PPGEP
•A Teoria das Probabilidades estuda os fenômenos
aleatórios.
Probabilidade
CAPÍTULO 4
PPGEP
PROBABILIDADE
UFRGS
PPGEP/UFRGS
PPGEP
•Fenômeno Aleatório: são os fenômenos cujo resultado
não pode ser previsto exatamente. Se o fenômeno se
repetir, sob condições similares, o resultado não será
sempre o mesmo.
•Experimento Aleatório: Qualquer fenômeno aleatório
que possa ser executado pelo homem.
PPGEP/UFRGS
1
4.1. Espaço Amostral e Eventos
PPGEP
Os resultados de um experimento aleatório podem ser
representados em um espaço amostral ao qual
chamaremos de S.
4.1. Espaço Amostral e Eventos
Exemplo:
Probabilidade
A figura a seguir apresenta um espaço bidimensional
onde aparecem os eventos A e B.
Como pode ser visto, os
eventos A e B estão
completamente contidos em
S e apresentam interseção,
ou seja, a sua ocorrência
simultânea é possível.
PPGEP/UFRGS
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Evento: É um conjunto de resultados possíveis do
experimento. É um subconjunto de S.
O espaço S pode ser uni ou k-dimensional, discreto ou
contínuo, finito ou infinito.
Probabilidade
PROBABILIDADE
3
Em uma linha de produção, peças são fabricadas em
série. Conte o nº de peças defeituosas em cada 200
peças produzidas. S = {0, 1, 2, ..., 200};
Eventos:
A: ocorrer 10 peças defeituosas. A = {10};
B: ocorrer entre 10 e 15 peças defeituosas. B = {10, 11,
12, 13, 14, 15};
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4
PPGEP
4.2. Operações com Eventos
PPGEP
Usando o símbolo ∪ para união e o símbolo ∩ para
interseção, podemos definir os eventos C e D:
D = A ∩ B → conjunto de valores que pertence
simultaneamente a A e B;
Usaremos o símbolo ∅ para representar o conjunto
vazio, e uma barra sobre a letra, por exemplo A, para
representar o complemento de A, isto é, o conjunto de
pontos que não pertence a A.
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PPGEP
Probabilidade
Probabilidade
C = A ∪ B → conjunto de valores que pertence a A ou B
ou a ambos;
•Um experimento será chamado aleatório se puder
ser repetido um grande número de vezes sob
condições similares e se o resultado de uma
observação não pode ser exatamente previsto.
Uma variável será chamada aleatória se descreve
os resultados de um experimento aleatório.
PPGEP/UFRGS
5
4.3. Definição de Probabilidade
PPGEP
Para um evento E em S, podemos definir a existência
de uma função P tal que P represente a probabilidade
que x pertença a E. Isto é:
6
4.3. Definição de Probabilidade
Essa função P deve satisfazer algumas propriedades:
1) 0 ≤ P(E) ≤ 1
P(E) = Pr (x ∈ E)
2) Se E1 e E2 são tais que E1 ∩ E2 = ∅,
Alternativamente, pode ser enunciado:
Probabilidade
Probabilidade
4.3. Definição de Probabilidade
Para um evento E em S, podemos definir a existência
de uma função P tal que P represente a probabilidade
de ocorrência de E. Isto é:
P(E) = Pr(ocorrência do evento E)
tem-se que P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)
3) A probabilidade de ocorrência de um ponto qualquer
do espaço amostral S deve ser igual a 1: P(S)=1
Essas propriedades são importantes para derivar
várias regras de cálculo de probabilidades.
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PPGEP/UFRGS
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PPGEP
4.3 Definição de Probabilidade
PPGEP
Eventos mutuamente exclusivos → E1 ∩ E2 = ∅ .
Para determinar a probabilidade de um evento,
usaremos o ponto de vista das freqüências relativas:
Para eventos mutuamente exclusivos, a soma das
probabilidades é dada pela generalização da
propriedade 2.
P(E) = m(E) / m(S)
Probabilidade
Probabilidade
4.4. Soma de Probabilidades
onde m(E) e m(S) representam as medidas de E e S.
P(E1 ∪ E2 ∪....∪ Ek ) = Σ P(Ei )
Se os eventos E1 e E2 não são mutuamente
exclusivos, mas são independentes, pode-se
demonstrar que:
P(E1 ∪ E2 ) = P(E1 ) + P(E2 ) - P(E1 ∩ E2 )
PPGEP/UFRGS
PPGEP
PPGEP/UFRGS
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4.4. Soma de Probabilidades
PPGEP
4.4. Soma de Probabilidades
Exemplo: Um digestor químico é alimentado por
material que vem de dois tanques independentes.
Para o caso de três eventos, a generalização anterior é
P(E1 ∪ E2 ∪ E3 ) = P(E1 ) + P(E2 ) + P(E3 ) - [P(E1 ∩ E2 ) +
O material do tanque 1 pode ser uma concentração
de ácido que varia uniformemente entre 4 e 8,
enquanto que o material do tanque 2 pode
apresentar uma concentração de base entre 5 e 10.
Probabilidade
Probabilidade
+ P(E1 ∩ E3 ) + P(E2 ∩ E3 )] + P(E1 ∩ E2 ∩ E3 )
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Sejam os seguintes eventos:
A: material do tanque 1 com conc. superior a 6
B: material do tanque 2 com conc. inferior a 6
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PPGEP
4.4. Soma de Probabilidades
PPGEP
4.4. Soma de Probabilidades
•Exemplo: Considerando os dados do exemplo
anterior, e sabendo que o processo apresenta
problemas quando a concentração de ácido supera
a concentração de base, calcule a probabilidade
disso acontecer.
P(A) = m(A) / m(S)
P(A) = 10 / 20 = 0,5
P(B) = 4 / 20 = 0,20
P(B) = 1 - P(B) = 0,80
P(A ∩ B) = 2/20 = 0,10
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 0,50 + 0,20 - 0,10 = 0,60
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PPGEP
Probabilidade
Probabilidade
P(A) = 1 - P(A) = 0,5
PPGEP
•P(E1) = [(3x3)/2] / 20 = 0,225
Poderíamos, então, escrever P(A/S) para indicar de
forma explícita que a probabilidade de A está referida
a todo o espaço amostral S. Assim:
4.5. Produto de Probabilidades
P(E1/E2) = m (E1 ∩ E2) / m(E2)
Probabilidade
P(A) = P(A/S) = m(A) / m(S)
Dividindo-se numerador e denominador por m(S):
P(E1/E2) = [m (E1 ∩ E2) / m(S)] / [m(E2) / m(S)]
P(E1/E2) = P(E1 ∩ E2) / P(E2)
Essa expressão define a probabilidade de E1 dado
E2 ou referida a E2. A partir dessa expressão,
obtém-se:
P(E1 ∩ E2) = P(E1/E2) . P(E2)
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Algumas vezes, no entanto, estaremos
interessados em calcular a probabilidade de um
evento E1 referida a um sub-espaço de S, por
exemplo, ao espaço definido por E2:
A probabilidade de um evento A foi definida como a
medida do conjunto A dividida pela medida de S.
Probabilidade
•P(E1) = m(E1) / m(S)
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4.5. Produto de Probabilidades
•Solução:
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(eq. 2)
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PPGEP
4.5. Produto de Probabilidades
PPGEP
Exemplo: Para o exemplo do digestor químico
calcule a probabilidade da concentração de ácido
superar a concentração de base quando sabe-se
que a concentração de ácido é superior a 6,0.
Da mesma forma, poderíamos escrever:
P(E2/E1) = P(E1 ∩ E2) / P(E1)
e então obter:
(eq. 3)
As expressões (2) e (3) são análogas e definem a
probabilidade do produto, ou seja, da ocorrência
simultânea de E1 e E2.
Para três eventos tem-se:
P(E1 ∩ E2 ∩ E3)= P(E1) . P(E2/E1) . P(E3/E1 ∩ E2)
ou expressões equivalentes usando P(E2) ou P(E3).
PPGEP/UFRGS
PPGEP
Probabilidade
Probabilidade
P(E1 ∩ E2) = P(E2/E1) . P(E1)
4.5. Produto de Probabilidades
P(E1/A) =
m(E1 ∩ A)/m(S) 4/20
=
= 0,40
m(A)/m(S)
10/20
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4.6. Eventos Independentes
Solução: O que se pede é a P(E1) dado A. Essa
probabilidade é:
PPGEP
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4.6. Eventos Independentes
Exemplo: Um construtor se submete a licitação
para duas obras independentes, A e B. Baseado
na experiência, os engenheiros estimam que a
probabilidade de ganhar a obra A é 0,25; e a
probabilidade de ganhar a obra B é 0,33. Pede-se:
Dois eventos, E1 e E2 são ditos independentes se:
P(E1 /E2 ) = P(E1 )
nesse caso,
Probabilidade
Probabilidade
P(E1 ∩ E2 ) = P(E1 ) . P(E2 )
Para k eventos independentes, tem-se:
P(E1 ∩ .... ∩ Ek ) = Σ P(Ei )
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a) Estimar a probabilidade de ganhar ao menos
uma das duas obras:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) =
= 0,25 + 0,33 - (0,25 . 0,33) = 0,5
PPGEP/UFRGS
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PPGEP
4.6. Eventos Independentes
PPGEP
b) Estimar a probabilidade de ganhar a obra A,
sabendo-se que o construtor irá ganhar ao menos
uma obra:
c) Se o construtor submete-se a outra licitação para
uma obra C, com probabilidade de ganhar igual a
0,25, qual a probabilidade de ganhar ao menos uma
obra?
P(A ∩ (A ∪ B)) 0,25
=
= 0,50
P(A ∪ B)
0,50
Probabilidade
Probabilidade
P(A/A ∪ B) =
4.6. Eventos Independentes
Note que P(A ∩ (A ∪ B)) é obviamente o mesmo
que A, já que A está completamente contido em
(A ∪ B).
P(A ∪ B ∪ C) = 0,25 + 0,33 + 0,25 - (0,25 . 0,33 + 0,25
. 0,25 + 0,33 . 0,25) + (0,25 . 0,33 . 0,25) = 0,625
Note que para o caso de eventos independentes
vale também:
P(A∪B∪C) = 1 - P( A ∩ B ∩ C )
= 1 - (0,75 . 0,67 . 0,75) = 0,625
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PPGEP
PPGEP/UFRGS
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4.7. Probabilidade Total
PPGEP
Seja que no campo amostral S exista um evento B
que consiste de k componentes mutuamente
exclusivos:
evento A que pode ou não ocorrer simultaneamente
com todos os componentes de B. Nesse caso,
Bi ∩ Bj = ∅
podemos escrever:
Probabilidade
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4.7. Probabilidade Total
E dado que no campo do evento B exista um outro
Probabilidade
B = B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bk ;
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23
A = (A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ) ∪ ..... ∪ (A ∩ Bk )
Isso quer dizer que o evento A está descrito em forma
total pelos componentes B1....Bk do evento B, os
quais são mutuamente exclusivos. Então usando-se
(1) e (2) tem-se:
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PPGEP
4.7. Probabilidade Total
PPGEP
P(A) = P(A ∩ B1 ) +....+ P(A ∩ Bk )
Exemplo
P(A) = P(B1 ) . P(A/B1 ) +....+ P(Bk ) . P(A/Bk )
Na construção de um edifício usa-se 1000 Kg de
material por dia; desse total, 600 Kg são adquiridos do
fornecedor B1 e 400 Kg do fornecedor B2.
Probabilidade
Probabilidade
P(A) = Σ P(Bi ) . P(A/Bi )
PPGEP/UFRGS
PPGEP
4.7. Probabilidade Total
PPGEP
P(A/B1 ) = 0,03;
P(A/B2 ) = 0,01
Probabilidade
Isto é, se o material é defeituoso, pode vir de B1 ou
B2. Então A pode ser calculado a partir de:
P(B2 ) = 0,4
P(A) = P(B1 ).P(A/B1 ) + P(B2 ).P(A/B2 )
P(A) = (0,6).(0,03) + (0,4).(0,001) = 0,018 + 0,004 = 0,022
Assim a probabilidade total de que o material seja
defeituoso, vindo de B1 ou B2, é igual a 0,022.
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O material pode ser defeituoso e por experiência prévia
sabe-se que B1 e B2 têm as probabilidades de 0,03 e
0,01, respectivamente, de serem defeituosos.
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4.8. Teorema de Bayes
O Teorema de Bayes permite calcular a probabilidade
posterior de um evento Bj , P(Bj /A), baseada em nova
informação referente ao evento A e conhecendo-se a
probabilidade anterior Bj , P(Bj ).
A = (A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 )
P(B1 ) = 0,6;
Assim B = B1 ∪ B2, onde B é a provisão de 1000
Kg/dia
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Chamando A o evento material defeituoso tem-se:
Probabilidade
4.7. Probabilidade Total
Usando o conceito de probabilidade condicional, temse:
P(Bj /A) = P(Bj ∩ A) / P(A)
Como A está descrito em termos de B1 ,.....,Bk, tem-se
o Teorema de Bayes:
P(Bj /A) = P(Bj ∩ A) / Σ P(Bj ) . P(A/Bj )
P(Bj /A) = P(Bj ) . P(A/Bj ) / [ Σ P(Bj ) . P(A/Bj )]
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4.8. Teorema de Bayes
4.8. Teorema de Bayes
Nota-se que o Teorema de Bayes determina a
probabilidade posterior de um evento Bj , em função de
um evento A e da probabilidade anterior de Bj.
A medição da espessura é feita usando um aparelho
Exemplo:
neste aparelho seja correta.
Uma seção de pavimento de concreto é aceita se sua
espessura for superior a 7,5 cm. A experiência prévia
indica que 90% das seções construídas são aceitas.
Pede-se:
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PPGEP
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ultra-sônico, cuja confiabilidade é de 80%, ou seja, há
uma probabilidade de 80% que a conclusão baseada
Probabilidade
Probabilidade
PPGEP
a) Qual a probabilidade que a seção esteja bem
construída e seja aceita na inspeção?
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4.8. Teorema de Bayes
PPGEP
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4.8. Teorema de Bayes
Solução:
c) A probabilidade que a seção seja aceita quando se
sabe que a seção está bem construída.
Seja A: seção bem construída, isto é, e > 7,5 cm.
Seja B: O aparelho indica que a seção está bem
construída, ou seja, indica que e > 7,5 cm. P(B)=0,90
Essa probabilidade pode ser estimada usando o
Teorema de Bayes. O que se pede é a P(B/A).
Ainda,
Como somente podemos dizer que a seção está bem
construída baseado nas medições temos:
A = (B ∩ A) ∪ (B ∩ A)
Assim, P(A) = P(B) . P(A / B) + P(B) . P(A / B)
P(A/B) = 0,80
Probabilidade
Probabilidade
P(A) = ?
Assim, o que se pede é a P(A ∩ B):
P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B) = (0,90) . (0,80) = 0,72
b) A probabilidade que a seção não esteja bem
construída e seja aceita:
P(A ∩ B) = P(B).P(A / B) = (0,90).(0,20) = 0,18
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P(A) = (0,90) . (0,80) + (0,10) . (0,20) = 0,74
P(B / A) =
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P(B) . P(A / B) (0,90) . (0,80)
=
= 0,973
P(A)
0,74
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PPGEP
4.8. Teorema de Bayes
PPGEP
Como se vê, a probabilidade anterior P(B) = 0,90 é
agora modificada para P(B/A) = 0,973 depois de
Probabilidade
Probabilidade
se saber o evento: a seção está bem construída.
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PPGEP
•4.1. Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se
eles não tem elementos em comum, ou seja, se eles
não podem ocorrer simultaneamente. E um grupo de
eventos é dito coletivamente exaustivo se eles esgotam
todos os resultados possíveis para o experimento em
questão. Dê um exemplo de eventos mutuamente
exclusivos e coletivamente exaustivo.
•4.2. Qual a probabilidade de adivinhar o dia da semana
em que nasceu Pedro Alvarez Cabral? Que suposição
você fez para calcular essa probabilidade?
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33
Exercícios
PPGEP
34
Exercícios
4.5. As falhas de diferentes equipamentos são
independentes uma das outras. Se há três
equipamentos e as suas respectivas probabilidades de
falha em um determinado dia são 1%, 2% e 5%, indique:
4.3. Seja P(A)= 0,30 e P(B)=0,80 e P(A∩B)=0,15. Pedese:
a) A e B são mutuamente exclusivos?
b) Determine P( B)
a) a probabilidade de todos os equipamentos falharem
em um mesmo dia
Probabilidade
c) Determine P(A∪B)
Probabilidade
Exercícios
4.4. Sejam A e B mutuamente excludentes, P(A)=0,52 e
P(B)=0,27. Pede-se:
a) A e B são coletivamente exaustivos?
b) Determine P(A∪B)
c) Determine P(A∩B)
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35
b) de nenhum falhar
4.6. Uma fábrica de azulejos tem um processo de
inspeção em 3 etapas. A probabilidade de um lote
defeituoso passar sem ser detectado em uma dessas
etapas é de aproximadamente 25%. Com base nessa
informação, calcule a probabilidade de um lote defeituoso
passar sem ser detectado por todas as 3 etapas.
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PPGEP
Exercícios
PPGEP
4.7. Há 99% de probabilidade de uma máquina fabricar
uma peça sem defeitos. Supondo que a fabricação de
peças sucessivas constitua eventos independentes,
calcule as seguintes probabilidades:
Exercícios
•4.9. Repita o exercício 4.8 para o caso em que o
inspetor tivesse examinado a matriz e verificado que
ela era defeituosa.
a) de duas peças em seqüência serem defeituosas
4.8. Três máquinas A, B e C fabricam matrizes para
estamparia. O histórico dessas máquinas revela que elas
produzem respectivamente 1%, 2% e 3% de defeituosos.
Um inspetor examina uma matriz e verifica que ela está
perfeita. Sabendo que cada máquina é responsável por
1/3 da produção total, calcule a probabilidade de ela ser
produzida por cada uma das máquinas.
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PPGEP
Probabilidade
Probabilidade
b) de dez peças em seqüência sem defeitos
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37
Exercícios
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•4.11. Uma cidade tem 30 mil habitantes e três jornais X,
Y, Z. Uma pesquisa de opinião revela que: 12 mil lêem X,
8 mil Y, 7 mil X e Y, 6 mil Z, 4.500 lêem X e Z, mil Y e Z e
500 lêem X,Y e Z. Qual a probabilidade de que um
habitante leia:
Probabilidade
Probabilidade
•b) só um jornal
•c) ler o jornal X sabendo que ele lê o jornal Z
39
38
Exercícios
•4.12. Uma empresa exploradora de petróleo
perfura um poço quando acha que há pelo menos
25% de chance de encontrar petróleo. Ela perfura 4
poços, aos quais são atribuídas probabilidades de
0,3 ; 0,4 ; 0,7 e 0,8.
•a) pelo menos um jornal
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•4.10. Repita o exercício 4.8 para o caso em que as
máquinas A, B e C fossem responsáveis,
respectivamente, pelos seguintes percentuais da
produção total: 20%, 40% e 40%.
• a) Determine a probabilidade de nenhum poço
produzir petróleo, com base nas estimativas da
empresa.
• b) Determine a probabilidade de os quatro
poços produzirem petróleo.
• c) Qual a probabilidade de só os poços com
probabilidades 0,3 e 0,7 produzirem petróleo?
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40
Probabilidade
PPGEP
Exercícios
•4.13. Os arquivos da polícia revelam que, das vítimas
de acidente automobilístico que utilizam cinto de
segurança, apenas 10% sofrem ferimentos graves,
enquanto que a incidência é de 50% entre as vítimas
que não utilizam cinto de segurança. Estima-se que em
60% a porcentagem dos motoristas que usam o cinto.
A polícia acaba de ser chamada para investigar um
acidente em que houve um indivíduo gravemente
ferido. Calcule a probabilidade de ele estar usando o
cinto no momento do acidente. A pessoa que dirigia o
outro carro não sofreu ferimentos graves. Calcule a
probabilidade dela estar usando o cinto no momento
do acidente.
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