Good Deal Bounds e o caso das opções EuroStoxx50 André Ribeiro Carlos Pinto Mestrado em Matemática Financeira Factor de Desconto Estocástico • Os indíviduos, valorizam mais o consumo presente que o futuro. • Assim, através do factor de desconto podemos chegar à relação: p E (mx) 1 E (mR) Re R R f 0 E (mRe ) 1 Alternativas de Valorização 1. Preço Absoluto – implica a construção de modelos económicos para factores de desconto, que podem avaliar uma vasta classe de payoffs. Exemplo: 2. Preço Relativo – extrai-se informação sobre o valor de um dado activo, observando o preço de outros activos. Isto, sobre o pressuposto da Lei do Preço Único. Exemplos: APT e Black and Scholes. Pontos negativos - O preço absoluto, dá-nos uma previsão muito ampla de preços. - No preço relativo, é preciso que os payoffs sejam exactamente replicados por uma carteira. 2 Valorização de Opções • Ideia de Black-Scholes: - assume-se um certo processo estocástico para o preço do activo: dS Sdt Sdz Pelo Lema do Itô C C 1 2C C 2 2 C S S t 2 S 2 S t S Sz - constrói-se portfolio de opções vendidas + activos comprados (caso call): C C S S - exige-se que num intervalo infinitesimal de tempo o portfolio não tenha risco gerando no mesmo intervalo o mesmo que a mesma quantidade monetária investida em activos sem risco: C Equação diferencial de Black-Scholes-Merton C S S rt C C 1 2C 2 2 t S rS 2 S 2 S rC Juntamente com condições fronteira em T: C max S K ;0, t T P max S K ;0, t T Fórmula de BlackScholes (BS), 1973 C Ke rT N (d 2 ) S0 N (d1 ) P Ke rT N (d 2 ) S0 N (d1 ) d1 ln S 0 / K (r 2 / 2)T T d2 ln S0 / K (r 2 / 2)T d1 T T A equação diferencial de Black-Scholes-Merton é independente das preferências dos investidores pois não inclui nenhum termo sobre as expectativas de retorno do stock - NEUTRALIDADE AO RISCO Usando o princípio de neutralidade ao risco chegava-se à fórmula de BS: C e rTÊmax( ST K ,0) (caso para a call europeia) É o caso p=E(mx) em que m é constante 3 Resumem-se assim as hipóteses do modelo usados no modelo mais utilizado pelo mercado na valorização de opções: 1. 2. 3. 4. 5. 6. O subjacente segue um processo com retornos logarítmicos normais É permitido fazer short-selling Não existem custos de transacção Não existem oportunidades de arbitragem A transacção de activos é realizada continuamente … Problemas encontrados 1. 2. Existência de fat tails e desvios à forma funcional da distribuição log normal Não é possível transaccionar os títulos continuamente e obter a liquidez desejada implícita na elaboração da fórmula … sorrisos por explicar MERCADOS INCOMPLETOS 4 Soluções: • É comum assumir preços para os activos em falta e então avaliar opções por argumentos de arbitragem • (Cochrane, Saá_Requejo 1996) propõe-se avaliar opções estabelecendo preços máximos e mínimos possíveis (“upper and lower bounds”) usando um conjunto de coberturas aproximadas disponíveis no mercado (Cochrane, Saá_Requejo 1996) “Lower and Upper Bounds” para quê? 1. 2. 3. 4. Para que usar fórmulas de preços de opções com hipóteses de replicação que não são permitidas no mercado? Um market-maker que pretende sintetizar um derivado pode usar as good deals bounds para estabelecer preços bid-ask Um trader pode usar as bounds como preços de referência à procura de bons negócios Quando são grandes quantificam a nossa ignorância e informam-nos que a forma tradicional de valorização é particularmente má e que as coberturas aproximadas não são de facto boas. 5 • O problema (caso “lower”) - Minimizar o preço das opções, através da escolha do factor de desconto estocástico, que correctamente valorize os activos base e satisfaça as restrições para a estatística do factor de desconto: Limite inferior no preço da opção Factor de desconto Payoff da opção Preço e payoff dos activos primitivos Limite para o índice de Sharpe Taxa de Juro sem risco m0 Condições para a não arbitragem Condição do valor máximo para o Índice de Sharpe m0 p( x) ps ms xs s Arbitragem: payoffs positivos geram preços negativos . Se m>0, impossível! O trader quer comprar o portfolio com maior Índice de Sharpe, sobavaliando o portfolio: =h, rho=-1 6 Reformulando o problema … Definindo resulta para o problema da lowe bound, Introduzindo o método dos multiplicadores de Lagrange (Hanse, Heaton, Luttmer 1995) podemos reescrever o problema: Resultando como condições de Kuhn-Tucker: A dedução para a upper bound seria equivalente. … Obtém-se como solução: ? 7 Aplicação no cenário Black-Scholes • é necessário assumir uma distribuição. Black-Scholes: o retorno dos activos, R ST / S ,está distribuído segundo uma log-normal, f(R) • iremos estudar o caso de calls, • Problemas que se colocam: 1º Determinar o primeiro termo da equação em função dos multiplicadores de Lagrange 2º Encontrar os valores possíveis dos multiplicadores de Lagrange de tal forma que maximizem o preço da call. 1º Problema x c , x E f (0 , 1 , ) 8 2º Problema • A resolução algébrica do problema é bastante penosa. • O problema fica resolvido por métodos numéricos (uso do GAUSS). A convergência fica garantida se a função for côncava. • Processo da simulação: 1. Encontrar os lambdas para o ponto de partida (caso em que não há restrição a m) (ficam encontrados igualando esta expressão com a anterior os lambdas iniciais) 2. Procurar a direcção da maior variação (cálculo do gradiante) 3. Dar um passo e repetir 2. até que o gradiente seja nulo (máximo) ou que seja valor máximo STOP Caso prático • Estudemos Good Deal Bounds para opções sobre o EuroStoxx 50 (histórico com 500 dias úteis) Posição : 30/11/2007 Maturidade: 1 ano Spot:4394.95 Strike:5000.00 E( R): 1,063 Volatilidade Anualizada: 15,2% (anualizou-se tendo em conta que o ano tem 255 dias úteis) Taxa de Juro sem Risco a 1 ano:4,686% Índice Sharpe Limite, h: 1.0 9 RESULTADOS Spot • em torno de um certo valor a largura das bounds é máxima • para valores afastados a largura das bounds tende para zero e converge para o valor do preço de Black-Scholes Upper Bound Low Bound 4000.0000 4100.0000 4200.0000 4300.0000 4400.0000 4500.0000 4600.0000 4700.0000 4776.1878 4800.0000 4900.0000 5000.0000 5100.0000 5200.0000 5300.0000 5400.0000 5500.0000 5600.0000 5700.0000 5800.0000 5900.0000 6000.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 48.9549 65.3340 85.6948 110.5098 140.1845 175.0363 215.2788 261.0135 299.5410 312.2291 368.8085 430.5403 497.1355 568.2463 643.4848 722.4417 804.7026 889.8618 977.5331 1067.3577 1159.0091 1252.1955 13.1425 23.7770 38.8019 58.9011 84.6642 116.5493 154.8567 199.7168 238.2748 251.0912 308.7866 372.4773 4417337 516.0539 594.8940 677.6962 763.9131 853.0266 944.5614 1038.0933 1133.2515 1229.7186 Conclusões … • em torno de certos valores a largura das bounds é máxima traduz • Maior dificuldade em replicar a estrutura no mercado com portfolios stock + obrigação Black-Scholes traduz a nossa ignorância quanto ao preço das opções • para valores afastados a largura das bounds tende para zero e converge para o valor do preço de Black-Scholes • Facilidade em replicar a estrutura no mercado com portfolios stock + obrigação Black-Scholes e hipóteses são aplicadas 10 E críticas … Críticas: • Modelo exige implementação numérica • Inexistência de fórmula fechada Pouco praticável no Mercado [1] Beyound Arbitrage: “Good-Deal” Asset Price Bounds in Incomplete Markets, John Cochrane, Saá-Requejo 11
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