb j elemento finito m ponto nodal j Conhecendo a geometria do corpo, as cargas aplicadas, as condições de apoio e a lei do material, Detemine os deslocamentos e as respectivas extensões e tensões. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 70 / 183 Método dos elementos finitos Z MEF formulação em deslocamentos – obtida pelo PTV Z Z X ū T f Γ dΓσ + ū T f b dV + ε̄T σ dV = u¯i T F i V V Γσ i Tensões em equilíbrio com as cargas aplicadas Deformações virtuais correspondentes aos deslocamentos virtuais ū As tensões σ que equilibram as cargas aplicadas assumam-se conhecidas As deformações virtuais ε̄ são obtidas derivando o vector dos deslocamentos virtuais ū Os deslocamentos virtuais ū devem representar um campo continuo, diferenciável. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 71 / 183 Método dos elementos finitos Quando a equação do PTV está satisfeita para qualquer deslocamento virtual ū, com as tensões σ obtidas a partir de um campo de deslocamentos continuo u que satisfaz as condições de fronteira cinemáticas, ficam automaticamente satisfeitas as equações: Equilíbrio - a equação do PTV é uma equação de equilíbrio Compatibilidade - o campo de deslocamentos u é continuo e satisfaz as condições de fronteira Constitutivas - as tensões σ foram calculadas utilizando as relações constitutivas a partir das deformações ε que foram obtidas a partir dos deslocamentos u MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 72 / 183 Método dos elementos finitos Sistema governativo F fΓ Deslocamentos uk+1 Γσ 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 Γu uk uk+2 u (m) (x, y , z) = H (m) (x, y , z) U fb U T = {u1 (m) H - matriz deslocamentos j u2 de ... un } interpolação dos elemento finito m ponto nodal j Deformações ε(m) (x, y , z) = E (m) (x, y , z) U E (m) - matriz de ligação entre as deformações e os deslocamentos MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 73 / 183 Método dos elementos finitos Sistema governativo E (m) = DH (m) Para o caso 3D, em coordenadas Cartesianas: ∂/∂x 0 0 D= ∂/∂y 0 ∂/∂z MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 0 ∂/∂y 0 ∂/∂x ∂/∂z 0 0 0 ∂/∂z 0 ∂/∂y ∂/∂x 74 / 183 Método dos elementos finitos Sistema governativo Tensões σ (m) (x, y , z) = k (m) ε(m) (x, y , z) k (m) - matriz de elasticidade Para o caso 3D, em coordenadas Cartesianas: k (m) 1−ν ν ν 0 0 0 0 0 0 ν 1−ν ν E ν 1−ν 0 0 0 ν = 0 0 1 − 2ν 0 0 (1 + ν)(1 − 2ν) 0 0 0 0 0 1 − 2ν 0 0 0 0 0 0 1 − 2ν MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 75 / 183 Método dos elementos finitos Sistema governativo Z ε̄T σ dV = ū T f b dV + V V XZ m Z V (m) Z ū T f Γ dΓσ + Γσ X u¯i T F i i ⇓ ε̄(m)T σ (m) dV (m) = XZ m XZ m V (m) (m) (m) Γσ ū (m)T f Γ(m) dΓσ + ū (m)T f b(m) dV (m) + X u¯i T F i i Para eficiência podem ser utilizados sistemas de coordenadas diferentes para cada elemento finito. Admitindo ū (m) (x, y , z) = H (m) (x, y , z) Ū MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) ε̄(m) (x, y , z) = E (m) (x, y , z) Ū 76 / 183 Método dos elementos finitos Sistema governativo Resulta Ū T XZ m V (m) E (m)T kE (m) dV (m) U = Ū T XZ m XZ FB ≡ m | V (m) | V (m) (m) (m) H (m)T f Γ(m) dΓσ H (m)T f b(m) dV (m) + T + Ū F Γσ E (m)T kE (m) dV (m) - matriz de rigidez global {z } K (m) XZ m XZ m Ū K ≡ T V (m) H (m)T f b(m) dV (m) - vector das forças de massa {z } (m) FB MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 77 / 183 Método dos elementos finitos Sistema governativo FΓ ≡ XZ m | (m) (m) H (m)T f Γ(m) dΓσ – vector das forças distribuídas Γσ {z (m) FΓ } F - vector das forças concentradas aplicadas nos nós dos elementos P ≡ F B + F Γ + F – vector das cargas aplicadas K U = P – equação de equilíbrio O sistema governativo obtêm-se as condições de fronteira: de equilíbrio juntando à equação K −e i P U = λ −u Γ −e T 0 i MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 78 / 183 Método dos elementos finitos Exemplo - Método dos deslocamentos p P EI, EA 2EI, 4EA L L u2 u3 u5 u6 u1 u8 u9 u4 1 u7 2 Dados numéricos: EI = 103 kNm2 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) EA = 0.1EI L=1m p = 0.01 kN/m P = 1 kN 79 / 183 Método dos elementos finitos Exemplo - Método dos deslocamentos u6 u3 u2 u5 u1 u4 Análise de Estruturas I – a matriz de rigidez de uma barra bi-encastrada é dada por: EA L 0 0 e K = − EA L 0 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 0 0 12EI L3 6EI L2 6EI L2 4EI L 0 − 12EI 3 0 − 6EI 2 L 6EI L2 L 2EI L − EA L 0 0 EA L 0 0 0 − 12EI 3 L − 6EI L2 0 12EI L3 − 6EI L2 0 6EI L2 2EI L 0 − 6EI 2 L 4EI L 80 / 183 Método dos elementos finitos Exemplo - Método dos deslocamentos u2 u5 u3 Elemento 1 u6 u1 u4 1 K (1) EA L 0 0 − EA L = 0 0 0 0 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 0 0 12EI L3 6EI L2 6EI L2 4EI L 0 − 12EI L3 0 − 6EI L2 0 0 0 0 0 0 6EI L2 2EI L − EA L 0 0 EA L 0 0 0 0 0 0 0 − 12EI L3 − 6EI L2 6EI L2 2EI L 0 12EI L3 − 6EI L2 0 0 0 0 − 6EI L2 4EI L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 81 / 183 Método dos elementos finitos Exemplo - Método dos deslocamentos u5 u6 Elemento 2 u8 u9 u4 u7 2 K (2) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 0 0 0 4EA L 0 0 − 4EA L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24EI L3 12EI L2 12EI L2 8EI L − 4EA L 0 0 4EI L 0 0 0 − 24EI L3 12EI L2 0 − 12EI L2 0 0 0 4EA L 0 0 0 0 0 0 0 0 − 24EI L3 − 12EI L2 0 12EI L2 4EI L 24EI L3 − 12EI L2 0 − 12EI L2 8EI L 82 / 183 Método dos elementos finitos Exemplo - Método dos deslocamentos A matriz de rigidez global é dada por K = 2 X K (i ) i =1 EA L 0 0 EA − L K= 0 0 0 0 0 − EA L 0 0 − 12EI 3 0 − 6EI 2 0 0 12EI L3 6EI L2 6EI L2 4EI L 0 − 12EI 3 0 − 6EI 2 5EA L 0 0 0 0 − 4EA L 0 0 0 L 6EI L2 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) L 2EI L 0 0 0 L L 0 6EI L2 2EI L 0 0 36EI L3 6EI L2 6EI L2 12EI L 0 0 − 24EI L3 12EI L2 − 12EI L2 4EI L 0 0 0 0 0 0 − 4EA L 0 0 − 24EI 3 0 − 12EI 2 4EA L 0 0 L L 0 24EI L3 − 12EI L2 0 0 0 12EI L2 4EI L 0 12EI − 2 L 0 8EI L 83 / 183 Método dos elementos finitos Exemplo - Método dos deslocamentos O vector das forças aplicadas PT = 0 −P 0 0 −pL/2 −pL2 /12 −pL/2 pL/2 P pL2 /12 u2 u3 0 u1 1 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) u4 u6 pL/2 pL2 /12 u5 u5 u6 p pL2 /12 u8 u9 u4 u7 2 84 / 183 Método dos elementos finitos Exemplo - Método dos deslocamentos As condições de fronteira u Γ matriz e 1 0 T e1 = 0 0 (u7 = u8 = u9 = 0) são impostas utilizando a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u ΓT = 0 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 85 / 183 Método dos elementos finitos Exemplo - Método dos deslocamentos Sistema governativo EA 0 L 12EI 0 L3 0 6EI 2 EA L 0 - L 12EI 0 L3 0 6EI L2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6EI L2 4EI L 0 - 6EI L2 2EI L - EA 0 0 L 6EI 0 - 12EI 3 2 L 0 5EA L 0 0 0 0 - 4EA L 0 0 0 0 0 0 0 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 0 - 6EI 2 L L 2EI L 0 0 36EI L3 6EI L2 6EI L2 12EI L 0 0 12EI - 24EI 3 2 L 12EI L2 0 0 0 L 4EI L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 4EA 0 0 L 12EI 0 - 24EI 3 2 L 0 4EA L 0 0 -1 0 0 L 4EI - 12EI 2 L L 0 0 24EI - 12EI L3 L2 8EI - 12EI L L2 0 -1 0 0 0 -1 000 0 0 0 0 u1 -P u 0 0 0 0 2 u2 0 0 0 0 u4 pL u5 2 0 0 0 2 pL - 12 0 0 0 u6 u7 = 0 -1 0 0 - pL u8 2 0 -1 0 u 2 9 pL λ7 12 0 0 -1 0 0 0 0 λ8 0 λ 9 000 0 000 86 / 183 Método dos elementos finitos Exemplo - Método dos deslocamentos U = λ= 0 4 3 − 3PL − 7pL 48EI 2EI 2 pL3 5PL + 4EI 12EI 0 4 3 pL − 16EI − 5PL 12EI 3 pL 3PL2 + 12EI 4EI 0 0 0 0 pL + P − pL2 − 2PL 2 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) ⇒ ⇒ 0.00000 −0.00150 0.00125 0.00000 −0.00042 U = [m] 0.00075 0.00000 0.00000 0.00000 λ= 0.000 1.010 −2.005 [kN] [kN] [kNm] 87 / 183 Método dos elementos finitos Exemplo - Método dos deslocamentos 1 kN 0.01kN/m 0.42 mm 1.5 mm 2.005 kNm 0.00075 rad 0.00125 rad 1.010 kN 1m MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 1m 88 / 183 Método dos elementos finitos Tipos de elementos finitos Barras e vigas Estado plano de tensão/deformação Estado axissimétrico Cascas e lajes Elementos tri-dimensionais MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 89 / 183 Elemento de barra com 2 nós 2 2 A = 1 cm 2 A = (1+y/40) cm 2 R = 100 N A u1 B u2 C u3 y 100 cm U T = {u1 80 cm u2 u3 } 2 9 cm 2 1 cm u1 x 2 100 u2 u2 1 cm 2 1 cm x MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) u3 80 90 / 183 Método dos elementos finitos Elemento de barra com 2 nós Elemento finito 1 2 1 cm u2 u1 x 2 k (1) = E A(1) = 1 cm2 1 cm 100 u (1) (x) = H (1) U u (1) (0) = u1 u (1) (100) = u2 n o x x H (1) = 1− 0 100 100 1 1 E (1) = DH (1) = − 0 100 100 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) ⇒ 91 / 183 Método dos elementos finitos Elemento de barra com 2 nós K (1) = K (1) Z E (1)T k (1) E (1) dV (1) V (1) 1 − 100 Z 100 1 1 =E − 100 0 100 0 1 −1 E (1) −1 1 K = 100 0 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 1 100 0 dx 0 0 0 92 / 183 Método dos elementos finitos Elemento de barra com 2 nós Elemento finito 2 2 9 cm A(2) u2 u3 k (2) = E x 2 cm2 = 1+ 40 u (2) (x) = H (2) U 2 1 cm u (2) (0) = u2 x u (2) (80) = u3 80 H (2) = n 0 E (2) = DH (2) = MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 1− 0 x o x 80 80 1 1 − 80 80 93 / 183 Método dos elementos finitos Elemento de barra com 2 nós K (2) = K (2) Z E (2)T k (2) E (2) dV (2) V (2) 0 Z 80 1 1 − =E 80 0 − 80 0 1 80 0 0 13E (2) 0 1 K = 240 0 −1 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 1 80 1+ x 2 dx 40 0 −1 1 94 / 183 Método dos elementos finitos Elemento de barra com 2 nós A matriz de rigidez global K = 2 X i =1 O vector das forças aplicadas Condições de fronteira MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) K (i ) 2.4 E −2.4 = 240 0 −2.4 15.4 −13 0 −13 13 0 0 P= 100 u1 = e T 1 U =0 95 / 183 Método dos elementos finitos Elemento de barra com 2 nós Sistema governativo Resulta E /100 −E /100 0 −1 K −e T 1 −E /100 77E /1200 −13E /240 0 u1 = 0 −e 1 0 U λ 0 −13E /240 13E /240 0 u2 = 10000 E P −u Γ −1 u1 u2 0 u3 0 λ 0 = u3 = 0 0 = 100 0 154000 13E λ = −100 . . . a reacção no apoio MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 96 / 183 Método dos elementos finitos Elemento de barra com 2 nós σ (m) = k (m) ε(m) = k (m) E (m) U 0 10000/E σ (1) = E −1/100 1/100 = 100 154000/(13E ) 0 10000/E σ (2) = E 0 −1/80 1/80 = 23.07 154000/(13E ) MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 0 97 / 183 Elemento de barra com 2 nós 2 2 A = 1 cm 2 A = (1+y/40) cm 2 R = 100 N u, x A B C y 100 cm 120 100 80 cm 1.0 u(x) Factor de escala: du(x) dx 100 E 0.8 80 MEF Factor de escala: 100 0.6 60 solução analítica MEF 0.4 40 0.2 solução analítica 20 25 50 75 100 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 125 150 x 175 x 25 50 75 100 125 150 175 98 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós u6 3 u3 u4 y u1 u5 1 u2 x u= u(x, y ) v (x, y ) 2 =HU U T = { u1 u2 u3 u4 u5 u6 } MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 99 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós u(x, y ) u(x, y ) = α1 + α2 x + α3 y ⇒u= = Φα v (x, y ) v (x, y ) = β1 + β2 x + β3 y 1 x y 0 0 0 Φ= 0 0 0 1 x y α T = { α1 α2 α3 β 1 β 2 β 3 } MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 100 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós Explicitando para todos os pontos nodais, 1 1 1 0 0 0 x1 x2 x3 0 0 0 y1 y2 y3 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 x1 x2 x3 Aα = U 0 0 0 y1 y2 y3 ⇒ α1 α2 α3 β1 β2 β3 u1 u 2 u3 = u4 u5 u6 α = A−1 U Mas u = Φ α = Φ A−1 U = H U MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) ⇒ H = Φ A−1 101 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós P P 2 5 2 4 cm 1 t = 0.1 cm 3 3 4 1 4 4 cm MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 102 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós Elemento 1 u7 u2 2 y A(1) u8 1 3 u3 = 1 1 1 0 0 0 Φ(1) = u6 1 x 0 2 0 0 0 0 0 2 4 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 4 1 0 x 0 y 0 0 1 0 x 0 y . . . u1 . . . u3 . . . u2 . . . u6 . . . u8 . . . u7 u1 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 103 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós H (1) 4−x −y 4 = 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) h i−1 H (1) = Φ(1) A(1) x 2 0 −x + y 4 0 ∂ ∂x D= 0 ∂ ∂y 0 4−x −y 4 0 ∂ ∂y ∂ 0 x 2 0 −x + y 4 ∂x 104 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós E (1) = DH (1) −1/4 1/2 −1/4 0 0 0 0 −1/4 = −1/4 0 1/4 −1/4 Z E (1)T kE (1) tdA(1) K (1) = 0 0 1/2 0 1/4 −1/4 A(1) Admitindo estado plano de tensão, 1 E ν k= 2 1−ν 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) ν 1 0 0 0 (1 − ν)/2 105 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós K (1) = E (1)T kE (1) t Z dA(1) A(1) Dados os pontos (xi , yi ), i = 0, . . . , N, com x0 = xN e y0 = yN , a área do polígono plano definido por estes pontos pode ser calculada (teorema de Green) pela seguinte fórmula: A= N−1 1 X (xi yi +1 − xi +1 yi ) 2 i =0 No caso particular de um triângulo de vertices (a, b), (c, d) e (e, f ), a área é dada por: 1 A= 2 1 a b MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 1 c d 1 e f = 1 [(cf − ed) + (eb − af ) + (ad − cb)] 2 106 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós Resultando, para ν = 0.25, K (1) 11/300 −4/75 1/60 =E 1/60 −1/50 1/300 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) −4/75 8/75 −4/75 −1/75 0 1/75 1/60 −4/75 11/300 −1/300 1/50 −1/60 1/60 −1/75 −1/300 11/300 −1/50 −1/60 −1/50 0 1/50 −1/50 1/25 −1/50 1/300 1/75 −1/60 −1/60 −1/50 11/300 107 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós Elemento 2 u7 u10 u2 u5 5 2 2 u8 3 y u3 A(2) = 1 1 1 0 0 0 Φ(2) = 0 2 4 0 0 0 1 0 4 2 4 0 0 0 x 0 0 0 0 1 1 1 y 0 0 0 0 0 2 4 0 1 0 0 0 4 2 4 0 x . . . u2 . . . u3 . . . u5 . . . u7 . . . u8 . . . u10 0 y x MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 108 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós H (2) = E 4−y 2 0 −x + y 4 0 (2) = DH (2) MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) = i−1 h H (2) = Φ(2) A(2) −4 + x + y 4 0 −1/4 0 1/4 0 0 −1/2 0 −x + y 4 1/4 0 1/4 0 1/4 −1/4 0 −4 + x + y 4 0 0 −1/2 1/4 0 1/4 0 4−y 2 109 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós K (2) = K (2) 11/300 −1/50 −1/60 =E −1/60 1/75 1/300 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) Z −1/50 1/25 −1/50 1/50 0 −1/50 A(2) E (2)T kE (2) tdA(2) −1/60 −1/50 11/300 −1/300 −1/75 1/60 −1/60 1/50 −1/300 11/300 −4/75 1/60 1/75 0 −1/75 −4/75 8/75 −4/75 1/300 −1/50 1/60 1/60 −4/75 11/300 110 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós Elemento 3 u10 u5 5 u8 3 y A(3) 3 u3 4 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) = 1 1 1 0 0 0 Φ(3) = u9 x 2 4 4 0 0 0 1 0 2 0 4 0 0 0 x 0 0 0 0 1 1 1 y 0 0 0 0 2 4 4 0 1 0 0 0 2 0 4 0 x . . . u3 . . . u4 . . . u5 . . . u8 . . . u9 . . . u10 0 y u4 111 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós H (3) = E (3) 4−x 2 0 = DH x −y 4 0 (3) MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) = i−1 h H (3) = Φ(3) A(3) −4 + x + y 4 0 −1/2 0 0 1/4 0 −1/4 0 4−x 2 1/4 0 1/4 0 −4 + x + y 4 0 0 −1/4 1/4 1/4 1/4 0 x −y 4 0 0 −1/2 112 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós K (3) = K (3) 8/75 −4/75 −4/75 =E 0 1/75 −1/75 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) Z A(3) −4/75 11/300 1/60 1/50 −1/60 −1/300 E (3)T kE (3) tdA(3) −4/75 1/60 11/300 −1/50 1/300 1/60 0 1/50 −1/50 1/25 −1/50 −1/50 1/75 −1/60 1/300 −1/50 11/300 −1/60 −1/75 −1/300 1/60 −1/50 −1/60 11/300 113 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós Elemento 4 u8 y 3 u6 A(4) u3 u9 4 u4 1 u1 x 4 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) = 1 1 1 0 0 0 Φ(4) = 0 4 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 4 2 0 0 0 0 0 2 1 0 x 0 y 0 0 1 0 x 0 y . . . u1 . . . u4 . . . u3 . . . u6 . . . u9 . . . u8 114 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós H E (4) (4) = = DH 4−x −y 4 0 (4) MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) = i−1 h H (4) = Φ(4) A(4) x −y 4 0 −1/4 0 −1/4 y 2 0 1/4 0 −1/4 0 4−x −y 4 0 0 1/2 0 −1/4 −1/4 0 x −y 4 0 −1/4 1/4 0 y 2 0 1/2 0 115 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós K (4) = K (4) 11/300 −1/60 −1/50 =E 1/60 −1/300 −1/75 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) Z A(4) −1/60 11/300 −1/50 1/300 −1/60 1/75 E (4)T kE (4) tdA(4) −1/50 −1/50 1/25 −1/50 1/50 0 1/60 1/300 −1/50 11/300 1/60 −4/75 −1/300 −1/60 1/50 1/60 11/300 −4/75 −1/75 1/75 0 −4/75 −4/75 8/75 116 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós A matriz de rigidez global K = 4 X K (i ) = i =1 11 150 1 60 11 - 150 1 - 60 0 E 1 30 1 300 -1 30 − 1 300 0 1 60 11 150 11 - 150 0 1 - 60 1 - 300 1 - 30 1 30 0 1 300 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 11 - 150 11 - 150 22 75 11 - 150 11 - 150 1 - 30 1 30 0 1 30 1 − 30 1 - 60 0 11 - 150 11 150 1 60 1 300 0 1 30 1 − 30 1 − 300 0 1 - 60 11 - 150 1 60 11 150 0 1 - 300 1 - 30 1 300 1 30 1 30 1 - 300 1 - 30 1 300 0 11 150 1 - 60 11 - 150 1 60 0 1 300 1 - 30 1 30 0 1 - 300 1 - 60 11 150 11 - 150 0 1 60 1 - 30 1 - 300 0 0 1 30 1 - 30 1 300 1 60 1 30 1 30 1 - 30 11 - 150 11 - 150 22 75 11 − 150 11 − 150 0 11 - 150 11 150 1 − 60 0 1 300 1 - 30 1 - 300 1 30 0 1 60 11 - 150 1 − 60 11 150 117 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós O vector das forças aplicadas PT = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −P As condições de fronteira u Γ (u1 = u2 = u6 = u7 = 0) são impostas utilizando a matriz e 1 eT 1 1 0 = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 u ΓT = MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 118 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós O sistema governativo é dado por K −e T 1 −e 1 0 U λ = P −u Γ resultando UT = 0 0 75 - 116 - 21725 1392 λT = MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 26125 1392 1 −1 0 55 87 - 275 16 0 32 87 - 49925 1392 - 67525 1392 P E P 119 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós P P 0.37P 48.51P/E P 0.63P MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 120 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós O campo das tensões é dado por 10P - 29 σ (1)= - 5P 58 55P - 16 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) σ (m) = k (m) E (m) U 65P 16 σ (2)= - 3505P 1392 165P - 58 10P 29 σ (3)= - 535P 174 25P - 16 65P - 16 σ (4)= - 895P 1392 125P - 58 121 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 3 nós σy 4.063P −2.518P −0.345P −0.086P 0.345P −3P MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) −2.845P 3.075P −3.438P −0.643P −4.063P −4P σxy σx −2P −1P 0 −1.563P −2.155P 1P 2P 3P 4P 122 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós u8 4 u4 u7 u3 y u5 3 u6 u1 1 u2 x u= 2 u(x, y ) v (x, y ) =HU U T = { u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 } MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 123 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós u(x, y ) u(x, y ) = α1 + α2 x + α3 y + α4 xy ⇒u= = Φα v (x, y ) v (x, y ) = β1 + β2 x + β3 y + β4 xy 1 x y xy 0 0 0 0 Φ= 0 0 0 0 1 x y xy α T = { α1 α2 α3 α4 β 1 β 2 β 3 β 4 } MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 124 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós Explicitando para todos os pontos nodais, 1 1 1 1 0 0 0 0 x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 y1 y2 y3 y4 0 0 0 0 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 x1 x2 x3 x4 Aα = U Mas 0 0 0 0 y1 y2 y3 y4 ⇒ 0 0 0 0 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 α = A−1 U u = Φ α = Φ A−1 U = H U MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) ⇒ α1 α2 α3 α4 β1 β2 β3 β4 u1 u2 u 3 u4 = u5 u6 u7 u8 H = Φ A−1 125 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós P P 4 4 cm 3 t = 0.1 cm 1 2 4 cm MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 126 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós Elemento 1 y u7 u8 u4 4 u3 3 1 u6 u5 1 x 2 u1 1 1 1 1 A= 0 0 0 0 Φ= 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 1 0 x 0 y 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 4 4 xy 0 0 1 0 x 0 . . . u1 0 . . . u2 0 . . . u3 0 . . . u4 0 . . . u5 0 . . . u6 16 . . . u7 0 . . . u8 0 0 y xy u2 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 127 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós H = Φ [A]−1 H= " y 1- x + + xy 4 16 0 x xy 4 16 xy 16 y xy 4 16 0 0 0 ∂ ∂x D= 0 ∂ ∂y MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 0 1- x +y + xy 4 0 16 0 x xy 4 16 0 xy 16 0 y xy 4 16 # ∂ ∂y ∂ ∂x 128 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós E = DH = y −4 16 0 x−4 16 4−y 16 0 x − 16 K = y 16 0 y − 16 0 x 16 4−x 16 Z 0 x−4 16 y −4 16 0 x − 16 4−y 16 0 0 x 16 y 16 4−x 16 y − 16 E T kE tdA A Admitindo estado plano de tensão, 1 E ν k= 2 1−ν 0 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) ν 1 0 0 0 (1 − ν)/2 129 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós Admitindo ν = 0.25, resulta, por exemplo, para o elemento K11 da matriz de rigidez, K11 = E 10 Z A 176 − 24x − 64y + 3x 2 + 8y 2 dA 1920 Como neste caso particular o domínio do elemento é rectangular, K11 = E 10 Z 4 0 Z 4 0 176 − 24x − 64y + 3x 2 + 8y 2 11E dx dy = 1920 225 Nos programas de elementos finitos, a integração analítica costuma ser substituída por uma integração numérica, utilizando o Método de Gauss-Legendre. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 130 / 183 Elemento plano com 4 nós Método de Gauss-Legendre Método de Gauss-Legendre para a integração numérica consiste em aproximar o integral através de um somatório. Para o caso uni-dimensional, Z 1 −1 f (x) dx ≃ n X wi f (xi ) i =1 onde xi são as coordenadas dos pontos de integração e wi os pesos associados. A regra de integração de Gauss de n pontos permite integrar exactamente polinómios de grau inferior ou igual a 2n − 1. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 131 / 183 Elemento plano com 4 nós Método de Gauss-Legendre n 1 2 3 Pontos de integração e pesos no intervalo [−1, 1] xi wi 0.00000 00000 00000 2.00000 00000 00000 ±0.57735 02691 89626 1.00000 00000 00000 ±0.77459 66692 41483 0.55555 55555 55555 0.00000 00000 00000 0.88888 88888 88888 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 132 / 183 Elemento plano com 4 nós Método de Gauss-Legendre Para o caso bi-dimensional, Z 1 −1 Z 1 −1 f (x, y ) dx dy ≃ n X i =1 wi Z 1 −1 f (xi , y ) dy ≃ n X m X wi wj f (xi , yj ) i =1 j=1 y y=0.577... x y=−0.577... Integração no domínio quadrilateral (x, y ∈ [−1, 1]) com 2 × 2 pontos, exacta para um polinómio de grau 3: 1 x y x2 xy y2 x3 x 2y xy 2 y3 x=−0.577... x=0.577... MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 133 / 183 Elemento plano com 4 nós Mapeamento isoparamétrico Quando o domínio de integração não é definido entre -1 e 1 (ou, para o caso 2D, não é rectangular), é habitual proceder a um mapeamento isoparamétrico. 1D, x ∈ Ω → s ∈ [−1, 1] Z f (x) dx = Ω Z 1 f [x(s)]J ds −1 2D, x, y ∈ Ω → s, t ∈ [−1, 1] Z f (x, y ) dx dy = Ω Z 1 −1 Z 1 f [x(s, t), y (s, t)]J ds dt −1 onde J (Jacobiano) é o determinanto da matriz da transformação (matriz Jacobiano) MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 134 / 183 Método de Gauss-Legendre Mapeamento isoparamétrico y 4 (−1,1) 3 t 3 (1,1) 4 s Ω 1 2 x 1 (−1,−1) 2 (1,−1) Funções de forma: N1 = (1 − s)(1 − t)/4 N2 = (1 + s)(1 − t)/4 N3 = (1 + s)(1 + t)/4 N4 = (1 − s)(1 + t)/4 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 135 / 183 Método de Gauss-Legendre Mapeamento isoparamétrico As coordenadas x e y podem exprimir-se em função ao s e t, x= 4 X Ni xi i =1 y = 4 X Ni yi i =1 A matriz da transformação (matriz Jacobiano) define-se como ∂x ∂s J= ∂x ∂t MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) ∂y ∂s ∂y ∂t 136 / 183 Mapeamento isoparamétrico Exemplo 1D Ω x1 x s x2 −1 1 Funções de forma: N1 = (1 − s)/2 N2 = (1 + s)/2 Mapeamento isoparamétrico: x= 2 X i =1 Jacobiano Ni xi = x1 + x2 + s(x2 − x1 ) 2 x2 − x1 ∂x = ∂s 2 3 Z 7 Z 1 3 + 7 + s(7 − 3) 7−3 x 3 dx = ds = 580 2 2 3 −1 J = det(J) = Por exemplo, MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 137 / 183 Mapeamento isoparamétrico Exemplo 2D y t 3 4 (−1,1) s Ω x 1 Coordenadas dos nós: (1,1) (−1,−1) (1,−1) 2 x1 = 0, y1 = 0 x2 = 1, y2 = 0 x3 = 2, y3 = 2 x4 = 0, y4 = 1 Funções de forma: N1 = (1 − s)(1 − t)/4 N2 = (1 + s)(1 − t)/4 N3 = (1 + s)(1 + t)/4 N4 = (1 − s)(1 + t)/4 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 138 / 183 Mapeamento isoparamétrico Exemplo 2D Mapeamento isoparamétrico: x= 4 X Ni xi = (1 + s)(3 + t)/4 i =1 y = 4 X Ni yi = (3 + s)(1 + t)/4 i =1 Matriz Jacobiano: J = det(J) = det (3 + t)/4 (1 + s)/4 (1 + t)/4 (3 + s)/4 = 4+s +t 8 Por exemplo, Z x 3 dx dy = Ω MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) Z 1 −1 Z 1 −1 (1 + s)(3 + t) 4 3 4+s +t 23 ds dt = 8 10 139 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós Regressando, K11 = E 10 Z 4 0 Z 4 0 176 − 24x − 64y + 3x 2 + 8y 2 dx dy 1920 Sendo o as coordenadas do domínio de integração, (0, 0) (4, 0) (4, 4) (0, 4) do mapeamento isoparamétrico resulta: x= 4 X Ni xi = 2(1 + s) y = i =1 Ni yi = 2(1 + t) i =1 J = det MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 4 X 2 0 0 2 =4 140 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós Com, f (x, y ) = (176 − 24x − 64y + 3x 2 + 8y 2 )/1920 Z 4Z 4 Z 1 Z 1 f (x, y )dx dy = g (s, t) ds dt 0 0 −1 −1 onde g (s, t) = f [x(s, t), y (s, t)]J Utilizando a regra de integração de Gauss com 2 × 2 pontos, I = com Z 1 −1 Z 1 −1 g (s, t) ds dt ≃ √ s1,2 = t1,2 = ±1/ 3 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 2 X 2 X wi wj g (si , ti ) i =1 j=1 e w1,2 = 1 141 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós Resulta I =g −1 −1 √ ,√ 3 3 +g −1 1 √ ,√ 3 3 E o termo da matriz de rigidez, K11 = MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) +g 1 −1 √ ,√ 3 3 +g 1 1 √ ,√ 3 3 = 22 45 11E E 22 = 10 45 225 142 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós A matriz de rigidez global K =E 11 225 −13 450 −11 450 1 225 1 60 −1 300 −1 60 1 300 −13 450 11 225 1 225 −11 450 1 300 −1 60 −1 300 1 60 1 225 −11 450 −13 450 11 225 −1 300 1 60 1 300 −1 60 −11 450 1 225 11 225 −13 450 −1 60 1 300 1 60 −1 300 1 60 1 300 −1 60 −1 300 11 225 1 225 −11 450 −13 450 −1 300 −1 60 1 300 1 60 1 225 11 225 −13 450 −11 450 −1 60 −1 300 1 60 1 300 −11 450 −13 450 11 225 1 225 1 300 1 60 −1 300 −1 60 −13 450 −11 450 1 225 11 225 O vector das forças aplicadas PT = MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 0 0 0 0 0 0 −P 0 143 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós As condições de fronteira u Γ (u1 = u4 = u5 = u8 = 0) são impostas utilizando a matriz e 1 eT 1 1 0 = 0 0 0 0 0 0 u ΓT = MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 144 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós O sistema governativo é dado por K −e T 1 −e 1 0 U λ = P −u Γ resultando UT = 0 - 27675 1474 λT = MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 32625 1474 1 0 −1 0 45 67 - 28550 737 22 67 - 38450 737 0 P E P 145 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós P P 0.33P 52.17P/E P 0.67P MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 146 / 183 Método dos elementos finitos Elemento plano com 4 nós O campo das tensões é dado por σ = kE U σT = n 5(−2284+603x−198y ) 2948 −15(123+88x−67y ) 1474 −15(246+11x−134y ) 737 σx σy σxy 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0 1 2 3 4 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) o 0 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 147 / 183 Método dos elementos finitos Programas de elementos finitos IFER - Internet Finite Element Resources Domínio público Código incluído (Freeware): mais de 70 programas: ADVENTURE (ADVanced ENgineering analysis Tool for Ultra large REal world), FELT, OpenSees (Open System for Earthquake Engineering Simulation), . . . Código não incluído (Shareware): mais de 30 programas: CADRE, IMAGINE (Integrated Modelling and Analysis in Geotechnics), PlastFEM, . . . Programas comerciais : mais de 120 programas: ABAQUS, Adina, Algor, ANSYS, COSMOS, DIANA, PLAXIS, SAP2000, . . . MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 148 / 183 Método dos elementos finitos GiD + Calsef GiD - pré/pós-processador gráfico, incluindo um gerador de malha, que pode ser utilizado em conjunto com uma grande variedade de programas de análise numérica. Definição da geometria Definição das cargas e das condições de fronteira Definição dos materiais Geração da malha (GiD) Visualização dos resultados (GiD) Análise Computacional (CALSEF) Calsef - código (elementos finitos) para a análise de sólidos (2D e 3D), lajes e cascas. International Center for Numerical Methods in Engineering MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 149 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação P ν = 0.25 4 cm t = 0.1 cm E =1 P=1 4 cm Definir o tipo do problema: Estado plano MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 150 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação Escolher um título para o problema, escolher o estado plano de tensão, não considerar o peso próprio, etc. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 151 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação Verificar as propriedades dos materiais e as unidades do problema. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 152 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação A janela das coordenadas facilita a introdução dos nós. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 153 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação Definir a geometria da estrutura: pontos e linhas. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 154 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação Definir a geometria da estrutura : superfícies. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 155 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação Definir as condições de fronteira: deslocamentos impostos, apoios elásticos e cargas aplicadas. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 156 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação Definir os deslocamentos impostos. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 157 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação Definir as cargas aplicadas. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 158 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação Definir um novo material com as propriedades desejadas. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 159 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação Atribuir o material aos elementos geométricos. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 160 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação Definir o tipo de elementos finitos a utilizar. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 161 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação Gerar a malha de elementos finitos. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 162 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação Começar a análise. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 163 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação Entrar na fase de pós-processamento. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 164 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação Campo de deslocamentos MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 165 / 183 GiD + Calsef Exemplo de aplicação Campo de tensões σx MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) σy σxy 166 / 183 Método dos elementos finitos Fontes de erros na análise Discretização - Funções de interpolação da geometria e da solução Integração numérica - Cálculo dos elementos das matrizes utilizando métodos numéricos de integração Relações constitutivas - Uso de modelos de material com comportamento não-linear Solução das eq. de equilíbrio dinâmico - Integração numérica em tempo e/ou sobreposição modal Solução do sistema governativo por métodos iterativos - Gauss-Seidel, método dos gradientes conjugados, Newton-Raphson, . . . Arredondamentos - Precisão da máquina MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 167 / 183 Fontes de erros na análise Distorção da malha p L δ a L a/L [m] δ/δ0 0.00 1.000 0.25 0.897 L 0.5 0.749 0.75 0.644 1.00 0.551 Na prática, sendo usadas malhas com número relativamente reduzido de elementos e sendo pouco habitual fazer estudos extensos sobre a convergência da solução, recomenda-se o uso de malhas não-distorcidas e/ou de elementos poucos sensíveis a distorção. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 168 / 183 Método dos elementos finitos Convergência da solução A convergência da solução numérica implica que, com o refinamento da malha, todas as condições cinemáticas, estáticas e constitutivas contidas no modelo matemático utilizado ficam satisfeitas. Quando os elementos finitos são completos (as funções de aproximação dos deslocamentos podem representar deslocamentos de corpo rígido) e tanto os elementos como a malha são compatíveis (deslocamentos contínuos) a convergência fica monotónica. Quando possível, recomenda-se o uso da energia de deformação como grandeza para o estudo da convergência da solução. U= MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 1 2 Z V σ T ε dV = · · · = 1 T U KU 2 169 / 183 Método dos elementos finitos Convergência da solução A p L 6L Elem.(g.d.l.) δvA σxA σyA A σxy ∗ 12 (28) 0.288 0.000 -0.859 2.066 46 (76) 0.631 1.802 0.248 1.802 188 (246) 0.874 1.366 0.657 1.366 836 (950) 0.970 1.025 0.977 1.025 352∗ (1550) 1.000 1.000 1.000 1.000 elementos triangulares com 6 nós MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 170 / 183 Trabalhos práticos Trabalho No 1: Barras Trabalho No 2: Estado plano de tensão Trabalho No 3: Singularidades Trabalho No 4: Lajes MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 171 / 183 Trabalho No 1: Barras Considere a bara de homogénea de secção variável representada, sujeita às condições de fronteira e ao carregamento indicado. Determine os deslocamentos axiais e o esforço normal ao longo da barra utilizando uma formulação: diferencial (solução analítica); em resíduos ponderados (o método de Galerkin); diferenças finitas; elementos finitos (elementos de barra com 2 nós). Compare e comente as soluções obtidas. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 172 / 183 Trabalho No 1: Barras 2 2 2 A = (1+x/50) cm R = 100 N u A B x 100 cm MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 2 A = (3−y/40) cm C y 80 cm 173 / 183 Trabalho No 2: Estado plano de tensão Estime os deslocamentos e o estado de tensão dos pontos A, B, C , D, E e F da consola curta representada sujeita a uma carga concentrada P na extremidade. Considere uma espessura constante t = 0.1 m, um módulo de elasticidade constante e um coeficiente de Poisson ν = 0.3. Admite o estado plano de tensão e utilize: uma malha de elementos finitos triangulares com 3 nós; uma malha de elementos finitos rectangulares com 4 nós; Apresente a deformada da estrutura para os dois casos considerados. Compare e comente as soluções obtidas. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 174 / 183 Trabalho No 2: Estado plano de tensão P A B C 2m D 1m E 3m F 5m MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 3m 175 / 183 Trabalho No 3: Singularidades Considere as seguintes placas planas homogéneas, de espessura e módulo de elasticidade constantes, unitários e coeficiente de Poisson ν = 0.1, sujeitas ao carregamento indicado. Admitindo o estado plano de tensão, utilize os programas Gid + Calsef para estudar, em cada um dos casos, a convergência da solução. Apresente as malhas de elementos finitos utilizadas. Em seguida, analise cada uma das placas utilizando a melhor malha para deteminar: o estado de tensão no ponto P; a distribuição de tensões normais e tangenciais ao longo da fronteira estática e cinemática da placa; o campo de deslocamentos. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 176 / 183 Trabalho No 3: Singularidades q=1 Q=1 P 1 0.1 P 0.1 1 0.3 1 1 1 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 1.5 1.5 177 / 183 Trabalho No 4: Lajes O comportamento estrutural das lajes depende dos seguintes factores: - tipo de apoios e cargas (condições de fronteira) - relação entre os vãos (condiciona a direcção de flexão dominante) - comportamento mecânico do material - relação da espessura com o menor dos vãos (condiciona o tipo do modelo de análise) lajes finas (Kirchhoff) - espessura/vão ≤ 1/5 (1/10), deslocamento transversal máximo/espessura ≤ 1/5 (1/10) lajes espessas (Reissner-Mindlin) MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 178 / 183 Trabalho No 4: Lajes Hipóteses simplificativas: - linearidade física - material com comportamento elástico linear - linearidade geométrica - pequenos deslocamentos e pequenas deformações - homogeneidade e isotropia do material Admita-se ainda que: - fibras rectas normais ao plano médio da laje permanecem rectas após a deformação - fibras rectas normais ao plano médio da laje são inextensíveis - fibras rectas normais ao plano médio da laje permanecem rectas após a deformação e perpendiculares ao plano médio - Kirchhoff MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 179 / 183 Trabalho No 4: Lajes Laje de Kirchhoff ∇4 w (x, y ) = q(x, y ) Df Df = Eh3 12(1 − ν 2 ) Df - rigidez à flexão do elemento de laje vy mxy my vx x θy (x,y) mx x mxy w(x,y) mxy θx (x,y) mx my y y z Campos de deslocamentos MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) vx mxy vy Campos de esforços 180 / 183 Trabalho No 4: Lajes Considere a seguinte laje em betão armado, simplesmente apoiada nos pilares e nas paredes resistentes representadas. Admitindo que o único carregamento é o peso próprio, apresente: - o campo dos deslocamentos; - os campos dos esforços (Mx , My , Mxy , Vx , Vy ); - os diagramas de momentos segundo as linhas de corte AA, BB e EE . Repita a análise admitindo na análise que a secção transversal dos pilares e das paredes é desprezável. Compare e comente os resultados obtidos nas duas análises. MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 181 / 183 Trabalho No 4: Lajes E P3 (.60 x .40) F P5 (.60 x .40) C P10 (.60 x .40) C 5.00 2.60 .40 3.60 6.00 G P7 (.60 x .40) 5.00 0.60 D .40 e=0.22 m P2 (.40 x .40) P9 (.40 x .60) 3.00 .40 3.80 1.00 P1 (.40 x .40) .40 .40 P4 (.40 x .60) .20 B .20 B P6 (.40 x .60) P8 (.40 x .60) A A D 1.00 E 6.00 F G 6.00 6.00 1.00 Betão Armado (Unidades: N,m,rad) Módulo de elasticidade = 3.00E10 MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) Poisson = 0.2 Carga = peso específico = 25000 182 / 183 Anexo: FAQ - Maxima MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 183 / 183
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