MA - Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – Revisão – 2° Bimestre
Exercícios de Livros (Beer Johnston, Kraige, Hibbeler)
m = 1.2 kg, m = 10 mm e ff = 0.5 Hz e l = 600 mm e
a massa do colar é 1.4 kg. Determine: (a) a amplitude do
movimento e (b) a amplitude da força Fm e a força F(t)
necessária aplicada no colar para manter esse movimento.
Vibrações Forçadas
Vibrações de corpos rígidos
1. Um cilindro de 5 kg está suspenso por uma
mola de constante igual a 320 N/m e está submetido a
uma força periódica vertical
P  Pm  sen  f  t  , onde de f para a qual a amplitude do movimento da massa seja
5. No Problema 4, determine a faixa de valores
Pm  14 N . Determine a amplitude do movimento do maior que 3 m .
cilindro para
(a) f = 6 rad/s e
(b) f = 12 rad/s.
6. Um motor de 125 kg é suportado por uma viga
leve horizontal. O desbalanceamento do rotor é
equivalente a uma massa de 25 g localizada a 200 mm do
eixo de rotação. Sabendo que a deflexão estática da viga
devida ao peso do motor é 6.9 mm, e g = 9.81 m/s2,
determine:
(a) a velocidade (frequência, em rpm) em que
ocorrerá a ressonância;
(b) a amplitude do estado estacionário do motor
na freqüência de 720 rpm.
1
2. Um cilindro de massa m suspenso de uma
mola de constante k está sob a ação de uma força
periódica vertical de módulo
F  Fm  sen  f  t  .
Determine a faixa de valores de f para os quais a
amplitude de vibração excede duas vezes a deflexão
estática produzida por uma força de modulo Fm .
7. Resolva o Problema 6 supondo que o motor de
125 kg seja suportado por um conjunto de 4 molas.
8. Quando se aumenta lentamente a velocidade de
um motor, suportado por molas, de 200 para 300 rpm, a
amplitude de vibração devida ao desbalanceamento do
rotor decresce continuamente de 0.125 in para 0.4 in.
Determine a velocidade para a qual ocorrerá ressonância.
9. Para o sistema abaixo, a frequência angular da
força aplicada é f. Se a amplitude de força Pm é 100N,
determine a amplitude de deformação de xm para:
3. No Problema 2 determine a faixa de valores
de f para os quais a amplitude de vibração é menor que a
deflexão estática produzida por uma força de módulo
constante Fm .
rad
rad
(b)  f  19
s
s
rad
(c)  f  30
s
(a)
4. Um pêndulo simples de comprimento l está
preso a um cursor C, que é forçado a deslocar-se
horizontalmente
de
acordo
com
a
relação
 f  10
xC   m  sen  f  t  . Determine a faixa de valores de
f para a qual a amplitude do movimento da massa
exceda 2m. (Suponha que m é pequeno em comparação
ao comprimento l do pêndulo.)
F  Fm  sen   t 
10. Um motor de 40 lb (de peso) é suportado por
quatro molas, cada uma de constante 225 lb/in. O motor é
forçado a mover-se verticalmente e a amplitude
observada de seu movimento é de 0.05 in a uma
velocidade de 1200 rpm. Sabendo que o peso do rotor é 9
lb, determine a distância entre o centro de massa do rotor
e o eixo da árvore.
1in = 1 ft/12 e g = 32.2 ft/s²
Suponha agora que:
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y   m  sen   t  . Sabendo que as amplitudes da
vibração dos cilindros A e B são 0.0381 m e 0.0191 m,
respectivamente, determine a amplitude de vibração de C.
2
2
11. Um motor de peso 400 lb (12.4224 lb.s
/ft) é suportado por molas que têm uma constante de 1200
lb/in. O desequilíbrio do rotor é equivalente a um peso de
2
1 oz (0.001941 lb.s /ft) localizado 8 in a partir do eixo de
rotação. Determinar a gama de valores permissíveis da
velocidade do motor, se a amplitude da vibração não deve
exceder 0.06 in.
15. Um disco uniforme de 8 kg e de raio de 200
mm, é soldado a um eixo vertical, com uma extremidade
fixa no disco B. O disco gira um ângulo de 3°, quando um
binário estático de magnitude 50 N.m é aplicado a ele. Se
sobre o disco atuar uma torção periódica de magnitude T =
Tm sen( f.t), onde Tm = 60 N.m, determinar o intervalo de
valores de f para o qual a amplitude da vibração é menor
do que o ângulo de rotação causada por um par estática de
magnitude Tm.
12. A barra AB está rigidamente presa à
carcaça de um motor de velocidade constante. Quando um
cursor de massa m é colocado sobre a mola, observa-se
que vibra com amplitude de 15 mm. Quando dois
cursores, cada um de massa m, são colocados sobre a
mola, a amplitude observada é de 18 mm. Que amplitude
de vibração deve ser esperada quando três cursores, cada
um de massa m, forem colocados sobre a mola? (Obtenha
duas respostas.)
16. Um pêndulo invertido consistindo de uma
barra rígida ABC de comprimento L e a massa m é
suportado por um pino de suporte em C. Uma mola de
constante k é presa à barra em B e é deformada quando a
barra se encontra na posição vertical mostrada. Determine
(a) a freqüência de pequenas oscilações,
(b) o menor valor de a para o qual irá ocorrer
essas oscilações.
13. Uma pequeno bloco A de 20 kg está ligado
à haste de BC massa negligenciável que é apoiado em B
por um pino e suporte e em C por uma mola de k =
constante de 2 kN/m. O sistema pode mover-se num plano
vertical e está em equilíbrio, quando a haste está na
horizontal. A vareta é actuada em C por uma força de
magnitude periódica P = Pm sin(ωf t), onde Pm = 6 N.
Sabendo-se que b = 200 mm, determinar o intervalo de
valores de ωf para o qual a amplitude da vibração do
bloco A superior a 3,5 mm.
17. Um disco de massa m está preso a uma
distância r em relação a um eixo vertical AB que gira com
uma velocidade angular . Denotando por k a constante de
elasticidade do sistema para movimento horizontal do
disco e por e a excentricidade do disco em relação ao eixo,
mostre que a deflexão do centro do eixo pode ser escrita
na forma:
14. Três cilindros idênticos A, B e C estão
suspensos por meio de arranjos de molas idênticas que se
prendem numa barra DE, como ilustrado. A barra DE,
move-se verticalmente acordo com a relação
r
2
e  0 
2
1   0 
2
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constante 10 kN/m. O reboque é puxado sobre uma estrada
cuja superfície pode ser aproximada por uma curva
senoidal de 40 mm de amplitude e 5 m de comprimento de
onda (isto é, a distância vertical de uma crista a um cavado
é de 80 mm). Determine
(a) a velocidade em que ocorrerá ressonância, e
(b) a amplitude de vibração do reboque a uma
velocidade de 50 km/h.
3
18. Um motor de velocidade variável é
rigidamente ligada a uma viga BC. Quando a velocidade
do motor é menor do que 600 rpm ou mais do que 1200
rpm, de um pequeno objecto colocado em A é observada a
permanecer em contacto com a viga. Para velocidades
entre 600 e 1200 rpm o objeto é observado "dançando" e
realmente perder o contato com a haste. Determinar a
velocidade na qual a ressonância irá ocorrer.
22. Um bloco A pode mover-se sem atrito no slot como
mostrado e é submetido por uma força de magnitude
P  Pm  sen  f  t  , com Pm = 20 N e f = 2 rad/s.
Uma mola de constante k é anexada ao na parte inferior do
bloco A e na superior de um bloco de 22 kg B. Determinar:
(a) o valor da constante k que vai impedir uma
vibração estado estacionário do bloco A,
(b) a amplitude da vibração correspondente do bloco B.
19. Um prumo de um pêndulo simples pesa
2.75 lb e possui comprimento l = 24 in como mostrado na
figura; ele é suspenso por um colar C de 3 lb. O colar é
forçado a se mover de acordo com a relação:
xC   m  sen  f  t 
com amplitude m = 0.4 in e frequência ff = 0.5
Hz. Determine:
(a) a amplitude do movimento do prumo;
(b) a força que deve ser aplicada ao colar C para
manter o movimento.
23. A barra homogênea de 3,00 kg mostrada na figura está
presa a uma mola de constante k = 900 N/m. Se a extremidade da
barra é abaixada de 25 mm e então solta, determine
(a) o período de vibração e
(b) a máxima velocidade da extremidade A.
20. Um simples pêndulo de comprimento l está
suspenso a partir de colarinho C, como indicado na figura
anterior; ele é forçado a mover-se horizontalmente de
acordo com a relação:
24. A barra homogênea de 5.44 kg está presa a uma mola de
constante k = 525 N/m.A extremidade B da barra for abaixada de
12.7 mm e, então, solta, determine
(a) o período de vibração e
(b) a máxima velocidade de B.
xC   m  sen  f  t 
Determinar a gama de valores de f para que a
amplitude do movimento do pêndulo é inferior a m.
(Assume que m é pequeno comparado com o
comprimento l do pêndulo.)
21. Um pequeno reboque com massa total de
250 kg é suportado por duas molas, cada uma de
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25. Uma barra AB de 5.44 kg está rebitada a um disco
homogêneo de 4.35 kg. Uma Corrêa prende-se à borda do disco
e a uma mola que mantém a barra em repouso, horizontalmente.
4
Se a extremidade A da barra for abaixada de 38.1 mm e
então solta, determine:
(a) de quanto será o período.
(b) a máxima velocidade da extremidade A.
30. Duas hastes uniformes, cada um de massa m = 12 kg e
comprimento L = 800 mm, são soldadas juntas para formar o
conjunto mostrado. Sabendo que a constante de cada mola é k =
500 N/m e que em A é dado um pequeno deslocamento e
liberado, determinar a freqüência do movimento resultante.
26. Um cilindro homogêneo de 15 lb pode rolar sem
escorregar num plano inclinado e está preso a uma mola AB,
como indica a figura.
Se o centro do cilindro for deslocado de 0.4 in, plano
abaixo, a partir do seu ponto de equilíbrio e, então, solto,
determinar (a) qual será o período de vibração (b) a máxima
velocidade do centro do cilindro.
27. Uma correia, passando pela periferia de um disco de
12 kg, está presa a um cilindro de 4 kg e a uma mola de
constante k = 500 N/m, como indica a figura. O cilindro é
abaixado de 75 mm, a partir de sua posição de equilíbrio e,
então, é solto. Determine (a) o período de vibração e (b) a
máxima velocidade do cilindro. Suponha que o atrito é
suficiente para impedir o escorregamento da correia sobre o
disco.
31. Uma barra homogênea AB de 3.00 kg está presa a uma
mola de constante 900 N/m, como indica a figura. Coloca-se em
A um bloquinho C de 0.50 kg.
(a) Se a idade A for então abaixada de o (pequeno) e, a
seguir, for solta, determine o período de vibração.
(b) Determine o máximo valor permissível de o para
que bloco C não perca o contato com durante todo o movimento.
32. Uma barra de massa m e comprimento l está
suspensa por duas molas, cada uma de constante k. Determine a
freqüência de vibração se a barra for
(a) deslocada verticalmente e, solta e
(b) girada de um pequeno ângulo em torno de um eixo
horizontal passando por G e, abandonada
(c) Determine a razão b/l para a qual as freqüências
calculadas nos itens (a) e (b) são iguais.
28. No Problema 27, determine:
(a) a freqüência de vibração e
(b) a máxima tensão entre em C e B.
29. A barra homogênea de 8 kg está presa a uma mola de
constante k = 500 N/m. A extremidade A da barra for abaixada
uma pequena distância e, então, solta, determine
(a) a frequência de vibração e
(b) o menor valor da constante k para o qual irá ocorrer a
oscilação..
4
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33. Uma placa quadrada homogênea de massa m é
mantida num plano horizontal por um pino em B e está presa em
A a uma mola de constante k. Desloca-se ligeiramente o vértice
A e a seguir abandona-se a placa. Determine o período do
movimento subseqüente.
5
quando se usa B. Mostre que t é igual ao de pêndulo ideal de
comprimento l e que:
g
34. Um pêndulo composto e definido como uma placa
rígida que oscila em torno de um ponto fixo O, chamado centro
de suspensão. Mostre que o período de oscilação de um pêndulo
composto é igual ao período de um pêndulo simples de
comprimento OA, onde a distância de A ao centro de massa G é
GA 
4 2l
2
38. 38.1 - Um arame dobrado homogênea para
formar a figura mostrada é ligado a um suporte pino em A.
Sabendo que r = 220 milímetros e que o ponto B
é empurrado para baixo 20 mm e liberada, determinar a
magnitude da a velocidade de B, 8 s mais tarde.
k2
r
O ponto A é definido como o centro de oscilação e coincide
com o centro de percussão definido no Problema 17.66.
38.2 Determine o período de pequenas oscilações
de uma placa homogênea semicircular de raio r quando
(a) suspensa por A.
(b) quando suspensa por B.
35. Um carro esportivo de 1300 kg tem um centro de
gravidade G localizado a uma distância h acima de uma linha
que liga os eixos dianteiro e traseiro. O carro está suspenso a
partir de cabos que estão ligados aos eixos dianteiro e traseiro,
como mostrado. Sabendo-se que os períodos de oscilação são
4.04 s quando L = 4 m e 3.54 s, quando L = 3 m, determinar h, e
o raio de giração do centro de gravidade.
39. Uma haste CD uniforme de 5 kg e de
comprimento l = 0,7 m é soldada em C por duas varetas elásticas,
que fixa as extremidades de A e B e são conhecidos por ter uma
constante de mola de torção combinadas K = 24 N.m/rad.
Determinação do período de pequenas oscilações, se a posição de
equilíbrio de CD é (a) vertical, como mostrado, (b) horizontal.
36. Uma placa rígida oscila em torno de um ponto
fixo O. Mostre que o período mínimo de oscilação ocorre
quando a distância r do ponto O ao centro de massa G é igual a
k
.
37. Algumas dificuldades aparecem quando se usa um
pêndulo simples ou composto determinação experimental da
aceleração da gravidade g. No caso do pêndulo simples, o fio
verdadeiramente desprovido de massa, enquanto no caso do
pêndulo composto, torna-se localizar exatamente o centro de
massa. Neste último caso a dificuldade pode ser contornada se
um pêndulo reversível ou de Kater. Constróem-se dois pontos de
apoio A e B não-simétricos em relação ao centro de massa e
mede-se a distância l com grande precisão. Ajusta-se a do
contrapeso D de modo que o período de oscilação t quando se
usa o ponto de suspensão A é idêntico o período de oscilação
40. Um disco uniforme de raio r = 250 mm é ligado
em A para uma haste de 650 mm AB de massa negligenciável, a
qual pode rodar livremente num plano vertical sobre B. Se a
haste é deslocada 2° a partir da posição mostrada e libertado,
determinar o magnitude da velocidade máxima do ponto A,
supondo que o disco é (a) livre de rodar em um rolamento em A,
(b) rebitadas à haste em A.
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44. Dois pesos de 40 g estão ligados a A e B para a
borda de um disco uniforme de 1.5 kg de raio r = 100 mm.
Determinar a freqüência de pequenas oscilações quando  = 60 °.
6
41.
41.1 Um fio homogêneo dobrado na forma de um
triângulo equilátero de lado l = 250 mm é posto a oscilar com
pequena amplitude. Determine o período das pequenas
oscilações
(a) quando o fio estiver suspenso por um vértice e (b)
pelo ponto médio de um dos seus lados.
45. Uma biela é suportada por um gume no ponto
A; o período das pequenas oscilações, observado, é de
0.895 s. A biela é então invertida e suportada pelo gume
no ponto B, e o período das pequenas oscilações,
observado, é de 0.805. Sabendo que ra + rb = 270 mm,
determine:
(a) a localização do centro de massa G,
(b) o raio de giração baricêntrico k.
41.2 Para a placa triangular equilátero uniforme de
lado l = 300 milímetros, determinar o período de pequenas
oscilações, se a chapa é suspensa a partir de (a) um dos seus
vértices, (b) o ponto médio de um dos seus lados.
42. Duas barras delgadas e homogêneas, cada
uma de massa m estão soldadas na forma de um T, como
indica a figura. Determine a freqüência de pequenas
oscilações do sistema.
46. e 47. Um disco de raio r pode oscilar em
torno do eixo AB a uma distância b do centro de massa G,
como indica a figura,
(a) Determine o período de pequenas oscilações
para b = r.
(b) Determine um segundo valor de b para o qual
o período de oscilação é igual ao obtido na parte (a).
43. Remove-se temporariamente a pá AB do
gerador a vento mostrado na figura. Impede-se o gerador
de se mover em torno de y mas as três pás restantes,
rigidamente ligadas, podem oscilar em torno de x.
Supondo que cada pá seja equivalente a uma barra de 36.6
m de comprimento, determine o período das pequenas
oscilações, na ausência de vento.
48. Observa-se um período de 3.80 s para as
oscilações angulares do giroscópio de 4 oz, suspenso por
um arame como ilustrado. Sabendo que o período de 3.80
s é obtido quando uma esfera de aço de 1.25 in de
diâmetro é suspensa da mesma forma, determine o raio de
giração baricêntrico do rotor (massa específica do aço =
490 lb/ft3 ).
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51. Uma placa uniforme de 1.8 kg sob a forma de
um triângulo equilátero, suspenso no seu centro de
gravidade a partir de um arame de aço, que é conhecido
por ter uma constante de torção K = 35 mN.m/rad. Se o
prato é rodado 360° em torno da vertical e, em seguida,
libertado, determinar (a) o período de oscilação, (b) a
velocidade máxima de um dos vértices do triângulo.
7
49. Suspende-se uma barra de 6 kg por meio de
um fio de aço que constante torsional k = 1.75 Nm/rad.
Dá-se à barra um giro de 180° em torno da vertical e,
então, solta-se o sistema. Determine
(a) o período de oscilação e
(b) a máxima velocidade da extremidade A da
barra.
52. Um disco uniforme de raio r = 20 mm é
soldada no centro de duas hastes elásticas de igual
comprimento com extremidades fixas em A e B. Sabendo
que o disco gira através de um ângulo de 8° quando um
500-mN.m par é aplicado ao disco e que oscila com um
período de 1.3 s, quando o par é removido, determinar
(a) a massa do disco,
(b) o período de vibração, se uma das hastes é
removida.
50. 50.1 - Uma placa fina e circular de raio r =
750 mm está suspensa por três arames comprimento h =
600mm, igualmente espaçados em torno do perímetro da
placa. Determine o oscilação quando
(a) a placa é girada de um pequeno ângulo em
torno de um eixo vertics por seu centro de massa e
liberada e
(b) é dada uma pequena translação horizontal à
seguida, é liberada.
53. O princípio da conservação de energia
proporciona um meio conveniente para a determinação do
período de vibração de um corpo rígido ou de um sistema
de corpos rígidos que possuam um único grau de
liberdade, uma vez que foi estabelecido que o movimento
do sistema é um movimento harmônico simples ou que
podem ser aproximadas por um movimento harmônico
simples. Escolhendo uma variável apropriada, tal como
uma distância x e um ângulo , nós consideramos duas
posições particulares do sistema: (Chamando T: energia
cinética e V: energia potencial.
1. O deslocamento do sistema é máximo; temos
T1 = 0, e V1 pode ser expressa em termos de amplitude ou
xm ou m, (escolhendo V = 0 na posição de equilíbrio).
2. O sistema passa através da sua posição de
equilíbrio; temos V2 = 0, e T2 pode ser expresso em termos
de velocidade máxima xm ou da velocidade angular
50.2 Uma fina placa rectangular de lados a e b é
suspenso a partir de quatro arames verticais do mesmo
comprimento l. Determine o período de pequena oscilações da
placa quando
(a) é girado através de um pequeno ângulo torno de
um eixo vertical através de seu centro de massa G,
(b) é dado um pequeno deslocamento horizontal numa
direcção perpendicular à AB,
(c) é dado um pequeno deslocamento horizontal em
uma direção perpendicular BC.
máxima
m .
T1  V1  T2  V2
Aplicando a conservação da energia, ache o
período para pequenas oscilações da placa da figura:
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54. Determinação do período de pequenas
oscilações de um cilindro com um raio r, que
r rola sem deslizar no interior de uma superfície curva
com um raio R.
58. Um arame homogéneo de comprimento 2l,
dobrado conforme a ilustração, oscila em torno do pino B.
Denotando por τ0 o período de pequenas oscilações
quando β = 0, determine o ângulo β para que o período de
pequenas oscilações seja 2τ0.
8
55. Um colar de 1.8 kg A está ligado a uma mola
de constante de 800 N/m, e pode deslizar sem atrito sobre
uma haste horizontal. Se o colar é movido 70 mm para a
esquerda a partir da sua posição de equilíbrio e libertado,
determinar a velocidade máxima e a aceleração máxima
da gola durante o movimento resultante. Use a
conservação da energia.
59. A barra uniforme de massa m e comprimento l é
articulada em seu centro. A mola da constante k na
extremidade esquerda é ligada a uma superfície fixa, mas a
mola de ponta direita, também da constante k, está ligada a
um suporte o qual é submetido a um movimento
56. Dois blocos, cada um de peso 3 lb, estão
ligados a links que são conectados à barra BC, como
mostrado. Os pesos dos links e da barra são
insignificantes, e os blocos podem deslizar sem atrito.
Bloco D está ligado a uma mola de constante k = 4 lb/in.
Sabendo-se que o bloco A é movido 0.5 cm a partir da sua
posição de equilíbrio e libertado, determinar a magnitude
da velocidade máxima do bloco D durante o movimento
resultante.
harmônico dada por
yb  b  sen   t  . Determine
freqüência angular C que provoca ressonância.
60. A placa quadrada fina é suspensa a partir de um
rolamento esférico (não mostrado), que se encaixa no
acessório em O. Se a placa é colocada para oscilar em
torno do eixo AA, determinar o período para pequenas
oscilações. Negligenciar a massa e o atrito do rolamento
esférico.
57. Determine o período de vibração para o
pêndulo físico da figura, considerando:
Raio de giração sobre o ponto O:
kO  0.95m
Ponto G: Centro de massa;
Ponto O: Centro de oscilação.
r  OG  0.9m
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61. O setor circular de massa m é cortado a partir
de chapa de aço de espessura uniforme e montado numa
chumaceira no seu centro S de modo que pode oscilar
livremente em relação ao plano vertical. Se o setor é
liberado a partir do repouso com  = 0 derivar sua
equação
diferencial
de
movimento
assumindo
amortecimento desprezível. Determine o período para
pequenas oscilações em torno da posição  = /2.
65. A barra homogénea ABC de 2.27 kg está
preso a duas molas como indica a figura. Dá-se um
pequeno deslocamento à extremidade Ce se libera o
sistema. Determine a frequência de vibração da barra.
9
66. A pequena esfera de massa m é montado na
haste de luz articulado em O e suportado na extremidade A
da mola vertical de rigidez k. A extremidade A é deslocado
um pequeno y0 distância abaixo da posição de equilíbrio
horizontal e liberado. Pelo método de energia, derivar a
equação diferencial do movimento para pequenas
oscilações da haste e determinar a expressão para a sua
frequência natural n de vibração. O amortecimento é
negligenciável.
62. Um disco homogêneo de raio C está preso em
A por meio de uma junta esférica. Determine a frequência
das oscilações de pequena amplitude
(a) no plano do disco (eixo AA) e
(b) numa direção perpendicular ao disco (eixo BB).
63. Observa-se que quando um peso de 85 lb
está preso à borda de um volante de 14 in de diâmetro, o
período das pequenas oscilações do volante é 1.26 s.
Despreze o atrito no eixo e determine o momento de
inércia baricêntrico do volante.
67. Solda-se a barra AB de 5 kg a um disco
homogéneo de 8 kg. Uma mola de nstante 450 N/m
encontra-se presa ao disco, mantendo a barra na posição
mostrada na figura. Desloca-se ligeiramente a extremidade
B e libera-se o sistema. Determine o período de vibração
da barra.
64. Uma haste uniforme de massa m e
comprimento l é soldada numa extremidade a um aro
circular de raio l. A outra extremidade encontra-se no
centro do aro. Determinar o período para pequenas
oscilações sobre a posição vertical da barra, se o aro rola
na superfície horizontal, sem escorregar.
68. A massa da haste delgada uniforme é 3 kg.
Determinar a posição x para a barra de tal modo que o
sistema é um período de 1 s. Suponha pequenas oscilações
sobre a posição de equilíbrio horizontal mostrado.
69. A barra delgada AB de massa m está presa a
dois cursores de massas desprezíveis. Sabendo que o
9
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sistema repousa num plano horizontal e está em equilíbrio
na posição ilustada determine o período de vibração se se
deslocar ligeiramente o cursor A e, então, se liberar o
sistema.
10
70. Os discos A e B possuem pesos 30 lb e 12 lb,
respectivamente. Um pequeno bloco C de 5 lb está
preso à borda do disco B. Supondo que não haja
escorregamento entre os discos, determine o período
das pequenas oscilações do sistema.
74. Três barras idênticas estão ligadas como
ilustrado. Se b  34l determine a freqüència das pequenas
71. Dois discos homogéneos de 12 lb estão
ligados a unia barra AB de 20 lb, como indica a figura.
Sabendo que a constante da mola é 30 lb/in e que os
discos rolam sem escorregar, determine a frequência de
vibração do sistema.
75. O invólucro cilíndrico semicircular de raio r,
com pequena espessura de parede uniforme, mas é
colocado em pequena oscilação de balanço sobre a
superfície horizontal. Se não ocorre escorregamento,
determinar a expressão para o período de cada oscilação
completa.
72. Uma haste AB de 800 g é parafusada em um
disco de 1.2 kg. Uma mola de constante k = 12 N/m está
ligada ao centro do disco em A e para a parede em C.
Sabendo-se que os rolos de disco sem deslizamento,
determinam o período de pequenas oscilações do sistema.
73. A haste delgada de 3 kg AB é aparafusada
em um disco uniforme de 5 kg. Uma mola de constante de
280 N/m está ligada ao disco e então é esticada na posição
ilustrada. Se a extremidade B da haste é dada um pequeno
deslocamento e libertada, determinam o período de
vibração do sistema.
oscilações do sistema.
76. Uma barra homogênea de comprimento L é
sustentada em A por uma junta e por um fio vertical CD.
Deduza uma expressão para o período de oscilação da
barra se se desloca ligeiramente a extremidade B e então se
libera o sistema.
77. O anel circular de raio r é suspenso a partir de
um casquilho (não mostrado), que se encaixa no acessório
pequeno bola em O. Determinar o valor da razão entre os
períodos de pequenas oscilações em torno dos eixos BB e
AA. Negligenciar o pequeno deslocamento, massa e atrito
da esfera de rolamento.
10
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81. A armação retangular é formada de uma haste
delgada uniforme e está suspensa a partir de um
receptáculo (não mostrado), que se encaixa no acessório
pequeno em O. Se o rectângulo é feito para rodar em torno
do eixo determinar a frequência natural para pequenas
oscilações. Negligenciar o pequeno deslocamento, massa e
atrito do acessório.
11
78. Um pequeno colar de massa de 1 kg é
rigidamente ligado a uma haste uniforme de 3 kg de
comprimento L = 750 mm. Determine
(a) a distância d para maximizar a freqüência de
oscilação quando a haste é dado um pequeno
deslocamento inicial,
(b) o período correspondente de oscilação.
82. Quando um corpo submerso se move através de
um fluido, as partículas do fluido movem-se em torno do
corpo e, assim, adquirem energia cinética. No caso de uma
esfera que se move num fluido ideal, a energia cinética
1
 V  v 2 , onde  é a
4
total adquirido pelo fluido é
79. Uma semi-seção de um tubo encontra-se sobre
um plano horizontal. Gira-se a peça de um pequeno
ângulo e então se libera o sistema. Supondo rolamento
sem escorregar. Determine o período de oscilação.
densidade de massa do fluido, V é o volume da esfera, e v
é a velocidade da esfera . Considere-se um 500 g de casca
esférica oca de raio 80 milímetros, que é submersa em um
tanque de água por uma mola de constante 500 N/m.
(a) Desprezando o atrito de fluidos, determinar o
período de vibração da casca quando é deslocado
verticalmente e, em seguida, liberado.
(b) resolva a parte (a), assumindo que o tanque é
acelerado para cima a taxa constante de 8 m/s2.
r
80. Uma barra delgada de comprimento l está
suspensa por dois arames verticais de comprimento h cada
um, localizado a uma distância 1/2b do centro de massa
G. Determine o período de oscilação quando
(a) a barra é girada de um pequeno ângulo em
torno de um eixo vertical que passa por G e liberada e
(b) é dada uma pequena translação horizontal à
barra ao longo de AB e liberada.
b
B
A
h
83. Uma fina placa de comprimento l repousa
sobre um semicilindro de raio r. Deduza uma relação para
o período de pequenas oscilações da placa.
84. Determine o período de pequenas oscilações
de um cilindro de raio r que rola sem escorregar no
interior de uma superfície curva de raio R.
G
l
r
(1)
R
G
m

(2)
11
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N

Energia potencial na posição (1):
E p1  P  h  P  ( R  r )  1  cos m 
1  cos   2  sen  
2
i 1
12
 I A   T   2  r   P  r  I A  
Aplicando o teorema dos eixos paralelos:
M  R2
 M  R2
2
 M  R2

T   2  R   P  R  
 M  R2  
 2

2
_____
I A  I O  M  AO  I A 
2
Para pequenos ângulos, essa aproximação será
utilizada. Então:
E p1  P   R  r 
FiA
 m2
T   2  r   P  r 
2
Quando a esfera estiver na posição mais baixa,
sua energia cinética será dada por:
Antes da deformação:
1
1
Ec2  mvm2  I   m2
2
2
Como:
T0  T0  P  T0 
P
 k  2  r  
2
P
T  T0  k   k  2  r  
2
3 M  r2
P

   k  2  r     2  r   P  r 

2
2

T  T0  k 
Rr
 m
r
85. Um cilindro de peso P e raio r está suspenso
por um laço de corda, como mostra a figura. Uma
extremidade da corda está presa diretamente a um suporte
rígido, enquanto a outra extremidade está presa a uma
mola de constante elástica k. Determine o período e a
freqüência de vibração do cilindro.
3 M  r2
r  P  4k  r   P  r 

2
3 M  r2
4k  r 2  

2
8 k


3 m
8 k
8 k
2 
 
3 m
3 m
2
3 m
T
 T  2

8 k
2
B
r
f 
B
T0
T

r
A
x
P
a
N

i 1

FiO
P
2
Após a deformação:
vm   R  r  m
m 
3 M  r2

2
B

1
 f 
2 
2
8 k
3 m
86. Um disco circular, pesando 100N e de raio
0.2m, está suspenso por um arame como ilustrado. O disco
é girado (torcendo, portanto, o arame) e em seguida
liberado; o período de vibração de torção é de 1.93 s.
Supondo que o momento do binário exercido pelo arame é
proporcional ao ângulo de torção, determine
(a) a constante de torção do arame,
(b) o momento de inércia baricêntrico da
engrenagem e
(c) a velocidade angular máxima alcançada pela
engrenagem quando é girada de 900 e liberada.

 IO 
Escolhendo o ponto O = A teremos:
12
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0.2m
13
Momento de torção:
M o  K 
K: constante de torção do arame.
N

i 1

FiO
 IO 
K
  0
Io
2 
T
K
2 K
 
Io
m  R2
2
 T  2


1
f 
 f 
2 
2
m  R2
2 K
2 K
m  R2
87. Faça uma pesquisa sobre a vibração
equivalente que destrui a ponte abaixo, indicando os
modos vibracionais que causaram a destruição da ponte.
13
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Exercícios de Livros (Beer Johnston, Kraige, Hibbeler)
Oscilações amortecidas.
Oscilações amortecidas e forçadas.

xn
x e
 m c

tn1
xn 1
xm e 2 m
1. No caso do amortecimento subcrítico, os
deslocamentos x1, x2,..., xn, etc., ilustrados na figura,
podem ser supostos iguais aos deslocamentos máximos.
Mostre que a razão entre dois deslocamentos sucessivos,
xn e xn+1 .é constante e que o logaritmo natural desta
razão, chamado de decremento logarítmico, é
c
 tn1 tn 
xn
 e 2m
xn 1
2  c cc 
x
ln n 
2
xn 1
1   c cc 
14
Observando a figura:
tn1  tn   
xn
e
xn 1
xm
xn
c
tn
2m
xn+1
2

c 2

2m 
Aplicando o logaritmo natural:
 2cm  2 
 xn 
ln 

  ln e
x
 n1 


Utilizando a propriedade dos logaritmos:
tn
log B a n  n  log B a
tn+1
E: ln e = 1
 x  c 2
ln  n  

 xn 1  2m 
τ
 Solução:
Teremos nesse caso a considerar:
x(t )  xme

c
t
2m
Substituindo:
sen(  t   )
c
  0 1   
 cc 
Para dois máximos consecutivos, ocorrendo nos
instantes tn e tn+1, teremos, lembrando a função senθ:
 x 
c
ln  n  

x
2
m
 n 1 

  tn   
2
  tn1    2 
x(tn )  xme
c

tn
2m

2

c
tn
2m
xn  xme

c

tn1
2m
xn 1  xme

 x 
ln  n  
 xn 1 
2
sen(  tn   )
xn  xm e
x(tn1 )  xme
5

 
sen  
2
c
tn
2m
xn1  xme

 x 
ln  n   2
 xn 1 
 5 
sen  
 2 
1
Fazendo a razão entre xn e xn+1:
c

 cc 
2
0 1  
2 c
2  m  0
c
1  
 cc 
2
cc  2  m  0
1
c
tn1
2m
2
Como:
sen(  tn 1   )
c
tn1
2m
2
ln
c
 
 cc 
c
1  
 cc 
2  c cc 
2
xn

2
xn 1
1   c cc 
2. Desloca-se o bloco mostrado na figura,
posicionando-o 20 mm abaixo de seu ponto de equilíbrio,
quando, então, é solto. Depois de oito ciclos o
deslocamento máximo do bloco é 12mm. Determinar
(a) o fator de amortecimento c/cc e
(b) o valor do coeficiente do amortecimento
viscoso c.
14
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Exercícios de Livros (Beer Johnston, Kraige, Hibbeler)
 Solução:
Do exemplo anterior:
2  c cc 
x
ln n 
2
xn 1
1   c cc 
Note que:
2  c cc 
x 
x 
ln  1  
 ln  2  
2
 x2 
 x3 
1   c cc 
2  c cc 
x 
 ln  7   7 
2
x
 8
1   c cc 
x 
x 
ln  1   ln  2  
x
 2
 x3 
15
x 
 ln  7 
 x8 
possui um amortecedor de constante de amortecimento de
c = 8000 Ns/m, e pode-se mover verticalmente. O
desbalanceamento do rotor é causado por uma massa de m
= 20g a r = 30 mm do eixo de rotação. Numa freqüência
de vibração de f =5000 rpm, qual a deformação máxima xm
?
Dados:
m
xm 
2 2
      c  2
1       2
  0    cc 0 


Fm  m 2 r ;   2 f
Mostre que, usando agora a propriedade:
A
ln  ln A  ln B
B
m 
Fm
ke
x 
x 
x 
ln  1   ln  2    ln  7   ln x1  ln x8
 x2 
 x3 
 x8 
x 
x 
x 
x 
ln  1   ln  2    ln  7   ln  1 
 x2 
 x3 
 x8 
 x8 
2  c cc 
x 
ln  1   7 
2
 x8 
1   c cc 
4 2  c cc 
 x1 
ln

49



2
1   c cc 
 x8 
2
1   c c  
2
c
2
2
 x1 
2
2
 ln   196   c cc 
 x8 
2
2
 x1   x1 
2
2
2
 ln    ln   c cc   196   c cc 
 x8   x8 
M = 400kg; ke = 8.20000=160000N/m
2
 c cc 
2
 x1 
 ln 
 x8 

2
 x 
196 2   ln 1 
 x8 
160000
 20 rads
400
cc  2m0  2  400  20  16000 Nms
0  p 
m = 0.02kg; r = 0.03m
2
 x1 
 ln 
 x8 
c
c

 c
2
 x 
196 2   ln 1 
 x8 
 c cc  
ln
  2 f  2
2
 5000 
Fm  m r  0.02   2
  0.03  164.49 N
60 

F
164.49
m  m 
 0.001028m
ke 160000
2
x1
x8
 x 
196   ln 1 
 x8 
2
2
ln
c
xm 
x1
x8
2
5000
 523.59 rads
60
cc
 x 
196 2   ln 1 
 x8 
x
ln 1
x8
k
c
2m
2
m
 x 
196 2   ln 1 
 x8 
xm 
3. Um motor de M = 400kg é suportado por 8
molas, cada uma com constante elástica de k = 20 kN/m, e
15
m
  
1   
  0 

2
2
  c  2
 2
  cc 0 

0.001028
2
  523.29 2   8000 523.29 2
1
 2
  20    16000 20 


0.001028
xm 
 1.503 106 m
684.08
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Exercícios de Livros (Beer Johnston, Kraige, Hibbeler)
4. Mostre que, no caso do amortecimento
supercrítico (c > cc); um corpo nunca passa por sua
posição de equilíbrio O (a) se é liberado com velocidade
inicial nula de uma posição arbitrária ou (b) se parte de O
com uma velocidade inicial arbitrária.
5. Mostre que, no caso do amortecimento
supercrítico (c > cc), um corpo liberado de uma posição
arbitrária não pode passar mais de uma vez por sua
posição de equilíbrio.
16
6. Na prática é muitas vazes difícil determinar o
decremento logarítmico definido no Problema 1 medindose dois destacamentos máximos sucessivos. Mostre que o
decremento logarítmico pode ser expresso como:
(1 / k) ln (xn / xn+k )
onde k é o número de ciclos entre as leituras do
deslocamento máximo.
7. Num sistema com amortecimento subcrítico (c
< cc), o período de vibração é comumente definido como
o intervalo de tempo  = 2/q que corresponde a dois
pontos sucessivos onde a curva deslocamento-tempo toca
uma das curvas-limites ilustradas no exercício 1. Mostre
que um intervalo de tempo
(a) entre um deslocamento máximo positivo e o
deslocamento máximo negativo seguinte é  /2,
(b) entre dois deslocamentos nulos sucessivos é
/2 e
(c) entre um deslocamento máximo positivo e o
deslocamento nulo seguinte é maior que  /4.
8. Deslocamentos máximos sucessivos de um
sistema massa-mola-amortecedor, semelhante àquele
ilustrado na Fig. 19.10, são 50, 40, 32 e 25,6 mm.
Sabendo-se que m = 12 kg e k = 1500 N/m, determine
(a) o fator de amortecimento c/cc e
(b) o valor do coeficiente do amortecimento
viscoso c (Sugestão: Ver os Problemas 19.109 e 19.110
Beer Johnston 5a Edição).
9. Desloca-se o bloco mostrado na figura,
posicionando-o 20 mm abaixo de seu ponto de equilíbrio,
quando, então, é solto. Depois de oito ciclos o
deslocamento máximo do bloco é 12mm. Determinar
(a) o fator de amortecimento c/cc e
(b) o valor do coeficiente do amortecimento
viscoso. (Sugestão: ver os Problemas 19.109 e 19.110
Beer Johnston 5a Edição).
k = 120 N/m
c
10. O cano de um canhão de campanha peso 6.23
kN e retorna à posição de tiro, após recuar, graças a um
recuperador de constante k = 1.75.106 N/m.
(a) Determine o valor do coeficiente de
amortecimento do mecanismo de recuo que fez o cano
retornar à posição de tiro, no menor tempo possível, sem
oscilação,
(b) Calcule o tempo gasto pelo cano para moverse da sua posição e máximo recuo até o ponto médio de
seu percurso total.
11. Supondo-se que se efetuou uma alteração do
cano do canhão tratado no Problema 10, resultando num
aumento de peso de 1.78 kN, determine
(a) a constante k que deve ser empregada para
manter o cano criticamente amortecido e
(b) o tempo gasto pelo cano modificado para
deslocar-se de sua posição de máximo recuo ao ponto
médio de seu percurso total.
12. No caso da vibração forçada com um dado
fator de amortecimento c/cc , determine a razão entre as
freqüências /p (p = 0 ) para que a amplitude de vibração
seja máxima.
13. Mostre que, para um valor pequeno do fator
de amortecimento c/cc
(a) a amplitude máxima de uma vibração forçada
quando  = p, e
(b) o valor correspondente o fator de ampliação é
aproximadamente (cc/2)/c.
14. Um motor de 13.6 kg é sustentado por uma
viga leve horizontal que apresenta uma deflexão estática
de 1.27 mm causada pelo peso do motor. Sabendo-se que
o desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa de
28.3 g localizada a 0.191 m do eixo de rotação, determine
a amplitude das vibrações do motor a uma velocidade de
900 rpm, supondo
(a) ausência de amortecimento e
(b) que o fator de amortecimento é c/cc = 0.075.
15. Um motor de 22.7 kg é sustentado por quatro
molas, cada uma possuindo uma e de 1,75. l05 N/m. O
desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa de
28,3g situada a 127 mm do eixo de rotação. Sabendo-se
que o motor é obrigado a se mover verticalmente,
determine a amplitude de vibração do estado estacionário
do motor numa velocidade de 1800 rpm, supondo
(a) que não há amortecimento,
(b) que o fator de amortecimento c/cc é igual a
0.125.
4 kg
16
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17
16. Derivar a equação de movimento para o
cilindro circular homogêneo, que rola sem escorregar. Se
o cilindro de massa é de 50 kg, o raio do cilindro de 0.5
m, a constante da mola 75 N/m, e o coeficiente de
amortecimento 10 N.s/m determinar
(a) a freqüência natural não amortecida;
(b) a razão de amortecimento;
(c) a freqüência natural amortecida;
(d) o período do sistema amortecido.
Além disso, determinar x como uma função de tempo, se
o cilindro é libertado a partir de repouso na posição:
x = - 0,2 m, quando t = 0.
18. Uma plataforma de 200 lb é sustentado por
duas molas, cada uma possuindo uma constante de 250
lb/in. Uma força periódica possui valor máximo igual a
125 lb e o coeficiente de amortecimento é 12 lb.s/in,
determine
(a) a freqüência natural de vibração em rpm
quando não há amortecimento;
(b) a freqüência da força aplicada em rpm para o
caso de máximo fator de magnitude, quando há
amortecimento.
(c) a amplitude da vibração para cada caso (a) e
(b).
19. Determinar a amplitude x do movimento de
estado estacionário da massa de 10 kg, se
(a) c = 500 N.s/m
(b) c = 0
F
ix
 m  x  c  x  k  x  F  m  x
i
M
i
O
 IO     F  r 
1
m  r2 
2
1
r2 x
1
F   m   F   m x
2
r r
2
c
k
F
x x x 0
m
m
m
1
 m x
c
k
3
c
k
x x x 2
0 x x x0
m
m
m
2
m
m
2c
2k
c
k
x
x
x 0 x x x 0
3m
3m
m
m
17. Um motor de 50 kg é sustentado diretamente
por uma viga leve horizontal que a deflexão estática de 6
mm devida ao peso do motor. O desbalanceamento do
rotor é equivalente a uma massa de 100 g localizada a 75
mm do eixo de rotação. A amplitude das vibrações do
motor é 0,9 mm a uma velocidade de 400 rpm. Determine
(a) o fator de amortecimento c/cc
(b) o coeficiente de amortecimento.
20. Uma plataforma de 90.7 kg, sustentada por
duas molas, cada uma de constante k = 4,38.10N/m, é
submetida a uma força periódica de 556N de módulo
máximo. Sabendo que o coeficiente de amortecimento é
1.75 kN s/m, determine
(a) a freqüência natural, em rpm, da plataforma,
se não há amortecimento,
(b) a freqüência, em rpm, da força periódica
correspondente ao valor máximo do fator de ampliação,
supondo amortecimento, e
(c) a amplitude do movimento real da plataforma
para cada uma das freqüências encontradas nos itens (a) e
(b).
17
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Exercícios de Livros (Beer Johnston, Kraige, Hibbeler)
Características entre sistemas mecânicos e
elétricos
18
21. Um elemento de máquina de pesagem 800 lb
é suportado por duas molas, tendo cada um deles uma
constante a 200lb/in. Uma força periódica do valor
máximo 30 lb é aplicada ao elemento com uma frequência
de 2.5 ciclos por segundo. Sabendo-se que o coeficiente
de amortecimento é 8 lb.s/in, determinar a amplitude da
vibração de estado estacionário do elemento.
22. A suspensão de um automóvel pode ser
representada pelo sistema simplificado mola-amortecedor
como ilustrado,
(a) Escreva a equação diferencial que define o
movimento absoluto da massa m, quando o sistema se
desloca a uma velocidade v sobre uma estrada de seção
longitudinal senoidal, como indica a figura,
(b) Deduza uma expressão para a amplitude do
movimento absoluto de m.
23. Duas cargas, A e B, cada uma de massa m,
estão suspensas, como ilustrado, por meio de cinco molas
de mesma contanto k e conectadas por um amortecedor de
coeficiente de amortecimento c. A carga B está submetida
a uma força de intensidade F= Fmsen t. Escreva as
equações diferenciais que definem os deslocamentos xA e
xB das duas cargas, medidos a partir das posições de
equilíbrio.
Sistema Mecânico
Massa m
Sistema Elétrico
L indutância
Constante de
amortecimento viscoso c
R resistência
Constante elástica da
mola k
Inverso da
⟿
Deslocamento x
Velocidade v
Capacitância┨┠
1/C
Carga q
i : corrente
F: força aplicada
E: voltagem aplicada
m1  x1  c1  x1  c2   x1  x2   k1  x1  k2   x1  x2   0

 m2  x2  c2   x2  x1   k2   x2  x1   Pm  sen  f  t 
q1 q1  q2

 L1  q1  R1  q1  R2   q1  q2   C  C  0

1
2

q

q
 L  q  R   q  q   2 1  E  sen   t 
2
2
1
m
f
 2 2
C2
24. Determine a faixa de valores da resistência R,
para os quais aparecerão oscilações no circuito ilustrado
quando a chave S for fechada.
im 
E

1 
R   f  L 


 f  C 

2
18
2
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Exercícios de Livros (Beer Johnston, Kraige, Hibbeler)
25. Considere o circuito do Problema 24,
quando a capacitância é igual a zero. Se a chave S for
fechada no instante t = 0, determine
(a) o valor final da corrente no circuito e
(b) o instante t em que a corrente atingirá
(1 - 1/e) de seu valor final (este valor de t é
conhecido por constante de tempo do circuito).
32. e 33. Escreva as equações diferenciais que
definem (a) os deslocamentos das massas m1 e m2 as
correntes nas malhas correspondentes do análogo
elétrico.
26. e 27. Desenhe o análogo elétrico do sistema
mecânico ilustrado. (Sugestão: trace as malhas
correspondentes ao corpos livres).
19
F = Fmsen t
F = Fmsen t
28. e 29. Escreva as equações diferenciais que
definem
(a) os deslocamentos da massa m e do ponto A e
(b) as correntes nas malhas correspondentes do
análogo elétrico.
30. e 31. Desenhe o análogo elétrico do sistema
mecânico ilustrado.
34. Um vagão de trem carregado com peso de
30.000 lb está rolando a uma velocidade constante v0 (1)
quando os pares mola e amortecedor são acionados como
um sistema pára-choques. A curva de deslocamento versus
tempo do vagão após o acoplamento é registrada como se
mostra em (2). Determinar (a), a constante de
amortecimento (b) a constante da mola. (Dica:. Use a
definição de decremento logarítmico dada em em
problema anterior).
35. O bloco é mostrado comprimido 1.2
polegadas de sua posição de equilíbrio e liberado.
Sabendo-se que, após 10 ciclos o deslocamento máximo
do bloco é de 0.5 polegadas, determinar (a), o factor de
amortecimento c/cc, (b) o valor do coeficiente de
amortecimento viscoso c.
19
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Exercícios de Livros (Beer Johnston, Kraige, Hibbeler)
36. Um motor elétrico de 50 kg é suportado por
4 molas cada uma com uma constante elástica de 100
N/m.O disco D é excêntrico em 20 mm. Determine a
velocidade angular  onde ocorre a ressonância.
20
37. No pistão de 100 lb da figura atua uma
pressão:
 lb 
p  p0  sen   t   0.625sen  30t   2 
 in 
sobre uma área de 80 in2. Há uma mola de sustentação de
constante elástica k = 200 lb/in e um amortecedor de
constante de amortecimento c = 85 lb.s/ft.
Mostre que o
estacionário é dado por:
deslocamento
do
38. Os elementos da suspensão traseira
independente para os automóveis estão representados na
figura. O diferencial D está ligado rigidamente à armação
do carro . Os eixos são articuladas nas suas extremidades
interiores (o ponto O para o meio do eixo mostrado) e
estão rigidamente ligados às rodas. Elementos de
suspensão não representados restringem o movimento da
roda para o plano da figura . O peso do conjunto roda-pneu
é W = 100 lb e seu momento de inércia em torno do eixo
diametral que passa pelo seu centro de massa G é 1 lb.ft.s2.
O peso do meio eixo é negligenciável . A constante da
mola k e o coeficiente de amortecimento são ,
respectivamente, k = 50 lb/in e c = 200 lb.s/ft. Se há um
desbalanceamento estático presente, representado por um
peso concentrado adicional w = 0.5 lb, determinar a
velocidade angular que resulta do sistema de suspensão a
ser conduzido na sua frequência natural não amortecida.
Qual
seria
a
velocidade
do
veículo
correspondente ?
Determine a constante de amortecimento
Suponha pequenos desvios angulares e
negligenciar efeitos giroscópicos e qualquer vibração do
quadro de carro. A fim de evitar as complicações
associadas com a força normal variando exercida pela
estrada no pneu, tratar o veículo como sendo em um
elevador com as rodas pendurado livre .
estado
x  t   xm  sen   t   
x  t   0.01938  sen  30  t  1.724   ft 
Onde:
 c  
 2

cc 0 

  arctan 
2



1    
  0  
Fm
k
xm 
2 2
      c  2
1       2
  0    cc 0 


cc  2  m  0
0 
k
m
20
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Exercícios de Livros (Beer Johnston, Kraige, Hibbeler)
Analogia Elétrica
A analogia entre sistemas elétricos e mecânicos é
válida tanto para oscilações transitórias como para o
estado estacionário.
m
c
k
21
Sistema Mecânico
Massa
Coeficiente de
amortecimento viscoso
Constante da mola
Circuito Elétrico
L
Indutância
R
Resistência
Inverso da
Capacitância
x
Deslocamento
q
Carga
v
Velocidade
i
Corrente
F
Força aplicada
E
Tensão
aplicada
Usando a Lei de Kirchhoff, a soma algébrica da
tensão aplicada e das quedas de potencial ao longo de um
circuito é nula, podemos escrever a equação da carga no
circuito RLC alimentado por uma tensão alternada Em
sen t por:
Em  sen   t   L 
Lq  Rq 
im 
im 
1/C
Exemplos Resolvidos
1. A figura representa o modelo de um
amortecedor de um automóvel cuja massa da suspensão é
de 80kg e é suportado por uma mola de constante elástica
de 32 kN/m, e um amortecedor de constante de
amortecimento de c = 3000 Ns/m. O proprietário do
automóvel esqueceu-se de trocar o amortecedor, portanto
sua constante de amortecimento c tornou-se menor que a
constante de amortecimento crítica cc .O valor da
constante de amortecimento crítica cc e a solução da
equação diferencial são dadas por:
Dados: 0
k
; cc  2m0
m
 p
 c 
 c 
q  02  
  0 1   
 2m 
 cc 
2
x(t )  e

c
t
2m
2
 A cos qt  Bsenqt  :
di
1
 R i   q  0
dt
C
1
 q  Em  sen   t 
C
  Em
2
2
1
2
  L     R  
C

32000
 20 rads ;
80
cc  2m0  2  80  20  3200 Nms
0  p 
Em
1 

R2   L   

C  

2
2
 c 
 c 
 3000 
  0 1     20 1  

c
 2m 
 3200 
 c
2
2
  02  
  6.96 rad
s
x(t )  e
Definimos como impedância, ao termo:
1 

Z  R   L  

C  

2
2
18.75t
 A cos 6.96t  Bsen6.96t 
2. Para um sistema de massa m = 1 kg, c = 50
N.s/m e constante elástica k = 400N/m a solução para a
equação:
mx  P  k  x   est   cx , nas condições
iniciais x0 = 0.05m e v0= 0,1m/s é:
Dados: x 
c
k
c
x  x  0  x  x  02 x  0
m
m
m
0 
k
 cc  2m0
m
a. Amortecimento supercrítico c > cc:
21
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Exercícios de Livros (Beer Johnston, Kraige, Hibbeler)
 x   v 
v  x  
x(t )   0 2 0  e1t   0 0 1  e2 t
 2  1 
 2  1 
b. Amortecimento crítico c = cc :

c   0 t

x(t )   x0  v0  x0
t e
2m  


c. Amortecimento subcrítico c < cc
x (t )  e

22
c
t
2m
250
205
200
195
50
100
 A cos   t   Bsen   t  
2
x(t )  xme
tg 
x
c
t
2m
2
sen( q  t   )
2m x0
 2mv0  cx0 
; xm  x02  

2mv0  cx0
 2m 
250
 250 
2
 
  200
2  0.5
 2  0.5 
 1  100 Hz
2  400 Hz

Posição x(t):
 x   v 
v  x  
x(t )   0 2 0  e1t   0 0 1  e2 t
 2  1 
 2  1 
x(t )  0.02  e400t  0.07  e100t
Amortecimento supercrítico c > cc :
2
c
50
 c 
 50 
2
2
 
 
  0  
  20
2m
2 1
 2m 
 2 1 
 Velocidade instantânea v(t):
d
x t 
dt
v(t )  8  e400t  7  e100t
v t  
2
c
 c 
2
 
  0  25  625  400
2m
 2m 
1,2  25  225  25  15  1  10; 1  40
 Aceleração instantânea a(t):
d
a t   v t 
dt
 x   v 
v  x  
x(t )   0 2 0  e1t   0 0 1  e2 t
 2  1 
 2  1 
 0.05   40   0.1 10t  0.1  0.05  10   40t
x(t )  
e  
e
 40   10  
 40   10  
x(t )  0.07e10t  0.02e40t
a(t )  3200  e400t  700  e100t
 Gráficos:
3. Um sistema de massa-mola amortecedor
possui m = 0.5 kg e constante elástica k = 20000N/m.
A constante de amortecimento do sistema é c,
dada pela tabela.
3.1 – Encontre a freqüência angular natural 0
do sistema.
0 
1,2  
1,2  250  150  
k
400

 0  20 rads
m
1
Ns
cc  2m0  cc  40 Ns
m ; c  50 m
1,2  
c
 c 
2
 
  0
2m
 2m 
1,2  250  22500
0 
1,2  
1,2  
2
2
c
k
c
x  x  0  x  x  02 x  0
m
m
m
2
v(t)
(m/s)
10Caso:
c = 250 > cc  amortecimento supercrítico
 Parâmetros:
c
   q  0 1    Ou
 cc 

x(t)
(m)
Parâmetros
1
2
3
4
5
6
Classificação
amoortecimo
c
 c 
2
 
  0
2m
 2m 
c
(N.s/m)
2
1,2  
Caso i
Dado: Condições iniciais: x0 = 5 cm e v0= 1m/s
k
20000

 200 rads
m
0.5
3.2 – Determine a constant de amortecimento
crítica cc.
cc  2  m  0  2  0.5  200  200 Nms
3.3 - As condições iniciais posição inicial x0 e
velocidade inicial v0 são dadas na tabela. Para cada caso,
classifique o amortecimento, dando a solução para:
 A posição x(t).
 A velocidade instantânea v(t).
 A aceleração instantânea a(t).
22
v(t)
(m/s)
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23
50Caso:
c = 50 = cc  submortecimento
 Parâmetros:
0
3 Caso:
c = 200 = cc  amortecimento crítico
 Parâmetros:
k
20000
0 

 200 rads
m
0.5
c

 cc 
2
 180 
rad
  193 s
 200 
2m x0
tg 
2mv0  cx0
tg  2.766
  1.22rad
  200 1  

c    2cm t

x(t )   x0  v0  x0
t e
2m  


x(t )   0.05  11.5  t  e200t
 Velocidade instantânea v(t):
v t  
2
  q  0 1  
d
x t 
dt
v(t )   11.5  200   0.05  11.5  t    e200t

Aceleração instantânea a(t):
d
a t   v t 
dt
2

 0.032s
 2mv0  cx0 
xm  x02  

 2m 
xm  0.053m
a(t )   4600  40000   0.05 11.5t    e200t
 Gráficos:
x(t )  xme


c
t
2m
2
sen(  t   )
Posição x(t):
x(t )  xme

x(t )  0.053  e
c
t
2m
50t
sen(  t   )
sen 193  t  1.22 
 Velocidade instantânea v(t):
v t  
d
x t 
dt
v(t )  e50t 10.2956  cos 193.6  t  1.22  2.65  sen 193.6  t  1.22 
 Aceleração instantânea a(t):
a t  
d
v t 
dt
a(t )  e50t  1029.56  cos 193.6  t  1.22  1860.8  sen 193.6  t  1.22 
23
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  tn   

2
  tn1    2 
x(tn )  xme

c
tn
2m

2
5
2
sen(  tn   )
xn  xm e

c
tn
2m
xn  xme
x(tn1 )  xme
24


c

tn1
2m
xn 1  xme
 
sen  
2
c
tn
2m
sen(  tn 1   )
c

tn1
2m
xn1  xme
1

 5 
sen  
 2 
c
tn1
2m
1
Fazendo a razão entre xn e xn+1:

c
tn
xn
x e 2m
 m c

tn1
xn 1
xm e 2 m
c
 tn1 tn 
xn
 e 2m
xn 1
Observando a figura:
tn1  tn   
4. No caso do amortecimento subcrítico, os
deslocamentos x1, x2,..., xn, etc., ilustrados na Fig. 19.11,
podem ser supostos iguais aos deslocamentos máximos.
Mostre que a razão entre dois deslocamentos sucessivos,
xn e xn+1 .é constante e que o logaritmo natural desta
razão, chamado de decremento logarítmico, é
xn
e
xn 1
2

c 2

2m 
Aplicando o logaritmo natural:
 2cm  2 
 xn 
ln 

  ln e
 xn1 


2  c cc 
x
ln n 
2
xn 1
1   c cc 
Utilizando a propriedade dos logaritmos:
log B a n  n  log B a
xm
xn
xn+1
E: ln e = 1
 x  c 2
ln  n  

 xn 1  2m 
Substituindo:
tn
c
  0 1   
 cc 
tn+1
 x 
c
ln  n  

x
2
m
 n 1 
τ
 Solução:
Teremos nesse caso a considerar:
2
2
c

 cc 
0 1  
2 c
 xn 
2  m  0
ln 

2
 xn 1 
c
1  
 cc 
c

t
2m
x(t )  xme
sen(  t   )
Para dois máximos consecutivos, ocorrendo nos
instantes tn e tn+1, teremos, lembrando a função senθ:
24
2
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Exercícios de Livros (Beer Johnston, Kraige, Hibbeler)
Como:
2
 x1 
 ln 
 x8 
c
c

 c
2
 x1 
2
196   ln 
 x8 
x
ln 1
x8
 c cc  
2
 x 
196 2   ln 1 
 x8 
cc  2  m  0
 x 
ln  n   2
 xn 1 
c
1  
 cc 
2
2  c cc 
xn

2
xn 1
1   c cc 
ln
25
c
 
 cc 
ln
c
5. Desloca-se o bloco mostrado na figura,
posicionando-o 20 mm abaixo de seu ponto de equilíbrio,
quando, então, é solto. Depois de oito ciclos o
deslocamento máximo do bloco é 12mm. Determinar
(a) o fator de amortecimento c/cc e
(b) o valor do coeficiente do amortecimento
viscoso c.
ln
2  c cc 
xn

2
xn 1
1   c cc 
Note que:
2  c cc 
x 
x 
ln  1  
 ln  2  
2
x
 2
 x3 
1   c cc 
ln
c
x 
 ln  7 
 x8 
Mostre que, usando agora a propriedade:
A
ln  ln A  ln B
B
x 
x 
x 
ln  1   ln  2    ln  7   ln x1  ln x8
x
x
 2
 3
 x8 
x 
x 
x 
x 
ln  1   ln  2    ln  7   ln  1 
 x2 
 x3 
 x8 
 x8 
2  c cc 
x 
ln  1   7 
2
 x8 
1   c cc 
4 2  c cc 
 x1 
 ln   49 
2
1   c cc 
 x8 
2

2
2

x 
2 
2
1   c cc   ln 1   196 2   c cc 
x
8 

2
2
 x1   x1 
2
2
2
 ln    ln   c cc   196   c cc 
 x8   x8 
2
 c cc 
2
2
cc
x1
x8
 x 
196 2   ln 1 
 x8 
2
2m
k
m
6. Observe que a amplitude de uma oscilação
forçada pode ser mantida pequena escolhendo um
coeficiente de amortecimento viscoso c grande ou
mantendo bem diferentes as freqüência natural e forçada.
2  c cc 
x 
 ln  7   7 
2
x
 8
1   c cc 
x 
x 
ln  1   ln  2  
x
 2
 x3 
 x 
196   ln 1 
 x8 
2
 Solução:
Do exemplo anterior:
x1
x8
 x1 
 ln 
 x8 

2
 x 
196 2   ln 1 
 x8 
25
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Exercícios de Livros (Beer Johnston, Kraige, Hibbeler)
xm 
Gabarito dos Exercícios
m
n
2
   2   c  2
1       2
  0    cc 0 


Vibrações de corpos rígidos
Vibrações forçadas
1
(a) xm = 0.1 m (b) xm = 0.035 m
2
k
3k
 
2m
2m
Verifique os gráficos para cada caso c/cc.
3
f  1
Fm
k
m g m
(a) xm = 25.2 mm
26
4
(b) F  t   0.437  sen   t   N 
f 
5
6
7
8
2k
3m
(a) f 0= 360.1 rpm
(b) xm  5.33  105 m
(a) f 0= 720.12 rpm
(b) xm  1.1015  101 m
f f  f 0  457rpm
(a) xm  166.7mm em fase
9
(b) xm  128.2mm em fase
(c) xm  10.00mm fora de fase
10
r  8.3231  103 ft  0.099in
11
12
xm3  22.5mm  xm3  5.63mm
13
14
15
16
ff < 322 rpm
35.5
rad
rad
  f  44.1
s
s
xm  0.0127m  xm  0.0076m
 f  109.3
rad
s
6ka 2  3mgl
2ml 2
(b) F  0.1033  sen   t  lb 
(a) f  2
17
r
e  0 
2
1   0 
2
18
f n  651rpm
19
(a) xm  1.034in
(b) F  0.1033  sen   t  lb 
f 
20
21
22
26
2g
l
km
(b) xm  14.25mm
h
N
(a) k  88 (b) xm  0.227m
m
(a) v  25.6
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Exercícios de Livros (Beer Johnston, Kraige, Hibbeler)
n
23
24
25
26
27
27
28
29
30
(a) T  0.349s (b) vm  0.45
m
s
46
47
48
2m
3k
(b)  n
40
42
43
44
(a) m  21.3kg (b)  n  1.838s
56
vDm  12.11in s
57
  2.01s
  75.5
59
C 
6k
m
60
  2
2b
3g
65
66
41.1 (a) s (b) s
41.2 (a) 0.933 s (b) 0.835 s
1
2
18 g
17l
67
68
17.1 s
69
f n  0.346Hz
27
3 r  
g  sen
 
(a)  n  
5r
3r
(b)  n  2
g
2g
I  1.096 lb  ft  s 2
64
m
f 
3 R  r 
2g
xm  1.476 m s  xm  31.1m s 2
63
(a) v A  0.0881m s (b) v A  0.0851m s
5b
3g
  2
55
62
16
2g 1  2
9
(a)  n  0.885s (b)  n  1.159 s
m
41
3 r
8g
3r
 2
52
61
38.2
38
(a)  n  1.951s (b) vm  1.752 m s
58

 n  2
51
  2
vB  82.2 mm s
(a)
(a) 1.10 s (b) 1.55 s
54
k  0.808m
k r
4 2l
g 2
38.1
50
53
h = 0.1123 m;
37
(a) 2.01s
(b) 2.94 m/s
50.2
l
T  2
g
36
49
50.1
(a) 0.428 s
(b) 45.4 mm
3.04Hz
34
1
r
4
k  0.672in
(b)
1 2

(a) T 
5 5
m
m
(b) vm  1.19  am  18.75 2
s
s
5
5
2 Hz
(a) f 

(b) T 
(a) f n  2.21Hz
N
(b) k  115.3
m
f n  0.945Hz
(a) t  2
5r
4g
(a) t  2
(a) 0.491 s. (b) 9.60 in.ys.
(a) 0.715 s. (b) 0.293 ft/s.
33
39
Repostas
(a) ra = 163 mm(b) 76.2 mm
(a)
(b)
(a) 0.219 s (b) 0.242 m/s
31
32
35
n
45
Resposta
 n  2
2l
3g
5.28 Hz
y
2
l k
l k
y  0  n 
2
b m
b m
1.70 s
x = 0.558 m
 n  2
m
3k cos2 
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Exercícios de Livros (Beer Johnston, Kraige, Hibbeler)
n
Respostas
70
 n  1.785s
71
f n  2.29 Hz
72
 n  1.327s
 n  0.821s
73
74
75
28
76
77
78
2hL
3bg
 BB
2

 AA
3
(a) d  227mm (b)  n  1.352s
 n  2
82
83
84
85
2 l
(a)  
b
g
Mostrar
Mostrar
(1 / k) ln (xn / xn+k )
Mostrar
(a) 0.0355 (b) 9.53 N.s/m
7
Usar: ln xn  7 2  c cc 

2
xn 1
n 1
1  c c 
4
(a) 1.92.10 N.s/m (b) 0.11 s

(a) 0.0355 (b) 9.53 N.s/m
mostrar
(a) xm  3.048  103 m
(b) xm  2.078  103 m
(a) xm  1.198  103 m
(b) xm  5.59132  104 m
(a) 0 
(b)
16
3 m
T  2
8k
c

cc
2k
rad
 0  1
3m
s
2
c
1 c
c
3

    0.0667
cc
2 k 3 m0
2m
3m
(c)   0 1   2  0.998
(d)  
8k
3 m
2

rad
s
 6.3s
x  t   xm  e0.0667t  sen(0.998  t   )
(a) K=6.3 N.m/rad
 0.594kg  m2
n  5.11
2
4
5
6
7
8
9
15
3 R  r 
 n  2
2g
(c)
 x 
196 2   ln 1 
 x8 
xm  1.503 106 m
14
3 g
n 
2 2b
(a)  n  0.352s (b)  n  0.352s
 l
n 
3 g  r
86
x1
x8
3
10
11
12
13
h
h
(b)   2
3g
g
(b) I engrenagem
ln
c
  2  r
1
f 
2
 c cc  
2
g
 n  2
81
c
  2  r
 n  2
79
80
1
g
l
f n  0.1899
Respostas
Oscilações amortecidas e
Amortecidas forçadas
2  c cc 
x
ln n 
2
xn 1
1 c c 
n
rad
s
17
18
19
28
xm  0.2m    1.504rad
c
(a)
 0.07877
cc
N s
(b) c  318.5
m
(a) 297 rpm (b) 252 rpm
(c) 0.335 in e 0.361 in
(a) xm  1.344  102 m
(b) xm  2.27  102 m
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Exercícios de Livros (Beer Johnston, Kraige, Hibbeler)
n
n
Respostas
20
(a) 297 rpm (b) 267 rpm
(c) 10.2 mm e 10.7 mm
21
0.1791 in
(a)
Respostas
(a)
35
(b)
c  0.0417
2
d x
dx
 c  k  x   k  sen   t   c    cos   t     m
dt 2
dt
36
(b)
xm 
k 2  c2   2
k  m    c  
2 2
22

2
37
m
2 v
L
38
x  xm  sen   t    
29
c 
c 
 tg 
2
k  m 
k
 c   x  x   2  k   x  x   P  sen   t 
tg 
m  xA
A
23
B
A
B
m
24
25
f
2
d xm
 k2   xm  x A   Pm  sen   t 
dt 2
dx
c A  k1  x A  k2   x A  xm   0
dt
2
 q  qA   E  sen   t
d q
L 2m  m
 
m
dt
C2
m
26
e
27
R
dqA qA  x A  xm 
 
0
dt C1
C2
lb  s
ft

x  0.01938  sen  30  t  1.724   ft 
67.9 lb
rad
ft
n  10.24
 v  11.95
s
s
  1.707
Lista 2
Vibrações de corpos rígidos
Vibrações forçadas
m  xB  3  c  x B  2  k  x A  0
L
R2
C
E
L
(a) im 
(b) t 
R
R
c
 0.01393
cc
5,7,19,24,30,31,51,73
Oscilações amortecidas e
Amortecidas forçadas
3,9,10,12,14,15,16,17,18,19,37
 BIBLIOGRAFIA Básica
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica
vetorial para engenheiros: cinemática e dinâmica 5ª
ed. 2v. São Paulo: Makron, 1994.
HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para
Engenharia. 8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall Brasil,
2004.
KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica: dinâmica. Rio
de Janeiro: LTC,2004.
Estuda, carinha..
28
e
29
Ardeu,
?
30
e
31
d 2 x1
dx
 c1 1  k1  x1  k2   x1  x2   0
2
dt
dt
d 2 x2
dx
m2 2  c2 2  k2   x2  x1   0
dt
dt
2
d q
dq q  q  q 
L1 21  R1  1  1  1 2  0
dt
dt C1
C2
m1
32
e
33
L2
34
d 2 q2
dq  q  q 
 R2  2  2 1  0
dt 2
dt
C2
📶
lb  s
kip  s
 6.49
(a) c  6485.9
ft
ft
lb
kips
(b) k  230  103  230
ft
ft
www.claudio.sartori.nom.br
http://www.claudio.sartori.nom.br/mecanicaaplicada.html
📫 [email protected]
29