53. Calcular o valor dos juros pagos por um financiamento de capital de giro de $1.500 por cinco dias
contratado à taxa de 3% a.m., capitalizada diariamente.
Dados: P = $1.500, j = 3% a.m.. k = 30, m = 5 dias, J = ?
k×m
⎡⎛ 0,03 ⎞30×( 5 30 ) ⎤
⎡⎛
⎤
j⎞
J = P ⎢⎜ 1+ ⎟ − 1⎥ = $1.500 ⎢⎜ 1+
− 1⎥ = $7,5150
⎟
30 ⎠
⎢⎣⎝
⎥⎦
⎢⎣⎝ k ⎠
⎥⎦
54. Calcular a taxa nominal anual, capitalizada trimestralmente, equivalente à taxa efetiva de 12% a.a..
Dados: k = 4, i = 12% a.a., n = m = 1 ano, j = ?
j⎞
⎛
(1 + i) n = ⎜ 1+ ⎟
⎝ k⎠
⎛ j⎞
(1,12) = ⎜1+ ⎟
⎝ 4⎠
k×m
4
⇒
j = 0,114949 = 11,50% a.a.
CAPÍTULO 4
Exercícios Propostos
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360
dias.
1. Uma duplicata de $180.000 é descontada quatro meses antes de seu vencimento. Considerando-se
uma taxa de desconto de 60% a.s., calcular o valor do desconto e o valor liberado na modalidade de
desconto comercial.
Dados: N = $180.000, n = 4 meses, d = 60% a.s., D = ?, V = ?
D = N×d×n
D = $180.000 × 0,60 ×
4
⇒ D = $72.000
6
Além disso,
V = N − D ⇒ V= $108.000
2. Considerando-se que um banco aplica uma taxa simples de desconto de 15% a.m. e libera $18.900
no desconto comercial de um título com vencimento para três meses, calcular o valor de resgate e a
taxa de desconto efetiva linear.
Dados: V = $18.900, n = 3 meses, d = 15% a.m, N = ?, i = ?
V = N × (1- d × n )
N=
$18.900
⇒ N = $34.363,64 ⇒ D= $15.463,36
1- 0,15 × 3
Além disso,
d
0,15
=
= 27, 27% a.m
1 − d × n 1 − 0,15 × 3
ou
i=
⎛ D ⎞ ⎛ 30 ⎞ ⎛ $15.463,36 ⎞ ⎛ 30 ⎞
i = ⎜ ⎟×⎜ ⎟ = ⎜
⎟ × ⎜ ⎟ = 27, 27% a.m
⎝ V ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ $18.900 ⎠ ⎝ 90 ⎠
37
3. Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de $120.000 e com vencimento para 180
dias, descontado comercialmente a uma taxa de desconto de 40% a.a..
Dados: N = $120.000, n= 180 dias, d = 40% a.a., V = ?
V = N × (1- d × n )
1⎞
⎛
V = $120.000 × ⎜1- 0,4 × ⎟ ⇒ V = $96.000
2⎠
⎝
4. Calcular a taxa de desconto efetiva linear para uma operação de desconto comercial de um título de
$135.000 descontado por $120.000 quatro meses antes de seu vencimento.
Dados: N = $135.000, V = $120.000, n = 4 meses, i = ?
D = N - V ⇒ D = $15.000
Além disso,
$15.000
⎛ D ⎞ ⎛ 30 ⎞
i = ⎜ ⎟×⎜ ⎟ =
= 3,125% a.m.
V
n
$120.000
×4
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5. Uma duplicata de $86.000, com prazo de vencimento de três meses, teve valor liberado de $80.000.
Determinar a taxa de desconto aplicada na modalidade racional.
Dados: N = $86.000, V = $80.000, D = $6.000, n = 3 meses, i = ?
D = V×i× n
$6.000
i=
= 2,5% a.m.
$80.000 × 3
6. Um lote de LTN com valor de resgate de $4.800.000 é adquirido por $4.000.000. Considerando-se
um prazo de vencimento de 120 dias, calcular a taxa de desconto (ao ano) e a rentabilidade efetiva
linear da operação.
Dados: N = $4.800.000, V = $4.000.000, D = $800.000, n = 4 meses, d =?, i = ?
⎛ D ⎞ ⎛ 360 ⎞ ⎛ $800.000 ⎞ ⎛ 360 ⎞
d = ⎜ ⎟×⎜
⎟=⎜
⎟×⎜
⎟ = 50% a.a.
⎝ N ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ $4.800.000 ⎠ ⎝ 120 ⎠
Além disso,
i=
d
0,5
=
= 60% a.a.
1 − d × n 1 − 0,5 × (1 3)
7. Um banco deseja uma rentabilidade efetiva linear de 180% a.a. em operações de compra de LBC.
Considerando-se que o lote de letras tem vencimento para 90 dias, determinar o P.U. sobre o qual se
deve negociar em termos de desconto comercial e calcular a taxa de desconto mínima exigida.
Dados: i = 180% a.a., n = 90 dias, P.U.= ?, d = ?
i=
1,8 =
d
⎡⎣1 − d × ( n/360 ) ⎤⎦
d
⎣⎡1 − d × ( 90/360 ) ⎦⎤
⇒ d = 124,14% a.a.
Além disso,
P.U.= ⎡⎣1 − d × ( n/360 ) ⎤⎦ = [1 − 1, 2414 × 90 / 360] = 0, 68966
8. Uma duplicata de $880.000 foi descontada comercialmente oito meses antes do vencimento.
Considerando-se uma taxa de desconto efetiva linear de 145% a.a., calcular o valor liberado pelo
banco.
Dados: N = $880.000, i = 145% a.a., n = 8 meses, V = ?
38
⎛ D ⎞ ⎛ 360 ⎞
i = ⎜ ⎟×⎜
⎟
⎝V⎠ ⎝ n ⎠
⎛ $800.000 - V ⎞ ⎛ 360 ⎞
1,45 = ⎜
⎟ × ⎜ 240 ⎟ ⇒ V= $447.457,63
V
⎝
⎠ ⎝
⎠
9. Uma promissória de $450 sofreu um desconto de $54. Considerando-se uma taxa de desconto de
6% a.m., calcular o prazo da operação.
Dados: N = $450, D = $54, d = 6% a.m., n = ?
D = N×d×n
$54 = $450 × 0,06 × n ⇒ n = 2 meses
10. Um título de $13.000 que vence em 120 dias foi descontado comercialmente por $11.400. Calcular
a taxa de desconto (ao ano) e a taxa de desconto efetiva linear .
Dados: N = $13.000, V = $11.400, D = $1.600, n = 120 dias, d = ?, i = ?
⎛ D ⎞ ⎛ 360 ⎞ ⎛ $1.600 ⎞ ⎛ 360 ⎞
d = ⎜ ⎟×⎜
⎟=⎜
⎟×⎜
⎟ = 36,92% a.a.
⎝ N ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ $13.000 ⎠ ⎝ 120 ⎠
Além disso,
⎛ D ⎞ ⎛ 360 ⎞ $1.600 × 3
i = ⎜ ⎟×⎜
= 42,11% a.a.
⎟=
⎝ V ⎠ ⎝ n ⎠ $11.400
11. Um título de $240.000 foi descontado 43 dias antes do vencimento pelo desconto comercial
simples aplicando-se uma determinada taxa de desconto. Considerando-se uma taxa de desconto
efetiva linear da operação de 6% a.m., calcular o valor liberado.
Dados: N = $240.000, i = 6% a.m., n = 43 dias, V = ?
⎛ D ⎞ ⎛ 30 ⎞
i = ⎜ ⎟×⎜ ⎟
⎝V⎠ ⎝ n ⎠
⎛ $240.000 - V ⎞ ⎛ 30 ⎞
0,06 = ⎜
⎟×⎜ ⎟
V
⎝
⎠ ⎝ 43 ⎠
⇒ V= $220.994,48.
12. Para operações de desconto comercial, um banco aplica uma taxa de desconto de 27% a.a. e cobra
2% sobre o valor nominal como TSB. Calcular as taxas de desconto efetivas lineares anuais para os
prazos de um mês, três meses e seis meses.
Dados: d = 27% a.a., TSB = 2%, i1 = ?, i3 = ?, i6 = ?
⎛ d × ( n 12 ) + TSB ⎞ ⎛ 1 ⎞
i=⎜
⎟×
⎜ ⎡1 − d × ( n 12 ) - TSB⎤ ⎟ ⎜⎜ ( n 12 ) ⎟⎟
⎠
⎦⎠ ⎝
⎝⎣
⎛ 0,27 × 1 12 + 0,02 ⎞ ⎛ 1 ⎞
i1 mês = ⎜
= 53,26% a.a.
×
⎜ [1 − 0,27 × 1 12 - 0,02] ⎟⎟ ⎜ 1 12 ⎟
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎛ 0,27 × 3 12 + 0,02 ⎞ ⎛ 1 ⎞
i3 meses = ⎜
⎟⎟ × ⎜
⎟ = 38,36% a.a.
⎜
⎝ [1 − 0,27 × 3 12 - 0,02] ⎠ ⎝ 3 12 ⎠
⎛ 0,27 × 6 12 + 0,02 ⎞ ⎛ 1 ⎞
i 6 meses = ⎜
= 36,69% a.a.
×
⎜ [1 − 0,27 × 6 12 - 0,02] ⎟⎟ ⎜ 6 12 ⎟
⎠
⎝
⎠ ⎝
13. Uma duplicata de $72.000 com vencimento para cinco meses foi descontada comercialmente a
39
uma taxa de desconto de 2% a.m.. Considerando-se que foi paga uma taxa de serviço bancário de
2,5% sobre o valor nominal do título, calcular o valor líquido liberado pelo banco e a taxa de desconto
efetiva linear da operação.
Dados: N = $72.000, d = 2% a.m., TSB = 2,5%, n = 5 meses, i = ?, V = ?
Além disso,
i=
d × n + TSB
1
×
[1 − d × n - TSB] n
i=
0,02 × 5 + 0,025
1
× = 2,86% a.m. = 34,29% a.a.
[1 − 0,02 × 5 - 0,025] 5
V = N (1 − TSB − d × n )
V = $72.000 (1 − 0,025 − 0,02 × 5 ) ⇒ V = $63.000
14. Duas letras, uma de $10.000 e outra de $8.000, foram descontadas pelo desconto comercial
simples aplicando-se uma taxa de desconto de 36% a.a.. Considerando-se que o valor do desconto
total é de $4.400 e que o prazo da segunda letra excede em dez dias o prazo da primeira, determinar os
prazos e as taxas de desconto efetivas lineares das letras.
Dados: N1 = $10.000, N2 = $8.000, d = 36% a.a., D = $4.400, n2 = n1+10 dias, n1 = ?, i1 = ?, i2 = ?
D = N×d×n
$4.400 =
0,36
× ( $10.000 × n1 +$8.000 × [ n1+ 10 ]) ⇒ n1 =240 dias ⇒ n2 = n1+10 =250 dias
360
Além disso,
i=
d
⎡⎣1 − d × ( n/360 ) ⎤⎦
i1 =
0,36
⎡⎣1 − 0,36 × ( 240/360 ) ⎤⎦
⇒ i1 = 47,37% a.a.
i2 =
0,36
⎡⎣1 − 0,36 × ( 250/360 ) ⎤⎦
⇒ i2 = 48% a.a
15. Duas letras pagáveis, respectivamente, em 150 e 120 dias, foram descontadas comercialmente a
uma taxa de desconto de 5% a.m., e a soma dos valores dos descontos foi de $53.000. Determinar os
valores nominais dos títulos sabendo-se que, se essa operação fosse feita 20 dias mais tarde, a taxa de
desconto seria de 8% a.m. e a soma dos valores dos descontos seria de $72.000.
Dados: d1 = 5% a.m., D1+ D2= $53.000, D1+ D2= $72.000, d2 = 8% a.m. n1 = 150 dias, n2 = 120
dias, N1 = ?, N2 = ?
D = N ×d×n
⎧
$53.000 =
⎪⎪
⎨
⎪$72.000 =
⎩⎪
0,05
⎫
× (150 × N1 +120 × N2 ) ⎪
⎧$1.060.000 = 5 × N1 +4 × N2 ⎫
⎪
30
⎬ ⇒⎨
⎬
0,08
$2.700.000 = 13 × N1 +10 × N2 ⎭
⎩
⎪
× (130 × N1 +100 × N2 )
30
⎭⎪
N1 = $100.000 ⇒ N2 = $140.000
16. Dois títulos com prazos, respectivamente, de 60 e 90 dias foram descontados comercialmente à
taxa de desconto de 6% a.m., produzindo os mesmos valores liberados para ambos os títulos.
Considerando-se que a diferença entre o valor nominal (valor de resgate) do primeiro e o valor do
desconto do segundo é de $166.454,55, calcular os valores nominais dos títulos.
Dados: d = 6% a.m., N1 –D2= $166.454,55 n1 = 60 dias, n2 = 90 dias, N1 = ?, N2 = ?
40
V = N (1 − d × n )
N1 (1 − 0,06 × 2 ) = N2 (1 − 0,06 × 3) ⇒ N1 = 0,9318 × N2
Logo,
D = N ×d×n
N1 = 0,9318 × N2 = $166.454,55 + 0,06 × 3 × N2
N2= $221.402,67 ⇒ N1= $206.307,03
17. Dois títulos vencíveis, respectivamente, em 33 e 66 dias foram descontados comercialmente, o
primeiro à taxa de desconto de 40% a.a. e o segundo à taxa de 38% a.a., totalizando um desconto de
$1.760. Considerando-se que o valor nominal do primeiro é a metade do valor nominal do segundo,
calcular os valores nominais dos dois títulos.
Dados: d1 = 40% a.a., d2 = 38% a.a., D = $1.760, N1 = N2/2, n1 = 33 dias, n2 = 66 dias, N1 = ?, N2 = ?
D = N×d×n
0, 40
0,38
⎛
⎞
$1.760 = ⎜ N1 ×
× 33 + [ 2 × N1] ×
× 66 ⎟ ⇒ N1 = $10.000 ⇒ N2 = $20.000
360
360
⎝
⎠
18. Uma duplicata de $20.000 foi descontada comercialmente 120 dias antes do vencimento.
Considerando-se que o valor líquido liberado foi de $18.000 e sabendo-se que foi cobrada uma
comissão de 2% sobre o valor nominal da duplicata, calcular a taxa mensal de desconto e a taxa de
desconto efetiva linear da operação.
Dados: N = $20.000, V = $18.000, D = $2.000, n = 120 dias, s = 2%, d = ?, i = ?
V = N (1 − s − d × n )
$18.000 = $20.000 (1 − 0,02 − d × 4 ) ⇒ d = 2% a.m.
Além disso,
i=
d×n + s
1
×
[1 − d × n - s] n
=
0,02 × 4 + 0,02
1
× = 2,78% a.m.
[1 − 0,02 × 4 - 0,02] 4
19. Duas letras pagáveis, respectivamente, em 186 e 90 dias foram descontadas comercialmente a uma
taxa de desconto de 5% a.m., e a soma dos valores dos descontos totalizou $1.070. Se essa operação
fosse feita dez dias mais tarde, a taxa de desconto seria de 6% a.m. e a soma dos descontos totalizaria
$1.184. Calcular os valores nominais dos títulos.
Dados: d12 = 5% a.m., D12 = $1.070, d3 = 6% a.m., D3 = $1.184, n1 = 186 dias, n2 = 90 dias, N1 = ?,
N2 = ?
D = N ×d×n
⎧
$1.070 =
⎪⎪
⎨
⎪$1.184 =
⎩⎪
0,05
⎫
× (186 × N1 +90 × N2 ) ⎪
⎧$7.133,33 = 2,067 × N1 +1 × N2 ⎫
⎪
30
⎬ ⇒⎨
⎬
0,06
⎩$59.200 = 17,6 × N1 +8 × N2 ⎭
× (176 × N1 +80 × N2 ) ⎪
⎪⎭
30
N1 = $2.000 ⇒ N2 = $3.000
20. O possuidor de um título de $20.000, com vencimento para três meses, tem duas possibilidades:
vendê-lo por $19.500 a um particular ou descontá-lo comercialmente em um banco que aplica uma
taxa de desconto de 1% a.m.. Determinar qual transação é a mais vantajosa.
Dados: N = $20.000, G = $19.500, n = 3 meses, d = 1% a.m., V = ?
V = N × (1- d × n )
V = $20.000 × (1- 0,01× 3) ⇒ V = $19.400
41
Como o banco liberará apenas $19.400, a melhor opção é vendê-lo por $19.500!
Analogamente, podemos resolver o problema comparando os descontos:
D = N×d×n
D = $20.000 × 0,01× 3 ⇒ D = $600
Como o banco descontará $600, a melhor opção é vendê-lo por $19.500
(um desconto de apenas $500)!
21. Dois títulos, o primeiro com vencimento para 60 dias e o segundo para 90 dias, foram descontados
racionalmente à taxa de 6% a.m.. Considerando-se que os dois tiveram o mesmo valor liberado e que a
diferença entre o valor nominal do primeiro e o valor do desconto do segundo é de $4.160,91, calcular
os valores nominais dos títulos.
Dados: d = 6% a.m., N1 – D2 = $4.160,91, V1 = V2, n1 = 60 dias, n2 = 90 dias, N1 = ?, N2 = ?
D = V×d×n
D2 = 0,18V2
Logo,
N = V (1+ d × n )
N1 = $4.160,91 + 0,18V = V (1+0,06 × 2 )
V = $4.426,50 ⇒ N1= $4.957,68 ⇒ N2= $5.223,27
22. Dois títulos foram descontados comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa de desconto de
4% a.m., totalizando um desconto de $2.000. Considerando-se que o valor de resgate do segundo é o
dobro do valor de resgate do primeiro, calcular os valores de resgate dos títulos.
Dados: d = 4% a.m., D = $2.000, N2 = 2 × N1, n = 60 dias, N1 = ?, N2 = ?
D = N×d×n
$2.000 = 0.04 × 2 ( N1 + 2 × N1) ⇒ N1 = $8.333,33 ⇒
N2 = $16.666,67
23. A soma dos valores dos descontos e dos valores líquidos liberados por duas promissórias
descontadas comercialmente totalizaram, respectivamente, $6.300 e $143.700. O valor de resgate da
segunda promissória é o dobro do valor de resgate da primeira e vence 30 dias depois. Considerandose uma taxa de desconto de 2,1% a.m., determinar os valores de resgate e os prazos dos títulos.
Dados: d = 2,1% a.m., D1 + D2 = = $6.300, V1 + V2 = $143.700, N2 = 2 × N1, n2 = n1 + 30, N1= ?, N2
= ?, n1 = ?, n2 = ?
N1 + N2 = ( D1 +V1 ) + ( D 2 +V2 ) = $150.000
N1 + 2N1 =$150.000 ⇒ N1 = $50.000
N2 = 2 × $50.000 = $100.000
Além disso,
D = N×d×n
0, 021
$6.300 =
( $50.000 × n1 +$100.000 × [n1 +30]) ⇒ n1 = 40 dias ⇒ n2 = 70 dias
30
24. Duas letras com prazos, respectivamente, de 40 e 120 dias foram descontadas comercialmente à
taxa de desconto de 6% a.m., e a soma dos valores dos descontos totalizou $24.800. Se a operação
fosse feita dez dias mais tarde, teria sido aplicada uma taxa de desconto de 5% a.m., e a soma dos
valores dos descontos comerciais totalizaria $18.500. Determinar os valores nominais das letras.
Dados: d = (6% a.m. e 5% a.m. ), D1 + D2 = $24.800, D1 + D2 = $18.500, n1 = 40 dias, n2 = 120 dias,
N1 = ?, N2 = ?
42
D = N ×d ×n
⎧
⎪⎪$24.800 =
⎨
⎪$18.500 =
⎩⎪
0,06
⎫
× ( 40 × N1 +120 × N2 ) ⎪
⎧$310.000 = N1 +3 × N2
⎫
⎪
30
⎬ ⇒⎨
⎬
0,05
$1.110.000
3
N
+11
N
1
2
=
×
×
⎩
⎭
× ( 30 × N1 +110 × N2 ) ⎪
⎭⎪
30
N1 = $40.000 ⇒ N2 = $90.000
25. Duas letras vencíveis, respectivamente, em 90 e 45 dias foram descontadas racionalmente a uma
taxa simples de 2% a.m., e a soma dos valores dos descontos foi de $300. Calcular o valor total
liberado pelas duas letras, sabendo-se que, se essa operação se realizasse 30 dias mais tarde, a soma
dos valores dos descontos teria sido de $180.
Dados: i = 2% a.m., D1 + D2 = = $300, D1 + D2 = $180, n1 = 90 dias, n2 = 45 dias, V = V1+ V2 = ?
D = V×i × n
⎧
$300 =
⎪⎪
⎨
⎪$180 =
⎩⎪
0,02
⎫
× ( 90 × V1 +45 × V 2 ) ⎪
⎧$10.000 = 2 × V1 +1 × V 2 ⎫
⎪
30
⎬ ⇒⎨
⎬
0,02
⎩$18.000 = 4 × V1 +1 × V 2 ⎭
× ( 60 × V 1 +15 × V2 ) ⎪
30
⎭⎪
V 1 = $4.000 ⇒ V 2 = $2.000 ⇒ V= $6.000
26. Uma nota promissória de $5.000 foi descontada racionalmente 60 dias antes do vencimento à taxa
simples de 3% a.m.. Calcular o valor líquido recebido pelo possuidor do título.
Dados: i= 3% a.m., N = $5.000, n = 2 meses, V =?
N = V(1+ i × n)
⇒ V=
N
$5.000
=
= $4.716, 98
(1+ i × n) 1+0,03 × 2
27. Um título de $50.000 sofreu um desconto comercial de $4.000. Considerando-se uma taxa de
desconto efetiva linear de 10,87% a.m., determinar o prazo da operação.
Dados: i = 10,87% a.m., D = $4.000, N = $50.000, n = 60 dias, n =?
D = N×d×n
⎛ n ⎞
$4.000 = $50.000 × d × ⎜ ⎟ ⇒ d × n = 2,4
⎝ 30 ⎠
Além disso,
i=
0,1087 =
d
⎣⎡1 − d × ( n 30 ) ⎦⎤
d
1
0,
08]
−
[
⇒ d = 10% a.m. e n =
2,4
=24 dias
0,10
28. Uma promissória de $22.000 teve um desconto comercial de $2.000. Considerando-se que a taxa
efetiva exponencial da operação é de 4,8809% a.m., determinar o prazo da operação e a taxa de
desconto contratada.
Dados: ie = 4,8809% a.m., D = $2.000, N = $22.000, n = ?, d = ?
D = N×d×n
⎛ n ⎞
$2.000 = $22.000 × d × ⎜ ⎟ ⇒ d × n = 2,727
⎝ 30 ⎠
Além disso,
i e = ( N/V )
30/n
−1
0,048809 = ( $22.000 / $20.000 )
30/n
43
− 1 ⇒ 1,048809 = (1,1)
30/n
aplicando logaritmos: n × log 1,048809 = 30 × log 1,1
n= 60 dias ⇒ d= 4,5455% a.m.
29. Um banco emprestou $100.000 por 40 dias a juros efetivos compostos de 26% a.a.. Considerandose que o banco descontará comercialmente uma promissória com valor nominal de $50.022,36 a uma
taxa de desconto de 4% a.m., determinar o prazo do desconto de modo que as duas operações
produzam o mesmo rendimento.
Dados: P = $100.000, i = 26% a.a., n1 = 40 dias, N = $50.022,36, d = 4% a.m., n2 = ?
juros obtidos no desconto = juros obtidos no empréstimo
D=J
n1
N × d × n2 = P ⎡(1+i ) − 1⎤
⎣
⎦
40 360
⎛ n2 ⎞
$50.022,36 × 0,04 × ⎜ ⎟ = $100.000 ⎡(1,26 )
− 1⎤ ⇒ n2 = 39 dias
⎣
⎦
30
⎝ ⎠
30. Um banco pode emprestar $25.000 a juros efetivos de 42% a.a. ou empregar esse capital em
operações de desconto comercial com prazo de 90 dias. Qual deve ser a taxa de desconto aplicada na
operação, de modo que o banco tenha um rendimento igual ao obtido no empréstimo?
Dados: P = $25.000, i = 42% a.a., n = 90 dias, d = ?
juros obtidos no desconto = juros obtidos no empréstimo
D=J
n
N × d × n = P ⎡(1+i ) − 1⎤
⎣
⎦
3 12
$25.000 × d × 3 = $25.000 ⎡(1,42 ) − 1⎤ ⇒ d= 3,0541% a.m.
⎣
⎦
31. Um título com valor nominal de $240.000 foi descontado comercialmente 60 dias antes do
vencimento a uma taxa de desconto de 4% a.m.. Calcular o valor líquido liberado ao seu portador e a
taxa de desconto efetiva exponencial anual.
Dados: N = $240.000, n = 60 dias, d = 4% a.m., V = ?, ie = ?
V = N (1 - d × n )
V = $240.000 (1 - 0,04 × 2 ) ⇒ V = $220.800
Além disso,
i e = ( N/V )
360/n
−1
i e = ( $240.000 / $220.800 )
360/60
− 1 ⇒ i e = 64,9199% a.a.
32. Uma empresa descontou comercialmente, 100 dias antes do vencimento, uma duplicata de
$20.000. Considerando-se que o valor líquido liberado foi de $19.000, calcular a taxa de desconto
mensal e a taxa de desconto efetiva exponencial anual .
Dados: N = $20.000, n = 100 dias, V = $19.000, d = ?, ie = ?
n ⎞
⎛
V = N ⎜1 - d × ⎟
30 ⎠
⎝
100 ⎞
⎛
$19.000 = $20.000 × ⎜ 1 - d ×
⎟ ⇒ d = 1,5% a.m.
30 ⎠
⎝
Além disso,
i e = ( N/V )
360/n
−1
i e = ( $20.000 / $19.000 )
360/100
− 1 ⇒ i e = 20,2804% a.a.
44
33. Calcular o valor nominal de uma nota promissória descontada comercialmente três meses antes do
vencimento de modo que seu valor liberado seja igual à soma dos valores liberados por três duplicatas
com valores nominais, respectivamente, de $100, $500 e $700 descontadas pelo mesmo prazo e taxa
de desconto da nota promissória.
Dados: N1 = $100, N2 = $500, N3 = $700, n = 3 meses, d = d123, V = $19.000, N = ?
3
n ⎞
⎛
V = ∑ i=1 Vi = N ⎜ 1 - d × ⎟
30 ⎠
⎝
n ⎞
n ⎞
n ⎞
n ⎞
⎛
⎛
⎛
⎛
N ⎜ 1 - d × ⎟ = N1 ⎜ 1 - d × ⎟ + N2 ⎜ 1 - d × ⎟ + N3 ⎜ 1 - d × ⎟
30 ⎠
30 ⎠
30 ⎠
30 ⎠
⎝
⎝
⎝
⎝
N = N1 + N2 + N3 ⇒ N = $1.300
34. Um lote de títulos públicos com vencimento para 180 dias foi negociado a $20.000. Considerandose que a rentabilidade efetiva exponencial da operação foi de 2% a.m., determinar o P.U. das letras.
Dados: ie = 2% a.m., n = 180 dias, V = $20.000, P.U.= ?
ie = (1/P.U. )
0,02 = (1/ PU )
30 /180
30/n
−1
− 1 ⇒ 1, 02 = (1/ PU )
1/ 6
⇒ PU = 0,887971
35. O quociente entre o valor nominal e o valor liberado por um título descontado comercialmente 60
dias antes do vencimento é 1,03. Calcular a taxa de desconto efetiva linear e exponencial da operação.
Dados: N/V = 1,03, n = 60 dias, i = ?, ie = ?
i e = ( N/V )
i e = (1,03)
30/n
−1
30/60
− 1 ⇒ i e = 1,4889% a.a.
Além disso,
⎛ D ⎞ ⎛ 30 ⎞
i = ⎜ ⎟×⎜ ⎟
⎝V⎠ ⎝ n ⎠
⎛ 30 ⎞
i = (1,03 - 1) × ⎜ ⎟ ⇒ i = 1, 5% a.m.
⎝ 60 ⎠
36. Um título com valor nominal de $2.000 foi descontado comercialmente. Considerando-se que a
taxa de desconto efetiva exponencial foi 3% a.m. e que a antecipação foi de dois meses, calcular a taxa
mensal de desconto e o valor do desconto.
Dados: ie = 3% a.m., N = $2.000, n = 2 meses, d = ?, D = ?
D = N×d×n
D = $2.000 × 2 × d ⇒ D = $4.000 × d
Além disso,
1/n
⎛ 1 ⎞
ie = ⎜
⎟
⎝ 1− d × n ⎠
−1
1/2
-1/2
⎛ 1 ⎞
0,03 = ⎜
⎟ − 1 ⇒ 1,03 = (1- 2 × d )
⎝ 1− d × 2 ⎠
d = 2,8702% a.m. ⇒ D = $4.000 × d = $4000 × 0,08792 = $114,81
37. Calcular a taxa de juros efetiva composta que um banco deverá adotar para emprestar um capital
de €$10.000 por 4 meses, de modo que tenha uma remuneração igual à obtida no desconto comercial
de uma duplicata de $20.000 descontada pelo mesmo prazo à taxa de desconto de 2% a.m..
Dados: P = $10.000, N = $20.000, n = 4, d = 2% a.m., € i = ?
45
juros obtidos no desconto = juros obtidos no empréstimo
D=J
n
N × d × n = P ⎡(1+i ) − 1⎤
⎣
⎦
4
$20.000 × 0,02 × 4 = $10.000 × ⎡(1+i ) − 1⎤
⎣
⎦
(1+i )
⇒
4
= 1,16
⇒ i= (1,16 )
1/ 4
− 1 = 3,7880% a.m.
CAPÍTULO 5
Exercícios Propostos
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360
dias e pagamentos postecipados (termos vencidos).
1. Um financiamento de $132.000 será liquidado em 14 prestações mensais. Considerando-se que a
taxa de juros efetiva cobrada será de 3% a.m., calcular o valor das prestações na hipótese de serem
pagas: a) postecipadamente (final de cada mês); e b) antecipadamente (início de cada mês).
Dados:
P = $132.000, i =3% a.m., n = 14, R = ?
a) prestação postecipada:
R=
R=
Financiamento
an i%
P
a14 3%
=
$132.000
⎡ (1,03) − 1 ⎤
⎢
⎥
⎢ (1,03)14 × 0,03 ⎥
⎣
⎦
14
=
$132.000
=$11.685,48
11, 29607
b) prestação antecipada:
As prestações são calculadas com base no financiamento efetivo (financiamento menos a primeira
prestação paga no ato):
R=
Financiamento efetivo empréstimo - primeira prestação paga no ato
=
an-1 i%
an-1 i%
R=
P-R
a13 3%
R=
$132.000 − R
⎡ (1,03)13 − 1 ⎤
⎢
⎥
⎢ (1,03)13 × 0,03 ⎥
⎣
⎦
$132.000 − R
R=
⇒ R =$11.345,12
10, 63496
2. Uma pessoa deposita $2.450 todo final de mês em um fundo de investimento que paga juros
nominais de 120% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular o montante da aplicação no fim do 16o
mês.
Dados:
R = $2.450, J =120% a.a., k =12, n = 16, S = ?
46