Universidade do Algarve
Campeonato de Matemática SUB14
2006/2007
Problema 4: De peso em peso…
Uma garrafa e um copo pesam tanto quanto um jarro. Uma garrafa pesa tanto
quanto um copo e um prato. Um jarro pesa tanto como três pratos. Quantos
copos são precisos para equilibrar o peso de uma garrafa?
Campeonato de Matemática SUB14 - www.ualg.pt/fct/matematica/5estrelas/sub14
Resolução:
Para descobrir quantos eram os copos necessários para equilibrar o peso da garrafa, a maioria
dos atletas começou por comparar os pesos que a balança conseguia equilibrar, descobrir que
um prato pesava o mesmo que um copo e concluir que a garrafa pesava tanto como dois
copos. A estratégia geral é a de substituir objectos por outros “equivalentes”, isto é, com o
mesmo peso, ou retirar a ambos os pratos o mesmo peso ou acrescentar o mesmo em cada
prato da balança. Portanto, o essencial é que se conserve o equilíbrio entre os dois pratos da
balança e se consiga atingir uma situação em que se consiga colocar certo número de copos
num dos pratos e uma garrafa no outro, com a balança equilibrada.
Alguns atletas, como a Margarida Simão e a Luísa Silva da E.B. 2,3 de Santa Clara, em
Évora, conseguiram explicar o seu raciocínio num texto bem estruturado, indicando todas as
substituições que imaginavam fazer nos pratos da balança até ficarem apenas com uma
garrafa num dos pratos e no outro somente copos, que vieram a descobrir, e bem, que teriam
que ser dois.
Esta forma de explicar também foi utilizada pelo grupo da Emilie Petris e da Tânia Sousa, da
E.B.I. da Amareleja que, para não se perderem ao longo da explicação, utilizaram as
designações de primeira, segunda e terceira igualdade para exprimir as várias situações da
balança dadas no enunciado do problema.
Várias das respostas recebidas traduziram o enunciado por frases curtas, envolvendo os
símbolos matemáticos: =, + e – como foi o caso da que nos enviou o Oleksiy Zhelyeznyak da
E.B. 2,3 Eng. Nuno Mergulhão, em Portimão, que apresentamos de seguida:
1garrafa + 1copo = 3pratos
1copo = 1garrafa - 3pratos
2copos + 1prato = 1jarro
2copos + 1prato = 3pratos
2copos = 2pratos
1copo = 1prato
1jarro = 3copos
1garrafa + 1copo = 3copos
1garrafa = 2copos
Uma outra forma muito utilizada de facilitar a explicação foi a atribuição de incógnitas para
identificar um prato, um copo, um jarro e uma garrafa. Por exemplo, o grupo constituído por
José Luís Brito, Ricardo Moreira e Chen Tao, da E.B. 2,3 de Santo António, em Faro,
decidiu utilizar as iniciais dos nomes dos objectos para os identificar.
Esta estratégia também foi utilizada pelo grupo do Miguel Chagas e da Inês Pacheco, da
E.S./3 de Vila Real de Santo António, que depois de traduzirem o enunciado para linguagem
matemática afirmaram que tinham que “relacionar copos com garrafas” e por isso precisavam
de começar por “eliminar pratos e jarros”, o que é uma observação muito pertinente.
O recurso a esquemas também foi uma opção para alguns atletas, como o André Filipe
Fresco e a Ana Patrícia Roque, da E.B. 2,3 Frei António das Chagas, de Vidigueira:
A atribuição de um peso real a cada objecto, de modo a que estes continuassem a satisfazer
as condições do enunciado, foi uma opção para alguns atletas como a Sílvia Cristina da E.B.
2,3 Eng. Manuel Rafael Amaro da Costa, de São Teotónio. Esta é uma forma válida de
resolver este tipo de problemas que podem ser abordados de uma forma prática até se chegar
a uma conclusão aceitável.
Para os alunos que participaram nas actividades do Departamento de Matemática da
Faculdade de Ciências e Tecnologia, na Semana Aberta 2007, da Universidade do Algarve,
que teve lugar no mês de Março, esta experimentação foi uma realidade, pois estava à
disposição uma simulação deste problema com as três balanças e os objectos que fazem parte
deste desafio. Trata-se de uma estratégia que pode ser vital para resolver alguns problemas
cujas condições não conseguimos relacionar imediatamente.
Comentário:
O Campeonato de Matemática SUB14 foi criado para ajudar a fomentar nos jovens
participantes o gosto pela disciplina de Matemática e pela resolução de problemas,
estimulando o desenvolvimento de capacidades como o raciocínio e a expressão.
Acontece que, ao longo das jornadas, outras competências também acabam por ser
estimuladas, nomeadamente, o uso de programas informáticos que, directa ou indirectamente
ligados à Matemática, ajudam a aumentar a clareza e a originalidade das resoluções.
Um exemplo de uma utilização eficaz de uma ferramenta informática, que não podíamos deixar
de mencionar, foi enviada pelo grupo do Adriano Martins, Lara António e Maria Carolina
Rasquinho, da E.B. 2,3 D. Martinho Castelo Branco, de Portimão, num documento
PowerPoint. O programa, não sendo específico para a Matemática, permitiu a estes alunos a
construírem uma resolução do problema faseada e mais atractiva.
De notar que cada rectângulo apresenta a imagem de um slide.
Primeiro dividimos os dados em conjuntos.
Depois tentámos saber quanto pesava o jarro e fomos tentar saber através do
último conjunto.
Fomos por tentativas: Primeiro tentámos com que o jarro pesasse 12
quilos. Se o jarro pesava 12 quilos, os três pratos também pesavam 12
quilos. Então cada prato pesava 12:3=4.
Fomos então, ao primeiro conjunto. Se o jarro pesava 12 quilos, então o copo e a garrafa
também pesavam 12 quilos, e dividimos por dois, pensando que o copo e a garrafa pesavam o
mesmo (12:2=6). Depois fomos ao segundo conjunto. Se a garrafa pesava 6 quilos, o copo 6 e
o prato 4 quilos (6 = 6+4), a balança não tinha o peso igual nos dois pratos. Então tentámos
que o copo pesasse 5 quilos e a garrafa 7 quilos e fomos de novo ao segundo conjunto. Davanos 7 quilos (garrafa) =5 (copo) + 4 (prato). Fomos sempre tentando da mesma maneira (o
jarro pesava 12 quilos). Foi até que nos deu o peso equilibrado: Copo = 4 quilos, garrafa = 8 e
o prato = 4 quilos (4+4=8). Então para equilibrar o peso de uma garrafa são precisos 2 copos.