José Paulo Viana
O problema deste número
Berlindes em quatro taças
O Valter colocou quatro taças, uma em cada vértice de um quadrado, e em cada taça pôs um berlinde. Depois, carregado com um grande saco de berlindes, partiu de um dos vértices e seguiu sempre ao longo dos lados do quadrado.
Só parava quando chegava a uma taça e então:
— se viesse segundo o sentido dos ponteiros do relógio, deitava na taça tantos berlindes quantos os que se encontravam na taça de onde vinha,
— se viesse em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, retirava ou punha na taça os berlindes necessários de
modo ficasse lá uma quantidade igual à da taça de onde vinha.
Como fez o Valter para que cada taça ficasse com 98 berlindes?
(Respostas até 28 de Fevereiro)
Caminho pelo bosque
O problema proposto no número 78 de Educação e
Matemática foi o seguinte:
Perto de Viana do Castelo há um belo e simpático bosque limitado por uma estrada em linha recta. De dois
pontos (A e B) da estrada saem uns caminhos bem a
direito que vão dar a uma cabana. Certo dia, a Teresa
partiu a pé do ponto A em direcção à cabana mas, a
certa altura, desistiu de ir até ao fim. Por isso, meteu
a corta-mato, paralelamente à estrada, até encontrar o
outro caminho (em E) e regressou à estrada por este
caminho.
descobertas as relações entre o segmento DE e o triângulo inicial, trataram de fazer a demonstração do resultado.
Não deixa de ser curiosa a variedade de resoluções que
apareceram.
A Ana Luisa e a Teresa seguiram processos muito parecidos.
Eis como a Teresa descreve o que fez (depois de seguir
outros caminhos mais longos):
�
Cabana
Bosque
D
A
�
�
E
Estrada
�
�
B
Curiosamente, a distância que percorreu a corta-mato
foi exactamente igual ao total do que andou nos dois
caminhos.
Como descobrir geometricamente o ponto D em que a
Teresa abandonou o primeiro caminho?
Tivemos 9 respostas: Américo Bento (Vila Real), Ana Luísa
Correia (Lisboa), António Lucas (Castelo Mendo), António
Rebolho (Avelãs de Caminho), Graça Braga da Cruz, Joana
Latas (Évora), João Maria de Oliveira (Cartaxo), Pedrosa
Santos (Queluz) e, claro, da Teresa Pimentel (Viana do
Castelo).
Quase todos estes leitores utilizaram um programa de geometria dinâmica para a investigação do problema. Depois,
�
Construo as bissectrizes de dois ângulos. Depois, pelo
ponto de intersecção F, faço passar uma paralela a AB
obtendo D e E. Meço AD e DF, FE e EB e, maravilha!!!
São iguais!!!
Logo, o processo é:
Traçar o incentro do triângulo e por ele conduzir uma paralela ao lado AB obtendo D e E por intersecção com AC e
BC.
Claro, é preciso a demonstração. Eis a da Ana Luísa:
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� (AF é a bissectriz)
���
� (ângulos alternos internos)
��� � � � ��
� � ��� � .
logo ���
Educação e Matemática nº 80 • Novembro/Dezembro de 2004
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O problema deste número
Então, o triângulo DAF é isósceles e �� � �� .
O processo do Américo foi:
De modo semelhante se mostra que �� � �� .
Traçar uma paralela XY a AB e nela marcar os pontos X’
e Y’ de modo que �� � � �� e � � � � �� . Traçar as
semirectas AX’ e BY’. O segmento DE passa no ponto de
intersecção F destas semirectas.
O António Lucas chegou às mesmas conclusões mas por
uma via mais longa.
A Joana constata experimentalmente, com um programa
de geometria dinâmica, que a distância AD é um terço da
distância AC e que BE é um terço de BC. Assim sendo, o
segmento DE passa pelo incentro do triângulo.
A Graça começa por desenhar o trapézio AD’E’B’ nas
condições do problema, excepto que o lado E’B’ não está
sobre o caminho BC. A intersecção da recta AE’ com o
lado BC é o ponto E procurado. A demonstração resulta
do facto dos trapézios AD’E’B’ e ADEB serem semelhantes.
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O Pedrosa e o António Rebolho descobriram processos
correctos e diferentes dos anteriores mas, como diz o primeiro, “não necessariamente os mais expeditos.”
�
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O problema do ProfMat 2004
José Paulo Viana
O concurso apresentado aos participantes no ProfMat 2004 da Covilhã
consistiu na resolução do problema
Cordas Queimadas:
Temos duas cordas. Se lhes deitarmos fogo numa das pontas, a
primeira demora exactamente 10
minutos a arder enquanto que a
segunda demora 8 minutos.
As cordas são de fabrico muito artesanal pelo que se, por exemplo,
dividíssemos a primeira ao meio,
nada garantiria que cada metade
ardesse em cinco minutos.
Usando apenas estas duas cordas, quais são os tempos que seria possível medir com exactidão?
Quando se começa a pensar neste
problema, parece que não são possíveis mais do que quatro tempos. No
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Educação e Matemática nº 80 • Novembro/Dezembro de 2004
entanto, a certa altura faz-se um click
cá dentro e descobrem-se mais possibilidades. Todos os concorrentes conseguiram pelo menos doze tempos.
Os doze tempos são obtidos usando,
na definição da Iva e do Nuno, duas
técnicas:
Técnica simples — deitar fogo a uma
ponta da corda.
Técnica dupla — pegar simultaneamente fogo às duas pontas da corda.
Assim, a corda vai ardendo irregularmente a partir dos dois lados mas,
garantidamente, irá demorar metade
do tempo a arder completamente. A
equipa dos dois Josés e a do António
e do Valter incluíram mesmo a demonstração matemática deste resultado.
Com a técnica simples, a primeira
corda demora 10 minutos a arder e a
segunda demora 8:
A = 10 minutos
B = 8 min
Nota: como diz, e muito bem, a equipa
da Maria de Deus, “o símbolo min
significa minutos, de acordo com o
Sistema Internacional de Unidades e
a legislação em vigor (Decreto-Lei nº
238/94 de 19 de Setembro …”.
Com a técnica dupla, a primeira corda
arde em 5 minutos e a segunda em 4:
A/2 = 5 min, B/2 = 4 min.
Se deixarmos arder uma corda e depois outra e contarmos os tempos
desde início, as possibilidades são:
A + B = 18 min
A+(B/2) = 14 min
(A+2) + (B/2) = 9 min
uma corda arde a partir de uma ponta
mas quando a segunda corda acaba,
chegamos fogo à outra extremidade
da primeira corda.
Se fizermos arder as duas cordas simultaneamente e contarmos o tempo
que decorre entre o fim de uma e o
fim da outra, as possibilidades são:
Nove dos concorrentes usaram este
processo, embora só três tivessem
conseguido todos os tempos possíveis:
A – B = 2 min
E estamos chegados aos doze tempos. No entanto, com grande surpresa da organização do concurso,
houve quem fosse mais fundo na
forma raciocinar, chegando àquilo a
que podemos chamar a Técnica mista:
• Acender as duas pontas de A e
uma de B. Aos 5 minutos A acaba
e restam 3 minutos a B. Acender a
outra ponta de B, que arde em 1,5
minutos. Tempo total: 6,5 min.
• Igual ao anterior, mas contamos o
tempo desde que A acaba: 1,5 min.
• Acender as duas pontas de B e
uma de A. Aos 4 minutos, B acaba
e restam 6 minutos a A. Acender
a outra ponta de A, que arde em 3
Lista de participantes
Premiados e Prémios
Individuais:
1º.
(A/2) + B = 13 min
A – (B/2) = 6 min
B – (A/2) = 3 min
(A/2) – (B/2) = 1 min
Alzira Santos
António Borralho
Carlos Farias
Carlos Próspero
Jorge Nuno Silva
José Manuel Duarte
Maria do Céu Belarmino
2º.
3º.
4º.
5º.
Miguel Mata
Sílvia Grosso
6º.
Em equipa:
Ana Paula Júlio e Paulo Correia
Anabela Torres, Mª de Deus Torres,
José Vieira e Célia Vieira
António Dias e Valter Carlos
Beatriz Barbosa e Isabel Leite
7º.
8º.
Iva & Nuno Angelino
José Carlos Campos e José
Fernandes
Judite Barbedo, Manuela Silva e
Isabel Silva
9º.
minutos. Tempo total: 7 min.
Com estas cordas, subaproveita-se
esta última possibilidade: desde que B
acaba até ao fim, decorrem 3 min, um
tempo já obtido anteriormente. Se as
cordas demorassem outros tempos a
arder seria possível obter um máximo
de 16 tempos.
Conclusão: com as cordas dadas são
possíveis 15 tempos, que foram indicados pelas equipas António-Valter e
Torres-Vieira e ainda pela Céu:
1 – 1,5 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 6,5 – 7
– 8 – 9 – 10 – 13 – 14 – 18.
José Paulo Viana
Esc. Sec. Vergílio Ferreira
António Dias e Valter Carlos
Calculadora Gráfica Voyage 200, oferta Texas Instruments
Maria do Céu Belarmino
Calculadora Gráfica FX 9750 G Plus
Anabela Torres, Mª de Deus Torres, José Vieira e Célia Vieira
Jogo Triggery
Carlos Farias
Livros Antologia de Puzzles de David Wells e E=mc2 de David Bonadis
Miguel Mata
Livros 2+2=11 de Natália Bebiano e Conceitos Fundamentais da
Matemática de Bento de Jesus Caraça
Ana Paula Júlio e Paulo Correia
Livros Matemática ou Mesas, cadeiras e canecas de cerveja de Natália
Bebiano e O mistério do Bilhete de Identidade e Outras Histórias de
Jorge Buescu
António Borralho
Poliedros Areal + o livro Uma Aventura Matemática na Internet de
Paulo Afonso
Jorge Nuno Silva
Um cachecol de lã da Serra da Estrela, oferta ProfMat 2004 + o livro
Uma Aventura Matemática na Internet de Paulo Afonso
Judite Barbedo, Manuela Silva e Isabel Silva
CD educativo Países do Mundo + o livro Uma Aventura Matemática na
Internet de Paulo Afonso
Atenção: Os prémios devem ser levantados até 30 de Junho de 2005.
Por favor, contactar a sede da APM em Lisboa.
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