170
APÊNDICES
APÊNDICE A - TEXTO DE INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
LINEARES DE 1ª E 2ª ORDEM COM O SOFTWARE MAPLE
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS – PUC MINAS
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAS ORDINÁRIAS LINEARES DE 1ª E 2ª
ORDEM COM O SOFTWARE MAPLE
ANÍBAL ATAIDES BARROS FILHO
JOÃO BOSCO LAUDARES
BELO HORIZONTE
2011
171
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 3
2. O QUE É O “MAPLE 14”? ............................................................................................... 4
2.1 Como surgiu o “Maple”?.................................................................................................. 4
2.2 Estrutura interna do Maple .............................................................................................. 4
2.3 Layaut ............................................................................................................................. 4
3. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE ................................................................................ 5
3.1 Operações Básicas ......................................................................................................... 5
3.2 Atribuições ...................................................................................................................... 6
3.3 Funções, Equações e Sistemas ...................................................................................... 6
3.5 Comandos Básicos do Cálculo Diferencial e Integral ...................................................... 8
4. GRÁFICOS DE FUNÇÕES EM 2D ................................................................................. 09
4.1 Formatações do gráfico ................................................................................................ 11
5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS .................................................................. 11
5.1 Comandos para Representar Derivadas ....................................................................... 12
5.2 Comandos para Resolver uma Equação Diferencial ..................................................... 12
5.3 Resolução de um problema de valor inicial ou de contorno .......................................... 12
5.4 Construção do Campo de Direções para uma Equação Diferencial Linear de 1ª
Ordem ................................................................................................................................. 13
6. ATIVIDADES COMPLEMENTARES .............................................................................. 14
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 16
3
172
1 Introdução
Este texto foi elaborado com o objetivo de servir como material de apoio ao Minicurso
introdução às equações diferencias ordinárias lineares de 1ª e 2ª ordem com o software
MAPLE. O Minicurso é destinado a capacitar e ambientar os acadêmicos do 3º período do
curso de Engenharia Elétrica do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do
Estado de Goiás (IFG) Campus Jataí com o software MAPLE. Este Minicurso faz parte de
uma preparação prévia dos alunos que cursam a disciplina Equações Diferenciais para
participarem de uma pesquisa que trás uma sequência didática que visa trabalhar com
novas tecnologias e novas metodologias no ensino de equações diferenciais com foco na
resolução de problemas físicos e na interpretação gráfica dos mesmos.
Neste material serão apresentados os comandos básicos do MAPLE para
simplificação de expressões, resolução de equações, resolução de sistemas de equações,
construção do campo de direções de Equações Diferencias, resolução de problemas de
valor inicial e de contorno, construção de gráficos em duas dimensões, dentre outros, de
modo que o participante deste Minicurso adquira ferramentas que lhe seja útil no
entendimento dos conceitos e na resolução de problemas físicos envolvendo Equações
Diferenciais.
4
173
2. O que é o “Maple”?
O Maple é um software comercial de uso genérico que enquadra no gênero de
Sistema de Álgebra Computacional (SAC). Um SAC permite fazer cálculos não só com
números, mas com símbolos, fórmulas, expressões, equações, matrizes, etc. O Maple
possui um grande número de recursos que permitem que seus usuários obtenham
respostas analíticas rápidas e precisas para cálculos envolvendo limites, derivadas,
integrais, equações diferenciais, sistemas de equações, série de potências, transformadas
de Laplace, transformadas de Fourier, etc.
2.1 Como surgiu o “Maple”?
O Maple começou a ser desenvolvido em 1981 pelos pesquisadores Gaston Gonnet
e Keith Geddes do Grupo de Computação Simbólica da Universidade de Waterloo no
Canadá. Desde 1988 tem sido desenvolvido e comercializado pela Maplesoft, uma
companhia canadense. A versão atual é Maple 16.00.
2.2 Estrutura interna do Maple.
A estrutura interna do Maple consiste de três componentes: Núcleo, bibliotecas e
interface.
O núcleo (kernel) é a máquina matemática que faz os cálculos, interpreta os
comandos inseridos pelo usuário e mostra os resultados. O núcleo corresponde a 10% do
programa e foi elaborado em linguagem C.
O restante do programa (90%), desenvolvido na própria linguagem do Maple,
consiste na biblioteca principal cujos comandos são carregados automaticamente na hora
que você inicia o programa e um conjunto de vários pacotes que você acessa quando vai
trabalhar com conteúdo bem específico.
A interface é a aparência do Maple, que promove a interação entre você e os
comandos do Maple.
2.3 Layout
Ao iniciarmos o Maple observamos que na tela de trabalho (worksheet) aparece o
símbolo
. É o prompt do Maple. Este símbolo diz que o Maple está pronto para
executar comandos. Você também pode trabalhar no Maple com o modo texto, onde você
produz textos, hipertextos e comentários e alternar, sempre que quiser, para o modo
matemático e desenvolver cálculos.
A figura 1 mostra a captura da tela de iniciação do Maple 14.
174
5
Figura 01: Tela de inicialização do Maple 14.
3. Comandos Básicos do Maple
3.1 Operações básicas
! fatorial
^ potenciação
/ divisão
* multiplicação
+ adição
- subtração
Exemplos:
a) >
b) >
Para que o comando seja executado, devemos finalizar com um ponto e vírgula(;) ou
com dois pontos(:) e depois acionar a tecla enter. Se finalizarmos com um ponto e vírgula, o
Maple executa o comando e mostra o resultado, se finalizarmos com dois pontos, ele
executa, guarda na memória, mas não exibe a resposta.
6
175
Se quisermos o resultado em número decimal aproximado, executamos o comando
evalf (evaluation with floating point = avaliação num ponto flutuante ou variável):
>
Nesta operação, o Maple calculou em número decimal aproximado, o resultado da
última operação realizada (%) que era
.
O comando restart permite limpar a memória do Maple em qualquer parte do
documento. Sempre que for iniciar um novo projeto, é aconselhável utilizar o comando.
O Maple entende ponto(.) como vírgula(,), quando trabalhamos com números.
3.2 Atribuições
Podemos definir o valor de uma variável ou de uma função utilizando-se o símbolo: “ := ”.
Exemplos:
a) >
b) >
c) >
d) >
3.3 Funções, Equações e Sistemas
O comando solve serve para resolver equações, inequações e sistemas diversos.
Exemplos:
Resolvendo uma equação:
a) >
>
b) >
>
Você pode também usar o comando subs para substituir o valor de uma ou mais
variáveis em uma expressão.
176
7
>
Aqui o Maple substituiu o valor de x na expressão C e calculou o resultado.
Resolvendo um sistema de equações:
Exemplos:
a) Resolver o seguinte sistema
x 2y z
2
2x
y
z
3.
x
y
z
6
>
>
>
>
120 1 e 2 s
s
para as variáveis I1 e I2.
b) Resolver o seguinte sistema
5 I 1 512
5 I 1 15 I 2
0
s
s
s I 1 10 I 2
>
>
>
Para simplificarmos uma expressão, usamos o comando simplify.
Exemplos:
177
8
a) >
>
b) >
>
A seguir apresentamos um quadro com comandos básicos que representam
constantes, funções e operações usuais:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
3.4 Comandos Básicos do Cálculo Diferencial e Integral
Para executarmos alguns comandos do Cálculo Diferencial e Integral devemos
carregar o pacote “student”. Para carregar o pacote, usamos a seguinte sintaxe:
with(student);
>
178
9
Veja que finalizamos com (;) e então o Maple apresentou todas as operações realizadas
pelo pacote.
Exemplos:
a) Calcular: lim x
(cos( x ))
>
Com o “L” maiúsculo, o Maple apenas apresenta o limite.
>
Agora o Maple calculou o limite. Para o cálculo de derivadas e integrais a sintaxe é
semelhante.
b) Calcular a derivada da função f ( x )
3x 3 ln(cos(
ln
x ))
>
c) Calcular a seguinte integral:
x e x dx
>
Obs.: o x que aparece após as funções, tanto na derivada quanto na integral, representa a
variável de derivação ou de integração, uma vez que o Maple entende todas as suas
derivadas como derivadas parciais.
4. Gráficos de funções em 2D
Para plotarmos o gráfico de uma função em duas dimensões usamos o comando
plot cuja sintaxe básica é a seguinte: plot(f,x,v,ops) onde f representa a função a ser
plotada, x o intervalo no eixo das abscissas, v o intervalo no eixo das ordenadas e “ops” as
opções de formatação do gráfico. Os parâmetros f e x são obrigatórios para o comando
plot.
179
10
Exemplos:
33 e (
a) Construir o gráfico da função f (t )
2 t)
.
>
Figura 02: Gráfico da função f (t )
33 e (
2 t)
gerado no Maple 14.
b) Construir em um mesmo plano cartesiano o gráfico das seguintes funções:
f (t )
e(
2 t)
sen
s ( 25 t ) , h(t )
e(
4 t)
e j (t )
e(
4 t)
.
> plot([exp(-4*t)*sin(25*t), exp(-4*t), -exp(-4*t)], t = 0 .. 1.5, legend = [i[1], i[2], i[3]],
color = [red, blue, green]);
Figura 03: Gráfico das funções f (t )
Maple 14.
e(
2 t)
sen
s ( 25 t ) , h(t )
e(
4 t)
e j (t )
e(
4 t)
gerado no
180
11
Utilizamos colchetes [...] para formamos uma lista ou conjunto de funções e
preservar a ordem para atribuições.
4.1 Formatações do gráfico
Ao selecionar um gráfico na área de trabalho do Maple, a ABA gráfico fica ativada.
Clicando na ABA gráfico um menu de opções de formatação é aberto. Você também pode
clicar com o botão direito do mouse no gráfico (ver figura 04) e aparecerá também o menu.
Este menu mostra várias opções de formatação gráfica que dentre elas destacamos: copiar
o gráfico com máxima precisão, escolher o estilo de gráfico, escolher o tipo de traçado do
gráfico, definir a cor do gráfico (se for mais de um, você pode identificá-los com cores
diferentes), inserir e editar legendas nos eixos coordenados, inserir e editar legendas para o
gráfico, adicionar títulos e rótulos ao gráfico, exibir linhas de grade e exportar o gráfico em
diversos formatos, dentre eles, bitmap e JPEG.
Figura 04: Menu de formatação gráfica do Maple 14.
5. Equações Diferenciais Ordinárias
Para encontrarmos soluções de equações diferenciais, plotar gráficos das soluções
destas equações, plotar campos de direções, resolver problemas de valor inicial e de
contorno analiticamente e graficamente, dentre outras funções, utilizamos o pacote DEtools.
Usamos a seguinte sintaxe:
12
181
>
5.1 Comandos para Representar Derivadas
Os comandos para indicar a derivada de primeira, segunda e terceira ordem de uma
função, respectivamente, são:
>
>
>
5.2 Comandos para Resolver uma Equação Diferencial
Para definirmos uma equação diferencial, escrevemos:
>
Para resolvermos uma equação diferencial usamos o comando dsolve, com a
seguinte sintaxe: dsolve(ED), onde ED é a equação diferencial já definida.
Exemplo:
>
onde _C1 é uma constante arbitrária.
5.3 Resolução de um problema de valor inicial ou de contorno
Para resolvermos um problema de valor inicial (PVI) ou de contorno utilizamos
também o comando dsolve. Devemos definir as condições iniciais e de contorno e a
equação diferencial. A sintaxe é a seguinte: dsolve({EDO,ics},y(x),options), onde EDO é a
equação diferencial ordinária, ics as condições iniciais e de contorno, y(x) qualquer função
de uma variável que definirá a solução do problema e options que é opcional, onde por
exemplo poderíamos resolver o problema usando o método das transformadas de Laplace
ou de séries.
Exemplo:
Definindo uma equação diferencial:
>
Definindo as condições iniciais e de contorno:
>
182
13
Resolvendo o PVI:
>
Você pode também resolver o PVI usando a seguinte sintaxe:
>
Obs.: para apresentarmos condições iniciais envolvendo derivadas, usamos a seguinte
notação:
D( y )(0)
0
para
y ' (0)
0,
D 2 ( y )( 0)
0
para
y' ' (0)
0
e
assim
sucessivamente.
5.4 Construção do Campo de Direções para uma Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem
O comando utilizado para plotar o campo de direções é DEplot, a sintaxe é a
seguinte: DEplot(EQ,f(x),x,y) onde EQ representa a equação diferencial de primeira ordem
que queremos construir o campo, f(x) a função solução da equação diferencial, x o intervalo
no eixo das abscissas, y o intervalo no eixo das ordenadas.
Exemplo:
Definindo uma equação diferencial:
>
Construindo o campo de direções para a equação ED1
>
Figura 05: Campo de direções da equação ty' 2 y
4t 2 gerado no Maple 14.
Você também pode resolver um PVI graficamente, ou até mesmo traçar várias
curvas integrais de uma equação diferencial:
183
14
Exemplo:
Figura 06: Curvas integrais de ty' 2 y
4 y 2 gerado no Maple 14.
Atividades Complementares
Exercício 01. Determine a medida do ângulo em graus do 2º quadrante cuja tangente vale
2.
Exercício 02. Simplifique a seguinte expressão:
1
1
sen
s (t ) ccos(t )
t
2
2
Exercício 03. Dada a função, y
x
2
sen
s (t )
3 x
1
ssin 2 t ccos(t ) .
2
2 , plotar o seu gráfico e calcular as suas
raízes.
x 2 y z 12
Exercício 04. Resolva o seguinte sistema de equações:
Exercício 05. Calcule a derivada da função f ( x )
Exercício 06. Calcule a integral da função g ( x )
x 3 y 5z 1 .
2 x y 3z 10
ccos6 x .
sen
s 6x .
184
15
Exercício 07. Resolva a equação diferencial x dy
direções com a solução y(2)
Exercício 08. Resolva
y dx
0 e construa o seu campo de
1.
dy
3y
dt
e 2t ,
Exercício 09. Resolva y ' ' 6 y ' 9 y
y(0) 1 e construa o gráfico da função solução.
t 2 e 3t ,
y (0)
2,
y ' (0)
6 e construa o gráfico da
função solução.
Exercício 10. Resolva y ' ' 4 y ' 6 y
1 e t,
y(0)
0,
y ' (0)
0 e construa o gráfico
da função solução.
Exercício 11. Resolva x' ' 16x
função solução.
cos(
c 4t ) ,
x(0)
0,
x' (0) 1 e construa o gráfico da
185
16
REFERÊNCIAS
ANDRADE, L. N. Introdução à computação algébrica com o MAPLE. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática, 2004.
BOYCE, W. E.; Di PRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de
Valores de Contorno. Tradução de Valéria Magalhães. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2003. 492 p.
186
APÊNDICE B - PROBLEMA 01.
O problema deve ser resolvido observando a sequência apresentada pelo pesquisador
(Descoberta Guiada – uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o
problema ou escolhe a situação com o objetivo em mente. Conduz o aluno para a solução
do problema e o aluno segue a orientação do professor).
PROBLEMA 01 – PROBLEMA FÍSICO DE VALOR INICIAL ENVOLVENDO QUEDA LIVRE
ENUNCIADO
Problema 01 - De um ponto situado a 120m do solo joga-se uma pedra de massa m para o
alto com uma velocidade inicial de 8m/s. Considerando-se a gravidade a única força
atuante, calcular o tempo, a velocidade e a distância total até a pedra tocar o solo (adote
g=10m/s2 a aceleração da gravidade).
Problema extraído do texto Aplicações das Equações Diferenciais (Um enfoque
Metodológico) de João Bosco Laudares, 1992, página 19, problema 12.
1 – INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
a) Como você descreve este problema?
Ajuda a
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
Identificação das varáveis
d) Qual é a variável independente do problema?
Ajuda a
e) Quais as variáveis dependentes do problema?
Ajuda b
Modelos matemáticos
f)
Quais as leis matemáticas que se aplicam ao problema?
Ajuda c
CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO
b) Quais as condições iniciais do problema?
Ajuda a
O QUE SE PEDE
a) Expresse o que se pede
Ajuda a
187
2 – RESOLUÇÃO DO MODELO
Obs.: Todas as atividades solicitadas neste item devem ser desenvolvidas com o software
MAPLE.
Para a resolução deste exercício, suponha que a trajetória descrita pela pedra é a
mesma da direção do eixo coordenado y com sentido crescente para cima.
f) Resolva analiticamente o problema de valor inicial (PVI) para a equação diferencial
dv
dt
g (ED1) com as condições iniciais t
0
v0
8m / s .
Ajuda a
g) Sabendo que a velocidade é a derivada da posição(x) em relação ao tempo(t), defina a
equação diferencial
t
0
x0
dx
dt
g t v0 (ED2) e resolva o PVI para as condições iniciais
1
120 m .
Ajuda b
h) Calcule o instante em que a pedra toca o solo.
Ajuda c
i) Encontre a velocidade em que a pedra toca o solo.
Ajuda d
j) Determine a distância total percorrida pela pedra até tocar o solo.
Ajuda e
3 – ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS
a) Construa o campo de direções para a equação diferencial
b) Por que no campo de direções da equação
dv
dt
dv
dt
g
Ajuda a
g todos os elementos lineares
apresentam mesma direção e sentido?
Ajuda b
c) Os elementos lineares representam inclinações tangentes a uma curva, que tipo de
curva esses elementos aproxima?
Ajuda c
d) Com o uso do Maple, determine o ângulo formado por esses elementos.
e) Pelo campo de direções da equação
dv
dt
Ajuda d
g é possível prever a forma da função
(curvas) que representa a solução geral da equação diferencial?
Ajuda e
f) O comportamento que você observou no campo de direções é coerente com a solução
do item a da resolução do modelo?
Ajuda f
188
g) Construa o gráfico da velocidade em função do tempo.
Ajuda g
h) A função velocidade é crescente ou decrescente para todo t?
Ajuda h
i) Pelo fato da aceleração ser negativa, posso afirmar que a função velocidade é
decrescente?
Ajuda i
j) No instante t = 0, qual é o valor da velocidade?
Ajuda j
k) Verifique se sua resposta dada no item anterior observando o gráfico está coerente com
o enunciado do problema.
Ajuda k
l) Observando o gráfico da velocidade em função do tempo, em que tempo v
anula?
d
dx
se
dt
d
Ajuda l
m) Observando o gráfico da velocidade em função do tempo, estime um valor aproximado
do tempo em que a pedra atinge o solo.
Ajuda m
n) Verifique se sua resposta dada no item anterior está coerente com a resolução do
modelo.
Ajuda n
o) Em qual intervalo de tempo a velocidade é positiva?
Ajuda o
p) Construa o gráfico da aceleração em função do tempo.
Ajuda p
q) A aceleração é positiva ou negativa?
Ajuda q
r) Qual o comportamento da aceleração na variação do tempo?
Ajuda q
s) Dada a equação
dv(t )
dt
10 e as condições t
0
v0
8m / s , resolva graficamente
este PVI.
Ajuda s
t) Que relação existe entre a solução gráfica do PVI do item anterior com o gráfico da
velocidade em função do tempo?
u) Dada a equação
dx(t )
dt
Ajuda t
10t
10 8 , construa o seu campo de direções.
v) Pelo campo de direções da equação
dx(t )
dt
10t
10 8 é possível prever a forma da
função (curvas) que representa a solução geral da equação diferencial?
w) Dada a equação
dx(t )
dt
graficamente este PVI.
Ajuda u
10t
10 8 e as condições t
0
x0
Ajuda v
120
1 m , resolva
Ajuda w
189
x) Construa o gráfico da função x (t )
5t 2
8t 12
120 .
Ajuda x
y) Que relação existe entre a solução gráfica do PVI do item anterior com o gráfico do
espaço em função do tempo?
Ajuda y
z) De acordo com o gráfico do espaço em função do tempo, qual é a posição da pedra no
instante t=0?
Ajuda z
aa) O valor encontrado no item anterior está coerente com o enunciado do problema?
Ajuda aa
bb) Observando o gráfico, qual é a posição máxima (aproximadamente) que a pedra
atinge?
Ajuda bb
cc) Verificando no gráfico do espaço em função do tempo, de 0 a 0,8s, a parábola é
crescente ou decrescente?
Ajuda cc
dd) Verificando no gráfico do espaço em função do tempo, de 0,8s a 5,7638s, os valores
da posição aumentam ou diminuem no decorrer do tempo?
Ajuda dd
ee) Verifique por que a posição da pedra atinge um valor máximo a partir do gráfico da
aceleração.
ff)
Ajuda ee
Verifique, por meio da análise dos gráficos, a partir do valor máximo da posição, o sinal
da velocidade e da aceleração.
Ajuda ff
190
APÊNDICE C - PROBLEMA 02.
O problema deve ser resolvido observando a sequência apresentada pelo pesquisador
(Descoberta Guiada – uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o
problema ou escolhe a situação com o objetivo em mente. Conduz o aluno para a solução
do problema e o aluno segue a orientação do professor).
PROBLEMA 02 – PROBLEMA FÍSICO ENVOLVENDO TERMODINÂMICA: LEI DE
RESFRIAMENTO/AQUECIMENTO DE NEWTON
ENUNCIADO
A velocidade de resfriamento/aquecimento de um corpo é proporcional à diferença entre a
temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura
ambiente. Supondo que um termômetro é removido de uma sala em que a temperatura é
de 70ºF e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 10ºF. Após ½ minuto, o
termômetro marcou 50ºF. Qual será a temperatura marcada no termômetro no instante t = 1
minuto? Quanto tempo levará para o termômetro marcar 15ºF?
Problema extraído do texto Equações Diferenciais com Aplicações
em Modelagem de Dennis G. Zill, 2003, página 104, problema 13.
1 – INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
a) Como você descreve este problema?
Ajuda a
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
Identificação das varáveis
a) Qual a variável independente do problema?
Ajuda a
b) Qual a variável dependente do problema?
Ajuda b
c) Qual é o parâmetro do problema?
Ajuda c
d) Qual é a constante do problema?
Ajuda d
Modelo matemático
e) Qual a lei matemática que se aplica ao problema?
Ajuda e
191
CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO
a) Qual a condição inicial do problema?
Ajuda a
c) Qual a condição de contorno do problema?
Ajuda b
O QUE SE PEDE
a) Expresse o que se pede.
Ajuda a
2 – RESOLUÇÃO DO MODELO
Obs.: Todas as atividades solicitadas neste item devem ser desenvolvidas com o software
MAPLE.
a) Resolva a equação diferencial
dT
dt
k (T Tm ) .
Ajuda a
b) Calcule os valores dos parâmetros k e C.
Ajuda b
c) Calcule a temperatura do termômetro no instante t
1 min. Dê sua resposta avaliando
em ponto flutuante.
Ajuda c
d) Calcule o tempo em que o termômetro marcará 15ºF. Dê sua resposta avaliando em
ponto flutuante.
Ajuda d
3 – ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS
a) Construa o campo de direções para a equação diferencial
dT
dt
k (T Tm ) , utilizando os
valores calculados de k e Tm .
Ajuda a
b) Que tipo de função poderíamos aproximar observando o campo de direções?
c) É possível definir o sinal de
dT
observando o campo de direções? Em caso afirmativo,
dt
estabeleça o valores de T para os quais
dT
dt
0,
dT
dt
0e
dT
dt
0.
d) É possível prever aproximadamente as soluções de equilíbrio da equação?
e) Construa o gráfico de
Ajuda b
dT
por T .
dt
Ajuda c
Ajuda d
Ajuda e
192
f) Comparar os valores obtidos no item c com o gráfico
g) Construa o gráfico de
dT
por T .
dt
Ajuda f
dT
por t .
dt
Ajuda g
h) Quando t cresce indefinidamente, qual o valor que
i) Determine as tangentes
dT
para t
dt
dT
tende?
dt
Ajuda h
2, t 6 e t 1
10 .
Ajuda i
j) Verificar se os resultados obtidos no item i são abalizados pelo gráfico do item g.
Ajuda j
k) Construa o gráfico T (t ) por t .
Ajuda k
l) Quando você acha que o termômetro esfria mais rapidamente?
Ajuda l
m) Resolva graficamente o P.V.I. para T (0)
Ajuda m
70 e depois para T (1 / 2) 5
7
50 .
n) O que você observa em relação às duas soluções do item anterior?
Ajuda n
Obs.: Nos próximos itens não há AJUDA porque se trata de uma simulação a ser feita pelo
estudante com dados a serem determinados pelo mesmo.
o) Simule uma condição inicial e outra de contorno para T (temperatura) negativa, para
análise de aquecimento.
p) Plote o gráfico T (t ) por t para as condições dadas.
q) Observe a variação de T e de
dT
para t crescente.
dt
r) Simule outra condição inicial e de contorno para T (positiva) entre 0 e 10 graus, ainda
para análise de aquecimento.
s) Plote o gráfico para a nova condição e observe a variação de T e
dT
para t crescente.
dt
193
APÊNDICE D - PROBLEMA 03.
O problema deve ser resolvido observando a sequência apresentada pelo pesquisador
(Descoberta Guiada – uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o
problema ou escolhe a situação com o objetivo em mente. Conduz o aluno para a solução
do problema e o aluno segue a orientação do professor).
PROBLEMA 03 – ELETRICIDADE: CIRCUITOS EM SÉRIE
ENUNCIADO
A figura a seguir representa um circuito elétrico em série RL básico que contem uma fonte
de energia com uma voltagem dependente do tempo de E(t) volts, um resistor com uma
resistência constante de R ohms e um indutor com uma indutância constante de L henrys.
Uma corrente i(t) amperes flui através do circuito onde i(t) satisfaz a equação diferencial
(Segunda Lei de Kirchhoff)
L
di
dt
R i
E (t )
Para R = 6 Ω, L = 3 H, E(t) = 24 V e na condição i(0) = 15 A, determinar i(t).
1 – INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
a) Como você descreve este problema?
Ajuda a
IDENTIFICAÇÃO DAS VARÁVEIS
a) Qual a variável independente do problema?
Ajuda a
b) Qual a variável dependente do problema?
Ajuda b
c) Quais são os parâmetros do problema?
Ajuda c
194
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
a)
Qual a lei matemática que se aplica ao problema?
Ajuda a
CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO
a) Qual a condição inicial do problema?
Ajuda a
O QUE SE PEDE
a)
Expresse o que se pede.
Ajuda a
2 – RESOLUÇÃO DO MODELO
Obs.: Todas as atividades solicitadas neste item devem ser desenvolvidas com o software
MAPLE.
di
dt
a)
Resolva a equação diferencial L
b)
Resolva o PVI para a condição: i(0) = 15 A.
c)
Observando as resoluções da equação diferencial e do PVI acima descritos, você pode
R i
E (t ) .
Ajuda a
Ajuda b
prever o valor da constante da solução geral da equação diferencial?
Ajuda c
3 – ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS
a) Construa o campo de direções para a equação diferencial L
b) Observando o campo de direções da equação L
di
dt
di
dt
R i
R i
E (t )
E (t ) , podemos esboçar
soluções desta equação? O que é necessário para esboçarmos uma solução?
c) Que tipo de função poderíamos aproximar observando o campo de direções?
d) É possível definir o sinal de
Ajuda a
Ajuda b
Ajuda c
di
observando o campo de direções? Em caso afirmativo,
dt
estabeleça os valores de i para os quais
di
dt
0,
di
dt
0 e
di
dt
0.
Ajuda d
e) É possível observar no campo de direções um valor aproximado de i que representa
soluções de equilíbrio da equação diferencial?
Ajuda e
195
f) Resolva graficamente o PVI relativo ao item b da resolução do modelo.
g) Construa o gráfico de
di
por i.
dt
Ajuda g
h) Comparar os valores obtidos no item d com o gráfico
i) Por que a reta
Ajuda f
di
por i.
dt
di
intercepta o eixo i em 4?
dt
j) Construa o gráfico de i(t) por t.
Ajuda h
Ajuda i
Ajuda j
k) O que acontece com a intensidade da corrente quando o tempo é suficientemente
grande?
l)
Construa o gráfico de
Ajuda k
di
por t.
dt
m) O que acontece com a taxa de variação
Ajuda l
di
no decorrer do tempo?
dt
Ajuda m
196
APÊNDICE E - PROBLEMA 04.
Instruções gerais para a resolução do problema.
O problema deve ser resolvido observando a sequência apresentada pelo autor (Descoberta
Guiada – uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o problema ou
escolhe a situação com o objetivo em mente. Conduz o aluno para a solução do problema e
o aluno segue a orientação do professor).
PROBLEMA 04 – QUÍMICA: FÍSICO-QUÍMICA
ENUNCIADO
Sabendo-se que o radium se decompõe naturalmente em proporção direta à quantidade
presente e que leva 250 anos para decompor 10% de certa quantidade, quantos anos
levarão para decompor a metade da quantidade inicial?
Problema extraído do texto Aplicações das Equações Diferenciais (Um enfoque
Metodológico) de João Bosco Laudares, 1992, página 25, problema 15.
1 – INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
a) Como você descreve este problema?
Ajuda a
IDENTIFICAÇÃO DAS VARÁVEIS
a) Qual a variável independente do problema?
Ajuda a
b) Qual a variável dependente do problema?
Ajuda b
c) Qual é o parâmetro do problema?
Ajuda c
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
a) Qual a lei matemática que se aplica ao problema?
Ajuda a
CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO
a) Qual a condição inicial do problema?
Ajuda a
b) Qual a condição de contorno do problema?
Ajuda b
O QUE SE PEDE
a) Expresse o que se pede.
Ajuda a
197
2 – RESOLUÇÃO DO MODELO
Obs.: Todas as atividades solicitadas neste item devem ser desenvolvidas com o software
MAPLE.
k) Resolva a equação diferencial
dm
dt
k m.
Ajuda a
l) Calcule os valores dos parâmetros k e _C1.
Ajuda b
m) Determinar a equação que permite calcular a massa em função do tempo.
Ajuda c
n) Calcule o tempo necessário à decomposição da metade da quantidade inicial de radium,
m(t ) 1/ 2 .
Ajuda d
3 – ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS
a) Construa o campo de direções para a equação diferencial
b) Observando o campo de direções da equação
dm
dt
dm
dt
k m
k m , podemos dizer que se o
tempo tende ao infinito, a massa tende a zero?
Ajuda b
c) Que tipo de função poderíamos aproximar observando o campo de direções?
d) É possível definir o sinal de
Ajuda c
dm
observando o campo de direções? Em caso afirmativo,
dt
estabeleça o valores de m para os quais
e) Construa o gráfico de
Ajuda a
dm
dt
0,
dm
dt
0e
dm
dt
dm
por m.
dt
f) Comparar os valores obtidos no item d com o gráfico
0.
Ajuda d
Ajuda e
dm
por m.
dt
Ajuda f
g) É possível observar no campo de direções um valor aproximado de m que representa
soluções de equilíbrio da equação diferencial?
h) Construa o gráfico de
dm
por t.
dt
Ajuda g
Ajuda h
198
i) O que acontece com a taxa de variação da massa com o passar do tempo?
j) Qual o período em que a taxa
Ajuda i
dm
apresenta maior variação?
dt
Ajuda j
k) Construa o gráfico de m(t) por t.
Ajuda k
l) O que acontece com a massa quando o tempo é suficientemente grande?
Ajuda l
m) Qual o sinal de
dm
?
dt
Ajuda m
n) Verifique se é coerente o valor de m para t
0 no gráfico de m(t) por t de acordo com o
dado do problema.
Ajuda n
o) Resolva graficamente o Problema de Valor de Contorno (PVC):
t
t
0
250
m 1 (100%)
m 0.9 (90%)
.
p) Verifique se é coerente a solução gráfica do PVC com o gráfico obtido em k.
dm
dt
k m
Ajuda o
Ajuda p
199
APÊNDICE F - PROBLEMA 05.
Instruções gerais para a resolução do problema.
O problema deve ser resolvido observando a sequência apresentada pelo pesquisador
(Descoberta Guiada – uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o
problema ou escolhe a situação com o objetivo em mente. Conduz o aluno para a solução
do problema e o aluno segue a orientação do professor).
PROBLEMA 05 – VIBRAÇÃO DE MOLAS: MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
ENUNCIADO
Sistema Massa-Mola
Quando a segunda lei de Newton sobre o movimento é combinada com a lei de Hooke,
podemos obter uma equação diferencial que governa o movimento de uma massa atada a uma
d 2x
mola:
dt 2
2
x
0 , onde
2
k
. A segunda lei de Newton diz que a resultante das forças
m
que atuam sobre um sistema em movimento é F
m a . A lei de Hooke ( F
k x )15 diz que
a força restauradora de uma mola esticada é proporcional ao deslocamento x , figura 1.
Quando o sistema está em movimento, a variável x representa o deslocamento da massa em
relação à posição de equilíbrio. Supondo que o sentido do movimento para baixo seja positivo e
que o movimento se dê em uma reta vertical que passa pelo centro de gravidade da massa,
determine a função x (t ) que descreve o movimento livre, sabendo que uma massa pesando 2
kg distende uma mola em 9,8 cm. No instante t = 0, a massa é solta de um ponto a 8 cm abaixo
da posição de equilíbrio com uma velocidade direcionada para cima de 25 cm/s.
Figura 1
Problema adaptado do texto Equações Diferenciais com Aplicações
em Modelagem de Dennis G. Zill, 2003, página 217, exemplo 01.
15
O sinal de subtração indica que a força restauradora da mola atua em direção oposta ao movimento.
200
1 – INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
a) Como você descreve este problema?
Ajuda a
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS
a) Qual a variável independente do problema?
Ajuda a
b) Qual a variável dependente do problema?
Ajuda b
c) Qual é o parâmetro do problema?
Ajuda c
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
a)
Qual a lei matemática que se aplica ao problema?
Ajuda a
CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO
a) Quais as condições iniciais do problema?
Ajuda a
O QUE SE PEDE
a) Expresse o que se pede.
Ajuda a
2 – RESOLUÇÃO DO MODELO
Obs.: Todas as atividades solicitadas neste item devem ser desenvolvidas com o software
MAPLE.
a) Determine o valor da constante k da mola utilizando a segunda lei de Newton e a lei de
Hooke.
d 2x
b) Resolva a equação diferencial
dt 2
Ajuda a
2
x
0 , onde
2
c) Determine a função x (t ) que descreve o movimento livre.
k
.
m
Ajuda b
Ajuda c
201
3 – ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO
a) Construa o gráfico da equação x(t )
1
sin(10 t )
4
40
2
cos(10 t ) .
2
25
Ajuda a
b) Observando o gráfico, determine o valor máximo de estiramento da mola?
Ajuda b
c) Observando o gráfico, determine o valor máximo de compressão da mola?
Ajuda c
d) Determine o período de oscilação da mola.
Ajuda d
e) O período encontrado no item anterior é coerente com o gráfico em a?
Ajuda e
f)
Indicar no gráfico de x (t ) onde a massa está abaixo e acima da posição de equilíbrio.
Ajuda f
g) Em que instante a massa passa pela posição de equilíbrio?
Ajuda g
h) A vibração da mola tende a se anular quando t tende a infinito?
Ajuda h
i)
Construa o gráfico de v (t ) .
j)
Determine a velocidade da massa no instante t
Ajuda i
2 s.
Ajuda j
k) O resultado encontrado no item anterior é coerente com o gráfico v (t ) .
l)
Qual o sentido do movimento da massa no instante t
2 s?
Ajuda k
Ajuda l
m) Comparando os gráficos de x (t ) e v (t ) em relação ao sentido do movimento da massa,
o que podemos concluir?
Ajuda m
n) Construa o gráfico de a (t ) .
Ajuda n
o) Observando o gráfico a (t ) , indique os valores onde a aceleração da massa é máxima?
Ajuda o
p)
Determine a aceleração da massa no instante t
3 s.
q) O resultado encontrado no item anterior é coerente com o gráfico a (t ) .
Ajuda p
Ajuda q
202
APÊNDICE G - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 1
ORIENTAÇÕES DE AJUDA PARA O ALUNO
(PROBLEMA 01)
1 – INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
Ajuda a) dica 01: a aprendizagem ocorre com a conversação que não é apenas troca de
informações.
Ajuda a) dica 02: um diagrama simples pode ser desenhado para ajudar na verbalização.
Ajuda a) dica 03: o aluno deve verbalizar (interpretar) o problema com suas próprias
palavras.
LEI FÍSICA
Ajuda a) dica 01: no caso dos problemas de Equações Diferenciais Ordinárias teremos
sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmetros.
Ajuda a) dica 02: variável independente: “As variáveis independentes serão aquelas que
são independentes dos procedimentos da investigação, que não dependem da
investigação, constituindo, no entanto fatores determinantes que a vão influenciar,
recorrendo o investigador à sua manipulação para observar os efeitos produzidos nas
variáveis dependentes” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: tempo.
Ajuda b) dica: variável dependente: “Consideram-se como variáveis dependentes aquelas
que dependem dos procedimentos da investigação, conectando-se diretamente com as
respostas que se procuram. São dados que se obtêm e que variam à medida que o
investigador modifica as condições de investigação. Uma variável dependente é aquela
que procuramos como resposta para a pergunta. Toda a investigação tem por objetivo
chegar à variável dependente, ou seja, ao resultado obtido com os procedimentos da
investigação” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: aceleração, velocidade, espaço.
Ajuda c) dica: a força resultante atuante no sistema é a força gravitacional ( Fs
Resposta: a lei física que se aplica é: m a
m g
a
g
dv
dt
10 .
Fg )
203
CONDIÇÕES INICIAIS DADAS
Ajuda a) dica: no tempo inicial que podemos denominar t = 0, foram dadas uma posição e
uma velocidade.
Resposta:
t
t 0
v0 8m / s
x0 120m ( referencial terra )
0
O QUE SE PEDE
t
? até a pedra tocar o solo
v ? em que a pedra toca o solo
Resposta:
x ? espaço percorrido pela pedra até tocar o solo
2 - RESOLUÇÃO DO MODELO
Ajuda a) dica: o comando para resolver uma equação diferencial com uma condição inicial é
dsolve.
Resposta: v(t )
10t
10 8
Ajuda b) dica: o comando para resolver uma equação diferencial com uma condição inicial é
dsolve.
Resposta: x(t )
5t 2 8t 1
120
Ajuda c) dica: substituir x(t) = 0 na equação do espaço e resolver a equação desprezando os
valores negativos de t caso aconteça.
Resposta: t
5
5.763869460 s
Ajuda d) dica: substituir o tempo encontrado t
Resposta: v
5.76386946
5
0 s na equação da velocidade.
- 49.63869460 m/s
Ajuda e) dica 01: não se pode confundir distância percorrida com posição. Para calcular a
distância percorrida, temos que determinar as posições.
Ajuda e) dica 02: a distância total percorrida representa a distância que a pedra percorre
durante a subida e a descida.
Ajuda e) dica 03: determine o tempo que a pedra leva para atingir a altura máxima.
Ajuda e) dica 04: substituir o valor do tempo na expressão das posições.
Ajuda e) dica 05: lembrar que a posição encontrada a partir do ponto de lançamento está
acrescida de 120m.
204
Resposta: x
(1
120m 3,2m 3,2m) 126,4 m .
3 - ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS
Ajuda a) dica 01: carregue todos os pacotes(ferramentas) para o estudo de equações
diferenciais do Maple.
Ajuda a) dica 02: lembre-se que g = 10 m/s2.
Ajuda a) dica 03: o campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de
curvas integrais da equação diferencial.
Ajuda a) dica 04: o comando para construir o campo de direções é DEplot.
Ajuda b) dica 01: observe as direções de todos os elementos lineares.
Resposta: a equação diferencial é da forma de uma constante cuja solução gera uma família
de funções do 1º grau.
Ajuda c) Resposta: uma reta.
Ajuda d) dica 01: analise se todos os ângulos formados pelos elementos lineares são iguais.
Ajuda d) dica 02: utilize a função arctan(x).
Resposta: 95.66784035º
Ajuda e) dica: observe no gráfico – campo de direções – a direção e o sentido dos
elementos lineares
Resposta: sim, funções lineares.
Ajuda f) dica: o campo de direções sugere soluções cujas funções são lineares e
decrescentes.
Ajuda g) dica 01: observe a solução da equação diferencial
dv
dt
g.
Ajuda g) dica 02: o comando para construir gráficos em 2D é plot.
Ajuda h) dica 01: o tipo do gráfico de uma função linear é uma reta.
Resposta: decrescente, pois a medida que o tempo aumenta a velocidade diminui.
Ajuda i) dica 01: pense em integrar a função aceleração.
Ajuda i) dica 02: a aceleração é o coeficiente angular da função velocidade.
Ajuda j) dica 01: observe no gráfico da velocidade em função do tempo onde t = 0.
Resposta: 8 m/s.
205
Ajuda k) dica: ler o enunciado do problema.
Ajuda l) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de t.
Ajuda l) dica 02: lembre-se que
dx
dt
v.
Ajuda l) dica 03: observar no eixo da velocidade onde v = 0 e verificar o tempo.
Resposta: t = 0,8s
Ajuda m) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de t.
Ajuda m) dica 02: observar no eixo da velocidade onde v é aproximadamente igual a -49 m/s
e verificar o tempo.
Resposta: aproximadamente 5,7s.
Ajuda n) confrontar os resultados.
Ajuda o) dica: observar o gráfico da velocidade em função do tempo.
Resposta: de 0 a 0,8s
Ajuda p) dica: o comando para construir gráficos em 2D é plot.
Ajuda q) dica: observar diretamente o gráfico.
Resposta: negativa
Ajuda r) dica: observar no gráfico da aceleração em função do tempo, o comportamento da
aceleração tomando como referência o seu eixo.
Resposta: a aceleração é constante.
Ajuda s) dica : o comando para construir PVI é DEplot.
Ajuda t) A solução do PVI mostra uma das respostas da equação diferencial que é a função
plotada no gráfico da velocidade em função do tempo.
Ajuda u) dica 01: o campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de
curvas integrais da equação diferencial.
Ajuda u) dica 02: o comando para construir o campo de direções é DEplot.
Ajuda v) dica 01: observe no gráfico – campo de direções – a direção e o sentido dos
elementos lineares
Resposta: sim, funções quadráticas.
206
Ajuda w) dica : o comando para construir o campo de direções, dadas as condições iniciais
é DEplot.
Ajuda x) dica: o comando para construir gráficos em 2D é plot.
Ajuda y) A solução do PVI mostra uma das respostas da equação diferencial que é a função
plotada no gráfico do espaço em função do tempo.
Ajuda z) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de t e de x.
Resposta: 120m
Ajuda aa) confrontar os resultados.
Ajuda bb) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de t e de x.
Resposta: aproximadamente 123,2m
Ajuda cc) dica 01: Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e
y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) < f(y). Isto é, conforme o valor de x aumenta, o
valor da imagem de x pela função também aumenta.
Ajuda cc) dica 02: função decrescente: Uma função f é decrescente, se para quaisquer x e y
no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) > f(y). Isto é, conforme os valores de x aumentam,
o valor da imagem de x pela função f diminui.
Resposta: a função é crescente.
Ajuda dd) Resposta: diminuem.
Ajuda ee) dica 01: a aceleração é sempre negativa.
Ajuda ee) dica 02: a aceleração tem sentido contrário à orientação positiva da trajetória.
Ajuda ee) dica 03: a pedra sobe até atingir a altura máxima e depois desce devido a força
gravitacional.
Ajuda ff) dica 01: o tempo para a pedra atingir a altura máxima é de t = 0,8s, a partir do
ponto de lançamento.
Ajuda ff) dica 02: a velocidade, no intervalo considerado, é contrária à orientação positiva da
trajetória
Ajuda ff) dica 03: a aceleração é constante.
207
APÊNDICE H - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 2
ORIENTAÇÕES DE AJUDA PARA O ALUNO
(PROBLEMA 02)
1 - INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
ENUNCIADO
Ajuda a) dica: trata-se de um conteúdo da Termodinâmica.
Resposta: lei de resfriamento/aquecimento de Newton.
VERBALIZAÇÃO
Ajuda a) dica 01: a aprendizagem ocorre com a conversação que não é apenas troca de
informações.
Ajuda a) dica 02: o aluno deve verbalizar (interpretar) o problema com suas próprias
palavras.
LEI FÍSICA
Ajuda a) dica 01: no caso dos problemas de Equações Diferenciais Ordinárias teremos
sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmetros.
Ajuda a) dica 02: variável independente: “As variáveis independentes serão aquelas que são
independentes dos procedimentos da investigação, que não dependem da investigação,
constituindo, no entanto fatores determinantes que a vão influenciar, recorrendo o
investigador à sua manipulação para observar os efeitos produzidos nas variáveis
dependentes” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: tempo(t).
Ajuda b) dica: variável dependente: “Consideram-se como variáveis dependentes aquelas
que dependem dos procedimentos da investigação, conectando-se diretamente com as
respostas que se procuram. São dados que se obtêm e que variam à medida que o
investigador modifica as condições de investigação. Uma variável dependente é aquela que
procuramos como resposta para a pergunta. Toda a investigação tem por objetivo chegar à
variável dependente, ou seja, ao resultado obtido com os procedimentos da investigação”
(Sousa, A. B., 2005).
Resposta: temperatura do corpo(T).
Ajuda c) dica: o parâmetro é a constante de proporcionalidade.
Resposta: k.
208
Ajuda d) dica: constante é um valor que não altera durante a análise do fenômeno, também
denominado invariante.
Resposta: temperatura do ambiente ou do meio(Tm = 10ºF).
Ajuda e) dica: a velocidade de resfriamento é proporcional à diferença entre as temperaturas
do corpo e do ambiente.
Resposta:
dT
dt
k T Tm
CONDIÇÕES INICIAIS OU DE CONTORNO
Ajuda a) dica 01: se uma equação diferencial estiver definida para t ∈ [a, b] e a condição for
dada em a teremos uma condição inicial. Caso a condição seja dada num ponto t ≠ a, ela é
chamada de condição de contorno.
Ajuda a) dica 02: no tempo inicial que podemos denominar t = 0, qual é a temperatura do
corpo?
Resposta: para t
0
T
70
7 ºF
Ajuda b) dica 01: se uma equação diferencial estiver definida para t ∈ [a, b] e a condição for
dada em a teremos uma condição inicial. Caso a condição seja dada num ponto t ≠ a, ela é
chamada de condição de contorno.
Ajuda b) dica 02: no tempo 1/2 min, qual é a temperatura do corpo?
Resposta: t
1
min
2
T
50
5 ºF
O QUE SE PEDE
Resposta: 1) a temperatura marcada no termômetro no instante t = 1min.
2) o tempo que levará para o termômetro marcar 15ºF.
2 - RESOLUÇÃO DO MODELO
Ajuda a) dica 01: carregue todos os pacotes (ferramentas) para o estudo de equações
diferenciais do Maple.
Ajuda a) dica 02: observe que a solução geral vai ficar em função de k.
Resposta: T (t )
10 C
C1 e kt
Ajuda b) dica 01: para calcular os valores de k e C1 você deve montar um sistema.
209
0
t
Ajuda b) dica 02: substitua as condições dadas
t
70º F
T
1
min
2
T
50º F
na solução geral da
equação diferencial.
Ajuda b) dica 03: resolva o sistema.
Resposta: k
2 lln( 2 / 3) e _C1 = 60.
Ajuda c) dica 01: para resolver uma equação com uma variável no Maple, utiliza-se o
comando solve.
Ajuda c) dica 02: substitua na solução geral da equação diferencial o valor t
1 min.
Ajuda c) dica 03: utilize a função evalf.
Resposta: 36,6666667ºF
Ajuda d) dica 01: substitua na solução geral da equação diferencial o valor T = 15ºF.
Ajuda d) dica 02: utilize a função evalf.
Resposta: 3,064266938min
3 - ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO
Ajuda a) dica 01: o campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de
curvas integrais da equação diferencial.
Ajuda a) dica 02: Tm = 10ºF e k
2 lln( 2 / 3) .
Ajuda b) dica 01: observar os elementos lineares, uma única curva integral segue seu
caminho acompanhando o padrão de fluxo do campo.
Resposta: exponencial/logarítmica.
Ajuda c) dica 01: observar a inclinação dos elementos lineares.
Resposta 01: sim
Ajuda c) dica 02: observar os valores no eixo T (t ) .
Resposta 02:
dT
dt
0 para T (t ) 10 ,
dT
dt
0 para T (t ) 10 e
dT
dt
0 para T (t ) 1
10 .
Ajuda d) dica: soluções de equilíbrio são as únicas soluções constantes da equação
diferencial.
Resposta: sim, T (t )
10 F .
210
Ajuda e) dica: substitua o valor de k
2 lln( 2 / 3) na equação diferencial e defina a equação
a ser plotada.
Ajuda f) obs.: através da análise do gráfico
dos sinais de
dT
por T , confirmamos os resultados do estudo
dt
dT
, obtidos apenas observando o campo de direções da equação diferencial.
dt
Ajuda g) dica 01: carregue o pacote (student);
Ajuda g)dica 02: redefina a função T (t ) .
Ajuda g) dica 03: calcule a derivada de T (t ) e plote o gráfico.
Ajuda h) dica 01: observar o comportamento de
Resposta:
dT
dT
no gráfico de
por t .
dt
dt
dT
tende para o valor zero.
dt
Ajuda i) dica 01: redefina a equação
dT
por t .
dt
Ajuda i) dica 02: utilize o comando subs e substitua o valores de t na equação pré-definida.
Respostas:
9,611024783,
0,3750072161 e
0,01463219743 .
Ajuda j) dica: observar se os valores obtidos em i são compatíveis com os do gráfico de g.
Ajuda k) dica: utilize a função obtida no item c da resolução do modelo.
Ajuda l) dica 01: calcule a variação de temperatura nos intervalos de tempo [0,1]; [1,2]; [2,3]
e [3,4].
Resposta: no intervalo [0,1].
Ajuda m) dica: utilize o comando DEplot para resolver o PVI.
Ajuda n) Resposta: apresentam a mesma solução.
211
APÊNDICE I - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 3
ORIENTAÇÕES DE AJUDA PARA O ALUNO
(PROBLEMA 03)
1 - INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
Ajuda a) dica 01: a aprendizagem ocorre com a conversação que não é apenas troca de
informações.
Ajuda a) dica 02: o aluno deve verbalizar (interpretar) o problema com suas próprias
palavras.
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS
Ajuda a) dica 01: no caso dos problemas de Equações Diferenciais Ordinárias teremos
sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmetros ou constantes.
Ajuda a) dica 02: variável independente: “As variáveis independentes serão aquelas que são
independentes dos procedimentos da investigação, que não dependem da investigação,
constituindo, no entanto fatores determinantes que a vão influenciar, recorrendo o
investigador à sua manipulação para observar os efeitos produzidos nas variáveis
dependentes” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: tempo(t).
Ajuda b) dica: variável dependente: “Consideram-se como variáveis dependentes aquelas
que dependem dos procedimentos da investigação, conectando-se diretamente com as
respostas que se procuram. São dados que se obtêm e que variam à medida que o
investigador modifica as condições de investigação. Uma variável dependente é aquela que
procuramos como resposta para a pergunta. Toda a investigação tem por objetivo chegar à
variável dependente, ou seja, ao resultado obtido com os procedimentos da investigação”
(Sousa, A. B., 2005).
Ajuda b) resposta: intensidade do corrente i(t).
Ajuda c) dica: os parâmetros são valores dados no problema.
Resposta: E, L e R.
212
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
Ajuda a) dica 01: é a lei do crescimento da intensidade da corrente elétrica num circuito RL
(série).
Ajuda a) dica 02: segunda Lei de Kirchhoff.
Resposta: L
dI
dt
R i
E (t ) .
CONDIÇÃO INICIAL
Ajuda a) dica: no tempo inicial que podemos denominar t = 0, qual é a intensidade da
corrente?
Resposta: t
0
i 15A
O QUE SE PEDE
Resposta: determinar a expressão que calcula a intensidade da corrente num tempo
qualquer.
2 - RESOLUÇÃO DO MODELO
Ajuda a) dica 01: carregue todos os pacotes (ferramentas) para o estudo de equações
diferenciais do Maple.
Ajuda a) dica 02: substituir os valores de R = 6 Ω, L = 3 H e V(t) = 24 V na equação
diferencial.
Ajuda a) dica 03: utilize o comando dsolve para a resolução da equação diferencial.
Resposta: i (t )
4 e
2t
_ C1
Ajuda b) dica 01: você pode resolver o PVI definindo a condição inicial ou inserindo-a
diretamente na linha do comando.
Ajuda b) dica 02: utilize o comando dsolve para a resolução do PVI.
Resposta: i (t )
4 1
11e
2t
Ajuda c) dica: comparar a resposta da equação diferencial com a do PVI.
Resposta: _C1=11
213
3 - ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO
Ajuda a) dica 01: substituir os valores de R = 6 Ω, L = 3 H e V(t) = 24 V na equação
diferencial.
Ajuda a) dica 02: utilizar o comando DEplot para traçar o campo de direções com ou sem
condições iniciais e de contorno.
Ajuda b) resposta 01: o campo de direções permite visualizarmos e esboçarmos inúmeras
soluções da equação diferencial(família de curvas integrais).
Ajuda b) resposta 02: é necessário termos uma condição inicial, por exemplo:
t
0
i 15
1 A para se determinar uma curva da família.
Ajuda c) dica: observar os elementos lineares, uma única curva integral segue seu caminho
acompanhando o padrão de fluxo do campo.
Resposta: exponencial/logarítmica.
Ajuda d) resposta 01: sim, observando a inclinação dos elementos lineares.
Ajuda d) dica: observar os valores no eixo i(t ) .
Resposta 02:
di
dt
0 para i(t ) 4 ,
di
dt
0 para i(t )
4e
di
dt
0 para i(t )
4.
Ajuda e) dica: soluções de equilíbrio são as únicas soluções constantes da equação
diferencial.
Resposta: sim, i (t )
4.
Ajuda f) dica: para resolver um PVI graficamente, utilize o comando DEplot.
Ajuda g) dica 01: utilizar o comando plot para construir gráficos em 2D.
Ajuda g) dica 02: isolar
di
na equação diferencial para construir o gráfico.
dt
Ajuda h) obs.: por meio da análise do gráfico
dos sinais de
di
, obtidos apenas observando o campo de direções da equação diferencial.
dt
Ajuda i) Resposta: 4 é o valor onde
diferencial.
di
por i, confirmar os resultados do estudo
dt
di
dt
0 , representa a solução de equilíbrio da equação
214
Ajuda j) dica: usa-se a seguinte equação para plotar o gráfico: i(t )
4 1
11 e
2t
.
Ajuda k) dica 01: observar no gráfico i(t) por t a tendência de i(t ) .
Ajuda k) dica 02: todas as soluções se aproximam de um determinado valor.
Resposta: a corrente se estabiliza em i (t )
4.
Ajuda l) dica 01: utilizar o comando plot para construir gráficos em 2D.
Ajuda l) dica 02: substituir i(t )
4 1
11 e
2t
na equação diferencial e isolar
di
.
dt
Ajuda m) dica 01: observar o gráfico.
Resposta: a taxa de variação
estabilidade.
di
diminui em módulo até chegar a zero onde ocorre a
dt
215
APÊNDICE J - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 4
ORIENTAÇÕES DE AJUDA PARA O ALUNO
(PROBLEMA 04)
1 - INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
Ajuda a) dica 01: a aprendizagem ocorre com a conversação que não é apenas troca de
informações.
Ajuda a) dica 02: o aluno deve verbalizar (interpretar) o problema com suas próprias
palavras.
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS
Ajuda a) dica 01: no caso dos problemas de Equações Diferenciais Ordinárias teremos
sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmetros ou constantes.
Ajuda a) dica 02: variável independente: “As variáveis independentes serão aquelas que
são independentes dos procedimentos da investigação, que não dependem da
investigação, constituindo, no entanto fatores determinantes que a vão influenciar,
recorrendo o investigador à sua manipulação para observar os efeitos produzidos nas
variáveis dependentes” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: tempo(t).
Ajuda b) dica: variável dependente: “Consideram-se como variáveis dependentes aquelas
que dependem dos procedimentos da investigação, conectando-se diretamente com as
respostas que se procuram. São dados que se obtêm e que variam à medida que o
investigador modifica as condições de investigação. Uma variável dependente é aquela
que procuramos como resposta para a pergunta. Toda a investigação tem por objetivo
chegar à variável dependente, ou seja, ao resultado obtido com os procedimentos da
investigação” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: massa m(t).
Ajuda c) dica: o parâmetro é um valor dado no problema ou a ser determinado.
Resposta: K.
216
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
Ajuda a) dica 01: este tipo de problema que resulta em expressões exponenciais são
denominados de crescimento ou decrescimento exponencial.
dm
varia proporcionalmente a m.
dt
Ajuda a) dica 02:
Resposta:
dm
dt
k m.
CONDIÇÕES INICIAIS OU DE CONTORNO
Ajuda a) dica 01: no tempo inicial que podemos denominar t = 0, qual é a massa de radium
existente?
Resposta: t
0
m 1 (100%) .
Ajuda b) dica 01: ao término de 250 anos, qual é a porcentagem de radium existente?
Resposta: t
2
250
m
0,9 (90%) .
OBS.: "m" é a massa do radium que não se decompõe, isto é, 90% são o que resta após
250 anos.
O QUE SE PEDE
Resposta: determinar o tempo para decomposição da metade da quantidade inicial de
radium, ou seja: t
?
m 1 / 2 (50%) .
2 - RESOLUÇÃO DO MODELO
Ajuda a) dica 01: carregue todos os pacotes (ferramentas) para o estudo de equações
diferenciais do Maple.
Ajuda a) dica 02: observe que a solução geral vai ficar em função de k.
Resposta: m
_ C1 e kt .
Ajuda b) dica 01: para determinar os valores de k e _C1 aplica-se as condições iniciais e de
contorno.
Ajuda b) dica 02: montar um sistema onde a variáveis são k e _C1.
Resposta: k
0,
0,0004214420626 , _C1=1
Ajuda c) dica: substituir k e _C1 na solução geral da equação diferencial.
217
Resposta: m(t )
e
0 , 0004214420626t
Ajuda d) dica: substitua o valor de m(t ) 1 / 2 na equação da massa em função do tempo e
determine o tempo.
Resposta: 1644,703370 anos
3 - ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO
Ajuda a) dica 01: o campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de
curvas integrais da equação diferencial.
Ajuda a) dica 02: substitua o valor de k
0
0,,0004214420626 na equação diferencial.
Ajuda a) dica 03: utilizar o comando DEplot para traçar o campo de direções.
Ajuda a) dica 04: utilize valores altos para o tempo, por exemplo: t variando de 0 a 6000
anos para não comprometer o aspecto geral do gráfico.
Ajuda b) dica 01: o campo de direções permite visualizarmos e esboçarmos inúmeras
soluções da equação diferencial(família de curvas integrais).
Ajuda b) dica 02: você pode calcular o limite da função para quando o tempo tende a infinito.
Ajuda b) dica 03: observar diretamente no gráfico o comportamento da função.
Resposta: sim
Ajuda c) dica 01: observar os elementos lineares, uma única curva integral segue seu
caminho acompanhando o padrão de fluxo do campo.
Resposta: exponencial
Ajuda d) resposta 01: Sim, observando a inclinação dos elementos lineares.
Ajuda d) dica 01: observar os valores no eixo m(t ) .
Resposta 02:
dm
dt
0 não existe,
dm
dt
0 para t
0e
dm
dt
0 para t
0.
Ajuda e) dica 01: usar o comando plot para plotar gráficos em 2D.
Ajuda e) dica 02: isolar
diretamente a função rhs.
dm
na equação diferencial para construção do gráfico ou utilize
dt
218
Ajuda f) obs.: através da análise do gráfico
dos sinais de
dm
por m, confirmamos os resultados do estudo
dt
dm
, obtidos apenas observando o campo de direções da equação diferencial.
dt
Ajuda g) dica: soluções de equilíbrio são as únicas soluções constantes da equação
diferencial.
Resposta: sim, m(t )
0.
Ajuda h) dica: substituir a equação da massa em função do tempo na equação diferencial
dada.
Ajuda i) dica: observar o gráfico.
Resposta: tende a zero
Ajuda j) resposta: de acordo com o gráfico, a taxa apresenta maior variação para o tempo
próximo de zero.
Ajuda k) dica: use valores altos para indicar o eixo do tempo, por exemplo: t variando de 0 a
6000.
Ajuda l) dica 01: observar no gráfico m(t ) por t a tendência de m(t ) .
Ajuda l) dica 02: todas as soluções se aproximam de um determinado valor.
Ajuda m) dica: observar todos os gráficos onde aparece
dm
.
dt
Ajuda o) dica: utilize o comando DEplot e as condições iniciais e de contorno para a
resolução gráfica do problema.
Ajuda p) dica: comparar os gráficos.
219
APÊNDICE K - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 5
ORIENTAÇÕES DE AJUDA PARA O ALUNO
(PROBLEMA 05)
1 - INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
Ajuda a) dica 01: a aprendizagem ocorre com a conversação que não é apenas troca de
informações.
Ajuda a) dica 02: o aluno deve verbalizar (interpretar) o problema com suas próprias
palavras.
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS
Ajuda a) dica 01: no caso dos problemas de Equações Diferenciais Ordinárias teremos
sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmetros ou constantes.
Ajuda a) dica 02: variável independente: “As variáveis independentes serão aquelas que
são independentes dos procedimentos da investigação, que não dependem da
investigação, constituindo, no entanto fatores determinantes que a vão influenciar,
recorrendo o investigador à sua manipulação para observar os efeitos produzidos nas
variáveis dependentes” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: tempo(t).
Ajuda b) dica: variável dependente: “Consideram-se como variáveis dependentes aquelas
que dependem dos procedimentos da investigação, conectando-se diretamente com as
respostas que se procuram. São dados que se obtêm e que variam à medida que o
investigador modifica as condições de investigação. Uma variável dependente é aquela
que procuramos como resposta para a pergunta. Toda a investigação tem por objetivo
chegar à variável dependente, ou seja, ao resultado obtido com os procedimentos da
investigação” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: posição x (t ) .
Ajuda c) dica: o parâmetro é um valor dado no problema ou a ser determinado.
Resposta: constante da mola(k).
220
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
Ajuda a) dica 01: este problema envolve o sistema Massa-Mola: movimento livre não
amortecido ou movimento harmônico simples.
Ajuda a) dica 02: o modelo combina a lei de Hooke e a segunda lei de Newton.
Resposta:
onde
2
F
m a
F
k x
m a
k x
k
d 2x
x ou
m
dt 2
a
k
x 0 sendo k e m
m
0,
k
.
m
CONDIÇÕES INICIAIS
Ajuda a) dica: no tempo inicial que podemos denominar t = 0, qual é a posição da mola?
Resposta: t
0
x 8.
Ajuda b) dica: no tempo inicial t = 0, qual é a velocidade da mola?
Resposta: t
0
x' (0)
25 .
O QUE SE PEDE
Resposta: determinar a função x (t ) que descreve o movimento livre não amortecido.
2 - RESOLUÇÃO DO MODELO
Ajuda a) dica 01: carregue todos os pacotes (ferramentas) para o estudo de equações
diferenciais do Maple.
Ajuda a) dica 02: a segunda lei de Newton é: F
Ajuda a) dica 03: a lei de Hooke é: F
m a.
k x.
Ajuda a) dica 04: igualar as duas forças.
Resposta: k
2 N/m
200
Ajuda b) dica 01: verificar que o valor de
2
k
m
100 .
1
Ajuda b) dica 02: utilize o comando dsolve para resolver a equação diferencial.
Resposta: x(t )
_ C1sin(10 t ) _ C 2 cos(10 t ) .
Ajuda c) dica: utilize o comando dsolve para resolver a equação diferencial com as
condições iniciais.
221
1
sin(10 t )
4
40
Resposta: x(t )
2
cos(10 t ) .
2
25
3 - ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO
Ajuda a) dica: utilize o comando plot para plotar o gráfico.
Ajuda b) dica: ocorre estiramento da mola quando x(t )
Resposta: x(t )
0.
8.
Ajuda c) dica: ocorre compressão da mola quando x(t )
Resposta: x(t )
0.
8.
Ajuda d) dica 01: o período de vibrações livres é calculado por: T
Resposta: T
5
2
.
s.
Ajuda e) dica: observar no gráfico de x (t ) o período de oscilação que é o intervalo de tempo
entre dois máximos sucessivos, e confrontar com o resultado calculado.
Ajuda f) dica: a massa está abaixo da posição de equilíbrio onde x(t )
posição de equilíbrio onde x(t )
0.
Ajuda g) dica: a massa passa pela posição de equilíbrio quando x(t )
Resposta: t
1
16
arctg
10
5
0 e acima da
k
, k
10
0.
.
Ajuda h) dica 01: observar o gráfico x (t ) .
Ajuda h) dica 02: a amplitude não altera no decorrer do tempo.
Resposta: não.
Ajuda i) dica 01: v(t )
x ' (t ) .
Ajuda i) dica 02: carregue o pacote “student” para calcular a derivada da função x (t ) .
Ajuda i) dica 03: utilize o comando “diff” para calcular a derivada da função x (t ) .
Ajuda i) dica 04: utilize o comando “plot” para plotar o gráfico.
Ajuda j) dica: utilize o comando “subs” para substituir t
em v (t ) e resolva a equação.
Resposta: -0,8323767160 m/s.
2 em v (t ) , ou substitui t
2 direto
222
Ajuda k) dica: observar o resultado encontrado -0,8323767160 no gráfico v (t ) alterando a
escala para melhor visualização.
Resposta: sim.
Ajuda l) dica: observar o gráfico x (t ) .
Resposta: para cima.
Ajuda m) dica 01: construir os gráficos de x (t ) e v (t ) em um mesmo plano.
Ajuda m) resposta: quando x (t ) é decrescente v (t ) é menor que zero e o movimento da
massa é para cima, quando x (t ) é crescente v (t ) é maior que zero e o movimento da massa
é para baixo.
Ajuda n) dica 01: a(t )
x ' ' (t ) .
Ajuda n) dica 02: utilize o comando “diff” para calcular a derivada da função v (t ) .
Ajuda n) dica 03: utilize o comando “plot” para plotar o gráfico.
Ajuda o) dica 01: observar no gráfico a (t ) onde ocorre os valores máximos e mínimos da
aceleração.
Ajuda o) dica 02: determinar a derivada da função a (t ) .
Ajuda o) dica 03: resolver a equação
da(t )
dt
0 para encontrar os valores máximos e
mínimos.
Resposta: t
10
1
5
arctg
10
16
k
, k
10
.
Ajuda p) dica: utilize o comando “subs” para substituir t
ou substitua t
3 s direto na expressão da aceleração e resolva a equação.
Resposta: a(3 )
8 m/s2.
Ajuda q) dica: observar o resultado encontrado a(3 )
Resposta: sim.
3 s na expressão da aceleração,
8 no gráfico a (t ) .
223
APÊNDICE L - QUESTIONÁRIO INICIAL APLICADO AOS ALUNOS
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS – PUC MINAS
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: MATEMÁTICA
Questionário inicial aplicado aos alunos do 3º período da turma de Equações Diferenciais do
curso de Engenharia Elétrica do Instituto Federal de Goiás (IFG) – Campus Jataí.
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Mestrando: Prof. Aníbal Ataides Barros Filho
Nome: ____________________________________________________________________
1.
“O limite de uma função f quando x → t é um número L”. Explique em poucas palavras o
significado desta expressão?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
2.
Das alternativas abaixo, marque aquela que você mais identifica com o conceito de
derivada.
(
) Função;
(
) Limite;
(
) Coeficiente angular;
(
) Inclinação;
(
) Medida de variação.
3.
Dos conteúdos abaixo, assinale aqueles que você já utilizou para a resolução de
problemas com aplicação de derivadas?
(
) Máximos e Mínimos;
(
) Extremos de Funções;
(
) Inflexão;
(
) Crescimento e Decrescimento;
(
) Taxas Relacionadas;
(
) Modelagem e Otimização;
224
(
4.
) Linearização.
Qual é a sua interpretação de Derivada como taxa de variação?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
5.
Qual o significado geométrico de Derivada?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
6.
O que representa a Derivada de uma função em um ponto?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
7.
Qual é a diferença entre uma solução geral e uma solução particular de uma equação
diferencial? Dê um exemplo.
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
8.
Estabeleça a diferença entre condições iniciais e condições de contorno ou de fronteira?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
9.
Das equações abaixo, identifique aquelas que você consegue resolver?
(
) Variáveis Separáveis;
(
) Homogêneas;
(
) Exatas;
(
) Lineares;
(
) de Bernoulli;
10. Em que ano/período você cursou a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I?
225
__________________________________________________________________________
11. Nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral I e II foram utilizados softwares para
exploração dos conteúdos? Quais?
_______________________________________________________________________
226
APÊNDICE M - QUESTIONÁRIO FINAL APLICADO AOS ALUNOS
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS – PUC MINAS
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: MATEMÁTICA
Questionário Final aplicado aos alunos do 3º período da turma de Equações Diferenciais do
curso de Engenharia Elétrica do Instituto Federal de Goiás (IFG) – Campus Jataí.
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Mestrando: Prof. Aníbal Ataides Barros Filho
Nome:
1.
Qual o significado geométrico de Derivada?
2.
Qual é a diferença entre uma solução geral e uma solução particular de uma equação
diferencial? Dê um exemplo.
3.
Estabeleça a diferença entre condições iniciais e condições de contorno ou de fronteira?
4.
Os gráficos podem ajudar na interpretação e análise de um fenômeno físico no contexto
do estudo das Equações Diferenciais?
(
) Sim;
(
) Não;
(
) Às vezes.
5.
(
Identifique as principais dificuldades encontradas no desenvolvimento das atividades.
) Interpretação do texto;
227
(
) Determinação das variáveis;
(
) Resolução das equações;
(
) Construção dos gráficos;
(
) Utilização/familiarização do software MAPLE;
(
) Outros. Especificar:
6.
Como você caracteriza as atividades desenvolvidas no decorrer da aplicação da
proposta?
(
) As atividades promovem a construção do conhecimento;
(
) As atividades apresentam cunho de pesquisa científica;
(
) As atividades contribuem para uma melhor compreensão dos fenômenos físicos
abordados;
(
) As atividades promovem o pensamento lógico matemático;
(
) As atividades são diferentes dos moldes tradicionais;
(
) As atividades possibilitam a experimentação;
(
) Outros. Especificar:
7.
Assinale as principais utilizações do software MAPLE no estudo das Equações
Diferenciais.
(
) Contribui para uma melhor interpretação e visualização dos fenômenos físicos
abordados;
(
) Agiliza os procedimentos de resolução das equações e construção dos gráficos;
(
) Trás uma visão diferente para o aprendizado de matemática;
(
) Obtém maior confiabilidade dos resultados;
(
) Gera maior variedade de casos;
(
) Concentra a atenção no conceito;
(
) Outros. Especificar:
8.
Analisando o campo de direções (campo de inclinações) de uma equação diferencial
ordinária linear de 1ª ordem, pode-se concluir que:
(
) O campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de curvas integrais
da equação diferencial;
228
(
) Permite aproximar e visualizar os ângulos formados pelos vetores tangentes (elementos
lineares) em cada ponto do gráfico;
(
) Permite visualizar determinadas regiões do plano nos quais um solução exibe um
comportamento não usual;
(
) Permite visualizar possíveis soluções de equilíbrio da equação diferencial;
(
) Permite verificar o sinal algébrico da derivada envolvida na equação diferencial e
consequentemente se a função é crescente ou decrescente em um determinado intervalo;
(
9.
) Outros. Especificar:
Em sua opinião, de uma forma geral, as atividades desenvolvidas contribuíram para
uma aprendizagem mais significativa de equações diferenciais ordinárias lineares de 1ª e 2ª
ordem.
(
) Muito;
(
) Pouco;
(
) Não contribuiu.