Geometria dos Sólidos Geometria dos Sólidos Prof. Márcio Nascimento [email protected] Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Geometria Espacial - 2014.2 1 de abril de 2015 Geometria dos Sólidos Ângulos Poliedrais Sumário 1 Ângulos Poliedrais 2 Poliedros Geometria dos Sólidos Ângulos Poliedrais Diedros Ângulo Diedral Um diedro ou ângulo diedral é a abertura entre dois planos se intersectam. Geometria dos Sólidos Ângulos Poliedrais Diedros Ângulo Diedral Um diedro ou ângulo diedral é a abertura entre dois planos se intersectam. Os planos AM, BN são chamados de faces do ângulo diedral. Geometria dos Sólidos Ângulos Poliedrais Diedros Ângulo Diedral Um diedro ou ângulo diedral é a abertura entre dois planos se intersectam. Os planos AM, BN são chamados de faces do ângulo diedral. A reta AB é chamada aresta do ângulo diedral. Geometria dos Sólidos Ângulos Poliedrais Diedros Ângulos Diedrais Adjacentes Se dois ângulos diedrais têm uma aresta em comum, e uma face em comum entre eles, tais diedros são ditos adjacentes. Geometria dos Sólidos Ângulos Poliedrais Diedros Ângulos Diedral Reto Se um plano encontra outro plano de modo a produzir dois ângulos diedrais adjacentes e iguais, cada um deles é chamado ângulo diedral reto. Planos perpendiculares Se dois planos se intersectam formando um ângulo diedral reto, então dizemos que tais planos são perpendiculares. Geometria dos Sólidos Ângulos Poliedrais Diedros Ângulo Plano de um Diedro O ângulo plano formado por dois segmentos de reta, um em cada plano, perpendiculares a aresta do diedro no mesmo ponto, é chamado ângulo plano do diedro. Geometria dos Sólidos Ângulos Poliedrais Poliedros Ângulo Poliedral Quando uma porção do espaço é separada do restante por três ou mais planos que se encontram em um único ponto, tais planos formam um ângulo poliedral. Elementos O ponto comum é chamado vértice. As interseções entre os planos, são chamadas arestas. As partes dos planos entre duas arestas, são as faces. Duas arestas adjacentes, formam um ângulo de face e duas faces adjacentes formam um ângulo diedral. Geometria dos Sólidos Ângulos Poliedrais Poliedros Teorema A soma de dois ângulos de face em um ângulo triedral é maior que o terceiro ângulo de face. bY + YV bZ > XV bZ XV Geometria dos Sólidos Ângulos Poliedrais Poliedros Teorema A soma dos ângulos de face em um ângulo poliedral qualquer é menor que quatro ângulos retos (ou 3600 ou 2π). Geometria dos Sólidos Poliedros Sumário 1 Ângulos Poliedrais 2 Poliedros Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros O que é um sólido? Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Sólido Geométrico Sólidos que têm figuras geométricas em suas construções. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Sólido Geométrico Sólidos que têm figuras geométricas em suas construções. Sólidos Geométricos: bola de sinuca, barra de sabão, diamantes lapidados, etc. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Sólido Geométrico Sólidos que têm figuras geométricas em suas construções. Sólidos Geométricos: bola de sinuca, barra de sabão, diamantes lapidados, etc. Sólidos não Geométricos: pedras, corpo humano, etc. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros A geometria tridimensional desempenha um importante papel na estrutura das moléculas. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros A geometria tridimensional desempenha um importante papel na estrutura das moléculas. Por exemplo, quando os átomos de carbono. Dependendo da forma de como estão agrupados, podem formar diamantes ou o grafite, como os usados nos lápis. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros A geometria tridimensional desempenha um importante papel na estrutura das moléculas. Por exemplo, quando os átomos de carbono. Dependendo da forma de como estão agrupados, podem formar diamantes ou o grafite, como os usados nos lápis. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros A geometria tridimensional desempenha um importante papel na estrutura das moléculas. Por exemplo, quando os átomos de carbono. Dependendo da forma de como estão agrupados, podem formar diamantes ou o grafite, como os usados nos lápis. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Poliedros Um sólido geométrico formado por polı́gonos que determinam uma região (fechada) no espaço é chamado poliedro [do grego: poly (vários) + hedra (face ou assento, banco)]. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Poliedros Um sólido geométrico formado por polı́gonos que determinam uma região (fechada) no espaço é chamado poliedro [do grego: poly (vários) + hedra (face ou assento, banco)]. Poliedros: prismas, cubos, pirâmides, etc. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Poliedros Um sólido geométrico formado por polı́gonos que determinam uma região (fechada) no espaço é chamado poliedro [do grego: poly (vários) + hedra (face ou assento, banco)]. Poliedros: prismas, cubos, pirâmides, etc. Sólidos Geométricos, mas não poliedros: cilindro, cone, esfera, etc. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros As superfı́cies planas (polı́gonos) que delimitam um poliedro são chamadas faces. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros As superfı́cies planas (polı́gonos) que delimitam um poliedro são chamadas faces. Um segmento onde duas faces se encontram, é chamado aresta. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros As superfı́cies planas (polı́gonos) que delimitam um poliedro são chamadas faces. Um segmento onde duas faces se encontram, é chamado aresta. O ponto de interseção entre três ou mais arestas, é chamado vértice. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros As superfı́cies planas (polı́gonos) que delimitam um poliedro são chamadas faces. Um segmento onde duas faces se encontram, é chamado aresta. O ponto de interseção entre três ou mais arestas, é chamado vértice. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Classificação Assim como os polı́gonos são classificados pelo número de lados, os poliedros são classificados pelo número de faces. Os prefixos são os mesmos dados aos polı́gonos como uma exceção: um poliedro com quatro faces é chamado tetraedro. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros TETRAEDRO Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros PENTAEDRO Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros HEXAEDRO Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros HEXAEDRO Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros HEPTAEDRO Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros HEPTAEDRO Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros HEPTAEDRO Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros OCTAEDRO Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros OCTAEDRO Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Outras nomenclaturas: Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO. Dez faces: DECAEDRO. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO. Dez faces: DECAEDRO. Onze faces: UNDECAEDRO. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO. Dez faces: DECAEDRO. Onze faces: UNDECAEDRO. Doze faces: DODECAEDRO. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO. Dez faces: DECAEDRO. Onze faces: UNDECAEDRO. Doze faces: DODECAEDRO. Treze faces: TRIDECAEDRO. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO. Dez faces: DECAEDRO. Onze faces: UNDECAEDRO. Doze faces: DODECAEDRO. Treze faces: TRIDECAEDRO. Quatorze faces: TETRADECAEDRO. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO. Dez faces: DECAEDRO. Onze faces: UNDECAEDRO. Doze faces: DODECAEDRO. Treze faces: TRIDECAEDRO. Quatorze faces: TETRADECAEDRO. Quinze faces: PENTADECAEDRO Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO. Dez faces: DECAEDRO. Onze faces: UNDECAEDRO. Doze faces: DODECAEDRO. Treze faces: TRIDECAEDRO. Quatorze faces: TETRADECAEDRO. Quinze faces: PENTADECAEDRO Vinte faces: ICOSAEDRO. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Ramat Polling housing - Jerusalém Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros É possı́vel construir um poliedro com n faces, para todo inteiro n > 2? Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Poliedro Convexo Um poliedro é dito convexo se quaisquer dois pontos do sólido podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente dentro do poliedro. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Poliedro Convexo Um poliedro é dito convexo se quaisquer dois pontos do sólido podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente dentro do poliedro. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Teorema de Euler O Número de faces (f), vértices (v) e arestas (a) de um poliedro estão relacionadas pela fórmula f +v =a+2 Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Teorema de Euler O Número de faces (f), vértices (v) e arestas (a) de um poliedro estão relacionadas pela fórmula f +v =a+2 Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo Qual o número de arestas? Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo Qual o número de arestas? Resposta... Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo Qual o número de arestas? Resposta... 15 arestas (7 face e 10 vértices!). Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Poliedro Regular ou Sólidos de Platão Um poliedro é dito regular quando TODAS as suas faces são polı́gonos regulares iguais. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Poliedro Regular ou Sólidos de Platão Um poliedro é dito regular quando TODAS as suas faces são polı́gonos regulares iguais. Poliedro Regular ou Sólidos de Platão Existem apenas cinco poliedros regulares: 1 Tetraedro Regular (faces triangulares); 2 Cubo (faces quadradas); 3 Octaedro Regular (faces triangulares); 4 Dodecaedro Regular (faces pentagonais); 5 Icosaedro Regular (faces triangulares). Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Por quê apenas cinco Sólidos Regulares??? Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros >>>Flashback Teorema A soma dos ângulos de face em um ângulo poliedral qualquer é menor que quatro ângulos retos (ou 3600 ou 2π). Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros >>>Flashback Teorema A soma dos ângulos de face em um ângulo poliedral qualquer é menor que quatro ângulos retos (ou 3600 ou 2π). Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo A partir de um pentágono regular de lado a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V ? Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo A partir de um pentágono regular de lado a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V ? Resposta... Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo A partir de um pentágono regular de lado a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V ? Resposta... a 10.arctg 2h Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo A partir de um hexágono regular de lado a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V ? Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo A partir de um hexágono regular de lado a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V ? Resposta... Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo A partir de um hexágono regular de lado a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V ? Resposta... a 12.arctg 2h Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo A partir de um polı́gono regular de n lados, cada um deles medindo a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V ? Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo A partir de um polı́gono regular de n lados, cada um deles medindo a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V ? Resposta... Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo A partir de um polı́gono regular de n lados, cada um deles medindo a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V ? Resposta... a 2n.arctg 2h Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo Dispõe-se de 7 triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um heptágono regular de lado 4cm. É possı́vel construir um poliedro com tais peças? Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo Dispõe-se de 7 triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um heptágono regular de lado 4cm. É possı́vel construir um poliedro com tais peças? Resposta... Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo Dispõe-se de 7 triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um heptágono regular de lado 4cm. É possı́vel construir um poliedro com tais peças? Resposta... Sim. O ângulo entre os lados iguais do triângulo isósceles é de 33, 20 . Portanto, é possı́vel colocá-los dentro de uma circunferência de raio 7cm de modolo que os lados de tamanho 7cm fiquem adjacentes. Ao colocarmos 7 triângulos, teremos ocupado uma área correspondente a um setor circular de 7 × 33, 20 = 232, 420 < 3600 , isto é, é possı́vel formar um ângulo poliedral e, portanto, construir um poliedro. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo Dispõe-se de 15 triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um pentadecágono regular de lado 4cm. É possı́vel construir um poliedro com tais peças? Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo Dispõe-se de 15 triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um pentadecágono regular de lado 4cm. É possı́vel construir um poliedro com tais peças? Resposta... Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo Dispõe-se de 15 triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um pentadecágono regular de lado 4cm. É possı́vel construir um poliedro com tais peças? Resposta... Não. Usando o raciocı́nio da questão anterior para dispor estes 15 triângulos, terı́amos um ângulo poliedral de aproximadamente 4980 . Portanto, terı́amos triângulos demais para formar o poliedro. Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo Dispõe-se de n triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um polı́gono regular de n lados, cada um deles medindo 4cm. Qual o máximo valor de n para que se possa construir um poliedro com tais peças? Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo Dispõe-se de n triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um polı́gono regular de n lados, cada um deles medindo 4cm. Qual o máximo valor de n para que se possa construir um poliedro com tais peças? Resposta... Geometria dos Sólidos Poliedros Poliedros Exemplo Dispõe-se de n triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um polı́gono regular de n lados, cada um deles medindo 4cm. Qual o máximo valor de n para que se possa construir um poliedro com tais peças? Resposta... n deve ser no máximo igual a 10.
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