Questão 1
Numa cidade do interior do estado de São Paulo, uma prévia eleitoral entre 2.000 filiados
revelou as seguintes informações a respeito
de três candidatos A, B, e C, do Partido da
Esperança (PE), que concorrem a 3 cargos diferentes:
I. todos os filiados votaram e não houve registro de voto em branco, tampouco de voto
nulo;
II. 280 filiados votaram a favor de A e de B;
III. 980 filiados votaram a favor de A ou de
B, mas não de C;
IV. 420 filiados votaram a favor de B, mas
não de A ou de C;
V. 1.220 filiados votaram a favor de B ou de
C, mas não de A;
VI. 640 filiados votaram a favor de C, mas
não de A ou de B;
VII. 140 filiados votaram a favor de A e de C,
mas não de B.
Determine o número de filiados ao PE que:
a) votaram a favor dos 3 candidatos.
b) votaram a favor de apenas um dos candidatos.
Resposta
Sendo x o número de filiados ao PE que votaram
a favor dos 3 candidatos, temos, através de um
diagrama de Venn:
Como os 2 000 filiados votaram e não houve voto
em branco nem voto nulo, (280 + x) + (280 − x) +
+ 420 + 140 + x + 160 + 640 = 2 000 ⇔ x = 80.
Logo:
a) votaram a favor dos 3 candidatos x = 80 filiados.
b) votaram a favor de apenas um dos candidatos
(280 + x) + 420 + 640 = 1 420 filiados.
Questão 2
O “Magazine Lucia” e a rede “Corcovado” de
hipermercados vendem uma determinada marca de aparelho de som do tipo Home Cinema,
pelo mesmo preço à vista. Na venda a prazo,
ambas as lojas cobram a taxa de juros compostos de 10% ao mês, com planos de pagamentos
distintos.
Comprando a prazo no “Magazine Lucia”, um
consumidor deve pagar R$2.000,00 no ato da
compra e R$3.025,00 depois de 2 meses, enquanto que na rede “Corcovado” ele pode levar o aparelho sem desembolsar dinheiro algum, pagando uma parcela de R$1.980,00,
1 mês após a compra e o saldo em 2 meses
após a compra.
a) Qual o valor à vista do aparelho de som?
b) Se um consumidor comprar o aparelho de
som a prazo na rede “Corcovado”, qual o valor da parcela final, vencível 2 meses após a
compra?
Resposta
a) Seja x o valor à vista. Comprando no "Magazine Lucia", após pagar R$ 2.000,00 no ato da compra, o saldo devedor de R$ 3.025,00 deve ser
pago após 2 meses, com juros compostos de
10% ao mês, ou seja, (x − 2 000) ⋅ (1 + 10%) 2 =
= 3 025 ⇔ x = 4 500 reais.
b) Com a taxa de juros praticada, após 1 mês o
valor passará para 4 500 ⋅ (1 + 10%) =
= 4 950 reais. Como são pagos R$ 1.980,00 referentes à 1ª parcela, o valor da parcela final,
vencível 2 meses após a compra, será de
(4 950 − 1 980) ⋅ (1 + 10%) = 3 267 reais.
matemática 2
b) Resolva a equação x 5 + x 4 + 4x 3 + 4x 2 +
+ 3x + 3 = 0 no conjunto dos números complexos.
Questão 3
a) Os enxadristas Dráuzio e João jogam 12
partidas de xadrez, das quais 6 são vencidas
por Dráuzio, 4 por João e 2 terminam empatadas. Os jogadores combinam a disputa de
um torneio com 3 partidas.
Determine a probabilidade de 2 das 3 partidas do torneio terminarem empatadas.
b) O Conselho Diretor de uma empresa é
composto por n diretores, além do Presidente. Com os membros do Conselho Diretor podem ser formadas C comissões de 4 elementos, todas contando com a participação do
Presidente. Se, no entanto, a presença do
Presidente não for obrigatória, podendo participar ou não, 2C comissões poderão ser formadas.
Determine o número de membros do Conselho Diretor.
Resposta
a) O sistema linear admite solução não trivial se,
e somente se,
2
1
1
sen a cos a
0
=0 ⇔
cos a
0
sen a
⇔ 2 ⋅ sen a ⋅ cos a − (cos 2 a + sen 2 a) = 0 ⇔
π
⇔ sen 2a = 1 ⇔ 2a =
+ 2kπ, k ∈ Z ⇔
2
π
⇔a=
+ kπ , k ∈ Z
4
b) x 5 + x 4 + 4x 3 + 4x 2 + 3x + 3 = 0 ⇔
⇔ x 4 (x + 1) + 4x 2 (x + 1) + 3(x + 1) = 0 ⇔
⇔ (x + 1)(x 4 + 4x 2 + 3) = 0 ⇔
⇔
Resposta
x +1 = 0
ou
x
4
+ 4x
2
x = −1
⇔
+3 =0
a) Supondo que a probabilidade de empate seja
2
1
, então a probabilidade pedida é
=
12
6
1
⎛3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛
1⎞
5
.
⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜1 − ⎟ =
⎝
⎝2 ⎠ ⎝ 6 ⎠
6⎠
72
⇔
b) São n diretores e o presidente. Logo o número
de comissões de 4 elementos, contando com a
⎛n ⎞
participação do presidente, é C = ⎜ ⎟ . Caso a
⎝3 ⎠
presença do presidente não seja obrigatória, po⎛ n + 1⎞
demos formar 2C = ⎜
⎟ comissões.
⎝ 4 ⎠
Questão 5
⎛n ⎞
⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞
n +1
Assim, 2 ⎜ ⎟ = ⎜
⎟ ⇔ 2⎜ ⎟ =
⎝3 ⎠
⎝3 ⎠ ⎝ 4 ⎠
4
n +1
⇔2 =
⇔ n + 1 = 8. Ou seja, o
4
diretor possui 8 membros.
⎛n ⎞
⎜ ⎟ ⇔
⎝3 ⎠
conselho
Questão 4
a) Determine os valores de a para os quais o
sistema linear abaixo admita solução não trivial.
⎧2 x + y + z = 0
⎪
⎨( sen a ) x + (cos a ) y = 0
⎪(cos a ) x + ( sen a ) z = 0
⎩
⇔
ou
x
2
= −1ou x
2
= −3
x = −1
ou
x = ±i ou x = ±i 3
V = {−1; −i; i; −i 3 ; i 3 }
Considere as funções: f(x) = 3 x − 3 e
g(x) = log3 (x + 1), sendo loga (b) o logaritmo de b na base a.
a) Esboce a representação gráfica das funções
f(x) e g(x) num mesmo sistema cartesiano de
eixos.
b) Escreva a equação das retas r e s, assíntotas das funções f(x) e g(x), respectivamente.
c) Determine as coordenadas dos pontos P e
R, intersecções das funções f(x) e g(x), respectivamente, com o eixo Ox e as coordenadas dos pontos Q e S, intersecções das funções f(x) e g(x), respectivamente, com o eixo
Oy.
d) Determine graficamente o número de soluções da equação f(x) = g(x).
matemática 3
Resposta
a) O gráfico de f(x) = 3 x
do-se o gráfico de y = 3 x
xo.
O gráfico de g(x) = log 3
cando-se o gráfico de y
para a esquerda.
− 3 é obtido deslocan-
três unidades para bai(x + 1) é obtido deslo= log 3 x uma unidade
Sejam q(x) e r(x) (r(x) ≠ 0), respectivamente, o
quociente e o resto da divisão de f(x) por g(x).
O que se pode afirmar a respeito dos graus
dos polinômios q(x) e r(x)?
Resposta
a) Seja x o lado do losango. Logo MB = 20 − x,
MC = x , BC = 10 e, aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo MBC, temos x 2 = (20 − x) 2 +
25
cm. Aplicando agora o Teorema
+ 10 2 ⇔ x =
2
de Pitágoras ao triângulo NCB temos NB 2 =
2
5 41
⎛ 25 ⎞
2
=⎜
cm.
⎟ + 10 ⇔ NB =
⎝ 2 ⎠
2
b) O polinômio f é tal que f = q ⋅ g + r , com
0 ≤ grau de r < grau de g, pois r não é o polinômio
identicamente nulo.
O grau de q é n + 2 − (n − 1) = 3 e 0 ≤ grau de
r < n − 1.
Questão 7
b) A assíntota de f(x) admite equação y = −3 e a
assíntota de g(x) admite equação x = −1.
c) Temos P = (0; f(0)) = (0; 3 0 − 3 ) = (0; −2) e R =
= (0; g(0)) = (0; log 3 (0 + 1)) = (0; 0).
Além disso, como f(x) = 0 ⇔ 3 x − 3 = 0 ⇔ x = 1,
Q = (1; 0) e S = R = (0; 0).
d) Como os gráficos de f e g se interceptam em
dois pontos, a equação f(x) = g(x) admite duas soluções.
Questão 6
a) Na figura a seguir, ABCD é um retângulo
e AMCN é um losango.
Determine a medida do segmento NB, sabendo que AB = 2AD = 20cm.
b) Considere dois polinômios, f(x) e g(x),
tais que o grau de f(x) é n + 2 e o grau de
g(x) é n − 1.
a) No triângulo ABC da figura a seguir,
sabe-se que:
a =
7
4 3
c; sen β =
; 90 o < β < 180 o.
3
7
Determine o valor do ângulo α.
b) Escreva a equação da bissetriz do maior
ângulo formado pelas retas y = 3 e
y = 2 − x 3.
Resposta
$ = α, m (C)
$ = 180o − ( α + β) e
a) Como m (A)
7
a = c , aplicando a Lei dos Senos no ∆ABC, te3
mos:
a
c
=
⇔
sen A$ sen C$
7
c
c
3
=
⇔
⇔
sen α sen[180o − ( α + β)]
⇔
7
1
=
⇔
3 sen α
sen( α + β)
matemática 4
⇔ 7 ⋅ sen( α + β) = 3 ⋅ senα ( ∗)
Já que 90o < β < 180o
= − 1 − sen 2 β = −
4 3
, cosβ =
e senβ =
7
1
. Então, desenvolvendo (∗):
7
7 ⋅ (senα ⋅ cos β + sen β ⋅ cosα) = 3 ⋅ senα
⎞
⎛
4 3
⎛ 1⎞
⇔ 7 ⋅ ⎜ senα ⋅ ⎜ − ⎟ +
cosα ⎟ = 3 ⋅ senα ⇔
⎝ 7⎠
7
⎠
⎝
⇔ 4 senα = 4 3 cosα ⇔ tgα = 3 ⇔ α = 60o
b) A reta r de equação y = 3 é paralela ao eixo
Ox e a reta s de equação y = − 3 x + 2 forma
um ângulo θ com o eixo Ox tal que tgθ = − 3 .
Logo θ =120o , como mostra a figura a seguir:
O ponto P de intersecção dessas duas retas é a
y =3
solução do sistema
.
y = − 3x +2
⎞
⎛
3
Assim, P = ⎜ −
;3 ⎟ .
3
⎠
⎝
Como o maior ângulo formado por r e s é 120o ,
uma equação da bissetriz desse maior ângulo é
⎡
⎛
3 ⎞⎤
⎟⎥ ⇔
dada por y − 3 = tg 60o ⋅ ⎢ x − ⎜ −
3
⎠ ⎥⎦
⎝
⎢⎣
⎛
3 ⎞
⎟ ⇔ y = 3 x + 4.
⇔ y − 3 = 3 ⋅ ⎜x +
3 ⎠
⎝
Combustível
Álcool
Gasolina
Consumo
(km por litro)
—
100%
18
40%
60%
16
60%
40%
15
70%
30%
14
100%
—
10
a) Considerando que atualmente a gasolina
custa R$2,00 por litro e que o preço do litro
de álcool é 45% do preço do litro de gasolina,
que proporção de combustíveis Benedito deveria utilizar no veículo equipado com tecnologia flex fuel, para que tivesse o menor gasto
mensal possível?
b) Para comprar o carro bicombustível, Benedito despenderá R$3.000,00 a mais do que
gastaria se adquirisse o mesmo modelo com
motor movido a gasolina, que faz 18 km por
litro. Nas duas hipóteses, o seu carro atual
entrará como parte do pagamento.
O nosso motorista está em dúvida, pois se
comprar o carro a gasolina poderá aplicar os
R$3.000,00 em um fundo de investimento
que garante um rendimento de 30% de juros
no período de 3 anos.
Supondo que os preços dos combustíveis
mantenham-se nos níveis atuais nos próximos 3 anos, qual a aquisição que proporcionará maior ganho a Benedito?
Resposta
a) O preço do litro de álcool é 0,45 ⋅ 2 = R$ 0,90.
Combustível
Álcool Gasolina
Questão 8
Benedito, um motorista de táxi que percorre
5.040 km por mês, analisa a hipótese de adquirir um veículo equipado com tecnologia
flex fuel, bicombustível.
No folheto de propaganda a montadora explica que o veículo bicombustível tanto pode
usar álcool como gasolina, em qualquer proporção, apresentando a seguinte tabela de
consumo, de acordo com as proporções de
combustíveis utilizadas:
Custo
(Reais por Quilômetro)
—
100%
2
1
=
≅ 0,11
18
9
40%
60%
0,4 ⋅ 0,9 + 0,6 ⋅ 2
= 0,0975
16
60%
40%
0,6 ⋅ 0,9 + 0,4 ⋅ 2
≅ 0,089
15
70%
30%
0,7 ⋅ 0,9 + 0,3 ⋅ 2
≅ 0,088
14
100%
—
0,9
= 0,09
10
matemática 5
Benedito deveria utilizar 70% de álcool e 30% de
gasolina.
b) Em 3 anos, os 3 mil reais renderiam
3 000 ⋅ (1 + 0,30) = R$ 3.900,00.
Utilizando a proporção obtida no item a, nos
próximos 3 anos, Benedito economizaria ao
0,7 ⋅ 0,9 + 0,3 ⋅ 2 ⎞
⎛ 2
todo 5 040 ⋅ 36 ⋅ ⎜
−
⎟ =
⎝ 18
⎠
14
14 − 9 ⋅ 1,23
= 5 040 ⋅ 36 ⋅
= R$ 4.219,20.
9 ⋅ 14
Portanto a aquisição que proporcionará maior ganho é o carro bicombustível.
Questão 9
A e B são subconjuntos do conjunto dos números reais (R), definidos por:
A = {x ∈ R|2 x + 1 = |x + 1|−|x|};
B = {x ∈ R|2 ≤ ||x + 1|− 2|}
Determine o intervalo real que representa
A ∩ B, sendo A e B os complementares de A
e B, respectivamente, em relação a R.
Resposta
No subconjunto A, temos:
2x + 1 = |x + 1 | − |x | ⇔
2x + 1 = −x − 1 + x
se x ≤ −1
∨
⇔ 2x + 1 = x + 1 + x
se −1 ≤ x ≤ 0 ⇔
∨
2x + 1 = x + 1 − x
se x ≥ 0
x = −1
∨
⇔ −1 ≤ x ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 0
∨
x =0
Então A = [ −1; 0] e A = ] −∞; −1[ ∪ ]0; +∞ [ .
No subconjunto B, temos:
| x + 1| − 2 ≥ 2
2 ≤ || x + 1 | − 2 | ⇔
∨
⇔
|x + 1| − 2 ≤ −2
x +1 ≥ 4
∨
⇔
∨
⇔ x + 1 ≤ −4 ⇔
|x + 1| ≤ 0
∨
x +1 = 0
|x + 1| ≥ 4
x ≥3
∨
⇔ x ≤ −5 . Então B = ] −∞; −5] ∪ [3; +∞ [ ∪ { −1}
∨
x = −1
e B = ] −5; −1[ ∪ ] −1; 3[ .
Logo A ∩ B = ] −5; −1[ ∪ ]0; 3[ .
Questão 10
Uma certa mercadoria foi promovida por uma
substancial campanha de propaganda e, pouco antes de encerrar a promoção, a quantidade diária de vendas era 10.000 unidades.
Imediatamente após, as vendas diárias decresceram a uma taxa proporcional às vendas
diárias, tal que: V(t) = B ⋅ e k ⋅ t , sendo B o
número de unidades vendidas em um determinado dia; V(t) a quantidade de vendas por
dia, após t dias; e = 2,72 e k um número real.
Sabe-se que 10 dias após encerrar a promoção o volume diário de vendas era 8.000 unidades.
a) Qual o volume diário de vendas 30 dias
após o encerramento da promoção?
b) Quando se espera que a venda diária seja
reduzida a 6.400 unidades?
3
Considere que log 2 =
, sendo log 2 o lo10
garitmo de 2 na base 10.
Resposta
Como a quantidade diária de vendas no fim da
promoção era 10 000 unidades, V(0) = 10 000 e,
sendo as vendas de 8 000 unidades 10 dias após
o fim da promoção, V(10) = 8 000.
Logo
B = 10 000
B ⋅ ek ⋅ 0 = 10 000
1
⇔
⎛ 4 ⎞ 10
B ⋅ ek ⋅10 = 8 000
ek = ⎜ ⎟
⎝5 ⎠
t
⎛ 4 ⎞ 10
e, portanto, V(t) = B ⋅ (e ) = 10 000 ⋅ ⎜ ⎟ .
⎝5 ⎠
k t
a) O volume diário de vendas 30 dias após o encer30
⎛ 4 ⎞ 10
ramento da promoção é V(30) = 10 000 ⋅ ⎜ ⎟
=
⎝5 ⎠
= 5 120 unidades.
matemática 6
b) Seja t o número de dias passados após o término da promoção, quando a venda diária é de
6 400 unidades. Assim:
t
⎛ 4 ⎞ 10
V(t) = 6 400 ⇔ 10 000 ⋅ ⎜ ⎟
= 6 400 ⇔
⎝5 ⎠
t
2
t
⎛ 4 ⎞ 10
⎛4⎞
⇔⎜ ⎟
=⎜ ⎟ ⇔
= 2 ⇔ t = 20 dias
⎝5 ⎠
⎝5 ⎠
10
Conseqüentemente a venda diária é igual a 6 400
unidades 20 dias após o término da promoção.