Curso: Raciocínio Lógico
Análise Combinatória
André Luiz
11/12/15
CURSO: Raciocínio Lógico - Combinatória
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A análise Combinatória é o ramo da
matemática
que
tem
estabelecer
métodos
como
que
objetivo
permitam
enumerar o número de elementos que fazem
parte de um conjunto, denominados técnicas
de contagem.
CURSO RACIOCÍNIO LÓGICO: Combinatória
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Algumas aplicações:
 Uma corrida de carros possui 20 pilotos.
Quantos resultados diferentes pode ter
essa corrida para o 1º, 2º e 3º lugares?
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Algumas aplicações:
 Um jovem possui 4 ternos, 8 gravatas, 10
camisas e 4 pares de sapatos. De quantas
formas distintas ele poderá se vestir
utilizando um elemento de cada conjunto?
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Algumas aplicações:
 No sistema brasileiro adotado no
emplacamento de veículos, qual o
número máximo de veículos que poderão
ser emplacados?
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Algumas aplicações:
 O número de combinações possíveis de
jogos lotéricos. Exemplo: Mega-sena
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Algumas aplicações:
 Quantidade de fotos distintas que
podem ser obtida de uma família com
cinco pessoas alternando as posições.
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Princípio Fundamental da Contagem
Representa uma técnica muito importante
na contagem
de agrupamentos de
elementos. Consiste de dois princípios:
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Princípio Fundamental da Contagem
> Multiplicativo: Utilizando em questões
que aparecem o conectivo “e”;
> Aditivo: Adotado quando a questão
apresenta o termo aditivo “ou”;
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Princípio Fundamental da Contagem
Exemplos: Um aluno deseja sair de Gurupi com
destino a Palmas, passando por Porto Nacional.
Sabe que há três percursos de Gurupi a Porto
Nacional, e de Porto a Palmas há outros dois. De
quantos modos distintos esse aluno poderá realizar a
viagem de Gurupi até Palmas, passando por Porto
Nacional?
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Princípio Fundamental da Contagem
01- (Concurso Prefeitura de Porto Nacional/2015).
Na rodoviária de Porto Nacional há uma lanchonete que vende 6
tipos de salgados: pastel, coxinha, pastelão, esfirra, quibe e
empadinha. Na mesma lanchonete, são vendidos também 4
sabores de sucos: maracujá, uva, limão e melancia. Se a
pessoa P vai lanchar e tem dinheiro suficiente para comprar
apenas um tipo de suco e um tipo de salgado, quantos são os
possíveis pedidos que a pessoa P pode fazer?
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Resp.:24
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Princípio Fundamental da Contagem
02- (CETRO/2015- MINISTÉRIO DO DESENVOLVIMENTO SOCIAL E COMBATE A FOME).
Quando Gabriel abriu sua primeira conta bancária, ele teve que
criar uma senha de 6 algarismos para poder acessá-la. Ele usou
os seguintes critérios: não usou o algarismo 0; o 1º, o 3º e o 5º
algarismos eram números pares; o 2º, o 4º e o último eram
ímpares. Além disso, ele não repetiu nenhum algarismo. Com
base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta
a maior quantidade de senhas que ele poderia ter criado.
a-( x ) 1440 b-( ) 1120 c-( ) 980 d-( ) 890 e-( ) 760
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Princípio Fundamental da Contagem
03- (FUMARC/2012- PERITO CRIMINAL).
Uma indústria lança três novos modelos de carros populares e,
para cada modelo, o cliente tem as seguintes escolhas: sete
cores distintas, cinco estampas diferentes para o estofamento,
duas tonalidades de vidros (branco ou cinza) e tem ainda a
opção de acrescentar ou não o limpador de vidro traseiro.
Nessas condições, a quantidade total de opções distintas que
essa indústria oferece a seus clientes é
a-( ) 180 b-( ) 210 c-( ) 240 d-( x ) 420
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Princípio Fundamental da Contagem
04- (Concurso Prefeitura de Porto Nacional/2015).
Uma pessoa P está com intenção de comprar sapatos e tênis. A
loja visitada por esta pessoa oferece diversas opções, mas
apenas 3 modelos de sapatos e 4 modelos de tênis são
interessantes. A pessoa P tem dinheiro suficiente para comprar
apenas um dos sapatos ou um dos tênis. Então, de quantas
formas diferentes poderá resultar esta compra da pessoa P? Resp.:7
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Permutação
Corresponde agrupamentos que podemos
formar com certo número de elementos
distintos.
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Permutação
> Organização de livros didáticos, revistas, etc;
>
Construção
de
senha
numéricas
ou
algébricas;
> formação de palavras
tendo ou não
significado na linguagem comum (anagramas)
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Permutação: Exemplos
01- Qual o número de anagramas das letras da palavra PAI?
02 – Qual o número de anagramas das letras da palavra BRASIL que
podemos obter?
03 – Qual o número de anagramas da palavra BRASIL que podemos
obter de modo que a letras BR ficam juntas?
04 – Qual o número de anagramas da palavra BRASIL que podemos
obter de modo que a letras BR ficam juntas e nesta ordem?
05 – Determine o número de anagramas da palavra GURUPI.
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Permutação: Exemplos
06- (Concurso Prefeitura de Porto Nacional/2015).
Quantos são os anagramas que se pode formar a partir
das letras da palavra PATO?
a-( x ) 24
b-(
) 12
c-(
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)6
d-(
)4
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Permutação: Exemplos
07- Os pintores Paulo, Marcos e Teodoro farão uma exposição de
seus quadros. Paulo vai expor 4 quadros distintos, Marcos vai expor
3 quadros distintos e Teodoro 2 quadros distintos. Os quadros serão
expostos em uma mesma parede e em linha reta, sendo que os
quadros de um mesmo pintor devem ficar juntos. Então o número
de possibilidades distintas de montar essa exposição sendo que os
quadros de Teodoro devem esta no início ou no final é
a-(
) 3456
b-( x ) 1152
c-(
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) 576
d-(
)288
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Arranjos e Combinações:
Além do P.F.C, são outras duas técnicas utilizadas
para
solucionar
problemas
que
envolvem
questões de Análise Combinatória.
<> Arranjo – é uma técnica aplicada quando a
ordem dos agrupamentos dos elementos são
importantes.
An,p=n!/(n-p)!
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Arranjos e Combinações:
Situações comuns em que se aplica arranjos:
 Formação de senhas
Premiação em competições (1º, 2º, 3º...)
Ocupações de cargos (diretor, vice-diretor, etc.).
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Arranjos e Combinações:
Exemplos com arranjos:
01- A senha de um cartão magnético bancário, usado
em transações financeiras, é uma sequência de duas
letras distintas e seguida por uma sequência de três
algarismos distintos. Quantas senhas podem ser
criadas?
Resp.:468000
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Arranjos e Combinações:
Exemplos com arranjos:
02- Para ocupar os cargos de presidente e vicepresidente do grêmio de um colégio, candidataram-
se 10 alunos. De quantos modos distintos pode ser
feito essa escolha?
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Arranjos e Combinações:
03-(Concurso de Porto Nacional/2015) Em 2015, nos jogos
Mundiais Indígenas na cidade de Palmas no estado
de Tocantins, na disputa de Tiro com Arco e Flecha,
cinco competidores concorrem às medalhas de ouro,
prata e bronze. A composição do podium entre o
primeiro, segundo e terceiro colocados pode variar
em quantas formas? Indique a alternativa CORRETA:
a-( ) 15
b-( ) 25 c-( x ) 60 d-( ) 100
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Arranjos e Combinações:
Exemplos com arranjos:
04-Numa corrida entre 20 competidores premia-se os
dois primeiros sendo o primeiro colocado receberá
um sorvete e o segundo um bombom. Quais são as
possibilidades de premiação?
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Arranjos e Combinações:
Além do P.F.C, são outras duas técnicas utilizadas
para
solucionar
problemas
que
envolvem
questões de Análise Combinatória.
<> Combinação – é uma técnica aplicada quando
a ordem dos agrupamentos dos elementos não
são importantes.
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Cn,p=n!/[p!(n-p)]!
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Arranjos e Combinações:
Situações comuns em que se aplica Combinação:
 Formação de Comissões
Escolha de cardápios
Escolhas de números em jogos de azar.
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Arranjos e Combinações:
Exemplos com Combinações:
01-Numa corrida entre 20 competidores premia-se os
dois primeiros com dois chocolates idênticos. Quais
são as possibilidades de premiação?
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Arranjos e Combinações:
Exemplos com Combinações:
02-Na turma que participam o mini curso de raciocínio
lógico, três alunos serão escolhidos para apresentar
o relatório final das atividades desenvolvidas durante
a aula. Considerando que há 20 alunos, de quantas
maneira poderemos realizar a escolha?
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Arranjos e Combinações:
Exemplos com Combinações:
03- Uma prova consta de 6 questões de Matemática e 7
de Física. Cada aluno deve escolher 4 questões de
Matemática e 2 de Física para responder. Quantas
opções diferentes de escolha tem cada aluno?
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Arranjos e Combinações:
Exemplos com Combinações:
04- Em um ônibus há cinco lugares vagos. Duas pessoas
tomam o ônibus. De quantos modos elas podem se
sentar?
a-( ) 4
b-( )5
c-( )10
d-( ) 15
e-( ) 20
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Arranjos e Combinações:
05-Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta
bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5
podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer
mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que
sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1
seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas
maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?
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Resp.:551
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PROBABILIDADE
Consiste
em
um
método
para
tentar
determinar as possibilidade de ocorrência de
um determinado evento, diante de resultados
incertos.
PROBABILIDADE
Conceitos:
> Experimento Aleatório: é o experimento em
que não é possível garantir o resultado,
mesmo que seja feito diversas vezes nas m
mesmas
condições. (Ex.: Lançamentos de
dados, moedas, etc)
PROBABILIDADE
Conceitos:
> Espaço amostra: é o conjunto de todos os
resultados
aleatório.
possíveis
para
experimento
PROBABILIDADE
Conceitos:
> P(E) = E/(espaço amostral)
PROBABILIDADE
Aplicações:
Cálculo das chance obtidas por um jogador
em jogos de azar;
Cálculo para determinar riscos de acidentes
veículos automotores em função da idade.
PROBABILIDADE
Aplicações:
Cálculo das chance obtidas por um jogador
em jogos de azar;
Calcular os valor do seguros de veículos
automotores em função das variáveis (sexo,
idade, local, etc)
PROBABILIDADE
Exemplos:
01- (Concurso de Porto Nacional/2015). Uma caixa
contém bolas com cores da bandeira do
Tocantins, sendo que 8 bolas são amarelas, 10
azuis, e 12 brancas. Todas têm a mesma
probabilidade de serem escolhidas ao acaso. Qual
a probabilidade da bola sorteada não ser branca?
a-( ) 27%
b-( )33%
c-( ) 40%
d-( ) 60%
PROBABILIDADE
Exemplos:
02- Concurso Porto Nacional/2015) Adaptada. Em
uma empresa comercial há 90 funcionários,
sendo que 65 são atendentes e 30 são
operadores de caixa. Sabendo que há ainda 10
funcionários, que exercem outras atividades, qual
a probabilidade escolher um funcionário que
seja atendente e não são operadores de caixa?
a-( ) 72,22% b-( ) 83,33%
c-( ) 55,56% d-( ) 61,90%
PROBABILIDADE
Exemplos
03- (FUMARC/2012- PERITO CRIMINAL).
A decisão de um determinado campeonato de futebol é dada
pela disputa de pênaltis. Foram escolhidos três jogares, sendo
que a probabilidade de cada um deles marcar gol na cobrança
de pênaltis é de ½, 2/5 e 5/6. Nessas condições, é correto
afirmar que a probabilidade de todos os jogadores errarem o gol
é
a-( x ) 5%
b-(
) 20%
c-(
) 25% d-(
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) 50%
André Luiz
PROBABILIDADE
Exemplos:
04- De um baralho de 28 cartas, sete de cada naipe, Luís
recebe cinco cartas: duas de ouros, uma de espadas,
uma de copas e uma de paus. Ele mantém consigo as
duas cartas de ouros e troca as demais por três cartas
escolhidas ao acaso dentre as 23 cartas que tinha
ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís
conseguir cinco cartas de ouros é
a-( ) 1/130
b-( ) 1/420
c-( ) 10/1771
d-( ) 52/8117