UERJ 2013
1. (Uerj 2013) As tabelas abaixo mostram os palpites de três comentaristas esportivos sobre
os resultados de cinco diferentes times de futebol, em cinco partidas a serem realizadas.
Comentarista A
Time Empate
1
2
3
x
4
5
Comentarista B
Time Empate
1
2
3
4
x
5
Comentarista C
Time Empate
1
x
2
3
4
5
Vitória
x
Vitória
x
Derrota
x
x
x
Derrota
x
x
x
Vitória
x
x
x
Derrota
x
O resultado de cada time foi acertado por pelo menos dois comentaristas.
Se NA , NB e NC são os números de palpites certos dos comentaristas A, B e C, a relação
entre eles pode ser expressa por:
a) NA > NB > NC
b) NA > NB = NC
c) NA = NB > NC
d) NA = NB = NC
2. (Uerj 2013) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas
com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.
Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de
cinco cartas, um exemplo de quadra:
O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é
igual a:
a) 624
b) 676
c) 715
d) 720
3. (Uerj 2013) Em uma escola, 20% dos alunos de uma turma marcaram a opção correta de
uma questão de múltipla escolha que possui quatro alternativas de resposta. Os demais
marcaram uma das quatro opções ao acaso.
Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma, a probabilidade de que
exatamente um tenha marcado a opção correta equivale a:
a) 0,48
b) 0,40
c) 0,36
d) 0,25
4. (Uerj 2013) Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de sabão unidas.
Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato entre elas é
plana, conforme ilustra o esquema:
Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, unidas de tal modo que a
distância entre seus centros A e B é igual ao raio R. A parede de contato dessas bolhas é um
círculo cuja área tem a seguinte medida:
a)
R2
2
b)
3 R2
2
c)
3 R2
4
d)
4 R2
3
5. (Uerj 2013) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente
industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as
informações a seguir.
- A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias.
- O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte
equação:
T(x) = T0 ⋅ (0,5)
0,1x
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário
para que a toxidez retorne ao nível inicial.
Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a:
a) 30
b) 32
c) 34
d) 36
6. (Uerj 2013) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, consiste em
uma estrutura composta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e por um
parafuso acionado por uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser
alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura:
Considere as seguintes medidas: AM = AN = BM = BN = 4 dm; MN = x dm; AB = y dm.
O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a:
a)
16 – 4x 2
b)
64 – x 2
c)
16 – 4x 2
2
d)
64 – 2x 2
2
7. (Uerj 2013) Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de
papel com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo.
1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente:
2. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de modo que B coincida com o ponto P do
segmento MN:
3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP.
2
A área construída da bandeirinha APBCD, em cm , é igual a:
(
b) 25 ( 6 −
c) 50 ( 2 −
d) 50 ( 3 −
)
3)
3)
3)
a) 25 4 − 3
8. (Uerj 2013) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas
com inclinações diferentes. As figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas
AB = CD = EF, contidas nas retas de maior declive de cada rampa.
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente,
h1, h2 e h3 , conclui-se que h1 + h2 é igual a:
a) h3 3
b) h3 2
c) 2h3
d) h3
9. (Uerj 2013) Em uma atividade escolar, qualquer número X, inteiro e positivo, é submetido
aos procedimentos matemáticos descritos abaixo, quantas vezes forem necessárias, até que
se obtenha como resultado final o número 1.
Se X é múltiplo de 3, deve-se dividi-lo por 3.
Se X não é divisível por 3, deve-se calcular X - 1.
A partir de X = 11, por exemplo, os procedimentos são aplicados quatro vezes. Veja a
sequência dos resultados obtidos:
10
9
3
1
Iniciando-se com X = 43, o número de vezes que os procedimentos são utilizados é igual a:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
10. (Uerj 2013) O código de uma inscrição tem 14 algarismos; dois deles e suas respectivas
posições estão indicados abaixo.
5
8
x
Considere que, nesse código, a soma de três algarismos consecutivos seja sempre igual a 20.
O algarismo representado por x será divisor do seguinte número:
a) 49
b) 64
c) 81
d) 125
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Em um laboratório, duas torneiras enchem dois recipientes, de mesmo volume V, com
diferentes soluções aquosas. Observe os dados da tabela:
Recipiente
R1
R2
Solução
ácido clorídrico
hidróxido de sódio
Tempo de enchimento (s)
40
60
O gráfico abaixo mostra a variação do volume do conteúdo em cada recipiente em função do
tempo.
11. (Uerj 2013) Considere que as duas torneiras foram abertas no mesmo instante a fim de
encher um outro recipiente de volume V. O gráfico que ilustra a variação do volume do
conteúdo desse recipiente está apresentado em:
a)
b)
c)
d)
GABARITO
1) C
Se (r,n) denota o palpite correto sobre o resultado do jogo do time n, segue que
(r, n) ∈ {(d, 1), (d, 2), (v, 3), (d, 4), (v,5)}.
Desse modo, NA = NB = 4 e NC = 3. Portanto, NA = NB > NC .
2) A
Temos 13 conjuntos de quatro valores iguais e para cada um destes conjuntos temos 48 (52 –
4) cartas distintas. Logo, 48 .13 = 624.
3) A
Solução 1:
A probabilidade de acertar a questão marcando uma alternativa ao acaso é
1−
1
, e a de errar é
4
1 3
= .
4 4
Tomando as respostas de dois alunos quaisquer da turma, temos os seguintes casos
favoráveis:
i. um aluno está entre os 20% que marcaram a opção correta e o outro está entre os 80% que
marcaram a resposta errada ao acaso;
ii. os dois alunos estão entre os 80% que marcaram a resposta ao acaso, tendo um deles
acertado a questão e o outro errado.
Logo, a probabilidade de (i) ocorrer é
0,2 ⋅ 0,8 ⋅
3
3
+ 0,8 ⋅ ⋅ 0,2 = 0,24,
4
4
enquanto que a probabilidade de (ii) ocorrer é
0,8 ⋅
1
3
3
1
⋅ 0,8 ⋅ + 0,8 ⋅ ⋅ 0,8 ⋅ = 0,24.
4
4
4
4
Portanto, a probabilidade pedida é igual 0,24 + 0,24 = 0,48.
Solução 2:
!
""
" "
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(
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0
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2
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%
56
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.(
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"
1
4
)(
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.'
23 4
"
0
"
27"
0
6"+
,
4) C
No triângulo retângulo assinalado, temos:
r2 +
R
2
2
= R2 ⇔ r 2 =
3.R2
4
Logo, a área pedida será:
A = .r 2 =
3.R2 3. .R2
=
4
4
5) C
T(x) = 10−1 ⋅ T0
10−1 ⋅ T0 = T0 ⋅ 0,50,1x
log10−1 = log(0,5)0,1x
−1 = 0,1x ⋅ (log1 − log2)
−1 = 0,1x ⋅ (0 − 0,3)
−1 = −0,03x
x = 33,3333...
Logo, D = 34.
1
6) B
Considere a figura.
Seja H o ponto de interseção dos segmentos AB e MN.
Como AMN e MBN são triângulos isósceles congruentes, segue que AMBN é losango. Logo,
y
x
AH = e HN = .
2
2
Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo AHN, obtemos
2
2
2
AH + HN = AN ⇔
y
2
2
+
x
2
2
= 42
⇔ y 2 = 64 − x 2
y = 64 − x 2 dm.
7) B
h2 + 52 = 102
h2 = 100 − 25
h2 = 75
h = 5 3cm
Portanto, a área da bandeirinha será:
A = 10.15 −
10.5 3
= 150 − 25 3 = 25(6 − 3 )cm2
2
8) D
Como
sen15° = sen(45° − 30°)
= sen 45° cos30° − sen30° cos 45°
=
=
2 3 1 2
⋅
− ⋅
2 2 2 2
6− 2
4
Então:
sen15° =
h1
a( 6 − 2)
.
⇔ h1 =
a
4
h
a 2
Além disso, sen 45° = 2 ⇔ h2 =
a
2
Então:
a( 6 − 2) a 2
+
4
2
a( 6 + 2)
=
.
4
h1 + h2 =
Por outro lado,
sen75° = sen(45° + 30°)
= sen 45° cos30° + sen30° cos 45°
2 3 1 2
⋅
+ ⋅
2 2 2 2
6+ 2
=
4
=
Então:
h
a( 6 + 2)
sen75° = 3 ⇔ h3 =
.
a
4
Portanto, h1 + h2 = h3 .
9) A
1º. 43 − 1 = 42
2º. 42 : 3 = 14
3º. 14 − 1 = 13
4º. 13 − 1 = 12
5º. 12 : 3 = 4
6º. 4 − 1 = 3
7º. 3 : 3 = 1
Logo, serão utilizados sete procedimentos.
10) A
Considere a figura.
5 a b c 8 d e f
x
Sabendo que a soma de três algarismos consecutivos é sempre igual a 20, vem
5 + a + b = 20 ⇔ a + b = 15
15 + c = 20
⇔c=5
5 + 8 + d = 20
⇔d=7
7 + e + f = 20
⇔ e + f = 13
13 + x = 20
⇔ x = 7.
Portanto, como 49 = 72 , segue que x é divisor de 49.
11) C
Seja V o volume do recipiente.
Volume que as duas torneiras juntas enchem em 1 s:
V
V
V
+
=
40 60 24
Logo, levarão 24s para encher o recipiente juntas.
V
Como o aumento é de
por segundo, o gráfico é a reta representada na alternativa [C].
24