POLINÔMIOS – Professor Clístenes Cunha
5-(Cefet PR-00) Se P(x)= x5-7x4-3x3-36x230x+5, o valor de P(8) será:
1-(Unifor CE-99) Sabe-se que uma das raízes da
equação 2x4  x3  mx2  10x  4  0 é
1
. A
2
partir dessa informação conclui-se que m é um
número:
a)
b)
c)
d)
e)
primo.
quadrado perfeito.
múltiplo de 3.
cubo perfeito.
divisor de 18.
2-(UFU MG-01) Considere o polinômio p(x) =
ax2 – 3(a + 5)x + a2, com a  IR. Assim, o
conjunto S dos valores positivos de a para os
quais p(1) < 0 é igual a:
a)
b)
c)
d)
S = {a  IR:0 < a < 5}
S = {a  IR:a > 5}
S = {a  IR:a > 0}
S = {a  IR:3 < a < 5}
3-(Furg RS-00) Sejam os polinômios f = (x + y
+ 2x²)², g = x²( x + y + x²), e h = (x + y)². Os
números reais a e b que satisfazem f = a.g + b.h
são respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
1e1
1e2
1e4
2e1
4e1
a)
b)
c)
d)
e)
-9484
-4486
1
-36
21
6-(Cefet RJ-00) Entre as equações abaixo, a que
tem o número complexo 2 + 3i como uma de
suas raízes é:
a)
b)
c)
d)
e)
x² + 3x + 1 = 0
x² - 4x – 5 = 0
x³ - 4x² + 13x = 0
x4 + 81 = 0
x4 + x² + 13 = 0
7-(UEMT MT) Se a equação 2x4 + ax3 + (a –
2)x2 + (a2 – 4)x + (a + 2) = 0 admite raiz nula,
então as raízes não nulas são:
a)
b)
c)
d)
–2 e –1
–2 e 1
–2 e 2
–1 e 2
8-(UDESC SC-05) O grau do polinômio que
expressa o determinante da matriz
x x 1 
A   2 x  x  é:
 1 x 1 
4-(UFMG MG-01) Observe esta figura:
a)
b)
c)
d)
y
B
3
2
1
0
9-(UFMG MG-04) O gráfico da função p(x) =
x3 + (a + 3)x2 – 5x + b contém os pontos (–1, 0)
e (2, 0).
Assim sendo, o valor de p(0) é:
A
x
Nessa figura, estão representados o ponto A,
cuja abscissa é 1, e o ponto B, cuja ordenada é
5. Esses dois pontos pertencem ao gráfico da
função f(x) = (x + 1)(x3 + ax – b), em que a e b
são números reais.
Assim sendo, o valor de f(4) é:
a)
b)
c)
d)
65
115
170
225
a)
b)
c)
d)
1.
– 6.
–1.
6.
10-(UFJF MG-06) O polinômio p(x) é divisível
por x  3 , por x  1 e por x  5 . Podemos
dizer que o seu grau g é:
a)
b)
c)
d)
g3
g3
g3
g3
11-(UFMG MG-06) Neste plano cartesiano, está
representado o gráfico do polinômio
p( x)  ax3  bx 2  cx  d , sendo a, b, c e d
14-(UFPE PE-06) O gráfico abaixo representa
um polinômio p ( x ) do terceiro grau de
coeficientes reais. Gab: VVVVF
números reais.
Considere estas afirmativas referentes a esse
polinômio:
a b  c 5  0; e
p( p(6))  p(6) .
I.
II.
Então:
00. p(x) não admite raízes complexas não reais.
01. p( x)  0 se 2  x  1 ou x  1 .
02. p(0)  2 .
Então, é CORRETO afirmar que:
a)
b)
c)
d)
nenhuma das afirmativas é verdadeira.
apenas a afirmativa I é verdadeira.
apenas a afirmativa II é verdadeira.
ambas as afirmativas são verdadeiras.
p( x)  ax3  bx 2  cx  d , logo
a  b  c  d  0.
03.
se
04. p(2)  8 .
15-(UFMT MT-06) A divisão de um polinômio
12-(PUC MG-01) O polinômio P(x) = ax3 + bx2
+ cx + d é idêntico ao polinômio Q(x) = x3 – 2x
+ 4. O valor de a + b + c + d é:
a)
b)
c)
d)
2
3
4
5
de coeficientes reais P(x) por (x  1) apresenta
como quociente um polinômio Q(x) de grau 3
com o coeficiente do termo de maior grau igual
a 1 e, como resto, (x  3) . O gráfico de Q(x) é
mostrado na figura abaixo.
13-(Unifor CE-00) São dados os polinômios P
 x  3, Q  x2  3x  9 e R  (a  b)x3  (a 
b)x2  cx  d. Sabendo-se que o polinômio P .
Q é idêntico a R, conclui-se que a  b  c  d é
igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
28
13
25/2
3/2
26
A partir dessas informações, qual é a soma dos
coeficientes de P(x)?
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
0
1
2
16-(Cefet PR-02) Sejam os polinômios P1 (x) =
x2 + x + 2, P2 (x) = 4x2 – 3x + 5 e P3 (x) = 3x2 –
2x + 4.
Se a . P1(x) + b . P2(x) + c . P3(x) = x2 + 5x + 4,
então a + b + c é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
0.
1.
2.
3.
4.
17-(Furg RS-03) O polinômio P(x) = ax3 + bx2
+ cx + d é de grau 3, tem como raízes x = –1, x
= 1 e x = 2, e seu gráfico está indicado na figura
abaixo. Assinale a alternativa que apresenta os
coeficientes desse polinômio.
20-(UEL PR-01) O resto da divisão de p(x) = x5
+ 4x4 + 2x3 + x2 + x – 1 por q(x) = x + 2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
17
15
0
– 15
– 17
21-(Unifor CE-98) Dividindo-se o polinômio f =
x4 – 2x3  8x – 2 por g = x2  x – 1 obtêm-se
quociente q e resto r. O resto da divisão de q
por r é:
a)
b)
c)
d)
e)
14
12
10
8
6
22-(Fuvest SP-99) Dividindo-se o polinômio
p(x) por 2x² - 3x + 1, obtém-se o quociente 3x +
1 e resto – x + 2. Nessas condições, o resto da
divisão de p(x) por x – 1 é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
a = 2, b = 4, c = –2, d = –4
a = –2, b = –4, c = 2, d = 4
a = 1, b = –2, c = –1, d = 2
a = 2, b = –4, c = –2, d = 4
a = 1, b = –2, c = 1, d = 2
18-(UFPB PB-98) Sejam f e g polinômios
não nulos. Se f é divisível por g e g é
divisível por f, então, é correto afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
f é igual a g
f tem mais raízes que g
f tem menos raízes que g
f e g têm graus diferentes
f e g têm as mesmas raízes
19-(Unifor CE-98) Na divisão do polinômio
p  x 2  x  1 pelo binômio
a)
b)
c)
d)
e)
x, o resto é 1
x – 1, o resto é 2
x  2 , o resto é 1
x  3 , o resto é 9
x  4 , o resto é 8
2
1
0
–1
–2
23-(Gama Filho RJ-95) O resto da divisão do
polinômio P(x) = x100 por x + 1 vale:
a)
b)
c)
d)
e)
-100
-1
0
1
100
24-(Cefet RJ-00) Os valores de a e b que tornam
o polinômio P(x) = x4 – ax³ - 8x² + 8x + b
divisível por x² - 1 são tais que:
a)
b)
c)
d)
e)
seu produto é 12
sua soma é 12
seu produto é 50
sua soma é 15
seu produto é 15
25-(UFU MG-02) Considere o polinômio p(x) =
3x3 – x2 + ax + 9, em que a é uma constante
real. Se p(x) é divisível por x + 3, então ele
também é divisível por:
a)
b)
c)
d)
x2 + 9
x2 – 9
3x2 + 10x – 3
3x2 + 10x + 3
26-(UFF RJ-92) Na decomposição de um
polinômio P(x), um aluno utilizou o algoritmo
conhecido como de Briot-Ruffini, conforme
indicado
abaixo:
Gab:
4
3
2
P(X)  X  X  4X  2x  1
1
1
-4
-2
1
1
2
-2
-4
0
-2 1
0
-2
0
1
Com base nos dados acima, determine o
polinômio P(x) e todas as suas raízes.
27-(UFOP MG-97) O valor de c, para que o
polinômio p(x) = 2x6 – x3 + c seja divisível por
x  3 2 , é:
a)
b)
c)
d)
e)
28-(UFMG MG-05) Sejam p ( x ) = 4 x3 + bx2 +
cx + d e q ( x ) = mx2 + nx – 3 polinômios com
coeficientes reais. Sabe-se que p( x ) = (2 x – 6)
q( x ) + x – 10.
Considerando-se
essas
informações,
é
INCORRETO afirmar que:
a) se 10 é raiz de q ( x ), então 10 também
é raiz de p ( x ).
b) p (3) = – 7.
c) d = 18.
d) m = 2.
29-(UEL PR-05) Quais devem ser os valores
dos coeficientes m e n, de modo que o resto da
divisão
do
polinômio
P( x)  x3  5x 2  mx  n
D( x)  x  x  2
R( x)  16 x 14 ?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
m=–5
m=5
m=9
m=2
m=3
32-(UEPB PB-05) As raízes do polinômio p =
x3 + 7x2 – 4x – 28 podem ser obtidas por meio
de uma fatoração de p. Sobre essas raízes
podemos afirmar:
a)
b)
c)
d)
e)
o produto delas é 14
uma delas é 4
duas delas são opostas
duas delas são positivas
a soma delas é 11
33-(UFJF MG-05) O resto da divisão do
polinômio p(x) = 3x2 – 17x + 27 por q(x) = x –
4 é:
0
-6
6
-10
10
2
31-(UEPB PB-05) Dado que o polinômio p(x) =
–2x3 + mx2 – 5x + 2 é divisível por x – 1, então:
seja
a)
b)
c)
d)
e)
4.
7.
2x.
5.
5x – 20.
34-(Unimontes MG-05) O resto da divisão do
polinômio x12 + 16 por x  3 2 é igual a:
a)
b)
c)
d)
a) 163 2
b) 83 2
32
16
35-(UDESC SC-06) O resto da divisão do
polinômio
pelo
P(x)  2x 3  12x 2  11x  1
binômio D(x)  (x  5) é:
por
igual
a
m = 16 e n = 16
m = 2 e n = 8
m = 8 e n = 2
m = 16 e n = 14
m = 20 e n = 26
30-(UEM PR-05) Sabendo-se que o polinômio
p(x)  x 5  x 4  4x 3  Ax2  Bx  12 é divisível
por q(x)  x 2  x  3 , o valor de | A |  | B | é…
Gab: 12
a)
b)
a)
c)
d)
4
2
c) x  1
2x
–4
36-(Unifor CE-06) Na divisão de um polinômio
f por x 2  2 obtêm-se quociente kx  t e resto
2x  1 . Se f é divisível por x 2  1 , então, um
outro divisor de f é o polinômio:
a)
b)
c)
d)
e)
2x2  x  1
2x2 + x  1
2x2  3x  1
2x  3
2x  1
37-(PUC PR-03) Calcule a e b para que o
polinômio P(x) = x3 + 3x2 + ax + b seja divisível
por x2 –1.
a)
b)
c)
d)
a = –1 e b = –3
a=1eb=3
a = –1 e b = 3
a = 1 e b = –3
38-(EFOA MG-04) O resto da divisão do
polinômio p(x) = x9  1 pelo binômio g(x) = 2x
+ 4 é igual a:
a)
b)
c)
d)
513
511
513
512
39-(UFRR RR-06) Um estudante do curso
superior de Bacharelado em matemática da
UFRR,
fatorou
a
expressão
27x3  9x 2  ax  2 como um produto
de dois polinômios em que um deles era
2x  3 . O valor da constante a encontrado
por esse estudante foi:
a)
b)
c)
d)
551 / 12
551 / 12
451 / 12
451 / 12
40-(UFMT MT-06) Admita que um polinômio
P(x) não nulo seja divisível por um binômio da
forma ax  b , a  0 , que Q(x) seja o
quociente dessa divisão e que R(x) seja o resto.
Nessas condições, pode-se afirmar que:
a)
b)
c)
d)
 a
P    0
 b
 b
P    0
 a
a
a
P   Q 
b
b
a
P   0
b
41-(PUC RJ-97) Se x2 + 2x + 5 divide x4 + px2 +
q exatamente (isto é, o resto da divisão do
segundo polinômio pelo primeiro é zero), então:
a)
b)
c)
d)
p = - 2 e q = 5;
p = 5 e q = 25;
p = 10 e q = 20;
p = 6 e q = 25;
42-(ESPM SP-06) Os termos do polinômio P (x)
= x + 2x4 + 4x7 + 8x10 + ... têm seus expoentes
formando uma PA e seus coeficientes
numéricos como uma PG. Para que o resto da
divisão desse polinômio pelo binômio x + 1 seja
igual a 85, o grau de P(x) deverá ser:
a)
b)
c)
d)
e)
22
23
24
25
26
43-(PUC RS-04) Dividindo o polinômio p (x) =
xn + xn–1 + .... + x + 1 por (x – m), (x – r) ou (x –
s) com m, r, s todos distintos, obtemos sempre
resto zero. É correto afirmar que n é:
a)
b)
c)
d)
e)
maior que 3.
maior ou igual a 3.
igual a 2.
igual a 1.
igual a zero.
44-(Unificado RJ-94) O resto da divisão do
polinômio P(x) = (x2 + 1)2 pelo polinômio D(x)
= (x-1)2 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
2
4
2x - 1
4x - 2
8x - 4
45-(Integrado RJ-94) Sabendo-se que o número
3 é raiz dupla de equação ax3 + bx + 18 = 0, os
valores de a e b são, respectivamente:
a)
b)
1
3
1
3
e –9
e9
c)
 13 e –9
d)
 13 e 9
e) 1 e –3
46-A raiz x = 1 da equação x4 – x3 – 3x2 + 5x –
2 = 0 é:
a)
b)
c)
d)
e)
simples
dupla
tripla
quadrupla
quintupla